ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率 / 親不孝者

親より早く死んだ子が賽の河原で泣いていると、
鬼が近寄ってきてこう告げました。

「ネス湖でもないのにネッシーが住み着いて困っている。
お前は10歳だから、1/10の確率でネッシーに命中する石を10個やる。
ひとつずつネッシーに向かって投げ続けろ。
ネッシーに当たるたびにさらに石を10個やる。
石がなくなれば地獄行きだ。」

この親不孝な子が地獄に落ちる確率はいくらか教えて下さい。

No.85162 - 2023/03/19(Sun) 18:47:51

☆ Re: 確率 / m

確率 1 で地獄に落ちる．

http://www.kogures.com/hitoshi/webtext/or-hasan-kakuritu/index.html
を参考に線形代数を使ってごり押しします．
以下，間違いがあるかもしれません．

あえて，初めに k 個の石を持っているとする．
N, k を 0 以上の整数とし，Q[N, k] を「初めに k 個の石を持っていて，N 回目までに石がなくなる確率」とする．
Q[N, k] は N について単調増加であり，0≦Q[N, k]≦1 であるから次の極限
Q[k] = lim[N → ∞] Q[N, k]
が存在し， 0≦Q[k]≦1 となる．
また，定義から Q[0] = 1 である．Q[10] が元の問題の求める確率である．

k > 0 とする．N+1 回の投石を最初の投石によって場合分けすると
Q[N+1, k] = (1/10) Q[N, k+9] + (9/10)Q[N, k-1]
が成り立つ．（1 投目で 1/10 の確率でネッシーに当たり，そのとき石の数は k+9 個になる．外れれば k-1 個になる．）
N → ∞ として Q[k] の漸化式を得る．
Q[k] = (1/10) Q[k+9] + (9/10)Q[k-1] (k>0)

この特性方程式を調べる．
x = (1/10) x^10 + (9/10)
0 = x^10 - 10 x + 9 ... (*)
(*) は x = 1 を解に持ち，それ以外の複素数解は |x|>1 を満たす．さらに x = 1 のみが重解である．
（∵ (*) を変形すれば
0 = (x-1)(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x-9)
より |x|≦1 を満たす複素数 x が解であるならば，
9 = |x^9+x^8+...+x| ≦ |x|^9+|x|^8+...+|x| ≦ 9
の等号が成立するので x=1 である．
さらに (*) を微分するなりして，x=1 が重複度 2 の重解であること，その他は重解とはならないことがわかる．）

(*) の複素数解を 1, a[3], a[4], ..., a[10] とする．
線形代数（ジョルダン標準形?）の理論より Q[k] の一般項は
Q[k] = (C[1] + C[2] k) + C[3] a[3]^k + C[4] a[4]^k + ... + C[10] a[10]^k
と表される．ただし C[1], ..., C[10] は定数．
ここで，k をどれだけ大きくしても 0≦Q[k]≦1 であるから C[2] = C[3] = C[4] = ... = C[10] = 0 である．
よって Q[k] = C[1] = Q[0] = 1. とくに Q[10] = 1 である．

No.85165 - 2023/03/20(Mon) 09:06:53

☆ Re: 確率 / m

[追記]
ギャンブラーの破産問題，ランダムウォークで検索すると似た問題が出てきます．なかなかおもしろいです．

線形代数と書いたところはあまり有名でなかったかもしれません．次が参考になります．
https://s2s.undefin.net/wiki/?plugin=attach&refer=kuttinpa&openfile=%E6%96%B0%E6%AD%93%E8%AC%9B%E7%BE%A9%E7%94%A8%E3%83%AC%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A1.pdf

(*) の解については，
https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+0+%3D+x%5E10+-+10+x+%2B+9
で確かめれば十分でした．大事なのは x=1 が解であることと，その他の解が |x|>1 を満たすことです．
|a[3]|>1 のとき a[3]^k の項が発散するため，その係数が 0 と決定できます．

No.85168 - 2023/03/20(Mon) 20:14:43

☆ Re: 確率 / 親不孝者

後半がまだ正確に理解は出来ていませんが、
詳しく解説していただきありがとうございました。

No.85173 - 2023/03/21(Tue) 23:32:14

★ 数列の証明問題です。 / YUKI

画像の証明問題が分かりません。

数学的帰納法で証明するのですが

n=1のとき、a[1]=0は成り立つ。n=kのとき、0≦a[k]<1を仮定すると、

0≦a[k]²<1 3≦a[k]²＋３<4 各辺を4で割って

3/4≦a[k+1]<1 となり、どうしても証明が出来ません。詳しい方おられましたら

是非ご教授お願いしたいです、よろしくお願いいたします。

No.85151 - 2023/03/18(Sat) 09:55:35

☆ Re: 数列の証明問題です。 / らすかる

3/4≦a[k+1]＜1が成り立てば当然0≦a[k+1]＜1も成り立ちますので問題ないと思います。

No.85152 - 2023/03/18(Sat) 10:03:30

☆ Re: 数列の証明問題です。 / YUKI

回答ありがとうございます。

要求されている証明は0≦a[n]<1ですよね。

なぜ、3/4≦a[k+1]<1 を　0≦a[k+1]<1　として良いのかが分からないです。

No.85154 - 2023/03/18(Sat) 10:09:28

☆ Re: 数列の証明問題です。 / らすかる

3/4以上1未満である数は0以上1未満でもあるからです。
例えば1≦t＜2が成り立てば当然-100≦t＜100も成り立ちますよね。
それと同じ意味で、不等号の範囲を広げるのは問題ありません。
たとえ話ですが、もしも「a[k+1]=1/2」が証明できたとしても、やはり「0≦a[k+1]＜1が成り立つ」と言えますね。

No.85155 - 2023/03/18(Sat) 10:23:20

☆ Re: 数列の証明問題です。 / YUKI

ありがとうございます！助かりました。

No.85156 - 2023/03/18(Sat) 10:35:57

★ 連立方程式 / うさぎはどこへ逃げた？

{(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^2=(x^2+y^2+z^2+1+e^(4πi/5))/5
{(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^3=(x^3+y^3+z^3+1+e^(6πi/5))/5
{(x+y+z+1+e^(2πi/5))/5}^4=(x^4+y^4+z^4+1+e^(8πi/5))/5
1<|x|≦|y|≦|z|

この連立方程式の解き方、答えを教えて下さい。

No.85148 - 2023/03/17(Fri) 18:46:15

☆ Re: 連立方程式 / らすかる

t=exp(2πi/5), u=x+y+z, v=xy+yz+zx, w=xyz
とおくと
x^2+y^2+z^2=u^2-2v
x^3+y^3+z^3=u^3-3uv+3w
x^4+y^4+z^4=u^4-4u^2v+4uw+2v^2
第1式から
{(u+1+t)/5}^2=(u^2-2v+1+t^2)/5
vについて整理して
v={2u^2-(t+1)u+2t^2-t+2}/5 … (1)
第2式から
{(u+1+t)/5}^3=(u^3-3uv+3w+1+t^3)/5
(1)を代入してvを消去し、wについて整理すると
w={2u^3-4(t+1)u^2+(11t^2-3t+11)u-(t+1)(8t^2-9t+8)}/25 … (2)
第3式から
{(u+1+t)/5}^4=(u^4-4u^2v+4uw+2v^2+1+t^4)/5
(1)(2)を代入してv,wを消去して整理すると
(u+t+1)(u-4t-4)(u^2-3(t+1)u+(21t^2-8t+21))+125(t^4+t^3+t^2+t+1)=0
t^4+t^3+t^2+t+1=0なので
(u+t+1)(u-4t-4)(u^2-3(t+1)u+(21t^2-8t+21))=0
∴u=-t-1,4t+4,{3(t+1)±5√(-3t^2+2t-3)}/2
=-{√5+3+i√(10+2√5)}/4,√5+3+i√(10+2√5),
{2√5+1+i√(65-22√5)}/2,{-√5+7+i√(410-178√5)}/4

u=-(√5+3+i√(10+2√5))/4 のとき
v=(1+i√(5+2√5))/2
w=(√5-1-i√(10+2√5))/4
このとき
(x,y,z)=(e^(4πi/5),e^(6πi/5),e^(8πi/5))
=((√5-1-i√(10+2√5))/4,(-√5-1+i√(10-2√5))/4,(-√5-1-i√(10-2√5))/4)
しかし|x|=|y|=|z|=1なので不適

u=√5+3+i√(10+2√5) のとき
v=(5√5+7+i√(1570+698√5))/4
w=(-2√5-3+i√(265+118√5))/2
このとき
(x,y,z)=((2+i√(10+2√5))/2,(√5+2+i√(5-2√5))/2,(√5+2+i√(5+2√5))/2)
これは1＜|x|=|y|＜|z|なので適解

u=(2√5+1+i√(65-22√5))/2 のとき
v=(5√5-9+i√(130-38√5))/2
w=(-9√5+19+i√(410-178√5))/4
このとき
(x,y,z)=((√5-1+i√(50-22√5))/4,(2+i√(10-2√5))/2,(3√5-1+i√(10-2√5))/4)
しかし|x|＜1＜|y|=|z|なので不適

u=(-√5+7+i√(410-178√5))/4 のとき
v=(15√5-33+3i√(130-58√5))/4
w=4√5-9+i√(85-38√5)
このとき
(x,y,z)=((-√5+2+i√(5-2√5))/2,(√5-1-i√(50-22√5))/4,1+i√(5-2√5))
しかし|x|=|y|＜1＜|z|なので不適

従って条件を満たす解は
(x,y,z)=((2+i√(10+2√5))/2,(√5+2+i√(5-2√5))/2,(√5+2+i√(5+2√5))/2),
((√5+2+i√(5-2√5))/2,(2+i√(10+2√5))/2,(√5+2+i√(5+2√5))/2)
（∵|x|=|y|＜|z|）

No.85159 - 2023/03/19(Sun) 01:24:55

☆ Re: 連立方程式 / うさぎはどこへ逃げた？

x^3 -(√5+3+i√(10+
2√5)) x^2 +(5√5+7+i√(1570+698√5))/4 x - (-2√5-3+i√(265+118√5))/2=0
という3次方程式はどうやって解くのですか？

No.85160 - 2023/03/19(Sun) 15:36:58

☆ Re: 連立方程式 / らすかる

WolframAlphaを使って解きました。
手作業では難しそうですね。

No.85161 - 2023/03/19(Sun) 18:09:55

☆ Re: 連立方程式 / らすかる

手計算でも何とかなりそうです。

元の方程式
x^3 - (√5+3+i√(10+2√5)) x^2 + (5√5+7+i√(1570+698√5))/4 x - (-2√5-3+i√(265+118√5))/2=0
虚数を右辺に移項
x^3 - (√5+3) x^2 + (5√5+7)/4 x - (-2√5-3)/2
=i{√(10+2√5) x^2 - √(1570+698√5)/4 x + √(265+118√5)/2}
両辺を4倍して分母を払う
4x^3 -4(√5+3) x^2 +(5√5+7) x + 2(2√5+3)
=i{4√(10+2√5) x^2 - √(1570+698√5) x + 2√(265+118√5)}
両辺を2乗
16x^6 + 16(14+6√5)x^4 + (174+70√5)x^2 + 4(29+12√5)
- 32(√5+3)x^5 + 8(5√5+7)x^4 + 16(2√5+3)x^3
- 8(√5+3)(5√5+7)x^3 - 16(√5+3)(2√5+3)x^2 + 4(5√5+7)(2√5+3)x
=
-16(10+2√5)x^4 - (1570+698√5)x^2 - 4(265+118√5)
+ 8√{(10+2√5)(1570+698√5)}x^3 - 16√{(10+2√5)(265+118√5)}x^2
+ 4√{(1570+698√5)(265+118√5)}x
各項整理（すべて二重根号が外れる）
16x^6 + 16(14+6√5)x^4 + (174+70√5)x^2 + 4(29+12√5)
- 32(√5+3)x^5 + 8(5√5+7)x^4 + 16(2√5+3)x^3
- 8(46+22√5)x^3 - 16(19+9√5)x^2 + 4(71+29√5)x
=
-16(10+2√5)x^4 - (1570+698√5)x^2 - 4(265+118√5)
+ 16(55+23√5)x^3 - 16(45+19√5)x^2 + 4(645+287√5)x
移項して整理
2x^6 - 4(3+√5)x^5 + (55+21√5)x^4 - 2(75+32√5)x^3
+ 2(135+58√5)x^2 - (287+129√5)x + (147+65√5) = 0
無理数を右辺に移項
2x^6-12x^5+55x^4-150x^3+270x^2-287x+147
=(√5)(4x^5-21x^4+64x^3-116x^2+129x-65)
両辺を2乗して整理
x^12-12x^11+71x^10-270x^9+735x^8-1512x^7+2419x^6
-3042x^5+2920x^4-1960x^3+786x^2-132x+121=0
x-1=sとおくと
s^12+5s^10+15s^8+25s^6-50s^4+125=0
s^2=tとおくと
t^6+5t^5+15t^4+25t^3-50t^2+125=0
因数分解
(t^4+10t^2-25t+25)(t^2+5t+5)=0
t^2+5t+5=0の解は
t=-(5±√5)/2
なので
s=±i√(10±2√5)/2　（複号任意）
∴x=1±i√(10±2√5)/2　（複号任意）
この4つを元の方程式に代入して計算すると
x=1+i√(10+2√5)/2
が解であることがわかる。
x+y+z=√5+3+i√(10+2√5) から
y+z=(√5+3+i√(10+2√5))-(1+i√(10+2√5)/2)=√5+2+i√(10+2√5)/2
xyz=(-2√5-3+i√(265+118√5))/2 から
yz={(-2√5-3+i√(265+118√5))/2}/{1+i√(10+2√5)/2}={9+3√5+i√(130+58√5)}/4
よって残りの2解は
t^2 - (√5+2+i√(10+2√5)/2)t + (9+3√5+i√(130+58√5))/4=0
の解なので、二次方程式の解の公式により
t={√5+2+i√(5±2√5)}/2
従って元の方程式の解は
1+i√(10+2√5)/2 と {√5+2+i√(5±2√5)}/2
であることがわかる。

No.85163 - 2023/03/20(Mon) 06:02:37

☆ Re: 連立方程式 / らすかる

あと、適解が出ない3つのwに関しては
|w|がいずれも1以下であることから、
三次方程式を解くことなく不適とわかりますね。

No.85164 - 2023/03/20(Mon) 06:18:14

☆ Re: 連立方程式 / うさぎはどこへ逃げた？

ありがとうございました。
非常に参考になりました。

No.85171 - 2023/03/21(Tue) 13:59:20

★ 微分の表示方法について質問 / 高1　　いいだ

x＝f(t)で表される関数のtでの一階微分がdx/dtで表され、二階微分が((d^2)x)/dt^2
と表される理由を説明していただきたいです。
調べてみると、dが微分を表す演算子だという話があり、ここで言っている演算子という言葉の意味も説明してくださると嬉しいです。

No.85145 - 2023/03/16(Thu) 21:41:36

☆ Re: 微分の表示方法について質問 / ポテトフライ

> x＝f(t)で表される関数のtでの一階微分がdx/dtで表され、二階微分が((d^2)x)/dt^2
> と表される理由を説明していただきたいです。

理由と言われても「こう書くようにしましょう」と決められているので何とも言い難いです。
なので微分の記号d/dtを使わなくても（一応）問題ありません。ですが、数学の慣習として根付いていることなので従っておくのが無難でしょう。

あとはd^2/dt^2が二階微分になるのは一階導関数dx(t)/dtにもう1回微分する操作d/dtを考えて
(d/dt)(dx(t)/dt)= (d/dt) (d/dt)x(t)= (d/dt)^2x(t)=d^2x(t)/dt^2
という風になります。（と言っても形式的な話でしかないのでこれ以上説明のしようがないです）

> 調べてみると、dが微分を表す演算子だという話があり、ここで言っている演算子という言葉の意味も説明してくださると嬉しいです。

演算子というのは大学以上の数学で用いられる言葉で、高校ではあまり気にしなくてよいのではないかと思います。
一応説明をしておくと、d/dtという微分演算子は1回以上微分可能な関数x(t)に対して、その一階導関数dx(t)/dtという関数を対応させる規則のことです。（より一般には「写像」という概念になります。もしくは作用素という言葉で説明されることもあります。）

演算子は微分に限らず、足し算＋にも考えることができて
3＋4＝7
というのは3、4という二つの数字に対して7という和を与える演算子ととらえることもできます。

No.85147 - 2023/03/17(Fri) 17:41:34

☆ Re: 微分の表示方法について質問 / 高一　いいだ

返信ありがとうございます。
ここでのdx/dtや((d^2)x)/dt^2は分数式というより関数f(t)の導関数を表す形式的な記法だということですか。

No.85157 - 2023/03/18(Sat) 15:15:37

☆ Re: 微分の表示方法について質問 / ポテトフライ

> ここでのdx/dtや((d^2)x)/dt^2は分数式というより関数f(t)の導関数を表す形式的な記法だということですか。

そうです。ただ、分数式の記号を用いているのは形式的議論をするときに、分数のような振る舞いをするというのも理由にあると思います。

No.85158 - 2023/03/18(Sat) 20:46:49

★ 最大値 / me

このグラフの最大値と、x→∞の極値を教えてください。
出来れば解説付きでお願いします。

No.85144 - 2023/03/16(Thu) 21:14:33

☆ Re: 最大値 / らすかる

大きな勘違いをしていましたので全体を書き直します。

「x→∞の極値」がただの「極値」の意味ならば
f(x)=[√x]√x → x＞0,f(x)＞0
f(x)=x^(1/√x)
logf(x)=logx/√x
f'(x)/f(x)=(2-logx)√x/(2x^2)
f'(x)=x^(1/√x)・(2-logx)√x/2x^2
f'(x)は
2-logx＜0すなわちx＞e^2のとき減少
2-logx＞0すなわちx＜e^2のとき増加
よってf(x)はx=e^2で極大値f(e^2)=e^(2/e)をとる。
（最大値もこの極大値と同じ）

「x→∞の極値」が「x→∞の極限値」の意味ならば
f(x)=x^(1/√x)
logf(x)=logx/√x
g(x)=x^(1/3)-logxとおくと
g'(x)={x^(1/3)-3}/(3x)
g(x)はx^(1/3)-3＞0すなわちx＞27で増加
また
g(e^6)=e^2-log(e^6)＞2.7^2-6=1.29＞0
なのでx＞e^6のときg(x)＞0
従ってx＞e^6のときx^(1/3)＞logxなので0＜logx/x^(1/3)＜1
logf(x)=logx/√x={logx/x^(1/3)}・1/(x^(1/6))→0（x→∞）
となるので
lim[x→∞]f(x)=1

No.85146 - 2023/03/17(Fri) 00:28:00

☆ Re: 最大値 / IT

f(x)=x^(1/√x)　では？

No.85149 - 2023/03/18(Sat) 09:20:57

☆ Re: 最大値 / らすかる

あ、ほんとだ。大きな勘違いをしていましたね。
指摘されるまで気づきませんでした。ご指摘ありがとうございます。
新たに正しい回答を投稿しようかとも思いましたが、前の投稿量が大きく
そのまま残しておくのも問題があるかも知れませんので、前の投稿を修正しました。

No.85153 - 2023/03/18(Sat) 10:04:49

★ 中学2年　平行四辺形になるための条件について / うさぎ

塾でテストがあり、その時に友人が、「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」も平行四辺形になるんじゃないかと言っていたのですが、なりますか？
私はならない気がするのですがうまく友人に説明できなかったので教えてください。

また、教科書に載っている５つ（2組の辺が平行、等長、2組の角が等しい、1組の辺が平行で等長、対角線が互いの中点で交わる）
以外に平行四辺形になる条件は存在するんですか？
もしあったら理由もあわせて教えて欲しいです！気になります。

No.85129 - 2023/03/12(Sun) 21:06:08

☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / IT

> 「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」も平行四辺形になるんじゃないかと言っていたのですが、なりますか？
なるとは限りませんね。
凸四角形でない反例は、容易に示せます。後で図を挙げます。

No.85130 - 2023/03/12(Sun) 22:14:18

☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる

例えば凸四角形ABCDの4頂点を
A(0,0)
B(2√6-2√3+2√2-2,0)
C(2√6-2√3+3√2-2,√6)
D(2,2)
とすると、辺の長さは
AB=2√6-2√3+2√2-2≒2.26
BC=2√2
CD=-2√6+2√3-2√2+6≒1.74
DA=2√2
角度は
∠DAB=45°
∠ABC=120°
∠BCD=45°
∠CDA=150°
となりBC=DA、∠DAB=∠BCDなので
「1組の対角と対辺がそれぞれ等しい」を満たしていますが、
AB≠CDなので平行四辺形ではありません。

「平行四辺形になる条件」は考えればいろいろ作れると思いますが、
簡単なものでは例えば
「1組の対辺が平行で1組の対角が等しい」
とか
「隣接角の和がすべて180°」
とか。

No.85131 - 2023/03/12(Sun) 22:59:03

☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / IT

らすかるさんが　凸四角形の反例を挙げておられますので
必要ないかもしれませんが、下図の平行四辺形ABCDについて
Aを中心に△AEDを回転してEをCに動かすと反例になります。

No.85132 - 2023/03/12(Sun) 23:34:36

☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / ポテトフライ

> また、教科書に載っている５つ（2組の辺が平行、等長、2組の角が等しい、1組の辺が平行で等長、対角線が互いの中点で交わる）
> 以外に平行四辺形になる条件は存在するんですか？

あります。が、実用性を考慮すると微妙かもしれません。むしろ「どんな条件を満たせば平行四辺形になるか？」ということを考えることの方が重要な気がします。

以下、私の考えとスレ主さんの考察の助けになる(かもしれない)話を書きます。

中2の教科書にある平行四辺形の成立条件5つのうち
【1組の対辺が平行で長さが等しい】
というのは極めて異質である。なぜなら、他の4条件は全て「2組の〇〇が等しい」という条件なのに対し、これだけは「1組の」となっている。なんとなく仲間はずれのような印象を受ける。
そうすると平行四辺形に出る様々な情報の組み合わせを入れ替えるとどうなるだろうか？要は「1組の対辺が平行」「1組の対辺が等しい」「1組の対角が等しい」「対角線が中点で交わる」という情報を組み合わせてみてどうなるか？ということで、例えば「1組の対辺の長さが等しい、かつ1組の対角の大きさが等しい四角形は平行四辺形となるか？」「四角形の対角線の交点が1つは中点であり(もう1つは中点かどうかわからない)、かつ1組の対辺が平行のとき平行四辺形となるか？」など。条件の選び方で結構な数が出てきそうですね(これは場合の数の話でもありますね)

No.85133 - 2023/03/13(Mon) 02:19:07

☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる

私が作った図形は、ITさんの図で
AからBCの延長上に下した垂線の足をFとする
FG=CFとなるようにBFの延長上に点Gをとる
（これで△ACGはAC=AGの二等辺三角形）
そしてAを中心に△ACDを回転してCをGに動かす
のようにして作られるものです。
ITさんの例は二等辺三角形の削除、私の例は二等辺三角形の追加ということですね。

No.85134 - 2023/03/13(Mon) 16:27:08

☆ Re: 中学2年　平行四辺形になるための条件について / らすかる

頂点の座標と辺の長さが整数であるものも検討してみました。
四角形ABCDの頂点の座標を
A(0,0), B(15625,0), C(17047,18696), D(11250,15000)
とすると
AB=15625, BC=18750, CD=6875, DA=18750
なのでBC=DA、また
∠A=∠C≒53.13°, ∠B≒94.35°, ∠D≒159.39°
(cos∠A=cos∠C=3/5, cos∠B=-237/3125, cos∠D=-117/125)
なので∠A=∠Cとなります。

No.85138 - 2023/03/15(Wed) 01:09:14

★ 交代式の因数分解 / I

(2)の解き方をできるだけ詳しく教えて下さい

No.85120 - 2023/03/10(Fri) 22:53:16

☆ Re: 交代式の因数分解 / 吉田　

(2)対称式なのでどの文字について整理してもよいです。aで整理すると,
= a(b-c)^3+b(c^3-3ac^2+3a^2c-a^3)+c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)
= (c-b)a^3 + (3bc-3bc)a^2 + (-3bc^2+3b^2c+(b-c)^3)a+bc^3-cb^3
=(c-b)a^3+(b-c)((b-c)^2+3bc)a-bc(b+c)(b-c)
=(b-c)(-a^3+(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c))
-a^3+(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)は, a = -(b+c)のとき0になるので, 因数定理より, (b+c)を因数にもちます。よって,
=(b-c)(a+b+c)(-a^2+(a+b)a-bc)
=-(b-c)(a+b+c)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

No.85123 - 2023/03/11(Sat) 04:59:11

☆ Re: 交代式の因数分解 / procrastination

ありがとうございます。
ちなみにa(b-c)^3が(c-b)a^3になる過程というのはどういうものでしょうか。

No.85124 - 2023/03/11(Sat) 10:52:25

☆ Re: 交代式の因数分解 / らすかる

a(b-c)^3が(c-b)a^3になったわけではありません。
式の中にa^3の項が-ba^3とca^3の二つありますので
それをまとめて(c-b)a^3としたものです。

No.85125 - 2023/03/11(Sat) 15:28:45

☆ Re: 交代式の因数分解 / procrastination

a(b-c)^3+b(c^3-3ac^2+3a^2c-a^3)+c(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)
　　　　　　　　　　　　↓
(c-b)a^3 + (3bc-3bc)a^2 + (-3bc^2+3b^2c+(b-c)^3)a+bc^3-cb^3
になる過程で、どこがどうなっているのか分かりません。
度々申し訳ないのですがご教授お願い致します。

No.85126 - 2023/03/11(Sat) 20:29:00

☆ Re: 交代式の因数分解 / らすかる

全部展開して、「a^3が掛かっている項」「a^2が掛かっている項」「aが掛かっている項」「aが掛かっていない項」の順に並べ、aの次数別に係数をカッコでくくってみてください。
もし上記でわからなければ、何がわからないかを書いて下さい。

No.85127 - 2023/03/11(Sat) 22:59:46

☆ Re: 交代式の因数分解 / procrastination

そういうことでしたか。ありがとうございます。

No.85128 - 2023/03/12(Sun) 12:53:31

★ 関数の問題？ / 学力不足　中３

どの様にして解いたらいいのか解りません。詳しい解説を、よろしくお願いします。

No.85115 - 2023/03/08(Wed) 20:10:41

☆ Re: 関数の問題？ / 学力不足　中３

問題の続きです。

No.85116 - 2023/03/08(Wed) 20:11:56

☆ Re: 関数の問題？ / 学力不足　中３

解答です。

No.85117 - 2023/03/08(Wed) 20:13:02

☆ Re: 関数の問題？ / IT

ポイントのメモです。

グラフを原点から見ていくと
x=0から60まで一定の割合でyが増加　→　Aが定速で入っていった。
x=60,y=2400でyの増加が停止　→　Aが入り切った。Aの面積は（　　）cｍ^2
x=60から100までyは一定　
x=100から145まで一定の割合でyが増加　→　Bが定速で入っていった。
x=145,y=3750でyの増加が停止　→　Bが入り切った。A+Bの面積は（　　）cｍ^2
　よってBの面積は（　　）cｍ^2

x=145から150までyは一定　→　ABともに全体が入ったまま
x=150でy が減少 →　Aが出始めた。検査機の長さは（　　）cm

ここまでで（１）の答えが出せます。

No.85118 - 2023/03/08(Wed) 22:50:17

☆ Re: 関数の問題？ / 学力不足　中３

何となくわかりました。ポイントありがとうございました。

No.85119 - 2023/03/10(Fri) 16:40:33

★ 数的推理旅人算 / あ

9分ごとに追い越されるのは自転車がどの位置に居るかで変わらないのでしょうか？7.2分ごとに追い抜かされるのも駅に居ないと7.2分間隔で追い抜かされるのは不可能では無いですか？この問題は止まっていたら7.2分なのだからこの電車は7.2分間隔で発射しているということらしいのですが、どの位置で止まっているかによってこれも変わるんじゃないでしようか？問題文が理解出来ずに答えを見ても状況を把握出来ないです。

No.85101 - 2023/03/05(Sun) 16:56:05

☆ Re: 数的推理旅人算 / あ

答えです

No.85102 - 2023/03/05(Sun) 16:57:17

☆ Re: 数的推理旅人算 / あ

答え二枚目です

No.85103 - 2023/03/05(Sun) 16:57:49

☆ Re: 数的推理旅人算 / ヨッシー

なぜ「駅に居ない」といけないと思ったかの誤解を解くのが先決のような気がします。
7.2分間隔で発車する列車を、線路沿いの道路に立ち止まって
眺めてたら、列車は 7.2分ごとに目の前を通過するとは思いませんか？

No.85104 - 2023/03/05(Sun) 17:56:04

☆ Re: 数的推理旅人算 / あ

正にその誤解を解きたいんです！自分自身思考ロックされてるのは分かるんですが、想像が上手くできないんです。7.2分間隔に発車するというのは7.2分間隔で駅から発車するということで駅から例えば1800m離れた距離で止まっていたら9分かかる訳ではないんですか？上手く自分の感覚を伝えれず申し訳ないです

No.85105 - 2023/03/05(Sun) 18:13:12

☆ Re: 数的推理旅人算 / あ

改めて考え直しましたが1本目の電車が例え9分かかったとしても2本目の電車は7.2分後に来るから7.2分間隔がずっと続くということでしょうか？

No.85106 - 2023/03/05(Sun) 18:17:05

☆ Re: 数的推理旅人算 / ヨッシー

自転車の人が止まっているときは　7.2分ごとに目の前を通過。
これは、１台目と２台目、２台目と３台目すべて同じです。

自転車の人が電車と同じ方向に（電車から逃げる方向に）走っているときは１台目が追い抜いた位置より、自転車は進んでいるので、
２台目が自転車に追いつくのは7.2分よりも少しかかって９分です。
これも、１台目と２台目、２台目と３台目すべて同じです。

No.85107 - 2023/03/05(Sun) 18:49:08

☆ Re: 数的推理旅人算 / ヨッシー

イメージを作ってみました。

止まっている人（黒丸）も、動いている人（青丸）も、電車（四角）に、
それぞれ同じ時間ごとに追い抜かれ、青丸の方がその間隔が
長いことがわかるでしょう。
これが、7.2分と9分の違いです。

No.85108 - 2023/03/05(Sun) 19:53:20

★ (No Subject) / あいうおえ

どうしてこの３組だけになるのか解説して頂いてもよろしいでしょうか。

No.85088 - 2023/03/03(Fri) 18:58:46

☆ Re: / 吉田　

まずmod2で考えると,
p^2+q^2 = r^3を満たす(p ,q ,r) = (0, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 0), (1, 1, 0) の四通りです。
(i)r≡0(mod2)のとき
rは素数より, r=2のみ条件を満たします。ここからp, qを求めると(p ,q ,r) = (2, 2, 2)
(ii)r≡1(mod2)のとき
p, qのうちいずれかが偶数となるので, 式の対称性を利用しp > qの条件を設定して q = 2とおけば
p^2 + 4 = r^3
を解けばよいことになります。さらにこれを以下のように変形します。
(p+2i)(p-2i) = r^3
ここから, ガウス整数環と呼ばれるものを考えていきます。
なんとなく知りたい場合は-----まで飛ばしてください。
--------------------------------------------------
ガウス整数 - 複素数a+biのうち, aとbがともに整数であるもの。
ガウス整数α, βに対して, α=βγを満たすガウス整数γが存在するとき, "αはβの倍数"であり,"βはαの約数"である。
例: 2 = (1+i)(1-i)より 2の約数は
±1, ±2, ±i, ±2i, ±(1 + i), ±(1 － i)

1の約数を"単数"といい, ±1, ±iである。
二つのガウス整数が"同伴である"とは, その比が単数であるガウス整数のことです。
例: 3+2i と -2+3i は同伴(単数iをかけたもの同士)

複数のガウス整数の共通のガウス整数を共約数と言い、公約数が単数のみの場合、"互いに素"であるという。
-----------------------------------------

p+2iとp-2iは互いに素
　- pは奇数なので, 2とは共通の約数を1以外に持ちません。
p+2iとp-2iが共通の約数dを持つとすると, 和と差もdの倍数なので 2p と4i もdの倍数になり, pと2は互いに素なので d = 2となりますが, (a+2i)(a-2i)は4の倍数となり, rは奇数なので矛盾します。よってp+2iとp-2iは互いに素です。

(p+2i)と(p-2i)は互いに素であり, それらの積が立方数なので両方とも立方数になります。(p+2i)が平方数の場合を考えると, 整数n, mを用いて
(p+2i) = (n+mi)^3 = n^3 - 3nm^2 + (3n^2m - m^3)i
と表せます。よって
n^3 - 3nm^2 = p
3n^2m - m^3 = 2
が導けます。
m(3n^2-m^2)=2
からm = ±2, ±1を得られ,
pが素数であることに注目すると p = 5がただ一つの解となるので (p, q, r) = (2, 5, 11) , (5, 2, 11)
よって,
(p, q, r) = (2, 2, 2) , (2, 5, 11) , (5, 2, 11)

となります。

No.85094 - 2023/03/04(Sat) 06:25:30

☆ Re: / あいうおえ

なるほど。よく分かりました。ありがとうございます。
ところでガウス整数というのは高校で習うのですか？それとも大学ですか？

No.85095 - 2023/03/04(Sat) 08:25:38

☆ Re: / 吉田　

大学数学だと思います。私もさっき知りました。
参考までに
https://manabitimes.jp/math/1347
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0
https://math.stackexchange.com/questions/381720/find-all-integer-solutions-to-x24-y3
https://math.stackexchange.com/questions/263622/integers-that-satisfy-a3-b2-4?noredirect=1&lq=1

No.85096 - 2023/03/04(Sat) 08:30:05

★ 因数分解 / 大西

x^10+x^5+1を因数分解せよ。

f(x)=x^10+x^5+1とおく。

1の3乗根をωとおくと、ω^3=1,ω^2+ω+1=0

f(ω)=ω^10+ω^5+1=ω+ω^2+1=0

f(ω^2)=ω^20+ω^10+1=ω^2+ω+1=0

よりf(x)は(x-ω)(x-ω^2)=x^2+x+1の因数を持つ

f(x)=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)

だと思うのですが、ここで、x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1がこれ以上因数分解できないことを示したいのですが、

示し方が分かりません。どのようにして示せば良いでしょうか？

No.85078 - 2023/03/03(Fri) 12:58:45

☆ Re: 因数分解 / らすかる

(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)=x^10+x^5+1=(x^5+1/2)^2+3/4＞0 なので
x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 の因数は任意のxに対して正の値をとる。
（ただし因数の最高次の係数は正とする。）
よって奇数次の因数は持たない。
また、因数の定数項が-1になることはなく、必ず1。
g(x)=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 として
g(x)=h(x)i(x)（h(x)は2次式）と因数分解できたとすると、
g(-1)=g(0)=g(1)=1 なので
h(-1)=h(0)=h(1)=1 となるが
h(x)は2次式なので矛盾。
従って2次の因数は持たない。
g(x)=h(x)i(x)（h(x)とi(x)は4次式）と因数分解できたとすると、
g(-1)=g(0)=g(1)=1 なので
h(-1)=h(0)=h(1)=1, i(-1)=i(0)=i(1)=1
また g(-2)=331, g(2)=151, g(3)=4561 はいずれも素数なので
h(-2)=1 または i(-2)=1
h(2)=1 または i(2)=1
h(3)=1 または i(3)=1
従って h(-2),h(2),h(3) のうち2つ以上が1であるか、
または i(-2),i(2),i(3) のうち2つ以上が1である。
すると h(-2),h(-1),h(0),h(1),h(2),h(3) のうち5つ以上が1であるか、
または i(-2),i(-1),i(0),i(1),i(2),i(3) のうち5つ以上が1となるが、
h(x)とi(x)は4次式なのでこれは矛盾。
よって x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 は因数分解できない。

No.85086 - 2023/03/03(Fri) 18:31:54

☆ Re: 因数分解 / 大西

らすかるさんご回答ありがとうございます。
ほぼ理解できたのですが、1点だけ、

＞g(x)=h(x)i(x)（h(x)は2次式）と因数分解できたとすると、
＞g(-1)=g(0)=g(1)=1 なので
＞h(-1)=h(0)=h(1)=1 となるが

g(x)が任意のxで正になることは理解できたのですが、
g(x)=h(x)i(x)とすると、
g(x)＞0のときh(x)＜0かつi(x)＜0
つまりある整数aについて、h(a)=-1かつi(a)=-1となることは考えられないのでしょうか？

No.85090 - 2023/03/03(Fri) 20:00:29

☆ Re: 因数分解 / らすかる

h(x),i(x)も「最高次の係数は正」と考えていますので、
もしあるaに対してh(a)=-1になるとしたら
（lim[x→±∞]h(x)=+∞なので）h(x)=0が解を持ってしまい、
f(x)=0が実数解を持たないことと矛盾します。

No.85092 - 2023/03/03(Fri) 23:46:46

☆ Re: 因数分解 / 大西

らすかるさんご回答ありがとうございます。

最高次の係数が正であることを失念しておりました。
すべて理解できました。

ありがとうございました。

No.85093 - 2023/03/03(Fri) 23:52:05

★ 定積分と体積 / 優子

Oを原点とする以下の点を頂点とする立方体がある。
A(1,1,1)、B(-1,1,1)、C(-1,-,1,1)、D(1,-1,1)、E(1,1,-1)、F(-1,1,-1)、G(-1,-1,-1)、H(1,-1,1)
この立方体に体積は8であるが、これを次の方法で求めなさい。

ADの中点をMとする。線分AM上の点I(1,tanθ,1)と原点を通る平面πの方程式はy=tanθxであるが、πと立方体の共通部分は長方形で、その面積は2/cosθである。積分変数をθとして、積分により立方体ABCD-EFGHの体積を求めなさい。

No.85073 - 2023/03/03(Fri) 00:06:40

☆ Re: 定積分と体積 / らすかる

dθの変化に対してz=tで切った図形の断面積はdθ/cosθなので
4∫[0～π/4](2/cosθ)(dθ/cosθ)
=8∫[0～π/4](1/(cosθ)^2)dθ
=8[tanθ][0～π/4]
=8

No.85074 - 2023/03/03(Fri) 04:01:46

☆ Re: 定積分と体積 / 優子

ご解説ありがとうございます。

『dθの変化に対してz=tで切った図形の断面積はdθ/cosθなので』

ここが全然理解できないです。最初自分で計算した時は、

4∫[0～π/4](2/cosθ)dθ

を計算して、それで8にならずに困っていたんですが、

『dθ/cosθ』

は一体、何を意味しているのでしょうか。

『積分変数をθとして、』

この指示は、2/cosθをθで積分しなさいってことだと思ったのですが、dθではなぜだめなんでしょうか。

No.85077 - 2023/03/03(Fri) 12:39:26

☆ Re: 定積分と体積 / らすかる

説明に間違いがありました。まず
「dθの変化に対してz=tで切った図形の断面積はdθ/cosθなので」
は
「dθの変化に対してz=tで切った図形のx=1付近での幅はdθ/cosθなので」
に訂正します。
で、2/cosθを直接積分して出るものは、
「面積が2/cosθの長方形をその長方形と垂直の方向に移動した場合の体積」
です。移動方向が斜めだったり、今回のように回転する場合は
直接積分しても求まりません。
面積が2/cosθである長方形を、その長方形と垂直の方向にdθ移動した場合
移動前と移動後の長方形に挟まれる部分の体積は(2/cosθ)dθですね。
ですから垂直方向に移動する場合は∫(2/cosθ)dθでよいわけです。
しかし今回の問題では、dθ動いたときに出来る図形は三角柱であって
長方形になりませんので(2/cosθ)dθでは求まりません。
z=t（tはいくつでも同じ）で切った図形で考えると、「×」を横に細長く
伸ばしたような図形になり、この高さがdθ/cosθなので
∫(2/cosθ)(dθ/cosθ)という式になるということです。
図を描いて考えてみて下さい。

No.85081 - 2023/03/03(Fri) 16:03:25

☆ Re: 定積分と体積 / 優子

大変お詳しいご解説ありがとうございます。

『面積が2/cosθである長方形を、その長方形と垂直の方向にdθ移動した場合移動前と移動後の長方形に挟まれる部分の体積は(2/cosθ)dθですね。』

何の事だろうと思い、教科書を確認しましたら、全然勘違いしていた感じで、

dV=S(x)dx

という記述は、断面積S(x)に高さdxをかけて、体積にしているということで、dxは積分する文字を指定しているだけではないという理解でよろしいでしょうか。

xによって変化するはずのS(x)に単純にdxをかけたものをなんで体積と考えていいのか(誤差が出ません？)、新しい疑問が出てきてしまいました…

ご解説をもとに、dθ動いたときに出来る図形は三角柱を考え直してみました。

z=1上の底面積ですが、O'(0,0,1)、M(1,0,1)、I(1,tanθ,1)に対して、dθ増加した時のIの移る点をJとしますと、J(1,tan(θ+dθ),1)ですので、

三角形O'JI=三角形O'JM-三角形O'IM

=(tan(θ+dθ)-tanθ)/2

となり、dθの変化に対する三角柱(2個分)の体積は、

dV=tan(θ+dθ)-tanθ

となってしまい、ご解説中の、

『(2/cosθ)(dθ/cosθ)』

から遠ざかってしまいました。今度は何を勘違いしているのでしょうか。

『「×」を横に細長く伸ばしたような図形になり、この高さがdθ/cosθなので』

ここが読み取れないです。×になるのはわかりますが、

『この高さ』

のこのは何を指しているのでしょうか。

『dθ/cosθ』

これはどのように求めるのでしょうか。

たくさん質問してしまい、すみません…

No.85082 - 2023/03/03(Fri) 17:12:51

☆ Re: 定積分と体積 / らすかる

dV=tan(θ+dθ)-tanθは(2/cosθ)(dθ/cosθ)から遠ざかっているわけではなく、
求め方が異なるだけです。
ただしz方向の長さが2ですから
dV=2{tan(θ+dθ)-tanθ}　（三角柱2個分）
となります。
(tanx)'=1/(cosx)^2ですから
dV/dθ=2{tan(θ+dθ)-tanθ}/dθ=2/(cosθ)^2
よってdV=2dθ/(cosθ)^2
となり、(2/cosθ)(dθ/cosθ)と同じ結果になります。
しかし、この求め方だと問題の
「πと立方体の共通部分は長方形で、その面積は2/cosθである。」
を全く無視してしまうことになりますので、あまりよくないですね。

『「×」を横に細長く伸ばしたような図形になり、この高さがdθ/cosθなので』
「この高さ」は「×」を横に細長くした図形を考えたときの「厚さ」、つまり
I(1,tanθ,1)を通りO'Iに垂直な直線とOJの交点をPとしたときのIPの長さです。
O'Iの長さが1/cosθですから、IP=dθ/cosθとなりますね。

> xによって変化するはずのS(x)に単純にdxをかけたものをなんで体積と考えて
> いいのか(誤差が出ません？)、新しい疑問が出てきてしまいました…
dx＞0であればもちろん誤差がありますが、積分は
dx→0の極限を考えることになりますので、誤差はなくなります。

No.85085 - 2023/03/03(Fri) 18:13:26

☆ Re: 定積分と体積 / 優子

最後までご解説下さり、大変ありがとうございました。
とても勉強になりました。

No.85091 - 2023/03/03(Fri) 22:28:43