座標平面上に
円K:x^2+y^2=1
点 (0 a) を通る異なる２直線 L1,L2 がある。(-1<a<1)
L1とKの交点をP,R、L2とKの交点をQ,Sとする。
円K上の点Pにおける接線と点Qにおける接線の交点をA,
点Qにおける接線と点Rにおける接線の交点をB,
点Rにおける接線と点Sにおける接線の交点をC,
点Sにおける接線と点Pにおける接線の交点をD とする。
直線AC,BDの交点は (0 a) であることを示せ。
外接四角形の性質として知られているものですが、これを座標幾何で証明しようという趣旨です。
ご協力お願いします。
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No.46933 - 2017/11/22(Wed) 07:43:54
| ☆ Re: / らすかる | | | L1もL2もy軸に一致しない場合、
L1をy=px+a, L2をy=qx+aとすると
L1と円Kとの交点は
((-ap±√(1-a^2+p^2))/(p^2+1),(a±p√(1-a^2+p^2))/(p^2+1))
L2と円Kとの交点は
((-aq±√(1-a^2+q^2))/(q^2+1),(a±q√(1-a^2+q^2))/(q^2+1))
（いずれも複号同順）
簡単のため
√(1-a^2+p^2)=u
√(1-a^2+q^2)=v
とおくことにすると
L1と円Kとの交点は
((-ap±u)/(p^2+1),(a±pu)/(p^2+1))
L2と円Kとの交点は
((-aq±v)/(q^2+1),(a±qv)/(q^2+1))
（いずれも複号同順）
となるので
P((-ap+u)/(p^2+1),(a+pu)/(p^2+1))
Q((-aq+v)/(q^2+1),(a+qv)/(q^2+1))
R((-ap-u)/(p^2+1),(a-pu)/(p^2+1))
S((-aq-v)/(q^2+1),(a-qv)/(q^2+1))
とする。
P,Q,R,Sにおける円Kの接線は、順に
x(-ap+u)+y(a+pu)=p^2+1
x(-aq+v)+y(a+qv)=q^2+1
x(-ap-u)+y(a-pu)=p^2+1
x(-aq-v)+y(a-qv)=q^2+1
となるから
A({(p^2+1)(a+qv)-(q^2+1)(a+pu)}/{(-ap+u)(a+qv)-(a+pu)(-aq+v)},
{(p^2+1)(-aq+v)-(q^2+1)(-ap+u)}/{(a+pu)(-aq+v)-(-ap+u)(a+qv)})
B({(p^2+1)(a+qv)-(q^2+1)(a-pu)}/{(-ap-u)(a+qv)-(a-pu)(-aq+v)},
{(p^2+1)(-aq+v)-(q^2+1)(-ap-u)}/{(a-pu)(-aq+v)-(-ap-u)(a+qv)})
C({(p^2+1)(a-qv)-(q^2+1)(a-pu)}/{(-ap-u)(a-qv)-(a-pu)(-aq-v)},
{(p^2+1)(-aq-v)-(q^2+1)(-ap-u)}/{(a-pu)(-aq-v)-(-ap-u)(a-qv)})
D({(p^2+1)(a-qv)-(q^2+1)(a+pu)}/{(-ap+u)(a-qv)-(a+pu)(-aq-v)},
{(p^2+1)(-aq-v)-(q^2+1)(-ap+u)}/{(a+pu)(-aq-v)-(-ap+u)(a-qv)})
と求まる。
「(x1,y1)と(x2,y2)を通る直線が(0,a)を通る」
⇔「a(x2-x1)+x1y2-x2y1=0」
だからそれぞれ計算すれば確かめられる。
A(x1,y1),C(x2,y2)とすると
x1={(p^2+1)(a+qv)-(q^2+1)(a+pu)}/{(-ap+u)(a+qv)-(a+pu)(-aq+v)}
y1={(p^2+1)(-aq+v)-(q^2+1)(-ap+u)}/{(a+pu)(-aq+v)-(-ap+u)(a+qv)}
x2={(p^2+1)(a-qv)-(q^2+1)(a-pu)}/{(-ap-u)(a-qv)-(a-pu)(-aq-v)}
y2={(p^2+1)(-aq-v)-(q^2+1)(-ap-u)}/{(a-pu)(-aq-v)-(-ap-u)(a-qv)}
となり、これをa(x2-x1)+x1y2-x2y1
に代入すると0になる（途中計算は非常に長いので省略）ので、
直線ACは(0,a)を通る。
直線BDは対称性から同様に(0,a)を通る。
よって直線ACと直線BDの交点は(0,a)となる。
L1かL2のどちらかがy軸に一致する場合は省略。
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No.46935 - 2017/11/23(Thu) 09:11:29 |
| ☆ Re: / 名前 | | | とても大変な計算の中ご回答いただき、ありがとうございます。
こちらの問題は某模試で出題されたもので、原題ではL1がy軸のみだったのでこちらの回答で解決しました。
L1がy軸の場合、AD//BCによりAとCのx座標の比を考えることによりACのy切片求めるといった解法が可能でした。
当初はL1やL2を px+q(y-a)=0 とおいて考えようとしたのですが、あまりの煩雑さに頓挫してしまいました。
こちらの回答でもとてつもない計算量になったようですが、計算により結論まで到達できることが証明されました。
重ねて感謝いたします。
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No.46945 - 2017/11/23(Thu) 17:44:47 |
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