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★ 高校1年 数A / udólce
AB,CDは１つの円の平行弦で、点Bにおける接線とCDの延長との交点をGとする。いま、弧CD 上に1点Pをとり、直線PA,PB,と弦CDとの交点をそれぞれE,F,とすれば,FE×FG=FD×FCであることを示せ。

どう証明すればいいでしょうか？
No.46871 - 2017/11/19(Sun) 16:38:53
★ (No Subject) / あいりん
丸をつけてるところはなぜ、符号が変わるのですか？ 誰か教えてください、お願いしますm(*_ _)m
No.46867 - 2017/11/19(Sun) 15:00:22
☆ Re: / IT
左右を入れ替えたためです。
不等号の向きはそのままにして、両辺からｘを引いても同じことです。
No.46869 - 2017/11/19(Sun) 15:52:33
★ (No Subject) / Z
すいません、図を添付しわすれていました
No.46866 - 2017/11/19(Sun) 14:54:31
★ 角xの大きさが45度であることを説明してください / Z
はじめまして
小学5年の中学受験算数の質問です

図の面積を求めよ、という問題なのですが、角xの大きさが45度であるのは円周角の定理から分かるのですが、円周角を使わずして求めることは可能でしょうか？（小5なので使えない…）
もしくは、全く別の方法で求積するのでしょうか？

皆様、お知恵をお貸しください。
No.46865 - 2017/11/19(Sun) 14:53:02
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / angel
うーん…。
私の昔の記憶だと、小学校時代に円周角は習わなかったので、45°という角度を導くのは厳しい気がします。

ただ、3×3÷2 という計算式はすぐ分かるので、角度はともかくそれで答えを出してしまう、になりそうな気がします。
数学的にはどうかと思うのですが…。
No.46870 - 2017/11/19(Sun) 16:38:49
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / Z
お返事ありがとうございます！
よろしければ、その3×3÷2になる理由を教えてもらえないでしょうか？
これがどーしても分からなくて…
No.46874 - 2017/11/19(Sun) 17:05:38
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / angel
ええと。
問題の条件として提示されているのは、

・直角二等辺三角形と直角三角形をつなげた形であること
・直角同士を結ぶ対角線が 3cm であること

ですよね。それ以外の条件は出ていません。
これを「提示されていない条件は自分の好きに決めていい」と見做すのですよ。
そうすると、例えば対角線が3cmの正方形 ( 直角二等辺三角形×2 ) であっても良いはずです。なので、ひし形の面積として 3×3÷2 と。

本来であれば「提示されていない条件を自分の好きに決めても同じ答えになる」かどうかも、中学高校なら自分で考えるところなんですが、その責任は、まあ、出題者側にある、と。
No.46875 - 2017/11/19(Sun) 17:30:48
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / angel
「提示されていない条件は自分の好きに決めていい」という意味では、添付の問題もそうですね。
中学受験で出るか? は分かりませんが。

同じように考えれば、円柱に貫かれた球なんていうややこしい形じゃなくて、単に「直径6cmの球の体積」として計算できるわけです。
No.46876 - 2017/11/19(Sun) 17:49:56
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / らすかる
ウエの垂直二等分線とイエの交点をオとすると
オイ＝オウ＝オエ＝オアですから
△オアイ、△オイウ、△オウアは二等辺三角形になります。
そのうち△オアイは直角二等辺三角形です。
すると
∠オアイ＋∠オイア＋∠オイウ＋∠オウイ＋∠オウア＋∠オアウ＝180°
∠オアイ＝∠オイア＝45°、∠オイウ＝∠オウイ、∠オウア＝∠オアウなので
45°＋∠オウイ＋∠オウア＝90°
∠オウイ＋∠オウア＝45°
よって∠イウア＝45°とわかります。

しかし45°を出さなくても、
アからイウに垂線アオを引いて
出来た直角三角形アイオを
アを中心に90°左回転させて
アエ側にくっつければ
対角線が3cmの正方形になりますので
すぐに求まりますね。
No.46878 - 2017/11/19(Sun) 18:57:54
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / IT
らすかるさんの解答で気づきましたが
アを中心に90度ずつ回転して４つ合わせると対角線が６ｃｍの正方形になりますね。
（図）
No.46879 - 2017/11/19(Sun) 19:50:07
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / IT
△アエウをアを中心に右に90度回転して、アエをアイに重ねると、
２辺が３ｃｍの直角二等辺三角形に出来ますね。
（図）
No.46880 - 2017/11/19(Sun) 21:20:23
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / Z
ありがとうございます！
めちゃくちゃ納得できました！
今更のレスで申し訳ありませんが、本当に助かりました
No.46988 - 2017/11/26(Sun) 17:47:37
★ (No Subject) / みっつ
カッコ2のエが分かりません。
答えは8です
No.46861 - 2017/11/19(Sun) 11:01:39
☆ Re: / IT
公比ｒはどうなりましたか？

等比級数の和の公式で求める方法もありますし、
穴埋め対応として答えだけ求めるなら
７＜４+２+１+(1/2)+・・・＜８　と考える方法もあります。
No.46862 - 2017/11/19(Sun) 12:14:29
☆ Re: / みっつ
こうひは1/2になりました。
No.46863 - 2017/11/19(Sun) 13:32:25
☆ Re: / IT
初項４、公比１／２の等比数列の和の公式から
?煤E・の値を求めるのが、オーソドックスな解法だと思います。
No.46868 - 2017/11/19(Sun) 15:48:52
☆ Re: / みっつ
わかりました。
No.46896 - 2017/11/21(Tue) 09:30:06
★ 大学数学 / ζ
可換環論と関数解析って、どっちが難しいのでしょうか？
No.46859 - 2017/11/19(Sun) 06:50:11
★ (No Subject) / kennji
すいません。もう１問ありますのでよろしくお願いします。
No.46856 - 2017/11/19(Sun) 02:00:47
☆ Re: / らすかる
PQの中点をOとするとOはACの中点でもあり、
A,B,C,P,Qは同一円周上にあります。
条件から、円Oのうち△ABCが通過するのは
回転前の弧APCQ側の扇形AQO全体であり、
回転前の∠AOQは60°で通過しない部分は
円の面積の1/6ですから、通過する部分の面積は
(5/6)(円の面積)=(5/6)πとなります。
No.46858 - 2017/11/19(Sun) 02:43:33
★ 教えてください / kennji
高校入試問題ですが、全くわかりません。月曜までの宿題ですが、解答がないので、解答解説をよろしくお願いします。
No.46855 - 2017/11/19(Sun) 01:59:10
☆ Re: 教えてください / らすかる
BDの中点をPとすると、BP=√2,BE=2√5なので
三平方の定理からPE=3√2です。
EGの中点をQとしてA,C,E,Gを通る平面で切った断面で考えると、
PE=PG=3√2,EG=2√2である二等辺三角形PEGがあって
PQの中点Oを中心とする円がPE,PGに接しています。
三平方の定理からPQ=4なのでPO=2であり、OからPEに垂線ORを下ろすと
△PRO∽△PQEから(球の半径)=(円の半径)=OR=2/3とわかります。
No.46857 - 2017/11/19(Sun) 02:34:37
★ 確率 / 微積マン壱号
この問題の答えは2/49で合っていますか？
No.46851 - 2017/11/18(Sat) 20:44:30
☆ Re: 確率 / らすかる
合ってます。
No.46852 - 2017/11/18(Sat) 23:51:42
☆ Re: 確率 / 微積マン壱号
ありがとうございます。
No.46854 - 2017/11/19(Sun) 00:16:54
★ (No Subject) / JJMO
自然数の二乗で表される数を平方数、三乗で表される数を立方数と呼びますよね。では自然数のk乗で表される数(k=4,5,…)は何と呼ぶのでしょうか？
No.46849 - 2017/11/18(Sat) 12:21:43
☆ Re: / らすかる
k=4ならば4乗数
k=5ならば5乗数
一般的にはk乗数
だと思います。
No.46853 - 2017/11/18(Sat) 23:54:56
★ (No Subject) / サトル
この問題の解き方教えてもらえますか。
No.46846 - 2017/11/18(Sat) 00:05:43
☆ Re: / ヨッシー
ＡＧ：ＧＤ は常に一定の比となります。
教科書を確認してください。
No.46847 - 2017/11/18(Sat) 00:42:54
★ 本を読んでいてわからなかったところ / Gh
自然数について、x=u'(x'でxの後継者を表す)となるuがx=1の場合を除き存在することを証明していて、
集合mを、1と上の条件を満たすようなxの作る集合とする。
i)1は集合mに属す。
ii)xが集合mに属すならば、xをuとかくこととするとx'=u'となり、x'も集合mに属する
よってxが1を除く全ての自然数である場合についてなりたつ。
とあったのですが、iiのあたりが良くわかりません。解説していただけないでしょうか。
No.46841 - 2017/11/17(Fri) 22:05:07
☆ Re: 本を読んでいてわからなかったところ / angel
「xをuとかくこととすると」が、まあ、あんまり良い日本語とは言えない気がするので、何を考える場面か、直接調べた方が良いと思います。

ここで出てくる M の要素とは、1 か、もしくは「先駆者が存在する※」自然数です。
※後継者の逆と思ってください。正確には、「u'=xなるuが存在する」ですが。

では今、x'が、

　x'=1である
　x'の先駆者が存在する

どちらかを満たしているでしょうか? という話。
で、話の流れ的に後者を満たしているわけですが。なぜかというと、x'がxの後継者である以上、xはx'の先駆者ですね。ほら、先駆者がいますねと、そういう話です。
No.46844 - 2017/11/17(Fri) 23:03:40
☆ Re: 本を読んでいてわからなかったところ / 黄桃
内容自体は angel さんのおっしゃってることと同じですが、「ペアノの公理」による証明にも見えます。

そうだとすれば、全体の流れは次の通りでしょうか。
S={x|x=u'(x'でxの後継者を表す)となるuが存在する}, m=S∪{1}　とする。
ペアノの公理のうち「数学的帰納法の原理」を用いると、i),ii) により、mは自然数全体の集合Nと一致する。
ペアノの公理から「1はSの元ではない」ので、結局　S=N-{1}　となり、これが示すべき命題。

質問のii)の部分は、「x∈m ⇒ x’∈m 」を示すのですが、xがmに属していようがいまいが（自然数なら)、
x’∈m は真（x’はxの後継者なのでSの元。よってmの元でもある）なので「x∈m ⇒ x’∈m 」も真です。
No.46848 - 2017/11/18(Sat) 09:22:53
☆ 有難うございました / Gh
angelさん,黄桃さん(順不同)有難うございました。
おかげで理解できました。
No.46850 - 2017/11/18(Sat) 16:23:42
★ 中3 相似 / Sさん
7の(3)の解説、解答を教えていただきたいです。
No.46840 - 2017/11/17(Fri) 20:41:07
☆ Re: 中3 相似 / らすかる
平行四辺形の面積をSとすると
△ACD=(1/2)S
△ECD=(2/3)△ACD=(2/3)(1/2)S=(1/3)S
EG：GC=2：3から△CDG=(3/5)△ECD=(3/5)(1/3)S=(1/5)S
(四角形ABCE)=(平行四辺形ABCD)-△ECD=S-(1/3)S=(2/3)S
BC：AE=3：1から△BCF：△AEF=9：1
よって(四角形ABCE)：△AEF=8：1なので
△AEF=(1/8)(四角形ABCE)=(1/8)(2/3)S=(1/12)S
従って△AEF：△CDG=(1/12)S：(1/5)S=5：12
No.46842 - 2017/11/17(Fri) 22:25:03
★ 確率 / お鍋
再びすみません
こちらの問題の解き方、解答を教えて頂けませんでしょうか。
No.46839 - 2017/11/17(Fri) 19:35:05
☆ Re: 確率 / らすかる
(1)
n回目で終わるとは
n-1回のうちで当たりくじをちょうど2回引き、
n回目に当たりくじを引くことなので
P[n]=(n-1)C2・(1/5)^2・(4/5)^(n-3)・(1/5)
=(n-1)(n-2)・2^(2n-7)/5^n

(2)
P[n+1]/P[n]={n(n-1)・2^(2n-5)/5^(n+1)}/{(n-1)(n-2)・2^(2n-7)/5^n}
=4n/{5(n-2)}
4n/{5(n-2)}＞1を解くとn＜10
4n/{5(n-2)}＝1を解くとn＝10
4n/{5(n-2)}＜1を解くとn＞10
よって
n＜10のときP[n+1]/P[n]＞1すなわちP[n+1]＞P[n]
n＝10のときP[n+1]/P[n]＝1すなわちP[n+1]＝P[n]（P[11]=P[10]）
n＞10のときP[n+1]/P[n]＜1すなわちP[n+1]＜P[n]
つまり
P[1]＜P[2]＜P[3]＜…＜P[9]＜P[10]＝P[11]＞P[12]＞P[13]＞…
となるので
P[n]が最大となるnはn=10,11
No.46843 - 2017/11/17(Fri) 22:37:09
☆ Re: 確率 / お鍋
ありがとうございます！
No.46845 - 2017/11/17(Fri) 23:19:38
★ 中２　証明 / りゅう
連続で申し訳ございません。
こちらの問題も解説をお願い致します。
No.46835 - 2017/11/17(Fri) 13:30:01
☆ Re: 中２　証明 / ヨッシー
ＡＢ＝ＢＣのとき、ＢＤはＡＣの垂直二等分線になり、
　ＡＥ＝ＣＥ、ＡＥ//ＣＦ
これより
　△ＡＥＤ≡ＣＦＤ
よって、四角形ＡＥＣＦはひし形。
No.46836 - 2017/11/17(Fri) 15:25:08
☆ Re: 中２　証明 / りゅう
お礼が遅くなって申し訳ございません。
いつも分かりやすく教えていただいてありがとうございます。
↓の問題も良く分かりました。
どうもありがとうございました。
No.46860 - 2017/11/19(Sun) 10:12:33
★ 中２　証明 / りゅう
いつもありがとうございます。
（３）の問題を教えていただけますでしょうか？
どうぞよろしくお願い致します。
No.46834 - 2017/11/17(Fri) 13:24:38
☆ Re: 中２　証明 / ヨッシー
四角形ＡＤＦＣにおいて
　∠Ｄ＝∠Ｃ＝90°
より
　∠Ａ＋∠Ｆ＝180°
よって、
　∠ＤＦＢ＝∠ＤＡＣ＝45°
∠ＤＢＦ＝45°より
△ＤＢＦは直角二等辺三角形。
No.46837 - 2017/11/17(Fri) 15:29:28
★ (No Subject) / るー
数列です！⑶あたりから難しくて解けないので教えてください、！
高2のちょっと難しいかなーくらいのレベルです！
No.46832 - 2017/11/16(Thu) 20:54:19
☆ Re: / ヨッシー
(1) a[n]＝(-3)^(n-1)
(2) b[n]＝2n＋1
であるとして、
{a[n]}＝{1, -3, 9, -27, 81,・・・}
{b[n]}＝{3, 5, 7, 9, 11, ・・・}

(3)
(i)
N=3 のとき b{N}＝7
(*) を満たすa[n] の項は
　3^0, 3^2, 3^4, 3^6
であり、和は
　1＋9＋81＋729＝820
(ii)
N=1 のとき 1, 9
N=2 のとき 1, 9, 81
N=3 のとき 1, 9, 81, 729
のように、数列 9^(n-1) を初項からN+1後まで足したものが、求める和であるので、
　Ｓ＝1+9+・・・+9^N＝(9^(N+1)−1)/8
No.46838 - 2017/11/17(Fri) 17:12:14
★ (No Subject) / 大学院にき
³√x^2-tan^-1∛x^2 微分お願いします
No.46830 - 2017/11/16(Thu) 18:43:21
★ 確率 / 瑠梨
学校のテスト問題の復習中なんですが、2題ほどどうしてもわからない問題があるので教えてください。

【問題】
m個の〇とm個の×がある。これらを横一列にならべるとき、次の条件を満たす並べ方になる確率を求めなさい。

条件：m個のどの〇の左側にも〇の個数は×の個数よりも多い

m=1、2、3、4あたりを調べてみましたが何の規則性も見つからずさっぱりわかりません。よろしくお願いします。
No.46828 - 2017/11/16(Thu) 17:21:24
☆ Re: 確率 / ヨッシー
問題文は正しいですか？

左から順に置いていくとして、たとえ一番左に○を置いたとしても、
その○より左にある◯（０個）が×（０個）より多いことはあり得ません。

どの〇より左にある〇の個数は、×の個数を下回らない
なら、問題として成り立ちます。
No.46829 - 2017/11/16(Thu) 17:44:42
☆ Re: 確率 / 瑠梨
一応問題文の記載ミスはありません。明日先生に聞いてみます。

＜どの〇より左にある〇の個数は、×の個数を下回らない
なら、問題として成り立ちます。

このような問題と考えた場合、どのように解けばよいのでしょうか。
No.46831 - 2017/11/16(Thu) 19:15:12
☆ カタラン数 / angel
流石にこれを自力で何とかするのは厳しいと思います。

この答えが 1/(m+1) となることは良く知られていて、条件を満たす○✕の並べ方 ((2m)Cm)/(m+1) は、カタラン数と呼ばれています。

例えば、wikipediaの記事で、「格子状の経路数え上げ」をご覧下さい。
「○を置く」を「右に動く」、「✕を置く」を「上に動く」、「下回らない」を「対角線を横切らない」と読み替えると、全く同じ問題になっていることが見て取れると思います。
No.46833 - 2017/11/16(Thu) 21:19:17
☆ Re: 確率 / 瑠梨
回答ありがとうございました。
No.46890 - 2017/11/20(Mon) 21:06:46
★ 中3 / あき
学校のテストで出題された問題なのですが、もうさっぱり解けません。。
すいませんが 易しく教えて頂けないでしょうか。
No.46825 - 2017/11/16(Thu) 15:12:47
☆ Re: 中3 / ヨッシー
多分方程式の単元でしょうね。

宿泊費を１人ｘ円、片道通常運賃を１人ｙ円 とします。
以下、円は省略。

行きの１０人の運賃は　１０ｙ×０．７＝７ｙ
泊まらなかった３人の帰りの運賃は　３ｙ
７人の帰りの運賃は　７ｙ×０．８＝５．６ｙ
宿泊費は７人で　７ｘ
合計して　７ｘ＋15.6ｙ＝114900　・・・(i)

Ａさんの旅行代金は
　0.7ｙ＋ｘ＋0.8ｙ＝ｘ＋1.5ｙ＝13500　・・・(ii)

(i)(ii) を解いて
　ｘ＝7500, ｙ＝4000

(1) 宿泊費は７５００円
(2) 行きの運賃は　4000×0.7＝2800（円）
No.46826 - 2017/11/16(Thu) 15:38:00
☆ Re: 中3 / あき
ヨッシー様♪
方程式がとても苦手な私ですが、とてもよく理解できて 感動して涙です。
このように考えて式をたてるのか！ と、本当に勉強になりました。
教えて下さりありがとうございました♪
No.46827 - 2017/11/16(Thu) 16:22:20
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