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★ (No Subject) / 江里奈


x^2−5xy＋6y^2−7＝0を満たす整数x,yは全部でア組あり
このうち、x＋yが最大となる組はx＝イウ,y＝エ


お願いします。
No.48316 - 2018/01/26(Fri) 19:38:27
☆ Re: / らすかる
x^2-5xy+6y^2-7=0
(x-2y)(x-3y)=7
x-2y=1,x-3y=7 から (x,y)=(-11,-6)
x-2y=-1,x-3y=-7 から (x,y)=(11,6)
x-2y=7,x-3y=1 から (x,y)=(19,6)
x-2y=-7,x-3y=-1 から (x,y)=(-19,-6)
以上4組、x+yが最大となる組はx=19,y=6
No.48318 - 2018/01/26(Fri) 19:55:57
☆ Re: / 江里奈

ありがとうございます！！( ´ ▽ ` )
No.48333 - 2018/01/26(Fri) 22:43:11
★ (No Subject) / りん
?Aの両辺をetで割るとの次の行aの解をどうやってだしたのかわかりません
No.48315 - 2018/01/26(Fri) 19:27:25
☆ Re: / X
問題の行の左の式の両辺の自然対数を取った上で
両辺に-1をかけます。
一般に
-logx=log(1/x)
となるのはよろしいですか？
No.48320 - 2018/01/26(Fri) 20:05:21
★ (No Subject) / りん
青チャートです
(１)解答二行目からわかりません
お願いします
No.48314 - 2018/01/26(Fri) 19:23:51
☆ Re: / X
二行目は
2^n=(1+1)^n
と変形した後で二項定理を使って展開をしています。
三行目の不等式の右辺はこの展開した式の
第4項以降を取り払った式になっています。
No.48321 - 2018/01/26(Fri) 20:09:29
☆ Re: / りん
> 二行目は
> 2^n=(1+1)^n
> と変形した後で二項定理を使って展開をしています。
> 三行目の不等式の右辺はこの展開した式の
> 第4項以降を取り払った式になっています。

わかりました
ありがとうございます
No.48330 - 2018/01/26(Fri) 21:23:50
★ (No Subject) / iM
xの方程式
x-sinx=0
の解の求め方を教えていただきたいです。
f(x)=x-sinx
とおいて、微分して増減表を書いて、、、
としていく方法しかないのでしょうか
No.48309 - 2018/01/26(Fri) 18:51:48
☆ Re: / らすかる
「x＞0のときx＞sinx」と
「sinxは奇関数」を使ってよければ、
解はx=0のみとただちにわかります。
No.48311 - 2018/01/26(Fri) 18:55:24
☆ Re: / iM
ありがとうございます。
つまり、

x<0だったら
-x>0なので
-x>0のときすなわちx<0のとき
-x>sin(-x)⇔-x>-sinx⇔x<sinx

となって
「x>0のときx>sinx」
「x<0のときx<sinx」
だから
x=sinxとなるのはx=0のとき、とできる。
と、言うことでしょうか。

また、試験などの問題の過程でx-sinx=0を解く場面が出てきた場合、ただちにx=0としてよいのでしょうか。
No.48317 - 2018/01/26(Fri) 19:54:27
☆ Re: / らすかる
応用問題の中で、主題とあまり関係ない部分で
x-sinx=0を解くことになった場合はただちにx=0でよいと思いますが、
「x-sinx=0を解け」という問題の場合はそれではまずいと思います。

# ただし「x-sinx=0を解け」だけ出されても何を使って良いかよくわかりませんので
# 何の前提もなくこの問題が出されることはおそらくないと思います。
No.48319 - 2018/01/26(Fri) 20:03:47
☆ Re: / iM
そうなんですか。ありがとうございます。
No.48331 - 2018/01/26(Fri) 22:11:16
★ (No Subject) / ナポ


シス 以降がわかりません。お願いします。
No.48308 - 2018/01/26(Fri) 18:31:49
☆ Re: / X
(2)
方程式f(x)=0の解の判別式をDとすると
D/4=7^2-a(6a+7)＞0 (A)
条件から
a≠0
に注意して(A)をaの二次不等式として解きます。


(3)
A,Bのx座標をそれぞれα、βとすると
α、βはxの二次方程式f(x)=0の解ゆえ
解と係数の関係から
α+β=14/a (B)
αβ=(6a+7)/a (C)
(B)(C)より
|α-β|^2=(α-β)^2=…
ここで線分ABの長さは
|α-β|
ですので線分ABの長さについて
aの方程式を立てると
… (D)
(D)を(2)の結果に注意して解くと…
No.48322 - 2018/01/26(Fri) 20:15:58
★ (No Subject) / 優樹菜

ヘロンの公式というのは
どんな三角形にも使えるのですか？
No.48307 - 2018/01/26(Fri) 18:03:39
☆ Re: / らすかる
「どんな三角形にも」というのはどういう意図かわかりませんが、
3点A,B,CがあってA,B,Cを含む平面上で線分AB,BC,CAで囲まれる部分の
面積、という意味を外れていなければ使えます。
No.48310 - 2018/01/26(Fri) 18:53:55
★ (No Subject) / 優樹菜


二次関数の問題で、
x軸と異なる2点で交わるとき、それらの交点が共にx軸の負の部分にあるときのaの範囲を求めよ
という問題で、

頂点のy座標が負
x＝0のときのyが正
軸の方程式が負

という三つの条件を満たしている範囲を探しますが、

似たような問題(二次関数で、条件を自分であげられるようにしなきゃいけない問題)で、他にはどんなものがあるのですか？>_<
No.48300 - 2018/01/26(Fri) 16:02:54
☆ Re: / 優樹菜


追加の質問なんですが、

このような問題のときは
判別式はいっさい使わなくて良いのですよね…？
No.48305 - 2018/01/26(Fri) 17:37:55
☆ Re: / らすかる
追加の質問の回答ですが、

放物線y=ax^2+bx+cにおいて
(頂点のy座標)=(判別式)/(-4a)
ですから、「頂点のy座標を使う」ことと
「判別式を使う」ことはあまり変わりません。
従って「このような問題」でなくても、
すべての問題で判別式を使わず
「頂点のy座標」で済ませることもできます。
No.48324 - 2018/01/26(Fri) 20:31:34
★ (No Subject) / 信濃


この問題は、自力で数える以外に方法はありますか？
また、自力で数えるのが一番早いですか？？


サイコロを2回投げて、出た目の数を並べて2桁の整数を作る。
このとき、3で割り切れ、4でも割り切れる整数は何通りか。
また、3で割り切れるが、4と6では割り切れない整数は何通りか。
No.48299 - 2018/01/26(Fri) 15:48:55
☆ Re: / らすかる
3でも4でも割り切れる整数は12の倍数なので
12,24,36,48,60,72,…
67以上と0,7,8,9を含むものは不適なので12,24,36の3個。

3で割り切れて6で割り切れなければ自動的に4では割り切れませんので
「4で割り切れない」という条件は不要です。
3で割り切れて6で割り切れないということは3の奇数倍なので
3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,…
67以上と0,7,8,9を含むものは不適なので、それらを除外すると
3,15,21,33,45,51,63の7個。

この解き方のことを「自力で数える」というのであれば、
自力で数えるのが一番早いです。
No.48313 - 2018/01/26(Fri) 19:07:18
★ (No Subject) / 信濃


お願いします。
No.48297 - 2018/01/26(Fri) 15:34:33
☆ Re: / X
前半)
条件から問題の二次関数のxの係数について
-b=2p (A)
又、この二次関数のグラフが点(-1,4)を
通ることから
1+b+c=4 (B)
(A)(B)より
(b,c)=(-2p,3+2p)
∴問題の二次関数は
y=x^2-2px+3+2p (C)
よって(C)のグラフとx軸の交点のx座標を
α,βとするとα,βは
x^2-2px+3+2p=0 (D)
なるxの二次方程式の解なので
解と係数の関係により
α+β=2p (E)
αβ=3+2p (F)
又(D)の解の判別式をDとすると
D/4=p^2-(3+2p)＞0 (G)
更に(C)のグラフがx軸から切り取る
線分の長さが
|α-β|
となることに注意すると(E)(F)より
|α-β|^2=4p^2-4(3+2p)≦2 (H)
(G)(H)を連立して解き
2-3√2≦p＜-1,3＜p≦2+3√2
No.48323 - 2018/01/26(Fri) 20:29:36
☆ Re: / X
後半)
(C)を使い、定義域である
0≦x≦3
と(C)のグラフの軸である
x=p
との位置関係について次の場合分けをしましょう。
(i)p≦＜0のとき
(ii)0＜p＜3のとき
(iii)3≦pのとき
No.48325 - 2018/01/26(Fri) 20:31:47
★ (No Subject) / 信濃


以下のメとモをお願いします。

二次関数y＝ax^2＋bx＋cのグラフが直線x＝2を軸として、点(−1,4)を通るとき
b＝−4a, c＝4−5a である。
このグラフがx軸から切り取る線分の長さが4のとき
a＝メ/モである。
No.48296 - 2018/01/26(Fri) 15:33:26
☆ Re: / らすかる
ax^2-4ax+4-5a=0の2解をα,β（α＜β）とすると
解と係数の関係からα+β=4,αβ=(4-5a)/a
16=(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=16-4(4-5a)/a
これを解いて a=4/5
No.48298 - 2018/01/26(Fri) 15:44:26
☆ Re: / 信濃


なぜα<β なのですか？

また、16＝(β−α)^2
となるのはなぜですか？
No.48302 - 2018/01/26(Fri) 16:45:52
☆ Re: / らすかる
> なぜα<β なのですか？
理由はありません。
2解のうち小さい方をα、大きい方をβと決めただけです。

> また、16＝(β−α)^2
> となるのはなぜですか？
「このグラフがx軸から切り取る線分の長さ」＝β-α＝4ですから
(β-α)^2=16です。
No.48312 - 2018/01/26(Fri) 18:58:00
★ (No Subject) / Saki

お願いします。

y＝x^2＋2(m−1)x−3m＋3のグラフで
頂点の座標は(1−m),(2＋m)(1−m)であるから
頂点は放物線y＝ホ x^2＋マxの上にある。
また、
頂点のy座標が最大値になるのは
m＝ミム/メ のときで、そのときのy座標の値はモ/ラである。
No.48291 - 2018/01/26(Fri) 13:47:59
☆ Re: / らすかる
頂点の座標は
x=1-m
y=(2+m)(1-m)
第1式からm=1-x、これを第2式に代入してy=-x^2+3x
よって頂点は放物線y=-x^-2+3xの上にある。

y=-x^2+3x=-(x-3/2)^2+9/4 なので
y=-x^2+3xの頂点は(3/2,9/4)
x=3/2のときm=-x+1=-1/2なので
頂点のy座標が最大値になるのは
m=-1/2のときで、そのときのy座標の値は9/4
No.48295 - 2018/01/26(Fri) 15:24:55
☆ Re: / Saki


有難うございます！！！
No.48303 - 2018/01/26(Fri) 16:54:29
★ (No Subject) / 安西

全てわかりません！お願いします
No.48290 - 2018/01/26(Fri) 13:30:46
★ (No Subject) / Saki


以下の問題教えてください！

f(x)＝x^2＋2ax−a＋2のグラフで
区間0≦x≦4における関数f(x)の最大値をM、最小値をmとする。
aの値を変化させたとき、
M−mはa＝あい のとき、最小値うとなる。
No.48288 - 2018/01/26(Fri) 12:49:15
☆ Re: / らすかる
f(x)=x^2+2ax-a+2=(x+a)^2-a^2-a+2 から軸はx=-a
軸がx≦0にある場合、最小値はf(0)、最大値はf(4)
軸がx≦0にある→-a≦0→a≧0
m=f(0)=-a+2, M=f(4)=7a+18
M-m=(7a+18)-(-a+2)=8a+16
この場合M-mの最小値はa=0のときの16

軸がx≧4にある場合、最小値はf(4)、最大値はf(0)
軸がx≧4にある→-a≧4→a≦-4
m=f(4)=7a+18, M=f(0)=-a+2
M-m=(-a+2)-(7a+18)=-8a-16
この場合M-mの最小値はa=-4のときの16

軸が0≦x≦2にある場合、最小値はf(-a)、最大値はf(4)
軸が0≦x≦2にある→0≦-a≦2→-2≦a≦0
m=f(-a)=-a^2-a+2, M=f(4)=7a+18
M-m=(7a+18)-(-a^2-a+2)=a^2+8a+16=(a+4)^2
この場合M-mの最小値はa=-2のとき4

軸が2≦x≦4にある場合、最小値はf(-a)、最大値はf(0)
軸が2≦x≦4にある→2≦-a≦4→-4≦a≦-2
m=f(-a)=-a^2-a+2, M=f(0)=-a+2
M-m=(-a+2)-(-a^2-a+2)=a^2
この場合M-mの最小値はa=-2のとき4

従ってa=-2のとき最小値4
No.48294 - 2018/01/26(Fri) 15:19:10
☆ Re: / Saki

ありがとうございます！！助かりました！
No.48304 - 2018/01/26(Fri) 17:22:47
★ (No Subject) / aibo
(2)がわからないです。答えは発散なのですが、何故そうなるのか教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.48285 - 2018/01/26(Fri) 10:13:40
☆ Re: / らすかる
a[n]=(-1)^(n-1)・{2n+3+(-1)^n}/{2n+5+(-1)^n} なので
lim[n→∞]Σ[k=1〜2n-1]=2/3
lim[n→∞]Σ[k=1〜2n]=-1/3
となり発散します。
言葉で言えば
奇数項の和は第2n項と2n+1項がすべて打ち消しあうので合計は2/3
偶数項の和は奇数項の和に最後の2n項を足したものであり
2n項は-4/5,-6/7,…→-1なので極限は2/3-1=-1/3
よって奇数項の和の極限と偶数項の和の極限が異なるので発散。
No.48289 - 2018/01/26(Fri) 12:52:44
★ 2重積分 / そぼろ
1/(1+x^2+y^2)^2
この関数をDの範囲で２重積分するのですが解き方を教えてもらえないでしょうか
D:(x^2+y^2)^2≦x^2-y^2,x≧0
No.48282 - 2018/01/26(Fri) 01:14:13
★ (No Subject) / Saki


以下の問題をお願いします。


5で割ると3余る整数Aがある。
この時、(Aの21乗)を5で割ると余りは何になるか。
また、(254の4乗)を13で割ると余りは何になるか。
No.48281 - 2018/01/26(Fri) 01:13:49
☆ Re: / らすかる
(5k+3)^2=25k^2+30k+9=5(5k^2+6k+1)+4 なので
5で割ると3余る整数を2乗すると5で割ると4余る整数になる。
(5k+4)^2=25k^2+40k+16=5(5k^2+8k+3)+1 なので
5で割ると4余る整数を2乗すると5で割ると1余る整数になる。
よって5で割ると3余る整数を4乗すると5で割ると1余る整数になる。
(5k+3)(5m+1)=25km+5k+15m+3=5(5km+k+3m)+3 なので
5で割ると3余る整数に5で割ると1余る整数を掛けると5で割ると3余る整数になる。
従って5で割ると3余る整数にA^4を掛けても5で割ると3余ることは変わらないので
A^21=A×A^4×A^4×A^4×A^4×A^4から
A^21を5で割ると3余る。

254=13×19+7
(13k+7)^2=169k^2+182k+49=13(13k^2+14k+3)+10
(13k+10)^2=169k^2+260k+100=13(13k^2+20k+7)+9
よって254^4を13で割ると9余る。
No.48292 - 2018/01/26(Fri) 15:05:05
☆ Re: / Saki

なるほど！！ありがとうございます^ - ^
No.48301 - 2018/01/26(Fri) 16:38:44
★ (No Subject) / Saki

3の倍数は、各位の数の和が3の倍数
4の倍数は、下2桁が4の倍数

などとありますが、
6の倍数や7の倍数、などは、何も決まりはないのですか？
No.48280 - 2018/01/26(Fri) 01:11:42
☆ Re: / らすかる
なくはないですが、7の倍数などは複雑です。
↓こちらをご覧下さい。
http://shochandas.xsrv.jp/number/multiple.htm
No.48283 - 2018/01/26(Fri) 02:29:38
★ (No Subject) / リンゴ

これの
(1)のカキクと、(2)
を教えてください！
No.48277 - 2018/01/26(Fri) 00:40:10
★ (No Subject) / リンゴ

この問題の、「お」以降がわかりません！
解説お願いしますm(_ _)m
No.48275 - 2018/01/26(Fri) 00:12:16
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＯＭを含む平面でこの四面体を切った時の断面を考えます。

この図上で、ＡＯの中点をＤとし、ＤからＡＯに垂直にひいた直線と
ＯＨの交点Ｅが外接球の中心であり、ＯＥが求める半径です。
　△ＯＡＨ∽△ＯＥＤ
であり、
　ＯＡ＝３，ＡＨ＝1/√3
より
　ＯＨ＝√(26/3)
これと　ＯＤ＝3/2 より
　ＯＥ＝ＯＡ×(ＯＤ/ＯＨ)
　　＝3×3/2÷√(26/3)
　　＝9√3/2√26＝9√78/52　・・・おロあかき

求める内接球の半径をｒとすると
　Ｖ＝(1/3)(△ＡＢＣ＋△ＯＡＢ＋△ＯＢＡ＋△ＯＣＡ)ｒ
と書けます。
　△ＡＢＣ＝√3/4
　△ＯＡＢ＝△ＯＢＣ＝△ＯＣＡ＝√{(7/2)(1/2)(1/2)(5/2)}＝√35/4
より、
　△ＡＢＣ＋△ＯＡＢ＋△ＯＢＡ＋△ＯＣＡ＝(√3＋3√35)/4
であることから、
　ｒ＝3Ｖ÷(√3＋3√35)/4
　　＝{12/(√3＋3√35)}Ｖ　・・・　くけこさし
No.48286 - 2018/01/26(Fri) 10:57:21
★ (No Subject) / 安西


以下の解説をお願いします


(nの二乗)＋4n−21 が素数となるような整数nの値は、
n＝シス,セ である。

答え
n＝−8,4
No.48268 - 2018/01/25(Thu) 23:40:46
☆ Re: / らすかる
n^2+4n-21=(n+7)(n-3)
これが素数になるためには
n+7=-1またはn-3=1でなければならないので
n=-8,4が解の候補
n=-8のとき(n+7)(n-3)=-(-8-3)=11
n=4のとき(n+7)(n-3)=4+7=11
よって両方とも素数になるので、
n=-8,4が解
No.48272 - 2018/01/25(Thu) 23:53:53
☆ Re: / 安西

素数になるためには、−1、1 …
となるのがわかりません…
No.48274 - 2018/01/25(Thu) 23:59:14
☆ Re: / らすかる
n+7とn-3の絶対値がどちらも2以上だったら
合成数になってしまって素数ではありませんので、
素数になるためには一方が±1でなければなりません。
従って基本的にはn+7=1,n+7=-1,n-3=1,n-3=-1の4パターンを
検討することになるのですが、
n+7とn-3のうちの「大きい方が1」または「小さい方が-1」だとすると
積は0以下となって素数にならないのは明らかですから
それを除外します。
n-3＜n+7ですから、n+7=1とn-3=-1は除外できて、
残る候補はn+7=-1とn-3=1だけになります。
# 2式が二次式だったりして大小関係がわからない場合は
# 全パターン調べる必要があります。
No.48276 - 2018/01/26(Fri) 00:15:05
☆ Re: / 安西


なるほど、ありがとうございます！
ちなみにこれは、数Aの「整数」の範囲になるのですか？
No.48278 - 2018/01/26(Fri) 00:55:11
☆ Re: / らすかる
残念ながら私は教職関係ではないのでわかりません。
No.48287 - 2018/01/26(Fri) 12:37:19
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