大学数学統計学の問題です。どなたかご教授お願いします。
確率変数 Z が標準正規分布に従い，確率変数 X が平均 1，分散 9 の正規分布に従っている.Z と X は独立としたとき，以下の問いに答えよ.
(a)P (Z < 1.64) を求めよ. (b)P (X ≤ 0) を求めよ.
(c)P (0 < X ≤ 1.5) を求めよ. (d)P (X − 3Z > −3) を求めよ.
(e)P (Z > a) = 0.9032 となる定数 a を求めよ.
(f)P (X − √7Z > b) = 0.4602 となる定数 b を求めよ.
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No.84518 - 2023/01/08(Sun) 21:35:22
| ☆ Re: 大学数学 統計学 / ポテトフライ | | | まず、次の補題を認めておきます。（証明は確率統計の教科書にあるでしょう）
補題（正規分布の再生性）
確率変数X_1,X_2がそれぞれ正規分布N(m_1,σ_1^2),N(m_2,σ_2^2)に従うとする。
このとき確率変数a_1X_1+a_2X_2は正規分布N(a_1m_1+a_2m_2, a_1^2σ_1^2+a_2^2σ_2^2)に従う。
今回の問題はX~N(1,3^2),Z~N(0,1^2)であり、Xを標準化する、すなわち
Z=(X-1)/3
となっています。
割り切れない分数は小数点以下第3位を四捨五入して計算するものとします。
(a)標準正規分布表を見ましょう。
(b)標準化と標準正規分布の対称性からP(X≦0)=P(Z≦-1/3)= P(Z≦-0.33)= P(Z>0.33)
(c) P(0<X≦1.5)=P(-1/3<Z≦1/6)=P(-0.33<Z≦0.17)
あとは(b)と同様に標準正規分布の対称性で計算しましょう。
(d)補題からX-3Z~N(1,18)である。このときY=X-3Zとすれば
P(Y>-3)=P(Z>-2/9)=P(Z>-0.22)
(e)標準正規分布表を見ましょう。
(f) 補題からX-√7Z~N(1,16)である。このときW= X-√7Zとすれば
P(W>b)=P(Z>(b-1)/16)=0.4602となるbを標準正規分布表から探す。
※今回は正規分布が再生性をもっていることから、大変な計算することはほとんどありません。
一般に確率変数の和の密度関数は畳み込み積を用いるので非常に大変です。
（と言っても異なる分布に従う確率変数を考えることはほとんどないかと思います。
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No.84530 - 2023/01/12(Thu) 13:02:17 |
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