次の条件を満たす数列{a[n]}の一般項を求めよ。
(1)a[1]=3,a[n+1]=2a[n]-n^2+n
(2)a[1]=2,a[2]=1,a[n+2]=a[n+1]-2a[n]
よろしくお願いします。
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No.45863 - 2017/09/12(Tue) 01:20:09
| ☆ Re: 漸化式 / らすかる | | | (1)
a[n+1]=2a[n]-n^2+n から
a[n+1]-(n+1)^2-(n+1)-2=2(a[n]-n^2-n-2)
b[n]=a[n]-n^2-n-2 とおくと
b[n+1]=2b[n], b[1]=a[1]-1-1-2=-1 なので
b[n]=-2^(n-1)
∴a[n]=b[n]+n^2+n+2=-2^(n-1)+n^2+n+2
(2)
a[n+2]=a[n+1]-2a[n] から
a[n+2]+{(i√7-1)/2}a[n+1]={(i√7+1)/2}(a[n+1]+{(i√7-1)/2}a[n])
b[n]=a[n+1]+{(i√7-1)/2}a[n] とおくと
b[n+1]={(i√7+1)/2}b[n], b[1]=a[2]+{(i√7-1)/2}a[1]=i√7 なので
b[n]=(i√7){(i√7+1)/2}^(n-1) すなわち
a[n+1]+{(i√7-1)/2}a[n]=(i√7){(i√7+1)/2}^(n-1)
これより
a[n+1]=-{(i√7-1)/2}a[n]+(i√7){(i√7+1)/2}^(n-1)
変形して
a[n+1]-{(i√7+1)/2}^n=-{(i√7-1)/2}{a[n]-{(i√7+1)/2}^(n-1)}
c[n]=a[n]-{(i√7+1)/2}^(n-1) とおくと
c[n+1]=-{(i√7-1)/2}c[n], c[1]=a[1]-1=1 なので
c[n]={-{(i√7-1)/2}}^(n-1)
∴a[n]={(i√7+1)/2}^(n-1)+c[n]={(i√7+1)/2}^(n-1)+{-{(i√7-1)/2}}^(n-1)
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No.45864 - 2017/09/12(Tue) 02:08:02 |
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