ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中学円 / ほのほの

続けて、2番の解法がどうしても分かりません。よろしくお願いします。

No.47881 - 2018/01/13(Sat) 14:42:38

☆ Re: 中学円 / らすかる

単位は省略します。
円Oの面積は9π、ひし形の面積は24√3なので
ひし形の内部で円Oの回りに余った4つの部分の面積の合計は24√3-9πです。
円O'の半径は円Oの1/3ですから、円O'の回りに同様にひし形を外接させた
場合に円O'の回りに余る部分の4つの面積の合計は(24√3-9π)/9=8√3/3-πです。
そして円O'を転がしたときに内部に出来るひし形の穴の一辺は
ひし形ABCDの1/3ですから、ひし形の穴の面積は24√3/9=8√3/3となります。
従って求める面積は
24√3-8√3/3-(8√3/3-π)=56√3/3+π
となります。

No.47884 - 2018/01/13(Sat) 15:17:18

☆ Re: 中学円 / ほのほの

スッキリしました！ありがとうございます。

No.47898 - 2018/01/14(Sun) 09:02:57

★ 高校数学　命題　６背理法ん用いて次の命題を証明せよ。 / 黒毛和牛

こんにちは。この問題が解らないです。

6.背理法を用いて次の命題を証明せよ。と言う内容の

?@ルート２が、無理数であることを証明せよ。と言う問題が解らないです。教えて頂けないでしょうか。お願いします。　
写真も一緒に、送ります。

No.47873 - 2018/01/13(Sat) 12:03:04

☆ Re: 高校数学　命題　６背理法ん用いて次の命題を証明せよ。 / らすかる

√2が有理数と仮定する。
すると√2=p/q（p,qは互いに素な自然数）と表せる。
整理するとp^2=2q^2
右辺は偶数なので左辺も偶数、よってpは偶数なのでp=2rとおける。
代入して整理すると2r^2=q^2
左辺は偶数なので右辺も偶数、よってqは偶数となるが
pとqが互いに素であることに矛盾。よって√2は無理数。

No.47876 - 2018/01/13(Sat) 13:01:42

☆ Re: 高校数学　命題　６背理法ん用いて次の命題を証明せよ。 / 黒毛和牛

ありがとうございました❗助かります。

No.47900 - 2018/01/14(Sun) 09:19:13

★ (No Subject) / 数学好き

数学の問題です。

No.47865 - 2018/01/13(Sat) 10:56:27

☆ Re: / 数学好き

もう一枚貼らせていただきます。

No.47869 - 2018/01/13(Sat) 11:40:30

☆ Re: / 数学好き

2⃣3⃣4⃣が分かりません。

No.47871 - 2018/01/13(Sat) 11:43:03

☆ Re: / らすかる

1枚目
1
(1)
n番目の黒色のタイルは1+2+3+…+n=n(n+1)/2個なので
49番目は49×50÷2=1225個
(2)
同様に白色のタイルは1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)/2個なので
210個になるのはn(n-1)/2=210（n＞0）を解いて21番目

2
(1)
?@AC=√(6^2+3^2)=3√5(cm)
?AAD：CD=AB：BC=2：1
?B(CD+3)^2+6^2=(2CD)^2（CD＞0）から CD=5(cm)
?CAD=2CD=10(cm)
?D
[ア]∠AED=∠ABDから二角相当により相似
[イ]AC：AE=AB：AD=3：5からAC：CE=3：2
[ウ]△CED=(2/3)△ACD=(2/3)×15=10(cm^2)
△BED=(8/5)△CED=16(cm^2)
∴四角形ABED=△ABD+△BED=24+16=40(cm^2)
(2)
?@高さは√((√7)^2-1^2)=√6なので面積は(6+4)×√6÷2=5√6(cm^2)
?A一辺がaの正八角形の面積は(2+2√2)a^2なので
求める表面積は5√6×8+(2+2√2)(4^2+6^2)=104+104√2+40√6
?B正面から見ると上底が6+6√2、下底が4+4√2、斜辺が√6の等脚台形なので高さは√2-1
Pの体積は各側面を延長して出来た八角錐の体積の19/27なので
(19/27){36(2+2√2)×3(√2-1)÷3}=152/3(cm^3)

No.47874 - 2018/01/13(Sat) 12:04:49

☆ Re: / らすかる

2枚目
3
(1)
?@
BC上にBF=BAとなる点Fをとると△ABD≡△FBDでFC=12(cm)
DF=DCなので∠DFC=∠DCF、よって∠BAD+∠BCD=∠BFD+∠BCD=180°なので
A,B,C,Dは同一円周上にある。
?A
DからBCに垂線DHを下ろすとBH=15(cm)なので
DH=√(BD^2-BH^2)=√(17^2-15^2)=8(cm)
∴CD=√(DH^2+CH^2)=√(8^2+6^2)=10(cm)
?B
△DHC=24(cm^2)
△BAD=△BFD=(3/2)△DHC=36(cm^2)
△BCD=(21/6)△DHC=84(cm^2)
∴四角形ABCD=36+84=120(cm^2)
(2)
?C
△AED：△ECD=AE：EC=△BAD：△BCD=△BFD：△BCD=BF：BC=9：21=3：7
?D
△AED∽△BECで相似比は10：21なので
BE=(21/10)AE, ED=(10/21)EC
よってBE：ED=(21/10)AE：(10/21)EC=3(21/10)：7(10/21)=189：100
?E
DCの垂直二等分線とBCの垂直二等分線を引くと辺の比3：4：5の三角形が
いくつかできるので相似と三平方の定理で垂直二等分線の交点からCまでの
距離を求めると85/8となりますが、もっと簡単な求め方がありそうな気がします。
4
半径1の円に内接する正12角形の周の長さの半分は
3(√6-√2)≒3(2.449-1.414)=3.105＞3.1

No.47875 - 2018/01/13(Sat) 12:58:25

☆ Re: / 数学好き

らすかる様、ありがとうございます。
Pの体積が有理数になるとは、もっと複雑な答えだと思いました。

できそうな問題は改めて挑戦してみたのですが、1枚目のイが3:1,ウが32になりました。AC=3√5に対しΔABC∽ΔDECよりCE=√5であることから答えを出したのですが、誤りでしょうか。
それと、3⃣なんですが、じっと見つめていたらこの図形のADとCDをくっつけると二等辺三角形になることがわかりました！これを使えば?A～?Cは楽勝です。
?Eも、四角形を二等辺三角形に変形させたように四角形を等脚台形に変形させて三平方を使えばできました。(簡単な求め方とはいえそうにありませんが。）
一応三平方を利用した三角形を示しておきます。

No.47879 - 2018/01/13(Sat) 14:33:37

☆ Re: / らすかる

[イ]は私が何か勘違いしていたようです。
CD：CE=AC：BC=√5：1からCE=√5なので
おっしゃる通り3：1ですね。
[ウ]も32が正しいです。

No.47882 - 2018/01/13(Sat) 14:53:54

★ (No Subject) / ひじき

この問題が分かりません

No.47863 - 2018/01/13(Sat) 10:43:43

☆ Re: / 中三

1⃣(2a-1)が他の二直線のうち一方の傾きと等しくなるので
　a≠0ならばa=2です。
2⃣1⃣と同様にしてa=1/2,-1です。

問題の意味が理解できてないかもしれないので宛にしないでくださいね。
一つだけ言えるとしたら、
三角形を作らない＝3直線のうち少なくとも2直線は平行
ということです。

No.47864 - 2018/01/13(Sat) 10:53:40

☆ Re: / ひじき

ありがとうございます。私も1の問題でa=0,2という答えはてできたのですが、ほかにa=-2/3と、3の二つの答えがあるそうなのですがそれについての解き方がわからないのでお願いします

No.47866 - 2018/01/13(Sat) 11:00:52

☆ Re: / らすかる

3直線が三角形を作らないのは、少なくとも2直線が平行(または一致)の場合と、
3直線が1点で交わる場合です。

1
2直線が等しくなるのは
2a-1=3 または 2a-1=-1
∴a=2 または a=0
3直線が1点で交わるのは
第1式からy=3x
第2式に代入して整理するとx=(3a-1)/4
第3式に代入して整理するとx=4/(2a-4)　（ただしa≠2）
(3a-1)/4=4/(2a-4)を解くとa=-2/3,3
よって三角形を作らないaの値は a=-2/3,0,2,3

2
2直線が等しくなるのは上と同様にa=1/2,-1
3直線が1点で交わるのは
x+2y=5とx-y=-1の交点は(1,2)
この交点をax+y=0が通るaの値は a=-2
よって三角形を作らないaの値は a=-2,-1,1/2

No.47867 - 2018/01/13(Sat) 11:12:59

☆ Re: / ひじき

ありがとうございます。おかげで解決しました

No.47868 - 2018/01/13(Sat) 11:30:39

☆ Re: / 中三

なるほど、三直線が一点で交わる場合も考えないといけないんですね。
勉強になりました。

No.47877 - 2018/01/13(Sat) 13:30:15

★ (No Subject) / けい

ユークリッドの互除法を使って
11x＋19y＝1が
x＝7,y＝－4
となるのは分かったのですが

3x－7y＝1は
ユークリッドの互除法を使うと、どうなるのですか？

ユークリッドの互除法は、係数が大きくなければ使えないのですか？

No.47849 - 2018/01/12(Fri) 15:43:24

☆ Re: / らすかる

係数は小さくても使えます。
3x-7y=1
3(x-2y)-y=1
y=-1,x=-2

No.47851 - 2018/01/12(Fri) 16:38:23

☆ Re: / けい

7＝3×2＋1
3＝1×2＋1

これらを移行して
1＝7－3×2
1＝3－1×2

となりますが、この先が分かりません…(TT)

No.47854 - 2018/01/12(Fri) 17:30:17

☆ Re: / らすかる

11x＋19y＝1のときはどのように計算したのですか？

No.47855 - 2018/01/12(Fri) 17:52:51

☆ Re: / けい

19＝11×1＋8
11＝8×1＋3
8＝3×2＋2
3＝2×1＋1

これらを移行して
8＝19－11×1
3＝11－8×1
2＝8－3×2
1＝3－2×1
となり、

1＝3－2×1
にどんどん代入していき、最終的に11x＋19y＝1の形になるようにして出しました。

3x－7y＝1のときだと
得られる式に、どう代入していっていいか分かりません…

No.47861 - 2018/01/13(Sat) 01:21:16

☆ Re: / らすかる

7=3×2+1
移項して
1=7-3×2
∴x=-2,y=-1
で終わりですね。

No.47862 - 2018/01/13(Sat) 01:29:30

☆ Re: / けい

なるほど(*_*)
ありがとうございます！！！！

No.47889 - 2018/01/14(Sun) 02:11:49

★ 図形の問題教えてください！ / Ringo

答えは

シ2 ス3 セ2 ソ1 タ2 チ1 ツ?F テ?D ト?F ナ?B ニ?A ヌ5 ネ2 ノハ12

です。

No.47838 - 2018/01/12(Fri) 01:24:47

☆ Re: 図形の問題教えてください！ / Ringo

解答に解説が載っていないのでどうしてこうなるのか
分かる方、お願いします！
あと、向きを間違えてしまったので貼り直します汗

No.47839 - 2018/01/12(Fri) 02:05:28

☆ Re: 図形の問題教えてください！ / ヨッシー

(1)
tanθ＝√3 ということは θ＝60°です。
よって、∠ＢＡＰ＝∠ＤＡＱ＝15°
このとき、ｘ＝tan15°
　sin15°＝sin(45°－30°)＝(√6－√2)／４
　cos15°＝cos(45°－30°)＝(√6＋√2)／４
よって、
　ｘ＝tan15°＝(√6－√2)／(√6＋√2)＝２－√３

(2)
tanθ＝１　のとき　θ＝45°
よって、∠ＢＡＰ＝∠ＤＡＱ＝22.5°
このとき、ｘ＝tan22.5°
　sin^2(22.5°)＝(1－cos45°)/2＝(2－√2)/4
　cos^2(22.5°)＝(1＋cos45°)/2＝(2＋√2)/4
よって、
　tan^2(22.5°)＝(2－√2)/(2＋√2)＝3－2√2＝(√2－1)^2
　ｘ＝tan22.5°＝√2－1
このとき、
　ＰＣ＝ＱＣ＝１－ｘ＝2－√2
よって、
　△ＡＢＰ＝△ＡＤＱ＝(√2－1)/2
　△ＣＰＱ＝(2－√2)^2/2＝3－2√2
よって、
　Ｓ＝1－(√2－1)－(3－2√2)＝√2－1

（Ｓの別解）
　Ｓ＝(1/2)ＡＰ・ＡＱsinθ
において、ＡＰ＝ＡＱより
　Ｓ＝(1/2)ＡＰ^2・sinθ
ここで、
　ＡＰ^2＝1＋x^2＝4－2√2
　sinθ＝√2/2
よって、
　Ｓ＝(1/2)(4－2√2)(√2/2)＝√2－1

(3)
∠ＢＡＰ＝∠ＤＡＱ＝φ とおくと、
　sinφ＝x/√(1+x^2)
　cosφ＝1/√(1+x^2)
θ＝90°－2φ より
　sinθ＝cos2φ＝(1－x^2)/(1＋x^2)　・・・ツテ
　cosθ＝sin2φ＝2x/(1+x^2)
よって、
　tanθ＝(1－x^2)/2x　　・・・トナ

　Ｓ＝(1/2)ＡＰ^2sinθ
　　＝(1/2)(1+x^2)(1－x^2)/(1＋x^2)
　　＝(1－x^2)/2
　　＝ｘ・tanθ　・・・ニ

(4)
x=0.5 のとき
　ＰＱ＝√2/2、sinθ＝(1－x^2)/(1＋x^2)＝0.75/1.25＝3/5
よって、正弦定理より
　２Ｒ＝(√2/2)/(3/5)
　Ｒ＝5√2/12

No.47852 - 2018/01/12(Fri) 16:46:27

☆ Re: 図形の問題教えてください！ / 中三

まだ高校数学は学習中なのであまり宛にしないでください。
シ2
ス3 ※tan60°=√3だからΔAPQは正三角形になります。
セ2
ソ1
タ2
チ1※∠PAQ=45°したがってAP,AC,AQは∠BADを4等分します。
ツ?F　テ?D　ト?F　ナ?B　ニ?A
※わからなかったので余弦定理を使いました。
ヌ5
ネ2
ノ1
ハ2※相似を使いました。

No.47853 - 2018/01/12(Fri) 16:59:51

★ ロルの定理の証明について / タカシ

ロルの定理の証明いついて下から３行目４行目のの部分
について
ｆ'(C)=lim{f(c+h)-f(c)/h}≦０と記載がありますが
=0ではないのでしょうか？
なぜ　≦０　と置けるのでしょうか？
　＜　は必要ないと思いますが。
教えてくださいお願いします。

No.47837 - 2018/01/11(Thu) 22:37:52

☆ Re: ロルの定理の証明について / らすかる

f(c)が最大値であることからh＞0のときf(c+h)≦f(c)なので
f(c+h)-f(c)≦0
(f(c+h)-f(c))/h≦0
∴lim[h→+0](f(c+h)-f(c))/h≦0
です。
「＜」が必要ないというのは、その後の議論によってわかることです。

No.47840 - 2018/01/12(Fri) 09:14:26

☆ ロルの定理の証明についての再質疑 / タカシ

再度質問ですが、解答の中で
…h＞0のときf(c+h)≦f(c)なので…と記載していただいて
いますが、h＞0のときはf(c+h)＜f(c)ではないですか？
なぜイコールがついているのですか？なぜ　≦　のでしょうか？
イコールがつくのは数学的に間違いではないですか？
h＞0のときを議論しているので・・・・
以上よろしくお願いいたします

No.47841 - 2018/01/12(Fri) 10:11:51

☆ Re: ロルの定理の証明について / らすかる

f(c)は最大値ですが、
f(c+h)も最大値の可能性がありますので
＝は必要です。

# 上の方に新しく書き込むと他の記事が下がってしまうのでやめた方がいいです。

No.47843 - 2018/01/12(Fri) 10:44:45

☆ ロルの定理の証明について（再質疑） / タカシ

再度質問ですが、解答の中で

f(c+h)も最大値の可能性がありますのでと言われていますが、理解できません。
具体的にどういうことか、もう少し説明を補足してください。
以上よろしくお願いいたします。

No.47844 - 2018/01/12(Fri) 10:54:15

☆ Re: ロルの定理の証明について / らすかる

例えばa=0,b=4でf(x)が
f(x)=
-x^2+2x (0≦x＜1)
1 (1≦x≦3)
-x^2+6x-8 (3＜x≦4)
という関数の場合に
c=1とすると、
-1≦h≦1のときf(c+h)=f(c)=(最大値)となります。

No.47845 - 2018/01/12(Fri) 11:39:22

☆ Re: ロルの定理の証明について / タカシ

何度も質疑をかけてしまいすいませんが、教えてください。
一番最初に解答いただきた時に
∴lim[h→+0](f(c+h)-f(c))/h≦0
と記載がありますが、この段階でも
lim[h→+0](f(c+h)-f(c))/h＝0
と定義することはできないのでしょうか？
そのあたりを詳しく教えてください。
以上よろしくお願いいたします。

No.47846 - 2018/01/12(Fri) 13:07:29

☆ Re: ロルの定理の証明について / らすかる

それは「定義」できるようなものではありません。
「証明」すれば＝０とできますが、
その証明をしているのがその後の行です。

No.47847 - 2018/01/12(Fri) 13:40:19

☆ ロルの定理の証明について / タカシ

最質疑です。

-1≦h≦1のときf(c+h)=f(c)は最大値となります。
と記載がありますが、c=１、h=－１の時は
f(c+h)=f(1-1)=f(0)=0
f(c)=f(1)=1となり
f(c+h)=f(c)とはなりませんが、教えてください。

No.47870 - 2018/01/13(Sat) 11:40:34

☆ Re: ロルの定理の証明について / らすかる

ごめんなさい、間違えました。
c=1はc=2の間違いです。

No.47872 - 2018/01/13(Sat) 11:52:37

☆ Re: ロルの定理の証明について / タカシ

わかりました。ありがとうござました。

No.47878 - 2018/01/13(Sat) 13:44:32

★ 三平方の定理 / 数学不得意

（１）３９３６　（２）５秒後　１５秒後　どの様にして解いたらいいのかわかりません。詳しい解説よろしくお願いします。

No.47831 - 2018/01/11(Thu) 20:09:23

☆ Re: 三平方の定理 / ヨッシー

cm は省略します。
ＡＣ＝100 であることはあらかじめ求めておきます。
△ＡＦＰ，△ＰＥＡ、△ＰＧＣ、△ＣＨＰは３辺が３：４：５の
直角三角形であることも、おさえておきます。

(1)
２秒後において、ＡＰ＝10、ＰＥ＝6、ＰＦ＝８、ＰＧ＝54、ＰＨ＝72
なので、
　Ｓ＝8×6＋54×72＝3936
(2)
ｘ秒後（0≦x≦20）において、
　ＡＰ＝5x、ＰＥ＝3x、ＰＦ＝4x、ＰＧ＝60－3x、ＰＨ＝80－4x
なので、
　Ｓ＝4x×3x＋(60－3x)(80－4x)
　　＝12x^2＋12x^2－480x＋4800＝3000

　24x^2－480x＋1800＝0
24で割って
　x^2－20x＋75＝0
これを解いて、
　ｘ＝５，１５　（以下略）

No.47833 - 2018/01/11(Thu) 20:27:45

☆ Re: 三平方の定理 / 数学不得意

解説ありがとうございます。ＰＥ＝3x、ＰＦ＝4xの置き方（表し方）がよくわかりません。またAからF、Eの方向に向かって進むのですか？数学不得意なので教えてください。

No.47836 - 2018/01/11(Thu) 21:41:03

☆ Re: 三平方の定理 / 中三

>PE=3x,PF=4xの表し方がよくわかりません。

横から失礼します。
SというのはPE*PF+PG*PHですよね。(長方形の面積より)
AB:AC:AD=80:100:60すなわち4:5:3となるのでAP=5xとおくと
PE=3x,PF=4xとなります。(AB:AC:AD=PF:AP:PE)

No.47850 - 2018/01/12(Fri) 16:20:49

☆ Re: 三平方の定理 / 数学不得意

中三さん何となくわかりました。解説ありがとうございます。

No.47859 - 2018/01/12(Fri) 21:00:34

★ 関数の極限 / トム

221の（2）の問題の解き方がよくわかりません。
特にXが2になる時の極限が無限になるのが理解できていません。
極限はないと考えてしまいます。

No.47829 - 2018/01/11(Thu) 19:46:35

☆ Re: 関数の極限 / ヨッシー

ｘ→２＋０のとき
分子は２に近づき、分母は正の値を取りつつ０に近づくので、＋∞に発散します。
ｘ→２－０のとき
分子は２に近づき、分母は正の値を取りつつ０に近づくので、＋∞に発散します。
ｘ→２＋０のとき　と　ｘ→２－０のときがともに
＋∞に発散するので、ｘ→２も同様です。

No.47830 - 2018/01/11(Thu) 19:54:50

☆ Re: 関数の極限 / トム

すっかり勘違いしてました。
ありがとうございました！

No.47835 - 2018/01/11(Thu) 21:25:01

★ (No Subject) / マット

二整数の和が192、最小公倍数660の時、この2数を求めよ
二整数をA,B,ただしAの方がおおきい。とする。
最大公約数をGとする。
a＋b※G＝192
abG＝660
abとa＋bは互いに素より192と660の最大公約数がGであり、
と旺文社の公式活用辞典にあるのですが、最後の一文の意味が分かりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします

No.47828 - 2018/01/11(Thu) 18:42:10

☆ Re: / ヨッシー

Ａ＝ａＧ、Ｂ＝ｂＧ　（ａとｂは互いに素）とおける。
の一文が抜けています。
a＋b※G＝192　は　(a＋b)×G＝192
のことですね？

最後の一文で、わからないというのは、
・なぜ、ab と a+b が互いに素なのか？
・両者が互いに素だと、なぜ、192と660の最大公約数がGなのか？
によって、回答が変わります。

前者の場合
ab と a+b に共通の素数の約数ｃがあるとすると
a=a'c または b=b'c と書け、同時に、a+b＝dc と書けます。
a=a'c であるとき　a+b＝a'c＋b＝dc　より　b=(d-a')c
となり、a,b が互いに素であることに矛盾

後者の場合
Ｇより大きい公約数cＧ（ｃは素数）が存在すると、ｃは
ab と a+b の公約数となるので、矛盾。

のような感じです。

No.47832 - 2018/01/11(Thu) 20:15:17

★ 高校数学　命題 / 山本五十六

こんにちは。この問題２つがどうしても、解らないです。教えて頂けないでしょうか？

5⃣nが自然数のとき、対偶を用いて次の証明せよ。　
?@「nが奇数→n＋１は偶数」

?A「n２乗は奇数→nは奇数」　
写真も一緒に、送らせて頂きます。お願いします。

No.47824 - 2018/01/11(Thu) 16:24:30

☆ Re: 高校数学　命題 / ヨッシー

(2) の対偶は
　ｎが偶数　→　ｎ^2が偶数
証明）ｎが偶数の時、ｋを任意の自然数として、
　ｎ＝２ｋ
と書けます。このとき、
　ｎ^2＝４ｋ^2＝２(２ｋ^2)
となり、ｎ^2 は偶数となります。

(1) も、同様にｋを使って示せます。なお、対偶を取らずにそのままでも証明できます。

No.47827 - 2018/01/11(Thu) 18:25:16

★ 高校受験過去問のものです / りょーた

この問題の解き方が分かりません。数学が不得意なので、こんなのも分からないの？授業聞いてた？と思うかもしれませんが、お答え頂けると嬉しいです。過去問集のつくりの都合で、手書きの下手な図になってしまい、申し訳ありません。
問題➡ 図で、放物線y＝2x^2（これを?@とする）上に点 P Qがあり、y座標はそれぞれ 8,18です。また、?@上にy座標が2である点R,Sがあります。このとき、次の各問いに答えなさい。
⑴直線PQの方程式を求めなさい。
⑵四角形PQRSの面積を求めなさい。
⑶四角形PQRSと△QRTの面積が等しくなるような点Tを直線PQ上にとります。この時点Tの座標を求めなさい。ただし、点Tのx座標は正とする。
よろしくお願いします。