ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 東京大学数学赤本オリジナル問題の質問 / 勉強男

参考部分の質問です
P（Ｃ）の確立を求めるときに
ＲA＝（１/2）＾2+（1/2）＾3ＲAと計算していますが
（１/2）＾2は３試合目からの勝敗が繰り返されるため２試合目までの確立をくわえたものですよね、（1/2）＾3の
（1/2）＾3もＣの優勝が決定するのが３試合目、６試合目で３の倍数となっているからだとわかるんですが（1/2）＾3にＲAをなぜかけているのかいまいち理解できません。

さらにP（Ｃ）＝1/2RA+1/2RBとなっていますがこの部分でなぜ1/2をかけているのですか？RA+RBでいいような気がするのですが。

また同様にＣが勝つ確率がpの場合の計算において
RA=p^2+p（1-p）*1/2RAとなっていますがp（1-p）*1/2RAと計算しているのがなぜかわかりません

解答よろしくお願いします

No.48195 - 2018/01/24(Wed) 13:54:25

☆ Re: 東京大学数学赤本オリジナル問題の質問 / 勉強男

続きです

No.48196 - 2018/01/24(Wed) 13:55:38

☆ Re: 東京大学数学赤本オリジナル問題の質問 / IT

> ＲA＝（１/2）＾2+（1/2）＾3ＲAと計算していますが

（１/2）＾2 は、２、３試合目にＣが２連勝しＣの優勝が決まる確率。
(1/2）＾3 は、２試合目にＣが勝ち、３試合目にＢが勝ち、４試合目にＡが勝ち　Ａが１勝した状態になる確率。

です

No.48197 - 2018/01/24(Wed) 18:27:43

☆ Re: 東京大学数学赤本オリジナル問題の質問 / IT

> さらにP（Ｃ）＝1/2RA+1/2RBとなっていますがこの部分でなぜ1/2をかけているのですか？RA+RBでいいような気がするのですが。

１試合目にＡが勝つ確率は1/2 、その後　Ｃが優勝する確率をＲAとしたからです。

No.48198 - 2018/01/24(Wed) 18:55:17

☆ Re: 東京大学数学赤本オリジナル問題の質問 / 勉強男

なるほどp[1-p]*1/2に関してはpは２試合目にＣ勝利1-pは３試合目にＢ勝利、1/2はＢVSAでＡが勝つからpではなく1/2
というわけですね。

解説ありがとうございました

No.48234 - 2018/01/25(Thu) 16:30:21

★ 図形と計量数I / 独学社会人

受ける学校の過去問をもらったのですが
答えも回答もないので
解き方が分かりません
教えて頂きたいです。
一番の問題はあってると思いますが
二番目がよくわかりませんでした。

No.48174 - 2018/01/23(Tue) 19:29:57

☆ Re: 図形と計量数I / 改

1番はそれで正解です
2番も同じように解きましょう

No.48175 - 2018/01/23(Tue) 19:34:01

☆ Re: 図形と計量数I / 独学社会人

考えたら解き方が浮かびました
これであってますか？

No.48185 - 2018/01/23(Tue) 22:02:31

☆ Re: 図形と計量数I / 独学社会人

逆になりました

No.48186 - 2018/01/23(Tue) 22:08:48

☆ Re: 図形と計量数I / らすかる

考え方は合っていますが、答えは正しくありません。
・BDは√2ではありません
・√2の2乗は4ではありません
・√42が√21に変わってしまっています

No.48187 - 2018/01/23(Tue) 22:24:39

☆ Re: 図形と計量数I / 独学社会人

回答ありがとうございました。
解き方はあっているようなので
計算し直してみますね

No.48207 - 2018/01/24(Wed) 21:54:35

★ 重積分について / Y

最近大学で重積分について学んでいるのですが、積分が分からないとかの以前の問題なのかも知れませんが、例えば画像の(2)だと、D=…x^2+y^2≦x^2となっていて、これを変形すると、0≦x≦1,-√(x-x^2)≦y≦√(x-x^2)となるらしいのですが、この変形が理解出来ないので解説お願いします。ちなみに(1)は理解できてます。(2)の最初の変形が分かりません。

No.48165 - 2018/01/23(Tue) 18:11:22

☆ Re: 重積分について / X

x^2+y^2≦x
をyの二次不等式と見て解きましょう。

No.48171 - 2018/01/23(Tue) 18:57:47

☆ (No Subject) / Y

画像のように解いて見ましたが、この後どうすれば良いのでしたのでしょうか？

No.48172 - 2018/01/23(Tue) 19:19:06

☆ Re: 重積分について / X

平方完成をする必要はありません。
x^2≦4
を解くのと同じ方針で解いているだけです。

No.48176 - 2018/01/23(Tue) 19:56:58

☆ Re: 重積分について / Y

あ、なるほど。yは分かりましたが、
xの範囲はどのようにして求めるのですか？

No.48177 - 2018/01/23(Tue) 20:04:20

☆ Re: 重積分について / X

x^2+y^2≦x
より
(x-1/2)^2+y^2≦1/4
よってDは
点(1/2,0)を中心とする半径1/2の円の周及び内部
を表します。
このことからDを図示して考えましょう。

No.48178 - 2018/01/23(Tue) 20:10:15

☆ Re: 重積分について / Y

つまりどういうことですか？

No.48181 - 2018/01/23(Tue) 20:50:09

☆ Re: 重積分について / X

図示したDの境界を
y=-√(x-x^2)
y=√(x-x^2)
なる二つの曲線に分割したとき
xの値の範囲はどうなりますか？

No.48202 - 2018/01/24(Wed) 20:03:02

☆ Re: 重積分について / Y

そもそも
y=-√(x-x^2)
y=√(x-x^2)のグラフが分かりません…

No.48206 - 2018/01/24(Wed) 21:52:22

☆ Re: 重積分について / X

Dの境界である
円(x-1/2)^2+y^2=1/4
の下半分のグラフが
y=-√(x-x^2)
上半分のグラフが
y=√(x-x^2)
です。

No.48208 - 2018/01/24(Wed) 22:04:40

☆ Re: 重積分について / Y

やっと理解出来ました❗
ありがとうございました❗

No.48212 - 2018/01/24(Wed) 23:24:38

☆ Re: 重積分について / Y

なかなか大変ですね笑

No.48213 - 2018/01/24(Wed) 23:25:12

★ (No Subject) / あずさ

すみません！
画像の4番の解き方がちょっと分からないので、解説お願い致します！答えは、π(e^(b^2)-e^(a^2))になります！

No.48162 - 2018/01/23(Tue) 17:57:40

☆ Re: / X

極座標に変換すると
D={(r,θ):a≦r≦b,0≦θ≦2π}
でヤコビヤンはrですので
(与式)=∫[θ:0→2π]∫[r:a→b]{re^(r^2)}drdθ
=2π∫[r:a→b]{re^(r^2)}dr
=2π[(1/2)e^(r^2)][r:a→b]
=π{e^(b^2)-e^(a^2)}
となります。

No.48163 - 2018/01/23(Tue) 18:05:22

☆ Re: / あずさ

解説ありがとうございます❗授業だと、x=rcosθ,y=rsinθみたいな解き方で解いていたのですが、その場合の解き方も教えて頂けると助かります。

No.48166 - 2018/01/23(Tue) 18:14:50

☆ Re: / あずさ

あ、すみません！
もちかして、その解き方で解いてますか？

No.48167 - 2018/01/23(Tue) 18:19:01

☆ Re: / あずさ

あと、
D={(r,θ):a≦r≦b,0≦θ≦2π}は、どうやって導いたのでしょうか？

No.48169 - 2018/01/23(Tue) 18:22:23

☆ Re: / X

＞＞もちかして、その解き方で解いてますか？
その通りです。

レスを見る限り、極座標について
理解ができていないように見られます。
教科書などで極座標の項目を復習した上で
もう一度考えてみましょう。

No.48170 - 2018/01/23(Tue) 18:56:21

☆ Re: / あずさ

分かりました❗極座標についてはもう1度復習してみようと思いますが、a^2≦x^2+y^2≦b^2から
a≦r≦b,0≦θ≦2πへの変形のやり方を教えて頂くことはできないでしょうか？1つのお手本として、学びたいのですが…

No.48173 - 2018/01/23(Tue) 19:23:52

☆ Re: / X

＞＞分かりました❗極座標についてはもう1度復習してみようと思いますが
「復習してみよう」ではなくて復習をして下さい。
そして、極座標に関する練習問題も高校時代を思い出して
解いてみて下さい。

あずささんの仰っていることは
原点中心、半径Rの円の周及び内部を表す不等式である
x^2+y^2≦R^2
を極座標の形に変換できない
(≒高校数学ができない)
と言っているのと同じです。

ここで復習しておかないと、添付写真の(5)も解けません。
(これも極座標に変換して解きます。但し、変換後の
不等式の形は(4)の場合より多少複雑な形になりますが。)

No.48180 - 2018/01/23(Tue) 20:38:44

☆ Re: / あずさ

ちょっと考えてみましたが、
x=rcosθ、y=rsinθとおき、a^2≦x^2+y^2≦b^2に代入すると、a^2≦r≦b^2が導き出されるのは分かりましたが、θが0≦θ≦2πのような範囲をとるのは、aとbの値が定まっていないからですか？

No.48182 - 2018/01/23(Tue) 21:14:04

☆ Re: / X

違います。
この場合、rとθは無関係ですので
極座標の定義の上で取りうるθの
値の範囲である
0≦θ≦2π
を取っています。

No.48184 - 2018/01/23(Tue) 21:56:58

☆ Re: / あずさ

つまり、無関係だと0≦θ≦2πをとるってことですか？

No.48190 - 2018/01/24(Wed) 08:11:19

☆ Re: / X

この場合はそうなります。
但し、θに対して他に拘束条件がある場合は
0≦θ≦2π
とはなるとは限りません。
例えばDに
x≧0,y≧0 (P)
という条件が加わっているのであれば
0≦θ≦π/2
となります。
(理由は(P)のx,yをr,θで表して考えてみて下さい。)

No.48201 - 2018/01/24(Wed) 20:00:22

★ (No Subject) / あ

カッコ2がわかりません。

No.48153 - 2018/01/23(Tue) 14:45:49

☆ Re: / あ

> カッコ2がわかりません。

No.48154 - 2018/01/23(Tue) 14:46:48

☆ Re: / X

△AOBにおいて余弦定理により
cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2OA・OB)
=(2^2+2^2-1^2)/(2・2・2)
=7/8 (A)
∴△OAMに注目して
AM=OAsin∠AOB=OA√{1-(cos∠AOB)^2}
=2・√{1-(7/8)^2}
=(√15)/4 (B)

(A)より
↑OA・↑OB=↑OB・↑OC
=OA・OBcos∠AOB
=7/2 (C)
↑OM=(OM/OB)↑OB=(OM/OA)↑OB
=(cos∠AOB)↑OB
=(7/8)↑OB (D)
(B)より
CM=AM=(√15)/4
更に条件から
AC=√2
∴↑OA・↑OC=OA・OCcos∠AOC
=OA・OC・{OA^2+OC^2-AC^2}/(2OA・OC)
(∵)△AOCに余弦定理を適用
=3 (E)

以上(C)(D)(E)から
cos∠AMC=(↑MA・↑MC)/(MA・MC)
=(16/15)(↑OA-↑OM)・(↑OC-↑OM)
=(16/15){(7/8)↑OB-↑OA}・{(7/8)↑OB-↑OC}
=(1/60)(7↑OB-8↑OA)・(7↑OB-8↑OC)
=…(内積の部分を展開します。)

よって△AMCの面積をSとすると
S=(1/2)AM・CMsin∠AMC
=…

No.48156 - 2018/01/23(Tue) 16:09:46

☆ Re: / ヨッシー

△ＯＡＢの面積は、ヘロンの公式より
　√{(5/2)(3/2)(1/2)(1/2)}＝(√15)/4
ＯＢを底辺とすると、ＡＭは高さなので、
　ＡＭ＝(√15)/4×2÷2＝(√15)/4　・・・エ

△ＡＣＭにおいて
　ＡＭ＝ＣＭ＝(√15)/4
　ＡＣ＝√2
より、余弦定理から
　cos∠ＡＭＣ＝(AM^2＋CM^2－AC^2)/(2・AM・CM)
　　＝(15/16＋15/16－2)/(15/8)
　　＝-1/15　・・・オ
sin∠ＡＭＣ＝4√14/15 より
　△ＡＭＣ＝(1/2)AM・CM・sin∠ＡＭＣ＝(1/2)(15/16)(4√14/15)
　　＝√14/8

No.48158 - 2018/01/23(Tue) 16:15:19

☆ Re: / あ

ありがとうございます！

No.48168 - 2018/01/23(Tue) 18:19:58

★ データの問題です / 黄金

こちらの問題がわかりません。
ちなみに答えは (ネ)6 (ノ)9 (ハヒ)13 (フヘ)13です。

No.48146 - 2018/01/22(Mon) 22:54:07

☆ Re: データの問題です / ヨッシー

(1)
男子の合計点数は　3×8＝24
女子の合計点数は　8×12＝96
全体の合計点数は　24＋96＝120
よって、全体の平均は
　120÷20＝6　・・・ネ

(2)
　３^2＝９　・・・ノ
　(a1－3)^2＋(a2－3)^2＋・・・＋(a8－3)^2＝4×8＝32
　(a1^2＋a2^2＋・・・＋a^8^2)－6(a1＋a2＋・・・＋a8)＋72＝32
　a1^2＋a2^2＋・・・＋a^8^2－6・24＋72＝32
　a1^2＋a2^2＋・・・＋a^8^2＝104
よって、２乗の平均は
　104÷8＝13　・・・ハヒ

(3)
同様に
　(b1－8)^2＋(b2－8)^2＋・・・(b12－8)^2＝9×12＝108
　(b1^2＋b2^2＋・・・＋b12^2)－16・96＋12・64＝108
　b1^2＋b2^2＋・・・＋b12^2＝1536ー768＋108＝876
よって、全体のデータの２乗の和は
　104＋876＝980
　(a1－6)^2＋・・・＋(a8－6)^2＋(b1－6)^2＋・・・＋(b12－6)^2＝980－12・120＋20・36
　　＝260
全体の分散は
　260÷20＝13
標準偏差は　√13　・・・フヘ

No.48147 - 2018/01/23(Tue) 06:16:36

☆ Re: データの問題です / 黄金

(1)の合計の出し方はどのようにしたのですか？

No.48148 - 2018/01/23(Tue) 10:40:12

☆ Re: データの問題です / 黄金

先ほどの質問は解決しましたが、(2)のハヒを出す計算の3行目の(a1^2+a2^2•••••)のやり方がわかりません

No.48149 - 2018/01/23(Tue) 10:49:33

☆ Re: データの問題です / ヨッシー

最終目的が、
　(a1^2＋a2^2＋・・・＋a^8^2)÷８
を計算することというのは良いですか？よって、当面の目標は、
　a1^2＋a2^2＋・・・＋a^8^2
を計算することです。

分散は、
　{(a1－3)^2＋(a2－3)^2＋・・・＋(a8－3)^2}÷８＝４
なので、
　(a1－3)^2＋(a2－3)^2＋・・・＋(a8－3)^2＝３２
左辺を展開して
　(a1^2＋a2^2＋・・・＋a^8^2)－6(a1＋a2＋・・・＋a8)＋8・3^2＝32
a1＋a2＋・・・＋a8＝24 はすでに求めてあるので、代入して計算すると
　a1^2＋a2^2＋・・・＋a^8^2＝104
が求められます。

No.48152 - 2018/01/23(Tue) 12:57:45

★ (No Subject) / 中三

平方数の一の位は必ず1,4,9,6,5のいずれかになる。
1²=1,2²=4,3²=9,4²=16,5²=25,6²=36,7²=49,8²=64,9²=81
このように1～9までの一桁の自然数の平方数の一の位の数を考えれば上のことは証明される。
しかし、なぜ1²と9²,2²と8²,3²と7²,4²と6²の一の位はそれぞれ等しいのだろうか？...（結論）
このことを証明する。
ここでは、一桁の自然数のみを考える。
A,Bを互いに一桁の自然数としA>Bとするとき、A²とB²の一の位がともに等しくなるということは次のように表される。
A²-B²=10k(kは自然数)
一の位が等しい2数において、差は10の倍数になるといえる。
また、
(A+B)(A-B)=10kと変形できる。
ここでA+Bが奇数ならばA-Bも奇数である。
A+Bが偶数ならばA-Bも偶数である。
10kは偶数であるので10kを2つの奇数の積で表すことはできない。
したがって、A+B,A-Bはともに偶数でありkは2の倍数である。
以上のことから、10の倍数10kを2つの偶数の積で表すと必ず一方は10の倍数になることが言える。
A,Bはともに一桁の自然数であるので、A-Bは10の倍数にならない。よってA+Bが10の倍数(=10)になるようなA,Bを考えればよい。
(A+B)(A-B)=10kを満たすA,Bは和が10になればよいので
1+9,2+8,3+7,4+6はすべて10となるので結論は証明された。

書き方は適当で見事に文章力がありませんが、書いてることは正しいでしょうか？

No.48143 - 2018/01/22(Mon) 21:00:55

☆ Re: / らすかる

「10の倍数10kを2つの偶数の積で表すと必ず一方は10の倍数になることが言える」の
根拠が明記されていない点が気になりましたが、それ以外は問題ないと思います。

なお
「一桁の自然数A,B（A＞B）の2乗の一の位が等しくなるのはどんな場合か」
という問題ならばその方法がよいと思いますが、
「1^2と9^2,2^2と8^2,3^2と7^2,4^2と6^2の一の位が等しい」ことを示すだけなら
1≦A≦4として(10-A)^2-A^2=10(10-2A)からただちに言えますね。

No.48144 - 2018/01/22(Mon) 21:26:56

☆ Re: / IT

>> しかし、なぜ1²と9²,2²と8²,3²と7²,4²と6²の一の位はそれぞれ等しいのだろうか？...（結論）
> このことを証明する。

「このこと」とは、何ですか？

「1^2と9^2,2^2と8^2,3^2と7^2,4^2と6^2の一の位がなぜ等しいか？・・・」というのは「証明」ではなくて「説明」になると思います。等しいのは計算結果を見れば明らかです。
（ごく少数の有限個についての簡単な演算ですから実際に計算結果を示せば、最も明解な証明でそれで終了だと思います。）

--------------------------------------------------

と書きましたが、ｎ進法への一般化を考えれば、中三さんの取り組みは、数学的に意味のあることだと思います。

No.48145 - 2018/01/22(Mon) 21:31:54

☆ Re: / 中三

ITさん
らすかるさん

変に無駄に書き方をしなくても、文章中で結論とかいたことはすでに証明されてました。「説明」が適切ですね。
お二方とも、わかりやすい説明をありがとうございました。

らすかるさんへ

因みにですが、
10kを2つの偶数の積に表すには、5は奇数であるから少なくとも5には偶数が掛けられていないといけないので一方は必ず10の倍数になる
というので一応説明にはなるのでしょうか？

No.48155 - 2018/01/23(Tue) 16:04:20

☆ Re: / らすかる

ちょっと説明としてはぎこちないですね。
> 10kを2つの偶数の積に表すには、5は奇数であるから
明らかではありますが、「10k」と「5」にどういう関係があるかが
わかるような書き方が望ましいです。
いきなり「5は奇数であるから」は唐突に思えますし、
「奇数であるから」では理由になりません。
「30kを2つの偶数の積に表すには、15は奇数であるから少なくとも
　15には偶数が掛けられていないといけないので一方は必ず30の倍数になる」
だと誤りですよね。

例えば

> A+Bが偶数ならばA-Bも偶数である。
> 10kは偶数であるので10kを2つの奇数の積で表すことはできない。
> したがって、A+B,A-Bはともに偶数でありkは2の倍数である。

に続けて

また10kは(素数の)5で割り切れるから、少なくともA+BまたはA-Bの
どちらかは5で割り切れる。いずれも偶数なので、5で割り切れれば10でも割り切れる。
以上のことから、A+B、A-Bのうち少なくとも一方は10の倍数になることが言える。

のようにするとよいと思います。

No.48183 - 2018/01/23(Tue) 21:14:13

☆ Re: / 中三

丁寧にありがとうございます。
?@一方は5の倍数
?AA+B,A-Bはともに偶数
これらから片方は10で割り切れる
ということが言えるんですね。自分の説明では明らかに不適切でした。

No.48189 - 2018/01/24(Wed) 06:23:57

★ Σ / ζ

Σ［（i-j）^2,｛i,j,1,n｝］=
（2n-2）・1^2+（2n-4）・2^2+・・・+2・（n-1）^2
=n^2（n^2-1）/6
になるのは、どうしてなのでしょうか？

No.48138 - 2018/01/22(Mon) 18:10:38

☆ Re: Σ / ヨッシー

i=1 のとき j=1 から j=n まで動かすと |i-j| の値は
　0, 1, 2, ・・・, n-1
i=2 のとき j=1 から j=n まで動かすと |i-j| の値は
　1, 0, 1, ・・・, n-2
以下
　2, 1, 0, ・・・, n-3
　3, 2, 1, ・・・, n-4
　　　・・・
　n-2, n-3, n-4, ・・・, 0, 1
　n-1, n-2, n-3, ・・・, 1, 0
のようになり、
0 がｎ個
1 が 2(n-1)個
2 が 2(n-2)個
　・・・
k が 2(n-k)個
　・・・
n-1 が２個
存在します。よって、|i-j| の値を２乗して、個数分だけ足すと
　2(n-1)・1^2＋2(n-2)・2^2＋・・・＋2(n-k)・k^2＋・・・2・(n-1)^2
となります。
これを計算すると
　Σ[k=1～n-1]2(n-k)k^2＝2Σ[k=1～n-1](nk^2－k^3)
　　＝2{n^2(n-1)(2n-1)/6－n^2(n-1)^2/4}
　　＝n^2(n-1){(2n-1)/3－(n-1)/2}
　　＝n^2(n-1){(4n-2)/6－(3n-3)/6}
　　＝n^2(n-1)(n+1)/6
　　＝n^2(n^2－1)/6
となります。

No.48192 - 2018/01/24(Wed) 09:55:04

★ Re: 累乗根の単元について / iM(高3 極限)

初歩的な質問ですみません。
極限の範囲に出てくる不定形の種類について教えて欲しいです。
∞-∞,0・∞,∞/∞,0/0以外にどんな形が不定形と言えるのでしょうか？
1/0や、0/∞は不定形ではないのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.48133 - 2018/01/22(Mon) 17:32:26

☆ Re: 累乗根の単元について / iM(高3 極限)

すみません。もう一つ質問で、

lim[x→∞]{e^(2x)}/(x-1)
の式変形での求め方教えていただきたいです。
グラフの問題で出てきたんですが、発散速度での説明しかなかったので、式変形ではどうやってやるのか気になりました。

No.48134 - 2018/01/22(Mon) 17:53:59

☆ Re: 累乗根の単元について / X

例えば
1^∞
は不定形です。
理由は対数を取ると
0×∞
となるからです。

>>1/0や、0/∞は不定形ではないのでしょうか。
いずれも不定形ではありません。
(i)1/0について
分子が正の実数に収束しているので
分母の0が
→+0のとき→∞
→-0のとき→-∞
です。
(ii)0/∞について。
1/∞は0に収束する形ですので
これにどのような有限の実数に収束するものを
かけても0に収束します。

No.48135 - 2018/01/22(Mon) 17:55:13

☆ Re: 累乗根の単元について / X

＞＞すみません。もう一つ質問で、～
高校数学の範囲からは外れますが
e^x=Σ[n=0～∞](x^n)/n!
であることが知られています。

ここから、問題として自然数xに対して
e^x≧1+x+(x^2)/2 (A)
を証明せよ、といったような問題を
解いたことがあると思います。
((左辺)-(右辺)=f(x)と置いて
f(x)の増減表を書くだけですが。)

ここでは
(A)がx≧1なる実数xに対して
成立することを証明した、
という前提で続きを。

x→∞を考えるのでx≧1としても問題ありません。
このとき(A)より
{e^(2x)}≧(1+2x+2x^2)/(x-1)=x(2+2/x+1/x^2)/(1-1/x) (B)
ここでx→∞のとき
((B)の右辺)→∞
ですので
(与式)=∞
となります。

No.48136 - 2018/01/22(Mon) 18:04:02

☆ Re: 累乗根の単元について / らすかる

lim[x→∞]{e^(2x)}/(x-1)の別解

a[n]=2^(2n)/n　（nは自然数）とすると
a[1]=4
a[n+1]/a[n]={2^{2(n+1)}/(n+1)}/{2^(2n)/n}
=4n/(n+1)
=4-4/(n+1)
≧2
なので
a[n]≧2^(n+1)となり
lim[n→∞]a[n]=+∞
n≧2,n≦x＜n+1のときx-1＜nから1/(x-1)＞1/nなので
2^(2n)/n＜e^(2x)/(x-1)
従って
lim[n→∞]2^(2n)/n=+∞から
lim[x→∞]e^(2x)/(x-1)=+∞

No.48142 - 2018/01/22(Mon) 20:30:19

★ (No Subject) / 胡瓜

全て直線の、長方形です。
斜線部の面積の求め方を教えてください

No.48121 - 2018/01/21(Sun) 18:49:14

☆ Re: すいません / 胡瓜

斜線部を、ABを軸にし回転させた場合の体積もお願いします

No.48122 - 2018/01/21(Sun) 18:53:37

☆ Re: / X

No.48122の図に基づいて長方形の頂点を反時計回りに
A,B,C,Dとし、Bから辺CDに引かれている直線と
辺CDとの交点をE,線分AC,BEとの交点をFとします。

面積について)
以下、例えば△ABCの面積をS[△ABC]と書くことにします。
すると
S[△ABC]+S[△BCE]=S[△ABF]+S[△BEF]+2S[△BCF]
となるので
(1/2)・24・15+(1/2)・16・15
=(1/2)・24・9+(1/2)・16・6+2S[△BCF]
∴2S[△BCF]=(1/2)・24・6+(1/2)・16・9
2S[△BCF]=12・6+8・9
S[△BCF]=72
以上から求める面積は
S[長方形ABCD]-S[△ABF]-S[△BEF]-S[△BCF]
=15・24-(1/2)・24・9-(1/2)・16・6-72
=360-108-48-72
=132

体積について)
xy平面上に
A(0,0),B(24,0),D(0,15),C(24,15),E(8,15)
と取ります。
このとき
直線ACの方程式は
y=5x/8
∴F(72/5,9)
又、直線BEの方程式は
y=-(15/16)(x-24)
よって求める体積をVとすると
V=∫[0→8]{π・15^2-π(5x/8)^2}dx
+∫[8→72/5]{π{-(15/16)(x-24)}^2-π(5x/8)^2}dx
=π[225x-(25/192)x^3][0→8]+π[{(75/256)(x-24)^3-(25/192)x^3][8→72/5]
=π(1800-200/3)+π{(75/256){16^3-(48/5)^3}-(25/192){(72/5)^3-8^3}}
=π(1800-200/3)+π{75・16-(75/256)(48/5)^3-{(25/192)(72/5)^3-25・8/3}}
=1800π+π{75・16-(16・3^4)/5-(3^5・8)/5}
=1800π+π{75・16-(16・3^4)/5-(3^4・24)/5}
=1800π+π{75・16-(40・3^4)/5}
=1800π+π(75・16-8・3^4)
=1800π+π(150・8-8・81)
=1800π+π(69・8)
=1800π+552π
=2352π
(途中で計算を間違えているかもしれません。検算をお願いします。)

No.48123 - 2018/01/21(Sun) 21:28:16

☆ Re: / IT

(別解）
EからABへの垂線の足をGとすると
斜線の部分＝□AGED+△GBE-△ABF＝8*15+(1/2)*16*15-(1/2)*24*9=132

体積V

□AGEDを回転すると円柱
△GBEを回転すると円錐ができます。
△ABFを回転すると円錐が２つできます。

Ｖ１：底面の半径１５、高さ８の円柱
Ｖ２：底面の半径１５、高さ１６の円錐
Ｖ３：底面の半径　９、高さの計２４の円錐２つ

Ｖ＝Ｖ１+Ｖ２-Ｖ３＝(15^2)π*8+(1/3)*(15^2)π*16-(1/3)*(9^2)π*24=2352π

No.48124 - 2018/01/21(Sun) 22:41:58

☆ Re: / らすかる

面積別解
底辺24高さ15の直角三角形から底辺16高さ6(=15-9)の三角形を除いたものなので
24×15÷2 - 16×6÷2 = 132

No.48125 - 2018/01/21(Sun) 23:42:19