高校数学の問題なのですが、別解があるか知りたいです。
x,yがx≧0,y≧0,x^3+y^3=1を満たしながら変わるとき、x+yがとりうる値の範囲を求めよ
という問題なのですが解答ではx+y=kとおき、x^3+y^3=0に代入してxが0≦x≦1で実数解をもつ条件で解いていたのですが、自分は、s=x+y,t=xyとおき解きました。
解答は1≦x+y≦4^(1/3)なのですが、自分の解答は0≦x+y≦4^(1/3)となり少し異なるものになりました。もし自分のやり方で解けるなら、解法が知りたいです。
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No.46469 - 2017/10/23(Mon) 15:46:13
| ☆ Re: 方程式の解の条件 / X | | | s=x+y
t=xy
と置いて
x^3+y^3=1
をs,tで表すと
s^3-3st=1
∴t=(1/3)(s^2-1/s) (A)
一方、x≧0,y≧0により
s≧0 (B)
t≧0 (C)
更にx,yはuの二次方程式
u^2-su+t=0 (D)
の解となりますので(D)の
解の判別式をDとすると
D=s^2-4t≧0
∴t≦(1/4)s^2 (E)
よって(A)(B)(C)(D)(E)より
求めるsの値の範囲は
連立不等式
(1/3)(s^2-1/s)≧0 (C)'
(1/3)(s^2-1/s)≦(1/4)s^2 (E)'
及び(B)の解となります。
(C)'よりs＜0,1≦s
(E)'より0＜s≦4^(1/3)
よって求めるsの値の範囲は
1≦s≦4^(1/3)
となります。
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No.46475 - 2017/10/23(Mon) 16:55:08 |
| ☆ Re: 方程式の解の条件 / ねいまーる | | | 丁寧な解説ありがとうございます。
疑問点は解消されたのですが、(C)'の解でs<0、(E)'の解で0<sが出てくるのはなぜですか？初歩的な質問かもしれませんができれば解答お願いします。
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No.46479 - 2017/10/23(Mon) 20:54:25 |
| ☆ Re: 方程式の解の条件 / X | | | (C)'において両辺にs^2をかけることにより
(1/3)s(s^3-1)≧0かつs≠0
これより
(1/3)s(s-1)(s^2+s+1)≧0かつs≠0
s(s-1){(s+1/2)^2+3/4}≧0かつs≠0
s(s-1)≧0かつs≠0
∴s＜0,1≦s
(E)'の場合も同じように両辺にs^2をかけてみましょう。
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No.46483 - 2017/10/23(Mon) 21:33:55 |
| ☆ Re: 方程式の解の条件 / ねいまーる | | | 理解できました！自分は(B)を前提に両辺にsを掛けていたので解法が少し違ったみたいです。
丁寧なお答えありがとうございました。
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No.46489 - 2017/10/23(Mon) 22:09:23 |
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