ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 中三

どんな平行四辺形でも3つに分割して組み替えると二等辺三角形になることを証明してください。ただし分割した図形を裏返してもよいこととします。

というか証明するようなことではなく「説明してください」のほうが適切かもしれません。

No.48338 - 2018/01/27(Sat) 07:40:30

☆ Re: / らすかる

長方形でない場合
平行四辺形で鋭角の2頂点をB,D、残りの2つの頂点を
AB≦BCとなるようにA,Cとします。
CからADに下ろした垂線の足をEとして
△ABE,△EBC,△CDEの3つに分け、
△CDEの辺CDに△ABEの辺BAをくっつければ
△EBCと合同な直角三角形ができますので
この二つで二等辺三角形になります。

長方形の場合
長方形ABCDでADの4等分点をAから近い順にE,F,Gとし、
△ABEを切り取って点Eに関して180°回転
△CDGを切り取って点Gに関して180°回転
とすれば二等辺三角形になります。

No.48343 - 2018/01/27(Sat) 14:31:15

☆ Re: / 中三

ありがとうございます。長方形の場合は考えていませんでしたが（正方形や長方形、ひし形もすべて平行四辺形ですね）長方形や正方形でもできますね。ただ対角線で二つに分けたほうが楽なのは当然ですが。
らすかるさんのおっしゃる平行四辺形において、∠ACD<90°やAB²<AC²+BC²を満たしていれば同じことが言えますか？

No.48347 - 2018/01/27(Sat) 17:26:24

☆ Re: / らすかる

> ∠ACD<90°やAB^2<AC^2+BC^2を満たしていれば同じことが言えますか？
この質問の意図はよくわからないのですが、
特定の条件を満たしていれば他の分け方もありますね。
（長方形を除く）どんな平行四辺形でも同じ方法で3分割して
二等辺三角形を作るなら、私が書いた方法が簡単で良いと思います。

No.48349 - 2018/01/27(Sat) 17:53:14

☆ Re: / 中三

すいません、大変わかりにくい質問で。∠ACD<90°でした。

>AB≦BC
というのを∠ACB<90°という条件でも同じように分割できますか？という意図で質問させていただきました。
本当に申し訳ありませんでした。

必要ないと思いますが、図でも示しておきます。

No.48356 - 2018/01/27(Sat) 22:14:20

☆ Re: / らすかる

なるほど。それなら問題ないと思います。
条件を付けて場合分けになるのは面倒ですから、
「鈍角の頂点から長い方（短くない方）の辺に下ろした垂線と対角に引いた対角線の2本で切る」
ぐらいに言っておけばよいと思います。

# ちなみに、Bが鋭角でAが直線BCに垂線BHを下ろした時に
# 0＜BH＜(1/4)BC または (1/4)BC＜BH＜(3/4)BC の場合は
# 辺に直交しない2線分で切る分け方がありますね。

No.48357 - 2018/01/27(Sat) 22:21:39

★ Re: / 数学がんばりマン

極方程式ｒ＝√6/(2-√６cosθ）が表す図形を求めよという問題で途中2r=√６(x+1)
2√(x^2+y^2)＝√６(x+1)
両辺0以上よりx≧－１のもとで二乗して
整理すると(x+3)^2-2y^2=６の双曲線の右側の部分になるのですが、実際の解答では左側の部分も答えに入っています。これはなぜですか？

よろしくお願いします

No.48337 - 2018/01/27(Sat) 06:58:25

☆ Re: / らすかる

例えばθ=0のときr=√6/(2-√6)=-3-√6となり双曲線の左側の点になります。
rは負の値をとることもありますので、
単純にrを√(x^2+y^2)に置き換えるわけにはいきません。

No.48344 - 2018/01/27(Sat) 14:51:13

☆ Re: / 数学がんばりマン

ありがとうございます。確かにｒが負になりますね..
他の類題を探してみたのですが、
ｒ＝1/(2＋√３cosθ）の表す曲線を直交座標に関する式で表せ（琉球大）というのがあり、
こっちの問題だと
２ｒ＝1-3rcosθ
⇔２√(x^2+y^2)=(1-3x)^2かつ1-3x≧０
と解答にはあり、何故か両辺0以上のもとで二乗しています。同じような問題なのにこの違いはどこからくるのでしょうか。

また、別の問題では
ｒ＝３⇔√(x^2+y^3)=3⇔x^2+y^2=9

ともありました。どのようなときにr＝√(x^2+y^2)なのか、r＝±√(x^2+y^2)なのか教えてください

No.48346 - 2018/01/27(Sat) 15:41:59

☆ Re: / らすかる

「ｒ＝1/(2＋√３cosθ）」と
「２ｒ＝1-3rcosθ」と
「２√(x^2+y^2)=(1-3x)^2」は
全部違うものなのですが、どれが正しいのでしょうか。

r=3 は正なので√(x^2+y^2)ですね。

No.48350 - 2018/01/27(Sat) 18:05:53

☆ Re: / 数学がんばりマン

すみません、書き直しました

ｒ＝1/(2＋√３cosθ）の表す曲線を直交座標に関する式で表せ（琉球大）というのがあり、
こっちの問題だと
２ｒ＝1-√3rcosθ
⇔(２√(x^2+y^2))^2=(1-√3x)^2かつ1-3x≧０
と解答にはあり、何故か両辺0以上のもとで二乗しています。同じような問題なのにこの違いはどこからくるのでしょうか。

また、一般にはｒは負でもありうるということで、機械的にr=±√(x^2+y^2)とおいてはだめなのでしょうか？
ｒ＝３
±√(x^2+y^2)＝３
両辺二乗して
x^2+y^2=9
という風にです。より難しい問題になってくるとこれだとやはり食い違いがでてくるのでしょうか？

No.48352 - 2018/01/27(Sat) 20:37:37

☆ Re: / らすかる

> かつ1-3x≧０
これは「かつ1-√3x≧0」の間違いだと思いますが、
これはあっても間違いではないですが
この問題では必要ありません。
なぜなら、r=1/(2+√3cosθ)という式からr＞0とわかっていて、
1-√3x≦0となることはないからです。

> 機械的にr=±√(x^2+y^2)とおいてはだめなのでしょうか？
ダメな場合がありそうな気はするのですが、
具体例が見つけられませんでした。

No.48354 - 2018/01/27(Sat) 21:59:07

★ (No Subject) / りん

青チャートです
(１)解答二行目からわかりません
お願いします

No.48314 - 2018/01/26(Fri) 19:23:51

☆ Re: / X

二行目は
2^n=(1+1)^n
と変形した後で二項定理を使って展開をしています。
三行目の不等式の右辺はこの展開した式の
第4項以降を取り払った式になっています。

No.48321 - 2018/01/26(Fri) 20:09:29

☆ Re: / りん

> 二行目は
> 2^n=(1+1)^n
> と変形した後で二項定理を使って展開をしています。
> 三行目の不等式の右辺はこの展開した式の
> 第4項以降を取り払った式になっています。

わかりました
ありがとうございます

No.48330 - 2018/01/26(Fri) 21:23:50

★ (No Subject) / iM

xの方程式
x-sinx=0
の解の求め方を教えていただきたいです。
f(x)=x-sinx
とおいて、微分して増減表を書いて、、、
としていく方法しかないのでしょうか

No.48309 - 2018/01/26(Fri) 18:51:48

☆ Re: / らすかる

「x＞0のときx＞sinx」と
「sinxは奇関数」を使ってよければ、
解はx=0のみとただちにわかります。

No.48311 - 2018/01/26(Fri) 18:55:24

☆ Re: / iM

ありがとうございます。
つまり、

x<0だったら
-x>0なので
-x>0のときすなわちx<0のとき
-x>sin(-x)⇔-x>-sinx⇔x<sinx

となって
「x>0のときx>sinx」
「x<0のときx<sinx」
だから
x=sinxとなるのはx=0のとき、とできる。
と、言うことでしょうか。

また、試験などの問題の過程でx-sinx=0を解く場面が出てきた場合、ただちにx=0としてよいのでしょうか。

No.48317 - 2018/01/26(Fri) 19:54:27

☆ Re: / らすかる

応用問題の中で、主題とあまり関係ない部分で
x-sinx=0を解くことになった場合はただちにx=0でよいと思いますが、
「x-sinx=0を解け」という問題の場合はそれではまずいと思います。

# ただし「x-sinx=0を解け」だけ出されても何を使って良いかよくわかりませんので
# 何の前提もなくこの問題が出されることはおそらくないと思います。

No.48319 - 2018/01/26(Fri) 20:03:47

☆ Re: / iM

そうなんですか。ありがとうございます。

No.48331 - 2018/01/26(Fri) 22:11:16

★ (No Subject) / ナポ

シス以降がわかりません。お願いします。

No.48308 - 2018/01/26(Fri) 18:31:49

☆ Re: / X

(2)
方程式f(x)=0の解の判別式をDとすると
D/4=7^2-a(6a+7)＞0 (A)
条件から
a≠0
に注意して(A)をaの二次不等式として解きます。

(3)
A,Bのx座標をそれぞれα、βとすると
α、βはxの二次方程式f(x)=0の解ゆえ
解と係数の関係から
α+β=14/a (B)
αβ=(6a+7)/a (C)
(B)(C)より
|α-β|^2=(α-β)^2=…
ここで線分ABの長さは
|α-β|
ですので線分ABの長さについて
aの方程式を立てると
… (D)
(D)を(2)の結果に注意して解くと…

No.48322 - 2018/01/26(Fri) 20:15:58

★ (No Subject) / 優樹菜

二次関数の問題で、
x軸と異なる2点で交わるとき、それらの交点が共にx軸の負の部分にあるときのaの範囲を求めよ
という問題で、

頂点のy座標が負
x＝0のときのyが正
軸の方程式が負

という三つの条件を満たしている範囲を探しますが、

似たような問題(二次関数で、条件を自分であげられるようにしなきゃいけない問題)で、他にはどんなものがあるのですか？>_<

No.48300 - 2018/01/26(Fri) 16:02:54

☆ Re: / 優樹菜

追加の質問なんですが、

このような問題のときは
判別式はいっさい使わなくて良いのですよね…？

No.48305 - 2018/01/26(Fri) 17:37:55

☆ Re: / らすかる

追加の質問の回答ですが、

放物線y=ax^2+bx+cにおいて
(頂点のy座標)=(判別式)/(-4a)
ですから、「頂点のy座標を使う」ことと
「判別式を使う」ことはあまり変わりません。
従って「このような問題」でなくても、
すべての問題で判別式を使わず
「頂点のy座標」で済ませることもできます。

No.48324 - 2018/01/26(Fri) 20:31:34

★ (No Subject) / 信濃

この問題は、自力で数える以外に方法はありますか？
また、自力で数えるのが一番早いですか？？

サイコロを2回投げて、出た目の数を並べて2桁の整数を作る。
このとき、3で割り切れ、4でも割り切れる整数は何通りか。
また、3で割り切れるが、4と6では割り切れない整数は何通りか。

No.48299 - 2018/01/26(Fri) 15:48:55

☆ Re: / らすかる

3でも4でも割り切れる整数は12の倍数なので
12,24,36,48,60,72,…
67以上と0,7,8,9を含むものは不適なので12,24,36の3個。

3で割り切れて6で割り切れなければ自動的に4では割り切れませんので
「4で割り切れない」という条件は不要です。
3で割り切れて6で割り切れないということは3の奇数倍なので
3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,…
67以上と0,7,8,9を含むものは不適なので、それらを除外すると
3,15,21,33,45,51,63の7個。

この解き方のことを「自力で数える」というのであれば、
自力で数えるのが一番早いです。

No.48313 - 2018/01/26(Fri) 19:07:18

★ (No Subject) / 信濃

お願いします。

No.48297 - 2018/01/26(Fri) 15:34:33

☆ Re: / X

前半)
条件から問題の二次関数のxの係数について
-b=2p (A)
又、この二次関数のグラフが点(-1,4)を
通ることから
1+b+c=4 (B)
(A)(B)より
(b,c)=(-2p,3+2p)
∴問題の二次関数は
y=x^2-2px+3+2p (C)
よって(C)のグラフとx軸の交点のx座標を
α,βとするとα,βは
x^2-2px+3+2p=0 (D)
なるxの二次方程式の解なので
解と係数の関係により
α+β=2p (E)
αβ=3+2p (F)
又(D)の解の判別式をDとすると
D/4=p^2-(3+2p)＞0 (G)
更に(C)のグラフがx軸から切り取る
線分の長さが
|α-β|
となることに注意すると(E)(F)より
|α-β|^2=4p^2-4(3+2p)≦2 (H)
(G)(H)を連立して解き
2-3√2≦p＜-1,3＜p≦2+3√2

No.48323 - 2018/01/26(Fri) 20:29:36

☆ Re: / X

後半)
(C)を使い、定義域である
0≦x≦3
と(C)のグラフの軸である
x=p
との位置関係について次の場合分けをしましょう。
(i)p≦＜0のとき
(ii)0＜p＜3のとき
(iii)3≦pのとき

No.48325 - 2018/01/26(Fri) 20:31:47

★ (No Subject) / 信濃

以下のメとモをお願いします。

二次関数y＝ax^2＋bx＋cのグラフが直線x＝2を軸として、点(－1,4)を通るとき
b＝－4a, c＝4－5a である。
このグラフがx軸から切り取る線分の長さが4のとき
a＝メ/モである。

No.48296 - 2018/01/26(Fri) 15:33:26

☆ Re: / らすかる

ax^2-4ax+4-5a=0の2解をα,β（α＜β）とすると
解と係数の関係からα+β=4,αβ=(4-5a)/a
16=(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=16-4(4-5a)/a
これを解いて a=4/5

No.48298 - 2018/01/26(Fri) 15:44:26

☆ Re: / 信濃

なぜα<β なのですか？

また、16＝(β－α)^2
となるのはなぜですか？

No.48302 - 2018/01/26(Fri) 16:45:52

☆ Re: / らすかる

> なぜα<β なのですか？
理由はありません。
2解のうち小さい方をα、大きい方をβと決めただけです。

> また、16＝(β－α)^2
> となるのはなぜですか？
「このグラフがx軸から切り取る線分の長さ」＝β-α＝4ですから
(β-α)^2=16です。

No.48312 - 2018/01/26(Fri) 18:58:00

★ (No Subject) / Saki

お願いします。

y＝x^2＋2(m－1)x－3m＋3のグラフで
頂点の座標は(1－m),(2＋m)(1－m)であるから
頂点は放物線y＝ホ x^2＋マxの上にある。
また、
頂点のy座標が最大値になるのは
m＝ミム/メのときで、そのときのy座標の値はモ/ラである。

No.48291 - 2018/01/26(Fri) 13:47:59

☆ Re: / らすかる

頂点の座標は
x=1-m
y=(2+m)(1-m)
第1式からm=1-x、これを第2式に代入してy=-x^2+3x
よって頂点は放物線y=-x^-2+3xの上にある。

y=-x^2+3x=-(x-3/2)^2+9/4 なので
y=-x^2+3xの頂点は(3/2,9/4)
x=3/2のときm=-x+1=-1/2なので
頂点のy座標が最大値になるのは
m=-1/2のときで、そのときのy座標の値は9/4

No.48295 - 2018/01/26(Fri) 15:24:55

☆ Re: / Saki

有難うございます！！！

No.48303 - 2018/01/26(Fri) 16:54:29

★ (No Subject) / Saki

以下の問題教えてください！

f(x)＝x^2＋2ax－a＋2のグラフで
区間0≦x≦4における関数f(x)の最大値をM、最小値をmとする。
aの値を変化させたとき、
M－mはa＝あいのとき、最小値うとなる。

No.48288 - 2018/01/26(Fri) 12:49:15

☆ Re: / らすかる

f(x)=x^2+2ax-a+2=(x+a)^2-a^2-a+2 から軸はx=-a
軸がx≦0にある場合、最小値はf(0)、最大値はf(4)
軸がx≦0にある→-a≦0→a≧0
m=f(0)=-a+2, M=f(4)=7a+18
M-m=(7a+18)-(-a+2)=8a+16
この場合M-mの最小値はa=0のときの16

軸がx≧4にある場合、最小値はf(4)、最大値はf(0)
軸がx≧4にある→-a≧4→a≦-4
m=f(4)=7a+18, M=f(0)=-a+2
M-m=(-a+2)-(7a+18)=-8a-16
この場合M-mの最小値はa=-4のときの16

軸が0≦x≦2にある場合、最小値はf(-a)、最大値はf(4)
軸が0≦x≦2にある→0≦-a≦2→-2≦a≦0
m=f(-a)=-a^2-a+2, M=f(4)=7a+18
M-m=(7a+18)-(-a^2-a+2)=a^2+8a+16=(a+4)^2
この場合M-mの最小値はa=-2のとき4

軸が2≦x≦4にある場合、最小値はf(-a)、最大値はf(0)
軸が2≦x≦4にある→2≦-a≦4→-4≦a≦-2
m=f(-a)=-a^2-a+2, M=f(0)=-a+2
M-m=(-a+2)-(-a^2-a+2)=a^2
この場合M-mの最小値はa=-2のとき4

従ってa=-2のとき最小値4

No.48294 - 2018/01/26(Fri) 15:19:10

☆ Re: / Saki

ありがとうございます！！助かりました！

No.48304 - 2018/01/26(Fri) 17:22:47

★ (No Subject) / aibo

(2)がわからないです。答えは発散なのですが、何故そうなるのか教えていただきたいです。よろしくお願いします。

No.48285 - 2018/01/26(Fri) 10:13:40

☆ Re: / らすかる

a[n]=(-1)^(n-1)・{2n+3+(-1)^n}/{2n+5+(-1)^n} なので
lim[n→∞]Σ[k=1～2n-1]=2/3
lim[n→∞]Σ[k=1～2n]=-1/3
となり発散します。
言葉で言えば
奇数項の和は第2n項と2n+1項がすべて打ち消しあうので合計は2/3
偶数項の和は奇数項の和に最後の2n項を足したものであり
2n項は-4/5,-6/7,…→-1なので極限は2/3-1=-1/3
よって奇数項の和の極限と偶数項の和の極限が異なるので発散。

No.48289 - 2018/01/26(Fri) 12:52:44