ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ベストオブエリー

カッコ三番を教えてください

No.47420 - 2017/12/23(Sat) 16:37:34

☆ Re: / X

x軸との交点の座標から求める方程式は
y=a(x+3)(x-1)
と置くことができます。
これより
y=ax^2+2ax-3a (A)
y=a(x+1)^2-4a
ここで頂点のy座標が2ですので
-4a=2
∴a=-1/2
これを(A)に代入して求める方程式は
y=-(1/2)x^2-x+3/2
となります。

No.47425 - 2017/12/23(Sat) 18:47:19

★ 中3 宿題 / あき

どのように証明すればよいのかがわかりません。
すみません教えて下さいませ。

No.47415 - 2017/12/23(Sat) 15:53:37

☆ Re: 中3 宿題 / X

証明の書き出しの続きの形で以下に解答を。

条件から
S=(a+b)h/2 (A)
一方、点Eが辺ABの中点でかつ
EF//BC,AD//BC
であることから点Fは辺DCの中点。
よって辺ACと線分EFとの交点をGとすると
点Gは辺ACの中点ですので
中点連結定理により
EG=b/2 (B)
GF=a/2 (C)
更に
EG+GF=d (D)
(B)(C)を(D)に代入して
(1/2)(a+b)=d
a+b=2d (D)'
(D)'を(A)に代入して
S=dh
となります。

No.47418 - 2017/12/23(Sat) 16:13:30

☆ Re: 中3 宿題 / あき

X様。本当に感動します。
説明されると「なるほど！なるほどー！」と理解できたのですが
また同じ様な問題が出たら、つまづいてしまいそうです。
もっと勉強すればスラスラと解けるようになるでしょうか？
この問題のレベルだと中3のこの時期には秒殺で解けないとヤバいでしょうか？

No.47419 - 2017/12/23(Sat) 16:34:54

☆ Re: 中3 宿題 / X

この問題は以下の3点の理由で難度は高い方だと思います。

(i)
証明過程で使っている等式が全て文字式である。

(ii)
初見でこれを解く場合、
まず(A)を立てること
(これは見たまんまなのでまだ容易)
と(A)と証明すべき式である
S=dh
を見比べて、
「a+bをdを用いて表すにはどうしたらいいか？」
という天下り的な考え方
ができないと難しい。

(iii)
(辺AC(又は辺BDでも可)という)
補助線を引く必要があること。

No.47427 - 2017/12/23(Sat) 19:18:35

☆ Re: 中3 宿題 / あき

「難易度は高い方だと思います。」との言葉に救われました。
これからも勉強頑張ります。
いつも分かりやすく教えて下さり本当に感謝でいっぱいです♪

No.47428 - 2017/12/23(Sat) 19:47:16

★ (No Subject) / 七

この問題の解き方と答えが分かりません。教えてください。お願いします。

No.47405 - 2017/12/22(Fri) 20:22:15

☆ Re: / k=?

どこまで解けましたか？

No.47406 - 2017/12/22(Fri) 21:26:32

☆ Re: / 七

アとイが解けそうで解けないところです。

No.47409 - 2017/12/23(Sat) 00:21:00

☆ Re: / k=?

xのn乗をx＾nと書きます。
(1)
問題の式はx^3-3x^2/2-6x=kとなります。
f(x)=x^3-3x^2/2-6xのグラフを書いてください。
問題の式が3つの実数解をもつということはf(x)=kのとき3つの解が存在します。
(2)(a)
(1)で書いたグラフをもとに、各解が取り得る値の範囲を計算してください。
(2)(b)
3次式の解と係数の関係を上手く使ってください。

No.47411 - 2017/12/23(Sat) 03:33:53

★ 三角比の問題 / シュガー

度々すみません。
三角比の問題を見て頂きたいです。
出来る所までやってみたのですが、特に角度の解き方につまづいてしまいます。よろしくお願いします。

No.47402 - 2017/12/22(Fri) 18:41:16

☆ 三角比の問題 / シュガー

元の問題はこちらです。

No.47403 - 2017/12/22(Fri) 18:43:03

☆ Re: 三角比の問題 / X

(1)
公式が間違っています。
>>S=(1/2)bccosA
ではなくて
S=(1/2)bcsinA
です。
(この問題ではA=45°ですので
sinAとcosAの値が等しくなり、たまたま
計算結果が正しい面積の値と等しくなりますが。)

(2)
aの計算については問題ありません。

問題はB,Cの計算についてですが
cosBの値の計算はそれで問題ありません。
但し、仮に分母を有理化して計算を
進めたとしてもBの値が簡単に得られる
値とはなりません。
ここはまず先にCの値を求めてから
A+B+C=180°
となることを使ってBの値を求める
ことを考えましょう。

No.47404 - 2017/12/22(Fri) 18:53:04

☆ 三角比の問題 / シュガー

ありがとうございます‼やってみます‼

No.47408 - 2017/12/22(Fri) 22:15:33

★ 座標 / 中３生

（２）の解き方がわかりません。解説よろしくお願いします。

No.47400 - 2017/12/22(Fri) 14:29:19

☆ Re: 座標 / X

条件から点Bから点Qに至るときの
直線PQの変化の割合について
BH/QH=1(=直線PQの傾き)
これより
BH=QH (A)
同様に点Aから点Bに至るときの
直線PQの変化の割合から
OA=OB (B)
つまり△QHB、△AOBはいずれも
直角二等辺三角形
であることが分かります。
更にこの二つの三角形は面積が
等しいので、面積について
(1/2)BH^2=(1/2)OB^2
これより
BH=OB (C)
(A)(C)により
OH=OB+BH=2BH
=2QH
よってQ(k,2k) (k＞0)
と置くことができます。
ここで点Qは
放物線y=(1/2)x^2
の上の点ですので
2k=(1/2)k^2
これより
k^2-4k=0
(k-4)k=0
よって
k=4
となりますので
Q(4,8)
となります。

No.47401 - 2017/12/22(Fri) 15:44:17

★ (No Subject) / シュガー

★ルートの計算★
学校の課題なんですが友達と答えが違っていて解答が合っているかみて頂きたいです。よろしくお願いします。

No.47396 - 2017/12/22(Fri) 11:43:29

☆ ★ルートの計算★ / シュガー

自分の中では添付する公式を利用すると思うのですが、どうでしょう？

No.47397 - 2017/12/22(Fri) 12:17:59

☆ Re: / IT

合ってます。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%EF%BC%88%E2%88%9A5%2F%E2%88%9A2%EF%BC%89-%E2%88%9A2%2F(%E2%88%9A5%EF%BC%8B%E2%88%9A3%EF%BC%89

No.47398 - 2017/12/22(Fri) 12:44:07

☆ ルートの計算 / シュガー

ありがとうございます‼

No.47399 - 2017/12/22(Fri) 12:46:37

★ 正六角形の６等分割 / √

教えてください。

「正六角形」を合同な形で６分割する場合

?@正三角形６コ
?A頂点が１２０度の二等辺三角形６コ

この他に、ありますでしょうか？

No.47387 - 2017/12/22(Fri) 00:49:28

☆ Re: 正六角形の６等分割 / らすかる

無数にあります。
中心からどこかの辺か頂点まで適当な曲線を引いて、
60°回転して全く同じ線を引くということを繰り返せば
合同な形6個になります。

No.47389 - 2017/12/22(Fri) 01:18:54

☆ Re: 正六角形の６等分割 / √

なるほど～
重心に針を打って６０度回転させれば、
どんな線でも良いわけですね。

らすかるさん
有難うございました。

No.47390 - 2017/12/22(Fri) 01:35:45

★ 平面幾何 / 図形問題を愛する男

【問題】
AB＝AC である二等辺三角形ABCの辺AB(両端を除く)上に点Pをとり、ついで直線CPに関して点Aと同じ側にあり、QP＝QC を満たす点Qをとる。このとき、AQ//BC ならば ∠BAC＝∠PQC であることを示せ。

この問題を、座標設定せずに幾何一点張りで解ききる方法はありませんか？結構考えたんですが、どうやら正攻法ではうまくいきそうもないんですよね…。

No.47382 - 2017/12/21(Thu) 19:29:03

☆ Re: 平面幾何 / らすかる

△APCの外接円と直線AQのA以外の交点をRとすると
∠RPC=∠RAC=∠ACB=∠ABC、∠PRC=∠PACなので
△RPC∽△ABC、従ってRP=RCなのでRはQと一致する。
よって∠BAC=∠PRC=∠PQC。

No.47384 - 2017/12/21(Thu) 20:45:12

☆ Re: 平面幾何 / 図形問題を愛する男

>>らすかるさん
素晴らしい！！（≧∇≦）
こういうのを「コロンブスの卵」って言うんでしょうね…。鮮やかな解答をありがとうございました！

No.47385 - 2017/12/21(Thu) 20:53:43

☆ Re: 平面幾何 / 図形問題を愛する男

>>らすかるさん
一つ疑問に思ったのですが、△APCの外接円と直線AQが異なる2点で交わらない場合、すなわち点Aで接する場合はどうなるんでしょうか?

No.47391 - 2017/12/22(Fri) 02:22:11

☆ Re: 平面幾何 / らすかる

もし接するとすると、円の中心がBCの垂直二等分線上にあることになりますので
P=Bとなり問題の条件に反します。
つまりこの問題の条件では接することはあり得ません。

No.47392 - 2017/12/22(Fri) 02:32:38

☆ Re: 平面幾何 / 図形問題を愛する男

なるほど、確かにそうですね。回答ありがとうございました！m(__)m

No.47395 - 2017/12/22(Fri) 03:07:38

★ 高校数学I / k

赤丸で囲ってあるところの解き方が分かりません。
どうやってa＜-2,3＜aを出したのですか？

No.47381 - 2017/12/21(Thu) 19:13:26

☆ Re: 高校数学I / 一石アルベルト

数Iの教科書で「二次不等式」の項目をもう一度読み直されることをお勧めします。その上でなお疑問点があれば、その旨をおっしゃってください。

No.47383 - 2017/12/21(Thu) 19:35:21

★ 指数対数 / とんだ

この問題がわかりません
教えてください
お願いします。

No.47380 - 2017/12/21(Thu) 18:37:24

☆ Re: 指数対数 / takec

(1)
?@27 x^2 y = 3^a より
log_3 (27 x^2 y) = log_3 3^a
log_3 3^3 + log_3 x^2 + log_3 y = log_3 3^a
3log_3 3 + 2log_3 x + log_3 y = a log_3 3
3 + 2log_3 x + log_3 y = a　・・・(A)

今、X = log_3 x、Y = log_3 yとおくと、(A)は以下のようになる。

3 + 2X + Y = a
Y = -2X + a - 3　・・・?B

(2)
?A(log_3 xy)^2 - log_3 x^6 - a^2 = 0より、
(log_3 x + log_3 y)^2 - 6log_3 x - a^2 = 0
(X + Y)^2 - 6X - a^2 = 0

?BよりりYを代入すると、
(X + (-2X + a - 3))^2 - 6X - a^2 = 0
(-X + a - 3)^2 -6X - a^2 = 0
X^2 - 2X(a-3) + (a-3)^2 - 6X - a^2 = 0
X^2 - 2Xa + 6X + a^2 -6a + 9 - 6X - a^2 = 0
X^2 - 2Xa - 6a + 9 = 0　・・・(B)

(3)
(B)を二次方程式の解の方式で解く。
X = {2a ± (4a^2 -4(9-6a))^(1/2)} / 2
= a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)
log_3 x = log_3 3^{a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)}
x = 3^{a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)}

二つの解の積が243であることから、
3^{a + (a^2 + 6a - 9)^(1/2)} 3^{a - (a^2 + 6a - 9)^(1/2)} = 243
3^(2a) = 3^5
2a = 5
a = 5/2

このとき、(a^2 + 6a - 9)^(1/2)は
(a^2 + 6a - 9)^(1/2)
= (25/4 + 30/2 - 9)^(1/2)
= (25/4 + 60/4 - 36/4)^(1/2)
= (49/4)^(1/2)
= 7/2

よって、
x = 3^(5/2 + 7/2), 3^(5/2 - 7/2)
= 3^6, 3^(-1) ・・・(C)

?Cに二つの解を与えると、
log_3 y = -2 log_3 3^6 + 5/2 log_3 3 - 3log_3 3
log_3 y = log_3 3^(-12) + log_3 3^(5/2) + log_3 3^(-3)
log_3 y = log_3 3^(-15 + 5/2)
log_3 y = log_3 3^(-25/2)
y = 3^(-25/2)

log_3 y = -2 log_3 3^(-1) + 5/2 log_3 3 - 3log_3 3
log_3 y = log_3 3^2 + log_3 3^(5/2) ^ log_3 3^(-3)
log_3 y = log_3 3^(-1 + 5/2)
log_3 y = log_3 3^(3/2)
y = 3^(3/2)

No.47386 - 2017/12/22(Fri) 00:13:27

☆ Re: 指数対数 / とんだ

takecさん
とてもわかりやすい解説ありがとうございます。

No.47393 - 2017/12/22(Fri) 03:04:12

★ 角についての問題 / あいと

作図はずれているそうです

No.47378 - 2017/12/21(Thu) 17:50:57

☆ Re: 角についての問題 / ヨッシー

∠ＣＢＥ＝20°になるような点ＥをＤＣ上に取ります。
角度を調べると、
ＢＣ＝ＢＥ＝ＢＡ＝ＡＥ
であり、∠ＤＢＥ＝∠ＥＤＢ＝40° なので、
ＥＤもこれらに等しいことがわかります。
ＡＥ＝ＥＤかつ ∠ＤＥＡ＝40° より
　∠ＡＤＥ＝70°
　ｘ＝∠ＡＤＢ＝30°
とわかります。

No.47379 - 2017/12/21(Thu) 18:29:01

★ おしえてください！ / るー

円と直線の問題です！
⑵からわかりません、、
ヒントか答え教えて下さる方いたらお願いします！

No.47376 - 2017/12/21(Thu) 16:37:29

☆ Re: おしえてください！ / X

(2)
条件から点(t,t)とlとの距離が、
Cの半径(つまり|t|)
となります。
このことと(1)の結果から
点と直線との間の距離の公式
を使って、tの方程式を立てます。

(3)
(1)の結果からC[1],C[2]の半径をpの式で
表すことができますので、
C[1],C[2]の面積の和をSとするとSをpの式で
表すことができます(これを(A)とします)。
後は横軸にp、縦軸にSを取ってp＞0の範囲で
(A)のグラフを描くことを考えます。

No.47377 - 2017/12/21(Thu) 17:35:22

☆ Re: おしえてください！ / るー

ありがとうございます！
頑張ってみます！

No.47388 - 2017/12/22(Fri) 00:59:51

☆ Re: おしえてください！ / X

もう見ていないかもしれませんが、
No.47377で誤りがありました(ごめんなさい)。
直接修正しておきましたので
再度ご覧下さい。

No.47407 - 2017/12/22(Fri) 21:46:44

★ ベクトル / 高2

この問題がわかりません
解説をお願いします。

No.47374 - 2017/12/21(Thu) 04:17:42

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

Ｓ1＝(1/2)ＯＡ・ＯＢsin∠ＡＯＢ
Ｓ2＝(1/2)ＯＣ・ＯＤsin∠ＡＯＢ
において、ＯＣ＝２ＯＡ、ＯＤ＝ＯＢ／２　なので、
　Ｓ1＝Ｓ2
よって、ア＝１です。

(1)
ＯＧ＝(ＯＣ＋ＯＤ)／３
　　＝(２ＯＡ＋(1/2)ＯＢ)／３
であり、実数ｕに対して
　ＯＰ＝ｕＯＧ
が成り立ち、ＯＡとＯＢは独立(平行でない)なので、
　ｓＯＡ＋ｔＯＢ＝(２ｕＯＡ＋(ｕ/2)ＯＢ)／３
より、
　ｓ＝2u/3、ｔ＝u/6
であるので、
　ｓ＝４ｔ　・・・イ
ＰがＣＤ上にあるとき
　ＯＰ＝ｍＯＣ＋(1－m)ＯＤ
と書けるので、
　ＯＰ＝２ｍＯＡ＋{(1-m)/2}ＯＢ
より、
　ｓ＝２ｍ、ｔ＝(1-m)/2
ｍを消去して
　ｓ＋４ｔ＝２　・・・ウエ

(2)
v＝2t とおくと、ｓ≧０、v≧０　１≦ｓ＋ｖ≦２
　ＯＰ＝ｓＯＡ＋(v/2)ＯＢ
　　　＝ｓＯＡ＋ｖＯＤ
よって、Ｐの存在範囲は図の黄色の部分。

面積はＳ1＝２に対して、Ｓ＝３なので、
　Ｓ/Ｓ1＝３／２　　・・・オカ

No.47375 - 2017/12/21(Thu) 09:15:33

☆ Re: ベクトル / とんだ

教えてくださりありがとうございます。

No.47394 - 2017/12/22(Fri) 03:05:13

★ 整数の性質 / 高校1年生

この問題の解き方がわかりません
教えてくださいお願いします。

No.47369 - 2017/12/20(Wed) 16:42:49

☆ Re: 整数の性質 / ヨッシー

100a＋10b＋7＝・・・　はただの式変形ですので、ａ，ｂの係数が合うようにア、イを決めます。
ウは７です。

ａ，ｂが素数の時、ａ，ｂは２，３，５，７のいずれか(重複も可)なので、
上で求めたア、イを使った、アａ＋イｂに、順に当てはめていって、７で割れるかを
調べます。結果、７で割れるのは、
　（ａ，ｂ）＝（３，５）、（７，７）
だけで、エオカ、キクケは３５７，７７７となります。
　３５７×７７７＝５１×１１１×７^2
であり、５１×１１１＝５６６１を７進法で表すと
　５６６１÷７＝８０８　あまり　５
　８０８÷７＝１１５　あまり　３
　１１５÷７＝１６　あまり　３
　１６÷７＝２　あまり　２
より　５６６１(10)＝２２３３５(7)
なので、コサシスセソタ　は　２２３３５００(7) となります。

No.47370 - 2017/12/20(Wed) 17:23:28

☆ Re: 整数の性質 / 高2

ヨッシーさん解説ありがとうございました！

No.47373 - 2017/12/21(Thu) 03:58:02

★ (No Subject) / 寒い

一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。辺EF上に点Pをとる。頂点B,Dおよび点Pを含む平面によって立方体を2つの立体に切断する時頂点Aを含む立体の体積をV1,頂点Gを含む体積をV2とする。V1;V2=1:√2が成り立つ

この時?@EP,?AtanABP,?BBPの値を求めよ

答え?@=(√5−1)/2 ?A（√5＋3)/2 ?B√3(√5＋1)/2
答えしか乗ってなくて模範解答ないので困っています。やり方教えてください。お願いします

No.47367 - 2017/12/20(Wed) 16:01:15

☆ Re: / ヨッシー

?@＝(√5−1)/2 だと、V1:V2=1:2 になると思いますが。

No.47371 - 2017/12/20(Wed) 18:24:54

☆ Re: / ヨッシー

Ｖ１：Ｖ２＝１：２とすると、以下のように、全部答えと合います。

切断面とＡＤの交点をＱとすると、
　ＰＱ//ＢＤ　ＥＰ＝ＥＱ
が成り立ちます。

　ＥＰ＝ＥＱ＝ｘ　（０＜ｘ＜１）
とおき、ＢＰ．ＤＱ，ＡＥの交点をＯとします。
　ＯＥ：ＯＡ＝ｘ：１
であるので、
　ＯＡ＝1/(1－x)
三角すいＯ－ＡＢＤの体積は　1/6(1－x)
三角すいＯ－ＥＰＱの体積は、そのｘ^3倍で、ｘ^3/6(1－x)
よって、
　Ｖ1＝(1－ｘ^3)/6(1－x)＝(x^2＋x＋1)/6
これが、立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの　1/3 倍になるので、
　(x^2＋x＋1)/6＝1/3
　x^2＋x＋1＝2
　x^2＋x－1＝0
これを解いて、
　ｘ＝(－1＋√5)/2
このとき、ＰからＡＢに下ろした垂線の足をＲとすると、
　tan∠ＡＢＰ＝ＲＰ/ＢＲ＝1/(1－x)
ここで
　1－x＝(3－√5)/2
なので
　tan∠ＡＢＰ＝2/(3－√5)＝(3＋√5)/2
また、
　ＢＰ＝√(ＰＲ^2＋ＢＲ^2)＝√{1＋(1－x)^2}
ここで、
　1＋(1－x)^2＝1＋(7＋3√5)/2＝(9＋3√5)/2
　　＝3(6＋2√5)/4＝(3/4)(√5＋1)^2
よって、
　ＢＰ＝(√3/2)(√5＋1)

No.47372 - 2017/12/20(Wed) 18:36:22

★ 三角 / 高1

三角形ABCがり、AB=√2,BC=3√3,CA=5とする。
この画像の問題がわかりません。
解説をお願いします。

No.47364 - 2017/12/20(Wed) 14:01:41

☆ Re: 三角 / ヨッシー

△ＡＢＣは∠Ａ＝90°の直角三角形であり、
　cos∠Ｂ＝√2/3√3
△ＡＣＤにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2－２ＡＤ・ＣＤcos∠ＡＤＣ
∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣより
　２５＝９＋ｘ^2－６(√2/3√3)ｘ
　ｘ^2－(2√6/3)ｘ－１６＝０　　　・・・エオカ
これをｘ＞０で解いて
　ｘ＝2√6　　　・・・キク
△ＢＣＤにおける三平方の定理より
　ＢＤ＝√3
よって、
　△ＡＢＣ＝5√2/2
　△ＢＣＤ＝3√2
よって、
　四角形ＡＢＤＣ＝11√2/2　・・・ケコサシ
ＤＰ：ＰＡ＝△ＢＣＤ：△ＡＢＣ＝６：５　より
　ＡＰ＝15/11
△ＡＢＰにおける正弦定理より
　ＡＢ/sin∠ＡＰＢ＝ＡＰ/sin∠ＰＢＡ
　sin∠ＡＰＢ＝ＡＢsin∠ＰＢＡ/ＡＰ
　　＝√2(5/3√3)/(15/11)
　　＝11√6/27

No.47366 - 2017/12/20(Wed) 14:52:02

☆ Re: 三角 / 高1

ヨッシーさん
図まで書いていただいてありがとうございます。
とてもわかりやすかったです！

No.47368 - 2017/12/20(Wed) 16:37:51

★ (No Subject) / 七

この問題の解き方が分かりません。教えてください。よろしくお願いします。(1)はB'(－1,－2,
－1)で(2)はP(－1,1/2,1)で最小値は√41です。

No.47360 - 2017/12/20(Wed) 00:27:39

☆ Re: / らすかる

(1)
πの式はx+2y+2z=2なので法線ベクトルの一つは(1,2,2)
Bを通りπに垂直な直線は(1,2,3)+t(1,2,2)=(1+t,2+2t,3+2t)とおける
x=1+t,y=2+2t,z=3+2tをπの式に代入してtを求めるとt=-1
よってB'の座標は(1,2,3)+(-2)(1,2,2)=(-1,-2,-1)
(2)
AP+PBの最小値は線分AB'の長さなので
√{(-1+1)^2+(3+2)^2+(3+1)^2}=√41
Pは直線AB'とπの交点なので
直線AB'をA+s(B'-A)=(-1,3,3)+s(0,-5,-4)=(-1,3-5s,3-4s)とおいて
πの式に代入しsを求めるとs=1/2
従って直線AB'の式にs=1/2を代入してP=(-1,1/2,1)

No.47361 - 2017/12/20(Wed) 01:02:35