曲線 x^2+y^2=K が 直線 6*x+9*y=54 接するよう Kを定めよ;
そのときの 接点をも求めよ;
曲線 4*(Log[2, x])^3 + (Log[2, y] - 1)^3 = k が 双曲線 x*y=8 に接するよう kを定めよ;
そのときの 接点をも求めよ;
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No.47014 - 2017/11/27(Mon) 22:40:12
| ☆ Re: 接するよう / 関数電卓 | | | (後半)
4*(log[2,x])^3＋(log[2,y]−1)^3＝k …(1)
xy＝8 …(2)
log[2,x]＝X, log[2,y]＝Y と置くと
(1)は、4X^3＋(Y−1)^3＝k …(3)
(2)は、X＋Y＝3 …(4)
問題は、(3)が(4)に接するときの k を求めること。
(3)を X で微分すると、12X^2＋3(Y−1)^2(dY/dX)＝0 より dY/dX＝4X^2/(1−Y) …(5)
(4)を X で微分すると、dY/dX＝−1 …(6)
(3)と(4)が接するとき、接点で (5)＝(6) が成り立つから 4X^2/(1−Y)＝−1
(4)とともに整理して 4X^2＋X−2＝0 …(7)
(7)の解の内 X＞0 のもの X＝(√33−1)/8≒0.59 …(8) が接点の X 座標。
(8)を(3)に戻せば k＝(1549−189√33)/128≒3.619… を得る。
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No.47017 - 2017/11/28(Tue) 00:19:30 |
| ☆ Re: 接するよう / 関数電卓 | | | 図です。
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No.47024 - 2017/11/28(Tue) 21:16:52 |
| ☆ Re: 接するよう / エンヴィー | | | 全然自信ないですが、後半の問題は、k=32/9, 32 と出ました。自信はないです。
自分がやったやり方です(おおまか)↓
接点を(a, b)とすると、2曲線はともに(a, b)を通ります。(a, b)における接線も一致します。2曲線の方程式の両辺をxで微分して整理すると、それぞれ
y'=-4(y/x)(log[2, x]/(log[2, y]-1))^2
y'=-8/x^2
となります。
よって、次の?@, ?A, ?Bからa, b, kが求まります。
4(log[2, a])^3+(log[2, b]-1)^3=k・・・?@
ab=8・・・?A
-4(b/a)(log[2, a]/(log[2, b]-1))^2=-8/a^2・・・?B
(a, b, k)=(2^(2/3), 2^(7/3), 32/9), (2^(-2), 2^5, 32)
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No.47025 - 2017/11/28(Tue) 21:38:31 |
| ☆ Re: 接するよう / 関数電卓 | | | 上の 47017 は間違っていました。(5)が dY/dX＝−4X^2/(Y−1)^2
また、47024 のグラフも、X≧0、Y≧0 だけ切り取ったのは、全く勘違いでした。
エンヴィー さんの k＝32/9, 32 が正しい解ですね。
上を直さずに、改めて書き込みます。
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No.47027 - 2017/11/28(Tue) 22:41:07 |
| ☆ Re: 接するよう / 関数電卓 | | | (後半) 改めて
4*(log[2,x])^3＋(log[2,y]−1)^3＝k …(1)
xy＝8 …(2)
log[2,x]＝X, log[2,y]＝Y と置くと
(1)は、4X^3＋(Y−1)^3＝k …(3)
(2)は、X＋Y＝3 …(4)
問題は、(3)が(4)に接するときの k を求めること。
(3)を X で微分すると、12X^2＋3(Y−1)^2(dY/dX)＝0 より dY/dX＝−4X^2/(Y−1)^2 …(5)
(4)を X で微分すると、dY/dX＝−1 …(6)
(3)と(4)が接するとき、接点で (5)＝(6) が成り立つから 4X^2/(Y−1)^2＝1 ∴ 2X＝±(Y−1) …(7)
(4)(7)を解いて， X＝2/3, 2
X＝2/3 のとき Y＝7/3、(3)に代入し k＝32/9
X＝2 のとき Y＝1、(3)に代入し，k＝32
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No.47029 - 2017/11/28(Tue) 23:32:34 |
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