nを3以上の自然数とする。
正の実数a(1),a(2),・・・,a(n),b（1）,b（2）,・・・,b（n）が、
a(1)+a(2)+・・・+a(n)=1
b(1)^2+b（2）^2+・・・+b(n)^2=1
をみたすとき、不等式
a(1)(b(1)+a
(2))+a(2)(b(2)+a(3))+・・・+a(n)(b(n)+a(1))＜1
が成り立つことを証明せよ。
解答：
2-2｛a(1)(b(1)+a(2))+a(2)(b(2)+a(3))+・・・+a(n)(b(n)+a(1))｝>0 ☆じる
を示せばよい。
2=(Σ［a(i),｛i,1,n｝］)^2+Σ［b(i)^2,｛i,1,n｝］に着目すると、
☆の左辺=Σ［（a(i)- b(i)）^2,｛i,1,n｝］+2Σ［a(j)a(k),｛j＜k｝］-2｛a(1)a(2)+・・・+ a(n)a(1)｝
ここでなぜ2Σ［a(j)a(k),｛j＜k｝］が出てくるのか分かりません。
詳しい解説をお願い致します。
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No.46654 - 2017/11/04(Sat) 09:54:39
| ☆ Re: 不等式 / IT | | | ☆の左辺
2 - 2{a(1)(b(1)+a(2))+a(2)(b(2)+a(3))+・・・+a(n)(b(n)+a(1))｝
＝2 -2{a(1)b(1)+a(2)b(2)+...+a(n)b(n)} -2{a(1)a(2)+・・・+ a(n)a(1)｝…(1)
2={a(1)+a(2)+...+a(n)}^2 + b(1)^2+b(2)^2+...+b(n)^2
＃ここで一つ目の式を展開すると、+2Σ［a(j)a(k),｛j＜k｝］が出てきます。
={a(1)^2+a(2)^2+...+a(n)^2} + 2Σ［a(j)a(k),｛j＜k｝］+ {b(1)^2+b(2)^2+...+b(n)^2}
={a(1)^2+a(2)^2+...+a(n)^2} + {b(1)^2+b(2)^2+...+b(n)^2}+ 2Σ［a(j)a(k),｛j＜k｝］…(2)
(1)に(2）を代入して順番を変えると
☆の左辺＝ {a(1)^2+a(2)^2+...+a(n)^2} + {b(1)^2+b(2)^2+...+b(n)^2}-2{a(1)b(1)+a(2)b(2)+...+a(n)b(n)}
+ 2Σ［a(j)a(k),｛j＜k｝］-2{a(1)a(2)+・・・+ a(n)a(1)｝
ここから先は良いでしょうか？
(注）なお、?狽?使わず、書き下した方がわかりやすい場合もありますのでうまく使い分けられるといいと思います。
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No.46655 - 2017/11/04(Sat) 11:23:29 |
| ☆ Re: 不等式 / ζ | | | 大変よく分かりました。
ご回答どうもありがとうございました。
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No.46657 - 2017/11/04(Sat) 13:29:21 |
| ☆ Re: 不等式 / ζ | | | それと、
n≧4のとき、
左辺>Σ［(a(i)-b(i))^2,｛i,1,n｝］+2a（1）a(3)>0
になるのは、どうしてなのでしょうか？
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No.46658 - 2017/11/04(Sat) 14:25:40 |
| ☆ Re: 不等式 / IT | | | 左辺=Σ［（a(i)- b(i)）^2,｛i,1,n｝］+2Σ［a(j)a(k),｛j＜k｝］-2｛a(1)a(2)+・・・+ a(n)a(1)｝
でn=4 のとき どうなるか やってみてください。
＃自分の手と頭を使わないと ほんとの理解は出来ないと思います.
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No.46659 - 2017/11/04(Sat) 15:13:02 |
| ☆ Re: 不等式 / ζ | | | No.46660 - 2017/11/04(Sat) 16:22:47 |
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