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★ 高1数I / こーすけ

高1です
△ABCにおいて、a=√7 b=2 c=3とし、線分BCの中点をMとするとき、AMの長さを求めよ。
解き方の流れを教えて下さい
No.46881 - 2017/11/19(Sun) 22:14:45
☆ Re: 高1数I / らすかる
もし中線定理を習っていれば
AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) から
9+4=2{AM^2+(√7/2)^2}
これを解いて AM=√19/2
No.46882 - 2017/11/19(Sun) 23:01:36
★ 高校1年 数A / w'w
1点Qにおいて交わる2直線がある。いま、その1直線上に3点A,B,CをとってQA=AB=BCとし、他の直線上に3点L,M,NをとってLQ=QM=MNとすれば、3直線AL,BN,CMは1点Pで交わることを証明せよ。

こちらの方もお願いします。
No.46873 - 2017/11/19(Sun) 16:57:10
☆ Re: 高校1年 数A / 鶏
Q、A、B、C及びL、Q、M、Nの順でそれぞれ並んでいるものとして解答しますね。

まずはALをいったん無視して、BNとCMのみを結んだ図を考えます。するとBNとCMが一点で交わるので、この点をPとします。
これを△QCMに直線BNが突き刺さっていると見ればメネラウスの定理が使えますね。
つまり(CP/PM)*(MN/NQ)*(QB/BC)=1です。
MN/NQ=1/2、QB/BC=2を代入すると
CP/PM=1です。すなわちPは線分CMの中点です。

次にBNを無視して、ALとCMのみを結んだ図を考えます。するとALとCMが一点で交わるので、この点をP’とします。
これを△QCMに直線ALが突き刺さっていると見てメネラウスの定理を使います。
つまり(CP’/P’M)*(ML/LQ)*(QA/AC)=1です。
ML/LQ=2、QA/AC=1/2を代入すると
CP’/P’M=1です。すなわちP’は線分CMの中点です。

さて、BNとCMは一点で交わり、その点（P）は線分CMの中点でした。
また、ALとCMも一点で交わり、その点（P’）も線分CMの中点です。
すなわち、BNとCMが交わる場所とALとCMが交わる場所は一致する（P=P’）わけです。
よってALとBNとCMは一点Pで交わります。
No.46877 - 2017/11/19(Sun) 18:45:23
★ 高校1年 数A / udólce
1点Qにおいて交わる2直線がある。いま、その1直線上に3点A,B,CをとってQA=AB=BCとし、他の直線上に3点L,M,NをとってLQ=QM=MNとすれば、3直線AL,BN,CMは1点Pで交わることを証明せよ。

こちらの方もお願いします。
No.46872 - 2017/11/19(Sun) 16:53:22
☆ Re: 高校1年 数A / ヨッシー

ＬＡとＣＭの交点をＳとすると、メネラウスの定理より
　(CA/AQ)(QL/LM)(MS/SC)＝１
　(2/1)(1/2)(MS/SC)＝１
よって、
　ＭＳ：ＳＣ＝１：１
となり、ＳはＭＣの中点。
ＢＮとＣＭの交点をＴとすると、メネラウスの定理より
　(CT/TM)(MN/NQ)(QB/BC)＝１
　(CT/TM)(1/2)(2/1)＝１
よって、
　ＣＴ：ＴＭ＝１：１
となり、ＴはＭＣの中点。
以上より、ＳとＴは同一点となり、
ＡＬ，ＢＮ，ＣＭは１点で交わる。
No.46904 - 2017/11/21(Tue) 12:33:15
★ 高校1年 数A / udólce
AB,CDは１つの円の平行弦で、点Bにおける接線とCDの延長との交点をGとする。いま、弧CD 上に1点Pをとり、直線PA,PB,と弦CDとの交点をそれぞれE,F,とすれば,FE×FG=FD×FCであることを示せ。

どう証明すればいいでしょうか？
No.46871 - 2017/11/19(Sun) 16:38:53
★ (No Subject) / あいりん
丸をつけてるところはなぜ、符号が変わるのですか？ 誰か教えてください、お願いしますm(*_ _)m
No.46867 - 2017/11/19(Sun) 15:00:22
☆ Re: / IT
左右を入れ替えたためです。
不等号の向きはそのままにして、両辺からｘを引いても同じことです。
No.46869 - 2017/11/19(Sun) 15:52:33
★ (No Subject) / Z
すいません、図を添付しわすれていました
No.46866 - 2017/11/19(Sun) 14:54:31
★ 角xの大きさが45度であることを説明してください / Z
はじめまして
小学5年の中学受験算数の質問です

図の面積を求めよ、という問題なのですが、角xの大きさが45度であるのは円周角の定理から分かるのですが、円周角を使わずして求めることは可能でしょうか？（小5なので使えない…）
もしくは、全く別の方法で求積するのでしょうか？

皆様、お知恵をお貸しください。
No.46865 - 2017/11/19(Sun) 14:53:02
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / angel
うーん…。
私の昔の記憶だと、小学校時代に円周角は習わなかったので、45°という角度を導くのは厳しい気がします。

ただ、3×3÷2 という計算式はすぐ分かるので、角度はともかくそれで答えを出してしまう、になりそうな気がします。
数学的にはどうかと思うのですが…。
No.46870 - 2017/11/19(Sun) 16:38:49
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / Z
お返事ありがとうございます！
よろしければ、その3×3÷2になる理由を教えてもらえないでしょうか？
これがどーしても分からなくて…
No.46874 - 2017/11/19(Sun) 17:05:38
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / angel
ええと。
問題の条件として提示されているのは、

・直角二等辺三角形と直角三角形をつなげた形であること
・直角同士を結ぶ対角線が 3cm であること

ですよね。それ以外の条件は出ていません。
これを「提示されていない条件は自分の好きに決めていい」と見做すのですよ。
そうすると、例えば対角線が3cmの正方形 ( 直角二等辺三角形×2 ) であっても良いはずです。なので、ひし形の面積として 3×3÷2 と。

本来であれば「提示されていない条件を自分の好きに決めても同じ答えになる」かどうかも、中学高校なら自分で考えるところなんですが、その責任は、まあ、出題者側にある、と。
No.46875 - 2017/11/19(Sun) 17:30:48
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / angel
「提示されていない条件は自分の好きに決めていい」という意味では、添付の問題もそうですね。
中学受験で出るか? は分かりませんが。

同じように考えれば、円柱に貫かれた球なんていうややこしい形じゃなくて、単に「直径6cmの球の体積」として計算できるわけです。
No.46876 - 2017/11/19(Sun) 17:49:56
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / らすかる
ウエの垂直二等分線とイエの交点をオとすると
オイ＝オウ＝オエ＝オアですから
△オアイ、△オイウ、△オウアは二等辺三角形になります。
そのうち△オアイは直角二等辺三角形です。
すると
∠オアイ＋∠オイア＋∠オイウ＋∠オウイ＋∠オウア＋∠オアウ＝180°
∠オアイ＝∠オイア＝45°、∠オイウ＝∠オウイ、∠オウア＝∠オアウなので
45°＋∠オウイ＋∠オウア＝90°
∠オウイ＋∠オウア＝45°
よって∠イウア＝45°とわかります。

しかし45°を出さなくても、
アからイウに垂線アオを引いて
出来た直角三角形アイオを
アを中心に90°左回転させて
アエ側にくっつければ
対角線が3cmの正方形になりますので
すぐに求まりますね。
No.46878 - 2017/11/19(Sun) 18:57:54
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / IT
らすかるさんの解答で気づきましたが
アを中心に90度ずつ回転して４つ合わせると対角線が６ｃｍの正方形になりますね。
（図）
No.46879 - 2017/11/19(Sun) 19:50:07
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / IT
△アエウをアを中心に右に90度回転して、アエをアイに重ねると、
２辺が３ｃｍの直角二等辺三角形に出来ますね。
（図）
No.46880 - 2017/11/19(Sun) 21:20:23
☆ Re: 角xの大きさが45度であることを説明してください / Z
ありがとうございます！
めちゃくちゃ納得できました！
今更のレスで申し訳ありませんが、本当に助かりました
No.46988 - 2017/11/26(Sun) 17:47:37
★ (No Subject) / みっつ
カッコ2のエが分かりません。
答えは8です
No.46861 - 2017/11/19(Sun) 11:01:39
☆ Re: / IT
公比ｒはどうなりましたか？

等比級数の和の公式で求める方法もありますし、
穴埋め対応として答えだけ求めるなら
７＜４+２+１+(1/2)+・・・＜８　と考える方法もあります。
No.46862 - 2017/11/19(Sun) 12:14:29
☆ Re: / みっつ
こうひは1/2になりました。
No.46863 - 2017/11/19(Sun) 13:32:25
☆ Re: / IT
初項４、公比１／２の等比数列の和の公式から
?煤E・の値を求めるのが、オーソドックスな解法だと思います。
No.46868 - 2017/11/19(Sun) 15:48:52
☆ Re: / みっつ
わかりました。
No.46896 - 2017/11/21(Tue) 09:30:06
★ 大学数学 / ζ
可換環論と関数解析って、どっちが難しいのでしょうか？
No.46859 - 2017/11/19(Sun) 06:50:11
★ (No Subject) / kennji
すいません。もう１問ありますのでよろしくお願いします。
No.46856 - 2017/11/19(Sun) 02:00:47
☆ Re: / らすかる
PQの中点をOとするとOはACの中点でもあり、
A,B,C,P,Qは同一円周上にあります。
条件から、円Oのうち△ABCが通過するのは
回転前の弧APCQ側の扇形AQO全体であり、
回転前の∠AOQは60°で通過しない部分は
円の面積の1/6ですから、通過する部分の面積は
(5/6)(円の面積)=(5/6)πとなります。
No.46858 - 2017/11/19(Sun) 02:43:33
★ 教えてください / kennji
高校入試問題ですが、全くわかりません。月曜までの宿題ですが、解答がないので、解答解説をよろしくお願いします。
No.46855 - 2017/11/19(Sun) 01:59:10
☆ Re: 教えてください / らすかる
BDの中点をPとすると、BP=√2,BE=2√5なので
三平方の定理からPE=3√2です。
EGの中点をQとしてA,C,E,Gを通る平面で切った断面で考えると、
PE=PG=3√2,EG=2√2である二等辺三角形PEGがあって
PQの中点Oを中心とする円がPE,PGに接しています。
三平方の定理からPQ=4なのでPO=2であり、OからPEに垂線ORを下ろすと
△PRO∽△PQEから(球の半径)=(円の半径)=OR=2/3とわかります。
No.46857 - 2017/11/19(Sun) 02:34:37
★ 確率 / 微積マン壱号
この問題の答えは2/49で合っていますか？
No.46851 - 2017/11/18(Sat) 20:44:30
☆ Re: 確率 / らすかる
合ってます。
No.46852 - 2017/11/18(Sat) 23:51:42
☆ Re: 確率 / 微積マン壱号
ありがとうございます。
No.46854 - 2017/11/19(Sun) 00:16:54
★ (No Subject) / JJMO
自然数の二乗で表される数を平方数、三乗で表される数を立方数と呼びますよね。では自然数のk乗で表される数(k=4,5,…)は何と呼ぶのでしょうか？
No.46849 - 2017/11/18(Sat) 12:21:43
☆ Re: / らすかる
k=4ならば4乗数
k=5ならば5乗数
一般的にはk乗数
だと思います。
No.46853 - 2017/11/18(Sat) 23:54:56
★ (No Subject) / サトル
この問題の解き方教えてもらえますか。
No.46846 - 2017/11/18(Sat) 00:05:43
☆ Re: / ヨッシー
ＡＧ：ＧＤ は常に一定の比となります。
教科書を確認してください。
No.46847 - 2017/11/18(Sat) 00:42:54
★ 本を読んでいてわからなかったところ / Gh
自然数について、x=u'(x'でxの後継者を表す)となるuがx=1の場合を除き存在することを証明していて、
集合mを、1と上の条件を満たすようなxの作る集合とする。
i)1は集合mに属す。
ii)xが集合mに属すならば、xをuとかくこととするとx'=u'となり、x'も集合mに属する
よってxが1を除く全ての自然数である場合についてなりたつ。
とあったのですが、iiのあたりが良くわかりません。解説していただけないでしょうか。
No.46841 - 2017/11/17(Fri) 22:05:07
☆ Re: 本を読んでいてわからなかったところ / angel
「xをuとかくこととすると」が、まあ、あんまり良い日本語とは言えない気がするので、何を考える場面か、直接調べた方が良いと思います。

ここで出てくる M の要素とは、1 か、もしくは「先駆者が存在する※」自然数です。
※後継者の逆と思ってください。正確には、「u'=xなるuが存在する」ですが。

では今、x'が、

　x'=1である
　x'の先駆者が存在する

どちらかを満たしているでしょうか? という話。
で、話の流れ的に後者を満たしているわけですが。なぜかというと、x'がxの後継者である以上、xはx'の先駆者ですね。ほら、先駆者がいますねと、そういう話です。
No.46844 - 2017/11/17(Fri) 23:03:40
☆ Re: 本を読んでいてわからなかったところ / 黄桃
内容自体は angel さんのおっしゃってることと同じですが、「ペアノの公理」による証明にも見えます。

そうだとすれば、全体の流れは次の通りでしょうか。
S={x|x=u'(x'でxの後継者を表す)となるuが存在する}, m=S∪{1}　とする。
ペアノの公理のうち「数学的帰納法の原理」を用いると、i),ii) により、mは自然数全体の集合Nと一致する。
ペアノの公理から「1はSの元ではない」ので、結局　S=N-{1}　となり、これが示すべき命題。

質問のii)の部分は、「x∈m ⇒ x’∈m 」を示すのですが、xがmに属していようがいまいが（自然数なら)、
x’∈m は真（x’はxの後継者なのでSの元。よってmの元でもある）なので「x∈m ⇒ x’∈m 」も真です。
No.46848 - 2017/11/18(Sat) 09:22:53
☆ 有難うございました / Gh
angelさん,黄桃さん(順不同)有難うございました。
おかげで理解できました。
No.46850 - 2017/11/18(Sat) 16:23:42
★ 中3 相似 / Sさん
7の(3)の解説、解答を教えていただきたいです。
No.46840 - 2017/11/17(Fri) 20:41:07
☆ Re: 中3 相似 / らすかる
平行四辺形の面積をSとすると
△ACD=(1/2)S
△ECD=(2/3)△ACD=(2/3)(1/2)S=(1/3)S
EG：GC=2：3から△CDG=(3/5)△ECD=(3/5)(1/3)S=(1/5)S
(四角形ABCE)=(平行四辺形ABCD)-△ECD=S-(1/3)S=(2/3)S
BC：AE=3：1から△BCF：△AEF=9：1
よって(四角形ABCE)：△AEF=8：1なので
△AEF=(1/8)(四角形ABCE)=(1/8)(2/3)S=(1/12)S
従って△AEF：△CDG=(1/12)S：(1/5)S=5：12
No.46842 - 2017/11/17(Fri) 22:25:03
★ 確率 / お鍋
再びすみません
こちらの問題の解き方、解答を教えて頂けませんでしょうか。
No.46839 - 2017/11/17(Fri) 19:35:05
☆ Re: 確率 / らすかる
(1)
n回目で終わるとは
n-1回のうちで当たりくじをちょうど2回引き、
n回目に当たりくじを引くことなので
P[n]=(n-1)C2・(1/5)^2・(4/5)^(n-3)・(1/5)
=(n-1)(n-2)・2^(2n-7)/5^n

(2)
P[n+1]/P[n]={n(n-1)・2^(2n-5)/5^(n+1)}/{(n-1)(n-2)・2^(2n-7)/5^n}
=4n/{5(n-2)}
4n/{5(n-2)}＞1を解くとn＜10
4n/{5(n-2)}＝1を解くとn＝10
4n/{5(n-2)}＜1を解くとn＞10
よって
n＜10のときP[n+1]/P[n]＞1すなわちP[n+1]＞P[n]
n＝10のときP[n+1]/P[n]＝1すなわちP[n+1]＝P[n]（P[11]=P[10]）
n＞10のときP[n+1]/P[n]＜1すなわちP[n+1]＜P[n]
つまり
P[1]＜P[2]＜P[3]＜…＜P[9]＜P[10]＝P[11]＞P[12]＞P[13]＞…
となるので
P[n]が最大となるnはn=10,11
No.46843 - 2017/11/17(Fri) 22:37:09
☆ Re: 確率 / お鍋
ありがとうございます！
No.46845 - 2017/11/17(Fri) 23:19:38
★ 中２　証明 / りゅう
連続で申し訳ございません。
こちらの問題も解説をお願い致します。
No.46835 - 2017/11/17(Fri) 13:30:01
☆ Re: 中２　証明 / ヨッシー
ＡＢ＝ＢＣのとき、ＢＤはＡＣの垂直二等分線になり、
　ＡＥ＝ＣＥ、ＡＥ//ＣＦ
これより
　△ＡＥＤ≡ＣＦＤ
よって、四角形ＡＥＣＦはひし形。
No.46836 - 2017/11/17(Fri) 15:25:08
☆ Re: 中２　証明 / りゅう
お礼が遅くなって申し訳ございません。
いつも分かりやすく教えていただいてありがとうございます。
↓の問題も良く分かりました。
どうもありがとうございました。
No.46860 - 2017/11/19(Sun) 10:12:33
★ 中２　証明 / りゅう
いつもありがとうございます。
（３）の問題を教えていただけますでしょうか？
どうぞよろしくお願い致します。
No.46834 - 2017/11/17(Fri) 13:24:38
☆ Re: 中２　証明 / ヨッシー
四角形ＡＤＦＣにおいて
　∠Ｄ＝∠Ｃ＝90°
より
　∠Ａ＋∠Ｆ＝180°
よって、
　∠ＤＦＢ＝∠ＤＡＣ＝45°
∠ＤＢＦ＝45°より
△ＤＢＦは直角二等辺三角形。
No.46837 - 2017/11/17(Fri) 15:29:28
★ (No Subject) / るー
数列です！⑶あたりから難しくて解けないので教えてください、！
高2のちょっと難しいかなーくらいのレベルです！
No.46832 - 2017/11/16(Thu) 20:54:19
☆ Re: / ヨッシー
(1) a[n]＝(-3)^(n-1)
(2) b[n]＝2n＋1
であるとして、
{a[n]}＝{1, -3, 9, -27, 81,・・・}
{b[n]}＝{3, 5, 7, 9, 11, ・・・}

(3)
(i)
N=3 のとき b{N}＝7
(*) を満たすa[n] の項は
　3^0, 3^2, 3^4, 3^6
であり、和は
　1＋9＋81＋729＝820
(ii)
N=1 のとき 1, 9
N=2 のとき 1, 9, 81
N=3 のとき 1, 9, 81, 729
のように、数列 9^(n-1) を初項からN+1後まで足したものが、求める和であるので、
　Ｓ＝1+9+・・・+9^N＝(9^(N+1)−1)/8
No.46838 - 2017/11/17(Fri) 17:12:14
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