ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 微分方程式 / たなお

以下の微分方程式を解けという問題なのですが、記載されている正答と一致しません。途中式のどこが間違っているのでしょうか？

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
問題：2(1-y^2)xy dx + (1+x^2)(1+y^2)dy = 0
載っている正答：(1+x^2)y = c(1+y^2)　　（cは任意定数）

以下、自分で行った計算です。

　　　(1+x^2)(1+y^2)dy = 2(y^2 - 1)xy dx
　　⇔(1+y^2)/{y(y^2 - 1)}dy = 2x/(1+x^2) dx
　　⇔∫(1+y^2)/{y(y^2 - 1)}dy = ∫2x/(1+x^2) dx + a　（aは任意定数）
　　⇔∫{2y/(y^2 - 1) - 1/y}dy = ∫2x/(1+x^2) dx + a
　　⇔log(y^2 - 1) - log y = log(1+x^2) + a
　　⇔(y^2 - 1)/y = b(1+x^2)　　　　　　　　　　　　（b = e^a）
　　⇔c(y^2 - 1) = (1+x^2)y　　　　　　　　　　　　（c = 1/a）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

よろしくお願いいたします。

No.44835 - 2017/07/23(Sun) 22:24:57

☆ Re: 微分方程式 / たなお

すいません。一部訂正です。

訂正箇所：計算の最終行
誤：c = 1/a
正：c = 1/b

No.44836 - 2017/07/23(Sun) 22:26:48

☆ Re: 微分方程式 / angel

いえ、特に間違っていないと思います。
その正答の誤植ではないでしょうか。

逆に、得られた答え c(y^2 - 1) = (1+x^2)y を
c=(1+x^2)y/(y^2-1) にして微分してみると分かります。ちゃんと問題文の微分方程式が出てきます。

No.44842 - 2017/07/23(Sun) 23:35:57

☆ Re: 微分方程式 / たなお

angelさん

ありがとうございます！

ちなみにこの場合、出版社に連絡とかした方がいいのでしょうか？
そういうことはあまりしない方がいいのでしょうか？差し出がましいですかね？

No.44844 - 2017/07/23(Sun) 23:58:37

☆ Re: 微分方程式 / angel

> ちなみにこの場合、出版社に連絡とかした方がいいのでしょうか？
> そういうことはあまりしない方がいいのでしょうか？差し出がましいですかね？

された方が親切ではあると思います。
どれくらい真剣に対応してくれるかは出版社次第でしょうけど。
まあ、余裕があれば、でいいのではないでしょうか。

No.44850 - 2017/07/24(Mon) 01:07:17

☆ Re: 微分方程式 / たなお

angelさん

分かりました。
問い合わせ先に連絡してみます。
ありがとうございました。

No.44856 - 2017/07/24(Mon) 07:51:06

★ (No Subject) / 名無しさん

画像の行列式の値を求めよ、という問題の解き方が全くといっていいぐらいわかりません。分かりやすく教えて下さると助かります。

No.44826 - 2017/07/23(Sun) 14:34:43

☆ Re: / たなお

第１列のx倍を第２列に足すと、第２列は

0
1
0
0
・
・
・
xa0 + a1

と成ります。そこからさらに、第２列のx倍を第３列に足すと

0
0
1
0
・
・
・
x^2a0 + xa1 + a2

と成ります。
同様のことを繰り返して行くと、最終的に

　　1　　　 0　　　　　　 0　　　　・・・・ 0
　　0　　　1 　　　　　　 0　　　　・・・・ 0
　　0　　　0　　　　　　 1　　　　・・・・ 0
　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　　0　　　0　　　　　　0　　　　　　・・・0
　　a0 (xa0 + a1) (x^2a0 + xa1 + a2)　　　　 F

　　　※F = Σ[i=0→n]x^(n-i)ai

となります（各列のバランスが悪くてすいません）。
要するに、Σ[i=0→n]x^(n-i)ai の計算結果がこの行列式の答えになります。

No.44841 - 2017/07/23(Sun) 23:05:57

☆ Re: / ast

さほど変わらないとは思いますが, 問題の行列式を P(n;a_0,…,a_n) と書くと第一行に関する余因子展開は

　P(n;a_0,…,a_n) = 1*P(n-1;a_1,…,a_n) - (-x)*a_0*(-1)^(1+n)(-x)^(n-1)
# 第二項は、(1,2)-余因子をさらにその第一列に関して余因子展開した.

となるので, あとは帰納的に P(n;a_0,…,a_n) = a_0*x^n + a_1*x^(n-1) + … + a_{n-1}*x + a_n です.

No.44855 - 2017/07/24(Mon) 05:06:05

★ (No Subject) / 龍人

次の連立方程式を満たす整数値の個数を求めよ。
6≤46‐2x≤40

6≤46‐2x
x≤20

46‐2x≤40
x≧3

20‐(3－1)＝18

この1は何を数えてますか？

No.44822 - 2017/07/23(Sun) 11:58:39

☆ Re: / らすかる

その1は「3より1小さい数」の1ですね。
(3以上20以下の整数の個数)
=(20以下の自然数の個数)-(3未満の自然数の個数)
=(20以下の自然数の個数)-((3-1)以下の自然数の個数)
=20-(3-1)
です。

No.44828 - 2017/07/23(Sun) 14:43:57

☆ Re: / Kenji

僭越ながら私も参加します。
{3,4,5,6,～,20}の要素の数を求める問題です。
いろいろな考え方があります。

［考え方その1］
{1,2,3,4,5,6,～,20}は20個
{1,2,3}は3個
引き算して
{4,5,6,～,20}は17個
このままでは質問の答にならないので{3}を追加して
∴{3,4,5,6,～,20}は18個
計算式としては20-3+1=18
質問者さんの提示された式と合致しません。

［考え方その2］
{1,2,3,4,5,6,～,20}は20個
{1,2,3}は3個
{1,2}は2個
∴{3,4,5,6,～,20}は18個
計算式としては20-(3-1)=18

［考え方その3］
小さい順に1から始まるシリアルナンバーをつける。
{3,4,5,6,～,20}
{1,2,3,4,～,??}
という形式の穴埋め問題となる。
元の数字とシリアルナンバーの差が一定であることから
答は20-(3-1)=18
この考え方を別の形で表現すると、
モノの数を数えるときは1から始めないといけないのに、いきなり'3'と数えてしまった。
(3-1)=+2の誤差を含んでカウントした結果が20であるから、
正しい答は20-(3-1)=18個

モノの数を数えるとは、
1から始まるシリアルナンバーを付与した上で、その最大値を答えるということです。
(1)最初に1から数え始める
(2)同じモノを複数回数えない
(3)数えもらしがない
この3つを守れていれば正しい結果を得られます。
守れてないことを承知の上で数えて、後から誤差を修正する場合もあります。

No.44829 - 2017/07/23(Sun) 15:34:45

☆ Re: / 龍人

ありがとうございました。

No.44833 - 2017/07/23(Sun) 18:29:32

★ Σ / ζ

Σ［i＋j＋1,｛i,j｝］とは、どういう意味なのでしょうか？
k=1~nとかなら意味は分かるのですが。

No.44821 - 2017/07/23(Sun) 11:41:17

☆ Re: Σ / angel

> Σ［i＋j＋1,｛i,j｝］

この表現だと意味が良く分かりませんが、Σ[k=1～n] a[k] 以外の表現はあります。
と言うのは、これだと1次元的な広がり、しかも連番にしか対応できないためで、例えば
　a[2]+a[3]+a[5]+a[7]+…+a[19]
のように、素数番目の項の和を計算するような表現がし辛いからです ( できないことはないけど )

なので、こういう場合 Σ[k≦19,kは素数] a[k] のように、開始値・終了値ではなくて条件を書きます。
なお、Σ[k=1～n] a[k] というのも、Σ[1≦k≦n, kは整数] a[k] のように書いてしまっても良いわけです。

しかも、この書き方だと添え字が2種類になっても対応できます。
例えば、Σ[i≧1,j≧1,i+j≦n] a[i,j] のように、ですね。
例えば n=4 の場合であればこれは
　a[1,1]+a[1,2]+a[1,3]+a[2,1]+a[2,2]+a[3,1]
のことを表します。

ご質問にある式も、そういうような意図で書かれたものに思えるのですが、ただその表現では意味が通じないでしょうね。

No.44848 - 2017/07/24(Mon) 01:00:46

☆ Re: Σ / angel

なおこの「条件」というのは、お気づきかも知れませんが、集合を表現するときと全く同じです。

例えば、nによって定まる集合S(n)を、
　S(n)={(i,j)|i≧1,j≧1,i+j≦n}
とすれば、S(4)={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} ですし、上で挙げた Σ[i≧1,j≧1,i+j≦n] a[k] も Σ[(i,j)∈S(n)] a[k] と書くことができます。

No.44849 - 2017/07/24(Mon) 01:05:07

★ (No Subject) / ルッカ

この問題の解説をお願いします。

[問]

空間内に3点A(0,0,1),B(2,1,0),C(0,2,1)がある。点Pがxy平面上を、点Qが直線AB上を動くとき、距離CP,PQの和CP+PQが最小となる点P,Qの座標を求めよ。

どうぞよろしくお願いします。

No.44820 - 2017/07/23(Sun) 11:40:06

☆ Re: / らすかる

Q(2-2t,1-t,t)とおくと
t=0のときQ=B,t=1のときQ=Aなので
t＞0のときCとQはxy平面に関して同じ側、
t＜0のときCとQはxy平面に関して反対側
となります。

t=0のときCP+PQが最小となるのはP=Qの場合でCP+PQ=CB=√6

t＜0のときCP+PQが最小となるのはPが直線CQとxy平面の交点のときです。
直線CQは((2-2t)s,(1-t-2)s+2,(t-1)s+1)と表すことが出来て
xy平面との交点は(t-1)s+1=0すなわちs=1/(1-t)のときなので
Pは((2-2t)/(1-t),(1-t-2)/(1-t)+2,0)で
CP+PQ=CQ=√{(2-2t)^2+(-1-t)^2+(t-1)^2}=√(6t^2-8t+6)
しかしt＜0のとき√(6t^2-8t+6)＞√6なのでCP+PQは最小になりません。

t＞0のときはxy平面に関してCと対称な位置の点をC'(0,2,-1)とすれば
CP=C'Pとなりますので、CP+PQ=C'P+PQが最小となるのはPが直線C'Qと
xy平面の交点のときです。
直線C'Qは((2-2t)s,(1-t-2)s+2,(t+1)s-1)と表すことが出来て
xy平面との交点は(t+1)s-1=0すなわちs=1/(t+1)のときなので
Pは((2-2t)/(t+1),(1-t-2)/(t+1)+2,0)で
CP+PQ=C'P+PQ=C'Q=√{(2-2t)^2+(-1-t)^2+(t+1)^2}=√(6t^2-4t+6)
=√{6(t-1/3)^2+16/3}なのでt=1/3のときに最小値√(16/3)=4/√3をとります。
このときP(1,1,0),Q(4/3,2/3,1/3)です。

No.44827 - 2017/07/23(Sun) 14:38:17

★ 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。

大学生は自分で解けと書いてあるにも関わらず、質問させていただきます。申し訳ありません。

Aがベキ等行列のとき、｜A|はどのような値をとるか。

どこから手を付ければいいのかわかりません。。。
よろしくお願いします。

No.44808 - 2017/07/22(Sat) 23:09:59

☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / IT

「Aがベキ等行列」を式で表して、

A が正則行列のときとそうでないときに分けて考えれば良いのでは

A が正則行列のときは,Aの逆行列をA^(-1)としてAA^(-1)=E を使えば良いと思います。

No.44809 - 2017/07/22(Sat) 23:19:19

☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。

正則の時が1になったのですが合ってるでしょうか。
また正則でないときはどのようにすればいいのでしょうか。
理解が悪く申し訳ありません。

No.44810 - 2017/07/22(Sat) 23:55:08

☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。

言い忘れました。すみません。

返答ありがとうございます。

No.44811 - 2017/07/22(Sat) 23:56:13

☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / IT

> 正則の時が1になったのですが合ってるでしょうか。
合っていると思います。

> また正則でないときはどのようにすればいいのでしょうか。
正則でないとき、行列式＝0ですよね？
( 基本的なことなので、テキストで確認されることをお勧めします。）
非正則でベキ等行列であるような行列の存在を示せばよいと思います。

No.44812 - 2017/07/23(Sun) 00:01:30

☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。

あ。。。
完全に意識から抜けてました笑
ご丁寧にありがとうございます！

No.44813 - 2017/07/23(Sun) 00:53:32

☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / IT

|A||A|=|A| ⇔|A|=1,0 でも良かったかも。

No.44814 - 2017/07/23(Sun) 04:17:18

★ (No Subject) / 高3

ABを直径とする半円がある。周上の弦PQで折り返したとき、折り返された弧がABに接したとする。このような弦PQの存在する範囲を図示せよ。

No.44805 - 2017/07/22(Sat) 21:09:58

☆ Re: / X

座標平面上に
A(r,0),B(-r,0)
(但しr＞0)
と取り、半円を
x^2+y^2=r^2 (y≧0) (A)
にとっても一般性を失いません。

さてこのとき、弦PQで折り返した弧を
含む円の方程式は
(x-a)^2+(y-r)^2=r^2 (B)
(但し,-r≦a≦r (C))
(A)(B)を連立して解くと
(A)-(B)より
2ax+2ry=a^2+r^2 (D)
これが点P,Qを通る直線の方程式です。
さて(D)を変形すると
a^2-2xa-2ry+r^2=0 (D)'
(D)'をaの方程式と見たとき、(C)の
範囲で解を持つ条件を考えていきます。

ここで弦PQは半円の内部にありますので
x^2+y^2≦r^2かつy≧0 (E)
∴-r≦x≦r (F)
f(a)=a^2-2xa-2ry+r^2
と置き、横軸にa、縦軸にf(a)を取った
グラフを(C)の範囲で描くと、グラフの
軸は(F)より(C)の範囲内にありますので
題意を満たすためには
f(x)=-x^2-2ry+r^2≦0 (G)
f(-r)≧0又はf(r)≧0 (H)
(G)より
y≧-(1/(2r))x^2+r/2 (G)'
(H)より
2r^2-2xr-2ry≧0又は2r^2+2xr-2ry≧0
∴r-x-y≧0又はr+x-y≧0
∴y≦x+r又はy≦-x+r

以上をまとめると求める弦PQの存在範囲は
y≧-(1/(2r))x^2+r/2
x^2+y^2≦r^2
y≧0

放物線
y=-(1/(2r))x^2+r/2
の準線が直線y=r、焦点の座標が(0,0)
であることに注意して、座標軸を
使わない表現にすると、

弦PQの存在範囲は
半円の中心を焦点、半円の中心を通り
半円の直径に垂直な直線と半円との交点を
接点とする半円の接線を準線とする放物線
と半円で囲まれた領域
となります。

No.44807 - 2017/07/22(Sat) 22:53:49

★ 力学の途中の計算 / たなお

力学の途中の計算で、分からない部分があります。

同じ問題について、以下の知恵袋に解法に関する投稿がありました。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1169234496

内容を読んでほとんど理解できたのですが、一部の変形が、自分でやると上手くいきません。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜該当の変形箇所＞

kv/g << 1

t = 2v/g・[ 1/(1+kv/g) + 2kv/{ 3g(1+kv/g)^2 } ]　・・・※１
x = ut/(1+kv/g)　　　　　　　　　　　　　　　　・・・※２

↓（※２に※１を代入）

x = 2uv/g・{ 1 - 4kv/(3g) }　　　　

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

自分で代入をしてみると、x = 2uv/g・{ 1 + 2kv/(3g) } になってしまいます。
しかし、記載されている答えからすると、知恵袋に載っている変形がただしいようです。

どう変形すると上の様になるのか、教えていただけないでしょうか？

No.44803 - 2017/07/22(Sat) 19:50:15

☆ Re: 力学の途中の計算 / 黄桃

Y=kv/g とおけば、「※２に※１を代入」した式は
x=(2uv/g){(1+(5/3)Y)/(1+Y)^3}
です。
{}内をマクローリン展開して1次の項までとればちゃんと1-(4/3)Yとなります。

＃知恵袋の元の答には「上のtを代入して，kv/g << 1 に関して１次までとれば，」
＃とあるのに、肝心な後の部分を省略するのはひどすぎます。
＃答がわかっていて、それと合わないのであれば、どこかで計算間違い
＃したのでしょう。分母を(1+Y)で割るのを(1+Y)を掛けてしまったとか。
＃大学生以上とお見受けしますので、こういうことは自分で修正できるようにしましょう。

No.44815 - 2017/07/23(Sun) 09:19:19

☆ Re: 力学の途中の計算 / たなお

黄桃さん

ありがとうございます。
確かに、書き方が悪かったかもしれません。以後気をつけます。

No.44825 - 2017/07/23(Sun) 12:40:57

★ クレーローの微分方程式 / たなお

クレーローの微分方程式に関する問題について質問があります。

添付画像の右中央部にある例題１ですが、一般解と特異解の求め方は、解答を読みながら理解できました。
しかし、以下の点についてわからない部分があります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜疑問点＞
特異解として導き出した x^2 + y^2 = 1 から y' を求めると

　　　x^2 + y^2 = 1
　⇔　2x + 2yy' = 0
　⇔　y' = -x/y

ここで、x + p/√(1 + p^2) の p に y' を代入すると

　　　x + (-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
　 =　x + (-x)/√(x^2 + y^2)
　 =　x - x
　 =　0

しかし、x - p/√(1 + p^2) の p に y' を代入すると

　　　x - (-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
　 =　x - (-x)/√(x^2 + y^2)
　 =　x + x
　 =　2x
　 ≠　0
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

0 = x ± p/√(1 + p^2) に対し、特異解 x^2 + y^2 = 1 が上手く当てはまっていない様に思えます。自分がどこで考え違いをしているのかわかりません。

どなたかご教授よろしくお願いいたします。

No.44801 - 2017/07/22(Sat) 17:24:26

☆ Re: クレーローの微分方程式 / 黄桃

>　　　x + (-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
>　 =　x + (-x)/√(x^2 + y^2)

ここで、y≧0 を仮定していますね。
y≧0 の時はこの通りで、y≦0の時は、
x-(-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
が0になります。

元の微分方程式を満たすことを確認するのが筋ではないでしょうか。

No.44816 - 2017/07/23(Sun) 09:21:22

☆ Re: クレーローの微分方程式 / たなお

黄桃さん

ありがとうございます！
確かに、x - p/√(1 + p^2) のときは y≦0 ですね！
スッキリしました！

No.44824 - 2017/07/23(Sun) 12:36:34

★ 図形 / ぼのぼ

問題
平面上に点Oを中心とし、点A[1]、A[2]、A[3]、A[4]、A[5]、A[6]を頂点とする正六角形がある。Oを通り、その平面上にある直線lを考え、各点A[k]との距離をそれぞれd[k]とする。このとき、D=(d[1])²+(d[2])²+(d[3])²+(d[4])²+(d[5])²+(d[6])²の値を求めよ。ただし、OA[k]=rとする。

よろしくお願い致します。

No.44791 - 2017/07/21(Fri) 20:57:59

☆ Re: 図形 / X

条件から座標平面上に
A[1](r,0),A[2](r/2,r(√3)/2),A[3](-r/2,r(√3)/2)
,A[4](-r,0),A[5](-r/2,-r(√3)/2),A[6](r/2,-r(√3)/2)
と取り、更にlの方程式を
xsinθ-ycosθ=0
(0≦θ＜π)
と置いても一般性を失いません。
このとき、点と直線との間の距離の公式により
d[1]=d[4]=r|sinθ|
d[2]=d[5]=(r/2)|sinθ-(√3)cosθ|
d[3]=d[6]=(r/2)|sinθ+(√3)cosθ|
∴(d[1])^2+(d[2])^2+(d[3])^2+(d[4])^2+(d[5])^2+(d[6])^2
={(d[1])^2+(d[4])^2}+{(d[2])^2+(d[5])^2}+{(d[3])^2+(d[6])^2}
=(2r^2)(sinθ)^2+{(r^2)/2}|sinθ-(√3)cosθ|^2+{(r^2)/2}|sinθ+(√3)cosθ|^2
=(2r^2)(sinθ)^2+(r^2)(sinθ)^2+(3r^2)(cosθ)^2
=3r^2

No.44793 - 2017/07/21(Fri) 21:48:48

☆ Re: 図形 / らすかる

別解
直線lをy軸、A[k]=(rcos(θ+kπ/3),rsin(θ+kπ/3))とおけば
D=Σ[k=1～6](rcos(θ+kπ/3))^2
=(r^2)Σ[k=1～6](1+cos(2θ+2kπ/3))/2
=3r^2+(2r^2){cos(2θ+2π/3)+cos(2θ+4π/3)+cos(2θ+6π/3)}
=3r^2

No.44794 - 2017/07/21(Fri) 22:50:10

☆ Re: 図形 / ぼのぼ

ありがとうございました。

No.44806 - 2017/07/22(Sat) 21:10:48

★ Re: Re:確率 / 前進

この4C2という考え方がわかりません。４つの中から２つ選らんで、並び方はどうでもいいのですが〇〇□□と〇□□〇は違いますが、〇〇を左に並べるときもあれば〇□□〇のように左右の端に分かれるときもあります。

ふたつ例えば〇〇を選べば□□の並び方がなぜ決定するのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.44784 - 2017/07/21(Fri) 12:10:56

☆ Re: Re:確率 / 前進

それともなにかわからない？？？？があってそこに〇〇をいれていくということでしょうか？

4C2で４つの？から２つ選んでそこに〇は同じすし、組み合わせは並び方を考慮しないので２つ〇を埋めればあとは勝手に□□が決まるということでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.44785 - 2017/07/21(Fri) 12:15:01

☆ Re: Re:確率 / 前進

たった6通りですので書き出してみました

No.44786 - 2017/07/21(Fri) 12:18:40

☆ Re: Re:確率 / ヨッシー

>なにかわからない？？？？があってそこに〇〇をいれていく
が近いです。
「なにかわからない」ではなく「○か□か決まっていない」です。

例えば、○○？？となったら、２箇所の？に□を２個入れます。
ですので、
>ふたつ例えば〇〇を選べば□□の並び方がなぜ決定するのでしょうか？
は、空き席が２つしかない所に２つの□を入れるので、１通りしかありません。

厳密に書けば、2Ｃ2＝1 ですが、ほぼ自明ですので、省略することが多いです。

書き並べたその６通りが、まさに 4Ｃ2 です。

No.44787 - 2017/07/21(Fri) 12:44:46

☆ Re: Re:確率 / 前進

あぁ2Ｃ2＝1通りですから省略するのですか。なるほど、しかしコンビネーションの定義は異なるn個のものから異なるr個を選ぶ組み合わせとありますが何が異なるのでしょうか？

？はすべて同じ記号ですし、確率は同じリンゴでも例えばA1,A2というように同じ程度に確からしくなくなるので区別するとありました。しかし場合の数は区別しません。

この2Ｃ2におけるCの意味が知りたいです。宜しくお願い致します。

No.44788 - 2017/07/21(Fri) 14:22:45

☆ Re: Re:確率 / 前進

1番は確率でなく、場合の数ですの
で〇〇や□□のように区別していません。

この問題は選ぶのとｃ　並べるのを分けていてP、今は選んでいる場面ということよろしいでしょうか？

自分でももう一度考えてみます

No.44789 - 2017/07/21(Fri) 14:40:39

☆ Re: Re:確率 / ヨッシー

>何が異なるのでしょうか？
場所が違います。
「並べる」ですから、順番は区別されます。

これがもし、４個のボールがあって、Ａさん、Ｂさんに
２個ずつ分ける方法は？だと、１通りです。

No.44790 - 2017/07/21(Fri) 17:17:53

☆ Re: Re:確率 / angel

> この問題は選ぶのとｃ　並べるのを分けていてP、今は選んでいる場面ということよろしいでしょうか？

あんまり、選ぶとか並べるとかの「行為」と C,P とかいった「計算」とを直結させない方が良いです。大抵混乱します。

ベースは、

・異なる(区別の有る)ものを単純に並べる場合は P で計算「できます」よ
・異なるものを単純に ( 組み合わせを ) 選ぶ場合は C で計算「できます」よ

であって、ただ各問題を解くにあたってはそんな単純にはいかないのでどう応用しましょうか、という話であって、「並べる=P」「選ぶ=C」はこういう極々単純なところまで問題をブレイクダウンした後の話です

No.44817 - 2017/07/23(Sun) 10:33:20

☆ Re: Re:確率 / angel

「○○□□を並べる」という話であれば、

・並べる場所に 1～4 という番号を振る
・○を置く場所分の2つを選ぶ
　… これは、(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) の 6=4C2通り
・選んだ場所以外には□を並べる
　例えば(1,4)を選んだら、残り(2,3)には□なので ○□□○ という並べ方

という考え方ができるので、だから 4C2 で計算できます、ってことです。

なお、ここの説明で出てきた 1～4 なんかの番号は説明用に勝手に設定したものであって、その通りにしなければならない訳ではありません。
が、そう説明しても「問題としては同じ」ということで。見た目が異なる問題を、いかに上手く ( こういう説明を付け加えたりすることで ) 同じ問題に変えて解くか、というのは大事なところです。

No.44818 - 2017/07/23(Sun) 10:47:41

☆ Re: Re:確率 / 前進

丁寧な説明をありがとうございました。かなりわかりやすかったです。

No.44861 - 2017/07/24(Mon) 09:30:23

☆ Re: Re:確率 / 前進

見た目が異なる問題を、いかに上手く ( こういう説明を付け加えたりすることで ) 同じ問題に変えて解くか、というのは大事なところです。

今している講座は特にそのような考え方が多いのでかなり学ばせていただいております。しきりを入れた順列など、

一歩ずつ新しい考えかたを取り入れながら前進していきます

No.44863 - 2017/07/24(Mon) 09:57:37

☆ Re: Re:確率 / 前進

もし6通りすべてを書けと言われたら、私の紙の方法だとすべてを洗い出す自信はないので(特に規則を決めて書いているわけではない)

・並べる場所に 1～4 という番号を振る
・○を置く場所分の2つを選ぶ
　… これは、(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) の 6=4C2通り
・選んだ場所以外には□を並べる
　例えば(1,4)を選んだら、残り(2,3)には□なので ○□□○ という並べ方

という考えかたは素晴らしいと思います。

ありがとうございました

No.44868 - 2017/07/24(Mon) 11:12:23

★ 大学数学　収束 / 大学生

a[n+1]=1/2*(a[n])^2-a[n]
a[1]=1
が収束することを示し、その極限を求めよ

お願いします

No.44779 - 2017/07/20(Thu) 19:27:05

☆ Re: 大学数学　収束 / IT

（概要）
f(x)=(1/2)x^2-x とおく.
y=f(x) とy=x のグラフを描いてa[n] の挙動を調べると
a[n]→0(n →∞) が推測されます。

0＜a[3]＜a[1]≦1　を確認。

-1/2≦x＜0のとき　f(x)は狭義単調減少で　0＜f(x)≦１。
0＜x≦1のとき　　f(x)は狭義単調減少で　-1/2≦f(x)＜0。

よって,0＜a[3]＜a[1]≦1　→　　-1/2≦a[2]＜a[4]＜0 →　0＜a[5]＜a[3]≦1　→ ...となる
数学的帰納法により　0＜a[2n+1]＜a[2n-1]≦1,-1/2≦a[2n]＜a[2n+2]＜0.

漸化式から,
a[n+2]-a[n+1]=(1/2)(a[n+1]+a[n]-2)(a[n+1]-a[n]).
a[n+1]+a[n]=(1/2)a[n]^2＜2.

(1)あるα>0 があって、任意のｎについて、α≦(1/2)a[n]^2と仮定すると、
　-2＜α-2≦a[n+1]+a[n]-2＜0
|a[n+2]-a[n+1]|≦|(1/2)(α-2)(a[n+1]-a[n])|≦|(2-α)/2|^n|a[2]-a[1]| →0

このときa[n]→0。(矛盾）

よって(1)でない。　
したがってa[n]^2 →0　(注)理由の説明が必要です。

No.44781 - 2017/07/20(Thu) 23:35:33

☆ Re: 大学数学　収束 / らすかる

別解
a[n+1]=(1/2)(a[n])^2-a[n] から
a[n+2]={(a[n])^4-4(a[n])^3+8a[n]}/8
1/{(x^4-4x^3+8x)/8}^2-1/x^2
={(4-x)(16-4x^2+x^3)}/{(2-x)(4+2x-x^2)}^2
0＜x≦1のとき
4-x≧3, 16-4x^2+x^3≧13, 1＜2-x≦2, 4＜4+2x-x^2≦5なので
1/{(x^4-4x^3+8x)/8}^2-1/x^2≧(3・13)/(2・5)^2＞1/3
また0＜x≦1のとき(x^4-4x^3+8x)/8=x(2-x)(4+x(2-x))/8＞0
従って
0＜a[n]≦1のとき1/(a[n+2])^2-1/(a[n])^2＞1/3、0＜a[n+2]＜1となるので、
m→∞のとき1/(a[2m+1])^2→∞すなわちa[2m+1]→0
またa[2m+1]→0のときa[2m+2]=(1/2)(a[2m+1])^2-a[2m+1]→0なので
lim[n→∞]a[n]=0

No.44783 - 2017/07/21(Fri) 08:15:39