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★ 漸化式 / とさ
a(n)=a(n-1)+(1/n)
初項a(1)=1
この漸化式の解き方をご教授ください。
解はあるのでしょうか。
何卒宜しくお願いします。ま
No.84934 - 2023/02/15(Wed) 18:20:46
☆ Re: 漸化式 / とさ
失礼しました。最後の方は誤記です。
No.84935 - 2023/02/15(Wed) 18:23:27
☆ Re: 漸化式 / IT
元の問題は、どんな問題ですか？

その漸化式を満たす唯一の{a(n)} は存在しますが
a(n) を漸化式やΣを使わず、固定長の式で表す方法はないのでは？
No.84936 - 2023/02/15(Wed) 18:26:22
☆ Re: 漸化式 / とさ
例えばa(3)=1+(1/2)+(1/3)
a(4)=1+(1/2)+(1/3)+(1/4)です。
No.84937 - 2023/02/15(Wed) 19:23:53
☆ Re: 漸化式 / IT
それは、分かります。

繰り返しになりますが、元の問題は、どう出題されたのですか？　問題文をそのまま書いて下さい。
No.84939 - 2023/02/15(Wed) 19:48:35
☆ Re: 漸化式 / とさ
元の問題と言うのはありません。調和数について調べていた時に調和数の部分和を表す式はあるかなと思い自分で立てた漸化式です。
No.84940 - 2023/02/15(Wed) 20:26:04
☆ Re: 漸化式 / IT
お望みの式はないと思います。
No.84941 - 2023/02/15(Wed) 20:40:34
☆ Re: 漸化式 / とさ
有り難うございました。
お手数をおかけしました。
No.84942 - 2023/02/15(Wed) 20:42:59
★ 図形問題２ / いっせい
(1)(√6-2)/2

まではわかったのですが、(2)以降に苦戦しています…。
教えていただけると助かります！
No.84928 - 2023/02/15(Wed) 09:38:35
☆ Re: 図形問題２ / ヨッシー
(2)

図のように、ＢＣとＥＤの交点Ｒを考え、ひし形ＯＢＲＥ（面積：8√3）から
斜線の３つの三角形を引きます。
例えば、△ＰＱＲは、ＱＲ＝３を底辺とすると、高さは 2√3×(7/8)＝7√3/4 より
　3×7√3/4÷2＝21√3/4
となります。

(3)

図のように、四角形ＡＢＣＤ（面積：5√3) から３つの三角形を引きます。
時間ｔのとき
　ＰＣ＝４−ｔ、ＰＢ＝ｔ−２、ＣＱ＝８−２ｔ、ＱＤ＝２ｔ−６
から
（以下略）
No.84929 - 2023/02/15(Wed) 09:39:47
☆ Re: 図形問題２ / いっせい
理解できました！
ありがとうございました。
大変助かりました。
No.84930 - 2023/02/15(Wed) 09:40:16
★ 図形問題 / いっせい
(1)9√3/4 + 27/4
(2)28√2/9

まではわかったのですが、(3)がどうしてもわかりません。
教えていただけると助かります
No.84923 - 2023/02/15(Wed) 09:35:14
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー

こんなふうに四角錐と三角錐に分ければ出来るでしょう。
No.84924 - 2023/02/15(Wed) 09:36:13
☆ Re: 図形問題 / いっせい
返信ありがとうございます！
その方法は考えたのですが、三角錐の方の高さが求められず断念してしまいました。
三角錐の高さはどう求めればいいでしょうか？
No.84925 - 2023/02/15(Wed) 09:36:38
☆ Re: 図形問題 / ヨッシー
△ＢＦＤは求めてあるので、これを底面とすると、
高さは点ＤのＡＢからの距離になります。
No.84926 - 2023/02/15(Wed) 09:37:12
☆ Re: 図形問題 / いっせい
ありがとうございます…！理解できました！
平面の垂直を失念していました。
ありがとうございました！
No.84927 - 2023/02/15(Wed) 09:37:37
★ 図形 / 図形
https://dotup.org/uploda/dotup.org2942615.png
この問題を教えて頂けますでしょうか。
No.84921 - 2023/02/15(Wed) 08:06:38
☆ Re: 図形 / らすかる
うまい解き方が思いつかないので強引に計算して
RV=32/3(cm)という値は得られましたが、
cmという単位が付いていることから考えると
私の解き方は不適切だと思います。
No.84922 - 2023/02/15(Wed) 09:34:08
★ 小数から整数を求める方法 / やゆん
算数4年？です。
文章題で、問題文に指示がなく、小数の個数から整数の個数を求めたい場合、小数点以下を切り捨てにする、
もしくは四捨五入する、どちらでしょうか？

例　11.56個　11個
　　11.56個　12個
どっちが正しい？
No.84911 - 2023/02/13(Mon) 21:18:10
☆ Re: 小数から整数を求める方法 / IT
問題によると思います。例えばどんな問題ですか。
（「切り捨てか、四捨五入か」　というよりは、「切り捨てか、切り上げか」のどちらかになると思います。）
No.84912 - 2023/02/13(Mon) 21:24:46
☆ Re: 小数から整数を求める方法 / やゆん
> 問題によると思います。例えばどんな問題ですか。
> （「切り捨てか、四捨五入か」　というよりは、「切り捨てか、切り上げか」のどちらかになると思います。）
中学受験、鶴亀算です。
1個130円のなしと1個90円のりんごを、あわせて45個買い、500円の箱につめます。
5000円以内で、なしをできるだけ多く買うとすると、なしとりんごはそれぞれ何個買うことになりますか。

500円の箱を除くと、
5000-500=4500円
全部りんごを買う場合
(4500-90×45)÷(130-90)=11.25(個)

この場合、切り捨てでも切り上げでも11個ですが、もしこの個数が11.85の場合どうするのかなと思い、質問しました。
No.84950 - 2023/02/16(Thu) 18:20:42
☆ Re: 小数から整数を求める方法 / ヨッシー
それは、式の意味を理解すればわかります。

4500−90×45＝450（円）
これは、安い方のりんごばかりで45個にすると、450円まだ手元にあるということです。
ここから、40円ずつ払って、りんごをなしに換えると最大何回換えられるか？
という問題です。
　450÷40＝11.・・・
ここで、11回は換えられる、12回換えると5000円を超える
と式を理解すれば、12回は無理とわかります。
たとえ、答えが 11.999 でも切り捨てて 11個です。

ちなみに、
>この場合、切り捨てでも切り上げでも11個ですが、
は誤りで、切り上げたら12個です。
No.84951 - 2023/02/16(Thu) 19:16:29
★ 組み合わせ / fm
3種の数字1,2,3を重複を許して並べて、6桁の整数を作るとき、１，２，３のいずれもが1回以上使われてるような整数は全部でいくつか。

という問題です。
画像に解説を乗せるのですが、その解説部分に質問があります。

2種類の数字だけが使われている整数は、
(2^6-2)*3＝186

この2^6-2で、なぜ-2をしているのですか？教えてください。
No.84907 - 2023/02/13(Mon) 09:56:48
☆ Re: 組み合わせ / fm
解答の画像を貼り忘れてしまいました。こちらになります
No.84908 - 2023/02/13(Mon) 09:57:14
☆ Re: 組み合わせ / らすかる
例えば1と2の2種類のとき、2^6の中には
121222や221112など、1または2を6桁並べたすべての組合せが含まれるわけですが、
111111と222222も含まれていますので、この2通りを引いています。
No.84909 - 2023/02/13(Mon) 10:42:55
★ 重心の位置 / とさ
放物線y=x^2(y=xの2乗)と直線y=1で囲まれる
部分の重心の位置はx=0,y=3/5なのですが
直線y=225とy=x^2で囲まれる部分の重心の
y座標の値はいくらでしょうか。以上の問題の解き方を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.84903 - 2023/02/12(Sun) 23:43:07
☆ Re: 重心の位置 / らすかる
y=x^2とy=1と(0,3/5)を
y軸中心に(x軸方向に)15倍に拡大すると
y=(x/15)^2とy=1と(0,3/5)
これをx軸中心に(y軸方向に)225倍に拡大すると
y/225=(x/15)^2とy=225と(0,135)
すなわち
y=x^2とy=225と(0,135)
となるので、求めるy座標の値は135
No.84904 - 2023/02/13(Mon) 01:07:55
☆ Re: 重心の位置 / とさ
有り難うございました。大変お手数おかけしました。わかりやすかったです。
No.84905 - 2023/02/13(Mon) 02:42:58
★ 場合の数 / もも
ABCDEEFの異なる並べ方は何通りありますか？
また、Eが両端に並ばない並べ方は何通りありますか？
No.84891 - 2023/02/12(Sun) 15:57:36
☆ Re: 場合の数 / X
前半)
求める場合の数は、同じものを含む順列の数により
7!/2!=2520[通り]

後半)
前半の結果から、Eが両端となる並べ方の数を
引きます。
(Eが両端となる並べ方の数)=(E以外の文字でできる順列の数)
=…
No.84892 - 2023/02/12(Sun) 17:34:56
☆ Re: 場合の数 / IT
「Eが両端に並ばない並べ方」は、あいまいな表現ですね
EABCDEF は、どちらにカウントするのでしょうね？
No.84893 - 2023/02/12(Sun) 17:46:24
☆ Re: 場合の数 / X
＞＞ITさんへ
私は
EABCDEF
は含むものとして、方針を提示しました。

＞＞ももさんへ
もし、例えば
EABCDEF
も含まないとなると、前半の結果から更に
(i)左端にのみEがある場合の順列の数
(ii)右端にのみEがある場合の順列の数
を引く必要があります。
No.84902 - 2023/02/12(Sun) 22:29:04
☆ Re: 場合の数 / らすかる
他の解釈もできると思います。
「Eが両端に並ばない並べ方」が
もし「Eが両端に同時に並ばない並べ方」（つまりExxxxxEを除く）ならば
ExxxxxEが5!通りなので7!/2!-5!=2400通り
もし「Eが両端のいずれかに2つ(連続して)並ばない並べ方」（つまりEExxxxxとxxxxxEEを除く）ならば
EExxxxxもxxxxxEEも5!通りなので7!/2!-5!×2=2280通り
もし「Eがいずれの端にも並ばない並べ方」（つまりExxxxxxとxxxxxxEを除く）ならば
ABCDFの5文字から左端と右端に配置する文字を選び(5P2通り)
残りの5文字(2つのEを含む)を間に配置すればよいので(5!/2!通り)
5P2×5!/2!=1200通り
あるいは全体(7!/2!通り)から
Exxxxxx(6!通り)とxxxxxxE(6!通り)を引いて
引きすぎたExxxxxE(5!通り)を足せばよいので
7!/2!-6!×2+5!=1200通り
No.84906 - 2023/02/13(Mon) 04:18:01
★ 同類項の分数の分子の答え方 / やゆん
中学2年です。
ファイル写真の答えでは1/4となっていますが、
1を省略してaの二乗/4と答えても丸になりましか。
No.84889 - 2023/02/11(Sat) 14:20:23
☆ Re: 同類項の分数の分子の答え方 / X
はい、それでも問題ありません。
No.84890 - 2023/02/11(Sat) 14:40:47
★ (No Subject) / kayo
通信制の大学１回生です。

2x^2-2xy+y^2=18において、dy/dxとd^2y/dx^2を求め、関数yの極値を求めよ。

という問題なのですが、
dy/dx=(y-2x)/(y-x)

d^2y/dx^2=(2xy-2x^2-y^2)/(y-x)^3

と、導関数はもとまったのですが、
関数yの極値はどのように求めたら良いでしょうか？
No.84886 - 2023/02/10(Fri) 19:04:29
☆ Re: / X
(i)
(x,y)の値の組は
dy/dx=0,(d^2/dx^2)y＞0
を満たす
⇒
(x,y)の値の組は極小値yを与える

(ii)
(x,y)の値の組は
dy/dx=0,(d^2/dx^2)y＜0
を満たす
⇒
(x,y)の値の組は極大値yを与える

以上(i)(ii)に注意して、極値を与える
(x,y)の組に対する連立方程式を立てます。
(連立方程式の片方は元の曲線の方程式です。)
No.84887 - 2023/02/10(Fri) 20:38:12
☆ Re: / kayo
Xさん

アドバイスを有り難うございました。
大変参考になりました。
No.84888 - 2023/02/11(Sat) 11:54:41
★ 整数問題 / fm
問題文
xyz=-240を満たす整数x,y,zの組は全部でいくつあるか。


画像の解答の部分で質問があります。

質問１

負の数、3を因数にもつ数、5を因数に持つ数の組み合わせを考えると、3×3×3=27（通り）

ここでなぜ3×3×3としているのですか？

質問２
それぞれに対し、4つの因数2のx,y,zの振り分け方は6C2通りであるから

ここではなぜ6C2としているのでしょうか？

ご教示ください。
No.84879 - 2023/02/10(Fri) 00:44:08
☆ Re: 整数問題 / ast
> 質問１
因数として -1 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
因数として 3 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
因数として 5 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
だから

> 質問２
「(2 と書かれた) 互いに区別のつかない 4 つの玉を (x,y,z と書かれた) 区別された 3 つの組に (空の組を許して) 分ける組み分け」の問題と見なせば, これは「4 つの "○" とそれらを区切る 2 つの "|" の 6 つを並べる場合の数」と等しいから.
# 6C2 は "6 つの場所から | の入る 2 箇所を選ぶ組合せ" の数.
No.84881 - 2023/02/10(Fri) 02:06:49
☆ Re: 整数問題 / fm
理解することができました、ご丁寧にありがとうございます。場合の数、確率、整数系の問題が苦手なのですが、上手に解くためのコツなどはありますか？
No.84882 - 2023/02/10(Fri) 03:38:44
★ 助けて！ / アラブル
高さを6とみて体積48と考えられると思うのですが、どこが間違えているのでしょうか？ご教授下さい。
No.84876 - 2023/02/09(Thu) 23:58:40
☆ Re: 助けて！ / らすかる
確かに高さは2とも6ともみることができますね。
よって正解は「16または48」になると思います。
写真の解答は不完全ですね。
（「48」だけ答えるのも不完全です）
No.84878 - 2023/02/10(Fri) 00:38:26
☆ Re: 助けて！ / アラブル
ですよね。ありがとうございます！
No.84880 - 2023/02/10(Fri) 00:50:33
☆ Re: 助けて！ / ヨッシー
「正四角錐の頂点は球面上にある」も、冗長な情報ですね。
なんか、全然こなれてないテキストに見えます。
No.84883 - 2023/02/10(Fri) 07:54:14
★ (No Subject) / kayo
通信制の大学１回生です。

以下の２変数関数の極値を求めかたを教えていただけないでしょうか。

sin(x)+sin(y)+sin(x+y)
ただし、0<=x<=2π、0<=y<=2π

よろしくお願い致します。
No.84869 - 2023/02/09(Thu) 20:16:25
☆ Re: / ポテトフライ
関数をf(x,y)とおくと

grad(f)=(0,0)となる点(x,y)を求める。
↓
それらの点に対してヘッッシアンHを計算して符号を調べる。
↓
H>0,f_{xx}>0のとき極小、H>0,f_{xx}<0のとき極大、H<0のときは鞍点、H=0は個別に調べる。
No.84871 - 2023/02/09(Thu) 20:46:07
☆ Re: / kayo
停留点（π、π）

H=０
となりました。

f(π+k,π)-f(π,π)=0
f(π,π+k)-f(π,π)=0

上記になりましたので、停留点付近は平坦になっていました。
こうした場合、極値は「なし」ということになりますでしょうか？
No.84872 - 2023/02/09(Thu) 21:16:03
☆ Re: / IT
停留点（π、π）はどうやって求めましたか？　これ以外にもあるのでは？

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E5%81%9C%E7%95%99%E7%82%B9+sin%28x%29%2Bsin%28y%29%2Bsin%28x%2By%29
No.84873 - 2023/02/09(Thu) 21:25:39
☆ Re: / ポテトフライ
＞こうした場合、極値は「なし」ということになりますでしょうか？

それでよいと思います。

他の調べ方としてy=xの方向を調べて
f(x,x)の(π,π)付近では関数の値がプラスからマイナスに変化してるので(π,π)は極値でない
でもよいと思います。

H=0のときの極値になるかどうかの調べ方は、本当に様々なので「がんばるしかない」です。
No.84874 - 2023/02/09(Thu) 21:59:45
☆ Re: / kayo
ITさん

停留点の求め方をもう一度振り返ってみます。

ポテトフライさん

アドバイス感謝いたします。
解けそうな気がしてきました。

有り難うございました。
No.84875 - 2023/02/09(Thu) 22:47:59
★ 1次方程式の表し方や答え方 / やゆん
中学1年です。
2点、質問があります。

?@(2500-x)÷70を分数にする場合、
(2500-x)/70のようにカッコを入れるのは間違いでしょうか。

?A問題　3/5x+1/6=1/3x-1/2
参考書答え　-5/2
この場合、2.5(小数)や2と1/2(帯分数)で答えるのは×になりますか。1次方程式の答え方で一般的だったり丸になる方を教えてください。
No.84867 - 2023/02/09(Thu) 19:42:27
☆ Re: 1次方程式の表し方や答え方 / ヨッシー
(1)
間違いではありませんが、付けないのが一般的です。
一方、この掲示板のように、分数を上下に書けない状況では、
カッコは必須です。

(2)
有限小数なら、分数、小数どちらもＯＫです。
循環小数を、数字の上に点を付ける方法で表記するのは、当該の
単元以外ではやめたほうが良いです。
帯分数は、掛け算と紛らわしいので、やはりやめたほうが良いです。上記の場合は×にはならないとは思います。
逆に、掛け算のつもりで書いたら、帯分数に解釈された
なんてことのないように、間に×または・をしっかり書きましょう。
No.84868 - 2023/02/09(Thu) 20:04:37
☆ Re: 1次方程式の表し方や答え方 / ポテトフライ
＞(2500-x)/70のようにカッコを入れるのは間違いでしょうか。
カッコがないと間違いです。

カッコなしの
2500-x/7
は
2500- (x÷7）
ととらえられます。
多項式が分子or分母にくる時にはそれをカッコでくくることが必須です。
単項式が分子or分母にくる時でもカッコがあると良いでしょう。例えば7÷(3a^2)を
7/3a^2
と表記すると
7÷3×a^2
と誤解される可能性があります。

数式の表記については様々なところで注意があるのでそれを参照してください。



＞2.5(小数)や2と1/2(帯分数)で答えるのは×になりますか。
2.5は（たぶん）大丈夫です
ただ、小数と分数が混在する数式はあまり好まれないという印象があります。


一方で、帯分数表記は絶対に避けるべきです。（というよりダメです）


数学では積の記号×を省略する慣習があるので、帯分数2と1/2は2*1/2と誤解されます。
帯分数は和の記号＋を省略していますが、これは小学校の負の遺産であると私は考えています。（中学以降の数学で和の記号＋を省略して書くことは一度もありません。）

例えばですが、「帯分数2と1/2」は「2+1/2」のことです。では負の数の帯分数の場合はどう考えるのが妥当か？「-2と1/2」という帯分数は「-2+1/2」「-2-1/2」のどちらにするのがいいだろうか？（要するに先頭についたマイナスの影響をどこまでにすべきか？ということ）
No.84870 - 2023/02/09(Thu) 20:18:36
★ 場合の数 / 吉田　
nを2以上の整数とする。以下の条件1, 2を満たすn個の正の整数の組(x_1, x_2, x_3, .... ,x_n)の個数を求めよ。

条件1 : x_i (i = 1, 2, 3, ..., n)は1, 2, 3, 4, 5のいずれかである。
条件2 : x_i (i = 1, 2, 3, ..., n - 1) に対して
|x_i - x_(i+1)| = 1 が成り立つ。

x_i という表記で添え字を表しています。

この問題の解説を教えていただきたいです。
No.84860 - 2023/02/09(Thu) 17:29:51
☆ Re: 場合の数 / IT
x_n = 1,5 のものの個数をa(n)
x_n = 2,4 のものの個数をb(n)
x_n = 3 のものの個数をc(n) として　連立漸化式を立てて解く。
No.84866 - 2023/02/09(Thu) 18:44:22
☆ Re: 場合の数 / 吉田　
ありがとうございます！
No.84884 - 2023/02/10(Fri) 10:24:35
★ 確率の問題 / 毛蟹
質問は画像のとおりです。
文章だと伝えづらいので、手書きをしました。
読み難い文字で申し訳ないのですが、お答えいただけると嬉しいです。
No.84855 - 2023/02/08(Wed) 21:48:02
☆ Re: 確率の問題 / IT
２つめの解法は、確率計算の「積の定理」「加法定理」を使っていますね。

正確に書くと
(8/12)×(4/11)×(3/10)＋(4/12)×(8/11)×(3/10)＋(4/12)×(3/11)×(8/10) ですよね。

例えば、１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？
No.84856 - 2023/02/08(Wed) 22:21:23
☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹
>１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？

場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？
場合の数と確率の性質の違いなのでしょうか？
No.84857 - 2023/02/08(Wed) 22:31:21
☆ Re: 確率の問題 / IT
> 場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？

そうですね。
No.84858 - 2023/02/08(Wed) 22:41:41
☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹
分かりました！ありがとうございます！
No.84859 - 2023/02/08(Wed) 22:45:00
★ (No Subject) / りりたま
0≦α<2π,0≦β<2πのときf(α,β)=sinαsinβ-(1-cosα)(1+cosβ)の最大値を求めよ

という問題を数IAIIBの範囲で一文字固定法で解けるのでしょうか？
No.84853 - 2023/02/08(Wed) 19:11:09
☆ Re: / IT
数IAIIBの範囲　だと　微分は整式の微分しか使えませんね。

一文字固定といえるか分かりませんが
f(α,β)＝cos(α-β)+cosα-cosβ-1 として
α-βを固定して
　cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)の最大値を考えるとかですかね。
No.84854 - 2023/02/08(Wed) 20:55:50
★ 整数 / fm
この問題の(2)からがわからず、解説を読んでもうまく理解できません。解説の画像は返信に載せます。

(※)このとき条件を満たす自然数a,b,cの組は,（1,1+k,1+2k),...(2m-2k,2m-k,2m)の2m-2k個存在する。

a,b,cの組を(2m-2k,2m-k,2m)と表すことができることに疑問はないのですが、なぜ2m-2k個存在すると言えるのかがわかりません。
No.84838 - 2023/02/07(Tue) 22:13:14
☆ Re: 整数 / fm
解説です。よろしくお願いします。
No.84839 - 2023/02/07(Tue) 22:14:12
☆ Re: 整数 / ヨッシー
（　）の中の一番左の数は、1,2,3 と１つずつ増えていき、
2m-2k まで増えるので、2m-2k 個です。
No.84844 - 2023/02/07(Tue) 22:35:18
☆ Re: 整数 / fm
()の中のa,b,cはそれらが連続する場合のみのことを表しているのですか？

(1)のn=6の場合、一番左の数の1と2が被ってしまっているので、うまく理解できません。a,b,cの組を,（1,1+k,1+2k),...(2m-2k,2m-k,2m)となぜ表すことができるのか教えてください。
No.84846 - 2023/02/07(Tue) 23:11:25
☆ Re: 整数 / ヨッシー
n=6 つまり m=3 の時は、
k=1 のとき　2m-2k＝4(通り)。すなわち、
　(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6)
k=2 のとき　2m-2k＝2(通り)。すなわち
　(1,3,5), (2,4,6)
k=3 では、2m-2k=0 となり、これ以上はありません。

で、４＋２＝６　をやっているのが解答のΣの式です。
No.84848 - 2023/02/07(Tue) 23:53:34
☆ Re: 整数 / fm
ありがとうございます。理解することができました！
No.84850 - 2023/02/08(Wed) 03:28:12
★ 正n角形の対称性 / fm
現在高校3年生です。レベルは入試問題くらい？です。

kは3以上の自然数で、x=2π/kとするなら
(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...k-1)単位円周上にある正k角形の頂点という認識で良いですか？

例えばk=3なら(cos(nx),sin(nx))は単位円周上にある正3角形の頂点のように。

ここで質問なのですが
Σ記号の下がn=0で、上がk-1のΣcos(nx)=0なのですが、例えばk=3のときなどは計算ができて0となることが確認できるのですが、kが3以上の整数であってもΣcos(nx)=0は成立しますか？またそれを証明することは高校数学の知識で可能ですか？

私が解いていた問題ではk=7のときで(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...６)単位円周上にある正7角形の頂点をなす。
Σ記号の下がn=0で、上が6のΣcos(nx)=「あ」

「あ」に当てはまる数を答えよ。という問題で、答えは0
で解答は「正七角形の対称性より」しか書いていなかったため、理由が知りたくて質問しました。
No.84830 - 2023/02/07(Tue) 16:54:22
☆ Re: 正n角形の対称性 / ast
# 何させようとしてる問題なのか, 文脈がよくわからんなあ
そのような設定で作った正 k-角形の (幾何学的) 重心 ((1/k) Σ_[n=0,…,k-1] cos(2πn/k), (1/k) Σ_[n=0,…,k-1] sin(2πn/k)) が原点に一致するという話をしたいのか, あるいはそれは自明のこととして用いてよいのか, (問題文の全体すらきちんと引用されないような質問の仕方されると) 推測のしようもないですが, 何れにしてもこの部分で扱うのが重心であるというところはたぶん合っているでしょう.

で, 正多角形の対称性にはいろいろな種類がありうるが, (適当な角度での) 回転対称性から重心はその回転に対して不変だし, (適当な軸に関する) 線対称性を考えれば重心はその軸上にあるので, 重心を見つけるだけなら適当な対称軸を二つとってその交点が重心になる程度のことはすぐに言えるのだろうと言ったところでしょうか.
No.84831 - 2023/02/07(Tue) 17:27:06
☆ Re: 正n角形の対称性 / fm
うまく伝えることができず申し訳ありません。問題全体はこうなっています。
No.84833 - 2023/02/07(Tue) 17:50:29
☆ Re: 正n角形の対称性 / ast
画像での補足ありがとうございます. であれば, 正多角形の重心が外接円の中心に一致する (いまの場合, 外接円は単位円でその中心は原点) というのは自明としてよさそうだと思います.
No.84834 - 2023/02/07(Tue) 18:18:19
☆ Re: 正n角形の対称性 / fm
返信有りがとうございます。重心が外接円の中心と一致すると、なぜ「あ」が0だと言えるのでしょうか？理解力が足りず申し訳ありません。。。
No.84840 - 2023/02/07(Tue) 22:16:08
☆ Re: 正n角形の対称性 / ast
ん? それは真っ先に書いたつもりですが…….
今の話で重心が原点と一致するというのは式で書けば
　((1/7) Σ_[n=0,…,6] cos(nθ), (1/7) Σ_[n=0,…,6] sin(nθ)) = (0, 0)
ということですから, 知りたい [あ] がこの情報の中に含まれていることに説明が必要というようにはいまも思っていません.
No.84849 - 2023/02/08(Wed) 01:34:09
☆ Re: 正n角形の対称性 / fm
ありがとうございます。愚かにも私が重心を求める式の存在を忘れてしまっていました。ここまで丁寧に説明してくださりありがとうございます。
No.84851 - 2023/02/08(Wed) 03:33:19
★ (No Subject) / y
画像の添付が出来ないので文章で失礼します。

右の図1のように、直線lと2点A,Bがある。直線l上に点Cを書き入れて、?僊BCが辺ACを斜辺とする直角三角形となるように、手順1〜4で点Cを求めた。
No.84829 - 2023/02/07(Tue) 16:26:13
☆ Re: / ast
> 画像の添付が出来ない
(これが画像が用意できないという意味でなく) 画像自体は存在するという状況なのであれば, 画像ファイル選択から[投稿する]ボタンを押すまでの間にプレビューをしていませんか?
# プレビュー画面では画像ファイルが未選択の状態に戻ってしまいますので, # 再選択せずにそのまま投稿しようとすると画像は抜けてしまいます.

> ?僊
直角三角形の記号（右下が直角になった斜体のΔ, 差分を表すのにもたまに使われる）に A を続けて書いたことでこの文字化けになっているようですね. (直角三角形の記号自体がこの掲示板では化けます. むかしは大丈夫だったのに過去ログでもたくさんの記号が化けててなかなか妙なことになってる). できれば△ABCとか, むしろ記号を使わずに(直角)三角形ABCなどと書いてくれたほうが安心です.

> 文章で
たぶん画像にしようとした部分に書かれていた文章を手入力してくださったのだとは思います (それ自体は重要です, ヘタに改変してしまうと意味が変わってしまったりする恐れもあります) が, たとえば
> 右の図1のように、直線lと2点A,Bがある。
では l と A,B の位置関係がいろいろ考えられます. A,B が l の同じ側にあるのかそれとも l を挟んで A,B はそれぞれ l の違う側にあるのか, と言ったようなことも補足で書き足してくれないと回答者は問題を誤解してしまって, あなたに (悪意は無くても実質的に) 嘘を教えることになってしまうかもしれません. またたとえば
> 手順1〜4
が何をどのようにしようとしているのかなかなか想像つきづらいところです (絶対に誰がやってもこの順番で必ずこうすると言ったようなことはそうそうないことです).
No.84832 - 2023/02/07(Tue) 17:50:16
☆ Re: / y
添付の方法等教えてくださりありがとうございます。

おっしゃる通り、図がないと色んなパターンが考えられますよね。

もう一度添付してみます。
No.84837 - 2023/02/07(Tue) 19:17:24
☆ Re: / ヨッシー
この問題とは関係なく、
　直線上の点Ａから、この直線に垂直な直線
を作図することは出来ますか？
No.84841 - 2023/02/07(Tue) 22:26:08
☆ (No Subject) / y
垂線の作図は出来ます。
No.84843 - 2023/02/07(Tue) 22:34:54
☆ Re: / ヨッシー

それならば、この図を目指して作図してみましょう。
No.84845 - 2023/02/07(Tue) 22:42:47
☆ Re: / y
理解できました！ありがとうございます。
No.84847 - 2023/02/07(Tue) 23:20:31
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