fを区間Iで積分可能な関数とし、aをIの定点、xをIの任意の点として
F(x) = ∫[a,x] f(t)dt
とおく。
そのとき、FはIにおいて連続であることを示せ
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上の問題なのですが、「区間Iで連続である」ことの定義は
∀ε>0, ∀a∈I, ∃δ>0, ∀x∈Iで
|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε
と認識しています。
ただし、教科書の説明では
∀x∈I、δ>0を[x-δ,x+δ]⊂Iとなるようにとり、
|h|<δならば
（中略）
h→0のとき、F(x+h)→F(x)であるから連続
としています。
上の問題において、「FはIにおいて連続である」ことを示すには何を示せばいいのか
混乱してしまいましたので、ご教示いただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。
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No.46207 - 2017/10/08(Sun) 23:18:56
| ☆ Re: 積分関数の証明 / IT | | | どんな教科書ですか？ 積分は、ルベーグ積分ですか？
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No.46209 - 2017/10/09(Mon) 08:45:19 |
| ☆ Re: 積分関数の証明 / tutuz | | | ITさん
解析入門２[松坂]という教科書です。
積分はリーマン積分です。
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No.46213 - 2017/10/09(Mon) 09:03:08 |
| ☆ Re: 積分関数の証明 / 黄桃 | | | 両者は同じことです。
簡単にいえば、
f’(a)の定義として
lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h
としても
lim [x→a] (f(x)-f(a))/(x-a)
としても同じ、というレベルの話です。
ちゃんと説明すると以下のようになります。
>「区間Iで連続である」ことの定義は
>∀ε>0, ∀a∈I, ∃δ>0, ∀x∈Iで
>|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε
この定義を(*)と名付けます。
x∈I,|x-a|<δですから、x∈(a-δ,a+δ)∩I ということです。
>∀x∈I、δ>0を[x-δ,x+δ]⊂Iとなるようにとり、
>|h|<δならば
Iの点xに対してこのようなδが取れたとします。
(*)でのaに対応するものがx、xに対応するものが x+h です。
|x+h-x|=|h|<δ ⇔ x+h∈(x-δ,x+δ)∩I ...(**)
(この区間はすっかりIに含まれている)になっています。
>h→0のとき、F(x+h)→F(x)
ですから、xを固定した時
∀ε>0∃d>0 ∀h |h|<d⇒|F(x+h)-F(x)|<ε
です。dを上のδよりも小さくし、xをa, x+hをyと置き換えれば、
∀ε>0∃d>0 ∀y |y-a|<d⇒|F(y)-F(a)|<ε
です。(**)で述べたように|y-a|<d<δならy∈Iですから、結局
∀ε>0∃d>0 ∀y∈I |y-a|<d⇒|F(y)-F(a)|<ε
であり、これがすべてのa （教科書の説明ではx) で成立するので、
∀a∈I ∀ε>0∃d>0 ∀y∈I |y-a|<d⇒|F(y)-F(a)|<ε
となります。最初の∀は交換できますから、最初の定義と同じです。
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No.46221 - 2017/10/09(Mon) 14:23:13 |
| ☆ Re: 積分関数の証明 / tutuz | | | No.46237 - 2017/10/10(Tue) 08:57:09 |
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