Σ［（i-j）^2,｛i,j,1,n｝］=
（2n-2）・1^2+（2n-4）・2^2+・・・+2・（n-1）^2
=n^2（n^2-1）/6
になるのは、どうしてなのでしょうか？
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No.48138 - 2018/01/22(Mon) 18:10:38
| ☆ Re: Σ / ヨッシー  | | | i=1 のとき j=1 から j=n まで動かすと |i-j| の値は
0, 1, 2, ・・・, n-1
i=2 のとき j=1 から j=n まで動かすと |i-j| の値は
1, 0, 1, ・・・, n-2
以下
2, 1, 0, ・・・, n-3
3, 2, 1, ・・・, n-4
・・・
n-2, n-3, n-4, ・・・, 0, 1
n-1, n-2, n-3, ・・・, 1, 0
のようになり、
0 が ｎ個
1 が 2(n-1)個
2 が 2(n-2)個
・・・
k が 2(n-k)個
・・・
n-1 が ２個
存在します。よって、|i-j| の値を２乗して、個数分だけ足すと
2(n-1)・1^2＋2(n-2)・2^2＋・・・＋2(n-k)・k^2＋・・・2・(n-1)^2
となります。
これを計算すると
Σ[k=1〜n-1]2(n-k)k^2＝2Σ[k=1〜n-1](nk^2−k^3)
＝2{n^2(n-1)(2n-1)/6−n^2(n-1)^2/4}
＝n^2(n-1){(2n-1)/3−(n-1)/2}
＝n^2(n-1){(4n-2)/6−(3n-3)/6}
＝n^2(n-1)(n+1)/6
＝n^2(n^2−1)/6
となります。
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No.48192 - 2018/01/24(Wed) 09:55:04 |
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