極限の問題です。
1.lim[n→∞][1/(2n+1)+1/(2n+3)+1/(2n+5)+…+1/{2n+(2n-1)}]
2.lim[n→∞](C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)
1.恐らく区分求積の考え方を使うのだと思うのですが、f(k/n)の形を作り出せずに停滞してしまいました。
2.こちらも区分求積に持ち込もうと考え、logをとって項をバラしてみたのですがうまくいかず…。
解説をお願いします。
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No.45476 - 2017/08/18(Fri) 17:39:44
| ☆ Re: 数学?V / みずき | | | 1.
Nを正の整数とするとき、N-1≦x≦Nに対して
1/(2n+1+2x)≦1/(2n+2N-1)≦1/(2n-1+2x)
が成り立つので
∫[N-1,N]dx/(2n+1+2x)≦1/(2n+2N-1)≦∫[N-1,N]dx/(2n-1+2x)
よって
∫[0,n]dx/(2n+1+2x)≦1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)≦∫[0,n]dx/(2n-1+2x)
つまり
(1/2)log{(4+1/n)/(2+1/n)}≦1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)≦(1/2)log{(4-1/n)/(2-1/n)}
はさみうちの原理により
lim[n→∞]{1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)}=(1/2)log2
2.
log{(C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)}
=(1/n)log{(5n)!n!/((3n)!(3n)!)}
=(1/n)Σ[k=1,2n]log{(3n+k)/(n+k)}
=(1/n)Σ[k=1,2n]log{(3+k/n)/(1+k/n)}
→∫[0,2]log{(3+x)/(1+x)}dx （n→∞）
=log(3125/729)
∴lim[n→∞](C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)=3125/729
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No.45480 - 2017/08/18(Fri) 19:57:48 |
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