全て直線の、長方形です。
斜線部の面積の求め方を教えてください
![]() |
No.48121 - 2018/01/21(Sun) 18:49:14
| ☆ Re: すいません / 胡瓜 | | | 斜線部を、ABを軸にし回転させた場合の体積もお願いします
![]() |
No.48122 - 2018/01/21(Sun) 18:53:37 |
| ☆ Re: / X | | | No.48122の図に基づいて長方形の頂点を反時計回りに
A,B,C,Dとし、Bから辺CDに引かれている直線と
辺CDとの交点をE,線分AC,BEとの交点をFとします。
面積について)
以下、例えば△ABCの面積をS[△ABC]と書くことにします。
すると
S[△ABC]+S[△BCE]=S[△ABF]+S[△BEF]+2S[△BCF]
となるので
(1/2)・24・15+(1/2)・16・15
=(1/2)・24・9+(1/2)・16・6+2S[△BCF]
∴2S[△BCF]=(1/2)・24・6+(1/2)・16・9
2S[△BCF]=12・6+8・9
S[△BCF]=72
以上から求める面積は
S[長方形ABCD]-S[△ABF]-S[△BEF]-S[△BCF]
=15・24-(1/2)・24・9-(1/2)・16・6-72
=360-108-48-72
=132
体積について)
xy平面上に
A(0,0),B(24,0),D(0,15),C(24,15),E(8,15)
と取ります。
このとき
直線ACの方程式は
y=5x/8
∴F(72/5,9)
又、直線BEの方程式は
y=-(15/16)(x-24)
よって求める体積をVとすると
V=∫[0→8]{π・15^2-π(5x/8)^2}dx
+∫[8→72/5]{π{-(15/16)(x-24)}^2-π(5x/8)^2}dx
=π[225x-(25/192)x^3][0→8]+π[{(75/256)(x-24)^3-(25/192)x^3][8→72/5]
=π(1800-200/3)+π{(75/256){16^3-(48/5)^3}-(25/192){(72/5)^3-8^3}}
=π(1800-200/3)+π{75・16-(75/256)(48/5)^3-{(25/192)(72/5)^3-25・8/3}}
=1800π+π{75・16-(16・3^4)/5-(3^5・8)/5}
=1800π+π{75・16-(16・3^4)/5-(3^4・24)/5}
=1800π+π{75・16-(40・3^4)/5}
=1800π+π(75・16-8・3^4)
=1800π+π(150・8-8・81)
=1800π+π(69・8)
=1800π+552π
=2352π
(途中で計算を間違えているかもしれません。検算をお願いします。)
|
No.48123 - 2018/01/21(Sun) 21:28:16 |
| ☆ Re: / IT | | | (別解）
EからABへの垂線の足をGとすると
斜線の部分＝□AGED+△GBE-△ABF＝8*15+(1/2)*16*15-(1/2)*24*9=132
体積V
□AGEDを回転すると円柱
△GBEを回転すると円錐ができます。
△ABFを回転すると円錐が２つできます。
Ｖ１：底面の半径１５、高さ８の円柱
Ｖ２：底面の半径１５、高さ１６の円錐
Ｖ３：底面の半径 ９、高さの計２４の円錐２つ
Ｖ＝Ｖ１+Ｖ２-Ｖ３＝(15^2)π*8+(1/3)*(15^2)π*16-(1/3)*(9^2)π*24=2352π
|
No.48124 - 2018/01/21(Sun) 22:41:58 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 面積別解
底辺24高さ15の直角三角形から底辺16高さ6(=15-9)の三角形を除いたものなので
24×15÷2 - 16×6÷2 = 132
|
No.48125 - 2018/01/21(Sun) 23:42:19 |
|
