ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / カエル

この問題の解き方と答えがが分かりません。教えてください。よろしくお願いします。グラフがあるとありがたいです。微分の問題だと思います。

No.46274 - 2017/10/14(Sat) 23:25:56

☆ Re: / ヨッシー

(1)
条件を満たすとき、両者を連立させた３次方程式は
　ｍ(ｘ＋ｓ)^2(ｘ－ｔ)＝０　（ｓ＞０）　・・・(i)
となります。ｙを消去すると
　ｘ^3－16x＝－ｘ^3－２ｘ^2＋ａ
　２ｘ^3＋２ｘ^2－１６ｘ－ａ＝０　・・・(ii)
(i) を展開して
　ｍ{ｘ^3＋(２ｓ－ｔ)ｘ^2＋(ｓ^2－2st)－ｓ^2ｔ}
ｍ＝２は確定であり、その他の項の係数を比較すると
　２ｓ－ｔ＝１、ｓ^2－2st＝－８、２ｓ^2ｔ＝ａ
これを、ｓ＞０の条件下で解くと、
　ｓ＝２、ｔ＝３、ａ＝２４　・・・答え

(2)
このとき、両曲線は
　(－２，２４)で接し、(３，－２１) で交わる。
　ｙ＝ｘ^3－16x　を微分して　ｙ’＝３ｘ^2－１６
ｘ＝－２を代入して、
　ｙ’＝－４　
より、点（－２，２４）における接線の傾きは　ー４　であり、
求める式は
　ｙ＝－４ｘ＋１６　・・・答え(2)

(3)

グラフは図のようになります。
青が　ｙ＝ｘ^3－16x
赤が　ｙ＝－ｘ^3－２ｘ^2＋２４
直線はｌです。（この問題には関係ありませんが）

求める面積は
　∫[-2～3]{(－ｘ^3－２ｘ^2＋２４)－(ｘ^3－16x)}dx＝625/6　・・・答え

No.46276 - 2017/10/15(Sun) 00:54:23

☆ Re: / カエル

なぜ(i)のような式ができるんですか？

No.46338 - 2017/10/18(Wed) 11:54:44

☆ Re: / ヨッシー

一般的には、３次方程式
　ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０
の解をα、β、γ とすると、
　ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)
と書けます。これは、普通に与えられた３次方程式でも、
２つの３次関数から、ｙを消去して出来た３次方程式でも同じです。
前者は、α、β、γ が、
　ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
のグラフとｘ軸との交点のｘ座標となり、
後者は、２つのグラフの交点のｘ座標となります。

「共通接線がある」ということは、上の図のｘ＝－２の部分のように、
両グラフが接していないとダメですから、この点で、３次方程式は重解を持ちます。つまり、αとβが等しくなった、
　ａ(ｘ－α)(ｘ－α)(ｘ－γ)＝ａ(ｘ－α)^2(ｘ－γ)
という形の式です。
（ｘ＋ｓ）の部分は、（ｘ－ｓ）でも良いのですが、その場合は、ｓ＜０における解を求めることになります。

No.46339 - 2017/10/18(Wed) 13:34:42

★ (No Subject) / すぬぴ

高3です。
iPhoneで投稿しているため、画質が悪かったら申し訳ありません。

⑴の答えは6√6で、⑵の答えは6√2です。
⑶が分かりません。
よろしくお願い致します。

No.46272 - 2017/10/14(Sat) 22:46:01

☆ Re: / ヨッシー

解法１
ＡＢ＝ｘと置いて、∠Ｂに関する余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2－２ＡＢ・ＢＣcosＢ
　２１６＝ｘ^2＋１４４－１２ｘ
　ｘ^2－１２－７２＝０
　ｘ＝６±√１０８＝６±６√3
ｘ＞０　より　ｘ＝６＋６√3

解法２
正弦定理より
　ＡＢ＝１２√2sin75°
ここで
　sin75°＝sin(30°＋45°)
　　＝(√2＋√6)／４
より
　ｘ＝６＋６√3

No.46275 - 2017/10/14(Sat) 23:36:51

☆ Re: / らすかる

別解
CからABに垂線CHを下ろすと
AH=CH=(√3/2)BC=6√3, BH=(1/2)BC=6なので
AB=AH+BH=6√3+6

No.46277 - 2017/10/15(Sun) 04:41:33

★ (No Subject) / 数学不得意

説明の考え方がよくわかりません。解説よろしくお願いします。

No.46255 - 2017/10/11(Wed) 23:25:36

☆ Re: / ヨッシー

図のように同じたばを、もう一つ持ってきてくっつけると
　ｎ＝１のとき：３本の列が２段
　ｎ＝２のとき：４本の列が３段
　ｎ＝３のとき：５本の列が４段
となります。
では一般のｎ番目のたばの時は？

No.46257 - 2017/10/12(Thu) 00:32:22

☆ Re: / 数学不得意

（ｎ＋２）の列が（ｎ＋１）段できるのですね。

No.46259 - 2017/10/12(Thu) 07:27:59

☆ Re: / ヨッシー

そうですね。

そしてそれは、たばを２つ持ってきたときの本数なので、
たば１つ分にするために２で割っています。

No.46260 - 2017/10/12(Thu) 08:56:48

★ データの分析 / デンさん

この問題が分かりません
次のデータは、ある商品の４日間の売り上げ個数である。
A,B,58,C
このデータの平均値は58個、範囲が22個、分散は66.5であり、B<C<58<Aが成り立っている。
このときのA,B,Cの値を求めよ。

No.46254 - 2017/10/11(Wed) 22:35:13

☆ Re: データの分析 / ヨッシー

範囲というのは　Ａ－Ｂ　のことですかね？
だとすると、
　Ａ＝５８＋ｘ
　Ｂ＝５８＋ｘ－２２
と置き。平均を５８にするために
　Ｃ＝５８－２ｘ＋２２
と置きます。
分散を計算すると
　{ｘ^2＋(ｘ－２２)^2＋(－２ｘ＋２２)^2}／４＝（３ｘ^2－66x＋484）／２＝６６．５
　3x^2－66x＋351＝０
３で割って
　x^2－22x＋117＝０
　(ｘ－９)(ｘ－１３)＝０
　ｘ＝９，１３
それぞれ
　（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（６７，４５，６２）
　（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（７１，４９，５４）
となり、Ｂ＜Ｃ＜５８＜Ａ　を満たすのは、
　（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（７１，４９，５４）
です。

No.46261 - 2017/10/12(Thu) 10:05:57

★ 数列 / 東大夢見る浪人生

こちらの問題が全くわかりません。
教えて下さい。お願いします。

No.46252 - 2017/10/11(Wed) 21:30:26

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(1)
ａ_n＝ｓｎ＋ｔと置きます。
　ａ₂＝２ｓ＋ｔ＝－５３
　ａ₃－２ａ₄＝－５ｓ－ｔ＝４１
これらを解いて
　ｓ＝４，ｔ＝－６１
以上より
　ａ_n＝４ｎ－６１
(2)
ｎ≧２のとき
　ｂ_n＝Ｓ_n－Ｓ_n-1＝２ｎ－１３
これは
　ｂ₁＝Ｓ₁
を満たすので、任意の自然数ｎについて
　ｂ_n＝２ｎ－１３
(3)
　(左辺)＝(５７＋５３＋・・・＋１)＋(３＋７＋１１＋１５＋１９)
　　＝４３５＋５５＝４９０
　(右辺)＝２ｎ²－１３ｎ
ｎで微分すると　４ｎ－１３　なので、
ｎ＝３までは減り続け、ｎ＝４以降は増え続ける。
　２ｎ²－１３ｎ＝４９０
を解くと、
　ｎ＝(13±√4089)/4
　(13＋√4089)/4≒１９　であり、
ｎ＝１９　のとき　ｎ・ｂ_n＝４７５
ｎ＝２０　のとき　ｎ・ｂ_n＝５４０
よって、求めるｎは　ｎ＝２０

No.46256 - 2017/10/12(Thu) 00:00:39

★ 方程式 / あ

この画像の17の解説の⑵と⑶のyを満たす、満たさないがわかりません。教えてくださいお願いします。

No.46250 - 2017/10/11(Wed) 20:36:42

☆ Re: 方程式 / あ

横向きになってしまってすいません
お願いします

No.46251 - 2017/10/11(Wed) 20:38:22

☆ Re: 方程式 / ヨッシー

　(ａ＋１)(ａ－３)ｙ＝－（ａ＋１）・・・(3)
において、

ａ＝３を代入すると
　０＝－４
となります。これは、ｙがどんな値でも、
　０＝－４
という、あり得ない式になるので、(3) を満たすｙは存在しません。

ａ＝－１　を代入すると
　０＝０
となります。これは、ｙがどんな値でも必ず
　０＝０
という、当たり前に成り立つ式になるので、(3) を満たすｙは無数にあります。

ｙを含まない式になった時、その式が
　あり得ない式なら、ｙは存在しない
　成り立つ式なら、ｙは無数にある
と理解しましょう。

No.46263 - 2017/10/12(Thu) 18:30:10

★ 確率 / rua

赤玉3個白玉6個が入っている袋の中から、無作為に玉を1個ずつ取り出す試行を続ける。ただし、取り出した玉は袋には戻さないものとする。
赤玉が先に袋の中からなくなる確率は？

解答には、赤玉が先に袋の中からなくなるのは、最後の9個目が白玉である場合で、求める確率は6/9=2/3とありますが、解説の意味は分かるんですが、どうして6/9となるのかが分かりません。よろしくお願いします！

No.46241 - 2017/10/10(Tue) 19:43:18

☆ Re: 確率 / らすかる

何個目かにかかわらず、白玉を引く確率は
(白玉の個数)÷(全部の個数)=6/9
となります。

No.46242 - 2017/10/10(Tue) 19:56:23

☆ Re: 確率 / IT

らすかるさんの御回答のとおりですが

納得しにくかったら、
AからIまでの記号ついた玉でA,B,Cが赤玉、その他が白玉とし

これらの９個の玉を無作為に並べると考えるとどうでしょうか。
（すでに納得済みなら無視してください）

No.46246 - 2017/10/11(Wed) 07:58:21

☆ Re: 確率 / IT

具体的にすべての場合を考えるなら赤玉１個、白玉２個のとき　を考えてもいいですが。　
（赤玉１０個、白玉９０個などと数が増えると難しいですね。）

No.46247 - 2017/10/11(Wed) 08:29:56

★ 微分 / あ

y=3x+(1/2)上の点P(p,q)から放物線y=x^2の法線は何本引けるかしらべよ、ただし法線とは放物線乗の点でその点における接線に直交する直線
という問題の解説です。したのほうのここで、からのところがよくわからないので教えてください。

No.46238 - 2017/10/10(Tue) 17:56:50

☆ Re: 微分 / X

求める法線の本数は、解説に書かれているg(t)について
横軸にt、縦軸にg(t)を取ったグラフと
t軸との交点の個数
となることはよろしいですか？

ということでg(t)のグラフを描くために
g'(t)を計算して増減表を書くことが
必要になっています。
そのための場合分けが(i)(ii)(iii)です。
但し(i)(ii)についてはいずれも
g(t)が単調増加
になっているので増減表は書かれていません。

No.46239 - 2017/10/10(Tue) 18:42:34

☆ Re: 微分 / あ

回答ありがとうございます。
1/16というのはどこから出てきた数字なんでしょうか？

No.46243 - 2017/10/10(Tue) 20:18:56

☆ Re: 微分 / X

g(-√p)＜0
をpの不等式と見たときの解です。
解けないようなら
√p=u
と置いてみましょう。

No.46244 - 2017/10/10(Tue) 23:06:58

☆ Re: 微分 / あ

やって見ます。本当にありがとうございます！

No.46245 - 2017/10/10(Tue) 23:34:06

★ log / 夜ご飯

この変形がわかりません。すごくできないのでわかりやすくお願いします、、

No.46228 - 2017/10/09(Mon) 17:59:19

☆ Re: log / IT

手書きの矢印のところですか？

No.46230 - 2017/10/09(Mon) 18:38:13

☆ Re: log / 夜ご飯

そうです。お願いします。

No.46233 - 2017/10/09(Mon) 19:52:17

☆ Re: log / IT

1+log[3](7-x)
　1=log[3]3を代入
=log[3]3+log[3](7-x)
　log[3]A+log[3]B=log[3](AB) なので
=log[3]3(7-x)

(1/2) は省略してます。

No.46234 - 2017/10/09(Mon) 20:01:46

☆ Re: log / 夜ご飯

ありがとうございます！！

No.46235 - 2017/10/09(Mon) 20:21:12

★ 正方形 / キルキン

正方形の中に大きな正方形１つと小さな正方形６個があるとき、大きな正方形は小さな正方形の何倍か

という問題は成り立ちますか？
成り立つ場合、どのような図形か教えて下さい。

※確認が遅くなりましたが、No.46160の天秤算の件ご回答ありがとうございました。理解しました。

No.46225 - 2017/10/09(Mon) 16:58:11

☆ Re: 正方形 / 量子

「問題が成り立つ」の意味が分からないし、どのような図形って、正方形だって自分でいってるし、正方形が内接してるのかただ入ってるだけなのかも分からないし、全く以て質問として何を言いたいのか分からない。

No.46226 - 2017/10/09(Mon) 17:07:40

☆ Re: 正方形 / キルキン

もっと直截に申し上げますと

「正方形の中に大きな正方形１つと小さな正方形６個があるとき、大きな正方形は小さな正方形の何倍か」
この状況を図または言葉で教えて下さい、ということです。
これ以外の情報は与えられていません。

ただし、問題の記憶違いの可能性がないとは言い切れず、その場合は解を導くのが難しいでしょうから
念のためまず問題として成り立つかを確認して頂こうと思った次第です。

No.46227 - 2017/10/09(Mon) 17:43:50

☆ Re: 正方形 / らすかる

全く問題になっていません。
例えば
最初の正方形の1辺が1mで「大きな正方形」の1辺が11cm、
「小さな正方形」の1辺が10cmならば1.1倍になりますし、
最初の正方形の1辺が1kmで「大きな正方形」の1辺が100m、
「小さな正方形」の1辺が1mmならば100000倍というように
いくらでも可能性があり、
数学の問題として意味がありません。

No.46229 - 2017/10/09(Mon) 18:12:11

☆ Re: 正方形 / キルキン

ありがとうございます。

もし一番大きな正方形の内部が、大きな正方形１つ＋小さな正方形６つのみで構成されているとしても、問題として成り立ちませんか？

No.46232 - 2017/10/09(Mon) 19:15:16

☆ Re: 正方形 / らすかる

それは不可能だと思います。

No.46236 - 2017/10/09(Mon) 20:40:50

☆ (No Subject) / キルキン

ありがとうございます、英文だったこともあり、問題自体の読み取りを間違えたのかもしれません。

No.46240 - 2017/10/10(Tue) 19:21:24

★ 都立入試関数の問題です / ちりり

すみません！
写真貼り忘れました。
こちらの問2と問3です。

No.46222 - 2017/10/09(Mon) 14:24:50

☆ Re: 都立入試関数の問題です / 量子

問2)直線mをy=Ax+Bとする。すると、直線mとlの交点Pのx座標は、
Ax+B=-x+5
より、
(5-B)/(1+A)
である。一方、点Aのx座標は
-4
である。よって、(5-B)/(1+A)=4.......................................................?@
を満たすA,BはAQ=QPを成立させる。また、直線mは(-4,3)を通過するため、3=-4A+B..................................................................................?A
も成立。?@の分母を払い、5-B=4+4A................................................?B
?AのBを移項し、両辺に-1を掛けると、
B-3=4A
これを?Bに代入し、5-B=4+B-3=1+B
従って、B=2　よって、A=-1/4
以上より、直線mはy=-x/4+2

問３は解くの面倒だから書かないけど、もうわかったでしょ。簡単だし。

No.46223 - 2017/10/09(Mon) 16:43:07

★ 数列 / バター

状況:
(2)
(ア)103≦b_n<104より、n＝78？(ガウス記号の処理が合ってるか自信ありません)と一応解けて
(イ),(ウ)が分かりません。
※
(イ)は「b_nの最小が50になるようなnを求めよ」という意味なのでしょうか？
(ウ)はまったく見当がつきません。

ご回答お待ちしています。よろしくお願いします。

No.46216 - 2017/10/09(Mon) 11:32:58

☆ Re: 数列 / バター

訂正
「b_nの最大が50であるようなnを求めよ」という意味なのでしょうか？

No.46217 - 2017/10/09(Mon) 11:36:10

☆ Re: 数列 / IT

> 「b_nの最大が50であるようなnを求めよ」という意味なのでしょうか？

違います。「b_nの最大が50であるようなn」は意味不明です。また,b_n=50 となるn があるとは限りません。

{b_n} は、１から始まり増加する数列で、かつ、いくらでも大きくなるので、どこかで50より大きくなります。

すなわち、ある自然数kがあって　b_k≦50＜b_[k+1]となります。
このkを見つけて、b_1+b_2+...+b_k を求める。　ということです。

No.46218 - 2017/10/09(Mon) 12:26:34

☆ Re: 数列 / バター

返信に気づくのが遅れました。申し訳ありません。
改めて自分の質問を読むとたしかに意味不明でした…

解決しました！ありがとうございます。

No.46554 - 2017/10/28(Sat) 05:51:41

★ 考え方について / 焼きとり

2x^3+3x^2-12x-k=0
は異なる３つの実数解α、β、γをもつとする。α<β<γ
1.定数kの値を求めよ
2. -2<β<1/2となるときα、γの値を求めよ

この問題の2で、解説にある「またf(x)=20...」のところからよくわかりません。なぜ、f(x)=20を計算するのでしょうか

No.46211 - 2017/10/09(Mon) 08:50:21

☆ Re: 考え方について / 焼きとり

解説のつづきですよろしくお願いします。

No.46212 - 2017/10/09(Mon) 08:51:15

☆ Re: 考え方について / X

まず(1)の計算過程のf(x)の増減表から
-2＜β＜-1/2
のとき
f(-1/2)＜k＜f(-2)
つまり
13/2＜k＜20
となることはよろしいですか？

このことに注意して
y=f(x) (A)
y=13/2 (B)
y=20 (C)
のグラフの交点を考えたのが
添付の写真の二枚目の左上の
グラフです。
(但し(B)(C)のグラフは点線になっています)
この図においてα、γの値の範囲の
一方の端点はそれぞれ、方程式
f(x)=20
f(x)=13/2
の解の一つになっています。

No.46214 - 2017/10/09(Mon) 09:22:43

☆ Re: 考え方について / 焼きとり

理解できました。ありがとうございます！

No.46219 - 2017/10/09(Mon) 13:43:58