ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 中3 宿題 / あき

この問題の(4)の解き方がわかりません。
すみませんが教えて下さいませ。

No.47442 - 2017/12/24(Sun) 12:47:10

☆ Re: 中3 宿題 / X

まず、円周角により
△ACD∽△BDE (A)
次に(2)の結果より
CA=CD (B)
又、円周角により
∠ACD=90° (C)
(B)(C)より
△ACDは直角二等辺三角形
ですので(A)により
△BDEも直角二等辺三角形 (D)
ここで△ABCに注目すると
BC=…
ですので(2)の結果から
BD=…
よって(D)により
BE=DE=…
従って△BDEの面積は…

No.47445 - 2017/12/24(Sun) 14:24:43

☆ Re: 中3 宿題 / あき

X様ありがとうございます。
X様 △ABCは90°,60°,30°の直角三角形(1:2:√3)なので
CA=6cm,CD=3√3cm となるのではないかと思うのですがいかがでしょうか。

No.47448 - 2017/12/24(Sun) 15:17:53

☆ Re: 中3 宿題 / X

それで問題ありません。

No.47449 - 2017/12/24(Sun) 15:33:33

☆ Re: 中3 宿題 / あき

△BEDの面積は 27√3/7 となったのですが合っていますでしょうか。

No.47450 - 2017/12/24(Sun) 15:58:15

☆ Re: 中3 宿題 / X

間違っています。

CD=3√3[cm]
より
BD=3√3[cm]
よって△BEDに注目すると
BE=DE=BD/√2
=3√(3/2)[cm]
よって求める面積は
(1/2)×BE×DE=27/4[cm^2]
となります。

No.47454 - 2017/12/24(Sun) 19:00:53

☆ Re: 中3 宿題 / あき

X様。ありがとうございます。
まだ完全に理解できていません。。この後、もっとじっくり考えて理解したいとおもいます。
X様♪ 本当にありがとうございました。

No.47456 - 2017/12/24(Sun) 20:22:06

★ 一次関数 / 中３生

（３）?@?Aの解き方がわかりません。解説よろしくお願いします。

No.47440 - 2017/12/24(Sun) 12:18:35

☆ Re: 一次関数 / X

?@
まず点Qに対するx,yの関係を表すグラフを問題の図に描き込む
ことを考えます。
このグラフの形は原点を通る直線になるのはよろしいですか？
(この直線をlとします)
すると問題は
lが問題の図のグラフと原点以外で３つ交点を持つような傾きの範囲を求める
ことに帰着します。
ここでlの傾きを0から順に増加させていくと、
求めるaの値の範囲は
(lが点(30,30)を通るときの傾き)＜a＜(lが点(40,60)を通るときの傾き)
となることが分かりなす。
よって…

?A
条件から点Qについて
y=0.6x+b (A)
一方、問題の図から40＜x＜60における点Pについて
y=-3x+180 (B)
(A)(B)をx,yの連立方程式として解きます。

No.47444 - 2017/12/24(Sun) 14:15:24

☆ Re: 一次関数 / 中３生

解りました。解説ありがとうございます。

No.47451 - 2017/12/24(Sun) 17:03:32

★ 一次関数 / 中３生

（３）の解き方がわかりません。解説よろしくお願いします。

No.47436 - 2017/12/24(Sun) 09:15:27

☆ Re: 一次関数 / takec

(3)
まず、直線mと直線nの交点Aの座標を求める。

m: y = -x + 9
n: y = 2x -b

であることから、点Aのx座標は

-x + 9 = 2x - b
3x = b + 9
x = b/3 + 3

となり、これを直線の式に代入すれば点Aのy座標は

y = -(3/b + 3) + 9
y = -3/b + 6

となる。

線分ABの長さが5となるには、
点Aのy座標が5もしくは-5である必要があるので、

5 = -3/b + 6　⇒　b = 3
-5 = -3/b + 6　⇒　b = 33

となる。

No.47437 - 2017/12/24(Sun) 09:53:51

☆ Re: 一次関数 / takec

すみません、途中の式の一部に記載ミスがありました。
【誤】3/b
【正】b/3

訂正した回答（一部分）を、以下のとおり再送します。

----------------------------

となり、これを直線の式に代入すれば点Aのy座標は

y = -(b/3 + 3) + 9
y = -b/3 + 6

となる。

線分ABの長さが5となるには、
点Aのy座標が5もしくは-5である必要があるので、

5 = -b/3 + 6　⇒　b = 3
-5 = -b/3 + 6　⇒　b = 33

となる。

No.47439 - 2017/12/24(Sun) 12:05:05

☆ Re: 一次関数 / 中３生

線分ABの長さが5となるには、
点Aのy座標が5もしくは-5である必要があるので、
点Aのy座標が5もしくは-5である必要があるということの意味がよくわかりません。数学が苦手なのですみません。

No.47441 - 2017/12/24(Sun) 12:23:43

☆ Re: 一次関数 / takec

点Aからx軸に対して垂線を引いて、
その垂線とx軸の交点が点Bとなるので、
線分ABの長さは、点Aのy座標の絶対値と等しくなります。

以上から、線分ABの長さが5となるには、
点Aのy座標が5か-5である必要がでてきます。

（分かりやすいようにイメージ図をつけてみました）

No.47447 - 2017/12/24(Sun) 14:44:12

☆ Re: 一次関数 / 中３生

線分ABの長さが5となるには、
点Aのy座標が5か-5である必要がでてきます。
長さは絶対値だから２通り考えなければならないのですね。

No.47452 - 2017/12/24(Sun) 17:08:03

☆ Re: 一次関数 / takec

そうです、この問題の場合は２通りあるということです。

ここでは親切なことに問題文にも２つの解があることが書かれていますが、
問題文にそういった記載がない場合もあると思いますので、
色々な見方を養っていけると良いと思います。

No.47453 - 2017/12/24(Sun) 17:35:33

☆ Re: 一次関数 / 中３生

解説ありがとうございました。

No.47487 - 2017/12/28(Thu) 07:46:11

★ (No Subject) / 名

奇関数の積分について。
画像のような場合、ただ積分するのと、面積を求めるのとでは、画像のような違いがあると思うのですが正しいでしょうか？

No.47431 - 2017/12/24(Sun) 00:14:35

☆ Re: / らすかる

細かくてよく見えないのですが、
「面積」なら、の右に書かれている積分の
積分区間はaからaと書いてあるのですか？

No.47432 - 2017/12/24(Sun) 00:40:42

☆ Re: / 名

すみません…0からaです…

No.47433 - 2017/12/24(Sun) 00:41:41

☆ Re: / らすかる

それならば、正しいです。

No.47434 - 2017/12/24(Sun) 02:06:24

★ 因数分解 / トム

4⑸の解き方がわかりません。
大問3までの問題はすらすらと解けるのですが、大問4の問題はどうやって解くのかわかりません。
何かコツとかありますか？

No.47429 - 2017/12/23(Sat) 20:08:10

☆ Re: 因数分解 / X

一旦展開をし、どれか一つの文字に注目して
整理をした上でたすきがけをします。
例えばaに注目する場合
(与式)={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}-bca
=(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}a+bc(b+c)-bca
=(b+c)a^2+{(b+c)^2}a+bc(b+c)
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a)

No.47430 - 2017/12/23(Sat) 20:33:29

★ 中3 関数の利用 / あき

この問題の(4)の解き方がわかりません。
すみませんが、易しく教えて下さいませ。

No.47422 - 2017/12/23(Sat) 18:18:38

☆ Re: 中3 関数の利用 / X

以下、条件から
0≦x≦20 (A)
に注意します。
まず(1)の結果から(A)のときのAさんの位置
について
y=90x (B)
又、Bさんの位置について
y=60x (C)
よってAさんとBさんとの間の道のりは
90x-60x=30x[m] (D)
次にAさんとCさんとの間の道のりを
xについて場合分けをして
題意を満たすようにxの方程式を
立てることを考えます。

(i)0≦x≦8のとき
Cさんの位置について
y=1800 (E)
(A)(E)よりAさんとCさんとの間の道のりは
1800-90x[m] (F)
(D)(F)より題意を満たすためには
1800-90x=2×30x
これより
x=12
よって不適。

(ii)8≦x≦20のとき
Cさんの位置について
y=-50x+2200 (E)'
(A)(E)'よりAさんとCさんとの間の道のりは
-50x+2200-90x=2200-140x[m] (F)'
(D)(F)'より題意を満たすためには
2200-140x=2×30x
これより
x=11
これは題意を満たします。

よって求める時間は
11分後
となります。

注)
この問題は使っている数学こそ中学数学の範囲ですが
完全に解くには上のように場合分けが必要になり、
問題用紙とは別に白紙の計算用紙が一枚必要な位
かなり難度が高い分類に入ります。
(少なくとも問題用紙の余白で計算できるような
問題ではありません。)

さすがにこの問題に関しては(1)(2)(3)より配点が
高くなっていますが、難度から言うと18点
(つまり(1)(2)(3)の3問分)
与えてもおかしくない問題だと思います。
(もっと簡単に解く方法がありましたら
ごめんなさい。)

No.47424 - 2017/12/23(Sat) 18:42:11

☆ Re: 中3 関数の利用 / あき

X様♪
めちゃめちゃ感動しております。
とても良く理解できました。本当に本当にありがとうございました♪
もっと勉強頑張ります！

No.47426 - 2017/12/23(Sat) 19:05:32

☆ Re: 中3 関数の利用 / らすかる

「CさんがR地点まで歩く途中で」と書かれていますので
0≦x≦8は考える必要がないと思います。
（というより0≦x≦8で解があっても条件に合わないので不適）

No.47435 - 2017/12/24(Sun) 04:42:47

☆ Re: 中3 関数の利用 / X

>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>あきさんへ
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
らすかるさんの仰る通り、No.47424において
(i)の場合分けは不要です。

但し、難度については高い分類に入ることには
変わりはありません。

No.47438 - 2017/12/24(Sun) 11:08:08

☆ Re: 中3 関数の利用 / あき

らすかる様♪ X様♪
勉強になりました。本当にありがとうございます！

No.47443 - 2017/12/24(Sun) 12:55:44

★ (No Subject) / ベストオブエリー

教えてください

No.47421 - 2017/12/23(Sat) 17:10:20

☆ Re: / X

aの値について場合分けをします。
(i)a=0のとき
f(x)=1
となりますので題意を満たします。
(ii)a≠0のとき
f(x)は二次関数であり
f(x)=a(x-1)^2+1-a
∴y=f(x)のグラフの軸の方程式は
x=1
であり、これは
-1≦x≦2 (A)
の範囲内右寄りとなっています。
よって題意を満たすためには
(I)a＞0のとき
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線
となりますので、(A)における
f(x)の最小値について
f(1)=1-a＞0
∴0＜a＜1
(II)a＜0のとき
y=f(x)のグラフは上に凸の放物線
となりますので、(A)における
f(x)の最小値について
f(-2)=8a+1＞0
∴-1/8＜a＜0

以上から求めるaの値の範囲は
-1/8＜a＜1
となります。

No.47423 - 2017/12/23(Sat) 18:27:09

★ 中3 宿題 / あき

どのように証明すればよいのかがわかりません。
すみません教えて下さいませ。

No.47415 - 2017/12/23(Sat) 15:53:37

☆ Re: 中3 宿題 / X

証明の書き出しの続きの形で以下に解答を。

条件から
S=(a+b)h/2 (A)
一方、点Eが辺ABの中点でかつ
EF//BC,AD//BC
であることから点Fは辺DCの中点。
よって辺ACと線分EFとの交点をGとすると
点Gは辺ACの中点ですので
中点連結定理により
EG=b/2 (B)
GF=a/2 (C)
更に
EG+GF=d (D)
(B)(C)を(D)に代入して
(1/2)(a+b)=d
a+b=2d (D)'
(D)'を(A)に代入して
S=dh
となります。

No.47418 - 2017/12/23(Sat) 16:13:30

☆ Re: 中3 宿題 / あき

X様。本当に感動します。
説明されると「なるほど！なるほどー！」と理解できたのですが
また同じ様な問題が出たら、つまづいてしまいそうです。
もっと勉強すればスラスラと解けるようになるでしょうか？
この問題のレベルだと中3のこの時期には秒殺で解けないとヤバいでしょうか？

No.47419 - 2017/12/23(Sat) 16:34:54

☆ Re: 中3 宿題 / X

この問題は以下の3点の理由で難度は高い方だと思います。

(i)
証明過程で使っている等式が全て文字式である。

(ii)
初見でこれを解く場合、
まず(A)を立てること
(これは見たまんまなのでまだ容易)
と(A)と証明すべき式である
S=dh
を見比べて、
「a+bをdを用いて表すにはどうしたらいいか？」
という天下り的な考え方
ができないと難しい。

(iii)
(辺AC(又は辺BDでも可)という)
補助線を引く必要があること。

No.47427 - 2017/12/23(Sat) 19:18:35

☆ Re: 中3 宿題 / あき

「難易度は高い方だと思います。」との言葉に救われました。
これからも勉強頑張ります。
いつも分かりやすく教えて下さり本当に感謝でいっぱいです♪

No.47428 - 2017/12/23(Sat) 19:47:16

★ (No Subject) / 七

この問題の解き方と答えが分かりません。教えてください。お願いします。

No.47405 - 2017/12/22(Fri) 20:22:15

☆ Re: / k=?

どこまで解けましたか？

No.47406 - 2017/12/22(Fri) 21:26:32

☆ Re: / 七

アとイが解けそうで解けないところです。

No.47409 - 2017/12/23(Sat) 00:21:00

☆ Re: / k=?

xのn乗をx＾nと書きます。
(1)
問題の式はx^3-3x^2/2-6x=kとなります。
f(x)=x^3-3x^2/2-6xのグラフを書いてください。
問題の式が3つの実数解をもつということはf(x)=kのとき3つの解が存在します。
(2)(a)
(1)で書いたグラフをもとに、各解が取り得る値の範囲を計算してください。
(2)(b)
3次式の解と係数の関係を上手く使ってください。

No.47411 - 2017/12/23(Sat) 03:33:53

★ 三角比の問題 / シュガー

度々すみません。
三角比の問題を見て頂きたいです。
出来る所までやってみたのですが、特に角度の解き方につまづいてしまいます。よろしくお願いします。

No.47402 - 2017/12/22(Fri) 18:41:16

☆ 三角比の問題 / シュガー

元の問題はこちらです。

No.47403 - 2017/12/22(Fri) 18:43:03

☆ Re: 三角比の問題 / X

(1)
公式が間違っています。
>>S=(1/2)bccosA
ではなくて
S=(1/2)bcsinA
です。
(この問題ではA=45°ですので
sinAとcosAの値が等しくなり、たまたま
計算結果が正しい面積の値と等しくなりますが。)

(2)
aの計算については問題ありません。

問題はB,Cの計算についてですが
cosBの値の計算はそれで問題ありません。
但し、仮に分母を有理化して計算を
進めたとしてもBの値が簡単に得られる
値とはなりません。
ここはまず先にCの値を求めてから
A+B+C=180°
となることを使ってBの値を求める
ことを考えましょう。

No.47404 - 2017/12/22(Fri) 18:53:04

☆ 三角比の問題 / シュガー

ありがとうございます‼やってみます‼

No.47408 - 2017/12/22(Fri) 22:15:33

★ 座標 / 中３生

（２）の解き方がわかりません。解説よろしくお願いします。

No.47400 - 2017/12/22(Fri) 14:29:19

☆ Re: 座標 / X

条件から点Bから点Qに至るときの
直線PQの変化の割合について
BH/QH=1(=直線PQの傾き)
これより
BH=QH (A)
同様に点Aから点Bに至るときの
直線PQの変化の割合から
OA=OB (B)
つまり△QHB、△AOBはいずれも
直角二等辺三角形
であることが分かります。
更にこの二つの三角形は面積が
等しいので、面積について
(1/2)BH^2=(1/2)OB^2
これより
BH=OB (C)
(A)(C)により
OH=OB+BH=2BH
=2QH
よってQ(k,2k) (k＞0)
と置くことができます。
ここで点Qは
放物線y=(1/2)x^2
の上の点ですので
2k=(1/2)k^2
これより
k^2-4k=0
(k-4)k=0
よって
k=4
となりますので
Q(4,8)
となります。

No.47401 - 2017/12/22(Fri) 15:44:17

★ (No Subject) / シュガー

★ルートの計算★
学校の課題なんですが友達と答えが違っていて解答が合っているかみて頂きたいです。よろしくお願いします。

No.47396 - 2017/12/22(Fri) 11:43:29

☆ ★ルートの計算★ / シュガー

自分の中では添付する公式を利用すると思うのですが、どうでしょう？

No.47397 - 2017/12/22(Fri) 12:17:59

☆ Re: / IT

合ってます。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%EF%BC%88%E2%88%9A5%2F%E2%88%9A2%EF%BC%89-%E2%88%9A2%2F(%E2%88%9A5%EF%BC%8B%E2%88%9A3%EF%BC%89

No.47398 - 2017/12/22(Fri) 12:44:07

☆ ルートの計算 / シュガー

ありがとうございます‼

No.47399 - 2017/12/22(Fri) 12:46:37

★ 正六角形の６等分割 / √

教えてください。

「正六角形」を合同な形で６分割する場合

?@正三角形６コ
?A頂点が１２０度の二等辺三角形６コ

この他に、ありますでしょうか？

No.47387 - 2017/12/22(Fri) 00:49:28

☆ Re: 正六角形の６等分割 / らすかる

無数にあります。
中心からどこかの辺か頂点まで適当な曲線を引いて、
60°回転して全く同じ線を引くということを繰り返せば
合同な形6個になります。

No.47389 - 2017/12/22(Fri) 01:18:54

☆ Re: 正六角形の６等分割 / √

なるほど～
重心に針を打って６０度回転させれば、
どんな線でも良いわけですね。

らすかるさん
有難うございました。

No.47390 - 2017/12/22(Fri) 01:35:45

★ 平面幾何 / 図形問題を愛する男

【問題】
AB＝AC である二等辺三角形ABCの辺AB(両端を除く)上に点Pをとり、ついで直線CPに関して点Aと同じ側にあり、QP＝QC を満たす点Qをとる。このとき、AQ//BC ならば ∠BAC＝∠PQC であることを示せ。

この問題を、座標設定せずに幾何一点張りで解ききる方法はありませんか？結構考えたんですが、どうやら正攻法ではうまくいきそうもないんですよね…。

No.47382 - 2017/12/21(Thu) 19:29:03

☆ Re: 平面幾何 / らすかる

△APCの外接円と直線AQのA以外の交点をRとすると
∠RPC=∠RAC=∠ACB=∠ABC、∠PRC=∠PACなので
△RPC∽△ABC、従ってRP=RCなのでRはQと一致する。
よって∠BAC=∠PRC=∠PQC。

No.47384 - 2017/12/21(Thu) 20:45:12

☆ Re: 平面幾何 / 図形問題を愛する男

>>らすかるさん
素晴らしい！！（≧∇≦）
こういうのを「コロンブスの卵」って言うんでしょうね…。鮮やかな解答をありがとうございました！

No.47385 - 2017/12/21(Thu) 20:53:43

☆ Re: 平面幾何 / 図形問題を愛する男

>>らすかるさん
一つ疑問に思ったのですが、△APCの外接円と直線AQが異なる2点で交わらない場合、すなわち点Aで接する場合はどうなるんでしょうか?

No.47391 - 2017/12/22(Fri) 02:22:11

☆ Re: 平面幾何 / らすかる

もし接するとすると、円の中心がBCの垂直二等分線上にあることになりますので
P=Bとなり問題の条件に反します。
つまりこの問題の条件では接することはあり得ません。

No.47392 - 2017/12/22(Fri) 02:32:38

☆ Re: 平面幾何 / 図形問題を愛する男

なるほど、確かにそうですね。回答ありがとうございました！m(__)m

No.47395 - 2017/12/22(Fri) 03:07:38

★ 指数対数 / とんだ

この問題がわかりません
教えてください
お願いします。

No.47380 - 2017/12/21(Thu) 18:37:24

☆ Re: 指数対数 / takec

(1)
?@27 x^2 y = 3^a より
log_3 (27 x^2 y) = log_3 3^a
log_3 3^3 + log_3 x^2 + log_3 y = log_3 3^a
3log_3 3 + 2log_3 x + log_3 y = a log_3 3
3 + 2log_3 x + log_3 y = a　・・・(A)

今、X = log_3 x、Y = log_3 yとおくと、(A)は以下のようになる。

3 + 2X + Y = a
Y = -2X + a - 3　・・・?B

(2)
?A(log_3 xy)^2 - log_3 x^6 - a^2 = 0より、
(log_3 x + log_3 y)^2 - 6log_3 x - a^2 = 0
(X + Y)^2 - 6X - a^2 = 0

?BよりりYを代入すると、
(X + (-2X + a - 3))^2 - 6X - a^2 = 0
(-X + a - 3)^2 -6X - a^2 = 0
X^2 - 2X(a-3) + (a-3)^2 - 6X - a^2 = 0
X^2 - 2Xa + 6X + a^2 -6a + 9 - 6X - a^2 = 0
X^2 - 2Xa - 6a + 9 = 0　・・・(B)

(3)
(B)を二次方程式の解の方式で解く。
X = {2a ± (4a^2 -4(9-6a))^(1/2)} / 2
= a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)
log_3 x = log_3 3^{a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)}
x = 3^{a ± (a^2 + 6a - 9)^(1/2)}

二つの解の積が243であることから、
3^{a + (a^2 + 6a - 9)^(1/2)} 3^{a - (a^2 + 6a - 9)^(1/2)} = 243
3^(2a) = 3^5
2a = 5
a = 5/2

このとき、(a^2 + 6a - 9)^(1/2)は
(a^2 + 6a - 9)^(1/2)
= (25/4 + 30/2 - 9)^(1/2)
= (25/4 + 60/4 - 36/4)^(1/2)
= (49/4)^(1/2)
= 7/2

よって、
x = 3^(5/2 + 7/2), 3^(5/2 - 7/2)
= 3^6, 3^(-1) ・・・(C)

?Cに二つの解を与えると、
log_3 y = -2 log_3 3^6 + 5/2 log_3 3 - 3log_3 3
log_3 y = log_3 3^(-12) + log_3 3^(5/2) + log_3 3^(-3)
log_3 y = log_3 3^(-15 + 5/2)
log_3 y = log_3 3^(-25/2)
y = 3^(-25/2)

log_3 y = -2 log_3 3^(-1) + 5/2 log_3 3 - 3log_3 3
log_3 y = log_3 3^2 + log_3 3^(5/2) ^ log_3 3^(-3)
log_3 y = log_3 3^(-1 + 5/2)
log_3 y = log_3 3^(3/2)
y = 3^(3/2)

No.47386 - 2017/12/22(Fri) 00:13:27

☆ Re: 指数対数 / とんだ

takecさん
とてもわかりやすい解説ありがとうございます。

No.47393 - 2017/12/22(Fri) 03:04:12