問題
n=0,1,2,…に対して、I[n]=∫[0,π/4](tanx)^ndxと定義する。ただし、(tanx)^0=1とする。
(1)n=0,1,2,…に対して、I[n]+I[n+2]=1/(n+1)を示せ。
(2)n=0,1,2,…に対して、
S[n]=1-(1/3)+(1/5)-…+{(-1)^(n-1)}/(2n-1)
T[n]=(1/2)-(1/4)+(1/6)-…+{(-1)^(n-1)}/2n
とする。S[n]およびT[n]を、I[0],I[1],I[2n],I[2n+1]を用いて表せ。
(3)lim[n→∞]S[n]=π/4,lim[n→∞]T[n]=(log2)/2を示せ。
それぞれの問いについて、方針を簡潔に教えてください。宜しくお願いします。
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No.45539 - 2017/08/21(Mon) 02:51:57
| ☆ Re: / angel | | | (1)
tanx の出てくる積分なので、(tanx)'=1/(cosx)^2 を活かせば、
∫(tanx)'(tanx)^k dx = 1/(k+1)・(tanx)^(k+1)+C と合わせて、
∫1/(cosx)^2・(tanx)^k dx = 1/(k+1)・(tanx)^(k+1)+C
が使えます。
その形に持っていくことを目指しましょう。
(2)
(1)の結果をそのまま使います。
例えば、1=1/1=I[0]+I[2], 1/3=I[2]+I[4], 1/5=I[4]+I[6], … というところから、
S[n]=1-(1/3)+(1/5)-… =(I[0]+I[2])-(I[2]+I[4])+(I[4]+I[6])-…
これは、途中のI[2]やI[4]が相殺しますので、最初と最後が残る、分かり易い形になります。
T[n]の方もIの添え字が1つずれて奇数になるだけで、似たような結果になります。
(3)
(2)の結果を活用するわけですが、n→∞ で I[n] がどうなるか。それがミソです。
で、ご都合主義的に I[n]→0 になります。
なぜそうなるか、は、示す必要があります。
もう一つ、I[0],I[1]の値をここで計算しておく必要があります。I[0]は明らかですが I[1]は…。
ただ、答えからして log が絡んでることが分かるのは大きなヒント。∫f'(x)/f(x) dx = log|f(x)|+C が使えることを示唆しています。
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No.45548 - 2017/08/21(Mon) 22:58:28 |
| ☆ Re: / 三千大千世界 | | | angelさん
絶妙なアドバイスを有難うございました。お陰様で、無事答えにたどり着くことができました！
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No.45558 - 2017/08/22(Tue) 10:55:59 |
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