こんにちは。Ruhrungと申します。宜しくお願い致します。
＜問題＞
2次不等式x^2-3x<0 …(1)と、2次関数f(x)=x^2-2ax-a^2+9a-9がある。ただし、aは正の定数とする。
(1) 2次不等式(1)を解け。
(2) 2次関数f(x)の最小値が負となるようなaの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、放物線y=f(x)が不等式(1)を満たすxの値の範囲ではx軸と共有点を持たないようなaの値の範囲を求めよ。
(2)までは問題ないのですが、(3)が何度やっても上手くいかず、解なしになってしまいます。
恐れ入りますが、解説いただけないでしょうか。
どうぞよろしくお願いいたします。
|
No.46030 - 2017/09/25(Mon) 14:50:19
| ☆ Re: 2次関数の最大・最小問題 / 名無し | | | f(x)=0としたときの解は、
x = a - √(2 a^2 - 9 a + 9),
a + √(2 a^2 - 9 a + 9)
になるので、
a - √(2 a^2 - 9 a + 9)＜０
a ＋ √(2 a^2 - 9 a + 9)＞３
-2a^2+9a-9<0
の３つを満たすものを考えれば、
a<0, 3/2 (3 + √(5))＜a になると思います。
|
No.46033 - 2017/09/25(Mon) 15:19:22 |
| ☆ Re: 2次関数の最大・最小問題 / Ruhrung | | | 名無しさん、御回答ありがとうございます。
私は以下のように考えました。
(2)の答えは0<a<3/2または3<a（問題文よりaは正の定数）であり、y=f(x)のグラフの0<a≦3の最小値は-2a^2+9a-9であるが、(2)の条件では最小値が負となるから、この範囲では必ず0<x<3でx軸と共有点を持ってしまう。したがって、3<aで考える。すると、0<x<3でx軸と共有点を持たないようにするにはf(3)>0になればよいが、f(3)=-a^2+3a>0を解くと0<a<3となってしまい、3<aを満たさない。
どこが誤っているのでしょうか。
|
No.46037 - 2017/09/25(Mon) 16:45:32 |
| ☆ Re: 2次関数の最大・最小問題 / angel | | | (2)は一旦忘れて、(1)からくる 0＜x＜3 と (3)の「x軸と共有点を持たない」だけでまず条件を整理した方がよいと思います。
ここで注意が必要なのは「x軸と共有点を持たない」としか言っていないので、放物線と x軸の位置関係、どちらが上かが決まっていないことです。
とりあえず、放物線の軸の x座標 a が正であるところから、
?@ 0＜a＜3 かつ f(a)＞0 ( 自動的に f(0),f(3)＞0 ) で、0＜x＜3 において f(x)＞0
?A a≧3 かつ f(3)≧0 ( 自動的に軸から遠い f(0)＞0 ) で、0＜x＜3 において f(x)＞0
?B 0＜a＜3 かつ f(0)≦0 かつ f(3)≦0 で、0＜x＜3 において f(x)＜0
?C a≧3 かつ f(0)≦0 ( 自動的に軸に近い f(3)＜0 ) で、0＜x＜3 において f(x)＜0
軸が (0,3) の区間に入るか入らないか、放物線が上に来るか下に来るか、(2) を無視すれば4通りの場合があります。
で、ここから(2)の条件を付け加えていきます。
?@は明らかに(2)に反するので除外、f(3)に着目すると?A,?Bとも無理、ということで?Cが唯一ありうる状況となります。
|
No.46047 - 2017/09/25(Mon) 23:50:17 |
| ☆ Re: 2次関数の最大・最小問題 / Ruhrung | | | angelさん、丁寧な回答をどうもありがとうございました。
おかげさまで理解することができました。
またよろしくお願い致します。
|
No.46051 - 2017/09/26(Tue) 17:57:23 |
|
