ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 関数（中3） / A

（1）も合っているか不安なのですが、(2),(3) を教えていただきたいです。お願いします。

No.48033 - 2018/01/17(Wed) 22:57:02

☆ Re: 関数（中3） / 中三

この問題は理解できないと解けません。

(1)ACとy軸との交点をNとします。また、(Aのx座標の絶対値)：(Cのx座標の絶対値)=AN:CN=AM:COとなります。
したがって、C(4,8)であることが分かります。
だからBのx座標は2です。
(2)これは単純にΔAOC×2で、ON:MN=AN:COであることからΔAOCの面積は求められますね。
よって平行四辺形の面積は24です。
(3)この直線は平行四辺形を2つの台形に分けます。上底+下底で比をつくって解けば、直線ℓがy=6であることが分かります。

No.48041 - 2018/01/18(Thu) 08:18:49

☆ Re: 関数（中3） / A

ありがとうございました。

No.48045 - 2018/01/18(Thu) 17:19:49

★ 展開 / 結衣

展開図にすると、どうなりますか？

No.48029 - 2018/01/17(Wed) 21:46:50

☆ Re: 展開 / X

(i)点Pが辺EF上にあるとき
辺EFを切断しないような展開図は
台形EFGHの上に長方形ABFEが乗っているような図
となります。
展開図において点Aに対応する点をA'
とすると、条件から
点A',E,Fが同一直線上
であり、かつ
∠EJG=90°
となりますので、△A'GHにおいて三平方の定理により
A'G=…(P)

(ii)点Pが辺BF上にあるとき
辺BFを切断しないような展開図は
長方形BCGFの上に長方形ABFEが乗っているような図
になります。
展開図において点Aに対応する点をA'
とすると、条件から
A',B,Cが同一直線上
かつ
∠A'CG=90°
となりますので、△A'CGにおいて三平方の定理により
A'G=…(Q)

(P)(Q)のうち、小さい方が求める長さになります。

No.48030 - 2018/01/17(Wed) 22:34:01

★ 続けてすみません / 結衣

3番を教えて頂けますでしょうか？

No.48025 - 2018/01/17(Wed) 21:25:57

☆ Re: 続けてすみません / X

条件から、問題の立体の展開図上で
点A,P,Gが一直線上にある
ときに、AP+PGが最小になることは
よろしいですか？

で、求める長さですが
(i)点Pが辺EF上にあるとき
(ii)点Pが辺BF上にあるとき
に場合分けして求めた値のうち、
小さい方となっています。

(i)のときは辺EFを切断しないような展開図
の上に直線AGを描いてその長さを求めます。
(ii)のときは辺EFを切断しないような展開図
の上に直線AGを描いてその長さを求めます。

No.48027 - 2018/01/17(Wed) 21:32:38

★ お願い致します / 結衣

解き方教えてください
下の方です。

No.48023 - 2018/01/17(Wed) 21:18:46

☆ Re: お願い致します / X

まず
△ACD∽△BDE (A)
を証明します。
これが証明できれば、
BD:AC=BE:DC
が成立することからBEの長さを
求めることができます。

ということで(A)の証明を考えてみて下さい。

No.48026 - 2018/01/17(Wed) 21:26:26

☆ Re: お願い致します / 中三

これは中二の問題ですか？それとも中学数学の総合問題でしょうか？
もし相似な図形について学習しているなら解説できます。
ΔBDEとΔCADにおいて
ΔABCは正三角形であるから∠EBA=∠DCA=60°…?@
三角形の内角と外角の関係から∠DCA+∠CAD=∠ADE+∠BDE
?@,仮定より∠DCA=∠ADE=60°だから
60°+∠CAD=60°+∠BDE
　　 ∠BDE=∠CAD…?A
?@,?Aより二組の角がそれぞれ等しいので
ΔBDE∽ΔCAD
したがってBD:CA=BE:CD
あとは比例式を解けば答えが出ますね。

No.48028 - 2018/01/17(Wed) 21:38:05

★ 問題文が意味不明 / シュリンプ姫

このap QBは垂直ですか？
PBの求め方を教えてください

No.48021 - 2018/01/17(Wed) 21:08:29

☆ Re: 問題文が意味不明 / X

AP⊥QB
ではなくて
AP//QB
です。

で解答ですが、条件から
四角形APBQは
AP,QBを上底、下底とする台形
になっており、ABの長さがその高さ
となっています。
よって、PB,ABの長さをx[cm],y[cm]
とすると、まず四角形APBQの面積について
(1/2)×(3+5)×y=32 (A)
次に△ABPにおいて三平方の定理から
x^2=y^2+3^2 (B)
(A)(B)をx,yの連立方程式として解きます。

No.48022 - 2018/01/17(Wed) 21:17:00

★ (No Subject) / あずさ

(5)の問題なんですが、何回解き直しても、答えが一致しなくて困ってます泣
答えは、a^3/3(π/2-2/3)となるんですが、これに近い値にはなるのですが、この答えになりません。答えが間違っているのでしょうか？一通りの解き方を分かりやすく教えてください。お願いいたします。

No.48015 - 2018/01/17(Wed) 18:34:34

☆ Re: / X

極座標に変換すると
D={(r,θ):0≦θ≦π/2,acosθ≦r≦a}
でヤコビヤンはrとなるので
(与式)=∫[θ:0→π/2]∫[r:acosθ→a](r^2)drdθ
=(1/3)(a^3)∫[θ:0→π/2]{1-(cosθ)^3}dθ
=(1/3)(a^3)∫[θ:0→π/2]{1-{1-(sinθ)^2}cosθ}dθ
=(1/3)(a^3)[θ-{sinθ-(1/3)(sinθ)^3}][θ:0→π/2]
=(1/3)(a^3)(π/2-2/3)

No.48016 - 2018/01/17(Wed) 19:03:12

★ 中学円 / ほのほの

いつもありがとうございます！4番の解き方が分かりません。

No.48002 - 2018/01/17(Wed) 15:56:45

☆ Re: 中学円 / Y

具体的にどこが分からないのですか？
それともどこが分からないのかも分からないのでしょうか？まずはそこからです。

No.48005 - 2018/01/17(Wed) 16:40:38

☆ Re: 中学円 / らすかる

求め方はいろいろありそうですが、
例えばAEの長さを算出して
AEを底辺とした時の△DEAの高さを算出し、
(AEを底辺とした時の△DEAの高さ)：(AEを底辺とした時の△CAEの高さ)
を算出して
(五角形ABDEC)=△ABD+△ADE+△AEC
で求めるというのはいかがでしょうか。

No.48018 - 2018/01/17(Wed) 20:09:12

☆ Re: 中学円 / 中三

こんな解き方はどうでしょう？
図形の外接円では入れ替えが結構役にたったりします。

No.48031 - 2018/01/17(Wed) 22:36:05

☆ Re: 中学円 / 中三

画像が小さすぎるので再掲させていただきます。
申し訳ありません。

No.48032 - 2018/01/17(Wed) 22:38:55

☆ Re: 中学円 / らすかる

DSの長さは△BDC×2÷BCで求めてもいいですね。
（△BDC=(3)-(2)）

No.48036 - 2018/01/17(Wed) 23:06:29

☆ Re: 中学円 / 中三

らすかるさんのおっしゃる通りです。
これまで求めたものを最大限に活用すればこんなに簡単になるんですね。

No.48040 - 2018/01/18(Thu) 07:17:43

☆ Re: 中学円 / ほのほの

そんな考え方があったとは…！
分かりやすい図での説明、ありがとうございます。

No.48043 - 2018/01/18(Thu) 14:47:50

★ (No Subject) / 神谷

(1)は分かったのですが、画像の(2)と(3)の解き方がいまいちよく分かりません。答えは、(2)1/1536(3)√3π/12-1/2log2となります。解説願います。

No.47995 - 2018/01/17(Wed) 11:44:36

☆ Re: / X

いずれもまずDの図示をしましょう。

(2)
曲線y=x^2
と
直線y=x/2
の交点のx座標について
x^2=x/2
∴x=0,1/2
よって
(与式)=∫[x:0→1/2]∫[y:x^2→x/2]xydydx
=∫[x:0→1/2][x(1/2)y^2][y:x^2→x/2]dx
=…

(3)
直線x=y
と
曲線x=y^2
との交点のy座標について
y^2=y
∴y=0,1
∴(与式)=∫[y:1→√3]∫[x:y→y^2]{y/(x^2+y^2)}dxdy
=∫[y:1→√3][arctan(x/y)][x:y→y^2]dy
=…

注)arctanの積分は部分積分を使います。
(この説明で分からなければその旨をアップして下さい。)

No.47996 - 2018/01/17(Wed) 12:30:15

☆ Re: / 神谷

だいたい分かりましたが、arctanの部分積分の仕方が難しくて分かりません。解説願います。

No.48000 - 2018/01/17(Wed) 14:02:25

☆ Re: / X

部分積分により
∫arctanxdx=xarctanx-∫{x/(x^2+1)}dx
第二項については、分かりにくければ
x^2+1=t
と置いてみましょう。

No.48001 - 2018/01/17(Wed) 14:55:25

☆ Re: / 神谷

一通り解いてみましたが、答えが合いません。
できたら、お手本として(3)を解いて頂けないでしょうか？

No.48004 - 2018/01/17(Wed) 16:38:42

☆ Re: / X

(3)
(与式)=∫[y:1→√3]∫[x:y→y^2]{y/(x^2+y^2)}dxdy
=∫[y:1→√3][arctan(x/y)][x:y→y^2]dy
=∫[y:1→√3](arctany-π/4)dy
=∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)
=[yarctany][y:1→√3]-∫[y:1→√3]{y/(1+y^2)}dy-(π/4)(√3-1)
=(π/12)√3-[(1/2)log(1+y^2)][y:1→√3]
=(π/12)√3-(1/2)log2
となります。

No.48007 - 2018/01/17(Wed) 17:54:36

☆ Re: / 神谷

なるほど！どこで勘違いしていたのか分かりました！ありがとうございました❗

No.48011 - 2018/01/17(Wed) 18:02:46

☆ Re: / Y

すみません。横から失礼します。
∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)で、なぜ
[x:y→y^2]dyが消え、(√3-1)が出て来たのですか？また、=[yarctany][y:1→√3]-∫[y:1→√3]{y/(1+y^2)}dy-(π/4)(√3-1)の部分でまた∫[y:1→√3]が出て来たのはなぜでしょう？

No.48013 - 2018/01/17(Wed) 18:22:39

☆ Re: / Y

疑問に思ったので、質問させて頂きました。
差し支えなければ、教えてください。

No.48014 - 2018/01/17(Wed) 18:23:47

☆ Re: / X

>>∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)で、なぜ
>>[x:y→y^2]dyが消え、(√3-1)が出て来たのですか？
計算を一行飛ばして見てしまっています。
間の行の
＞＞=∫[y:1→√3](arctany-π/4)dy
はご覧になりましたか？

>>また、～
＞＞=∫[y:1→√3]arctanydy-(π/4)(√3-1)
の定積分の項に対して部分積分を実行した結果が
＞＞=[yarctany][y:1→√3]-∫[y:1→√3]{y/(1+y^2)}dy-(π/4)(√3-1)
の第一項、第二項の部分に当たります。

No.48017 - 2018/01/17(Wed) 19:11:07

★ (No Subject) / 尾形

数学不得意です。詳しい解説よろしくお願いします。

No.47985 - 2018/01/16(Tue) 22:51:01

☆ Re: / X

条件から?Aの点Oに対し
△AOBは正三角形
となっていることが分かります。
そこでコンパスで、点A,Bを中心とした
半径ABの二つの円を描くとその交点が
点Oとなります。
この点Oを中心とした半径ABの円
と
直線BC
の交点が求める点Pとなります。
(但し、点Pは当然海上にありますので
陸上にある交点は除かれます。)

注)
点Oの候補は二つあります。
この点Oに対応する円と直線BCとの
交点の一つは
点B
となりますが、条件から円と直線BC
が、点Bで接することはあり得ませんので
交点は点B以外に一つ存在します。

ということで点Pの候補は
2つ
存在します。

No.47989 - 2018/01/17(Wed) 07:25:06

☆ Re: / X

>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>尾形さんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.47989を(他に誤った個所を含めて)
修正しましたので再度ご覧下さい。

No.47997 - 2018/01/17(Wed) 12:39:07

☆ Re: / 尾形

解説ありがとうございました。

No.48003 - 2018/01/17(Wed) 16:29:55

★ (No Subject) / 中３　中村

図形とか苦手で、よくわかりません。詳しい解説よろしくお願いします。(1)1cm (2) 7/2

No.47984 - 2018/01/16(Tue) 22:41:49

☆ Re: / X

(1)
条件から
CM=…[cm]
又、△GCMと△GRSとの相似比は
2:1
となりますから…

(2)
問題では点Pを通り、平面ABCDに平行な平面
を考えていますが、この平面と辺DHとの交点を
Uとします。(図に描き込みましょう)
すると、
点Tは長方形PQSUの対角線の交点
となっていることはよろしいですか？
このことと(1)に注意して
長方形PQSUと点T,R
を図示します。
求める面積は
△PQTと△QRTの面積の和
になりますので、これらの三角形の
面積を求めることをこの図から考えます。
辺PQ,QRをそれぞれの三角形の底辺と見ると
高さは…。

No.47990 - 2018/01/17(Wed) 07:34:16

☆ Re: / 中３　中村

解説ありがとうございます。点Tは長方形PQSUの対角線の交点となっていることはよろしいですか？この内容がわかりません。

No.47992 - 2018/01/17(Wed) 08:01:40

☆ Re: / X

点M,Nを含み、平面AEFBに平行な平面と
辺QS,PU,FGとの交点をそれぞれV,W,Xとすると
(点V,W,Xを図に描き込みましょう)
V,W,Xはそれぞれ辺QS,PU,FGの中点となっている (A)
ことはよろしいですか？
又、このとき
△MNX∽△MTV
で相似比について
TV:NX=MV:MX=1:2
∴点Tは辺VWの中点 (B)
(A)(B)に基づいて、長方形PQSUの図を描いた上に
点T,V,Wを描き込んでみましょう。

No.47998 - 2018/01/17(Wed) 12:58:00

☆ Re: / 中３　中村

長方形の対角線の交点は、辺AD　BCの中点と交わるという覚え方は正しいですか。

No.48006 - 2018/01/17(Wed) 16:58:27

☆ Re: / X

＞＞長方形の対角線の交点は、辺AD　BCの中点と交わるではが
長方形ABCDの対角線の交点は、辺AD,BCの中点を結ぶ線分と交わる
のタイプミスであるなら正しいです。

No.48010 - 2018/01/17(Wed) 18:00:14

☆ Re: / 中３　中村

解説ありがとうございます。

No.48012 - 2018/01/17(Wed) 18:05:15

★ (No Subject) / 中三

あるネット上の記事を読んで、非常に面白い問題があったので解き方が知りたいです。
引用元
okwave.jp/qa/q7727062.html
極力xやyを使わずに、小学生にも理解できるような説明が難しいです。一応自分でも考えましたが、記事内の解答例以外にもっと簡単な解法がないでしょうか？

No.47980 - 2018/01/16(Tue) 21:39:24

☆ Re: / 中三

ΔABCの面積でした。

No.47981 - 2018/01/16(Tue) 21:51:29

☆ Re: / 中三

自分なりの解法です。

No.47983 - 2018/01/16(Tue) 22:21:58

☆ Re: / らすかる

(図参照)
△DBCを△EACに移動すると等脚台形EADCになり、
等脚台形EADCをADに関して対称に移動した等脚台形FADGを作ると、
正三角形AFE＋正方形EFGC＋正三角形CGDになります。
正三角形IECと正三角形HGFを追加して正方形AHDIで囲むと、
△CDI≡△EACの面積は正方形EFGCの1/4ですから
(正方形AHDIの面積)=(正方形EFGCの面積)×2+(正三角形AFEの面積)×4
=(等脚台形EADCの面積)×4=(三角形ABCの面積)×4
となります。よってAD=HI=10cmなので
(三角形ABCの面積)=10×10÷2÷4=12.5(cm^2)です。

No.47988 - 2018/01/17(Wed) 02:51:05

☆ Re: / 中三

らすかるさん、詳しい解説ありがとうございます。
その説明であれば小学生でも容易に理解できます。

No.47991 - 2018/01/17(Wed) 07:50:34

★ 数学空間図形 / りょーた

いつもお世話になってます。
図は、AB＝AD＝6cm、AE＝2cmの直方体です。辺CD上にBPとPHの長さの和が最も短くなるように点Pをとります。この時、
⑴BPとPHの長さの和を求めなさい
⑵BPの長さを求めなさい
、という問題があります。
この問題を解いてください。
答えだけでなく、証明のような感じで、何をして何が何だから、と説明していただけるととても嬉しいです。

No.47973 - 2018/01/16(Tue) 19:21:43

☆ Re: 数学空間図形 / 中三

展開図を描くとBHとDCの交点がPだから三平方の定理より
BH²=BG²+GH²
∴BH=10cm
DC//HGより、三角形と比の定理より
BC:BG=BP:BH
∴BP=15/2cm
こんな感じでいいですか？
　　　　　　　　　　　　　　　　

No.47976 - 2018/01/16(Tue) 20:05:56

★ 中学立体 / ほのほの

いつもありがとうございます。この問題の解法がわかりません。よろしくお願いします。

No.47971 - 2018/01/16(Tue) 18:47:38

☆ Re: 中学立体 / 中三

ア1/16a³
イ1/6a³
解く際のヒントは、立体で考えず平面で考える、ということです。面どうしの位置関係や立方体を見る視点に注意してください。

No.47975 - 2018/01/16(Tue) 19:44:42

☆ Re: 中学立体 / らすかる

アは
△CRP=正方形ABCD-△CDR-△APR-△BCPを底面としてAQを高さとすれば求まりますね。
イは
三角錐T-AUS=三角錐B-AUS=三角錐U-ABSと考えると簡単です。

No.47977 - 2018/01/16(Tue) 20:12:54

☆ Re: 中学立体 / ほのほの

考え方が分かりました。ありがとうございます！

No.47993 - 2018/01/17(Wed) 11:08:00

★ Re: Re:微分公式　数?V　テイラー展開 / 前進

　赤で囲った式を一回微分でなぜf^'(a)になり二回微分でf^''(a)になるか数?Vも復習しましたがわかりません。よろしくお願いいたします。

No.47965 - 2018/01/16(Tue) 12:24:06

☆ Re: Re:微分公式　数?V　テイラー展開 / 前進

https://www.youtube.com/watch?v=qzd5iXKHkiU
動画ページです

No.47966 - 2018/01/16(Tue) 12:25:13

☆ Re: Re:微分公式　数?V　テイラー展開 / ヨッシー

　f(x)＝f(a)＋f'(a)(x-a)＋(1/2)f"(a)(x-a)^2＋(1/6)f⁽³⁾(a)(x-a)^3＋・・・　(i)
ｘで微分して、
　f'(x)＝f'(a)＋f"(a)(x-a)＋(1/2)f⁽³⁾(x-a)^2＋・・・　(ii)
さらにｘで微分して
　f"(x)＝f"(a)＋f⁽³⁾(x-a)＋・・・　　　(iii)
(ii) にｘ＝ａを代入すると　f'(a)＝f'(a)
(iii)にｘ＝ａを代入すると　f"(a)＝f"(a)
がそれぞれ成り立ちます。

No.47968 - 2018/01/16(Tue) 15:19:44

☆ Re: Re:微分公式　数?V　テイラー展開 / 前進

理解できました。ただf"のように微分のマークを増やすだけでできるとは思ってもいませんでした。

{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)や画像を考えておりました。

高校数学ばかりやっていると憂鬱になるので大学の超初心者向けの本や動画で勉強しながらしますが、しばらくは数学のみをしますので、今後ともよろしくお願いいたします

No.47986 - 2018/01/16(Tue) 23:18:11

☆ Re: Re:微分公式　数?V　テイラー展開 / 前進

https://www.coursera.org/
https://www.edx.org/
https://ocw.mit.edu/index.html
などいろいろ見つけましたが、全然わかりませんので、少しずつやっていきます。
主にスタディサプリの高校数学以下を質問していくのでよろしくお願いいたします。

No.47987 - 2018/01/16(Tue) 23:24:28

★ 中学高校受験過去問題円錐の問題 / りょーた

母線の長さが6cm、底面の半径が1cmの円錐があります。BCは底面の半径ではないあり、AB ACは母線です。AB上にAP＝4cmとなる点Pをとり、Bから側面に沿ってPまで糸を巻きつけます。この時に次の問いに答えなさい。という問題があります。

３問構成で、1番はの円錐の体積は3分の√35π、2番の円錐の表面積は7πcmと解けたのですが、3番の糸の長さが最も短くなるように糸を巻きつけた時、巻きつけた糸の長さを求めなさい、という問題がわかりません。解き方を教えていただけると嬉しいです。

No.47963 - 2018/01/16(Tue) 06:58:28

☆ Re: 中学高校受験過去問題円錐の問題 / IT

展開図を描いて、BPを直線で結びます。

No.47964 - 2018/01/16(Tue) 07:28:23

☆ Re: 中学高校受験過去問題円錐の問題 / りょーた

直線で結んだ後が知りたいです。

No.47972 - 2018/01/16(Tue) 19:01:15

☆ Re: 中学高校受験過去問題円錐の問題 / 中三

これでどうですか。
あとは三平方の定理を使えば求められますよね。

No.47978 - 2018/01/16(Tue) 20:23:42