ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 点の移動の問題　教えてください2 / ぶどう

お世話になります。
点の移動の問題をもう一問　おしえてください。
答えは　1回目　8秒　2回目　16秒ですが
1回目の8秒は　無理やりやりましたが、　2回目の16秒がわか
りません。

問題集の類題のやり方は
点A 8秒　B 6秒　C　24秒　最小公倍数は24秒
点Aの速度　360度÷8=45度/秒、点Bの速度60度/秒
点Cの速度　15度/秒

点Cを止めて点Aの速度は45+15=60度/秒
点AがCと重なる(Rの位置)にするのは240度÷60=4秒
その後は24秒÷60=0.4
4 4.4 4.8・・・8

点Cを止めて点Bの速度は60+15=75度/秒
点BがCと重なる(Pの位置)にするのは120度÷75=1.6秒
その後は24秒÷75=0.32
1.6 ・・・　　8
1回目は　　8秒　　2回目がわかりません。

1回目のやり方も正しいのかわかりません
よろしくお願いします。

No.45903 - 2017/09/16(Sat) 22:04:22

☆ Re: 点の移動の問題　教えてください2 / らすかる

点Cを止めて点Aの速度は45+15=60度/秒
点AがCと重なる(Rの位置)にするのは240度÷60度=4秒
その後は360度÷60度=6秒ごと
∴4,10,16,…

点Cを止めて点Bの速度は60+15=75度/秒
点BがCと重なる(Pの位置)にするのは120度÷75度=1.6秒
その後は360度÷75度=4.8秒ごと
∴1.6,6.4,11.2,16,…
1回目は16秒後
2回目は6秒と4.8秒の最小公倍数が24秒なので
1回目の24秒後すなわち16+24=40秒後

No.45909 - 2017/09/17(Sun) 11:08:34

☆ 別解 / angel

シンプルに。A,B,Cが一致するというのは、
A,Bが一致する、B,Cが一致する、C,Aが一致するの3つが同時に起こることです。
…が、実際はその2つだけ調べれば十分です。

おそらく分かり易いのは A,Bの一致と、C,Aの一致 ( なぜなら周期が長いから )。が、B,Cの一致を考えても、もちろん解けないことはありません。

では順々に。
・A,Bの一致
　初回：240°の角度を、60°/秒, 45°/秒の速度差15°/秒で詰めるので、240÷15=16秒
　2回目以降: 前回から360°詰めるので、360÷15=24秒毎

　つまり、16,40,64,88,… にA,Bが一致する
・C,Aの一致
　初回：240°の角度を、15°/秒, 45°/秒で速度合計60°/秒で詰めるので、240÷60=4秒
　2回目以降：前回から360°詰めるので、360÷60=6秒毎

　つまり、4,10,16,22,28,34,40,46,… にC,Aが一致する

ちゃんとやるなら公倍数を考えますが、ここまで列挙した時点で、16,40が答えと分かります。

No.45910 - 2017/09/17(Sun) 11:49:33

☆ Re: 点の移動の問題　教えてください2 / ぶどう

らすかる様　angel様
解答、解説ありがとうございました。
両方の説明　で理解できました。
ありがとうございました。

No.45912 - 2017/09/17(Sun) 14:00:18

★ 点の移動の問題　教えてください。 / ぶどう

お世話になります。
点の移動の問題を教えてください。
答えは　1回目　8秒後　　2回目　16秒後です。

速度の比を利用するのだと思いますが
向かい合う方向に移動するのがよくわかりません。
よろしくお願いします。

No.45902 - 2017/09/16(Sat) 21:50:45

☆ Re: 点の移動の問題　教えてください。 / angel

これは解き方がどうこうではなくて、ちゃんと点の移動、面積の変化の状況をつかめますか? という問題です。

まずは、答えが分かっているのですから、その時の状況がどうなっているかつかむ所からです。
その前に、Aは6秒ごと、Bは12秒ごとに折り返しますよね。それも加味して。

その上で「2等分する」ってどういうことなのか。そこを明確にイメージできますか?

No.45908 - 2017/09/17(Sun) 11:06:49

☆ Re: 点の移動の問題　教えてください。 / ぶどう

angel様
ご回答ありがとうございます。
もう一度考えて見ました。
長方形2等分の意味は正方形と台形で分けるイメージ
点Pは4cm　　点Qは2cm 速さは2:1
24cm×2/(1+2)=16cm 　24cm-16cm=8cm が一つのパターンともう一つは　逆の16cmと8cmのパータンでしょうか?

もう一つ　考えたのが
点Bは　0秒 12秒　24秒　36秒
点Cは　6秒　18秒　30秒

点Aは12秒　36秒
点Dは0秒　24秒　48秒
で点Bと点Cの24秒の時が長方形の面積が半分になるので
24秒も答えとなるが、8秒　16秒の方が早いので
答えは8秒と16秒になるでいいでしょうか?

よろしくお願いします。
　

No.45911 - 2017/09/17(Sun) 13:55:52

☆ Re: 点の移動の問題　教えてください。 / angel

うーん…。比には今回あまり拘らない方が良いと思います。

確かに、面積が2等分されるときの台形の上底・下底の比は 1:2, 2:1 で、これは速度比に一致しているのですが、それは偶然ですから。まあ、2回目はまだしも。

「面積が2等分」それは、P,Qそれぞれの右端からの距離 ( それぞれの左端からの、でも良い ) の合計が24cmになっていること、ここが一番重要です。
1回目は、Pが右端につく6秒後、この時点で右端からQが12cm、そこから2秒かけて(2+4)×2=12cm距離をかせいで合計24cmになっています。
つまり、6+(24-12)÷(2+4)=8

2回目は、P,Qが同時に左端につく12秒後、ここから4秒かけて(2+4)×4=24cm距離をかせいで合計24cm ということです。つまり、12+24÷(2+4)=16

No.45915 - 2017/09/17(Sun) 22:31:53

☆ 一発で計算する方法 / angel

…実は、次のような計算もできて、こちらだと一発だったりします。

　・1回目は 24×(1+0+1)÷(2+4)=8
　・2回目は 24×(2+1+1)÷(2+4)=16

ただこれはP,Qの動きをちゃんと把握してから。

×(1+0+1) というのは、Pが24cmを×1(片道)済ませて、残りP,Qが併せて×1、
×(2+1+1) というのは、Pが24cmを×2(往復)済ませて、Qが×1(片道)済ませて、残りP,Qが併せて×1、
そういう内訳になっています。

P.S. 図中のA,B,C,Dの位置がずれてました。すいませんが、頭の中でずらして見て下さい。

No.45916 - 2017/09/17(Sun) 22:36:33

☆ Re: 点の移動の問題　教えてください。 / ぶどう

angel様
詳しい　解説ありがとうございした。
ポイントに注意して　自分で図を書いてやってみます。

ありがとうございまた。

No.45918 - 2017/09/18(Mon) 08:26:52

★ 2直線の交点の軌跡 / ティー

高2です

x=1,y=0をt(y-2)=1-x…?Cに代入してt=0
よって点(1,0)は2直線である。

これがなんでかわかりません。教えてください🙇

No.45900 - 2017/09/16(Sat) 20:33:46

☆ Re: 2直線の交点の軌跡 / X

まずx=1を?Bに代入してy=0が得られていますので
点(1,0)は直線l,mの交点の「候補」となります。
?Bにおいて
(x,y)=(1,0) (A)
のときtの値は任意に取れますので、
後は(A)のときに?Cを満たすtの値が
存在するかどうかを確かめればよい
ことになります。
そのために(A)を?Cに代入してtの値を
求めています。

No.45904 - 2017/09/16(Sat) 23:56:39

☆ Re: 2直線の交点の軌跡 / ティー

ありがとうございます。助かりました！

No.45943 - 2017/09/18(Mon) 23:43:16

★ 直方体の切断 / ヤス

中3です
（1）21（2）2（3）√133が答えです
やり方がわからなくて困っているので教えてください

No.45895 - 2017/09/16(Sat) 14:39:15

☆ Re: 直方体の切断 / angel

まずは添付のような図を描いてみましたか。「切り口が」と問題になっている訳ですから、じゃあ切り口がどうなっているか。その把握ができないと始まりません。

さて、切り口がひし形である以上 ( まあ、ひし形でなくても、なのですが )、直方体の上面からのQの距離 ( xとします ) と、Pの水準からのRの距離は等しくなります。
なお、Pの水準から下は切り口に全く関係ないので、切り捨てて考えるのが楽です。

ここまで整理したうえで、

(1) Pの水準から上の部分が丁度半分に分けられていることに注目しましょう。
　※納得し辛いようなら以下の2組を比べてみましょう
　　・直方体上面からのD,Q,P,Rの距離 (0,x,5,x-5)
　　・Pの水準からのD,Q,P,Rの距離 (5,5-x,0,x)
(2) AQはxと置いています。「ひし形」ができるわけですから、PQ=DQ という条件から x の方程式が作れます

(3) (2)でひし形の一辺は分かっています。後は対角線DPを計算すれば、面積を出すには十分でしょう。
　※対角線RQも出して 1/2×DP×QR で計算する方が速くはありますが…。気付けばQRも直ぐに出せるのですが。

No.45897 - 2017/09/16(Sat) 15:31:03

★ 分数とルートの計算について / あいま

画像の通りなのですが、３行目、６行目の計算過程がわからずにいます。
ご教授お願い致します

No.45892 - 2017/09/15(Fri) 21:36:08

☆ Re: 分数とルートの計算について / あいま

> 画像の通りなのですが、３行目、６行目の計算過程がわからずにいます。
> ご教授お願い致します

もうしわけありません。画像はこちらです

No.45893 - 2017/09/15(Fri) 21:38:32

☆ Re: 分数とルートの計算について / X

いずれの質問についても、以下のルートの
性質を復習しましょう。

(i)
a＞0に対し
a=√(a^2)
(ii)
a＞0,b＞0に対し
√(ab)=(√a)(√b)

No.45894 - 2017/09/15(Fri) 22:03:15

☆ Re: 分数とルートの計算について / あいま

> いずれの質問についても、以下のルートの
> 性質を復習しましょう。
>
> (i)
> a＞0に対し
> a=√(a^2)
> (ii)
> a＞0,b＞0に対し
> √(ab)=(√a)(√b)

教科書に載っている事でした。
どうもありがとうございました

No.45941 - 2017/09/18(Mon) 20:32:03

★ 複素数とベクトル / tutuz

【問題】
aを0でない複素数とし、点aを通り、ベクトルV(Oa)に垂直な直線をlとする。
点zがl上にあるためには、

z/a + z~/a~ = 2

の成り立つことが必要かつ十分条件である。
(※z~,a~はz,aの共役を表す。)

---

【解説】
zがl上にあるということは、ベクトルz-aとベクトルaが直交すること、
すなわち(z-a)/aが純虚数であることと同値である。
いいかえれば、(z-a)/aの実部が0であることと同値である。
...(以下省略)

---

ここの「すなわち(z-a)/aが純虚数であることと同値である。」という記述が理解できませんでした。
ベクトルの直交条件は、V(Oa)・V(z-a)=0 となるはずですが、
ここから、「すなわち(z-a)/aが純虚数であることと同値である。」ことが導けませんでした。

すみませんが、教えてください。

No.45881 - 2017/09/13(Wed) 08:58:19

☆ Re: 複素数とベクトル / angel

角度を扱うときに複素平面とベクトルを混同すると混乱の元です。
ベクトルの場合は内積ですが、複素数の場合は回転です。
すなわち、
　w=z・r・(cosθ+isinθ)
　※rは実数
これが、w,zのなす角がθに相当します。

No.45882 - 2017/09/13(Wed) 13:16:06

☆ Re: 複素数とベクトル / tutuz

>角度を扱うときに複素平面とベクトルを混同すると混乱の元です。
>ベクトルの場合は内積ですが、複素数の場合は回転です。
ご指摘ありがとうございます...。複素平面、復習します。

一応、今回の複素数a,bについて
「V(Oa)とV(Ob)が直交すること ⇔ a/bが純虚数」
については以下のように理解したのですが、問題ないでしょうか...

a,bをa≠bの複素数とし、
a=r[1](cosθ[1]+isinθ[1])
b=r[2](cosθ[2]+isinθ[2])
とする。
r[1],r[2]は実数、θ[1],θ[2]はa,bそれぞれの偏角(θ[1]>θ[2]としておく).

a/b = (r[1]/r[2]){(cos(θ[1]-θ[2])+isin(θ[1]-θ[2]))}

V(Oa)とV(Ob)が直交するときはθ[1]-θ[2]=π/2となるときであるから

a/b = (r[1]/r[2])i

よろしくお願いします。

No.45883 - 2017/09/14(Thu) 07:41:33

★ すうさん / み

やり方がわかりません

No.45869 - 2017/09/12(Tue) 17:29:55

☆ Re: すうさん / IT

その問題集に書いてある　解答・解説のどこまで分かって、どこが分からないかが分からないと、有効な回答をするのは難しいと思います。

No.45872 - 2017/09/12(Tue) 21:25:48

☆ Re: すうさん / み

解答はこれなんですが、(1)の二行目からわかりません。

No.45873 - 2017/09/12(Tue) 21:30:31

☆ Re: すうさん / IT

(1+1)^n=1+(nC1)+(nC2)+...+ が分からないということですか？
数２の教科書の「二項定理」のところを確認してください。

No.45875 - 2017/09/12(Tue) 22:57:23

☆ Re: すうさん / み

そこは分かるんですが、その一行下がわかりません。

No.45876 - 2017/09/12(Tue) 23:48:22

☆ Re: すうさん / IT

n≧3　なので
(1+1)^n=1+(nC1)+(nC2)+(nC3)+...+ ≧1+(nC1)+(nC2)+(nC3)
（２つめの各項は正です）

たとえばn=3 のときn=4 のときで確認してください。

次に使ってある　nC1=n, nC2=n(n-1)/2!, nC3=n(n-1)(n-2)/3! が分からないなら、数Aの「組み合わせ」でnCrの定義を確認してください。

No.45878 - 2017/09/13(Wed) 00:01:12

☆ Re: すうさん / み

わかりました。

No.45880 - 2017/09/13(Wed) 06:59:01

★ 積分 / たなお

初歩的な質問かもしれませんが。。。
ある積分について疑問に思ったことがあります。

　　∫(1/(1+x^2))dx = arctanx + C

ですよね？しかし、

　　(-arctan(1/x))' = -{1/(1 + (1/x)^2)}・(-1/x^2)
　　　　　　　　　= 1/(1+x^2)

ですから、

　　∫(1/(1+x^2))dx = -arctan(1/x) + C

とも書けますよね？私が間違っていなければ、arctanx ≠ -arctan(1/x)だったと思うのですが、積分した結果、定数項以外が異なることってあるのでしょうか？どこかで私が計算違いをしているのでしょうか？

ご教授よろしくお願いします。

No.45866 - 2017/09/12(Tue) 13:11:02

☆ Re: 積分 / ヨッシー

x≠0 において、
tan(π/2－y)＝1/tan(y) ですから、
　ｙ＝arctan(x)　→　ｘ＝tan(y)
　1/x＝1/tan(y)＝tan(π/2－y)
　π/2－y＝arctan(1/x)
よって、
　arctan(x)＋arctan(1/x)＝π/2　・・・定数

となり、定数だけ違うということになります。

No.45867 - 2017/09/12(Tue) 14:19:45

☆ Re: 積分 / たなお

ヨッシーさん

回答ありがとうございます！
スッキリしました！助かりました！

No.45868 - 2017/09/12(Tue) 14:32:19

☆ Re: 積分 / らすかる

1/(1+x^2) 及び arctanx は実数全体で定義されますが
-arctan(1/x) は不連続点がありますので
∫(1/(1+x^2))dx = -arctan(1/x) + C はまずいと思います。
実際
∫[-1～1](1/(1+x^2))dx = arctan(1)-arctan(-1) = π/2
は正しいですが
∫[-1～1](1/(1+x^2))dx = -arctan(1/1)+arctan(1/(-1)) = -π/2
となってしまい、正しい答えが出ません。

No.45879 - 2017/09/13(Wed) 02:39:52

★ 漸化式 / 花火のような光だとしたって

次の条件を満たす数列{a[n]}の一般項を求めよ。

(1)a[1]=3,a[n+1]=2a[n]-n^2+n

(2)a[1]=2,a[2]=1,a[n+2]=a[n+1]-2a[n]

よろしくお願いします。

No.45863 - 2017/09/12(Tue) 01:20:09

☆ Re: 漸化式 / らすかる

(1)
a[n+1]=2a[n]-n^2+n から
a[n+1]-(n+1)^2-(n+1)-2=2(a[n]-n^2-n-2)
b[n]=a[n]-n^2-n-2 とおくと
b[n+1]=2b[n], b[1]=a[1]-1-1-2=-1 なので
b[n]=-2^(n-1)
∴a[n]=b[n]+n^2+n+2=-2^(n-1)+n^2+n+2

(2)
a[n+2]=a[n+1]-2a[n] から
a[n+2]+{(i√7-1)/2}a[n+1]={(i√7+1)/2}(a[n+1]+{(i√7-1)/2}a[n])
b[n]=a[n+1]+{(i√7-1)/2}a[n] とおくと
b[n+1]={(i√7+1)/2}b[n], b[1]=a[2]+{(i√7-1)/2}a[1]=i√7 なので
b[n]=(i√7){(i√7+1)/2}^(n-1) すなわち
a[n+1]+{(i√7-1)/2}a[n]=(i√7){(i√7+1)/2}^(n-1)
これより
a[n+1]=-{(i√7-1)/2}a[n]+(i√7){(i√7+1)/2}^(n-1)
変形して
a[n+1]-{(i√7+1)/2}^n=-{(i√7-1)/2}{a[n]-{(i√7+1)/2}^(n-1)}
c[n]=a[n]-{(i√7+1)/2}^(n-1) とおくと
c[n+1]=-{(i√7-1)/2}c[n], c[1]=a[1]-1=1 なので
c[n]={-{(i√7-1)/2}}^(n-1)
∴a[n]={(i√7+1)/2}^(n-1)+c[n]={(i√7+1)/2}^(n-1)+{-{(i√7-1)/2}}^(n-1)

No.45864 - 2017/09/12(Tue) 02:08:02

★ 複素数の問題 / たなお

複素数の問題で質問があります。

添付画像の大問6の(1)が分かりません。
証明方法をご教授願えますでしょうか。
ちなみに z = x + yi です。

よろしくお願いいたします。

No.45856 - 2017/09/11(Mon) 20:07:48

☆ Re: 複素数の問題 / IT

前半は,和と実数倍と積について考えれば、できると思います。

後半は,ていねいに書くと
(1/G(z))~
1/G(z)の分子と分母にG(z)~を掛けて
=(G(z)~/(G(z)G(z)~))~
=(G(z)~/|G(z)|^2)~
=(G(z)~)~(1/|G(z)|^2)~
=G(z)(1/|G(z)|^2)
=G(z)/(G(z)G(z)~)
=1/G(z)~
前半より
=1/G(z~)

すなわち　(1/G(z))~=1/G(z~)　…(1)

(F(z)/G(z))~
=(F(z)(1/G(z))~
=F(z)~(1/G(z))~
　前半と(1)より
=F(z~)(1/G(z~))
=F(z~)/G(z~)

注）z の共役複素数をz~と書いています。

No.45862 - 2017/09/11(Mon) 23:36:00

☆ Re: 複素数の問題 / たなお

IT　さん

回答ありがとうございます。

説明不足で申し訳無かったのですが、前半がわからなかったので質問させていただきました。前半が正しいと仮定て後半を解くことはできたのですが。。。

説明不足で本当にすいません。
前半も詳しめに教えていただけますでしょうか。

No.45865 - 2017/09/12(Tue) 10:30:42

☆ Re: 複素数の問題 / IT

F(z) の次数をn として,nについての数学的帰納法で示します。

（概要）
n=0,1 のとき　F(z)~=F(z~)成立。

0≦n≦k（kは自然数）のときF(z)~=F(z~)成立を仮定する.
n=k+1のとき
　　　F(z)=az^(k+1)+G(z), (a は実数,G(z)の次数≦k) とおける。
ここで、帰納法の仮定と和・積の共役複素数の性質を使えば
　　　F(z)~=F(z~) が示せます。

No.45870 - 2017/09/12(Tue) 20:28:51

☆ Re: 複素数の問題 / たなお

ITさん

ありがとうございます！
理解できました！

No.45871 - 2017/09/12(Tue) 21:06:02

★ (No Subject) / カエル

この問題の解き方と答えが分かりません。教えてください。よろしくお願いします。グラフがあるとありがたいです。軌跡とか領域の問題と思います。

No.45853 - 2017/09/11(Mon) 10:15:01

☆ Re: / ヨッシー

y=ax と y=x^2-2x+2 を連立させて、
　x^2－(2+a)x＋2＝0　・・・(i)
判別式を取って、
　(2+a)^2－8＝a^2＋4a－4＞０
これより
　a＜－2－2√2 または a＞－2＋2√2
この条件下で、
(i) の解をα、βとすると、Ｐ，Ｑの座標は
　(α, ａα)、(β, ａβ)
△ＰＱＲの重心Ｇの座標は
　((α＋β＋1)/3, ａ(α＋β)/3)
解と係数の関係より
　α＋β＝２＋ａ
よって、Ｇの座標は
　((ａ＋３)/3, ａ(ａ＋２)/3)
ｘ＝(ａ＋３)/3, ｙ＝ａ(ａ＋２)/3　とおく
　ａ＝３ｘ－３
より
　ｙ＝(ｘ－１)(３ｘ－１)
　　＝３ｘ^2－４ｘ＋１　　(定義域には注意）

No.45854 - 2017/09/11(Mon) 11:55:49