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★ (No Subject) / マコ

f(3x)は-3π≦3x≦3πでf(3x)＝|3x|となることから、積分区間の-πからπまでの間もf(3x)＝|3x|になるような気がして、よくわかりません。よろしくお願いしますm(__)m
No.45760 - 2017/09/04(Mon) 18:11:57
☆ Re: / X
>>f(3x)は-3π≦3x≦3πでf(3x)＝|3x|となることから
違います。
-π≦x≦πにおいてf(x)=|x| (A)
ですので
-π≦3x≦πにおいてf(3x)=|3x| (B)
です。
(問題の定積分の積分範囲が
f(3x)の周期になっているわけではありません。
(B)のようにf(3x)の周期は定積分の積分範囲とは
別に考える必要があります。)
No.45762 - 2017/09/04(Mon) 19:16:37
☆ Re: / マコ
ありがとうございます！
No.45768 - 2017/09/05(Tue) 15:11:41
★ (No Subject) / カエル
この問題の解き方と答えが分かりません。教えてください。よろしくお願いします。グラフとかがあるとありがたいです。m(__)m
No.45758 - 2017/09/04(Mon) 16:54:12
☆ Re: / X
問題の二次方程式((P)とします)の解の判別式をDとすると
D=(2t+k+1)^2-4(kt+6)
=4t^2+4(k+1)t+(k+1)^2-4(kt+6)
=4t^2+4t+k^2+2k-23
これをf(t)と置きます。
又
-1≦t≦1 (A)
とします。
更に、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸の方程式がt=-1/2である下に凸の放物線 (B)
であることに注意します。

前半)
条件を満たすためには
(A)において
f(t)≧0
が成立すればよいので(B)により
f(-1/2)≧0
これをkの不等式として解くと…

後半)
問題の条件の否定、つまり
(P)が(A)において実数解を持たない条件 (Q)
をまず求めます。
そのためには(A)において
f(t)＜0
が成立すればよいことになります。
さて(B)によりf(t)のグラフの軸は
(A)の範囲内左寄り
にありますので、(A)においてf(t)は
t=1のときに最大になります。
よって
f(1)＜0
これをkの不等式として解き、得られた解
が(Q)を満たすkの値の範囲となります。
後はよろしいですね。
No.45761 - 2017/09/04(Mon) 19:08:16
★ 方べき / アバ
ここの二乗をとる作業の根拠がわからないです。教えてください。
No.45752 - 2017/09/03(Sun) 22:27:22
☆ Re: 方べき / たなお
なぜ二乗を取れるのか？ということでしょうか？

9/16 = (3/4)^2 なので、両辺とも二乗の形です。
なので、二乗が取れるとしか言えないのですが。。。

質問の意図が違えば再度質問願います。
No.45755 - 2017/09/04(Mon) 08:17:13
★ 三角関数の微分 / ふなっし
sinxの微分は以下の式のとおり、位相がπ/2進んだ形に直せると思います。
(sinx)'=sin(x+π/2)

このとき、sin(x/2)の微分形はsinだけの式で表すことができるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.45748 - 2017/09/03(Sun) 21:03:26
☆ Re: 三角関数の微分 / らすかる
{sin(x/2)}'=cos(x/2)/2=sin(x/2+π/2)/2ですね。
No.45750 - 2017/09/03(Sun) 21:40:32
☆ Re: 三角関数の微分 / ふなっし
ありがとうございます。
No.45756 - 2017/09/04(Mon) 12:53:04
★ 図形 / 初心者
2つの円
(x-a)^2+(y-3)^2=16とx^2+y^2=1が異なる2点A、Bを共有する。
線分ABの長さが最大となるaの値は？
ただしaは正の定数とする。
お願いします
No.45744 - 2017/09/03(Sun) 17:44:06
☆ Re: 図形 / らすかる
ABを通る直線の式は
(x-a)^2+(y-3)^2=16 から x^2+y^2=1 を引いて整理すると
2ax+6y+6-a^2=0
これが原点を通るときにABが最大となるので、
条件を満たすaは6-a^2=0からa=√6
No.45746 - 2017/09/03(Sun) 19:38:55
☆ Re: 図形 / 初心者
どうして原点を通る時が最大だと分かるのでしょうか？
No.45753 - 2017/09/03(Sun) 23:47:01
☆ Re: 図形 / らすかる
x^2+y^2=1の中心が原点で、A,Bはこの円の周上にありますので
直線ABが原点を通るときにABがx^2+y^2=1の直径(=2)で最長となります。
No.45754 - 2017/09/03(Sun) 23:58:08
★ ベクトル場 / たなお
ベクトル場の問題で質問があります。
（大学数学レベルかもしれませんが、独学でかつ周りに質問できる人がいないため、投稿させてください。すいません。）

添付画像の大問１０と１１を解いてみました。が、証明がこれで正しいのか自信がありません。
間違いがあればご指摘願えますでしょうか。また、より良い解き方があればそれも教えていただければとお思います。（ちなみに大問１１について、自分の方法だとBy の第一項が何故マイナスにする必要があるのか分かりません。マイナスになるにはそれ相応の理由があるはずだと思うのですが。。）

よろしくおねがいいたします。
No.45741 - 2017/09/03(Sun) 17:02:38
☆ Re: ベクトル場 / たなお
自分の計算です。２枚目もあります。
No.45742 - 2017/09/03(Sun) 17:03:15
☆ Re: ベクトル場 / たなお
計算２枚目です。よろしくおねがいいたします。
No.45743 - 2017/09/03(Sun) 17:03:48
★ 関数 / キルキン
添付の関数問題の、黄色で網掛けした部分の考え方が、どうにも考えてもよくわかりません。。

この座標情報から、どのように方程式を導いているのでしょうか。よろしくお願いします。
No.45739 - 2017/09/03(Sun) 12:51:57
☆ Re: 関数 / X
一般に点(p,q)を通り、方向ベクトルが(a,b)
(但しab≠0)の方程式は
(y-q)/b=(x-p)/a
となります。
(3次元空間での直線の方程式と
考え方は同じです。)
このことを踏まえて質問個所をもう一度ご覧下さい。
No.45740 - 2017/09/03(Sun) 14:53:27
☆ (No Subject) / キルキン
ご返信ありがとうございます。

方向ベクトルとは、数Bでしょうか、この問題の範囲が中学〜高1までの知識で解ける設計なのですが

ベクトルの知識を使わないとすると、どういった考え方になるでしょうか。
yの変化量/xの変化量であればわかるのですが、傾きを求めているわけでもなさそうですし。。
No.45747 - 2017/09/03(Sun) 20:32:31
☆ Re: 関数 / ヨッシー
２点　(p, q), (r, s) を結ぶ直線の傾きは
　(s-q)/(r-p)
ですから、この２点を通る直線は、点(p, q) を通り、傾き(s-q)/(r-p) の直線と言えるので、
　y-q＝(x-p)(s-q)/(r-p)
と書けます。この両辺をs-q で割ると
　(y-q)/(s-q)＝(x-p)/(r-p)
となります。

傾きから入って考えると、こんなふうになります。
No.45757 - 2017/09/04(Mon) 13:54:32
☆ 繁分数 / キルキン
ありがとうございます。他の部分はわかったのですが、肝心な部分がわかりません。。

y-q＝(x-p)(s-q)/(r-p)

2点を結ぶ直線をyの式で表す際に、なぜ上記のようにy-qとx-pと置くのでしょうか。
公式のようなものがあれば教えてください。
No.45763 - 2017/09/04(Mon) 21:44:21
☆ Re: 関数 / ヨッシー
>点(p, q) を通り、傾き(s-q)/(r-p) の直線
に対して、
公式：
　点(x0, y0) を通り、傾き a の直線の式は
　y−y0＝a(x−x0)
を適用しています。
No.45767 - 2017/09/05(Tue) 10:26:39
☆ 繁分数 / キルキン
そういった公式があるのですね、勉強になりました。ありがとうございます。
No.45769 - 2017/09/05(Tue) 20:20:18
★ 不等式の証明 / tutuz
x<1,x≠0ならば、1+x < e^x < 1/(1-x) であることを証明せよ

---

という問題なのですが、
f(x)=e^x - (1-x)
g(x)=1/(1-x) - e^x

として、f(x)>0,g(x)>0を示すことで題意の不等式が成り立つことを証明しようと思います。
f(x)>0であることは示せたのですが、
g(x)>0であることがうまく示せないです。

おそらく計算ミスとは思うのですが、ちょっとわからないので
g(x)>0であることを示していただけないでしょうか。
No.45734 - 2017/09/03(Sun) 09:58:24
☆ Re: 不等式の証明 / らすかる
f(x)=e^x-(1+x)とするとf'(x)=e^x-1なので
x＜0でf'(x)＜0,x＞0でf'(x)＞0
f(0)=0なのでx≠0の任意の実数に対してf(x)＞0すなわちe^x＞1+x
f(-x)=e^(-x)-(1-x)＞0なのでe^(-x)＞1-x
x＜1のとき両辺正なので両辺を逆数にすると不等号の向きが変わりe^x＜1/(1-x)
∴1+x＜e^x＜1/(1-x)
No.45736 - 2017/09/03(Sun) 10:10:39
☆ Re: 不等式の証明 / tutuz
らすかるさん

ありがとうございます。理解できました。
f(-x)=e^(-x)-(1-x)とすれば、シンプルに示せますね!
No.45737 - 2017/09/03(Sun) 10:56:07
★ ベクトル場 / たなお
添付画像の大問９(1)が分かりません。

自分でやった途中計算を２つ目の添付画像に載せました。
ベクトルの三重積なので、ぱっと見でも左辺と右辺は一緒にならないように思えるのですが、何か勘違いしているのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.45729 - 2017/09/01(Fri) 23:58:10
☆ Re: ベクトル場 / たなお
途中計算です。
No.45730 - 2017/09/01(Fri) 23:58:47
☆ Re: ベクトル場 / たなお
すいません、投稿後、自己解決しました。
No.45731 - 2017/09/02(Sat) 00:09:56
★ logの処理の仕方 / 数学初心者
画像にある 赤波線部の計算の仕方がよく分かりませんでした。基本的な事柄だと思い大変恐縮ですが 正しい導出の仕方をご教授していただければ幸いですm(._.)m
No.45725 - 2017/09/01(Fri) 17:17:33
☆ Re: logの処理の仕方 / らすかる
log(√2/2)=log(1/√2)=log(2^(-1/2))=(-1/2)log2 です。
No.45726 - 2017/09/01(Fri) 17:25:54
☆ Re: logの処理の仕方 / 数学初心者
なるほど...そうやって解くんですね！ありがとうございます。m(._.)m
No.45728 - 2017/09/01(Fri) 18:24:15
★ 因数分解 高1 / さかな
解答の二段目から三段目になる意味がよくわかりません。どうしてこの形になるのでしょうか？
No.45723 - 2017/09/01(Fri) 15:36:11
☆ Re: 因数分解 高1 / らすかる
(a+b)を一旦Aとおいてみてはいかがでしょうか。
No.45724 - 2017/09/01(Fri) 16:27:51
★ 数的推理 / みうらはやて
この問題がわからないです
解説を読んだのですが計算式の計算の仕方がわからないです
一から教えて貰いたいです
No.45718 - 2017/08/31(Thu) 23:12:52
☆ Re: 数的推理 / X
中学数学の教科書で
連立方程式の加減法
の項目を復習しましょう。
No.45719 - 2017/09/01(Fri) 04:39:22
☆ Re: 数的推理 / ヨッシー
こちらによると、
方程式を使って応用問題を解くときの手順
1. 求める量は何で、何をｘ（またはｙ）とおくかを決める。
2. 問題に示された条件を、式で表す。（方程式を立てる、という）
3. 方程式を解く。
4. 問題の意味に沿った答え方で答える。（単位など）
です。すでに解答が示されているので、それと照らし合わせて、
1. は問題ないですね？　材料費がｘ万円、工費がｙ万円です。
2. 式を立てたのが?@?Aの式ですが、これは分かりますか？
3. それを解くことが出来ますか？出来ない場合はＸさんの書かれた通り、連立方程式の解き方をやり直すことになるわけですが、
2. が分からないのと、3. が出来ないのとでは、説明のしかたが変わってきますので、どちらの段階で手こずっているのか明らかにしましょう。
No.45721 - 2017/09/01(Fri) 11:51:25
★ 指数 / キルキン
添付の疑問について教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.45715 - 2017/08/31(Thu) 21:34:20
☆ Re: 指数 / X
ダメなのではなくて、
-3x^2-4x+4＞0
から後の計算が間違っています。
(-3x+2)(x+2)＞0
まではよいのですが、ここから
x＜-2,2/3＜x
とはなりません。

y=(-3x+2)(x+2)
のグラフの概形
(x軸との交点のx座標が-2,2/3である
上に凸(下に凸ではありません)の放物線になります。)
を描き、このグラフにおいてx軸より上側の部分
のx座標の範囲を調べてみましょう。
No.45716 - 2017/08/31(Thu) 21:46:11
☆ 繁分数 / キルキン
ありがとうございます。グラフだと下向きになるので、この範囲内ということですね。
基本的に、二次不等式はマイナスは消去してから考えるべきでしょうか。
今回の様に、マイナスがあるにも関わらず、通常通り解いてしまうと間違った解になってしまいますね。。
No.45732 - 2017/09/02(Sat) 11:56:33
☆ Re: 指数 / X
＞＞基本的に、二次不等式はマイナスは消去してから考えるべきでしょうか。

計算を効率よく行うためには基本的な手順をできるだけ一定
にするのが望ましいです。
No.45733 - 2017/09/03(Sun) 00:04:48
☆ (No Subject) / キルキン
ありがとうございます、マイナスを消去してから計算するようにします。
No.45738 - 2017/09/03(Sun) 12:50:26
★ 積分 / ラサール
曲線y=(e＾-x)-3とx軸、y軸で囲まれる図形について

[１]x軸の周りについて一回転できる体積を求めよ。
[２]y軸の周りについて一回転できる体積を求めよ。
No.45711 - 2017/08/31(Thu) 19:06:37
☆ Re: 積分 / X
[1]
求める体積をVとすると
V=∫[-log3→0]{π{e^(-x)-3}^2}dx=…

[2]
y=e^(-x)-3
より
e^(-x)=y+3
x=log(y+3)
x=-log(y+3)
∴求める体積をVとすると
V=∫[-3→0]{π{-log(y+3)}^2}dy=…
No.45712 - 2017/08/31(Thu) 19:24:38
☆ Re: 積分 / ラサール
ありがとうございます。申し訳ございません。この式の計算方法も教えて頂ければ嬉しいです。


V=∫[-log3→0]{π{e^(-x)-3}^2}dx
No.45713 - 2017/08/31(Thu) 19:34:49
☆ Re: 積分 / X
被積分関数を展開しましょう。
No.45714 - 2017/08/31(Thu) 21:21:06
★ (No Subject) / 初心者
原点Oを中心とする半径1の円の一部を、Oのまわりに回転してできる扇型をTとする。Tはx軸に関して対称であり、中心角が60°である。
Tに内接する長方形ABCDを考える。
A(cosθ,sinθ)(0°<θ<30°)とおくと、長方形ABCDの面積Sをθを用いて表せ。
という問題ですが手も足も出ません…
よろしくお願いします
No.45709 - 2017/08/31(Thu) 18:27:47
☆ Re: / らすかる
条件から扇形の辺はy=x/√3とy=-x/√3なので
B((√3)sinθ,sinθ)
C((√3)sinθ,-sinθ)
D(cosθ,-sinθ)
となり、AB=cosθ-(√3)sinθ,BC=2sinθですから
S=2sinθ{cosθ-(√3)sinθ}
となりますね。
No.45710 - 2017/08/31(Thu) 19:02:37
★ 不定積分 / 高校3年生
蛍光ペンの所の式変形がなぜこうなるのか教えてください。おねがいします。
No.45706 - 2017/08/31(Thu) 13:29:46
☆ Re: 不定積分 / ヨッシー
1/x＝ｘ^(-1) の微分は　−1・ｘ^(-2)＝−1/x^2 ですね？
ｘが関数になって、1/f(x) のようになると、これの微分は、
　−1/f(x)^2×f'(x)＝−f'(x)/f(x)^2
です。これは、y=f(u), u=g(x) のとき、
　dy/dx＝(dy/du)(du/dx)
のような、合成関数の微分のところで習います。
ここで、f(x)＝cosｘ とおくと、
　(1/cosx)’＝−(cosｘ)'/cos^2ｘ
これを、逆にたどれば、マーカーの部分は理解できると思います。

また、置換積分を使うと、ｕ＝cosｘ とおいて、du/dx＝−sinｘ
　∫(sinｘ/cos^2ｘ)dx＝∫(−1/ｕ^2)du＝１／ｕ＋Ｃ
となります。
No.45707 - 2017/08/31(Thu) 13:43:20
☆ Re: 不定積分 / 高校3年生
わかりました！ありがとうございましたm(_ _)m
No.45708 - 2017/08/31(Thu) 17:38:00
★ 積分の計算の仕方について / 数学初心者
画像のような計算の仕方で答えが導かれると思いますが ?のところの式変形の仕方がよく分かりませんでした。赤波線のところです。どなたか 解説をしてくださると助かります。よろしくお願いしますm(._.)m
No.45700 - 2017/08/31(Thu) 11:12:31
☆ Re: 積分の計算の仕方について / 数学初心者
こちらになりますm(._.)m
No.45701 - 2017/08/31(Thu) 11:13:03
☆ Re: 積分の計算の仕方について / 数学初心者
横になってましたので 修正いたしましたm(._.)m
No.45702 - 2017/08/31(Thu) 11:15:05
☆ Re: 積分の計算の仕方について / 数学初心者
あれ...なんで横になるんだろ...
見辛いと思いますが 許してくださいm(._.)m
No.45703 - 2017/08/31(Thu) 11:15:51
☆ Re: 積分の計算の仕方について / ヨッシー
奇関数と偶関数は分かりますか？



奇関数：
　f(-x)＝−f(x) となる関数
　グラフは原点対称
　−ａ〜ａで積分すると、−ａ〜０ と ０〜ａ のそれぞれの積分値が
　プラスマイナスで打ち消しあって、０になります。

偶関数：
　f(-x)＝f(x) となる関数
　グラフはｙ軸対称
　−ａ〜ａで積分すると、−ａ〜０ と ０〜ａ のそれぞれの積分値が
　等しく、０〜ａの積分の２倍となります。

以上を踏まえて、各項が奇関数か偶関数かで分けていきます。
No.45704 - 2017/08/31(Thu) 11:44:45
☆ Re: 積分の計算の仕方について / 数学初心者
返信遅れました
分かりました！ありがとうございます！奇関数は0になるのですね！
図を用いていただいたのでスッキリ解決いたしました！本当にありがとうございます♪
No.45727 - 2017/09/01(Fri) 18:08:09
★ データの分析 / かなりん
この画像の99番を詳しく教えてください！
No.45697 - 2017/08/30(Wed) 23:34:00
★ 高次の整式(数1) / 百合の花
R(x)(3次以上)がx+1,x-1でそれぞれ割り切れる場合、R(x)は(x+1)(x-1)で割り切れるのでしょうか？いまいちピンときません。
8で割り切れ、10で割り切れるが40は8×10では割り切れません。
説明宜しくお願いします。
No.45696 - 2017/08/30(Wed) 23:30:45
☆ Re: 高次の整式(数1) / らすかる
x+1とx-1で割り切れれば(x+1)(x-1)で割り切れます。
40が8で割り切れて10で割り切れても8×10で割り切れないのは、
8と10が互いに素でない（2という共通因数を持つ）ためです。
文字式の場合でも、6x+6は2x+2でも3x+3でも割り切れますが、
(2x+2)(3x+3)では割り切れませんね。
これは2x+2と3x+3がx+1という共通因数を持つためです。
x+1とx-1は共通因数を持ちませんので、x+1とx-1で割り切れれば
必ず(x+1)(x-1)でも割り切れます。
No.45698 - 2017/08/31(Thu) 00:33:22
☆ Re: 高次の整式(数1) / IT
下記のような説明を求めておられるのでしょうか。
----------------------------------------------------
(考え方1)
R(x)がx+1で割り切れるので
R(x)=(x+1)f(x)…(1)
R(x)はx-1で割り切れるので因数定理より
R(1)=(1+1)f(1)=0,よってf(1)=0,
よって,因数定理よりf(x)はx-1で割り切れる
よって,R(x)は(x+1)(x-1)で割り切れる。
----------------------------------------------------
（考え方２）
R(x)=(x+1)(x-1)h(x)+ax+b,h(x)は整式、a,bは定数とおける。
R(x)がx+1で切れるので,ax+b＝a(x+1)
R(x)がx-1で切れるので,ax+b＝a(x-1)
よってa=b=0
No.45699 - 2017/08/31(Thu) 08:00:03
☆ Re: 高次の整式(数1) / 百合の花
質問者です。
御二方ともとても分かりやすい説明を有難うございました。
解決いたしました。
また何かありましたら宜しくお願い致します。
No.45705 - 2017/08/31(Thu) 11:50:11
★ 式変形 / 堺
x(1-t)^2+2(1-t)t√(xy)+yt^2
=(1-t)x+ty-t(1-t)(√x-√y)^2

これはどのように変形したのか教えてください。
展開して成り立つのはわかるのですが、やり方が思いつきません。
No.45693 - 2017/08/30(Wed) 19:40:24
☆ Re: 式変形 / らすかる
√(xy)の項をなくすためには
t(1-t)(√x+√y)^2 か
-t(1-t)(√x-√y)^2 のどちらかが導ければいいですが、
t(1-t)(√x+√y)^2 → -xt^2,-yt^2が出てくる
-t(1-t)(√x-√y)^2 → xt^2,yt^2が出てくる
という違いがあり、元の式にxt^2,yt^2の項がありますので
-t(1-t)(√x-√y)^2 の方が都合がよいことがわかります。
従ってこれを導くために必要に応じて一部だけ展開し
x(1-t)^2+2(1-t)t√(xy)+yt^2
=xt^2-2xt+x+2(1-t)t√(xy)+yt^2
=-t(1-t)x+xt-2xt+x+2(1-t)t√(xy)-t(1-t)y+yt
=-t(1-t){x-2√(xy)+y}-xt+x+yt
=-t(1-t)(√x-√y)^2+(1-t)x+yt
のようにすればいいですね。
No.45694 - 2017/08/30(Wed) 20:01:51
☆ Re: 式変形 / 堺
納得できました。ありがとうございます
No.45695 - 2017/08/30(Wed) 20:40:00
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