ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 模試の過去問です。 / TU

解答・解説がなくて困っています。
次の問題の解説をお願いします。

mを正の整数の定数とする。
x,yがともに０以上の整数である組(x,y)のうち、x^2-(-2)^y=2^(2m+1)を満たすものをmを用いて表せ。

よろしくお願いします。

No.84365 - 2022/12/26(Mon) 16:41:57

☆ Re: 模試の過去問です。 / IT

yが偶数のとき　y=2n とおいて　左辺を因数分解すると求められますね。

yが奇数のとき　y=2n+1 とおいて　2^(2n+1) を右辺に移項して因数分解すると分かりますね。

受験勉強なら、解答解説のない問題をやるのは非効率だと思います。今シーズン受験ならなおさらです。しっかりした解説解答のある問題集がいくらでもありますよ。

No.84368 - 2022/12/26(Mon) 19:18:13

☆ Re: 模試の過去問です。 / TU

返信ありがとうございます！

y=2n(nは0以上の整数)とき
x^2-(-2)^(2n)=2^(2m+1)
{x+(-2)^n}{x-(-2)^n}=2^(2m+1)
と因数分解できました。その後の流れとしては、
x+(-2)^n=2^a
x-(-2)^n=2^b
とおいて(a+b=2m+1)、xについて解き
x=2^(a-1)+2^(b-1)
∴x=2^(a-1)+2^(2m-a)
となったのですが、これで合っているでしょうか？また、この場合自分で勝手に文字aを設定したのですが、aの説明（…以上の整数のようなもの）はどのように書くのが相応しいか教えて下さい。

y=2n+1(nは0以上の整数)のとき
x^2=(-2)^(2n+1)+2^(2m+1)
x^2=2^(2n+1)+2^(2m+1)
このあとxはすっきり表せるのでしょうか？xは0以上の整数なので、√を用いずにきれいにかけるはずなのですが、自分ではうまく表せませんでした。合わせてこちらも教えていただけますと嬉しいです。

学校（冬休みです）の授業で配られるプリントに、授業とは関係ない単元の問題で模試の過去問が載せてあるのですが、それに取り組んでみたところ解けずに困っています。

周囲に質問できる人がいないので（先生に質問するとなると年明けになってしまい、それまで我慢できなくて…）すみませんが、よろしくお願いします。

No.84370 - 2022/12/26(Mon) 20:58:08

☆ Re: 模試の過去問です。 / IT

> x^2=2^(2n+1)+2^(2m+1)
> このあとxはすっきり表せるのでしょうか？

2^(2n+1)、2^(2m+1)の大きくない方で括るとどうですか？
平方数x^2 は、素因数2をいくつ持ち得るかもポイントです。

No.84371 - 2022/12/26(Mon) 21:07:30

☆ Re: 模試の過去問です。 / IT

前半は
x^2-2^(2n)=2^(2m+1)　としたらどうですか？

x+2^n=2^a、x-2^n=2^b、a>b,a+b=2m+1
両辺の差を取ると
2^(n+1)= 2^a-2^b = 2^b(2^(a-b)-1)
∴ 2^(a-b)= 2
・・・

No.84372 - 2022/12/26(Mon) 21:22:45

☆ Re: 模試の過去問です。 / IT

>aの説明（…以上の整数のようなもの）はどのように書くのが相応しいか教えて下さい。

「(a,bは0以上の整数）」とかで良いと思います。

No.84373 - 2022/12/26(Mon) 21:54:34

☆ Re: 模試の過去問です。 / TU

丁寧なご回答ありがとうございます！

前半は、a,b(a>b,a+b=2m+1)を0以上の整数として
x+2^n=2^a
x-2^n=2^b
とおいた後、両辺の差をとって
2^(n+1)=2^b{2^(a-b)-1}
∴2^(a-b)-1=1
∴2^(a-b)=2
∴a-b=1
a+b=2m+1なのでb=mと分かり、
2x=2^a+2^b=2^(b+1)+2^b=3・2^b=3・2^m
x=3・2^(m-1)
また、n+1=bよりn=b-1=m-1
∴y=2m-2と求まりまりました。

後半は
x^2=2^(2n+1)・{-1+2^(2m-2n)}
とした後、xは偶数なので右辺は偶数であることに注意して、{ }の中が1または2となることが分かるが、1となると右辺の2の指数が奇数となり矛盾、2になると2^(m-n)=3となりこれは不成立（解なし）となりました。

ありがとうございました！

No.84374 - 2022/12/26(Mon) 22:34:17

☆ Re: 模試の過去問です。 / IT

>x^2=2^(2n+1)・{-1+2^(2m-2n)}
>xは偶数なので右辺は偶数である
書く必要があるかは別にして、
右辺は偶数なので、xは偶数なのでは？

＞{ }の中が1または2となることが分かるが
なぜですか？

No.84376 - 2022/12/26(Mon) 23:18:49

☆ Re: 模試の過去問です。 / IT

>後半は（解なし）となりました。

-1+2^(2m-2n)＝0　のときはOKでは？

0を掛けると2^(2n+1)の2の指数が奇数であることが、関係なくなるので要注意です。

No.84378 - 2022/12/26(Mon) 23:24:26

☆ Re: 模試の過去問です。 / TU

ご返信ありがとうございます！

後半を修正してみました。

x^2=2^(2n+1){-1+2^{2m-2n}}

いま、m>nとすると{ }の中は奇数となり、右辺の素因数2の指数は奇数、左辺の2の素因数の指数が偶数となり矛盾。よって、m>nのときは解なし。
また、m=nとするとx^2=0となり、x=0
このときy=2m+1である。

したがってy=2n+1(nは0以上の整数)のとき、解はx=0,y=2m+1

となりました！

No.84379 - 2022/12/26(Mon) 23:43:49

★ 座標 / なみかわ

次の問題を教えて下さい。

実数a,bは0≦a<bを満たす定数とする。実数x,yがx≧0,y≧0,a≦x+y≦bを満たして動くとき、(x^2+1)(y^2+1)の最大値、最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.84361 - 2022/12/26(Mon) 14:57:10

☆ Re: 座標 / らすかる

x+y=k(k≧0)とするとy=k-xなので
(x^2+1)(y^2+1)=(x^2+1)((k-x)^2+1)
=(x^2+1)(x^2-2kx+k^2+1)
=x^4-2kx^3+(k^2+2)x^2-2kx+k^2+1
=(x^2-kx+1)^2+k^2
x^2-kx+1=(x-k/2)^2+1-k^2/4から|x^2-kx+1|の最小値は
k≧2のとき 0（x={k±√(k^2-4)}/2）
k＜2のとき 1-k^2/4（x=k/2）
よって(x^2-kx+1)^2+k^2の最小値は
k≧2のとき 0^2+k^2=k^2
k＜2のとき (1-k^2/4)^2+k^2=k^4/16+k^2/2+1=(k^2/4+1)^2
となるので、(x^2+1)(y^2+1)の最小値は
a≧2のとき a^2　（x,y={a±√(a^2-4)}/2）
a＜2のとき (a^2/4+1)^2　（x=y=a/2）

x^2-kx+1=(x-k/2)^2+1-k^2/4から|x^2-kx+1|の最大値は
1-k^2/4＞-1すなわちk＜2√2のときは
x=0またはx=kのときでk^2/4+1-k^2/4=1
1-k^2/4≦-1すなわちk≧2√2のときは
x=k/2のときで|1-k^2/4|=k^2/4-1
よって(x^2-kx+1)^2+k^2の最大値は
k＜2√2のとき k^2+1
k≧2√2のとき (k^2/4-1)^2+k^2=(k^2/4+1)^2
となるので、(x^2+1)(y^2+1)の最大値は
b＜2√2のとき b^2+1　（x,y=0,b）
b≧2√2のとき (b^2/4+1)^2　（x=y=b/2）

従ってまとめると
最大値は
b＜2√2のとき b^2+1　（x,y=0,b）
b≧2√2のとき (b^2/4+1)^2　（x=y=b/2）
最小値は
a＜2のとき (1+a^2/4)^2　（x=y=a/2）
a≧2のとき a^2　（x,y={a±√(a^2-4)}/2）

No.84364 - 2022/12/26(Mon) 16:15:15

☆ Re: 座標 / なみかわ

どうもありがとうございました！！！

No.84375 - 2022/12/26(Mon) 23:14:50

★ 多変数関数 / なつき

高校３年です。
以下の問題を教えて下さい。

(1)x≧0,y≧0のとき、(x+y)/{(x^2+1)(y^2+1)}の最大値を求めよ。
(2)x,yが実数のとき、(x+y)/{(x^2+1)(y^2+1)}の最大値を求めよ。

(x+y)/{(x^2+1)(y^2+1)}は分子がx+y、分母が(x^2+1)(y^2+1)を表しています。

(1)はyを固定して、xの関数とみて、微分してx≧0における増減を調べるとx=-y+√y^2+1で最大値をとることが分かりました。
その後、x=-y+√y^2+1をもとの関数に代入して、(y+√y^2+1)/{2(y^2+1)}の増減を調べると、y=1/√3で最大値をとることが分かり、最大値が3√3/8となったのですが合っているでしょうか？

また、(2)はx,yの範囲に制限がなくなったのですが、最大値は(1)と変わらないように思うのですが、自分できちんとした説明ができません。

すみませんが、どうぞご教授下さい。よろしくお願いします。

No.84360 - 2022/12/26(Mon) 14:28:24

☆ Re: 多変数関数 / らすかる

(1)は合っています。
(2)は
(x+y)/{(x^2+1)(y^2+1)}≦(|x|+|y|)/{(x^2+1)(y^2+1)}
（等号はx≧0かつy≧0のとき）
によりx＜0またはy＜0のとき最大値をとらないことから(1)と同じと言えますね。

No.84362 - 2022/12/26(Mon) 14:58:50

☆ Re: 多変数関数 / なつき

どうもありがとうございました！

No.84383 - 2022/12/27(Tue) 17:19:55

★ 正四面体の面上の点 / any

一辺の長さが1の正四面体ABCDの面上を点Pがくまなく動くとき、PA^2+PB^2-PC^2の最大値と最小値、およびそれらをとるときのPの位置を求めよ。

この問題をお教え下さい。よろしくお願いします。

No.84355 - 2022/12/26(Mon) 00:48:03

☆ Re: 正四面体の面上の点 / らすかる

正四面体の4頂点は立方体の頂点にあてはめることができますので、
中心が原点で辺が軸に平行で辺の長さが1/√2である立方体にあてはめて考えます。
具体的には
E(1/(2√2),1/(2√2),1/(2√2))
F(-1/(2√2),1/(2√2),1/(2√2))
G(-1/(2√2),-1/(2√2),1/(2√2))
H(1/(2√2),-1/(2√2),1/(2√2))
I(1/(2√2),1/(2√2),-1/(2√2))
J(-1/(2√2),1/(2√2),-1/(2√2))
K(-1/(2√2),-1/(2√2),-1/(2√2))
L(1/(2√2),-1/(2√2),-1/(2√2))
である立方体EFGH-IJKLを考えてA=E,B=G,C=L,D=Jとすれば目的の正四面体になります。
つまり
A(1/(2√2),1/(2√2),1/(2√2))
B(-1/(2√2),-1/(2√2),1/(2√2))
C(1/(2√2),-1/(2√2),-1/(2√2))
D(-1/(2√2),1/(2√2),-1/(2√2))
です。このとき、P(x,y,z)とおくと
PA^2=(x-1/(2√2))^2+(y-1/(2√2))^2+(z-1/(2√2))^2=(x^2+y^2+z^2)+(1/√2)(-x-y-z)+3/8
PB^2=(x+1/(2√2))^2+(y+1/(2√2))^2+(z-1/(2√2))^2=(x^2+y^2+z^2)+(1/√2)(x+y-z)+3/8
PC^2=(x-1/(2√2))^2+(y+1/(2√2))^2+(z+1/(2√2))^2=(x^2+y^2+z^2)+(1/√2)(-x+y+z)+3/8
となるので
PA^2+PB^2-PC^2=(x^2+y^2+z^2)+(1/√2)(x-y-3z)+3/8
=(x+1/(2√2))^2+(y-1/(2√2))^2+(z-3/(2√2))^2-1
これは
Q(-1/(2√2),1/(2√2),3/(2√2))
としたときのPQ^2-1の値なので
正四面体ABCDの表面上の点でQに最も遠い点とQから最も近い点を考えれば、
最大値と最小値がわかります。
Qは最初の立方体の辺JFの延長上にありJF=FQです。
よって最も遠い点は明らかにL=Cですから
PA^2+PB^2-PC^2の最大値はP=Cの場合で、このとき
PA=PB=1,PC=0ですから最大値は1^2+1^2-0^2=2です。
Qは平面ABDに関してCと反対側にありますので、Qから最も近い点は面ABD上（辺を含む）にあります。
平面ABDの式はx-y-z+1/(2√2)=0なのでQから平面ABDに下した垂線の足は
(1/(6√2),-1/(6√2),5/(6√2))となり、この点はABの中点をMとしてDMの延長上にあります。
よってQから最も近い正四面体上の点はABの中点であるM(0,0,1/(2√2))となり、
P=MのときPA=PB=1/2、PC=√3/2ですから最小値は(1/2)^2+(1/2)^2-(√3/2)^2=-1/4となります。

No.84358 - 2022/12/26(Mon) 09:24:23

☆ Re: 正四面体の面上の点 / any

こんなに丁寧に教えて下さり、どうもありがとう。頑張ります！

No.84390 - 2022/12/27(Tue) 20:40:16

★ 不等式の証明(数?V) / みかん

x>1,0<y<π/2のとき
xsin(y)>sin(xy)　を示せ
こちらの問題を教えてください。
よろしくお願いします

No.84351 - 2022/12/25(Sun) 23:37:00

☆ Re: 不等式の証明(数?V) / らすかる

f(t)=sin(t)のグラフ上に点P(y,sin(y))（0＜y＜π/2）をとる。
原点をOとすると直線OPはg(t)={sin(y)/y}tだから
点Q(xy,xsin(y))（x＞1）は線分OPの延長上にある。
また点R(xy,sin(xy))は曲線f(t)=sin(t)上にある。
f(t)=sin(t)のグラフは0＜t＜π/2で上に凸でありg(π/2)＞1だから
0＜t＜yでf(t)＞g(t)、y＜tでg(t)＞f(t)
よってg(xy)＞f(xy)なのでxsin(y)＞sin(xy)。

No.84353 - 2022/12/26(Mon) 00:41:51

☆ Re: 不等式の証明(数?V) / IT

xを固定して考えます。
f(y)=xsin(y)-sin(xy)　とおくと
f'(y)=xcos(y)-xcos(xy)、f(0)=0

(1)0<xy≦π/2 のとき0<y<xy≦π/2 　
　cosy > cos(xy) なので　f'(y)＞0　よってf(y) は狭義増加　
　したがって,f(y)>f(0)=0
　すなわちxsin(y)> sin(xy)

(2)xy＞π/2のとき　π/2>y>π/2x > 0 　
　 xsin(y)> xsin(π/2x)>sin(x(π/2x))=1 ※２つめの不等号で (1) を使ってる。
　一方　 sin(xy) ≦1
よって xsin(y)> sin(xy)

No.84354 - 2022/12/26(Mon) 00:41:56

☆ Re: 不等式の証明(数?V) / みかん

ありがとうございます

No.84357 - 2022/12/26(Mon) 07:27:14

★ 軌跡 / 彩

以下の問題を教えて下さい．

座標平面上に点A(0,1)と放物線C:y=x^2がある．C上に原点Oと異なる点Pをとり，直線AP上に∠AOP=∠POQを満たす点Qをとる．ただし，点Qは点Aと異なるものとする．点PがCの原点O以外の部分を動くとき，点Qの軌跡を求めよ．

よろしくお願いします．

No.84347 - 2022/12/25(Sun) 20:04:38

☆ Re: 軌跡 / X

条件から線分OPは∠AOQの二等分線ですので
P(t,t^2),Q(X,Y)
(但しt≠0)
と置くと
AP:PQ=OA:OQ=1:√(X^2+Y^2)
∴
↑OP={{√(X^2+Y^2)}↑OA+↑OQ}/{1+√(X^2+Y^2)}
左右の成分を比較すると
t=X/{1+√(X^2+Y^2)} (A)
t^2={√(X^2+Y^2)+Y}/{1+√(X^2+Y^2)} (B)
(A)より
X≠0 (C)
又、(A)を(B)へ代入すると
(X^2)/{1+√(X^2+Y^2)}^2={√(X^2+Y^2)+Y}/{1+√(X^2+Y^2)}
これより
X^2={√(X^2+Y^2)+Y}{√(X^2+Y^2)+1}
X^2=(X^2+Y^2)+(Y+1)√(X^2+Y^2)+Y
(Y+1){Y+√(X^2+Y^2)}=0 (D)
ここで
Y≧0のとき(C)より
Y+√(X^2+Y^2)≧|X|＞0
Y＜0のとき
Y+√(X^2+Y^2)=√{X^2+(-Y)^2}-(-Y)＞0
∴Y+√(X^2+Y^2)≠0ゆえ、(D)より
Y=-1 (E)
(C)(E)より、求める軌跡は
直線y=-1(但し点(0,-1)を除く)
となります。

No.84366 - 2022/12/26(Mon) 17:23:37

☆ Re: 軌跡 / X

補足を。
問題文では原点以外のC上の任意の点Pに対し
対応する点Qが存在するように書かれていますが
(A)より
|t|＜1
つまり、1≦|t|のとき、点Pに対応する点Qは存在しません。

No.84367 - 2022/12/26(Mon) 18:05:21

☆ Re: 軌跡 / 彩

丁寧な解説，どうもありがとうございました．とても感謝しています！

No.84381 - 2022/12/27(Tue) 16:27:00

★ 図形の問題です / 一

こんにちは。
次の問題を教えて下さい。よろしくお願いします。

三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとする。
AB+AM=BCを満たすようなすべての三角形ABCを考えるとき、∠BAMの最大値を求めよ。

No.84338 - 2022/12/25(Sun) 17:34:25

☆ Re: 図形の問題です / X

∠BAM=θ
と置くと△ABMにおいて余弦定理により
(BC/2)^2=AB^2+AM^2-2AB・AMcosθ
これと
AB+AM=BC
から
(1/4)(AB+AM)^2=AB^2+AM^2-2AB・AMcosθ
これより
(AB+AM)^2=4AB^2+4AM^2-8AB・AMcosθ
3AB^2+3AM^2-(2+8cosθ)AB・AM=0
∴AB/AM=tと置くと
3t^2-(2+8cosθ)t+3=0 (A)
∴tの二次方程式(A)が正の実数解
を少なくとも1つ持つ条件
を考えると
まず、(A)の解の判別式をDとすると
D/4=(1+4cosθ)^2-9≧0 (B)
次に(A)の左辺の定数項は正
∴解と係数の関係から
2+8cosθ＞0 (C)
(B)より
(4cosθ+4)(4cosθ-2)≧0
∴cosθ=-1,1/2≦cosθ
(C)より
-1/4＜cosθ
以上からθの条件は
1/2≦cosθ
∴0＜θ≦π/3
よって求める最大値はπ/3となります。

No.84346 - 2022/12/25(Sun) 19:55:07

☆ Re: 図形の問題です / 一

ご回答ありがとうございます。
とてもよく分かりました！しっかり解き直しておきます！

No.84352 - 2022/12/26(Mon) 00:41:35

★ 数学ではないのですが。 / nao

数学の授業で、黒板に「cd.」と書かれたのですが、これは何の略ですか？　

No.84334 - 2022/12/25(Sun) 14:24:57

☆ Re: 数学ではないのですが。 / IT

先生に聞くのが確実と思いますが
分野や　文脈は？

No.84335 - 2022/12/25(Sun) 14:49:27

☆ Re: 数学ではないのですが。 / nao

> 数学の授業で、黒板に「cd.」と書かれたのですが、これは何の略ですか？　

ベクトルで共面条件の授業の時に、共面条件という字の横にcd. 共線条件と書いてありました。
何となく２つを比較しているのだと思いますが。

No.84342 - 2022/12/25(Sun) 18:48:40

☆ Re: 数学ではないのですが。 / IT

cf. (参照せよ、比較せよ）は、たまに使いますので、その書き間違いか見間違いでは？

No.84344 - 2022/12/25(Sun) 19:01:22

☆ Re: 数学ではないのですが。 / nao

> cf. (参照せよ、比較せよ）は、たまに使いますので、その書き間違いか見間違いでは？

ありがとうございました。

No.84356 - 2022/12/26(Mon) 07:04:24

★ (No Subject) / ち

【N】は１以上N以下のすべての整数の積について、積の一の位から連続して並ぶ０の個数を表します。たとえば　
【３】１×２×３＝６　なので　【N】＝０　
【７】１×２×３×４×５×６×７＝5040　なので　【N】＝１　
【11】１×２×３・・・×11＝39916800　なので　【N】＝２　

（１）【400】を求めよ
（２）【N】＝20となるとき、もっとも大きいNはいくつか
（３）Nがどんな整数であっても【N】＝５となることはなく、５は「【N】の数値としてありえない整数」です。このような「【N】の数値としてありえない整数」のうち、60以上80以下のものをすべて答えなさい

この問題を以下のように解いてみました。合っていないかもしれません（間違っていたらご指摘いただければ幸いです）が、数え上げるのではなくもっとスマートかつ完結に規則性を求めて式を立てて解答することはできますでしょうか？

（解答）
（１）
２と５の組み合わせがいくつあるか数えればよいので、２は偶数にすべてあるので２００個ある。５は　４００÷５＝８０で　80個ある。

5×5＝25のとき５が１つ多く数えられるので
　400÷25＝８　
８個追加できる。

さらに５×５×５＝125のときに、もう１つ多く数えられる
　４００÷１２５＝３あまり２５
３個追加できる。

よって　80＋8＋3＝91個

（２）（１）より【N】＝20は、５が20回でてくるとき。
100までに５は　100÷５＝20　と　100÷25＝４　の24個でてくる。
４個多いので
100＝5×5×４　で５が２個、95に５が１個、90に５が1個でてくるので
89が最大となる。

（３）【N】に値が一度に２個以上増えるのは
25　５×５
50　５×５×２　
75　５×５×３
100　５×５×４　ここまでで【N】＝24
125　5×５×５×５
150　５×５×６
175　５×５×７
200　５×５×８　ここまでで【N】＝51
225　5×５×９　ここまでで【N】＝55
240　5×48　ここまでで【N】＝58
245　5×49　ここまでで【N】＝59
250　５×５×５×２　ここまでで【N】＝62　つまり　【N】＝60、61存在しない
255　5×51　【N】＝63
260　5×52　【N】＝64
265　5×53　【N】＝65
270　5×54　【N】＝66
275　５×５×11　【N】＝68　【N】＝67は存在しない
280　【N】＝69　
285　【N】＝70　
290　【N】＝71　
295　【N】＝72　
300　５×５×12　ここまでで【N】＝74　【N】＝73は存在しない
305　５×61　【N】＝75
310　【N】＝75
315　【N】＝76
320　【N】＝77
325　5×5×13　【N】＝79　【N】＝78は存在しない
330　5×66　【N】＝80

よって60、61、67、73、78

No.84333 - 2022/12/25(Sun) 12:52:50

☆ Re: / らすかる

400÷25の計算が正しくありません。
その他は解き方を含め問題ないと思います。

No.84336 - 2022/12/25(Sun) 15:09:22

★ 通過領域の面積 / 高2

座標平面上の放物線y=x^2/2をCとし、C上の点P(t,t^2/2)におけるCの接線の上にPQ=1である点Q(u,v)をとる。ただし、t<uであるとする。
(1)u,vをtを用いて表せ。
(2)tが0≦t≦√3の範囲を動くとき、線分PQが通過する範囲の面積を求めよ。

という問題を教えて下さい。

(1)は↑OQ=↑OP+↑PQ=(t,t^2/2)+1/(√1+t^2)(1,t)
を計算して
u=t+1/(√1+t^2)
v=t^2/2+t/(√1+t^2)
になりました。

No.84324 - 2022/12/25(Sun) 07:31:11

☆ Re: 通過領域の面積 / GM

図を描くと分かりますが
求める領域の面積はy=x^2/2の0から√3までの定積分の値と
右側にできる台形状の部分の面積の和から
Qがx=1から√3+1/2まで描くところの定積分の値を
引けばよいです
Qの定積分のところは
Qが描く曲線をxの関数にするのが困難なので
(1)で求めた
x=t+1/√(1+t^2),y=t^2/2+t/√(1+t^2)
より
∫ydx=∫y(dx/dt)dtを計算します

No.84425 - 2022/12/29(Thu) 19:41:46

★ 確率 / 本庄

Tさんは自分の部屋を掃除しなかった日の翌日は必ず掃除し、その次の日は4/9の確率で掃除する。また、2日以上連続して掃除したときは、その次の日は1/3の確率で掃除する。
ある日、Tさんは掃除しなかった。Tさんがこの日からn日後に掃除しない確率a[n]を求めよ。

という問題を教えて下さい。a[n]のnはaについている添字です。よろしくお願いします。

No.84322 - 2022/12/25(Sun) 01:55:34

☆ Re: 確率 / ヨッシー

Ｔさんがｎ日後に
　掃除していない状態をＡ、その確率をa[n]
　掃除１日目である状態をＢ、その確率をb[n]
　掃除連続２日以上である状態をＣ、その確率をc[n]
とします。このとき
　a[0]＝１, b[0]＝０，c[0]＝０
　a[1]＝０, b[1]＝１，c[1]＝０
です。

Ａの翌日は必ずＢになります。
Ｂの翌日は4/9 の確率でＣ、5/9の確率でＡになります。
Ｃの翌日は1/3 の確率でＣ、2/3の確率でＡになります。
以上より、漸化式を作ると
　a[k+1]＝(5/9)b[k]＋(2/3)c[k]　・・・(i)
　b[k+1]＝a[k]　　　　　　　　　・・・(ii)
　c[k+1]＝(4/9)b[k]＋(1/3)c[k]　・・・(iii)
ただし、(iii) は、
　a[k+1]＋b[k+1]＋c[k+1]＝1
　a[k]＋b[k]＋c[k]＝1
と(i)(ii) から得られるため、有効なのは(i)(ii) のみです。
(i) に c[k]＝1－a[k]－b[k] を代入すると
　a[k+1]＝2/3－(2/3)a[k]－(1/9)b[k]　・・・(iv)
さらに(ii) から得られる
　b[k]＝a[k-1]
を代入すると
　a[k+1]＝2/3－(2/3)a[k]－(1/9)a[k-1]　・・・(v)
ここで、
　a[k]＝d[k]＋3/8
とおくと
　d[k+1]＝－(2/3)d[k]－(1/9)d[k-1]
となります。この式が
　d[k+1]－αd[k]＝β(d[k]－αd[k-1])
となるように、α、βを求めると、
　α＝β＝－1/3
つまり、
　d[k+1]＋d[k]/3＝(－1/3)(d[k]＋d[k-1]/3)
よって、
　d[k]＋d[k-1]/3　(kは自然数)
は、初項
　d[1]＋d[0]/3＝(a[1]－3/8)＋(a[0]－3/8)/3＝－1/6
公比 -1/3 の等比数列となり、一般項は
　d[k]＋d[k-1]/3＝(1/2)(-1/3)^k
両辺 (-3)^k を掛けて
　d[k](-3)^k－d[k-1](-3)^(k-1)＝1/2
よって、
　e[k]＝d[k](-3)^k
は、初項
　e[1]＝-3・d[1]＝-3(a[1]－3/8)＝9/8、　
公差 1/2 の等差数列となり、一般項は
　e[k]＝9/8＋(1/2)(k-1)＝k/2＋5/8
よって、順に逆算して、
　d[k]＝(k/2＋5/8)(-1/3)^k
　a[k]＝d[k]＋3/8＝(k/2＋5/8)(-1/3)^k＋3/8
よって、求める確率は、
　a[n]＝(n/2＋5/8)(-1/3)^n＋3/8
となります。

隣接３項漸化式の解法を参考にしました。

No.84330 - 2022/12/25(Sun) 10:58:38

★ 次の問題を教えて下さい / kei

高2です。次の問題を教えて下さい。

座標平面上に、2点O(0,0)、A(1,0)がある。第1象限に点Pをとり、点Pからy軸に垂線PQを下ろして、台形OAPQをつくる。このとき、台形OPAQの周の長さが6であるとする。
(1)Pが存在する範囲を求めよ。
(2)台形OAPQの面積Sの最大値を求めよ。

No.84317 - 2022/12/24(Sat) 18:26:30

☆ Re: 次の問題を教えて下さい / X

(1)
条件から
P(x,y) (x＞0,y＞0)
と置くと、台形OPAQの周囲の長さについて
y+x+√{(x-1)^2+y^2}+1=6
これより
√{(x-1)^2+y^2}=5-x-y (A)
∴5-x-y＞0 (B)
一方、(A)から
(x-1)^2+y^2=(5-x-y)^2
-2x+1=-10x-10y+2xy+25
2(x-5)y=8x-24
y=(4x-12)/(x-5)
∴y=4+8/(x-5) (C)
(C)を(B)に代入して
5-x-{4+8/(x-5)}＞0
これより
x-5+{4+8/(x-5)}＜0
(x-5)^3+4(x-5)^2+8(x-5)＜0かつx≠5
(x-5){((x-7)^2+4}＜0かつx≠5
∴x＜5
よって求める点Pの存在する範囲は
双曲線 y=4+8/(x-5) (0＜x＜5)

(2)
(1)の結果からSをxで表すと
S=(1/2){4+8/(x-5)}(x+1)
=2(x+1)+4(x+1)/(x-5)
=2(x+1)+4+24/(x-5)
=2x+6+24/(x-5)
=2(x-5)+24/(x-5)+16 (D)
ここで
x-5=-t (E)
と置くと、(1)の結果から
0＜t＜5
で(D)は
S=-2(t+12/t)+16
∴()内に相加平均と相乗平均の関係を使うと…

No.84318 - 2022/12/24(Sat) 20:26:03

☆ Re: 次の問題を教えて下さい / kei

ありがとうございます！
途中の経過も省略せずに丁寧に教えて下さり、大変助かりました！！！

No.84348 - 2022/12/25(Sun) 20:29:20

★ 図形の問題です。 / w

次の問題を教えて下さい。

kは1ではない正の定数とする。
AC=kABを満たす三角形ABCにおいて、∠CABの二等分線と直線BCの交点をDとし、∠CABの外角の二等分線と直線BCの交点をEとする。DE>2BCのとき、kの取り得る値の範囲を求めよ。

内角の二等分線なので、AB:AC=BD:CD
外角の二等分線なので、AB:AC=BE:CE
となることは分かりました。

そこから先へ進めなくて困っています…

No.84315 - 2022/12/24(Sat) 16:58:00

☆ Re: 図形の問題です。 / ヨッシー

ｋ＝１はあり得ませんので、
ｋ＞１とｋ＜１に分けて考えます。

AB:AC=BD:CD および AB:AC=BE:CE は書かれたとおりですので、
それを踏まえて、辺の比をｋで表すと下の図のようになります。

ｋ＞１のとき（図左）
ＢＥ＝１とすると　ＣＥ＝ｋ、ＢＣ＝ｋ－１であり
　ＢＤ＝(ｋ－１)/(ｋ＋１)
　ＣＤ＝ｋ(ｋ－１)/(ｋ＋１)
より
　ＤＥ＝ＢＤ＋ＢＥ＝２ｋ/(ｋ＋１)
となるので、ＤＥ＞２ＢＣに当てはめると
　２ｋ/(ｋ＋１)＞２(ｋ－１)
ｋ＋１(＞０) を両辺に掛けて
　２ｋ＞２(ｋ^2－１)
　ｋ^2－ｋ－１＜０
これをｋ＞１の条件下で解いて
　１＜ｋ＜(1＋√5)/2

ｋ＜１のとき（図右）
ＢＥ＝１とすると　ＣＥ＝ｋ、ＢＣ＝１－ｋであり
　ＢＤ＝(１－ｋ)/(ｋ＋１)
　ＣＤ＝ｋ(１－ｋ)/(ｋ＋１)
より
　ＤＥ＝ＣＤ＋ＣＥ＝２ｋ/(ｋ＋１)
となるので、ＤＥ＞２ＢＣに当てはめると
　２ｋ/(ｋ＋１)＞２(１－ｋ)
ｋ＋１(＞０) を両辺に掛けて
　２ｋ＞２(１－ｋ^2)
　ｋ^2＋ｋ－１＞０
これをｋ＜１の条件下で解いて
　(√5－1)/2＜ｋ＜１

以上より
　(√5－1)/2＜ｋ＜１、１＜ｋ＜(1＋√5)/2

No.84323 - 2022/12/25(Sun) 06:37:07

☆ Re: 図形の問題です。 / w

とてもよく分かりました！
図までつけて下さりありがとうございました！

No.84350 - 2022/12/25(Sun) 22:49:36

★ 座標 / なみかわ

次の問題を教えて下さい。

座標平面において、放物線y=x^2上の3点A(a,a^2)、B(b,b^2)、C(c,c^2)（ただし、a<b<cとする）を頂点とする三角形の重心は(1,3)である。
(1)cの取り得る値の範囲を求めよ。
(2)△ABCの面積Sをcの式で表せ。さらに、cが(1)で求めた範囲を動くとき、Sの最大値およびSが最大となるときのa,b,cの値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.84313 - 2022/12/24(Sat) 15:06:47

☆ Re: 座標 / X

(1)
条件から△ABCの重心の座標について
(a+b+c)/3=1 (A)
(a^2+b^2+c^2)/3=3 (B)
(A)より
a+b+c=3 (A)'
これと(B)から
9-2(ab+bc+ca)=9
∴ab+bc+ca=0 (C)
(A)'(C)と三次方程式の解と係数の関係により
a,b,cはxの三次方程式
x^3-3x^2+t=0
(tは定数)
の解。
ここで
f(x)=x^3-3x^2+t
と置くと
f'(x)=3x^2-6x
=3x(x-2)
∴f(x)は
極大値 f(0)=t
極小値 f(2)=t-4
を持ちます。
∴y=f(x)のグラフとx軸との交点を考えることにより
題意を満たすためには
t(t-4)＜0
∴0＜t＜4 (D)
そこでa＜b＜cから、(D)の値の範囲でy=f(x)のグラフを動かして
x軸との交点のうち最も右端にあるもののx座標の値の範囲を
考えることにより(実際にグラフを描きましょう)、
求めるcの値の範囲は
2＜c＜3

(2)
前半)
条件から
↑AB=(b-a,b^2-a^2)
↑AC=(c-a,c^2-a^2)
ここで
↑x=(A,B)
↑y=(C,D)
で張られた三角形の面積Tが
T=(1/2)|AD-BC|
となることを使ってもよいとすると
S=(1/2)|(b-a)(c^2-a^2)-(b^2-a^2)(c-a)|
a＜b＜cに注意してこれを整理すると
S=(1/2)(b-a)(c-a)(c-b)
=(1/2)(b-a){c^2-(a+b)c+ab} (E)
ここで(A)'より
a+b=3-c (A)"
∴(C)より
ab=-(a+b)c
=(c-3)c (C)'
(A)"(C)'から
(b-a)^2=(a+b)^2-4ab
=(c-3)^2-4(c-3)c
=-3(c-3)(c+1)
∴b-a=√{-3(c-3)(c+1)} (F)
(A)"(C)'(F)を(E)に代入して
S=(1/2){c^2-(3-c)c+(c-3)c}√{-3(c-3)(c+1)}
=(3/2)(c-2)c√{-3(c-3)(c+1)}

後半)
前半の結果を使い、(1)の結果の範囲で
cに関するSの増減表を書くのが
基本的な方針となるのですが
前半の結果を見れば分かる通り、かなり煩雑です。
そこで少し置き換えをしてみます。

前半の結果をもう少し変形すると
S=(3/2)(c^2-2c)√{-3(c^2-2c-3)}
=(3/2){(c-1)^2-1}√{-3{(c-1)^2-4}}
∴(c-1)^2=uと置くと
S=(3/2)(u-1)√{-3(u-4)} (G)
で(1)の結果から
1＜u＜4 (H)
(G)の範囲で(H)の増減表を書くことを考えて
dS/duを求めることにすれば
いくらか計算は簡単になります。

注)
ちなみに
u=√{-3{(c-1)^2-4}}
と置き換えればSをuの三次関数で表すことができますが
Sを最大とするcの値の計算が煩雑になるので
お勧めはしません。

No.84314 - 2022/12/24(Sat) 16:16:59

☆ Re: 座標 / なみかわ

こんなに分かりやすく、そして丁寧に教えて下さり、本当にありがとうございました！

No.84319 - 2022/12/24(Sat) 21:21:53