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★ (No Subject) / 桜餅
直径が1の円Aと直径が2の円Bがあり円Aを円Bの内側に沿って滑らないように回転させる。この状態で円Bと接する円Aの点をPとしこの状態から円Aが回転し始め一周して元の位置に戻るまでに点Pが描く軌跡はどのようになるか？

どのように考えればよいでしょうか。解説よろしくお願いします
No.85235 - 2023/04/09(Sun) 07:46:37
☆ Re: / X
xy平面上に原点を中心として円Bを取り、
点Pの初期位置Pが(2,0)となるように円Aを取ります。
つまり、円Aの中心の初期位置は(1,0)ですね。

今、円Aの中心をAとして、動径OAの極角をθ
(0≦θ＜2π)
とすると
↑OA=(cosθ,sinθ)
一方、このときの円A,Bの接点をP'とすると、
ここまで円A,Bが接してきた弧の長さについて
1・∠PAP'=2θ
∴∠PAP'=2θ
となるので
↑AP=(cos(θ-2θ),sin(θ-2θ)) (点Pは時計回りに回転することに注意)
=(cosθ,-sinθ)
∴↑OP=↑OA+↑AP=(2cosθ,0)

ということで求める軌跡は
点Pの初期位置を端点とする円Bの直径
となります。
No.85237 - 2023/04/09(Sun) 10:47:32
☆ Re: / X
参考として、以下のキーワードをネット検索してみて下さい。
サイクロイド　内サイクロイド
No.85238 - 2023/04/09(Sun) 10:48:33
☆ Re: / ヨッシー
イメージはこちら

ただし、その先の先にある解説は、リンクが切れています。
No.85243 - 2023/04/10(Mon) 06:12:16
★ (No Subject) / ああ
この問題なんですけど
x=3tanθとおいて
x^/(x^2+9)=1-9/(x^2+9)=1-1/(tan^2θ+1)=1-cos^2θ
って感じで計算するのは理解できました。
しかし積分区間でx=√3をθに直すのができなくて困ってます。教えてください
No.85232 - 2023/04/08(Sat) 21:12:07
☆ Re: / X
x=√3より
3tanθ=√3
これより
tanθ=1/√3 (A)
∴例えば
x=0にθ=0
を対応させるのであれば
(A)から
θ=π/6
となります。
No.85233 - 2023/04/08(Sat) 21:29:35
★ 高校数学　数2 微分法 / 山田山
(ア)の範囲について　0<√a≦1ではなく0<√a<1となるのはなぜでしょうか。
No.85230 - 2023/04/08(Sat) 16:35:54
☆ Re: 高校数学　数2 微分法 / IT
たしかに(ア)の範囲について　0<√a≦1　としても良いと思います。
その後の論述からして、0<√a≦1　の方が自然だとおもいます。（どちらでも間違いではないですが）

連続関数についてのこの種の問題では、境界の値はどちら側に入れても良い場合が多いです。
No.85231 - 2023/04/08(Sat) 19:55:29
☆ Re: 高校数学　数2 微分法 / 山田山
回答ありがとうございます。
No.85234 - 2023/04/09(Sun) 01:14:47
★ 高校数学　極限 / ともや
(1)1
(2)cos1、sin1
解答はあるんですけど解き方が全くわかりません
No.85226 - 2023/04/03(Mon) 20:36:58
☆ Re: 高校数学　極限 / X
(1)
(与式)=lim[n→∞](1+1/n^2)^(n/2)
=lim[n→∞]{(1+1/n^2)^(n^2)}^{1/(2n)}
=e^0
=1

(2)
(1+i/n)^nの偏角をθ[n]とすると
ド=モアブルの定理により
θ[n]=nα[n] (A)
(但し、0＜α[n]＜π/2,tanα[n]=1/n (B))
なるα[n]が存在し、また、
a[n]={|1+i/n|^n}cosθ[n] (C)
b[n]={|1+i/n|^n}sinθ[n] (D)
ここで
0＜x＜π/2において、sinx＜x＜tanx(証明は省略します)
∴(B)より
sinα[n]＜α[n]＜tanα[n]
1/√(1+n^2)＜α[n]＜1/n (∵)1+1/(tanx)^2=1/(sinx)^2を使った。
これと(A)により
n/√(1+n^2)＜θ[n]＜1
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]θ[n]=1 (E)
(C)(D)(E)と(1)の結果により
lim[n→∞]a[n]=cos1
lim[n→∞]b[n]=sin1
No.85228 - 2023/04/04(Tue) 00:46:46
☆ Re: 高校数学　極限 / ともや
解答ありがとうございます。
No.85229 - 2023/04/04(Tue) 14:41:10
★ 組合せ / ほの
自然数Zを素因数分解したときに、素因数である2の指数がmである時、Zは2をm個持つということにする。

n＞rを満たす整数に対して、4nC4rとnCrの持つ2の個数は必ず等しくなると言えるか。言えるのならそれを示し、言えないのなら反例を示しなさい。
No.85224 - 2023/04/03(Mon) 12:41:03
☆ Re: 組合せ / らすかる
(4n)C(4r)÷nCr
=
{{4n・(4n-1)・(4n-2)・…・(4n-4r+1)}/{4r・(4r-1)・(4r-2)・…・1}}
÷
{{n・(n-1)・(n-2)・…・(n-r+1)}/{r・(r-1)・(r-2)・…・1}}
=
{{4n・(4n-1)・(4n-2)・…・(4n-4r+1)}/{n・(n-1)・(n-2)・…・(n-r+1)}}
÷
{{4r・(4r-1)・(4r-2)・…・1}/{r・(r-1)・(r-2)・…・1}}
=
{4^r・(4n-1)・(4n-2)・(4n-3)・(4n-5)・(4n-6)・…・(4n-4r+1)}
÷
{4^r・(4r-1)・(4r-2)・(4r-3)・(4r-5)・(4r-6)・…・1}}
=
{(4n-1)・(4n-2)・(4n-3)・(4n-5)・(4n-6)・…・(4n-4r+1)}
÷
{(4r-1)・(4r-2)・(4r-3)・(4r-5)・(4r-6)・…・1}}
=
{{(4n-1)・(4n-3)・(4n-5)・…・(4n-4r+1)}・{2^r・(2n-1)・(2n-3)・(2n-5)・…・(2n-2r+1)}}
÷
{{(4r-1)・(4r-3)・(4r-5)・…・1}・{2^r・(2r-1)・(2r-3)・(2r-5)・…・1}}
=
{{(4n-1)・(4n-3)・(4n-5)・…・(4n-4r+1)}・{(2n-1)・(2n-3)・(2n-5)・…・(2n-2r+1)}}
÷
{{(4r-1)・(4r-3)・(4r-5)・…・1}・{(2r-1)・(2r-3)・(2r-5)・…・1}}

よって(4n)C(4r)÷nCrを約分すると分子も分母も奇数になるので、
(4n)C(4r)とnCrの2の個数は同じ。
No.85225 - 2023/04/03(Mon) 18:07:58
☆ Re: 組合せ / ほの
ありがとうございました。^^
No.85227 - 2023/04/03(Mon) 22:09:05
★ 二次関数 / ハナミズキ
高校1年生の二次関数の問題です。
放物線C(y=x^2-4x+11)と直線l(y=ax+2)が異なる2つの共有点を持つ時を考えます。その時の共有点をP, Qとし、原点をOとするときに、三角形OPQの面積が8となるaを教えていただきたいです。
解の公式を利用してPQそれぞれの座標を求め、それをS=1/2|x1y2-x2y1|に代入して求めようとしましたが、あまりに式が複雑でこの方法は現実的ではないと考えています。
No.85218 - 2023/04/02(Sun) 18:19:06
☆ Re: 二次関数 / IT
解の公式は使わず
２解をα、βとしたままで、P,Qそれぞれの座標をS=(1/2)(x1y2-x2y1)に代入するとどうですか？
なお、P,Qは直線y=ax+2 上の点であることからy座標がα、βで表せます。
No.85220 - 2023/04/02(Sun) 19:01:19
☆ Re: 二次関数 / ハナミズキ
P(α, aα+2)、Q(β, aβ+2)と置いて
8=1/2|α(aβ+2)-β(aα+2)|
=1/2|aαβ+2α-aαβ-2β|
=1/2|2α-2β|
となり、求めたいはずのaが消去されてしまいます。
No.85221 - 2023/04/02(Sun) 19:36:21
☆ Re: 二次関数 / IT
|α-β|＝8 で解の公式を持ち出しても良いですし、

α+β＝a+4、|α-β|＝8、αβ＝9を使ってもaが求まると思います。
No.85222 - 2023/04/02(Sun) 19:53:55
☆ Re: 二次関数 / ハナミズキ
解けましたありがとうございます！
No.85223 - 2023/04/02(Sun) 20:52:51
★ (No Subject) / すすき
ここまでは進みました
No.85217 - 2023/04/02(Sun) 17:52:33
★ (No Subject) / すすき
この和がわかりません
よろしくお願いします
No.85215 - 2023/04/02(Sun) 17:49:36
☆ Re: / すすき
この先で詰まっています
No.85216 - 2023/04/02(Sun) 17:50:47
☆ Re: / すすき
解決しました
No.85219 - 2023/04/02(Sun) 18:22:00
★ (No Subject) / satoru
この問題の解き方を教えてください。なんかベクトルとか複素数がごっちゃになってく分からなくなってしまいました。
No.85213 - 2023/04/02(Sun) 12:42:59
☆ Re: / IT
α=1 でいくつか除外し、残りから探す。

(γ-β)/(α-β)=(α-γ)/(β-γ) と変形して
両辺の絶対値と偏角を比較して
BC/BA=CA/CB,∠ABC＝∠BCAなどから条件を満たす図形を探すとどうですか？
　（なす角の向きも注意）
No.85214 - 2023/04/02(Sun) 14:19:29
★ 確率 / 大西
1,2,3,4,…,nまでの数字が1個だけ書かれたn種類のカードがあります。
このn種類のカードから無作為に4枚同時に取って、大きい方から順にa,b,c,dとします。

（1）n=100のとき、10≦(a+d)/(b+c)＜100を満たす確率を求めよ。
（2）n=1000のとき、10≦(a+d)/(b+c)＜100を満たす確率を求めよ。

（1）は、
b+c=kとおくと、
b+c≧3+2=5
b+c≧d+2+d+1=2d+3よりd≦(k-3)/2となって、
(a+d)/(b+c)≦(100+(k-3)/2)/k＜10/k+1/2よりk＞11のとき(a+d)/(b+c)の値が10未満となってしまうので
5≦k≦10の範囲で考えれば良い。

10k≦a+d＜100kなので
k=5のとき(b,c,d)=(3,2,1)でこのとき49≦a≦100よりaが52個
：
k=10のとき(b,c,d)=(8,2,1),(7,3,1),(7,3,2),(6,4,1),(6,4,2),(6,4,3)でこのときaの個数はそれぞれ
2,2,3,2,3,4で合計16個
全部足し合わせて
52+42+97+67+76+16=350
よって、求める確率は350/(100C4)＝2/22407だと思うのですが、合っていますでしょうか？

（2）は（1）と同じようにすると5≦k≦105までやらないといけないので数え上げではなくて他に求め方があると思うのですがわかりません。教えてください。
No.85208 - 2023/04/01(Sat) 07:58:51
☆ Re: 確率 / らすかる
(1)は合っています。
(2)はとりあえず求められましたが、この方法だと手計算では結構面倒です。

(1)
Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[d=1〜c-1]Σ[a=10b+10c-d〜100]1
=Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[d=1〜c-1]100-10b-10c+d+1
=Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c](c-1)(100-10b-10c+1)+c(c-1)/2
=Σ[c=2〜4]Σ[b=c+1〜10-c](c-1)(202-19c)/2-10(c-1)b
=Σ[c=2〜4](10-2c)(c-1)(202-19c)/2-10(c-1){(10-c)(10-c+1)/2-c(c+1)/2}
=Σ[c=2〜4]19c^3-206c^2+647c-460
=19(8+27+64)-206(4+9+16)+647(2+3+4)-460×3
=350

(2)
Σ[c=2〜52]Σ[b=c+1〜105-c]Σ[d=1〜c-1]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
とすると100b+100c-d-1＞1000とか10b+10c-d＞1000のときにうまくないので
Σの順番を入れ替えて
Σ[d=1〜51]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜100+[d/10]-c]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
これで10b+10c-d≦1000は満たしているが、[d/10]があって計算しづらいのと
まだ100b+100c-d-1＞1000の場合が残っていてうまくないのでc,dで場合分けして
Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
+Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=11-c〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=5〜10]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=11〜52]Σ[d=1〜9]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=10〜19]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜101-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=20〜29]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜102-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=30〜39]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜103-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=40〜49]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜104-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=50〜51]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜105-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
d=10〜49はΣでまとめられるので
Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜10-c]Σ[a=10b+10c-d〜100b+100c-d-1]1
+Σ[c=2〜4]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=11-c〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=5〜10]Σ[d=1〜c-1]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[c=11〜52]Σ[d=1〜9]Σ[b=c+1〜100-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[t=1〜4]Σ[d=10t〜10t+9]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜100+t-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
+Σ[d=50〜51]Σ[c=d+1〜52]Σ[b=c+1〜105-c]Σ[a=10b+10c-d〜1000]1
=15300+241740+1381210+3711240+4612925+36
=9962451

※いずれも求めたのは場合の数なので、全体で割る必要があります。
No.85209 - 2023/04/01(Sat) 10:46:30
☆ Re: 確率 / 大西
らすかるさん、ご回答ありがとうございます。

（２）はΣでやろうとも思ったのですが、a≦1000以下の部分の計算が難しくて挫折してしまいました。

ありがとうございます。
No.85211 - 2023/04/01(Sat) 11:17:21
★ (No Subject) / ぐっち
すいません。以下のように考えてみたのですが、合っていますでしょうか。
n個の区間を
a[i]≦x[i]≦b[i]（a[i]≦a[j](i<j)）(i=1,2,…,n)
とする。いま、a[1]≦x[1]≦b[1]は他のどの区間a[i]≦x[i]≦b[i]に対しても交わりが空ではないので
a[i]≦x≦b[1]を交わりにもつ。
Max[a[i]]=Max{a[2],…,a[n]}と表すことにすると
Max[a[i]]≦x≦b[1]
は全部との交わりを表し、空でない。
No.85203 - 2023/03/31(Fri) 22:16:04
☆ Re: / ぐっち
失礼しました。
No.85199
の質問をしたものです。
No.85204 - 2023/03/31(Fri) 22:17:39
☆ Re: / ぐっち
以下のような感じ訂正しました。あってますか。
n個の区間を
a[i]≦x[i]≦b[i]（a[i]≦a[j](i<j)）(i=1,2,…,n)
とする。いま、a[1]≦x[1]≦b[1]は他のどの区間a[i]≦x[i]≦b[i]に対しても交わりが空ではないので
a[i]≦x≦Cを交わりにもつ。
Max[a[i]]=Max{a[2],…,a[n]}と表すことにすると
Max[a[i]]≦x≦C
Cについては、
b[i]≦b[1]のとき，C=b[i]
（このとき，a[i]≦x[i]≦b[i]は他のどの区間に対しても交わりが空でないので重なりはMax[a[i]]≦x≦b[i]を満たしている）
b[i]≦b[1]のすべてのiについてのb[i]の最小値をB[i]とするC=B[i]
b[1]≦b[i]のとき、C=b[1]
であり、
Max[a[i]]≦x≦C
これより、全部の交わりが空でないことが証明された。
No.85205 - 2023/03/31(Fri) 22:54:36
★ 区間の合併 / ぐっち
区間からなる任意の族の交わりは必ず一つの区間である。二つの区間の合併がふたたび区間となるための必要十分条件は、両区間の交わりが空でないか、一方の区間の開端点が他方の閉端点に一致することである。
ということを証明したいのですが、全然わかりません。ご教授お願い致します。
No.85199 - 2023/03/31(Fri) 19:23:32
☆ Re: 区間の合併 / ぐっち
すいません。質問の問題を間違えてコピペしてしまいました。
n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない
ということを証明したいです。
No.85200 - 2023/03/31(Fri) 19:29:51
☆ Re: 区間の合併 / IT
まず「区間」の定義はどうなっていますか？
数学的帰納法で示すことになると思います。
No.85201 - 2023/03/31(Fri) 20:49:12
☆ Re: 区間の合併 / ぐっち
以下のような設定になってます。
No.85202 - 2023/03/31(Fri) 21:21:27
☆ Re: 区間の合併 / IT
実数a,b(a≦b)について、閉区間a≦x≦bを[a,b] と表します。下記でどうでしょうか？
n=2 のとき、「n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない.しかも区間である。」は成立する
2以上のある自然数nについて、
「n個の区間があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でなければ全部の交わりは空でない.しかも区間である。」が成立すると仮定する。

　n+1個の区間[a(1),b(1)],[a(2),b(2)],...,,[a(n),b(n)],,[a(n+1),b(n+1)]があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でないとき
　　そのうち[a(n+1),b(n+1)]以外のn個の区間を考えると、仮定から、n個の区間全部の交わりは空でない。しかも区間である。　
　　この交わりを[A,B]とする。
　　このとき、
　　　少なくとも１つのi（i=1,...,n)について a(i)≧A となる。（＃少し説明が必要かも）
　　　少なくとも１つのj（j=1,...,n)について b(i)≦B となる。
　　[A,B] と [a(n+1),b(n+1)]の交わりが空ならば、b(n+1)＜A　または　B＜a(n+1)。
　　　b(n+1)＜Aのとき、　b(n+1)＜A≦a(i)となるので [a(n+1),b(n+1)]と [a(i),b(i)]の交わりは空となり、条件に反する。
　　　B＜a(n+1)のとき、　b(j)≦B＜a(n+1)となるので [a(n+1),b(n+1)]と [a(j),b(j)]の交わりは空となり、条件に反する。
　　よって、[A,B] と [a(n+1),b(n+1)]の交わりは空でない。しかも区間である。
　　したがって、　n+1個の区間全部の交わりは空でない。しかも区間である。
No.85206 - 2023/03/31(Fri) 23:00:53
☆ Re: 区間の合併 / ぐっち
解答ありがとうございます！
少なくとも１つのi（i=1,...,n)について a(i)≧A となる。　　　少なくとも１つのj（j=1,...,n)について b(i)≦B となる。
というところが言われるとそうなることになるのですが、自分は「はっ」とされられました。
このようなことに気づくと見事に帰納法に乗るんですね〜。
No.85207 - 2023/03/31(Fri) 23:49:49
☆ Re: 区間の合併 / IT
n個の区間[a(1),b(1)],[a(2),b(2)],...,,[a(n),b(n)],があって、どの2つの区間をとっても交わりが空でないとき

A=max(a(i)),B=min(b(i)) とおくと　A≦Bである。（要証明）
任意のi=1,...n について [A,B] ⊆[a(i),b(i)]
[A,B]は空でないので、n個の区間全部の交わりは空でない。

で良いかもしれません。
No.85210 - 2023/04/01(Sat) 11:02:29
★ (No Subject) / あい
下記の問題の解き方がわかりません。
解説や参考になるページがありましたら
教えていただきたいです。お願いします。

答えは?Bです。
No.85193 - 2023/03/30(Thu) 11:17:30
☆ Re: / あい
上で文字化けしましたが、
答えは3です。
No.85194 - 2023/03/30(Thu) 11:18:11
☆ Re: / IT
この場合、4人目の到着時刻から開始時刻まで　どれだけ時間が掛かったか計算すれば良いだけでは？
No.85196 - 2023/03/30(Thu) 22:33:35
☆ Re: / あい
具体的にはどのように計算できますでしょうか？
No.85197 - 2023/03/30(Thu) 23:32:38
☆ Re: / ヨッシー
２人目は 0:48 に到着しますが、１人目が終わるのが 1:00 なので、0:12 待たされます。
３人目は 2:52 に到着しますが、２人目が終わるのが 2:00 なので、待ち時間はありません。
４人目は　（中略）
５人目は 4:58 に到着しますが、４人目が終わるのが 4:52 なので、待ち時間はありません。
６人目は 5:16 に到着しますが、５人目が終わるのが 5:58 なので、0:42 待たされます。

（中略）の部分を埋めましょう。
No.85198 - 2023/03/31(Fri) 10:50:39
★ 中学　整数の問題 / うみ
?@1段目は3桁の数字を選ぶ。（なんでもよい）
?A2段目は各位の数が同じ3桁の数（ゾロ目）を書く。
?B1段目と2段目の各位の数を足して、その答えを書く。ただし各位の数の和は、1の位だけを書くものとする。
?C2段目と3段目、3段目と4段目・・・というふうに、答えを繰り返し書いていく。
上記の作業を続けた結果、17段目の数字が必ずゾロ目になる。これは何故か、説明しなさい。


試してみてゾロ目になることは分かったんですけど理由はどうしてもわかりません。答えが配られないまま授業が終わってしまい、もやもやしています。よろしくお願いします。
No.85189 - 2023/03/29(Wed) 15:33:06
☆ Re: 中学　整数の問題 / らすかる
3段目=1段目+2段目
4段目=2段目+3段目=2段目+(1段目+2段目)=1段目+2段目×2
5段目=3段目+4段目=(1段目+2段目)+(1段目+2段目×2)=1段目×2+2段目×3
6段目=4段目+5段目=(1段目+2段目×2)+(1段目×2+2段目×3)=1段目×3+2段目+5
7段目=5段目+6段目=(1段目×2+2段目×3)+(1段目×3+2段目+5)=1段目×5+2段目×8
8段目=6段目+7段目=(1段目×3+2段目+5)+(1段目×5+2段目×8)=1段目×8+2段目×13
9段目=7段目+8段目=(1段目×5+2段目×8)+(1段目×8+2段目×13)=1段目×13+2段目×21
10段目=8段目+9段目=(1段目×8+2段目×13)+(1段目×13+2段目×21)=1段目×21+2段目×34
11段目=9段目+10段目=(1段目×13+2段目×21)+(1段目×21+2段目×34)=1段目×34+2段目×55
12段目=10段目+11段目=(1段目×21+2段目×34)+(1段目×34+2段目×55)=1段目×55+2段目×89
13段目=11段目+12段目=(1段目×34+2段目×55)+(1段目×55+2段目×89)=1段目×89+2段目×144
14段目=12段目+13段目=(1段目×55+2段目×89)+(1段目×89+2段目×144)=1段目×144+2段目×233
15段目=13段目+14段目=(1段目×89+2段目×144)+(1段目×144+2段目×233)=1段目×233+2段目×377
16段目=14段目+15段目=(1段目×144+2段目×233)+(1段目×233+2段目×377)=1段目×377+2段目×610
17段目=15段目+16段目=(1段目×233+2段目×377)+(1段目×377+2段目×610)=1段目×610+2段目×987
となり、「1段目の610倍の1の位」は必ず0なので全桁「2段目の987倍の1の位」でゾロ目になります。
No.85190 - 2023/03/29(Wed) 17:01:12
☆ Re: 中学　整数の問題 / うみ
ありがとうございます。
最後の一文の意味が分からないのですが、1段目の610倍の一の位が0だと、なぜ全ての桁が2段目の987倍になるのでしょうか？
No.85191 - 2023/03/29(Wed) 18:53:55
☆ Re: 中学　整数の問題 / らすかる
それぞれの桁について
「1段目×610+2段目×987」の1の位
つまり
「1段目×0+2段目×7」の1の位
すなわち
「2段目×7」の1の位
となり、2段目はゾロ目ですから
17段目の全桁が同じ値(2段目の7倍の1の位)になります。
No.85192 - 2023/03/29(Wed) 23:55:40
☆ Re: 中学　整数の問題 / IT
２段目の値による部分と、２段目が０だとして計算したものとを別々に考えると　分かり易いかも知れませんね。

１段目=a,２段目=0 の場合
1,2,3,...,17 段目の値は順に
a,0,a,a,2a,3a,5a,8a,13a,21a,34a,55a,89a,144a,233a,377a,610aとなります。
（途中１の位以外は、計算しないという考え方もあります）

２段目の値による部分は全桁同じ値になるので、結論が言えます。

No.85195 - 2023/03/30(Thu) 19:24:28
☆ Re: 中学　整数の問題 / うみ
らすかる様、IT様、ありがとうございます。説明を考えながら実際に自分で作業をしてみると無事理解できました。面白かったです。
No.85212 - 2023/04/01(Sat) 23:48:42
★ (No Subject) / 名前
x^z+y^y=z^x
を満たす2以上の自然数(x,y,z)は存在しますか？
No.85188 - 2023/03/28(Tue) 15:25:47
★ (No Subject) / satoru
この問題の解説をお願いします。答えは?Fです。
No.85185 - 2023/03/27(Mon) 13:08:43
☆ Re: / satoru
文字がおかしくなりました。答えは7です
No.85186 - 2023/03/27(Mon) 13:09:14
☆ Re: / ast
大前提として理解しているべきことは:
　任意の値で止めた x=(一定) における K_2 の断面積を T(x) とすれば求める K_2 の体積は ∫_[0,4] T(x)dx であること
くらいのことでしょう.

本問ではそれを単に x=x(t):=t^2 (したがって T(x)=S(t)) という媒介変数 t との従属関係で置換積分を考えているに過ぎないので, 7番が正答であることは上記から直ちにわかることであるはずです.
No.85187 - 2023/03/27(Mon) 17:34:22
★ (No Subject) / やすし
画像の問題の解説をお願いしたいです
中学生の問題なのですがよくわかりません
一応答えだけあって5/629らしいです
どうか解き方の解説お願いします
No.85183 - 2023/03/24(Fri) 22:05:29
☆ Re: / らすかる
a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2
=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2
=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)
なので
4^4+4×b^4=(16+8b+2b^2)(16-8b+2b^2)
=4(8+4b+b^2)(8-4b+b^2)
=4(8+b(b+4))(8+b(b-4))
分子でb=n, 分母でb=n+4のとき
(分子)=4(8+n(n+4))(8+n(n-4))
(分母)=4(8+(n+4)(n+8))(8+(n+4)n)
のようになりますので、4と(8+n(n+4))の項が消えます。
つまり
(4^4+4×n^4)/(4^4+4×(n+4)^4)
=(8+n(n-4))/(8+(n+4)(n+8))
となりますので
{(4^4+4×3^4)(4^4+4×11^4)(4^4+4×19^4)}/
{(4^4+4×7^4)(4^4+4×15^4)(4^4+4×23^4)}
=
{(4^4+4×3^4)/(4^4+4×7^4)}
{(4^4+4×11^4)/(4^4+4×15^4)}
{(4^4+4×19^4)/(4^4+4×23^4)}
=
{(8+3×(-1))/(8+7×11)}{(8+11×7)/(8+15×19)}{(8+19×15)/(8+23×27)}
ここでまた(8+7×11)と(8+15×19)がそれぞれ相殺されますので
=(8+3×(-1))/(8+23×27)
=5/629
となります。
No.85184 - 2023/03/24(Fri) 22:31:32
★ (No Subject) / 腹痛い
図のように横1列に無限に正方形が並んでいるときに、黒で示した角を無限に足したら何度に収束しますか?それとも発散しますか？解説もお願いします。
No.85178 - 2023/03/23(Thu) 19:16:09
☆ Re: / IT
発散ですが、何年生を想定して解説すればいいですか？

Σ(n=1..∞)(1/n) が発散することは既知ですか？
「弧度法」は既習ですか？
（斜辺を半径とみて弧度法で下から評価するのが簡単だと思います。）
No.85179 - 2023/03/23(Thu) 19:48:03
☆ Re: / 腹痛い
発散なら解説は要らないです
ありがとうございました。
No.85180 - 2023/03/23(Thu) 20:31:51
☆ Re: / らすかる
解説はいらないとのことですが、発散することの図形的な証明です。
左下の角を(0,0)左上を(0,1)最も左の黒い角度の場所を(1,0)のようにして
(t,0)にある角度（つまり左からt番目の角度）をa[t]とすると
任意のtに対してa[t]＜2a[2t]であることと
（(t,0)(2t,0)(0,1)で作られる三角形を考えると簡単に示せます）
a[t]＞a[t+1]であることから
a[2]＜a[3]+a[4]＜a[5]+a[6]+a[7]+a[8]＜a[9]+a[10]+…+a[16]＜・・・
となることがわかり、発散することが言えます。
No.85181 - 2023/03/24(Fri) 03:07:52
★ (No Subject) / 源田の1ミリ
(z-i)/(z+2)が実数となるような複素数zの存在範囲を求めよ

共役以外で方法はあるのでしょうか。解説よろしくお願いします。
No.85175 - 2023/03/22(Wed) 21:18:20
☆ Re: / らすかる
z=x+iy（x,yは実数）とおくと
(z-i)/(z+2)=(x+iy-i)/(x+iy+2)
=(x+iy-i)(x-iy+2)/{(x+iy+2)(x-iy+2)}
=(x+iy-i)(x-iy+2)/{(x+2)^2+y^2}
={x(x+2)+y(y-1)-(x-2y+2)i}/{(x+2)^2+y^2}
これが実数になるためにはx-2y+2=0すなわちy=x/2+1なので
複素数平面上で-2とiを通る直線
ただしz=-2は不適なのでその直線から-2の点を除く
No.85176 - 2023/03/22(Wed) 23:04:03
★ (No Subject) / 源田の1ミリ
複素数平面上で点zが原点中心半径1の円上を動く(点iを除く)。このとき(z-1)/(z-i)によって定まる点が存在する範囲を求めよ

写真のように解いてみたのですが検算すると間違っているような気がします。どう考えれば良いのでしょうか。解説よろしくお願いします。
No.85174 - 2023/03/22(Wed) 21:14:07
☆ Re: / X
＞＞検算すると間違っているような気がします。
どのような検算をして、間違っていると判断しましたか？
No.85177 - 2023/03/23(Thu) 17:53:15
☆ Re: / X
では、 源田の1ミリさんの計算結果が正しい
ことを別の角度から。

問題の軌跡を求める点をα+iβと置く代わりに
wと置くことにします。つまり
w=(z-1)/(z-i)
これより
(z-i)w=z-1
∴(w-1)z=iw-1 (A)
ここから
z=…
と変形して、|z|=1に代入する、
という方針でもよいのですが、
それだとw-1=0,≠0の場合分けが
煩雑ですので、
(A)の両辺の絶対値を取ってから
|z|=1を代入する方針で進めます。

(A)の両辺の絶対値を取ると
|w-1||z|=|iw-1|
これに|z|=1を代入して
|w-1|=|iw-1|
これより
|w-1|=|i(w+i)|
|w-1|=|i||w-(-i)|
∴|w-1|=|w-(-i)|
となりますので、wの軌跡は
点1と点-iを結ぶ線分の垂直二等分線
となります。


ここで上記の線分の
方向ベクトルに相当する複素数は
1-(-i)=1+i
∴上記の垂直二等分線の方向ベクトル
に相当する複素数は
(1+i)i=-1+i
更に、上記の線分の中点に相当する複素数は
{1+(-i)}/2=(1-i)/2
∴w=(-1+i)t+(1-i)/2 (B)
(tは実数)
と表すことができます。

(B)をもう少し整理すると
w=(-t+1/2)(1-i)

∴wの軌跡は
点1-iと原点を通る直線
つまり
原点を通る傾き-1の直線
となり、源田の1ミリさんの計算結果である
α+β=0
が示す内容とも一致しています。
No.85182 - 2023/03/24(Fri) 17:41:33
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