主催ヨッシー様
小生は65才過ぎの老人素人の数学愛好家です。
たまたま、このホームページを見付け、質問が可能らしい
のでメールました。
最近、既に閉鎖状態になっていながらも閲覧可能なあるホ
ームページさて、次のような問題を見付けました。この問
題にヨッシーさんなる方からの解答が寄せられていました。
「三角形ＡＢＣの∠Ａの三等分線とＢＣの交点をＰ、Ｑと
します。ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４ のとき、ＡＢ、
ＡＣの長さを求めてください。」
答は、ＡＢ＝20√（2/11）、ＡＣ＝4√（35/11）でした。
これを解いたヨッシーさんはすばらしいと思いました。
これからが小生の質問です。次の問題をご覧ください。
「三辺の長さが、ＡＢ＝20√（2/11）、ＢＣ＝12、ＡＣ＝
4√（35/11）なる三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの三等分線
とＢＣの交点をＰ、Ｑとしたとき、ＢＰ、ＰＱ、ＱＣのそ
れぞれの長さを求めてください。」
これは初めの問題の逆の問題を小生が文書化したものです。
最初の問題を基にしているので、解答は最初からわかって
いて、答は ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４ になります。
ところが、いざ、解答に取り組むと意外に難しく、角の二
等分線の公式を使って求めようとすると、式が暴発してし
まいました。もし、この問題の解き方をご存知であれば、
指南して頂けないでしょうか。宜しくお願い致します。
ばたやん
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No.45397 - 2017/08/15(Tue) 09:46:02
| ☆ Re: 角の三等分線 / らすかる | | | 角の二等分線に関する定理から
AB・PQ=AQ・BP
AP・QC=AC・PQ
AP^2=AB・AQ-BP・PQ
AQ^2=AP・AC-PQ・QC
見やすくするために
AB=c, AC=b, AP=p, AQ=q, BP=u, QC=vとおくとPQ=12-u-vなので
c(12-u-v)=qu … (1)
pv=b(12-u-v) … (2)
p^2=cq-u(12-u-v) … (3)
q^2=bp-(12-u-v)v … (4)
(1)から q=c(12-u-v)/u … (5)
(2)から p=b(12-u-v)/v … (6)
(5)(6)を(3)に代入して整理すると
b^2(12-u-v)u=(c^2-u^2)v^2 … (7)
(5)(6)を(4)に代入して整理すると
c^2(12-u-v)v=(b^2-v^2)u^2 … (8)
(7)-(8)を整理すると
u=12c^2v/{12b^2-(b^2-c^2)v} … (9)
(7)にb^2=560/11,c^2=800/11を代入して整理すると
560(12-u-v)u=(800-11u^2)v^2 … (10)
(9)にb^2=560/11,c^2=800/11を代入して整理すると
u=40v/(28+v) … (11)
(11)を(10)に代入して整理すると
v^3-4v^2-112v+448=0
(v-4)(v^2-112)=0
∴v=4,±4√7
v＞0なのでv=-4√7は不適
v=4√7とすると(11)からu=20(√7-1)/3となり
u+v=4(8√7-5)/3＞4(8×2-5)/3=44/3＞12となり不適
よってv=4、(11)からu=5
従ってBP=u=5, PQ=12-u-v=3, QC=v=4
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No.45398 - 2017/08/15(Tue) 11:56:30 |
| ☆ Re: 角の三等分線 / ばたやん  | | | こんなに早くお解き頂くとは思ってもみませんでした。
ご指南頂きありがとうございました。
しばらく、じっくり研究してみます。
まずは、即答頂きました事、深く御礼申しあげます。
ばたやん
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No.45409 - 2017/08/15(Tue) 17:05:30 |
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