私の解答は証明になってないということで0点でした。どこがまずいのか教えてください。
【問題】
空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。
【解答】
OA→=(1,0,0)、OB→=(a,b,c)、OC→=(d,e,f)、OD→=(g,h,i)とおきます。さらにOP→=sOA→、OQ→=tOB→、OR→=uOC→、OS→=vOD→となる実数s、t、u、vをとります。PQ→=RS→となるようなs、t、u、vが存在することを目標とします。
PQ→=(ta-s,tb,tc)、RS→=(vg-ud,vh-ue,vi-uf)で、PQ→=RS→と仮定して、
ta-s=vg-ud…(1)
tb=vh-ue…(2)
tc=vi-uf…(3)
(2)と(3)から、
(bi-ch)t=(fh-ei)u…(4)
(bf-ce)t=(fh-ei)v…(5)
fh-ei≠0のときは、(4)、(5)から、u=(bi-ch)t/(fh-ei)、v=(bf-ce)t/(fh-ei)でこれらを(1)に代入して、
s={a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)}t…(6)
(6)においてtに応じてsを選べば、(6)は成り立つので、このときs、t、u、vが存在することが示せました。
fh-ei=0のときは(4)、(5)より、t(bi-ch)=0、t(bf-ce)=0なのでt=0またはbi-ch=0かつbf-ceですが、いずれの場合もu、vは任意に選べるので、(1)を満たすよう、s、t、u、vを定められ、このときもs、t、u、vが存在することが示せました。
以上より、PQ→=RS→となる平面が必ず存在することが示せました。
上記のように解答したのですが、0点でした。どこがどうおかしいのでしょうか。よろしくお願いします。
|
No.46626 - 2017/11/02(Thu) 18:53:02
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / 黄桃 | | | 問題文に
>4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で
とあるので、
>PQ→=RS→となるようなs、t、u、vが存在すること
に加えて P,Q,R,S が同一平面上にあることが必要です。
一般に4点は同一平面上にはないので、追加条件が要ります。
この追加条件が全く考慮されていないので0点も仕方ないと思います。
|
No.46636 - 2017/11/03(Fri) 08:25:26 |
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / IT | | | 横から失礼します。 瑠梨さんの答案の論理は追えてないので全体として正しいか（十分か）は分かりませんが、
PQ→=RS→ ならば P,Q,R,S は、同一平面上にあるような気がしますがどうでしょうか？
|
No.46637 - 2017/11/03(Fri) 09:31:47 |
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / IT | | | 全体として「必要条件」としてs,t,u,v を求められることを示しておられるように読めます。
求めたs,t,u,vが「十分条件」を満たすことが読者（採点者）に分かりづらくなっていると思います。
fh-ei≠0のときは
求めたs,t,u,vが≠0であり(1),(2),(3) を満たすことを明確に示された方がいいと思います。
またtは0以外の任意の実数値を取っていいと思いますが、そのことが明記されてないので分かりにくくなっていると思います。
fh-ei=0のときは
t≠0を取り、その他を決めればいいですが、
「u、vは任意に選べるので、(1)を満たすよう、s、t、u、vを定められ」では、説明不足だと思います。
PQ→=RS→≠0→ ならば P,Q,R,S は、同一平面上の異なる４点でPQRSは平行四辺形である。ことも明記が要りますね
|
No.46640 - 2017/11/03(Fri) 12:46:14 |
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / 黄桃 | | | ITさんありがとうございます。たしかに平行な0ベクトルでない2つのベクトルは同一平面上に乗りますね。
この解では、OとP,Q,R,Sが異なることが証明できていない、と訂正します。
この解法では
「s,t,u,vに関する連立方程式(1),(2),(3)の解で、s,t,u,vいずれも0にならないものがあること」
ということをいわなければなりません（これと同値であることも説明があるべきです）。
したがって、(fh-ei≠0のとき)
>u=(bi-ch)t/(fh-ei)、v=(bf-ce)t/(fh-ei)
では各分子が、
>s={a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)}t
では{}内が0でないことも言う必要があります。
>fh-ei=0のときは(4)、(5)より、t(bi-ch)=0、t(bf-ce)=0なのでt=0またはbi-ch=0かつbf-ceですが、
これもt=0はありえないことをいわねばなりませんし、u,v もいずれも0でないものがとれることを言わねばなりません。
＃個人的にはこの方針では場合分けが複雑で茨の道だと思います。
＃0点にされたのも「方針がまずいのに気付くべき」という指導の意味があると思います。
|
No.46646 - 2017/11/03(Fri) 20:21:31 |
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / 瑠梨 | | | 御二方、御回答ありがとうございます。でもまだよくわかってません…
この問題の核心部分は、平行四辺形となるものが存在することを示せばよいのですから、平行四辺形となる場合が具体的に一つでも見つかればよいわけで、例えばfh-ei≠0の場合でしたら、u=(bi-ch)t/(fh-ei)、v=(bf-ce)t/(fh-ei)、s={a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)}tの3式を同時に満たすs、t、u、vは明らかに任意に取れるわけでして、s、t、u、vがいずれも0でないように定めることは十分できる気がします。例えば、t=1とすれば、s={a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)}、u=(bi-ch)/(fh-ei)、v=(bf-ce)/(fh-ei)が存在します。このようなs、t、u、vに対してPQ→=RS→は平行四辺形になると思いますが、これで存在することは示せたと思うのですがどうなんでしょうか。a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)、bi-ch、bf-ceが0でない場合を考えていることにすれば、これらが0でないことの説明は不要な気がします。
|
No.46648 - 2017/11/03(Fri) 21:21:41 |
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / IT | | | >この問題の核心部分は、平行四辺形となるものが存在することを示せばよいのですから、
>平行四辺形となる場合が具体的に一つでも見つかればよいわけで、
そのとおりです。
（ただしOB→=(a,b,c)、OC→=(d,e,f)、OD→=(g,h,i)は一定の条件は満たしますが勝手に都合よく決めてはいけません）
>例えばfh-ei≠0の場合でしたら、
>u=(bi-ch)t/(fh-ei)、v=(bf-ce)t/(fh-ei)、s={a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)}tの3式を同時に満たすs、t、u、vは明らかに任意に取れるわけでして、
>s、t、u、vがいずれも0でないように定めることは十分できる気がします。
「明らかに任意に取れる」：「任意」の意味が不明です。
「十分できる気がします」：そうだとしても、それを明確に示す（他人を納得させる）必要があります。
>例えば、t=1とすれば、s={a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)}、u=(bi-ch)/(fh-ei)、v=(bf-ce)/(fh-ei)が存在します。
>このようなs、t、u、vに対してPQ→=RS→は平行四辺形になると思いますが、これで存在することは示せたと思うのですがどうなんでしょうか。
>a-(bf-ce)/(fh-ei)+(bi-ch)/(fh-ei)、bi-ch、bf-ceが0でない場合を考えていることにすれば、
これ（・・・「0でない場合」）は、どこから保障されるのでしょうか？ 正しいとしても根拠を示す必要があります。
勝手に前提条件を加えてはいけません。（場合分けならいいですが）
|
No.46649 - 2017/11/03(Fri) 22:13:13 |
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / 黄桃 | | | おそらく0には何を掛けても0ということをうっかりしているのでしょう。
u=xt, v=yt, s=zt
とできたとしても、x,y,zいずれかが0であれば、例えばx=0としますと、
tをどんな数にしてもuは0で、したがって、Cが原点となり、条件を満たしません。
つまり、この形の解があるだけではダメで、x,y,zがいずれも0でないといわねばなりません。
具体例を示しましょう。
＃なお、(6)は正確には
＃s={s-g(bf-ce)/(fh-ei)-d(bi-ch)/(fh-ei)}t ...(7)
＃(g,dが抜けている）ですね。
例1
(a,b,c)=(0,1,0)
(d,e,f)=(1,1,0)
(g,h,i)=(0,0,1)
とします。
fh-ei=-1≠0 の例です。 bi-ch=1, bf-ce=0 なので、tが何であってもvは0です。
つまり、S=O であり、条件を満たしません。
例2
(a,b,c)=(0,1,0)
(d,e,f)=(1,0,1)
(g,h,i)=(0,0,1)
とします。
fh-ei=0 の例です。bi-ch=1, bf-ce=1 ですから、t=0 になってしまいます。
上記2つの例は、実は問題文の仮定を満たさないのですが、瑠梨さんの答案ではこの場合でも解があると主張しているようにしかみえません。
＃どの3本の直線も同一平面上にない、という条件を
＃a,b,..,iの条件に直すのは（高校生には）困難でしょう。
|
No.46653 - 2017/11/04(Sat) 09:47:06 |
| ☆ Re: 空間ベクトル(多分…) / 瑠梨 | | | No.46663 - 2017/11/04(Sat) 20:49:06 |
|
