ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高1 数IA / みあ

命題の真偽の分野が苦手で解答を見ても、どうしてこうなるのか理解できない状態です。
質問は写真の方に書かせて頂きました。
この分野が分かりやすく理解できる方法などあったら教えて頂きたいです。よろしくお願い申し上げます。

No.45786 - 2017/09/07(Thu) 10:51:47

☆ Re: 高1 数IA / らすかる

> 二本線
二本線ではありません。
Qが{x　　|　　x＜3}であるのに対し
Pは{x　　|　　|x|＜3}ということです。

> PとQは
Pは|x|＜3を満たす値の集合
Qはx＜3を満たす値の集合
ですが、問題文に
|x|＜3 ならば x＜3
とありますのでそれぞれを集合の形で書いたものです。

No.45787 - 2017/09/07(Thu) 11:11:29

☆ Re: 高1 数IA / みあ

ごめんなさい。
もう少し崩して教えて頂けませんか(;_;)

No.45788 - 2017/09/07(Thu) 13:49:22

☆ Re: 高1 数IA / ヨッシー

横から失礼します。

「実数ｘについて」とありますが、これがもし、
「－９以上９以下の整数ｘについて」であるとして、
集合Ｐ，集合Ｑに含まれる数を
　｛－５，－３，－１，１，３，５｝
のように、並べあげることは出来ますか？

（１）がわかれば、（２）も出来るでしょうから、（１）だけで結構です。

No.45789 - 2017/09/07(Thu) 14:24:36

☆ Re: 高1 数IA / みあ

ラスカルさん、ヨッシーさん、ごめんなさい。
-9以上9以下の整数Xであるときの集合P.Qとはどう書けばいいか分かりません。

⑴はこういうことだと思うのですが、下の式みたいなのの書き方が分からないです。
{x II x l <3｝はどうしてこういう書き方になるんですか？
この絶対値みたいな線はどこから来たんでしょうか…

通信で授業がない為、独学なんですが理解力なくて…
ご迷惑おかけして本当にみません。
よろしくお願い致します。

No.45790 - 2017/09/07(Thu) 15:35:25

☆ Re: 高1 数IA / らすかる

{x|○}というのは
「○という条件にあてはまるxの集合」
という意味です。
そしてPは○の条件が|x|＜3なので
P={x|　|x|＜3}
となっています。
二本線に見えるのは
{x|←この線と
この線が→|x|＜3
連続しているからです。

No.45791 - 2017/09/07(Thu) 15:54:44

☆ Re: 高1 数IA / みあ

解決しました！
そういう意味だったんですね！
ありがとうございました。
頑張ります！

No.45792 - 2017/09/07(Thu) 16:38:22

☆ Re: 高1 数IA / ヨッシー

整数の場合は、ややこしくなるようなら、忘れても良いです。
一応、想定していた回答は
　Ｐ＝｛-2, -1, 0, 1, 2｝
　Ｑ＝｛-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2｝
であり、Ｐの数字（要素と言います）は、全部Ｑに含まれるので、
　Ｐ⊂Ｑ
と言える。
というものです。

No.45793 - 2017/09/07(Thu) 16:40:07

★ 分割の問題です / 神戸っ子

全然わかりません
お手数おかけして申し訳ありませんが、誰かお願いします

【問題】
等しい二辺が30mの直角二等辺三角形を５等分した時の最大の面積を求めよ
なお、５等分するにあたり、分割したその５つは、面積、図形が同じものであるとする

No.45776 - 2017/09/06(Wed) 19:46:03

☆ Re: 分割の問題です / らすかる

同じ図形5個に分割できるのかどうかわかりませんが、
もし出来るのなら「5等分」ですから
面積は当然1/5の90m^2になると思います。
「最大の面積」は意味不明ですね。

No.45778 - 2017/09/06(Wed) 20:45:21

★ 単調増加であることの証明 / tutuz

a[1]>0, ... ,a[n]>0を定数とする。α>0に対し

F(α) = ((a[1]^α+...+a[n]^α) / n)^(1/α)と定義する.

F(α)が区間(0, +∞)で単調増加であることを示せ.
---
という問題なのですが、以下の議論で問題ないでしょうか？？

相加相乗定理より

(a[1]^α+...+a[n]^α) / n ≧ (a[1]^α...a[n]^α)^(1/n)
⇔(a[1]^α+...+a[n]^α) / n ≧ (a[1]...a[n])^(α/n)
⇔((a[1]^α+...+a[n]^α) / n)^(1/α) ≧ (a[1]...a[n])^(1/n)
である。

ここでα≦βなるβに対して、

F(β) - F(α) = ((a[1]^β+...+a[n]^β) / n)^(1/β) - ((a[1]^α+...+a[n]^α) / n)^(1/α)
≧ (a[1]...a[n])^(1/n) - (a[1]...a[n])^(1/n) = 0

よってF(β) ≧ F(α) より単調増加であることが示された.

教科書では、G(α)=x^α の下に凸である性質を用いて、証明していたのですが、
自分の上記の方法でも問題ないか教えていただけないでしょうか。

No.45774 - 2017/09/06(Wed) 08:44:39

☆ Re: 単調増加であることの証明 / らすかる

問題があります。
例えば
6≧4
5≧2
のとき
6-5≧4-2
は成り立ちませんので
F(β)-F(α)の式変形は誤りです。

実際、その式変形だと
F(α)-F(β)≧0
も成り立ち、
任意のα,βに対してF(α)=F(β)
となってしまいますね。

No.45775 - 2017/09/06(Wed) 12:15:43

☆ Re: 単調増加であることの証明 / tutuz

らすかるさん

確かに- F(α) については、不等式の向きが変わるのでNGでした。
気づきませんでした。ありがとうございます！

No.45783 - 2017/09/07(Thu) 08:16:16

★ 一様分布の確率密度関数 / さいう

(問)確率変数X1,X2,X3が独立に一様分布U(-1,1)に従うとき、S2=X1＋X2およびS3=X1+X2+X3の密度関数を求めよ。

S2の密度関数は求めることができましたが、S3の密度関数の求め方がわかりません。
解らない点を以下にまとめておきます。
・なぜ、ｚを-3<=z=<-1,-1<=z=<1,1<=z=<3に場合分けするのか
・ｚを場合分けしたときの積分範囲の決め方

解答は画像のようになります。

どうぞよろしくお願い致します。

No.45771 - 2017/09/05(Tue) 23:51:28

☆ Re: 一様分布の確率密度関数 / さいう

解答です。

No.45772 - 2017/09/05(Tue) 23:54:36

☆ Re: 一様分布の確率密度関数 / 黄桃

S2の密度関数g(y)を求める時と同じ考え方をしています。

積分範囲は形式的には-∞から∞までです。
ただし、ほとんどの区間で f(z-y)g(y)が0になるので、
0にならない区間だけで積分すればいい、
ということで、
f(z-y)g(y)が0にならない区間、つまり、 f(z-y)もg(y)も0にならない区間
を求めているのです。

もしわからないのであれば、h(z)を求めるのですから、zとして具体的に-100, -2, 0, 1, 3 あたりを代入して h(z)がどうなるか計算してみてください。
z=-100 なら、f(-100-y)は、-101≦y≦-99 以外では0, g(y)は-2≦y≦2以外では0、したがって、yがいくつであってもg(y)f(-100-y)は0。
z=-2 なら f(-2-y)は -3≦y≦-1 以外で0, g(y)は-2≦y≦2以外では0、したがって、
-2≦y≦-1 の範囲以外では f(-2-y)g(y)は0．だから、この区間で積分すればいい。
…ということをすべてのzについて考えればいいのです。
考えているうちに　区間-2≦y≦2と区間z-1≦y≦z+1 とが交わる場合について自然と場合分けができるでしょう。

No.45782 - 2017/09/07(Thu) 07:39:04

★ 証明 / アバ

整数の証明問題であまりで分類すればできるんですけど、これを帰納法でとかのが写真の途中でとまってしまいできません。わかる人がいたら教えてください。

No.45770 - 2017/09/05(Tue) 23:00:06

☆ Re: 証明 / ヨッシー

最後から２行目の式で
　k^7－k
は、42の倍数なので、残りの
　7(k^6＋3k^5＋5k^4＋5k^3＋3k^2＋k)
が42の倍数であることを示し、結局は
　k^6＋3k^5＋5k^4＋5k^3＋3k^2＋k
が６の倍数であることを示します。

No.45773 - 2017/09/06(Wed) 07:46:54

☆ Re: 証明 / アバ

その先が知りたいんです。

No.45779 - 2017/09/06(Wed) 21:48:39

☆ Re: 証明 / らすかる

連続する3数の積は6の倍数であり、
k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k
=k(k+1)(k+2)(k^3+k+1)+(k-1)k(k+1)(2k+1)
ですから、k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+kは6の倍数です。

No.45780 - 2017/09/06(Wed) 22:30:22

☆ Re: 証明 / アバ

2行目から3行目の因数分解をもっと詳しく教えてください。

No.45794 - 2017/09/07(Thu) 23:25:41

☆ Re: 証明 / ヨッシー

らすかるさんの方法に気づかないときは、
２で割ったあまり、３で割ったあまりで場合分けして、
示すのが一般的で、これでも、７についてのあまりを
調べなくて済む分大分楽になっています。

らすかるさんの方法ですが、方針は
３つの連続した積を作ることです。
k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k
=k(k+1)(k^4+2k^3+3k^2+2k+1)
ここまでは因数定理でいけますが、この先
=k(k+1)(k^2+k+1)^2
としてしまっては、方針が果たせません。

k(k+1) までは見えているので、この先の目標は
　k(k+1)(k+2) または (k-1)k(k+1)
の項を作ることです。
　
(k^4+2k^3+3k^2+2k+1)÷(k+2)=k^3+3k-4 あまり 9
より、
　k^4+2k^3+3k^2+2k+1＝(k+2)(k^3+3k-4)＋9
となります。
　9＝3{(k+2)－(k-1)}
ですので、
　k^4+2k^3+3k^2+2k+1＝(k+2)(k^3+3k-4)＋3{(k+2)－(k-1)}
　＝(k+2)(k^3+3k-1)－3(k-1)
よって、
k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k
＝k(k+1)(k+2)(k^3+3k-1)－3(k-1)k(k+1)
これも１つの表し方で、あとは、
　(k^3+3k-1) に k-1 を数回足す(引く)
　3 に k+2 を同じ数だけ足す(引く)
を行った、
　k(k+1)(k+2)(k^3+4k-2)－(k-1)k(k+1)(k+5) １回ずつ足した
　k(k+1)(k+2)(k^3+5k-3)－(k-1)k(k+1)(2k+7) ２回ずつ足した
　k(k+1)(k+2)(k^3+2k)－(k-1)k(k+1)(-k+1) １回ずつ引いた
　k(k+1)(k+2)(k^3+k+1)－(k-1)k(k+1)(-2k-1) １回ずつ引いた
など、いろんな表し方があります。

No.45797 - 2017/09/08(Fri) 09:42:42

★ (No Subject) / マコ

f(3x)は-3π≦3x≦3πでf(3x)＝|3x|となることから、積分区間の-πからπまでの間もf(3x)＝|3x|になるような気がして、よくわかりません。よろしくお願いしますm(__)m

No.45760 - 2017/09/04(Mon) 18:11:57

☆ Re: / X

>>f(3x)は-3π≦3x≦3πでf(3x)＝|3x|となることから
違います。
-π≦x≦πにおいてf(x)=|x| (A)
ですので
-π≦3x≦πにおいてf(3x)=|3x| (B)
です。
(問題の定積分の積分範囲が
f(3x)の周期になっているわけではありません。
(B)のようにf(3x)の周期は定積分の積分範囲とは
別に考える必要があります。)

No.45762 - 2017/09/04(Mon) 19:16:37

☆ Re: / マコ

ありがとうございます！

No.45768 - 2017/09/05(Tue) 15:11:41

★ (No Subject) / カエル

この問題の解き方と答えが分かりません。教えてください。よろしくお願いします。グラフとかがあるとありがたいです。m(__)m

No.45758 - 2017/09/04(Mon) 16:54:12

☆ Re: / X

問題の二次方程式((P)とします)の解の判別式をDとすると
D=(2t+k+1)^2-4(kt+6)
=4t^2+4(k+1)t+(k+1)^2-4(kt+6)
=4t^2+4t+k^2+2k-23
これをf(t)と置きます。
又
-1≦t≦1 (A)
とします。
更に、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸の方程式がt=-1/2である下に凸の放物線 (B)
であることに注意します。

前半)
条件を満たすためには
(A)において
f(t)≧0
が成立すればよいので(B)により
f(-1/2)≧0
これをkの不等式として解くと…

後半)
問題の条件の否定、つまり
(P)が(A)において実数解を持たない条件 (Q)
をまず求めます。
そのためには(A)において
f(t)＜0
が成立すればよいことになります。
さて(B)によりf(t)のグラフの軸は
(A)の範囲内左寄り
にありますので、(A)においてf(t)は
t=1のときに最大になります。
よって
f(1)＜0
これをkの不等式として解き、得られた解
が(Q)を満たすkの値の範囲となります。
後はよろしいですね。

No.45761 - 2017/09/04(Mon) 19:08:16

★ 図形 / 初心者

2つの円
(x-a)^2+(y-3)^2=16とx^2+y^2=1が異なる2点A、Bを共有する。
線分ABの長さが最大となるaの値は？
ただしaは正の定数とする。
お願いします

No.45744 - 2017/09/03(Sun) 17:44:06

☆ Re: 図形 / らすかる

ABを通る直線の式は
(x-a)^2+(y-3)^2=16 から x^2+y^2=1 を引いて整理すると
2ax+6y+6-a^2=0
これが原点を通るときにABが最大となるので、
条件を満たすaは6-a^2=0からa=√6

No.45746 - 2017/09/03(Sun) 19:38:55

☆ Re: 図形 / 初心者

どうして原点を通る時が最大だと分かるのでしょうか？

No.45753 - 2017/09/03(Sun) 23:47:01

☆ Re: 図形 / らすかる

x^2+y^2=1の中心が原点で、A,Bはこの円の周上にありますので
直線ABが原点を通るときにABがx^2+y^2=1の直径(=2)で最長となります。

No.45754 - 2017/09/03(Sun) 23:58:08

★ ベクトル場 / たなお

ベクトル場の問題で質問があります。
（大学数学レベルかもしれませんが、独学でかつ周りに質問できる人がいないため、投稿させてください。すいません。）

添付画像の大問１０と１１を解いてみました。が、証明がこれで正しいのか自信がありません。
間違いがあればご指摘願えますでしょうか。また、より良い解き方があればそれも教えていただければとお思います。（ちなみに大問１１について、自分の方法だとBy の第一項が何故マイナスにする必要があるのか分かりません。マイナスになるにはそれ相応の理由があるはずだと思うのですが。。）

よろしくおねがいいたします。

No.45741 - 2017/09/03(Sun) 17:02:38

☆ Re: ベクトル場 / たなお

自分の計算です。２枚目もあります。

No.45742 - 2017/09/03(Sun) 17:03:15

☆ Re: ベクトル場 / たなお

計算２枚目です。よろしくおねがいいたします。

No.45743 - 2017/09/03(Sun) 17:03:48

★ 関数 / キルキン

添付の関数問題の、黄色で網掛けした部分の考え方が、どうにも考えてもよくわかりません。。

この座標情報から、どのように方程式を導いているのでしょうか。よろしくお願いします。

No.45739 - 2017/09/03(Sun) 12:51:57

☆ Re: 関数 / X

一般に点(p,q)を通り、方向ベクトルが(a,b)
(但しab≠0)の方程式は
(y-q)/b=(x-p)/a
となります。
(3次元空間での直線の方程式と
考え方は同じです。)
このことを踏まえて質問個所をもう一度ご覧下さい。

No.45740 - 2017/09/03(Sun) 14:53:27

☆ (No Subject) / キルキン

ご返信ありがとうございます。

方向ベクトルとは、数Bでしょうか、この問題の範囲が中学～高1までの知識で解ける設計なのですが

ベクトルの知識を使わないとすると、どういった考え方になるでしょうか。
yの変化量/xの変化量であればわかるのですが、傾きを求めているわけでもなさそうですし。。

No.45747 - 2017/09/03(Sun) 20:32:31

☆ Re: 関数 / ヨッシー

２点　(p, q), (r, s) を結ぶ直線の傾きは
　(s-q)/(r-p)
ですから、この２点を通る直線は、点(p, q) を通り、傾き(s-q)/(r-p) の直線と言えるので、
　y-q＝(x-p)(s-q)/(r-p)
と書けます。この両辺をs-q で割ると
　(y-q)/(s-q)＝(x-p)/(r-p)
となります。

傾きから入って考えると、こんなふうになります。

No.45757 - 2017/09/04(Mon) 13:54:32

☆ 繁分数 / キルキン

ありがとうございます。他の部分はわかったのですが、肝心な部分がわかりません。。

y-q＝(x-p)(s-q)/(r-p)

2点を結ぶ直線をyの式で表す際に、なぜ上記のようにy-qとx-pと置くのでしょうか。
公式のようなものがあれば教えてください。

No.45763 - 2017/09/04(Mon) 21:44:21

☆ Re: 関数 / ヨッシー

>点(p, q) を通り、傾き(s-q)/(r-p) の直線
に対して、
公式：
　点(x0, y0) を通り、傾き a の直線の式は
　y－y0＝a(x－x0)
を適用しています。

No.45767 - 2017/09/05(Tue) 10:26:39

☆ 繁分数 / キルキン

そういった公式があるのですね、勉強になりました。ありがとうございます。

No.45769 - 2017/09/05(Tue) 20:20:18

★ 不等式の証明 / tutuz

x<1,x≠0ならば、1+x < e^x < 1/(1-x) であることを証明せよ

---

という問題なのですが、
f(x)=e^x - (1-x)
g(x)=1/(1-x) - e^x

として、f(x)>0,g(x)>0を示すことで題意の不等式が成り立つことを証明しようと思います。
f(x)>0であることは示せたのですが、
g(x)>0であることがうまく示せないです。

おそらく計算ミスとは思うのですが、ちょっとわからないので
g(x)>0であることを示していただけないでしょうか。

No.45734 - 2017/09/03(Sun) 09:58:24

☆ Re: 不等式の証明 / らすかる

f(x)=e^x-(1+x)とするとf'(x)=e^x-1なので
x＜0でf'(x)＜0,x＞0でf'(x)＞0
f(0)=0なのでx≠0の任意の実数に対してf(x)＞0すなわちe^x＞1+x
f(-x)=e^(-x)-(1-x)＞0なのでe^(-x)＞1-x
x＜1のとき両辺正なので両辺を逆数にすると不等号の向きが変わりe^x＜1/(1-x)
∴1+x＜e^x＜1/(1-x)

No.45736 - 2017/09/03(Sun) 10:10:39

☆ Re: 不等式の証明 / tutuz

らすかるさん

ありがとうございます。理解できました。
f(-x)=e^(-x)-(1-x)とすれば、シンプルに示せますね!

No.45737 - 2017/09/03(Sun) 10:56:07

★ ベクトル場 / たなお

添付画像の大問９(1)が分かりません。

自分でやった途中計算を２つ目の添付画像に載せました。
ベクトルの三重積なので、ぱっと見でも左辺と右辺は一緒にならないように思えるのですが、何か勘違いしているのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.45729 - 2017/09/01(Fri) 23:58:10

☆ Re: ベクトル場 / たなお

途中計算です。

No.45730 - 2017/09/01(Fri) 23:58:47

☆ Re: ベクトル場 / たなお

すいません、投稿後、自己解決しました。

No.45731 - 2017/09/02(Sat) 00:09:56