ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学 / らる

学校の先生が解説した問題ですが、イマイチ導き方がよくわかりません。

問
次のような三角形ABCについて3辺の長さの比を求めなさい
A:B:C=4:3:5

解答 a:b:c=2√3:2√2:√6+√2

No.44935 - 2017/07/28(Fri) 18:35:00

☆ Re: 数学 / X

まずA,B,Cの値を具体的に求めましょう。

A:B:C=4:3:5
より
A/4=B/3=C/5=k
と置くと
A=4k (A)
B=3k (B)
C=5k (C)
一方条件から
A+B+C=π (D)
(A)(B)(C)を(D)に代入して
12k=π
∴k=π/12
これを(A)(B)(C)に代入して
A=π/3 (A)'
B=π/4 (B)'
C=5π/12 (C)'
よって△ABCの外接円の半径を
Rとすると、正弦定理により
a/sin(π/3)=b/sin(π/4)=c/sin(5π/12)=2R
これより
a=2Rsin(π/3)=R√3
b=2Rsin(π/4)=R√2
c=2Rsin(5π/12)=2Rsin(5π/12)
=2Rsin(π-7π/12)
=2Rsin(7π/12)
=2Rsin(π/3+π/4)
=2R{sin(π/3)cos(π/4)+cos(π/3)sin(π/4)}
=R(√6+√2)/2
∴a:b:c=2√3:2√2:√6+√2

No.44936 - 2017/07/28(Fri) 19:44:07

☆ Re: 数学 / らる

Xさん解答ありがとうございます。

参考にして、問題の解き直しをしたいと思います。

No.44937 - 2017/07/28(Fri) 21:08:58

★ 平均値の定理 / がん

載せた写真の(2)が理解できません。
f(b)－f(a)を見つけて(sinan－sinα)、平均値の定理を用いることはわかりました。(α＜cn＜an　または　an＜cn＜α)
しかしその後が解答を見ても理解できませんでした。その部分を教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.44934 - 2017/07/28(Fri) 18:12:55

☆ Re: 平均値の定理 / IT

> しかしその後が解答を見ても理解できませんでした。その部分を教えて下さい。

その解答よりわかりやすい解答・解説ができるかどうか、その解答を見ないと分からないので回答が付き難いのでは。

No.44938 - 2017/07/28(Fri) 22:51:54

☆ Re: 平均値の定理 / がん

> > しかしその後が解答を見ても理解できませんでした。その部分を教えて下さい。
>
> その解答よりわかりやすい解答・解説ができるかどうか、その解答を見ないと分からないので回答が付き難いのでは。

すみませんでした！解答解説の写真載せます。
再度よろしくお願いします。

No.44940 - 2017/07/29(Sat) 01:43:59

☆ Re: 平均値の定理 / IT

解答の（２）・・・の行を１行目として、何行目から（どういう点が）分かりませんか？　

No.44941 - 2017/07/29(Sat) 08:07:59

☆ Re: 平均値の定理 / がん

> 解答の（２）・・・の行を１行目として、何行目から（どういう点が）分かりませんか？　

6行目までは現在理解できました。
✳はさみうちの原理を用いて証明するために
an－αに近づけているという風に解釈しています。
しかし、7行目の不等式の右側がなんでそれが出てくるのかがわかりません。左側は絶対値なのでゼロとわかりますし、はさみうちの原理の都合で両端をゼロにしたいというのもわかります。
よろしくお願いします。

No.44943 - 2017/07/29(Sat) 12:21:38

☆ Re: 平均値の定理 / IT

|a[n+1]-α|≦(1/2)|a[n]-α| は,任意の自然数n で成立しますから,
|a[n]-α|≦(1/2)|a[n-1]-α|
・・・
|a[3]-α|≦(1/2)|a[2]-α|
|a[2]-α|≦(1/2)|a[1]-α|

から|a[n+1]-α|≦((1/2)^n)|a[1]-α|ということです。　←ここが不明点ですよね？

上から行くと
　|a[n+1]-α|≦(1/2)|a[n]-α|≦(1/2){(1/2)|a[n-1]-α|} ≦(1/2){(1/2){(1/2)|a[n-2]-α|}}
・・・
≦((1/2)^n)|a[1]-α|.
です。

No.44944 - 2017/07/29(Sat) 13:03:31

☆ Re: 平均値の定理 / がん

理解できました！
数列がどんどんnから初項に向かっていって(その間1/2が掛け続けられる)最終的に初項-αになり条件の初項=αで絶対値がゼロになるということですね。ITさんのおかげでわかりやすくかつ自分でも頭を使うことができました！
回答ありがとうございました！

No.44945 - 2017/07/29(Sat) 17:39:33

★ 数学 / 高3 数列の和

高3です。
辺々加えるの意味も計算の仕方もわからずどうして16行目のような等式になるのかわかりません。
教えてください。

No.44931 - 2017/07/28(Fri) 11:16:59

☆ Re: 数学 / ヨッシー

辺々加えての使い方は、
　Ａ＝Ｂ
　Ｃ＝Ｄ
　Ｅ＝Ｆ
辺々加えて
　Ａ＋Ｃ＋Ｅ＝Ｂ＋Ｄ＋Ｆ
のような感じです。

これを理解した上で、
　Ａ－Ｂ＝ax^2＋bx＋c
　Ｂ－Ｃ＝ay^2＋by＋c
　Ｃ－Ｄ＝az^2＋bz＋c
辺々加えて
　Ａ－Ｄ＝a(x^2+y^2+z^2)＋b(x+y+z)＋3c
となるのは分かりますか？

No.44932 - 2017/07/28(Fri) 14:01:55

☆ Re: 数学 / 高3 数列の和

返信ありがとうございます。

左辺はそれぞれ－B.B、－C.C、が打ち消し合って
A－Dが残ることがわかってなかったです。
簡略な文字で考えることで
おかげで理解できました。
ありがとうございました。

No.44933 - 2017/07/28(Fri) 14:25:02

★ 数学 / つま

中3です。
この問題を解いてみたのですが、少し不安なので合っているかどうか教えてもらいたいです。

No.44924 - 2017/07/27(Thu) 20:02:00

☆ Re: 数学 / つま

解答です。

No.44925 - 2017/07/27(Thu) 20:02:58

☆ Re: 数学 / angel

問題ないと思います。
それと、お気づきのことと思いますが、この数列はフィボナッチ数列です。

なお、α,βの値を具体的に求めなくても解くことができるようになっていて、できるならそちらの方が計算がラクです。
余裕があれば挑戦しても良いと思います。

No.44926 - 2017/07/27(Thu) 20:50:46

☆ Re: 数学 / つま

返信ありがとうございます。その計算法も試してみようと思います。

No.44927 - 2017/07/27(Thu) 21:02:12

★ 極限の問題です / 高3　極限

e^x/2x (1+ 2/x )^x (x^3-x^2+1)/e^x

の三つのxを無限大に飛ばす方法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.44920 - 2017/07/27(Thu) 00:38:31

☆ Re: 極限の問題です / らすかる

f(x)=x-4logxとおくと
f'(x)=1-4/x=(x-4)/xからx＞4のときf(x)は増加し、
f(16)=16-4log16=16-16log2＞0（∵2＜eからlog2＜1）なので
x≧16のときx＞4logxすなわちe^x＞x^4　… (*)

lim[x→∞]e^x/2x≧lim[x→∞]x^4/2x　（(*)より）
=lim[x→∞]x^3/2=∞なので
lim[x→∞]e^x/2x=∞

x=2tとおくと
lim[x→∞](1+2/x)^x=lim[t→∞](1+2/(2t))^(2t)
=lim[t→∞]{(1+1/t)^t}^2=e^2

x≧1のときx^3-x^2+1=x^2(x-1)+1＞0なので
0≦lim[x→∞](x^3-x^2+1)/e^x≦lim[x→∞](x^3-x^2+1)/x^4　（(*)より）
=lim[x→∞]1/x-1/x^2+1/x^4=0
∴lim[x→∞](x^3-x^2+1)/e^x=0

No.44930 - 2017/07/28(Fri) 03:13:05

★ 領域 / シンヤン

kが( )内の実数値をとるとき、次の直線の通る範囲を図示せよ。

kx+y+k^2 = 0 (k>0)

[指針] k>0 →kの2次方程式が少なくとも1つの正の解をもつ。

[回答]
k^2 + xk +y =0
[1] 2解とも正 ←→ D =x^2 - 4y≧0, 和 -x>0 , 積 y>0
∴ 0<y≦(x^2)/4 , x<0
[2] 正の解と他の解が0 ←→ -x>0, y=0
∴ x<0, y=0
[3] 正の解と負の解 ←→ y<0

←→この記号は、必要十分条件です。
図は省略します。

質問は、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのはなぜかということです。
条件はk>0だから、kの一方がk=0または、k<0だと、解にあてはまらないから判別式を持ちだしても意味がないと言うことでしょうか。
解に意味がないとすると、[2],[3]、の解と係数の式にもあてはまらないのではないかと思うのですが、そのへんが分からず質問しました。
よろしくお願いします。

No.44911 - 2017/07/26(Wed) 10:06:20

☆ Re: 領域 / IT

[2] k=0 が解ならば、kx+y+k^2 = 0 が実数解を持つという条件は満たしています。

[3] f(k)=kx+y+k^2 とおいたとき、f(0)=y<0 ならば
kx+y+k^2 = 0 は実数解を持つという条件は満たします。

No.44912 - 2017/07/26(Wed) 10:14:49

☆ Re: 領域 / シンヤン

ご回答、ありがとうございました。
参考書の解答で、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのは、省略してあるということでしょうか。

No.44913 - 2017/07/26(Wed) 11:13:49

☆ Re: 領域 / IT

> ご回答、ありがとうございました。
> 参考書の解答で、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのは、省略してあるということでしょうか。

あらためて判別式D≧0を確認する必要がないので、判別式D≧0を書く必要がない。ということです。
気になるようなら書かれても間違いではありませんが。

No.44914 - 2017/07/26(Wed) 11:52:18

☆ Re: 領域 / シンヤン

度々、ありがとうございました。
私の性格でしょうか、はっきりしないと気がすまないのかもしれません。
失礼しました。

No.44915 - 2017/07/26(Wed) 12:22:04

★ (No Subject) / ダブルミリオン*2

関数f(x)が任意の実数x,yに対して、
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+1+y)
を満たし、f'(0)=3とする。
(1)f(x)は微分可能な関数であることを示し、f'(x)を求めよ。
(2)f(x)を求めよ。

この問題の考え方を教えてください!

No.44908 - 2017/07/26(Wed) 08:00:04

☆ Re: / IT

(1)
f(x+h)=f(x)+f(h)+2xh(x+1+h) （注）hはyのままでもいいですが、見慣れているhにしました.
移項して f(x+h)-f(x)=f(h)+2xh(x+1+h)
よって (f(x+h)-f(x))/h=f(h)/h+2x(x+1+h) と変形してf'(0)=3を使う。

No.44910 - 2017/07/26(Wed) 08:54:40

☆ Re: / X

僭越ですが、ITさんの回答に対し補足の形で。

ITさんの方針で
f'(0)=3
であることを使うためには、条件である
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+1+y)
を使って、前準備として
f(0)=0
を証明しておく必要があります。

No.44917 - 2017/07/26(Wed) 23:38:11

★ (No Subject) / TOKO

2n個の整数がある。それらの数をn個ずつ2組に分けたとき、どう分けても各組の数の和S[1],S[2]の差はnより小さいとする。このとき、これらの2n個の数のうち少なくともn+1個は等しいことを証明せよ。

上記の問の解き方を教えてください。

No.44900 - 2017/07/25(Tue) 16:56:26

☆ Re: / IT

対偶が正しいことを示します。

・2n個の整数を昇順に並べ,
　a[1]≦a[2]≦a[3]≦...≦a[n]≦a[n+1]≦...≦a[2n].とします。

・S[1]とS[2]の差が最大になるように,
　S[1]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
　S[2]=a[n+1]+a[n+2]+a[n+3]+...+a[2n]とします。

・2n個の数のうちのどのn+1個を抽出しても,少なくとも一つは異なるとすると,

　a[1],a[2],a[3],...a[n],a[n+1]の少なくとも一つは異なるので,a[1]+1≦a[n+1] となる.

　同様に,a[2]+1≦a[n+2],　a[3]+1≦a[n+3],...,a[n]+1≦a[2n]がいえる.

　このとき,S[2]-S[1]≧nとなる.

・したがって、．．．．

No.44901 - 2017/07/25(Tue) 17:57:14

☆ Re: / TOKO

納得できました。どうもありがとうございます。

No.44918 - 2017/07/26(Wed) 23:38:48

★ (No Subject) / 勉勉

方程式x^2-3lx-1l-ax=0　の実数解の個数を調べろ
ただしaは定数である

lx-1lの部分は絶対値です

答えはaが-3+2√３より小さいとき２こ
-3+2√３のとき３こ　-3+2√３より大きく１より小さいとき３こ　１より大きいとき２こ

となるのは分かっているのですが　この手の問題で
傾きaが大きくなっていったり小さくなっていくとx軸やy軸を超えた時点で傾きの正負がかわりますよね

例えばこの問題だとaが-3+2√３より小さくなっていくとx軸を超えた時点で傾きが正から負にかわってそのまま進むとまた傾きの正負がかわって最終的に一回転してa＝-3+2√３の直線と重なってしまいますよね　そうなってくるとaが-3+2√３より小さいとき実数解の個数が２であるという答えにも反する答えが出てくるし何より傾きのaが-3+2√３より小さくしていったにもかかわらず大きくなってしまいます

ここで質問なのですがこういった直線のグラフで傾きを大きくしていく、小さくしていくという問題では具体的にどのくらいの範囲までが回転の範囲なのでしょうか？

No.44899 - 2017/07/25(Tue) 15:26:39

☆ Re: / らすかる

> 傾きaが大きくなっていったり小さくなっていくとx軸やy軸を超えた時点で傾きの正負がかわりますよね
y=axのグラフが回転してy軸を超えることはありません。
従って
> どのくらいの範囲までが回転の範囲なのでしょうか？
y軸を除く範囲です。

No.44906 - 2017/07/26(Wed) 03:59:31

☆ Re: / 勉勉

理解できました　ありがとうございます

No.44916 - 2017/07/26(Wed) 15:30:30

★ テスト直前 / 大学生です。すみません。

行列
2a+b+c+d b c d
a a+2b+c+d c d
a b a+b+2c+d d
a b c a+b+c+2d
が正則になるための必要十分条件を求めよ

という問題なのですが..．テスト直前で困っています。お願いします。
よろしくお願いします。

No.44893 - 2017/07/25(Tue) 02:02:23

☆ Re: テスト直前 / IT

a+b+c+d=x とおきます。
基本変形していきます。
[x+a,b,c,d][a,x+b,c,d][a,b,x+c,d][a,b,c,x+d]
１、２、３行目から４行目を引いて
→[x,0,0,-x][0,x,0,-x][0,0,x,-x][a,b,c,x+d]
１，２、３列目を４列目に足して
→[x,0,0,0][0,x,0,0][0,0,x,0][a,b,c,2x]
x＝0のとき　[0,0,0,0][0,0,0,0][0,0,0,0][a,b,c,0] なので正則でない。
x≠0のとき
→[x,0,0,0][0,x,0,0][0,0,x,0][0,0,0,2x] 正則。

求める条件はa+b+c+d≠0

No.44905 - 2017/07/25(Tue) 23:29:32