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★ 東大2004年 類題 / 数学大好き
√19+5)^2018の整数部分の下一桁の値を教えてください。
x=5＋√19, y=5−√19, a[n]=x^n＋y^n (n=0,1,2,...)
と置いた後の詳しい過程を知りたいです。
No.47590 - 2018/01/01(Mon) 18:34:47
☆ Re: 東大2004年 類題 / らすかる
a[n]=x^n+y^n={x^(n-1)+y^(n-1)}(x+y)-xy{x^(n-2)+y^(n-2)}
=10a[n-1]-6a[n-2]≡4a[n-2](mod10)
a[0]=2なのでa[2]≡8(mod10),a[4]≡2(mod10)となり
n=4kのときa[n]≡2(mod10), n=4k+2のときa[n]≡8(mod10)
よってa[2018]≡8(mod10)であり
0＜y＜1から0＜y^2018＜1なので、
(√19+5)^2018の整数部分の一の位は7
No.47591 - 2018/01/01(Mon) 20:37:09
☆ Re: 東大2004年 類題 / 数学大好き
回答ありがとうございます。
とてもわかりやすい回答で助かりました。
少し疑問なのですが、

よってa[2018]≡8(mod10)であり
0＜y＜1から0＜y^2018＜1なので、
(√19+5)^2018の整数部分の一の位は7
と言う部分についてですが、
a[2018]の小数一桁目は考慮しなくて良いのでしょうか？
(例えばa[2018]が108.7となっていて、y^2018が0.0001などとなっていた場合x^2018の一の位は8になってしまいます。)
No.47592 - 2018/01/01(Mon) 21:10:46
☆ Re: 東大2004年 類題 / らすかる
a[0]=2,a[1]=10,a[n]=10a[n-1]-6a[n-2] から 各a[n]は整数です。
（ということを明記すべきでしたね。）

# 整数でなければa[2018]≡8(mod10)とは言えません。
No.47593 - 2018/01/01(Mon) 22:30:07
☆ Re: 東大2004年 類題 / 数学大好き
ありがとうございます。
Mod の定義でしたね。
助かりました
No.47597 - 2018/01/02(Tue) 13:13:47
★ (No Subject) / みかん
xy座標平面上の放物線y=(x^2−1)/2をCとしC上の点P(√3,1)におけるCの接線をℓとする

0≦β＜π/6をッ満たす実数としPを中心としてLを反時計回りにβだけ回転させた直線をMとする。CとMで囲まれた部分の面積が2√3であるときtanβは
No.47587 - 2018/01/01(Mon) 15:41:01
☆ Re: / X
条件からlとx軸とのなす角はπ/6
これと条件から
π/6≦β+π/6＜π/3＜π/2
となることから、Mの傾きは正であることが分かります。
ということでMの方程式は
y=a(x-√3)+1
(a＞0)
と置くことができます。
ここから、まずMとCに囲まれた面積について
aの方程式を立てて解きます。
(まずはCとMとの交点のうち、点(√3,1)以外のものの
x座標を求めることを考えます。
上記の議論から、この交点のx座標は
少なくとも√3より大きい
(理由はCとMを図示してみればわかります)
ことに注意しましょう。)


次にMとx軸のなす角をαとすると
tanα=a (A)
又
β=α-π/6
∴tanβ=tan(α-π/6) (B)
(B)の右辺を加法定理で展開し、
(A)を代入します。
No.47588 - 2018/01/01(Mon) 17:00:23
★ (No Subject) / お正月
xy座標平面上の放物線y=(x^2−1)/2をCとしC上の点P(√3,1)におけるCの接線をℓとする

0≦β＜π/6をッ満たす実数としPを中心としてLを反時計回りにβだけ回転させた直線をMとする。CとMで囲まれた部分の面積が2√3であるときtanβは
No.47586 - 2018/01/01(Mon) 15:39:35
★ 動点 / 中三
問　
AB=4cm、BC=16cmの長方形ABCDがある。
点Pは秒速1cmの速さで辺AD上をAからDまで動く点である。
∠BPC=90°となるのは点PがAを出発してから何秒後のときか。
また、このとき∠PBCの大きさを求めよ。
ただし、点PがAを出発してからすでに８秒は経過しているものとする。

この問題を解いてもらえますか？
No.47583 - 2018/01/01(Mon) 09:11:35
☆ Re: 動点 / らすかる
∠BPC=90°となるのは△ABP∽△DPCとなるときなので、AP=xとすると4：x=16-x：4
これを解くとx=8±4√3だが、x≧8なので8+4√3秒後

CPの延長上にQP=2CPとなるように点Qをとると
△BCQはBC=BQ=16の二等辺三角形となり、
QからBCに下ろした垂線BHの長さは4×2=8なので∠QBC=30°
よって∠PBC=(1/2)∠QBC=15°
No.47584 - 2018/01/01(Mon) 11:26:27
☆ Re: 動点 / 中三
らすかるさん
まさか相似を使って解けるとは思ってもいませんでした（自作しておいて言うのもなんですが）。
この問題作成時は、BCを直径とする半円を描いてADとの交点のうちDに近いほうをPとして三平方で解きましたが、∠PBC=15°を導くには90°,75°,15°の三角形の辺の比を知っておく必要がありました。もちろんその３辺の比は三平方の定理と角の二等分線の定理から求められるのですが、さすがに事前知識がないと中学生には難しいかなと思っていました。
しかし、二等辺三角形を作って2∠PBC=30°を求めることにより、∠PBC=15°を出せるとは考えつきませんでした。
ありがとうございました。
高校生が三角関数とか方べきの定理を使って解く問題を、三平方や相似を使って安易に解けちゃうことがあるので、やっぱり中学数学は面白いですね。
No.47585 - 2018/01/01(Mon) 14:28:43
☆ Re: 動点 / X
>>中三さんへ
こちらの方が見ている確率が高そうなので
こちらに書かせていただきます。

レスの削除方法をご存じないようなので
その方法を。

レスにパスワードを設定しておけば
この掲示板の最下部でそのパスワードと
対象のレスのNo.を入力することで
レスを削除することができます。
No.47589 - 2018/01/01(Mon) 17:09:00
★ 整数問題 / 高３
写真の線を引いたところがなぜそうなるのかわかりません。説明お願いしますm(_ _)m
No.47578 - 2017/12/31(Sun) 19:25:00
☆ Re: 整数問題 / IT
線を引いたところの前の４行を良く読まれると分かるとは思いますが、

下線の４行前の「である.このとき,?B?Cより1227を72で割った余りは３であり,35で割った余りは2である.」」とある　「このとき」が「どのとき」を指すのか「?B?Cより」がどこに掛かるのかなど分かりにくい解説ですね。

「このとき,?Bより」は無い方が良いので、簡潔に直すと
「である.(よって)1227を72で割った余りは3であり,?Cより(1227を)35で割った余りは2である.」
No.47581 - 2017/12/31(Sun) 20:13:30
☆ Re: 整数問題 / IT
1227を72で割った余りは3…(あ）
1227を35で割った余りは2…(い）

自然数ｎを72で割った余りが3で　…（う）
35で割った余りが2であるとする　…（え）
---------------------以上は、解説の下線より上に書いてある事項です。----------

（あ）と（う）から1227-nが72の倍数であることは直ぐ分かります。分からなければ下記のとおり。


（あ）1227=72*17+3
（う）n=72k+3 (kは整数）
（あ）-（う）　1227-n=72(k-17)

（い）と（え）から1227-nが35の倍数であることは直ぐ分かります。分からなければ下記のとおり。

（い）1227=35m+2　（mは整数。実は35）
（え）n=35L+2
（え）-（い）n-1227=35(L-m)
No.47582 - 2017/12/31(Sun) 20:23:49
☆ Re: 整数問題 / 高３
ありがとうございます。理解できました
No.47622 - 2018/01/03(Wed) 17:26:46
★ (No Subject) / 高校一年です
お願いします
No.47564 - 2017/12/31(Sun) 11:00:51
☆ Re: / 中三
(1)1/3
(2)2/5
ですか？
まだ条件つき確率はわからないのですが。
たぶん間違ってると思いますのでご了承ください。
No.47571 - 2017/12/31(Sun) 17:18:48
☆ Re: / 中三
(1)1/3
(2)2/5
ですか？
まだ条件つき確率は習ってません。
たぶん間違ってると思いますのでご了承ください。
No.47572 - 2017/12/31(Sun) 17:19:30
☆ Re: / 中三
No.47572は無視してください。
すいません。
No.47573 - 2017/12/31(Sun) 17:20:49
☆ Re: / 中三
この問題じゃありません、間違えました。
下の問題です。
本当に申し訳ありません。
No.47574 - 2017/12/31(Sun) 17:22:17
☆ Re: / X
(1)
Aの袋を選んだ時、赤玉が出る確率は
3/5
Bの袋を選んだ時、赤玉が出る確率は
7/10
よって求める確率は
(1/2)(3/5)+(1/2)(7/10)=13/20

(2)
(1)の過程から、Aの袋を選び、かつ赤玉を
引く確率は
(1/2)(3/5)=3/10

求める確率は赤玉を引いたという条件の下で
引いた袋がAであるという条件付き確率ですので
(1)の結果から
(3/10)/(13/20)=6/13
No.47579 - 2017/12/31(Sun) 19:26:04
☆ Re: / X
補足。
No.47564、No.47563共に条件付き確率の意味が
理解できていないと解けません。
教科書などで学習しましょう。
No.47580 - 2017/12/31(Sun) 19:28:56
★ (No Subject) / こういちです
お願いします
No.47563 - 2017/12/31(Sun) 11:00:21
☆ Re: / X
(1)
求める確率は大きいさいころの目が4,5,6の
いずれかである確率ですので
3/6=1/2

(2)
目の和が6になる小さいさいころ、大きいさいころ
の目の数字の組は
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)
の5通り
この内、差が2となる組は
(2,4),(4,2)
の2通り
よって求める確率は2/5
No.47577 - 2017/12/31(Sun) 19:09:26
★ (No Subject) / お願です
宿だいです
No.47562 - 2017/12/31(Sun) 10:59:25
☆ Re: / X
(1)
条件から
(i)4試合目でAが優勝する場合
確率は
(3C2){(1/2)^2}(1-1/2)(1/2)=…
(ii)4試合目でBが優勝する場合
確率は
(3C2){(1/3)^2}(1-1/3)(1/3)=…
(iii)4試合目でCが優勝する場合
確率は
(3C2){(1/6)^2}(1-1/6)(1/6)=…

(i)(ii)(iii)の場合の確率の和を取って
求める確率は…

(2)
これも以下の場合分けが必要です。
(i)5回目までにA,Bが2回づつ、Cが1回勝つ場合
(ii)5回目までにB,Cが2回づつ、Aが1回勝つ場合
(i)について
求める確率は
[{5!/(2!2!)}{(1/3)^2}{(1/2)^2}(1/6)](1/3)=…
(ii)について
求める確率は
[{5!/(2!2!)}{(1/3)^2}{(1/6)^2}(1/2)](1/3)=…

(i)(ii)の場合の確率の和を取って
求める確率は…
No.47576 - 2017/12/31(Sun) 19:03:29
★ (No Subject) / お願いいたします
宿題です
No.47561 - 2017/12/31(Sun) 10:58:45
☆ Re: / X
まず前準備。
一回の試行で赤玉、白玉が出る確率はそれぞれ
2/3,1/3

(1)
4回目に白玉が出て、残りの3回のうち、白玉が2回
出ればよいので、求める確率は
{(3C2){(1/3)^2}(2/3)}(1/3)=…

(2)
10回目に白玉が出て、残りの9回のうち、白玉が2回
出ればよいので、求める確率は
{(9C2){(1/3)^2}(2/3)^7}(1/3)=…
No.47575 - 2017/12/31(Sun) 18:58:01
★ (No Subject) / お願いします
宿だいです
No.47560 - 2017/12/31(Sun) 10:54:51
☆ Re: / X
(i)a=0のとき
題意を満たします。

(ii)a≠0のとき
f(x)=a(x-1)^2-a+1
となることから、y=f(x)のグラフは
直線x=1を軸とする放物線
よって
(I)a＞0のとき
y=f(x)のグラフは下に凸になり
軸が定義域である
-1≦x≦2
に含まれますので、題意を満たすためには
(f(x)の最小値)=f(1)=-a+1＞0
∴0＜a＜1
(II)a＜0
y=f(x)のグラフは下に凸になり、
軸が定義域である
-1≦x≦2
の中でかつ右寄りになっています。
よって題意を満たすためには
(f(x)の最小値)=f(-1)=3a+1＞0
∴-1/3＜a＜0

以上から求めるaの値の範囲は
-1/3＜a＜1
となります。
No.47570 - 2017/12/31(Sun) 15:54:50
★ (No Subject) / 分かりませーん
お願いします
No.47559 - 2017/12/31(Sun) 10:52:18
☆ Re: / X
xの二次方程式
x^2+2kx-k+2=0
x^2+3x+2k=0
の解の判別式をそれぞれD[1],D[2]
とすると、条件から
D[1]≧0 (A)
D[2]≧0 (B)
(A)(B)をkについての連立不等式として解きます。
No.47569 - 2017/12/31(Sun) 15:48:28
★ (No Subject) / お願いします
宿だいなんです
No.47558 - 2017/12/31(Sun) 10:51:34
☆ Re: / X
条件を満たすためには
(i)y=f(x)のグラフが下に凸の放物線
(ii)y=f(x)のグラフの頂点のy座標が正
の二つの条件を満たさなくてはなりません。
よって…
No.47567 - 2017/12/31(Sun) 12:52:14
★ (No Subject) / 助けてください
宿題でわかりません
No.47557 - 2017/12/31(Sun) 10:50:51
☆ Re: / IT
AからPに行くのは何通りか計算できますか？
計算式を書いてみてください。
No.47568 - 2017/12/31(Sun) 15:27:20
★ (No Subject) / 高校一年です
お願いします
No.47556 - 2017/12/31(Sun) 10:33:47
☆ Re: / X
(1)
xの方程式
(x-a)(x+a-2)=0
を解くと
x=a,2-a
よって
(i)a＜2-a、つまりa＜1のとき
解は…
(ii)a=2-a,つまりa=1のとき
解は…
(iii)2-a＜a,つまり1＜aのとき
解は…

(2)
考え方は(1)と同じです。
まずは問題の不等式の左辺を
たすきがけしましょう。
No.47566 - 2017/12/31(Sun) 12:50:43
★ 高3理系 / 図形問題を愛する男
【問題】
正三角形ABCの内部に点Pがあり、AP＝3，BP＝4，CP＝5である。
このとき△ABCの面積を求めよ。

解説をお願いします！
No.47553 - 2017/12/30(Sat) 23:50:25
☆ Re: 高3理系 / らすかる
まずその図を描いて、
次に△ABCを60°右回転したものを
各辺の外側にそれぞれくっつけて3個描きます。
そして真ん中の三角形のPと
まわりの三角形のP1,P2,P3をそれぞれ結びます。
すると全体は△ABCの面積の4倍ですが、
この図は
(1)1辺の長さが3の正三角形が1個
(2)1辺の長さが4の正三角形が1個
(3)1辺の長さが5の正三角形が1個
(4)辺の長さが3,4,5の直角三角形が3個
(5)△ABPと合同な三角形が2個
(6)△BCPと合同な三角形が2個
(7)△CAPと合同な三角形が2個
に分けられますので
4△ABC={(1)+(2)+(3)+(4)}+{(5)+(6)+(7)}
={(1)+(2)+(3)+(4)}+2△ABC
∴△ABC={(1)+(2)+(3)+(4)}/2=25√3/4+9
と求まります。

# P1,P2,P3だけ作図して六角形AP1BP3CP2を作り、
# △ABP≡△CBP3, △BCP≡△ACP2, △CAP≡△BAP1 から
# 六角形AP1BP3CP2=2△ABCとしてもOKです。
No.47554 - 2017/12/31(Sun) 00:25:06
☆ Re: 高3理系 / 図形問題を愛する男
これは見事な幾何的解法ですね…。美しい！
やはり平面幾何は正義(^^♪
No.47565 - 2017/12/31(Sun) 11:50:03
★ (No Subject) / 中３生
この問題よくわかりません。解説よろしくお願いします。
No.47546 - 2017/12/30(Sat) 19:23:08
☆ Re: / IT
10から20までの整数の和は((10+20)×11)/2
aとa+1 の間の+を見落としたとすると
100a+(a+1)-(a+(a+1)) 増加するので・・・
後はご自分でどうぞ。
No.47547 - 2017/12/30(Sat) 19:41:38
☆ Re: / 中３生
何とかわかりました。解説ありがとうございました。
No.47552 - 2017/12/30(Sat) 21:45:21
★ 中3 助けてください泣 / 蘭
この問題です。
（私の横の図はそんなに信用しないでください）

訳がわからんです。

答えは27√3/112です。（112分の 27ルート3 ）

解説と図が教えていただきたいです、

お願いします。

.
No.47542 - 2017/12/30(Sat) 18:38:52
☆ Re: 中3 助けてください泣 / 蘭
あとすみません！！！

私の計算ではこうなるので、答えは
こーいう図で、答えが下記のとうりです。

答えが間違ってる可能性あります！！！

私の考えとどちらが正しいでしょうか？！

よろしくです！
No.47543 - 2017/12/30(Sat) 18:49:55
☆ Re: 中3 助けてください泣 / X
どちらも正しくありません。

添付図の走り書きを見る限り、蘭さんの方針に
問題は無いようです。

但し、最後に三角錐AQPDの体積を計算している
(と思われる)ところの三角錐ABCDの体積を計算
している部分において、1/3をかけることを
忘れています。

つまり、求める体積は
(3/16)√3
となります。
No.47550 - 2017/12/30(Sat) 20:06:39
☆ Re: 中3 助けてください泣 / 蘭
３分の1……

忘れるなんて…
一生の不覚……


ありがとうございます。
いつも助かってます！

本当に感謝です！！！
頑張ります！！


.
No.47551 - 2017/12/30(Sat) 20:28:44
★ 一次方程式 / 中３生
難しくて解けません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.47541 - 2017/12/30(Sat) 17:56:23
☆ Re: 一次方程式 / IT
Aが走った時間＝x/12 + x/10=(11/60)x

Bが時速9ｋｍで走った時間をt時間とすると
2x=(1/3)×12+(1/3)×11+(1/3)×10+9t
整理すると　2x-9t=11…?@

Bが走った時間＝1+t
Aが走った時間＝Bが走った時間なので

(11/60)x=1+t
60を掛けて整理すると　11x-60t=60…?A

連立方程式?@?Aを解くと　x=40/7

途中式や答えが合っているかは確認してください。
No.47544 - 2017/12/30(Sat) 18:52:42
☆ Re: 一次方程式 / takec
AとBのスタートしてからゴールまでの時間をtとおく。

Aについて考えると、1周目を時速12km、2周目を時速10kmで走ったので、
t = x/12 + x/10
となる。


続いてBについて考えると、スタート時は時速12kmで走り出し、20分経過するごとに1kmずつ減速していき、時速9kmの時にゴールしている。

時速9kmとなった時には、スタートから1時間経過しており、それまでの走行距離は
12 * 20/60 + 11 * 20/60 + 10 * 20/60 = 11km
となっている。

よって、時速9kmで走った距離は、
2x - 11
と表すことができるので、Bのかかった時間は
t = 1 + (2x -11)/9
となる。


今、AとBが同時にゴールしたことから、

x/12 + x/10 = 1 + (2x-11)/9
11x/60 = 2x/9 - 2/9
120x - 99x = 120
21x = 120
x = 40/7

となる。
No.47545 - 2017/12/30(Sat) 18:54:05
☆ Re: 一次方程式 / 中３生
解説ありがとうございました。
No.47555 - 2017/12/31(Sun) 08:04:09
★ 小6 数の性質の問題 / ぶどう
いつも詳しい解説ありがとうございます。
数の性質の問題です　解答は51になります。

よろしくお願いします。
No.47529 - 2017/12/30(Sat) 10:16:40
☆ Re: 小6 数の性質の問題 / IT
3の倍数だけ考えればいいです。
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54
それぞれ３で割れる回数は
1,1,2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3
ですから掛けた数が３で割れる回数は
3つずつ固まりで考えると（1つずつ足してもいいです）
45までで4+4+5+4+4=21　なので
51までで21+1+1=23 になります。
No.47532 - 2017/12/30(Sat) 11:09:14
☆ Re: 小6 数の性質の問題 / 中三
1*2*3*...*□を素因数分解したとき、3の数が23個あればいいんですね。
とりあえず、素因数分解して3が出てくるのは3の倍数のみなので、3*(3*2)*(3*3)*...□/3を素因数分解すると3が23個出てきます。（ここで、□は3の倍数で□/3の値を求めればよいことが分かります。)
単純に考えて、この掛け算が23個続けばよいので少なくとも□/3は23以下であることが分かります。
あとは、3の係数をさらに素因数分解して3が出てくる場合を考えるので
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23
=1*2*(1*3)*4*5*(2*3)*7*8*(3*3)*10*11*(4*3)*13*14*(3*5)*16*17*(2*3*3)*19*20*(7*3)*22*23
として、(ある数)＋(その数の階乗を素因数分解して得られる3の数)=23となるような数を探すとその数は17となり、
□/3=17
したがって□＝51となります。
非常に説明がへたくそで、あくまで自分が解いた過程をそのまま書いてるのでわかりにくいと思います。
たぶんもっときれいな書きかたがあると思います。
ただ今の自分のレベルではこれぐらいしかわかりません。
No.47533 - 2017/12/30(Sat) 11:21:33
☆ Re: 小6 数の性質の問題 / ぶどう
IT様　中三様
詳しい解説ありがとうございました。
No.47537 - 2017/12/30(Sat) 13:08:52
★ 楕円曲線 / なにゃら
楕円曲線について質問です。
弱Mordelの定理では
E(Q)/2E(Q)が有限群であるという定理なのですが
このE(Q)/2E(Q)とはどういう集合ですか？特に2E(Q)の部分がわからないです。E(Q)の元を2倍したものでしょうか？E(Q)は楕円曲線上の加法で群になりますから剰余群だとは思います。
E(Q)は楕円曲線上の有理点の集合に無限遠点を加えた集合のことです。
No.47523 - 2017/12/30(Sat) 08:02:47
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