ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中学　円 / ほのほの

2番の求め方が分かりません。よろしくお願いします。

No.47611 - 2018/01/03(Wed) 09:31:41

☆ Re: 中学　円 / 中三

円O´の中心が辺上を動いてできるひし形の面積とその周りの部分の面積で分けて考えてみてはどうですか？
曲線の部分はうまく組み合わせると、円O´と同じ面積になりますよ。
因みに、1番の解は√3/4であってますか？

No.47613 - 2018/01/03(Wed) 11:31:38

☆ Re: 中学　円 / 中三

即席ですが。

No.47616 - 2018/01/03(Wed) 12:20:54

☆ Re: 中学　円 / X

横から失礼します。
>>中三さんへ
問題文の通りだと、円O'で図のピンクの部分を
埋めつくすことはないのでは？

No.47619 - 2018/01/03(Wed) 14:10:36

☆ Re: 中学　円 / 中三

「円O´の動ける範囲の面積」だと勘違いしてました。

No.47620 - 2018/01/03(Wed) 15:26:10

☆ Re: 中学　円 / 中三

求める面積は以下のようになります。

No.47621 - 2018/01/03(Wed) 15:38:17

★ 中学　自然数 / ほのほの

解法が分かりません。よろしくお願いします。

No.47610 - 2018/01/03(Wed) 08:55:04

☆ Re: 中学　自然数 / 中三

2^3*3^5*5^2がn^2で割り切れたらよいので、
n=2,3,5,3^2,2*3,2*5,3*5,2*3^2,3^2*5,2*3*5,2*3^2*5
（これらを2乗して2^3*3^5*5^2を割っても割り切れますね。）
したがって11個です。

No.47612 - 2018/01/03(Wed) 11:09:30

☆ Re: 中学　自然数 / IT

中三さん
n=1 が漏れているのでは？

n=(2^a)(3^b)(5^c) とすると、n^2=(2^(2a))(3^(2b))(5^(2c)) なので
a=0,1の２通り
b=0,1,2の３通り
c=0,1の２通り
なので、全部で2×3×2＝12個　だと思います。

No.47614 - 2018/01/03(Wed) 11:37:33

☆ Re: 中学　自然数 / 中三

ITさん
ホントだｗ
忘れてました。
ご指摘ありがとうございます。
1も入りますね。

No.47617 - 2018/01/03(Wed) 12:37:25

★ 面積 / 受験生

いつもお世話になってます。73(2)のS2 の面積で1／3をかけてる意味がわかりません。よろしくお願いします。

No.47606 - 2018/01/03(Wed) 01:43:15

☆ Re: 面積 / 受験生

解答です

No.47607 - 2018/01/03(Wed) 01:43:55

☆ Re: 面積 / らすかる

g(x)の2次の係数であるaの値です。
∫[α～β](x-α)(x-β)=-(β-α)^3/6
ですから
∫[α～β]a(x-α)(x-β)=a・{-(β-α)^3/6}
ですね。

No.47609 - 2018/01/03(Wed) 02:25:31

★ 中２　証明＆角度 / りゅう

いつもありがとうございます！

（２６３）の問題で、△ＡＢＣと△ＢＤＡで、
どのように∠ＢＡＣ＝∠ＤＢＡを証明するのか教えてください。

（２６４）の解答は３０°になるのですが、求め方を教えていただけますでしょうか？

どうぞよろしくお願い致します。

No.47605 - 2018/01/03(Wed) 00:33:20

☆ Re: 中２　証明＆角度 / らすかる

263
条件から△DBE≡△ABC∽△BCEなので
∠DBA=∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE=∠EBC=∠CABとなり
DB=AB=ACですから△ABC≡△BDAですね。

264
正方形AECDが出来るように点Eをとると
△ABEは正三角形なので∠BAD=60°+90°=150°から
∠ABD=(180°-150°)÷2=15°
よって∠DBC=∠ABE-2∠ABD=60°-2×15°=30°となります。

No.47608 - 2018/01/03(Wed) 02:17:31

☆ Re: 中２　証明＆角度 / りゅう

今回もとても分かりやすく教えていただいてどうもありがとうございました！
すぐにわかりました！

No.47626 - 2018/01/03(Wed) 19:38:31

★ 二次不等式 / ハラダ

不等式ｘ²－１４ｘ４８≦０を満たすすべてのｘが、
不等式ｘ²＋４ａｘ＋３ａ²＜０を満たすような定数ａの値の範囲を定めよ

です。よろしくお願いします。

No.47601 - 2018/01/02(Tue) 22:01:30

☆ Re: 二次不等式 / IT

x^2-14x+48≦0…?@(ですね？）を解くと,
(x-6)(x-8)≦0.
よって,6≦x≦8.

x^2+4ax+3a^2＜0…?Aを解くと,
(x+a)(x+3a)＜0.
　a＜0のとき　?Aの解は　-a＜x＜-3a
　　　問題の条件を満たすためには　範囲6≦x≦8が　範囲-a＜x＜-3aに含まれることが必要十分である。
　　範囲6≦x≦8が　範囲-a＜x＜-3aに含まれる。
　　⇔　-a＜6　かつ　8＜-3a
　　⇔　a＞-6　かつ　-8/3＞a
　　⇔ -6＜a＜-8/3　（これはa＜0も満たす）

　a＝0のとき　?Aは解がない。

　a＞0のとき　?Aの解は,-3a＜x＜-a
　　　　　　　範囲6≦x≦8が -3a＜x＜-a に含まれることはない。
　　

よって求めるaの範囲は　-6＜a＜-8/3.

No.47602 - 2018/01/02(Tue) 22:32:39

★ 二次不等式 / ハラダ

よろしくお願いします

No.47599 - 2018/01/02(Tue) 17:45:52

☆ Re: 二次不等式 / ヨッシー

(1)
x^2－14x＋48≦０　の解　6≦ｘ≦8　・・・(i)　と
x^2＋4ax＋3a^2＜０　の解　(ii) とが
図のような位置関係になれば、条件を満たします。

x^2＋4ax＋3a^2＜０　の解は、
　x^2＋4ax＋3a^2＝(x+a)(x+3a)
より
ａ＜０のとき　-a＜x＜-3x
ａ＞０のとき　-3a＜x＜-a
ａ＝０のとき　適当なｘは存在しない。
条件を満たすのは、ａ＜０のとき　-a＜x＜-3x であり、
　-a＜6 かつ 8＜-3a
より
　-6＜a＜-8/3

(2)
x^2－9x＋14≧０の解　x≦2 または　7≦x　・・・(i)　と
x^2－4ax＋3a^2≧０　の解　(ii) とが
図のような位置関係になれば、条件を満たします。

x^2－4ax＋3a^2≧０　の解は
ａ＜０のとき　x≦3a　または　a≦x
ａ＞０のとき　x≦a または　3a≦x
ａ＝０のとき　ｘはすべての実数
条件を満たすのは、ａ＞０のとき、およびａ＝０のときであり、
　2≦a かつ 3a≦7
より
　2≦a≦7/3　および　ａ＝０

No.47603 - 2018/01/02(Tue) 22:48:33

☆ Re: 二次不等式 / IT

(1) は、上のと同じ問題のようですね。

ヨッシーさん＞
> ａ＜０のとき　-a＜x＜-3x
> 条件を満たすのは、ａ＜０のとき　-a＜x＜-3x であり、
は、-a＜x＜-3a の入力ミスですね。

No.47604 - 2018/01/02(Tue) 23:30:50

★ 円の定理 / シンヤン

参考書の、図形と定理のまとめというページの、円の箇所で不明点があり、質問いたします。

同円または等円において、２つの弦の大小関係と中心からの距離の大小関係は反対になる。

と書かれているのですが、「同円」「等円」という言葉が不明ということと、「中心」とはどこを指すのか不明です。
できれば、図示していただけませんか。
よろしくお願いします。

No.47595 - 2018/01/02(Tue) 12:31:41

☆ Re: 円の定理 / IT

「同円」：同一の円（中心も半径も等しい円）。言い換えると「ある１つの円」
「等円」：半径が互いに等しい円。（すなわち互いに合同な円）
「中心」：各円の中心。
と思われます。（図示するまでもないのでは？）

No.47596 - 2018/01/02(Tue) 12:44:59

☆ Re: 円の定理 / シンヤン

中心からの距離というのがよく分かっていなかったと思うので確認ですが、
弦の両端を結んだ直線に中心からの垂直線というのが、ここで言う距離のことだったのですか。

No.47615 - 2018/01/03(Wed) 11:41:32

☆ Re: 円の定理 / IT

> 弦の両端を結んだ直線に中心からの垂直線というのが、ここで言う距離のことだったのですか。
正しく理解しておられると思いますが、
「中心から「その垂直線と弦との交点」までの距離」ですね。

No.47618 - 2018/01/03(Wed) 13:28:19

☆ Re: 円の定理 / シンヤン

ありがとうございました。

No.47699 - 2018/01/06(Sat) 14:01:41

★ 東大2004年類題 / 数学大好き

√19+5)^2018の整数部分の下一桁の値を教えてください。
x=5＋√19, y=5－√19, a[n]=x^n＋y^n (n=0,1,2,...)
と置いた後の詳しい過程を知りたいです。

No.47590 - 2018/01/01(Mon) 18:34:47

☆ Re: 東大2004年類題 / らすかる

a[n]=x^n+y^n={x^(n-1)+y^(n-1)}(x+y)-xy{x^(n-2)+y^(n-2)}
=10a[n-1]-6a[n-2]≡4a[n-2](mod10)
a[0]=2なのでa[2]≡8(mod10),a[4]≡2(mod10)となり
n=4kのときa[n]≡2(mod10), n=4k+2のときa[n]≡8(mod10)
よってa[2018]≡8(mod10)であり
0＜y＜1から0＜y^2018＜1なので、
(√19+5)^2018の整数部分の一の位は7

No.47591 - 2018/01/01(Mon) 20:37:09

☆ Re: 東大2004年類題 / 数学大好き

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすい回答で助かりました。
少し疑問なのですが、

よってa[2018]≡8(mod10)であり
0＜y＜1から0＜y^2018＜1なので、
(√19+5)^2018の整数部分の一の位は7
と言う部分についてですが、
a[2018]の小数一桁目は考慮しなくて良いのでしょうか？
(例えばa[2018]が108.7となっていて、y^2018が0.0001などとなっていた場合x^2018の一の位は8になってしまいます。)

No.47592 - 2018/01/01(Mon) 21:10:46

☆ Re: 東大2004年類題 / らすかる

a[0]=2,a[1]=10,a[n]=10a[n-1]-6a[n-2] から各a[n]は整数です。
（ということを明記すべきでしたね。）

# 整数でなければa[2018]≡8(mod10)とは言えません。

No.47593 - 2018/01/01(Mon) 22:30:07

☆ Re: 東大2004年類題 / 数学大好き

ありがとうございます。
Mod の定義でしたね。
助かりました

No.47597 - 2018/01/02(Tue) 13:13:47

★ (No Subject) / みかん

xy座標平面上の放物線y=(x^2−1)/2をCとしC上の点P(√3,1)におけるCの接線をℓとする

0≦β＜π/6をッ満たす実数としPを中心としてLを反時計回りにβだけ回転させた直線をMとする。CとMで囲まれた部分の面積が2√3であるときtanβは

No.47587 - 2018/01/01(Mon) 15:41:01

☆ Re: / X

条件からlとx軸とのなす角はπ/6
これと条件から
π/6≦β+π/6＜π/3＜π/2
となることから、Mの傾きは正であることが分かります。
ということでMの方程式は
y=a(x-√3)+1
(a＞0)
と置くことができます。
ここから、まずMとCに囲まれた面積について
aの方程式を立てて解きます。
(まずはCとMとの交点のうち、点(√3,1)以外のものの
x座標を求めることを考えます。
上記の議論から、この交点のx座標は
少なくとも√3より大きい
(理由はCとMを図示してみればわかります)
ことに注意しましょう。)

次にMとx軸のなす角をαとすると
tanα=a (A)
又
β=α-π/6
∴tanβ=tan(α-π/6) (B)
(B)の右辺を加法定理で展開し、
(A)を代入します。

No.47588 - 2018/01/01(Mon) 17:00:23

★ 動点 / 中三

問　
AB=4cm、BC=16cmの長方形ABCDがある。
点Pは秒速1cmの速さで辺AD上をAからDまで動く点である。
∠BPC=90°となるのは点PがAを出発してから何秒後のときか。
また、このとき∠PBCの大きさを求めよ。
ただし、点PがAを出発してからすでに８秒は経過しているものとする。

この問題を解いてもらえますか？

No.47583 - 2018/01/01(Mon) 09:11:35

☆ Re: 動点 / らすかる

∠BPC=90°となるのは△ABP∽△DPCとなるときなので、AP=xとすると4：x=16-x：4
これを解くとx=8±4√3だが、x≧8なので8+4√3秒後

CPの延長上にQP=2CPとなるように点Qをとると
△BCQはBC=BQ=16の二等辺三角形となり、
QからBCに下ろした垂線BHの長さは4×2=8なので∠QBC=30°
よって∠PBC=(1/2)∠QBC=15°

No.47584 - 2018/01/01(Mon) 11:26:27

☆ Re: 動点 / 中三

らすかるさん
まさか相似を使って解けるとは思ってもいませんでした（自作しておいて言うのもなんですが）。
この問題作成時は、BCを直径とする半円を描いてADとの交点のうちDに近いほうをPとして三平方で解きましたが、∠PBC=15°を導くには90°,75°,15°の三角形の辺の比を知っておく必要がありました。もちろんその３辺の比は三平方の定理と角の二等分線の定理から求められるのですが、さすがに事前知識がないと中学生には難しいかなと思っていました。
しかし、二等辺三角形を作って2∠PBC=30°を求めることにより、∠PBC=15°を出せるとは考えつきませんでした。
ありがとうございました。
高校生が三角関数とか方べきの定理を使って解く問題を、三平方や相似を使って安易に解けちゃうことがあるので、やっぱり中学数学は面白いですね。

No.47585 - 2018/01/01(Mon) 14:28:43

☆ Re: 動点 / X

>>中三さんへ
こちらの方が見ている確率が高そうなので
こちらに書かせていただきます。

レスの削除方法をご存じないようなので
その方法を。

レスにパスワードを設定しておけば
この掲示板の最下部でそのパスワードと
対象のレスのNo.を入力することで
レスを削除することができます。

No.47589 - 2018/01/01(Mon) 17:09:00

★ 整数問題 / 高３

写真の線を引いたところがなぜそうなるのかわかりません。説明お願いしますm(_ _)m

No.47578 - 2017/12/31(Sun) 19:25:00

☆ Re: 整数問題 / IT

線を引いたところの前の４行を良く読まれると分かるとは思いますが、

下線の４行前の「である.このとき,?B?Cより1227を72で割った余りは３であり,35で割った余りは2である.」」とある　「このとき」が「どのとき」を指すのか「?B?Cより」がどこに掛かるのかなど分かりにくい解説ですね。

「このとき,?Bより」は無い方が良いので、簡潔に直すと
「である.(よって)1227を72で割った余りは3であり,?Cより(1227を)35で割った余りは2である.」

No.47581 - 2017/12/31(Sun) 20:13:30

☆ Re: 整数問題 / IT

1227を72で割った余りは3…(あ）
1227を35で割った余りは2…(い）

自然数ｎを72で割った余りが3で　…（う）
35で割った余りが2であるとする　…（え）
---------------------以上は、解説の下線より上に書いてある事項です。----------

（あ）と（う）から1227-nが72の倍数であることは直ぐ分かります。分からなければ下記のとおり。

（あ）1227=72*17+3
（う）n=72k+3 (kは整数）
（あ）-（う）　1227-n=72(k-17)

（い）と（え）から1227-nが35の倍数であることは直ぐ分かります。分からなければ下記のとおり。

（い）1227=35m+2　（mは整数。実は35）
（え）n=35L+2
（え）-（い）n-1227=35(L-m)

No.47582 - 2017/12/31(Sun) 20:23:49

☆ Re: 整数問題 / 高３

ありがとうございます。理解できました

No.47622 - 2018/01/03(Wed) 17:26:46

★ (No Subject) / 高校一年です

お願いします

No.47564 - 2017/12/31(Sun) 11:00:51

☆ Re: / 中三

(1)1/3
(2)2/5
ですか？
まだ条件つき確率はわからないのですが。
たぶん間違ってると思いますのでご了承ください。

No.47571 - 2017/12/31(Sun) 17:18:48

☆ Re: / 中三

(1)1/3
(2)2/5
ですか？
まだ条件つき確率は習ってません。
たぶん間違ってると思いますのでご了承ください。

No.47572 - 2017/12/31(Sun) 17:19:30

☆ Re: / 中三

No.47572は無視してください。
すいません。

No.47573 - 2017/12/31(Sun) 17:20:49

☆ Re: / 中三

この問題じゃありません、間違えました。
下の問題です。
本当に申し訳ありません。

No.47574 - 2017/12/31(Sun) 17:22:17

☆ Re: / X

(1)
Aの袋を選んだ時、赤玉が出る確率は
3/5
Bの袋を選んだ時、赤玉が出る確率は
7/10
よって求める確率は
(1/2)(3/5)+(1/2)(7/10)=13/20

(2)
(1)の過程から、Aの袋を選び、かつ赤玉を
引く確率は
(1/2)(3/5)=3/10

求める確率は赤玉を引いたという条件の下で
引いた袋がAであるという条件付き確率ですので
(1)の結果から
(3/10)/(13/20)=6/13

No.47579 - 2017/12/31(Sun) 19:26:04

☆ Re: / X

補足。
No.47564、No.47563共に条件付き確率の意味が
理解できていないと解けません。
教科書などで学習しましょう。

No.47580 - 2017/12/31(Sun) 19:28:56

★ (No Subject) / お願です

宿だいです

No.47562 - 2017/12/31(Sun) 10:59:25

☆ Re: / X

(1)
条件から
(i)4試合目でAが優勝する場合
確率は
(3C2){(1/2)^2}(1-1/2)(1/2)=…
(ii)4試合目でBが優勝する場合
確率は
(3C2){(1/3)^2}(1-1/3)(1/3)=…
(iii)4試合目でCが優勝する場合
確率は
(3C2){(1/6)^2}(1-1/6)(1/6)=…

(i)(ii)(iii)の場合の確率の和を取って
求める確率は…

(2)
これも以下の場合分けが必要です。
(i)5回目までにA,Bが2回づつ、Cが1回勝つ場合
(ii)5回目までにB,Cが2回づつ、Aが1回勝つ場合
(i)について
求める確率は
[{5!/(2!2!)}{(1/3)^2}{(1/2)^2}(1/6)](1/3)=…
(ii)について
求める確率は
[{5!/(2!2!)}{(1/3)^2}{(1/6)^2}(1/2)](1/3)=…

(i)(ii)の場合の確率の和を取って
求める確率は…

No.47576 - 2017/12/31(Sun) 19:03:29

★ (No Subject) / お願いいたします

宿題です

No.47561 - 2017/12/31(Sun) 10:58:45

☆ Re: / X

まず前準備。
一回の試行で赤玉、白玉が出る確率はそれぞれ
2/3,1/3

(1)
4回目に白玉が出て、残りの3回のうち、白玉が2回
出ればよいので、求める確率は
{(3C2){(1/3)^2}(2/3)}(1/3)=…

(2)
10回目に白玉が出て、残りの9回のうち、白玉が2回
出ればよいので、求める確率は
{(9C2){(1/3)^2}(2/3)^7}(1/3)=…

No.47575 - 2017/12/31(Sun) 18:58:01

★ (No Subject) / お願いします

宿だいです

No.47560 - 2017/12/31(Sun) 10:54:51

☆ Re: / X

(i)a=0のとき
題意を満たします。

(ii)a≠0のとき
f(x)=a(x-1)^2-a+1
となることから、y=f(x)のグラフは
直線x=1を軸とする放物線
よって
(I)a＞0のとき
y=f(x)のグラフは下に凸になり
軸が定義域である
-1≦x≦2
に含まれますので、題意を満たすためには
(f(x)の最小値)=f(1)=-a+1＞0
∴0＜a＜1
(II)a＜0
y=f(x)のグラフは下に凸になり、
軸が定義域である
-1≦x≦2
の中でかつ右寄りになっています。
よって題意を満たすためには
(f(x)の最小値)=f(-1)=3a+1＞0
∴-1/3＜a＜0

以上から求めるaの値の範囲は
-1/3＜a＜1
となります。

No.47570 - 2017/12/31(Sun) 15:54:50