a,bを0でない実数とする。複素数α＝a+biを用いて、複素数z_n＝x_n+y_ni（x_n,y_nは実数）をz_0＝1,z_（n+1）=αz_n（n＝0,1,2,…）により定める。ただしiは虚数単位である。
x_3<0かつy_3>0であり、さらにx_n>0かつy_n＝0なる最小の正整数nが16であるときb/aの値を求めよ。
某予備校のテキストの問題です！お手数ながら教えてほしいです！
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No.45160 - 2017/08/09(Wed) 22:50:50
| ☆ Re: 高2 / IT | | | もう少し、すっきりした解法や記述法があるかも知れませんがとりあえず。
arg(α)=θとおくとarg(z_n)=nθ
x_n>0かつy_n＝0なる最小の正整数nが16
x_16>0かつy_16＝0 であることから、
16θ=2mπ,(m は整数)とおける。
θ=(m/8)π
16の最小性から
m/8,2m/8,3m/8,,....,15m/8 に2の倍数はない
よって8m は16の倍数でない。すなわちmは奇数。
したがって、θ=((2h+1)/8)π, h=0,1,2,3,4,5,6,7
3θ=((6h+3)/8)πなので、h=0,1,2,3,4,5,6,7に応じて
3θ=(3/8)π,(9/8)π,(15/8)π,(21/8)π,(27/8)π,(33/8)π,(39/8)π,(45/8)π
0から２πまでの角で表すと(3/8)π,(9/8)π,(15/8)π,(5/8)π,(11/8)π,(1/8)π,(7/8)π,(13/8)π
このうち x_3<0かつy_3>0 を満たすのは(5/8)π,(7/8)π
すなわちh=3,6 , θ=(7/8)π,(13/8)π
よって b/a = tanθ＝ tan(7/8)π,tan(13/8)π
あとは半角公式で求める。
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No.45177 - 2017/08/10(Thu) 01:57:44 |
| ☆ Re: 高2 / IT | | | ｚ^16=1 の 原始根関連の問題ですね。
（原始根」は、大学で出てくると思います。）
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No.45182 - 2017/08/10(Thu) 08:36:05 |
| ☆ Re: 高2 / IT | | | 下記のような解答が少しすっきりしているかも。
|α｜＝1のときを考えれば良いことをうまく言えば、もっとすっきりすると思います。
（略解)行間を埋める必要があります.
定義より,z_n＝α^n.
z_3≠0なので,α≠0.
β＝α/|α| とおくと,|β|=1でβはαと偏角が等しい.
よってβ^n はα^n と偏角が等しい.
x_16>0かつy_16＝0より,β^16＝1.
よってγ＝cos(2π/16)+isin(2π/16)とおくと, β＝γ^k (k=0,1,2,...,15).
x_n>0かつy_n＝0なる最小の正整数nが16であることから,kは奇数.
したがって,β＝γ^k (k=1,3,5,...,15).
x_3<0かつy_3>0よりβ^3＝γ^(3k)は第２象限なので,k=7,13.
よって,β＝cos(7*2π/16)+isin(7*2π/16),cos(13*2π/16)+isin(13*2π/16).
よって,b/a=tan(7π/8),tan(13π/8).
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No.45232 - 2017/08/10(Thu) 22:57:44 |
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