ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 体積 / 高校生

半径aの半球形の容器に水が満たしてある。これを静かに45°傾けた時、どれだけの水が残っているか。

答えは、(2/3-5√2/12)πa³

どうやって解けば良いのか教えて下さい。よろしくお願いします。

No.46615 - 2017/11/01(Wed) 20:57:15

☆ Re: 体積 / X

問題の立体の対称軸をx軸に取り、これの境界の
球面の中心が原点になるように図形の位置を
取ります。
このとき問題の立体の境界面の方程式は
x=a/√2
x^2+y^2+z^2=a^2
となるので求める体積をVとすると
V=[(a/√2→a]π(y^2+z^2)dx
=[a/√2→a]π(a^2-x^2)dx
=…

No.46622 - 2017/11/02(Thu) 04:48:13

☆ Re: 体積 / 関数電卓

> 直線 y=-x/√2+a (B)

これは… ？？

No.46629 - 2017/11/02(Thu) 21:14:38

☆ Re: 体積 / X

>>関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>高校生さんへ
ごめんなさい。No.46622で誤りがありましたので
修正しました。再度ご覧下さい。

No.46630 - 2017/11/02(Thu) 21:43:29

★ 三角関数？ / るー

解いてみましたが、これから解ける自信ありません！
高2の少し難しいかなーくらいのレベルです！
解ける方いたら教えてください！

No.46614 - 2017/11/01(Wed) 20:39:14

☆ Re: 三角関数？ / X

(1)
前半は添付写真に書き込まれた計算で問題ありません。

後半)
条件と半角の公式により
x^2=(1-cosθ)/(1+cosθ)
これを解いてcosθをxで表した上で
半角の公式を使って
(cos(θ/2))^2,(sin(θ/2))^2
をxの式で表します。
尚、
0＜θ＜π
により
0＜θ/2＜π/2 (A)
に注意します。

(2)
二倍角の公式により
sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)
=2tan(θ/2){cos(θ/2)}^2
=2x/(1+x^2)
これと(1)の後半の過程で得られた
cosθをxで表した式をf(θ)に
代入します。

(3)
(2)の結果の分母分子をxで割り、分母に
相加平均と相乗平均の関係を使います。

No.46621 - 2017/11/02(Thu) 04:35:26

☆ Re: 三角関数？ / るー

ありがとうございます！
助かりました！

No.46643 - 2017/11/03(Fri) 18:48:36

★ 計算 / キルキン

この問題を効率よく解くにはどうすれば良いか教えてください。
イとウの判断が計算をしないとわからず、、

答えはイです。

No.46610 - 2017/11/01(Wed) 18:25:56

☆ Re: 計算 / らすかる

0.646×0.386=0.644×0.386+0.002×0.386
0.644×0.388=0.644×0.386+0.644×0.002
ですね。

他の考え方としては
0.646+0.386=0.644+0.388=1.032
1.032÷2=0.516
0.646=0.516+0.130
0.386=0.516-0.130
0.644=0.516+0.128
0.388=0.516-0.128
なので
0.646×0.386=(0.516+0.130)(0.516-0.130)=0.516^2-0.130^2
0.644×0.388=(0.516+0.128)(0.516-0.128)=0.516^2-0.128^2
一般に、和が等しい2正数の積は2数が近いほど大きくなります。

No.46611 - 2017/11/01(Wed) 18:54:33

☆ (No Subject) / キルキン

ありがとうございます、スピード面では最初の方針が良さそうですね。
後者を見ると意外にもここまで対称性の美を含んだ問題だったのかと驚きました。

No.46625 - 2017/11/02(Thu) 12:34:16

★ 複雑な計算 / 高校生

写真の?@～?Dを使ってa、bをそれぞれ求めたいのですが、bがどうしても出ません、、。
どの式をどのように使うかなど詳しく教えてください。お願いします。

No.46608 - 2017/11/01(Wed) 11:49:01

☆ Re: 複雑な計算 / らすかる

?@?A?Bからα,β,γは三次方程式t^3-(3a/2)t^2+(a+b)/2=0の3解
整理して2t^3-a(3t^2-1)+b=0
?Dから3α^2-1=0または3β^2-1=0または3γ^2-1=0なので3α^2-1=0として
t=αとすると2α^3+b=0すなわちb=-2α^3
3α^2-1=0からα=±1/√3なのでb=干2√3/9
後はaが出ているのであればb=-2√3/9の方に絞り込めますね。

No.46609 - 2017/11/01(Wed) 13:05:42

☆ Re: 複雑な計算 / 高校生

理解できました！ありがとうございましたm(_ _)m

No.46612 - 2017/11/01(Wed) 20:06:24

★ 数列 / aibo

(1),(2)の解説をお願いします。

No.46606 - 2017/11/01(Wed) 10:58:15

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(1)
　b[n]＝a[n]－5n　より　a[n]＝b[n]＋5n
これを、a[n+1]＝4a[n]－15n＋5 に代入して
　b[n+1]＋5(n+1)＝4(b[n]＋5n)－15n＋5
整理して
　b[n+1]＝4b[n]
　b[1]＝4
よって、b[n] は初項4,公比4の等比数列なので、
　b[n]＝4^n　・・・[1]
　a[n]＝b[n]＋5n＝4^n＋5n　・・・[2][3]
(2)
n≧2 において
　c[n]＝c[1]＋Σ[k=1～n-1]a[n]
　Σ[k=1～n-1]4^n＝(4^n－4)/3
　Σ[k=1～n-1]5n＝5n(n-1)/2
より、
　c[n]＝1＋(4^n－4)/3＋5n(n-1)/2
　　　＝(1/3)4^n＋(5/2)n(n-1)－1/3
これは、c[1]＝1 を満たす。
よって、任意の自然数ｎについて、
　c[n]＝(1/3)4^n＋(5/2)n(n-1)－1/3　・・・[4]～[8]

No.46607 - 2017/11/01(Wed) 11:33:22

★ 高３数?TA / アズマ

33番がわかりません。
学校の先生が図を書いて解くように指導する先生なので、図が必要な場合は可能であれば教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

No.46602 - 2017/10/31(Tue) 20:34:58

☆ Re: 高３数?TA / X

公式である
1+(tanA)^2=1/(cosA)^2
に
tanA=3√3
を代入して
1+(3√3)^2=1/(cosA)^2
これより
(cosA)^2=1/28
ここでtanA＞0によりcosA＞0
よって
cosA=1/√28=(√7)/14 (A)
一方、△ABCにおいて余弦定理により
BC^2=AB^2+AC^2-2AB・ACcosA
これに(A)及び
AB=2
BC=3
を代入すると
9=4+AC^2-AC(2√7)/7
これより
AC^2-AC・2/√7-5=0
(√7)AC^2-2AC-5√7=0
{(√7)AC+5}(AC-√7)=0
∴AC=√7
よって△ABCにおいて余弦定理により
cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB・BC)
=(4+9-7)/(2・2・3)
=1/2
となるので0°＜B＜180°
により
B=60°

又、公式
(sinA)^2+(cosA)^2=1
に(A)を代入して
(sinA)^2=27/28
ここでsinA＞0ゆえ
sinA=√(27/28)=(3/2)√(3/7)
よって△ABCにおいて正弦定理により
2R[1]=AB/sinA=(4/3)√(7/3)
となるので
R[1]=(2/3)√(7/3)=(2√21)/9
=(√84)/9

以上から辺ADは∠Bの二等分線になっているので
AB:BC=AD:CD
これより
AB:BC=AD:(AC-AD)
∴2:3=AD:(√7-AD)
∴AD=(2√7)/5
よって△ABDにおいて正弦定理から
2R[2]=AD/sin∠ABD
=(4√7)/5
となるので
R[2]=(2√7)/5
∴R[1]/R[2]={(2√21)/9}/{(2√7)/5}
=(5√3)/9

No.46603 - 2017/10/31(Tue) 21:24:50

★ 立体 / ほのほの

解法が全く分かりませんでした。よろしくお願いします。

No.46592 - 2017/10/30(Mon) 21:47:06

☆ Re: 立体 / ヨッシー

ＡＥ、ＣＧの中点をＴ，Ｕとします

ａは、三角錐台ＴＵＷ－ＰＱＤの体積となります。
これは、三角錐Ｖ－ＴＵＷから三角錐Ｖ－ＰＱＤを引いたものなので、
　(1/6)４^3－(1/6)２^3＝28/3　・・・ａ
　アは直角二等辺三角形、イは五角形

Ｋを下にした場合水面が、△ＤＥＧの位置よりも低い(左の図)か
高い(右の図)かによって、形が変わります。
Ｖは元の立方体の体積の半分なので、３２cm^3
三角錐Ｄ－ＥＧＨの体積は立方体の1/6なので、32/3
よって、水面が△ＤＥＧまで入っているときの水の体積は
　32－32/3＝64/3
一方、残っている水は
　32－28/3＝68/3
なので、△ＤＥＧより多いので、水面は「正三角形」・・・ウ
水面が△ＤＥＧに来るまでに水は
　68/3－64/3＝4/3　・・・ｂ
減らされており、それ以降は水面は「六角形」です。・・・エ

No.46598 - 2017/10/31(Tue) 14:18:28

★ 平面図形 / ほのほの

3.4番が分かりません。よろしくお願いします。

No.46591 - 2017/10/30(Mon) 21:45:44

☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

上の、水を抜いていく問題よりも、難易度に随分差があるように見えますが、どの単元の問題ですか？
　

No.46599 - 2017/10/31(Tue) 14:31:35

☆ Re: 平面図形 / ほのほの

学校で配布された演習プリントなので詳しくは分かりませんが、相似と三平方の定理あたりかと思います。

No.46601 - 2017/10/31(Tue) 19:22:05

☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

ということは、中学ですか？

三角関数はダメですか？

No.46604 - 2017/10/31(Tue) 23:52:08

☆ Re: 平面図形 / らすかる

(1)
ABを底辺とすると△ADBの高さは√3/2、△APCの高さは√3なので
DP：PC=√3/2：√3=1：2

(2)
△ADC≡△ABEからCD=EBでありCE=AC=√3,BC=2,∠BCE=90°なので
CD=EB=√((√3)^2+2^2)=√7

(3)
(1)(2)からDP=√7/3
DP：PC=1：2からAP：PB=1：2なのでPA=1/3,PB=2/3
△DAP∽△BQPでDP：BP=√7/3：2/3=√7：2なので△DAP：△BQP=7：4
△DAP=√3/6なので△BQP=(4/7)(√3/6)=2√3/21

(4)
△ABE=△ADC=3△DAP=√3/2
ACとBEの交点をRとし、ARを底辺とすると
△EARの高さは3/2、△ABRの高さは1なので
△ABR=(2/5)△ABE=√3/5
よって求める面積は△ABR-△BQP=√3/5-2√3/21=11√3/105

No.46605 - 2017/11/01(Wed) 01:25:19

★ (No Subject) / マイル

この問題の、(1)と(2)は答えを出したのですが、あっているか分かりません。
(1)は、ｑ＝－2ｐ－2
(2)は、－3－2√3＜ｐ＜－3＋2√3
となりました。
この解答の正誤と、(3)のやり方を教えてください。

No.46583 - 2017/10/30(Mon) 18:16:13

☆ Re: / X

(1)
正解です。

(2)
(1)の結果により
P(x)=x^3+px^2+qx-(p+q+1)
=x^3+px^2-2(p+1)x+p+1
=(x-1){x^2+(p+1)x-(p+1)}
よってxの二次方程式
x^2+(p+1)x-(p+1)=0
の解の判別式をDとすると
題意を満たすためには
D=(p+1)^2+4(p+1)＜0
これより
(p+1)(p+5)＜0
∴-5＜p＜-1

(3)
(2)の過程から、三次方程式の解と係数の関係により
α+β+γ=-p
αβγ=-(p+1)
∴8/(αβγ)+2(α+β+γ)=-8/(p+1)-2p (A)
ここで-(p+1)=tと置くと、(2)の結果から
1＜t＜6 (B)
又
(A)=8/t-2(-t-1)
=2t+8/t+2
よって相加平均と相乗平均の関係から
(A)≧2√(2t・8/t)+2=10
ここで不等号の下の等号は
2t=8/t
つまり
t=2
のときに成立していますが、
これは(B)を満たします。
よって求める最小値は10
このとき
p=-t-1=-3

No.46588 - 2017/10/30(Mon) 19:26:20

★ 小6 図形の切断の問題 / ぶどう

いつも詳しく解説してありがとうございます。
確認テストの違い直しです。
どのように解いたらいいのかわからないので教えてください。　図形の線を入れると
平行四辺形ABCEと台形HFCDの面積を出せばいいのだと思いますが求め方がわかりません。
よろしくお願いします。　答えは　16.5㎠です。

No.46580 - 2017/10/30(Mon) 14:22:18

☆ Re: 小6 図形の切断の問題 / ヨッシー

台形ＣＤＨＦと平行四辺形ＡＢＥＣを合わせた図形になります。

図のように、1cm 方眼に台形ＣＤＨＦを描き、それにくっつける形で、
平行四辺形ＡＢＥＣを描きます。
ＣＤの中点をＩとすると、この図形は△ＨＩＤと合同な三角形１１個から
出来ていることがわかります。
　△ＨＩＤ＝1.5 (cm^2)
なので、
　１１×１．５＝16.5(cm^2)
となります。

No.46581 - 2017/10/30(Mon) 16:51:44

☆ Re: 小6 図形の切断の問題 / ぶどう

ヨッシー様
いつも詳しい説明、解説ありがとうございます。
教えて下さい。△ＨＩＤ＝1.5 (cm^2)の求め方は
1cm 方眼3×3から必要のない部分を引いて4.5÷3=1.5と
求めたのですが、正しいやり方でしょうか?
ほかの方法でも求められますか?

またテキスト類題では三角すいを利用しているようなのですが、教えていただいた内容の方が理解はしやすいのですが
合同図形11個を導き出すところがすこし難しいです。
よろしくお願いします。

No.46582 - 2017/10/30(Mon) 18:00:03

☆ Re: 小6 図形の切断の問題 / らすかる

△HIDの他の求め方
△HIDは△HCDの半分なので(3×2÷2)÷2=1.5

No.46587 - 2017/10/30(Mon) 19:08:30

☆ Re: 小6 図形の切断の問題 / ヨッシー

11個の三角形に分けたのは、計算がしやすいからです。

むしろこの問題のポイントは、方眼紙にうまく置けるかを
やってみることです。
小学生の問題なので、このように方眼紙に納まる場合が多いです。

No.46590 - 2017/10/30(Mon) 20:28:09

☆ Re: 小6 図形の切断の問題 / ぶどう

らすかる様　ヨッシー様
いつも詳しい解説ありがとうございます。
方眼紙に収まることに注意して考えてみたいと思います。
ありがとうございました。

No.46595 - 2017/10/31(Tue) 09:15:35

★ (No Subject) / 場合分け

https://ameblo.jp/pipinee/entry-12300026886.html

この画像の一枚目を見ていただきたいです！
場合分けの(iii)で0<軸とやってるのですが、
0<軸<1とやってもいいですよね？
例えば異なる二つの実数解をもつとき絶対軸は0<軸<1ですよね

No.46575 - 2017/10/29(Sun) 22:56:07

☆ Re: / angel

> 場合分けの(iii)で0＜軸とやってるのですが、
> 0＜軸＜1とやってもいいですよね？

0＜軸＜1 でないとむしろ不正確ですね。

尤も、最初に 0≦a≦1 という前提を定めていて、かつ軸=a なので、加えて f(0),f(1),D の条件でカバーできるので、この軸に関する条件は既に満たされており、その「不正確」があっても出てくる答えは変わりませんが。

No.46576 - 2017/10/29(Sun) 23:07:23

☆ Re: / 場合分け

ありがとうございます。いつもいつも感謝しています。
こういう細かいところで、僕がいけないのかなと思って一人で悩むことがあるのですが、本当に助かります。

No.46577 - 2017/10/30(Mon) 02:22:26

★ (No Subject) / カエル

この問題の解き方が分かりません。教えてください。よろしくお願いします。

No.46573 - 2017/10/29(Sun) 18:33:54

☆ Re: / IT

サイコロの目は１から６の６通りなので(a,b,c,d)は6^4通りです。
(1)ab+cd=5 となる(a,b,c,d) をすべて数え上げて6^4 で割ると求める確率になります。
同じようなパターンに分類してもれなく重複なく数え上げると良いです。
(ab,cd)=(1,4)(4,1),(2,3),(3,2)
ab=1となるのは(a,b)=(1,1)
ab=2となるのは(a,b)=(1,2),(2,1)
ab=3となるのは(a,b)=(1,3),(3,1)
ab=4となるのは(a,b)=(1,4),(4,1),(2,2)

(2)もすこし面倒ですが地道に調べればできます。
a≧bとして
a=6のとき　ab=36,30,24,18,12,6
a=5のとき　ab=25,20,15,10,5
a=4のとき ab=16,12,8,4
a=3のとき ab=9,6,3
a=2のとき　ab=4,2
a=1のとき　ab=1
これらのうちの２つで差が1となる組を見つけると良いです。

ab=4 は(2,2)(1,4)(4,1) の３通りあることなどに注意が必要です。

No.46574 - 2017/10/29(Sun) 20:01:14

★ 放物線 / ほのほの

1.2番ともに解法が分かりません。よろしくお願いします。

No.46569 - 2017/10/29(Sun) 09:10:53

☆ Re: 放物線 / angel

(1)
直線 l の方程式が分かっていれば、そこから交点を計算することはできますか?
問題は l が何か、ですが、通る点の1つ P (-2√3,0) と傾きが「x軸となす角30度」として分かっていますから、そこから。
x軸となす角30°⇔傾き: tan30°=1/√3 ということを念頭に。

なお tan のことがピンとこないようであれば、△PAOが正三角形を半分に割った形の直角三角形、辺の長さの比 2:1:√3 であるところから、傾き 1/√3 と考えても良いです。

(2)
おそらく楽なのは図形的な性質「外心は各辺の垂直二等分線の交点」を利用すること。
この問題での「A,B,Cを通る円」は言葉を替えれば「△ABCの外接円」つまり、「A,C,Cを通る円の中心」は「△ABCの外接円の中心 = △ABCの外心」であるからです。

垂直二等分線を2本用意します ( 3本中2本、どれでも良いけどAC以外が分かり易そう )。
(1)の答え、Bの座標が (-2√3/3,4/3) と分かっているものとして。
　・ABの中点は (-√3/3,5/3)、ABの傾き 1/√3
　　→ ABの垂直二等分線は (-√3/3,5/3) を通る傾き -√3 の直線
　・BCの中点は (-2√3/3,2/3)、BCはy軸に平行
　　→ BCの垂直二等分線は (-2√3/3,2/3) を通り x軸に平行な…要は y=2/3

後はこの2直線の交点を計算して、それが答えです。

もう一つ。図形的な方法を思いつかなければ、最悪方程式から地道に計算しても良いです。
「A,B,Cを通る円」の、中心を(u,v)、半径を r とすると、
この円の方程式は (x-u)^2+(y-v)^2=r^2
A(0,2),B(-2/3・√3,4/3),C(-2√3,0) を通るということから

　(0-u)^2+(2-v)^2=r^2
　(-2/3・√3-u)^2+(4/3-v)^2=r^2
　(-2√3-u)^2+(0-v)^2=r^2

この3つの式が出てきます。まあ、計算が面倒に思えるかも知れませんが、こういうのでできるようになっておくのも大事だとは思います。

No.46570 - 2017/10/29(Sun) 12:44:44

☆ Re: 放物線 / X

では別解を。

(1)
まず直線lの方程式を求めることを考えましょう。
直角三角形APOに注目すると
OA=OP/√3=2
よってlの傾きは
OA/OP=1/√3
となるので直線lの方程式は
y=(1/√3)x+2 (A)
(A)と
y=x^2 (B)
をx,yの連立方程式として解き
点Bの座標を求めます。
(まずはyを消去してxの二次方程式を導きます)
但し、図から
点Bのx座標は負
であることに注意しましょう。

こちらの計算では
B(-2/√3,4/3)
となりました。

(2)
(1)の過程により
C(-2/√3,0)
A(0,2)
よって
AB=BC=4/3 (C)
つまり△ABCは二等辺三角形
となります。
ここで直角三角形PBCに注目すると
∠PBC=90°-∠BPC=60°
ですので
∠ABC=180°-∠PBC=120°
よって問題の円の中心をQとして
問題の図に点Qを描き入れてみると
△ABQ,△BCQはいずれも、
辺の長さが円の半径と等しい正三角形 (D)
となっていることが分かります。
更に直角三角形APOに注目することにより
∠PAO=90°-∠APO=60°
ですので、(D)により
点Qは少なくともy軸上に存在する
ことが分かります。
(C)(D)により問題の円の半径は4/3
となりますので点Aに注目すると、
点Qのy座標は
2-4/3=2/3
よって求める座標は
(0,2/3)
となります。

No.46571 - 2017/10/29(Sun) 12:58:46

☆ Re: 放物線 / らすかる

(2)別解
AB=BC=4/3、∠ABC=120°なのでA,B,Cは正六角形の連続する3頂点
よって円の中心はBCの垂直二等分線(y=2/3)と
Aを通りBCと平行な直線すなわちy軸(x=0)の交点

No.46572 - 2017/10/29(Sun) 13:06:42