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★ 微分 / rua
関数f(x)=x^3+3x^2+kxが常に増加するように、定数kの値の範囲を定めよ。
ヒントには常にf'(x)≧0であればよいと書かれていて、式をつくってみましたが、よく分かりません。解答はk≧3です。
よろしくお願いします
No.45059 - 2017/08/04(Fri) 15:12:34
☆ Re: 微分 / ヨッシー
その、作ってみた式を書いてもらえますか？
それによって、説明のポイントが違ってきます。

その式が違っていれば、微分のやり方の説明になりますし、
その先が解けないなら二次不等式の説明になりますし、
また、そもそも、「常に増加」が「常にf'(x)≧0」につながることを
理解されているのかも気になります。
No.45061 - 2017/08/04(Fri) 15:51:06
☆ Re: 微分 / rua
f'(x)=3x^2+6x+k≧0
k≧-3x^2-6x
k≧-3x(x+2)
つくった式です
No.45063 - 2017/08/04(Fri) 16:23:58
☆ Re: 微分 / ヨッシー
では、微分は出来ていますので、二次不等式の説明になります。
　3x^2+6x+k≧0
が常に成り立つには　(判別式)≦０　というのは
習いませんでしたか？
　
No.45064 - 2017/08/04(Fri) 16:54:41
☆ Re: 微分 / rua
習いました！判別式使って解けました
丁寧にありがとうございました！
No.45065 - 2017/08/04(Fri) 18:15:45
★ (No Subject) / A
こんにちは。今から二枚の画像を貼ります。

二枚目の緑マークしたところの意味がわかりません。
d_（n+6）-d_nが6の倍数だとわかって、なぜ、r_（n+6）=r_nとなるのですか？
答えは分かったのですが、この意味がよくわからなくてモヤモヤします。

具体例などをあげてくれるとうれしいです。
No.45052 - 2017/08/04(Fri) 11:00:29
☆ Re: / A
二枚目です。よろしくお願いします。
スッキリしたいですm(__)m
No.45053 - 2017/08/04(Fri) 11:01:20
☆ Re: / A
質問に答えてくださる方に手間をかけさせたくないので、一応解答も載せておきます。
No.45054 - 2017/08/04(Fri) 11:04:18
☆ Re: / ヨッシー
ある整数ａ，ｂに対して
　d[n]＝６ａ＋r[n]
　d[n+6]＝６ｂ＋r[n+6]
と書けます。下の式から上の式を引いて
　d[n+6]−d[n]＝６(ｂ−ａ)＋r[n+6]−r[n]
この右辺が６の倍数であるなら、r[n+6]−r[n] も６の倍数です。
ところが r[k] (k は任意の自然数) は、0以上5以下の整数なので、
　−５≦r[n+6]−r[n]≦５
であり、r[n+6]−r[n]＝０ に限られます。
よって、r[n+6]＝r[n] です。

具体例は　d[n]＝n など。
No.45055 - 2017/08/04(Fri) 11:21:23
★ 数II / rua
6番(2)教えてください
(1)がV=πx^2(18-2x) (0<x<9)となるところまで分かりました
解答は6cmです
No.45050 - 2017/08/04(Fri) 00:24:59
☆ Re: 数II / X
V'を計算して
0＜x＜9
におけるVの増減表を書きましょう。
No.45051 - 2017/08/04(Fri) 06:03:17
★ (No Subject) / 16
一つ目の式が二つ目の式となる過程(変形の仕方)が分かりません。教えてください。高校です
No.45045 - 2017/08/03(Thu) 23:46:50
☆ (No Subject) / 16
すみません、件名を入れ忘れてしまいました。確率の問題の一部分、指数のある分数の計算です
No.45047 - 2017/08/03(Thu) 23:56:13
☆ Re: / angel
分数としての足し算のため、通分しているところですね。

例えば 3項目の +1/3・1/6・(1/2)^3 → +2・3^3/(2^5・3^5) の所なら、次のようになっています

1/3・1/6・(1/2)^3
= 1/3・1/(2・3)・(1/2)^3
= 1/(2^4・3^2)
= 2・3^3/(2^5・3^5)　　← 分子は 2^(5-4)・3^(5-2) で計算

なお通分後の分母 2^5・3^5 は、各項の分母の2のべき乗、3のべき乗の指数を見て決めています。
良くある「各分母の最小公倍数」として、「2,3それぞれの指数の最大値を指数にする」という対処です。
No.45048 - 2017/08/04(Fri) 00:00:51
☆ Re: / 16
angelさん
理解することができました！
答えにたどり着けました。！
分かりやすく教えてくださり本当にありがとうございました。
No.45049 - 2017/08/04(Fri) 00:18:42
★ 二項分布の問題です / WNB
N回中r回赤玉が出る確率は、
N!/r!（N-r）！×（θ/n)*r・(n-θ/n)*N-r
とのことですが、

N個並べるときにr個赤玉を並べるすべての並べ方の数が
N!/r!（N-r）！となるのはなぜなんでしょうか。

また、N!/r!（N-r）！と（θ/n)*r・(n-θ/n)*N-rはかけちゃって大丈夫なんでしょうか…？
No.45043 - 2017/08/03(Thu) 23:04:26
★ (No Subject) / まさる
ガウスの発散定理をつかったら４πになったのですがどこが間違っていますか
No.45034 - 2017/08/03(Thu) 20:21:50
☆ Re: / X
↑F・↑n=xy^2+(2y^2)z+3z^2 (A)
のzに関する偶奇を考えていません。
(A)の
第二項はzに関して奇関数
第一項、第三項はzに関して偶関数
になっていますので
∬[S]↑F・↑ndS=2∬[S[1]](xy^2+3z^2)dS
となります。
No.45036 - 2017/08/03(Thu) 22:17:57
☆ Re: / まさる
それは必要ですか？
No.45037 - 2017/08/03(Thu) 22:22:02
☆ Re: / X
必要です。
私の書いたような処理をせずに
∬[S[1]]↑F・↑ndS
∬[S[2]]↑F・↑ndS
を計算するのであれば
∬[S[1]]↑F・↑ndS=∬[S[2]]↑F・↑ndS
とはなりません。

重積分ではありませんが
例えば
∫[-1→1]xdx
を計算する場合、xは奇関数ですので
∫[-1→1]xdx=0
となりますが、積分範囲がx=0に関して
対称だからと言って、
∫[-1→0]xdx=∫[0→1]xdx
とはなりませんよね？それと同じです。
No.45039 - 2017/08/03(Thu) 22:42:38
☆ Re: / X
もう少し別の角度で考えましょうか。
S[1]における面積分でD[1]へ射影した後に
z=√(1-x^2-y^2) (P)
としてzを消去しますよね？
S[2]における面積分でD[1]に射影する場合は
(P)の代わりに
z=-√(1-x^2-y^2)
を使う必要があります。
No.45040 - 2017/08/03(Thu) 22:48:54
☆ Re: / まさる
お手数ですが正しい解答がどういう式になるのか書いてもらえますか？
No.45044 - 2017/08/03(Thu) 23:24:40
☆ Re: / X
ではNo.45036の
∬[S]↑F・↑ndS=2∬[S[1]](xy^2+3z^2)dS (B)
の続きから。
(B)においてまさるさんの方針と同様に
S[1]をxy平面に関する正射影であるD[1]に
変換し、更に極座標に変換した後、
θについての積分を行うと、最終的に
∬[S]↑F・↑ndS=2・2π∫[0→1]{3r√(1-r^2)}dr
となります。
(まさるさんがNo.45034で添付した写真の
下から4行目の式と見比べてみて下さい。)
この積分を計算することにより
∬[S]↑F・↑ndS=4π
となります。
No.45056 - 2017/08/04(Fri) 12:20:33
☆ Re: / X
まさるさんのS[1]に関する面積分の結果の二倍が
求める面積分の値である、という考えが頭から
離れないようであれば、まさるさんのS[1]に関する
面積分の計算方針と同様な方針で
∬[S[2]](↑F・↑n)dS
を計算してみて下さい。
(但し、No.45040にも書きましたが
z＜0となることに注意しましょう。)
恐らく結果は
∬[S[2]](↑F・↑n)dS=3π/2
になると思います。
No.45057 - 2017/08/04(Fri) 12:25:12
★ 範囲について / isolate
対数方程式なんですけど写真の通りです。お願いします。
No.45030 - 2017/08/03(Thu) 19:39:13
☆ Re: 範囲について / ぽけっと
√2と(√(30))/5の大小関係が知りたいということですね

そのまま眺めていてもよく分からないかもしれませんが，数学に慣れている人が見れば「両辺5倍したいな」という気持ちになります．

正の数5をかけても大小関係は変わらないので，結局
√50と√30の大小関係
が分かればいいということになります

ここまでくれば明らかですね
No.45031 - 2017/08/03(Thu) 19:46:26
☆ Re: 範囲について / たなお
こんばんは。
質問の意図としては「√3、√2 が本当に√(30)/5より大きいのか？」ということでしょうか？もし質問の意図と違っていたら再度質問願います。

√(30)/5 を変形すると

　　√(30)/5
　= √(30/25)
　= √(6/5)

2 > 6/5 より

　√2 > √(6/5)

以上です。
No.45032 - 2017/08/03(Thu) 19:51:58
☆ Re: 範囲について / たなお
ぽけっとさん

重複してしまいすいません。
No.45033 - 2017/08/03(Thu) 19:53:20
★ 微分方程式 / たなお
微分方程式の問題で、これで合っているのか分からないものがあります。

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＜問題＞
１階微分方程式
　　(ax + by + c)y' + (αx + βy + γ) = 0
について、次のことを証明せよ。

aβ - bα = 0 の場合、t = ax + by とおけば、与えられた微分方程式は、x と t についての変数分離形微分方程式となる。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

自分では以下のようにしてみましたが、あまり綺麗(？)ではないような気がします。
これで問題ないのでしょうか？もっとスマートな証明方法はありますか？
よろしくお願いします。

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＜自分の考え＞
　aβ - bα = 0 より、

　　β/b = α/a
　　∴αx + βy = αt/a　　・・・（１）

　t = ax + by より、

　　y' = (t'-a)/b　　・・・（２）

　与式に（１）（２）を代入し、

　　　(t + c)(t' - a)/b + (αt/a + γ) = 0
　　⇔a(t + c)(t' - a) + b(αt + aγ) = 0
　　⇔a(t + c)(t' - a) + aβt + abγ = 0
　　⇔(t + c)(t' - a) + βt + bγ = 0
　　⇔(t + c)t' = (a - β)t + ac - bγ
　　⇔[(t + c)/{(a - β)t + ac - bγ}]t' = 1

　よって変数分離形である。
No.45027 - 2017/08/03(Thu) 17:58:32
☆ Re: 微分方程式 / angel
スマートに…と言いますか、分数を持ち出さない方が見た目分かり易くはあります。

t=ax+by から、
　by=t-ax
　by'=t'-a
と変形しておいて、
※で、b≠0 は前提としておいて

(ax+by+c)y'+(αx+βy+γ)=0
⇔ (ax+by+c)by'+b(αx+βy+γ)=0
⇔ (ax+by+c)(t'-a)+b(αx+βy+γ)=0
⇔ (ax+by+c)t' = a(ax+by+c)-b(αx+βy+γ)
⇔ (ax+by+c)t' = (a^2-bα)x + (a-β)by + (ac-bγ)
⇔ (t+c)t' = (a^2-bα)x + (a-β)(t-ax) + (ac-bγ)
⇔ (t+c)t' = (a-β)t + ( (a^2-bα-a(a-β) )x + (ac-bγ)
⇔ (t+c)t' = (a-β)t + (aβ-bα)x + (ac-bγ)

で、aβ-bα=0 で x の項が消える、と。
No.45038 - 2017/08/03(Thu) 22:25:41
☆ Re: 微分方程式 / たなお
angel さん

回答ありがとうございます。
angelさんの変形の仕方、参考になりました。
変形の仕方が異なりましたが、やはり同じ形になるんですね。
ありがとうございました。
No.45042 - 2017/08/03(Thu) 23:00:01
★ 三項間漸化式 / 堺
下の問題が解ける方よろしくお願いします。

a_n=p(a_n-1)+q(a_n-2)+r
が収束するp,qの集合を求めよ。

以下を仮定する。
r≠0
a_0=a_-1=a≠0
p^2+4q>0, -2<p<2
No.45024 - 2017/08/03(Thu) 17:49:40
★ 対数/数II / rua
15番教えてください
解答はn=31です、よろしくお願いします。
No.45021 - 2017/08/03(Thu) 17:25:29
☆ Re: 対数/数II / X
2^n＜3^20＜2^(n+1)
の各辺の常用対数を取ると
nlog[10]2＜20log[10]3＜(n+1)log[10]2
これより
nlog[10]2＜20log[10]3 (A)
20log[10]3＜(n+1)log[10]2 (B)
(A)(B)を連立で解いて
(20log[10]3)/log[10]2-1＜n＜(20log[10]3)/log[10]2 (C)
後は与えられた近似値を使って
(C)の左辺と右辺の近似値を
計算します。
No.45023 - 2017/08/03(Thu) 17:47:22
★ 三角関数 / rua
sinθcosθ=-1/4のとき、
(1)sinθ-cosθ
(2)sin^3θ-cos^3θ
の値を求めよ。ただしθは第4象限の角であるとする。
(1)は式全体を2乗して考えてみたりしましたがθの求め方が分かりません
よろしくお願いします
No.45020 - 2017/08/03(Thu) 17:24:04
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
(1)
Ｓ＝sinθ−cosθ　とおきます。２乗して
　Ｓ^2＝1−2sinθcosθ＝3/2
θは第４象限の角なので、sinθ＜０，cosθ＞０　より　Ｓ＜０
　Ｓ＝−√6/2

(2) 因数分解して
　sin^3θ−cos^3θ＝(sinθ−cosθ)(sin^2θ＋sinθcosθ＋cos^2θ)
　　＝(−√6/2)(1−1/4)
　　＝−3√6/8
No.45022 - 2017/08/03(Thu) 17:40:25
★ 縮図や拡大図(小6 作図) / りと
小6の縮図や拡大図についてです。

右上に「〇一つの点を中心にした2倍の拡大図のかき方」とあり、かき方の図があるのですがいまいち理解できません。
このかき方を基にした四角1の図の書き方と、四角2の点オを中心とした2倍の拡大図と2分の1の縮図の書き方をお願い致します。
No.45019 - 2017/08/03(Thu) 17:05:16
☆ Re: 縮図や拡大図(小6 作図) / X
オとア、イ、ウ、エとをそれぞれ線分で結び
問題の四角形をオを頂点として含む4つの
三角形に分けます。

ここからですが、
(1)2倍の拡大図について。
上で描いた4つの三角形それぞれについて
オを中心とした二倍の拡大図を描いてみましょう。
(2)1/2倍の縮図ついて。
上で描いた4つの線分の中点を作図して
頂点を順に線分で結びましょう
No.45025 - 2017/08/03(Thu) 17:54:26
★ 高一数1 / ゆか
連続ですみません。
あとこの問題をお願いします。
この問題は二次関数の問題ですか？
No.45016 - 2017/08/03(Thu) 15:49:35
☆ Re: 高一数1 / X
二次関数の問題ですが、使うのは二次方程式の
判別式です。

問題の接点のx座標について
x^2+kx+k=x+1
∴x^2+(k-1)x+k-1=0 (A)
よって(A)の解の判別式をDとすると
D=(k-1)^2-4(k-1)=0
k＞1に注意してこれをkの方程式として解きます。
No.45018 - 2017/08/03(Thu) 16:29:11
★ 二重根号の外し方、計算 数1 / ゆか
前回はありがとうございました。
この画像の問2をお願いします。
No.45015 - 2017/08/03(Thu) 15:38:22
☆ Re: 二重根号の外し方、計算 数1 / らすかる
2√42=√168
12^2=144＜168＜169=13^2なので
12＜2√42＜13
従って0＜13-2√42＜1なので
0＜√(13-2√42)＜1となり、整数部分は0
No.45017 - 2017/08/03(Thu) 16:27:10
★ 二次方程式解の公式 / ぴょんす
二次方程式でおそらく解の公式を使う問題なんですけど、、、

２ｘ2乗-13ｘ-15＝０
という問題で答えがX＝15/2-1
となります。解の公式に当てはめてやると全然違う値になってしまいこの答えになりません。どなたか助けてください。
No.45013 - 2017/08/03(Thu) 09:42:50
☆ Re: 二次方程式解の公式 / ヨッシー
解の公式を使うと
　ｘ＝{13±√(13^2＋4・2・15)}／2・2
　　＝(13±17)／4＝15/2，−１
ですので、問題ないです。
No.45014 - 2017/08/03(Thu) 10:54:40
★ (No Subject) / ζ
整数からなる数列 a（1）,a（2）,・・・は以下の条件を満たしている。
（i） 任意のj≧1について1≦a（j）≦2015
（ii）任意の1≦k＜lについてk+a（k）≠l+a（l）
このとき、正の整数b,Nが存在し、n>m≧Nを満たす任意の整数m,nに対して、
|Σ［j=m+1~n,｛a（j）-b｝］|≦1007^2
が成り立つことを示せ。
No.45011 - 2017/08/03(Thu) 09:26:00
☆ Re: / ζ
［解答］：

A（m）=｛a（j）＋j|1≦j≦m｝（m≧1）とおく。
また、正の整数のうちa（j）＋j（j≧1）の形で表せないものからなる集合をSとする。1∈Sである。
A（m）,Sは共通部分を持たない。
Sが2016個以上の元を持っているとし、Sの2016番目に小さい元をLとする。
すると、集合A（L-2015）∪｛k∈S|k≦L｝は（L-2015）＋2016=L＋1個の元を持つが、一方でどの元もL以下であるから矛盾。
よって、Sの元の個数は2015以下である。
Sの最大元をN,Sの元の数をb（1≦b≦2015）とおく。
mをN＜mなる整数とする。
集合S∪A（m）の元の数はm＋bであり、どの元もm＋2015以下である。
整数kが1≦k≦m＋1,kはSに含まれないとすると、a（i）＋i=kなる正の整数iがあるが、i=k-a（i）≦（m＋1）-1=mよりk∈A（m）となる。
よって、集合S∪A（m）は以下の元からなる。
⚫1以上m＋1以下の整数すべて。
⚫m＋2以上m＋2015以下の整数のうちb-1個。
☆Σ［j=1~m＋b,｛j｝］≦Σ［j∈A（m）∪S,｛j｝］≦Σ［k=1~m＋b,｛j｝］＋（b-1）（2015-b）
C=Σ［j∈S,｛j｝］-（b^2＋b）/2とおき整理すると、
0≦Σ［j=1~m,｛a（j）-b｝］＋C≦（b-1）（2015-b）
下から、7行目以降（☆印から下）が分からないのですが、詳しい解説をお願い致します。
No.45012 - 2017/08/03(Thu) 09:27:47
★ 集合 / ζ

［1,r＋1］∩Zとは、どういう意味ですか？
No.45008 - 2017/08/03(Thu) 01:45:56
☆ Re: 集合 / IT
Z が「整数全体からなる集合」を表すのであれば
「区間［1,r＋1］にある整数全体の集合」を表します。
No.45009 - 2017/08/03(Thu) 07:46:02
☆ Re: 集合 / ζ
［］って、区間のことなんですね
｛｝の記号とはまた違うのでしょうか？
No.45010 - 2017/08/03(Thu) 09:12:37
★ (No Subject) / 名無しさん
曲線 4x^2+2y^2=1で囲まれた図形の面積を求めよ。という問題の解き方をお願いいたします。
No.45004 - 2017/08/02(Wed) 20:21:12
☆ Re: / IT
半径ｒの円の面積＝πr^2 を既知として使い、積分計算をしない方法
円 4x^2+4y^2=1 をy軸方向に√2 拡大した図形と考えると
円の面積×√2とできます。
No.45007 - 2017/08/02(Wed) 22:01:38
★ (No Subject) / まさる
xyz空間内の3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)を結んでできる△ABCの辺をA→B→C→Aの順に進む経路をLとし、それらの辺で囲まれる平面をSとする。
ベクトル関数A(x,y,z)=(zx^2)i-(x^2y+z)j-(4x)kについて、線積分∫[L]A(x,y,z)・dr(rはベクトルです)をストークスの定理を用いて計算せよ
という問題についてです
自分で計算してみると答えが21/4になったのですがあっていますか？
No.44999 - 2017/08/02(Wed) 17:20:38
☆ Re: / angel
線積分 ∫[L] Ａ・dr として計算した場合も、
ストークスの定理で ∫[S] (∇×Ａ)・ds として計算した場合も、
計算結果が 61/12 となりました。
※線積分として計算するとどうでしょうか?
途中経過を載せれば、妥当性がどうなのか分かるかもしれません。
No.45046 - 2017/08/03(Thu) 23:52:41
★ 指数 / rua
(2)と(4)教えてください！
No.44997 - 2017/08/02(Wed) 16:35:17
☆ Re: 指数 / ヨッシー
(2)　48＝2^4×3 なので、２は4√ の外に出て、
　２4√３−4√３＝4√３

(4)　ｘ＝８1/3、ｙ＝８-1/3 とおくと、
　（与式）＝(ｘ−ｙ)(ｘ2＋ｘｙ＋ｙ2)
　　＝ｘ3−ｙ3
　　＝８−１／８＝６３／８

となります。
No.45002 - 2017/08/02(Wed) 17:37:42
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