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★ 体積比、教えてください! / 中3
正四面体ABCDがあり点E,Fはそれぞれ辺AB,ACの中点,点GはAG:GD=2:1となる点である。このとき、E,B,C,F,Gを頂点とする立体の体積は、正四面体ABCDの体積の何倍か。
答えは1/2です。解き方を教えて下さい。
No.47353 - 2017/12/19(Tue) 19:53:15
☆ Re: 体積比、教えてください! / ヨッシー
四面体ＡＥＦＧの体積は、ＡＥＦを底面とすると、
　底面はＡＢＣＤの1/4倍
　高さは、2/3 倍
　体積は 1/4×2/3＝1/6 倍
四面体ＧＢＣＤの体積は、底面ＢＣＤは共通で、
　高さは 1/3 倍なので、体積も 1/3倍。
残りが求める立体の体積なので、
　1−1/6−1/3＝1/2（倍）
No.47354 - 2017/12/19(Tue) 19:57:15
☆ Re: 体積比、教えてください! / らすかる
別解
底面をABCの面とすると、
四角錐G-BCFEは三角錐D-ABCと比較して
底面積が3/4倍、高さが2/3倍なので
四角錐G-BCFEの体積は三角錐D-ABCの体積の
(3/4)×(2/3)=1/2倍となります。
No.47356 - 2017/12/19(Tue) 20:01:12
☆ Re: 体積比、教えてください! / 中3
ヨッシーさん、らすかるさん分かりやすい解説ありがとうございました!
No.47357 - 2017/12/19(Tue) 20:36:02
★ 大小関係がわかりません / 枕草子
3-√6と2-√2の大小を考えるときどうすればいいですか？
近似値を覚える必要があるんですか？

どっちが大きいか小さいかがわからなくてセンターIAの不等式の問題でミスしてしまいました。。
No.47349 - 2017/12/19(Tue) 14:09:51
☆ Re: 大小関係がわかりません / IT
√6をなくします。

3-√6と2-√2　移項して
1+√2 と　√6　二乗して
3+2√2 と 6　ここで判定する（√2 < 1.5を使って）か、移項して
2√2 と　3 ここで判定するか、2乗して
8 < 9
No.47351 - 2017/12/19(Tue) 15:44:50
★ 二次関数の問題です。 / 高校三年
aを定数ととし、2次関数y=x^2-(2a-2)x-2a+9…?@のグラフをGとする。
問1. Gの頂点の座標を求めよ。
問2. Gが(7,8)を通る時のaの値を求めよ。
問3. aの値によらず、Gはつねに点Pを通る。点Pの座標を求めよ。
問4. a>0とする。?@においてすべての実数xに対してy>0となるときのaの値の範囲を求めよ。
問5. a>0とし、すべての整数xに対してy>0となるときのaの値の範囲を求めよ。

問1〜問4は解けましたが、問5の解き方がわかりません。解説には以下のようにあったのですが、意味が理解できませんでした、教えていただきたいです。

以下問5の解説

すべての整数xに対してy>0となるのは、軸x=a-1に最も近い整数xに対してy>0となるときである。
a>0よりa-1>-1であることから、
x=-1のときy=8>0
x＝0のときy=9-2a>0よりa<9/2…?A
x=1のときy=12-4a>0よりa<3…?B
x=2のときy=17-6a>0よりa<17/6…?C
?A,?B,?Cの共通範囲を求めるとa<17/6であり、このとき、軸x=a-1<11/6<2であるから、x≧3のときy>0である。
よって、0<a<17/6

以上

なぜx=0,1,2のときを調べると答えが出るのでしょうか…？
初歩的な質問で申し訳ありませんが、どうぞよろしくお願いします。
No.47345 - 2017/12/19(Tue) 00:55:58
☆ Re: 二次関数の問題です。 / らすかる
0,1,2のときでなく
「-1」「0」「1」「2」「3以上」
について調べていますね。
a＞0からa-1＞-1すなわち軸の位置がx＞-1なので
-1以上の整数について調べれば十分です。
No.47346 - 2017/12/19(Tue) 01:28:11
☆ Re: 二次関数の問題です。 / 高校三年
すみません…。
なぜ軸のx座標がx=1とx=2の間にあるとわかるのでしょうか…？
x=-1とx=0の間もしくはx=0とx=1の間ではないというのは、どこからわかるのですか？
No.47348 - 2017/12/19(Tue) 13:58:06
☆ Re: 二次関数の問題です。 / らすかる
「軸のx座標がx=1とx=2の間にある」という文は私には見つけられませんが、
どこかに書いてあったのですか？
No.47350 - 2017/12/19(Tue) 15:27:18
☆ Re: 二次関数の問題です。 / 高校三年
解説に図で示してありました。
No.47352 - 2017/12/19(Tue) 18:36:33
☆ Re: 二次関数の問題です。 / らすかる
その図は単なる例であって、
「軸のx座標がx=1とx=2の間にある」わけではないですね。
実際、答えが0＜a＜17/6ということは
軸はx=a-1から-1＜x＜11/6の範囲にあるわけですから、
aの値によっては-1と0の間、0と1の間にもあります。
No.47355 - 2017/12/19(Tue) 19:57:39
☆ Re: 二次関数の問題です。 / 高校三年
なるほど…！今理解できました。
長々とすみません。ありがとうございました！
No.47359 - 2017/12/19(Tue) 23:06:06
★ (No Subject) / るいと
a^2+b^2(a,bは整数)が3で割り切れる時、a,bはともに3で割り切れることを示せ。

これは、どのようにするのでしょうか。
対偶を示すのですか？
示すなら、その対偶は何ですか？
No.47341 - 2017/12/18(Mon) 19:06:27
☆ Re: / IT
対偶を示せばいいと思います。

（対偶）
整数a,b の少なくとも1つが３で割り切れないとき、a^2+b^2は３で割り切れない。

なお a^2+b^2はa,bについて対称なので、aが３で割り切れないときを考えればよいです。
No.47342 - 2017/12/18(Mon) 20:02:08
★ (No Subject) / サトル
2n＋1で割る理由教えて下さい。
No.47339 - 2017/12/18(Mon) 18:10:01
☆ Re: / X
添付されている画像に表示されている参考書？の中で
ご質問の式以降の行を一通り
(つまりご質問の問題の解説全て)
読みましたか？
その上で分からないのであれば、
再度その旨をアップして下さい。
No.47340 - 2017/12/18(Mon) 18:56:24
☆ Re: / X
添付されている画像に表示されている参考書？の中で
ご質問の式以降の行を一通り
(つまりご質問の問題の解説全て)
読みましたか？
その上で分からないのであれば、
再度その旨をアップして下さい。
No.47340 - 2017/12/18(Mon) 18:56:24
★ (No Subject) / サトル
2n＋1で割る理由教えて下さい。
No.47339 - 2017/12/18(Mon) 18:10:01
☆ Re: / X
添付されている画像に表示されている参考書？の中で
ご質問の式以降の行を一通り
(つまりご質問の問題の解説全て)
読みましたか？
その上で分からないのであれば、
再度その旨をアップして下さい。
No.47340 - 2017/12/18(Mon) 18:56:24
☆ Re: / X
添付されている画像に表示されている参考書？の中で
ご質問の式以降の行を一通り
(つまりご質問の問題の解説全て)
読みましたか？
その上で分からないのであれば、
再度その旨をアップして下さい。
No.47340 - 2017/12/18(Mon) 18:56:24
★ Re: Re:有機化学　正四面体 / 前進
頂点のＣＯＯＨは固定でＨＯ　ＣＨ^3 Ｈ(回転するらしいです)の場所がなぜ画像のようになるのかがわかりません。

それと🄫をどこに設定するとそれぞれの頂点方向に向かっているのかがわかりません。

よろしくお願いいたします。
No.47334 - 2017/12/18(Mon) 01:45:02
☆ Re: Re:有機化学　正四面体 / 前進
今、考えておりましたが前半は顕微鏡のレボルバーのようにすれば点が一致したので理解できました。

後半をよろしくお願いいたします。

尚前半もほかの考え方があればよろしくお願いいたします。
No.47335 - 2017/12/18(Mon) 01:49:47
☆ Re: Re:有機化学　正四面体 / angel
えっと、質問とあっているかは分かりませんが…。

まず基礎としてはメタン ( CH4、詳細はwikipediaの記事を参照のこと ) の配置がありまして。
正四面体の中心 ( 重心 ) に炭素原子が、正四面体の各頂点に水素原子が来る配置となります。

もし具体的に座標を知りたい、ということなら、もちろんどこにどう置くかで変わるのですが、一例として
C:原点、H:(0,0,1),(2√2/3,0,-1/3),(-√2/3,√6/3,-1/3),(-√2/3,√6/3,-1/3)

で、この問題の乳酸の場合。接続されているものが違うので、ぴったり正四面体というわけではないのですが、メタンの場合と似た、正四面体のような配置になりますよ、という話になっています。
No.47337 - 2017/12/18(Mon) 10:55:53
☆ Re: Re:有機化学　正四面体 / 前進
返信遅れて申し訳ありません。wikipediaの記事を見ると頂点へは長さがすべておなじでした。

C:原点、H:(0,0,1),(2√2/3,0,-1/3),(-√2/3,√6/3,-1/3),(-√2/3,√6/3,-1/3)　ちょっとまだ数学が理解できてないですが図から重心は底面からある高さのところにあることが分かったので、今回は一応これで終わりとして、数学をした後にもう一度考えてみます。
ありがとうございました
No.47414 - 2017/12/23(Sat) 12:51:20
★ (No Subject) / そーた
106の(2)の答えは8/9であってますか？
No.47332 - 2017/12/17(Sun) 21:46:25
☆ Re: / IT
違うような気がしますが、どうやって出されましたか？

虚数である確率
1,-1は同じグループ、i,-iは同じグループとします。

３^3=27通りのうち
積X1X2X3が虚数になるのは
{1,1,i},{i,i,i}のパターンなので３+１＝４通り。
No.47333 - 2017/12/17(Sun) 23:16:09
★ (No Subject) / サトル
144を素因数分解して、12にするやり方教えて下さい。
バカな質問ですいませんけど。
No.47331 - 2017/12/17(Sun) 18:22:52
☆ Re: / ヨッシー
問題文を正しく書いて下さい。（丸写しがベスト）

聞きたいことはなんとなくわかりますが、このままでは、
「144を素因数分解しても 12 にはなりません」
としか言いようがありません。
No.47338 - 2017/12/18(Mon) 14:07:11
★ 指数対数 / 高2
この問題の解答がわかりません
解説をお願いします。
No.47330 - 2017/12/17(Sun) 16:21:35
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
　s＝log[2]ｘ
において、ｘ＞１ であるので、ｓ＞０　・・・ア
　log[2]Ａ＝log[2](x^3・y^4)＝log[2]x^3＋log[2]y^4
　　　＝3log[2]x＋4log[2]y＝3s＋4t　　・・・イウ
また、
　(4y)^(log[8]x)＝2
より
　log[8]x＝log[4y]2
　log[2]x/log[2]8＝log[2]2/log[2]4y
　s/3＝1/(t＋2)
　s(t＋2)＝3　　・・・エオ
ｓ＞０ より
　t＋2＝3/s
　t＝3/s−2
これを、
　log[2]Ａ＝3s＋4t
に代入して、
　log[2]Ａ＝3s＋4(3/s−2)
　　　　＝3s＋12/s−8　・・・カキクケ
No.47336 - 2017/12/18(Mon) 10:32:41
☆ Re: 指数対数 / 高2
ヨッシーさんありがとうございます。
解決できました。
復習します。
No.47347 - 2017/12/19(Tue) 04:16:32
★ (No Subject) / ゆきな
113の(1)を教えてください。
No.47328 - 2017/12/17(Sun) 08:14:03
☆ Re: / X
条件から
m=23k (A)
n=23l (B)
(k,lは互いに素な自然数)
と置くことができます。
(A)(B)を
mn=11109
に代入して整理をすると
kl=21
∴求める最小公倍数は
23kl=483
No.47329 - 2017/12/17(Sun) 09:18:01
★ 整数問題 / Gaba
nを自然数とする。(2+√3)^nの整数部分が奇数であることを示せ。
わかる方お願いします。
No.47324 - 2017/12/16(Sat) 22:34:17
☆ Re: 整数問題 / angel
うーん…。高校範囲でしょうか。
ノーヒントだと厳しいような気もしますが、次のヒントがあれば行けるでしょうか。

* 数列 a[n] を a[n]=(2+√3)^n+(2-√3)^n と定義する
* 数列 a[n] は a[n]=4a[n-1]-a[n-2] ( n≧3 ) を満たす
* 数列 a[n] は n≧1 において常に偶数である ← 帰納法で
* (2+√3)^n=a[n]-(2-√3)^n により、この整数部分は奇数である ← (2-√3)^n の大きさが結構小さいことに着目
No.47325 - 2017/12/16(Sat) 22:45:42
☆ Re: 整数問題 / らすかる
(2+√3)^n+(2-√3)^nが偶数であることは
二項定理でも言えますね。
No.47327 - 2017/12/16(Sat) 23:02:31
★ 固有ベクトル / take
A =
| 1 2 0 |
| -1 5 1 |
| 0 -1 1 |
の固有値、固有ベクトルを求めなさい

という問題なのですが、
固有値は1, 2, 4であると求まりました。
固有値が1の場合を考えたときに、固有ベクトルが0になってしまい、困っています。
そのようなことはあり得ますか？
計算ミスでしょうか？
No.47318 - 2017/12/16(Sat) 15:34:36
☆ Re: 固有ベクトル / X
固有値1に対する固有ベクトルを
(x,y,z)
とすると、条件から
2y=0 (A)
-x+4y+z=0 (B)
-y=0 (C)
(A)(B)(C)より
y=0,z=x
∴固有ベクトルは
(1,0,1)
です。
No.47321 - 2017/12/16(Sat) 19:52:37
☆ Re: 固有ベクトル / take
ありがとうございます。
解決の方法が理解できました。

λ=1に属する固有ベクトルvを(x,y,z)とおく
Av=λvより
y=0
x-4y-z=0
自由度は1より
0以外の任意の実数tを使い
x=tとおくと
z=t
よって、

v=t(1,0,1)
但しtは0以外の実数
No.47326 - 2017/12/16(Sat) 23:01:39
★ ABC予想 / ζ
ABC予想が証明された。望月教授が成し遂げた。
偉業ですね。
No.47314 - 2017/12/16(Sat) 06:25:52
★ 中３です / FireFighter
一辺が2cmの正六角形を底面とする高さが3cmの正六角柱です。
E,G,Jを頂点とする三角形EGJの面積を教えてください。
No.47310 - 2017/12/15(Fri) 23:35:10
☆ Re: 中３です / らすかる
Kから直線GJに垂線KPを下ろすとKP=√3ですから
EP=√{3^2+(√3)^2}=2√3ですね。
GJ=4なので、△EGJ=GJ×EP÷2=4√3となります。
No.47313 - 2017/12/16(Sat) 01:44:43
★ 数列の極限 / 高３
写真の(3)をお願いしますm(_ _)m
No.47306 - 2017/12/15(Fri) 20:54:06
☆ Re: 数列の極限 / 関数電卓
(3)
　0≦a[n]＝∫[0,1]e^(-1)x^nkdx≦∫[0,1]x^ndx＝1/(n＋1)　(∵ e^(-1)≦1) だから lim[n→∞]a[n]＝0 …(*)
　(1)(2)より、a[n]＝n !{1−(1/e)Σ[1,n](1/k !)} を(*)にあてはめて
　lim[n→∞]n !{1−(1/e)Σ[1,n](1/k !)}＝0　∴ 1−(1/e)Σ[1,∞](1/k !)}＝0

と、ここまでは誘導通りに来るのですが、和の初期値がいつのまにか k＝1 から k＝0 になっているところがうまく説明できませんね？！？
No.47311 - 2017/12/16(Sat) 00:36:52
☆ Re: 数列の極限 / IT
?納k=1,n](b[k-1]-b[k])=b[0]-b[n]=?納k=1,n](e^(-1))/k!
b[n]=a[n]/n! →0（n→∞) なので
?納k=1,n](e^(-1))/k!　→b[0]=1-e^(-1) （n→∞)

?納k=1,n](e^(-1))/k!+e^(-1)→1 （n→∞)
?納k=0,n](e^(-1))/k!→1 （n→∞)
?納k=0,n]1/k!→e （n→∞)
No.47315 - 2017/12/16(Sat) 13:18:00
☆ Re: 数列の極限 / IT
関数電卓さん＞
> 　(1)(2)より、a[n]＝n !{1−(1/e)Σ[1,n](1/k !)}

b[n]=b[0]−(1/e)Σ[1,n](1/k !)} なので
a[n]＝n !{b[0]−(1/e)Σ[1,n](1/k !)} ですが、
b[0]=1 ではなくて、
b[0]=a[0]=∫[0,1]e^(-x)dx=1-(1/e) になると思います。
No.47316 - 2017/12/16(Sat) 13:35:17
☆ Re: 数列の極限 / 関数電卓
IT さん>>
> b[0]＝1 ではなくて、
> b[0]=a[0]=∫[0,1]e^(-x)dx=1-(1/e) になる

その通りですね。ご指摘有り難うございます。
No.47317 - 2017/12/16(Sat) 14:02:38
☆ Re: 数列の極限 / 高３
ありがとうございます。分かりましたm(_ _)m
No.47319 - 2017/12/16(Sat) 17:12:58
★ 重複組み合わせ / ぬーお
■一つももらえない人がいてもよい分け方(アイ)→
9個の墓石の両端を含めた10個の隙間から、仕切りを入れる場所を2個を選ぶと考えて10C2で計算したのですが、間違ってました。どのように考えたら11C2となりますか？
写真が一枚しか貼れないので、自分の解き方は記号で書きます。
◯=墓石、|=仕切りを入れる場所です。
|◯|◯|◯|◯|◯|◯|◯|◯|◯|

解説の墓石と仕切り12個を並び替えるという解き方に疑問は無いのですが、何故自分の計算では答えが変わってしまうのか教えていただきたいです。

■全員少なくとも1個はもらえるような分け方(ウエ)→9個の墓石の隙間8個から2個を選ぶ=8C2で計算して答え合ってましたが、これはただの偶然でしょうか？
No.47302 - 2017/12/15(Fri) 19:07:29
☆ Re: 重複組み合わせ / ぬーお
墓石じゃなくて碁石でした。すみません
No.47303 - 2017/12/15(Fri) 19:09:56
☆ Re: 重複組み合わせ / シロネッカー
仕切りを●で表すと
例えば
〇〇●●○○○○○○○
のような仕切りが隣り合ってる配置も可能なので11C2でなければなりません。

全員少なくとも1個はもらえるような分け方でも
○○○○●●○○
のような仕切りが隣り合ってる配置も考えなければならないので正解なされたのは偶然かと思います。
No.47304 - 2017/12/15(Fri) 20:24:40
☆ Re: 重複組み合わせ / シロネッカー
あ！、全員少なくとも1個のほうは隣り合ってる仕切りを考えなくてもいいから
◯|◯|◯|◯|◯|◯|◯|◯|◯
のような考え方でもいいですね！
偶然ではなく必然の正解です。
No.47305 - 2017/12/15(Fri) 20:32:33
☆ Re: 重複組み合わせ / ぬーお
返信ありがとうございます。
図を描いて確認してみたのですが、10C2だとBがもらえない場合を考えてないことになるんですね(´Д` ;)
納得しました。ありがとうございました！！
No.47307 - 2017/12/15(Fri) 21:37:13
★ (No Subject) / 寒い
座標平面上で12の格子点を考える
｛(x,y)|x=1,2,3,4,y=1,2,3｝
この中から3点を選んでできる三角形の中でその頂点の余弦の最小値はタチ√ツテ/トナである
答え−3√10/10らしんですけど……。どの点結んだ時なのでしょうか？私は(x,y)=(1,1)(2,1)(4,2)を結んだ時の−2√5/5が最小だと思ったけど……
No.47299 - 2017/12/15(Fri) 07:49:11
☆ Re: / takec
余弦の定理

cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc

より、頂点Aと向かい合う辺aが大きいとcos Aは小さい値をとるので、

{(x,y)|x=1,2,3,4, y=1,2,3}

の中から辺aを最も大きくなるようにとると、
(x,y) = (1,1) , (4,3)
の2点が第一候補となるかと思います。

あとは、頂点に接する辺b,cが小さいとcos Aが最大になるので、実際にあてはめて計算をすると、

(x,y) = (3,2)

のときにcos Aが最小になります。
No.47300 - 2017/12/15(Fri) 09:04:36
★ 不明 / 瑠梨
テスト問題ですが、配点0でした。どこがおかしいのかわからないので、教えてください。

【問題】
半径1の円周上に相異なる3点A、B、Cがある。
(1)AB^2+BC^2+CA^2＞8ならば?僊BCは鋭角三角形であることを示せ。
(2)AB^2+BC^2+CA^2≦9が成立することを示せ。また、この等号が成立するのはどのような場合か。

【解答(1)】
(1)対偶を示します。
「?僊BCが直角三角形または鈍角三角形ならばAB^2+BC^2+CA^2≦8」
?僊BCが直角の場合
∠Aを直角として考えます。このときBCは直径で、これをB0C0とします。AB0^2+C0A^2=B0C0^2より、AB0^2+B0C0^2+C0A^2=2B0C0^2=8で等号成立です。
∠ABCが鈍角の場合
弧AB0上にBを弧C0A上にCを取ります。
このとき明らかにAB＜AB0、BC＜BC0、CA＜CA0なので、
AB^2+BC^2+CA^2＜AB0^2+BC0^2+CA0^2≦8が成り立ちます。
∠Aが鈍角の場合は?僊BCを回転させれば上記のように配置できるので、一般の場合で示せたことのなります。なお鈍角三角形の外心は鈍角三角形の外にあることは既知としました。
以上より対偶が示せたので、元の命題も正しいです。

【解答(2)】
BC=2sinA、CA=2sinB、AB=2sinC
AB~2+BC^2+CA^2=4(sinA)^2+4(sinB)^2+4(sinC)^2
=4(sinA)^2+4(sinB)^2+4(sin(π-A-B))^2
=4(sinA)^2+4(sinB)^2+4(sin(A+B))^2
=4(1-cos2A)/2+4(1-cos2B)/2+4(1-cos2(A+B))/2…倍角の公式より
=6-2{cos2A+cos2B+cos2(A+B)}
=6-2{cos(A+B)cos(A-B)+2(cos(A+B))^2-1}…和積の公式と倍角の公式より
=6-2{2cos(A+B)(cos(A-B)+cos(A+B))-1}
=6-2{2cos(A+B)cosAcosB-1}…和積の公式より

(1)より鋭角三角形の場合だけ考えればよいので、0°＜A＜90°、0°＜B＜90°、0°＜A+B＜180°で、2cos(A+B)cosAcosBはどんなに小さく見積もっても0なので、
6-2{2cos(A+B)cosAcosB-1}≦8＜9より題意は成り立ちます。
等号成立は計算で正三角形であることを示しました。

大変読み取りづらいとは思いますが、これが私の答案です。自分ではできたつもりなんですが、どこがどうしていけないんでしょうか。よろしくお願いします。
No.47296 - 2017/12/14(Thu) 22:07:36
☆ Re: 不明 / IT
> 【解答(1)】
> (1)対偶を示します。
> 「?僊BCが直角三角形または鈍角三角形ならばAB^2+BC^2+CA^2≦8」
> ?僊BCが直角の場合
> ∠Aを直角として考えます。このときBCは直径で、これをB0C0とします。AB0^2+C0A^2=B0C0^2より、AB0^2+B0C0^2+C0A^2=2B0C0^2=8で等号成立です。

> ∠ABCが鈍角の場合
記入ミスがあるようです。それと０点になった原因との判別が付きません。確認して修正されることをお勧めします。

> 弧AB0上にBを弧C0A上にCを取ります。
B0、C0　とは何ですか？
△ABCが直角三角形の場合に決めたB0、C0　のことかとも思いますが、△ABCが鈍角の場合の各頂点ABCとの位置関係が不明確だと思います。
No.47298 - 2017/12/14(Thu) 22:41:59
☆ Re: 不明 / らすかる
先に△AB0C0があって「弧AB0上にBを弧C0A上にCを取」るという決め方だと、
例えば△AB0C0がAB0=AC0=√2の直角三角形であった場合に
BC＞√2であるような鈍角三角形は弧AB0上にB、弧C0A上にCをどのようにとっても
作れません。
従って、まず「任意の鈍角三角形に対して、それに対応する直角三角形AB0C0が
存在する」ことから言わないといけませんが、そこに言及されていませんので
証明になっていないということではないかと思います。
No.47301 - 2017/12/15(Fri) 11:57:13
☆ Re: 不明 / 瑠梨
回答ありがとうございます。

＞記入ミスがあるようです。

すみません、記入ミスとはどこのことでしょうか。

＞B0、C0　とは何ですか？

おっしゃる通り、?僊BCが直角三角形になるときのBをB0、CをC0としました。

＞先に△AB0C0があって「弧AB0上にBを弧C0A上にCを取」るという決め方だと、

∠Aが鈍角の場合、外心は?僊BCの外、特にBCに関してAと反対側に必ずありませんか。なのでAの位置によらずAB＜AB0、BC＜BC0、CA＜CA0は任意の鈍角三角形に対して成り立つと思うのですがここがおかしいのでしょうか。

＞「任意の鈍角三角形に対して、それに対応する直角三角形AB0C0が存在する」

これはどのように証明すればよいのでしょうか。
No.47308 - 2017/12/15(Fri) 22:17:18
☆ Re: 不明 / IT
>＞記入ミスがあるようです。

> すみません、記入ミスとはどこのことでしょうか。

私の推測では下記の通りですが、ご自分で確認されるべきことと思います。。

> ?僊BCが直角の場合
　「直角」→「直角三角形」　ではないかと思います。

> ∠Aを直角として考えます。このときBCは直径で、これを
> B0C0とします。AB0^2+C0A^2=B0C0^2より、
> AB0^2+B0C0^2+C0A^2=2B0C0^2=8で等号成立です。
> ∠ABCが鈍角の場合
「△ABCが鈍角三角形の場合」と書かれたいのではないかと思いますが、ほんとにそうなのかは、あなたにしか分かりません。
No.47309 - 2017/12/15(Fri) 22:33:25
☆ Re: 不明 / らすかる
> なのでAの位置によらずAB＜AB0、BC＜BC0、CA＜CA0は任意の鈍角三角形に対して成り立つと思うのですがここがおかしいのでしょうか。
おかしいです。
（上に書いたことで一部誤りがありました。BC＞√2はAC＞√2の誤りです。）
AB0=AC0=√2の場合、AB=0.1、AC=1.5の鈍角三角形ではCA＜CA0が成り立ちません。
（Aが鈍角三角形に応じて自由に動くと考えているのなら、その考え方に問題があります。）

> ＞「任意の鈍角三角形に対して、それに対応する直角三角形AB0C0が存在する」
> これはどのように証明すればよいのでしょうか。
これは証明しにくいので、例えば
任意の鈍角三角形ABC（Aが鈍角）に対してBDが直径となるようにDを円周上にとれば、
△ABDは直角三角形でBD＞BC、DA＞CAなので
AB^2+BC^2+CA^2＜AB^2+BD^2+DA^2=8
のように示せばよいと思います。
No.47312 - 2017/12/16(Sat) 01:29:44
☆ Re: 不明 / 瑠梨
回答ありがとうございます。

＞私の推測では下記の通りですが、ご自分で確認されるべきことと思います。。

大変失礼致しました。ご指摘の通りですね。

らすかる様の回答で(1)は理解できました。

(2)も誤りをご指摘いただけないでしょうか。
No.47322 - 2017/12/16(Sat) 21:58:15
☆ Re: 不明 / らすかる
最初の和積の公式で
cos2A+cos2B を cos(A+B)cos(A-B) としているのは誤りです。
（でも次の行で2が現れていますので、これは単なる書き間違いだと思います。）

次の和積の公式で
cos(A-B)+cos(A+B) を cosAcosB としているのは誤りです。
2cos(A+B)cosAcosB でなく 4cos(A+B)cosAcosB となります。

「2cos(A+B)cosAcosBはどんなに小さく見積もっても0」は誤りです。
（これが致命的誤り）
例えばA=B=60°の場合、2cos(A+B)cosAcosB=-1/4です。

鋭角三角形の場合は8より大きいのですから、
「6-2{2cos(A+B)cosAcosB-1}≦8」となったところで
おかしいところに気付かないといけないですね。

あと余談ですが、
解答の途中で
sin(π-A-B)
0°＜A＜90°
のように弧度法と度数法を混ぜるのは良くないです。
どちらかに統一しましょう。
（問題にどちらかがある場合は当然それに合わせる）
No.47323 - 2017/12/16(Sat) 22:29:01
☆ Re: 不明 / 瑠梨
回答ありがとうございます。誤りは大変よくわかりました。

誤りを改善したら、まず

8-8cosAcosBcos(A+B)

となりました。ここからですが、

f(A)=cosAcosBcos(A+B)とおいて、f(A)の最小値を求めました。その過程は、微分法を利用して、

f'(A)=-cosBsin(2A+B)

f'(A)=0は2A+B=πのときで、このときf(A)は極小かつ最小になります。つぎにA=(π-B)/2を代入して整理して、

g(B)=cosB(codB-1)/2

g'(B)=-sinB(cosB-1/2)

g'(B)=0はB=π/3のときで、このときg(B)は極小かつ最小になります。

g(π/3)=-1/8なので、8-8cosAcosBcos(A+B)の最大値は9となり、不等式が証明できたとついでに等号成立時はA=B=C=π/3なので正三角形というのも合わせて求まりました。

これなら解答になっているでしょうか。今度は少し自信があるのですが。

読みにくくて申し訳ございません。
No.47343 - 2017/12/18(Mon) 21:46:34
☆ Re: 不明 / らすかる
はい、それで問題ないと思います。

ちなみに別の方法として、平方完成を使って

6-2{cos2A+cos2B+cos2(A+B)}
=6-2{2cos(A+B)cos(A-B)+2(cos(A+B))^2-1}
=8-4{cos(A+B)cos(A-B)+(cos(A+B))^2}
=8-4{cos(A+B)+cos(A-B)/2}^2+{cos(A-B)}^2
cos(A+B)+cos(A-B)/2=0, cos(A-B)=1 を解くと A=B=π/3となり
このとき最大値9

とする方法もあります。
No.47344 - 2017/12/18(Mon) 23:31:13
☆ Re: 不明 / 瑠梨
最後までお付き合いしていただきましてありがとうございました。大変助かりました。

らすかる様の解答方法はずいぶん簡単に解かれてますね。大変勉強になりました。
No.47358 - 2017/12/19(Tue) 22:08:30
★ 高2レベルです / るー
数列です！
⑵と⑶、教えてください方、ヒントくださる方いませんか？
まず⑵の問題の意味からわかりません。
No.47294 - 2017/12/14(Thu) 21:30:03
☆ Re: 高2レベルです / IT
(2)
ヒント
4^N=2^(2N) なので
2,2^2,...,2^(2N) の和を求めるということです。
No.47295 - 2017/12/14(Thu) 21:40:43
☆ Re: 高2レベルです / るー
ヒントありがとうございます！
頑張ってみます、、
No.47297 - 2017/12/14(Thu) 22:23:38
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