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★ 放物線と直線(中学数学) / あゆみ
(4)が解けません。
(1)y=x+1
(2)D(-2/3,0)
(3)C(-1/2,1/2)
で出ました。
あってるかどうかも合わせてお願いします。
No.45358 - 2017/08/14(Mon) 10:08:15
☆ Re: 放物線と直線(中学数学) / エンヴィー
(1),(2)　←　一致しました

(3)C(-2/5,2/5)です。

(4)点P(1,-2)とすぐに求まります。
APとx軸との交点をQ, BからAPにおろした垂線の足をHとおくと、
HP=HQ+QP=BO+QP=1+2=3
二等辺三角形の性質より、AH=HPだから、AH=3
AQ=AH+HQ=3+1=4
よって、点A(1,4)
よって、a=4
No.45360 - 2017/08/14(Mon) 13:12:41
★ 放物線と直線 / あゆみ
(3)からが解けません…。
求め方を教えて下さい。
No.45357 - 2017/08/14(Mon) 09:51:33
☆ Re: 放物線と直線 / エンヴィー
(3)等積変形と言えばピンときますかね。
△ACE=△BDEのとき、
△ACB=△ACE+△ECB
△CBD=△BDE+△ECB　から、
△ACB=△CBD
Aを通り、CBに平行な直線上にDがあります。(等積変形)
直線BC:l,直線AD:mとし、mと放物線の交点Dの座標を求めると、点D(5/2,25/8)

(4)y軸に平行で、Aを通る直線, Dを通る直線と、lとの交点をそれぞれF, Gとおく。
四角形ADBC=平行四辺形FGDA+△AFC+△DGB
右辺のそれぞれの図形について、AFやDGを底辺と考えた場合の高さを求める。
(平行四辺形FGDAの高さ)=(点Aと点Dのx座標の差)=7/2
(△AFCの高さ)＝(点Aと点Cのx座標の差)=1/2
(△DGBの高さ)＝(点Dと点Bのx座標の差)=1/2

AF=DG=(lとmの切片の差)=1だから、
四角形ADBC=平行四辺形FGDA+△AFC+△DGB
=1*(7/2)+(1/2)*1*(1/2)+(1/2)*1*(1/2)=4
No.45359 - 2017/08/14(Mon) 12:46:02
★ 漸化式 / bigsky
連立の漸化式なんですがなんで、係数のところで比によってpを求めるんですか？係数一致で連立してはいけないんですか？
No.45356 - 2017/08/14(Mon) 07:26:02
★ 極限 / 天空中央駅
次の極限の求め方を教えてください。

?@lim[n→∞]{(x+2)^(2n)/{(x-1)^(2n+1)+3)}}
?Alim[n→∞][{{a^(1/n)+b^(1/n)}/2}^n]

よろしくお願いします。
No.45355 - 2017/08/14(Mon) 00:18:29
☆ Re: 極限 / GM
ａ＞０，ｂ＞０
ｈ＝１／ｎとしｆ（ｈ）＝（（ａh＋ｂh）／２）1/hとおいて対数をとり
ｌｏｇｆ（ｈ）＝ｌｏｇ（（ａh＋ｂh）／２）／ｈ
ｎ→∞のときｈ→０
ｌｉｍ（ｈ→０）ｌｏｇｆ（ｈ）
＝ｌｉｍ（ｈ→０）（ｌｏｇ（（ａh＋ｂh）／２）−ｌｏｇ１）／ｈ
＝ｌｉｍ（ｈ→０）（ｌｏｇ（（ａh＋ｂh）／２）−ｌｏｇ（（ａ0＋ｂ0）／２））／ｈ
これはｌｏｇ（（ａx＋ｂx）／２）のｘ＝０における微分系数を意味するから
微分してｘ＝０を代入するとｌｏｇ（ａｂ）／２＝ｌｏｇ（√ａｂ）
よって求める答えは√ａｂ
No.45455 - 2017/08/17(Thu) 17:38:17
★ (No Subject) / ゆうたろう
少し長くなりますが、
この問題の(3)の解答に疑問があります。
まず、問題です。
No.45349 - 2017/08/13(Sun) 23:33:31
☆ Re: / ゆうたろう
解答が２ページあります。
一つ目はこちらで。
No.45350 - 2017/08/13(Sun) 23:34:47
☆ Re: / ゆうたろう
二つ目はこちらになります。
ここで、質問なのですが、
解答の(3)の9行目の、
「ここで、?DよりX＝･･･」となっている
部分が分かりません。なぜ、このような式に変形したのでしょうか？
No.45351 - 2017/08/13(Sun) 23:37:19
☆ Re: / IT
-√3/3 ＜a＜√3/3 の範囲でa が動くとき
Ｘ＝-(a^2)/(1+a^2) がとる値の範囲を調べるためです。

-(a^2)/(1+a^2)のままより-2+2/(1+a^2)の方が値の範囲が調べやすいと思います。
No.45353 - 2017/08/14(Mon) 00:07:07
★ (No Subject) / サルミアッキ
微分の辺りの計算が怪しいので、この問4の解説をお願いします。
No.45348 - 2017/08/13(Sun) 22:01:43
★ (No Subject) / 龍人
5x+8<3と4x+24>0を満たすxの範囲を求めよ
X>1
X>-6
両方を満たすのがなぜX>1なのかが
わかりません。
教えてください。
No.45342 - 2017/08/13(Sun) 16:53:04
☆ Re: / らすかる
5x+8＜3と4x+24＞0の両方を満たすxの範囲は-6＜x＜-1です。
「x＞1」と書かれているのであれば、問題か解答のどちらかが間違っています。
No.45344 - 2017/08/13(Sun) 19:36:34
☆ Re: / 龍人
-5x+8<3と4x+24>0を満たすxの範囲を求めよ
X>1
X>-6

でした

両方満たすのがx>1というのがよくわかりません。

X>-6の方が範囲が広いのになぜですか？
No.45346 - 2017/08/13(Sun) 21:32:25
☆ Re: / らすかる
「両方とも満たす」のは「範囲が狭い方」です。
たとえばx=0は
x＞-6は満たしますが
x＞1は満たしませんね。

# 「どちらかを満たす」のが「範囲が広い方」です。
No.45347 - 2017/08/13(Sun) 21:59:04
☆ Re: / 龍人
よくわかりました。ありがとうございました
No.45352 - 2017/08/14(Mon) 00:04:14
★ 極限 / 天空中央駅
次の極限の求め方を教えてください。

?@lim[n→∞](√(9n^2+14n+7)-[√9n^2+14n+7]) ([x]はx以下の最大の整数を表す)
?Alim[n→∞](1/n)*{(Σ[k=2n+1〜3n]logk)-nlogn}

よろしくお願いします。
No.45341 - 2017/08/13(Sun) 16:51:55
☆ Re: 極限 / IT
（１）は、
任意の自然数nについて
(3n+2)^2≦9n^2+14n+7＜(3n+3)^2 より
　[√(9n^2+14n+7)]=√(3n+2)^2を使えばできると思います。
No.45343 - 2017/08/13(Sun) 17:17:02
☆ Re: 極限 / IT
(2)は
(Σ[k=2n+1〜3n]logk)-nlogn
=Σ[k=2n+1〜3n](logk-logn)
=Σ[k=2n+1〜3n]log(k/n)
と変形すると、区分求積法で計算できると思います。
No.45345 - 2017/08/13(Sun) 20:39:11
☆ Re: 極限 / 天空中央駅
理解できました。回答ありがとうございました！
No.45354 - 2017/08/14(Mon) 00:15:34
★ (No Subject) / ルートの計算
√0.645=0.8031になる詳しい解説をお願いします。
No.45338 - 2017/08/13(Sun) 10:59:25
☆ Re: / らすかる
方法1（按分法）
0.8×0.8=0.64＜0.645
0.81×0.81=0.6561＞0.645
(0.645-0.64)/(0.6561-0.64)≒0.31
つまり0.645は0.64と0.6561をおよそ0.31：0.69に
内分した値なので、2乗して0.645になる数は
0.8と0.81を0.31：0.69に内分したあたりになる
(0.81-0.8)×0.31+0.8=0.8031
0.8031×0.8031=0.64496961≒0.645
∴√0.645≒0.8031

方法2（平方根近似）
0.8×0.8=0.64
0.645÷0.64=1.0078125なので
0.645≒0.64(1+0.0078)
√0.645≒√{0.64(1+0.0078)}=0.8√(1+0.0078)
≒0.8(1+0.0078/2)=0.80312（∵α<<1のとき√(1+α)≒1+α/2）
∴√0.645≒0.80312

方法3（ニュートン法）
0.8×0.8=0.64
0.8-(0.8-0.645/0.8)/2≒0.8031
∴√0.645≒0.8031

ニュートン法ではこの後数回の計算で
非常に精度の高い値が得られます。
0.8031-(0.8031-0.645/0.8031)/2≒0.80311892
0.80311892-(0.80311892-0.645/0.80311892)/2≒0.803118920210450527
∴√0.645≒0.803118920210450527
（0.803118920210450527^2≒0.64499999999999999996）
No.45339 - 2017/08/13(Sun) 11:15:03
★ 微分方程式 / たなお
以下の問題で分からないところがあります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
次の微分方程式を解け。x = e^t と置いて、独立変数を t に換えよ。

　(x^2)y'' + xy' - 4y = 0

＜正答＞

　y = ax^2 + bx^(-2) 　　　　※a と b は定数
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以下自分で考えた途中計算です。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　　x = e^t
　⇔dx/dt = e^t = x
　⇔dx = xdt

　∴（与式）= (x^2)(d^2y)/(xdt)^2 + xdy/(xdt) - 4y = 0
　　　　　 ⇔d^2y/dt^2 + dy/dt - 4y = 0

補助方程式は λ^2 + λ - 4 = 0 で、補助方程式の解をα、β とすると

　　y = ae^(αt) + be^(βt)　　　　※a と b は定数

x = e^t より

　　y = ax^α + bx^β
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

正答と一致するには α と β が ±2 にならなければなりませんが、補助方程式は λ^2 + λ - 4 = 0 なので一致しません。

正答を与式に代入するとちゃんと成り立つことは確認済みなので、自分の計算のどこかがおかしいのだと思いますが、おかしい箇所が分かりません。どこがおかしいか教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.45332 - 2017/08/13(Sun) 00:40:54
☆ Re: 微分方程式 / X
>>(与式)=〜
で
dx^2=(dx)^2
を前提としていますが、このような関係は
成立しません。

x=e^t
のとき
dy/dx=(dt/dx)(dy/dt)
=(1/e^t)(dy/dt)
=(1/x)(dy/dt)
∴(d^2)y/dx^2=(d/dx){(1/x)(dy/dt)}
=-(1/x^2)(dy/dt)+(1/x)(d/dx)(dy/dt)
=-(1/e^(2t))(dy/dt)+(1/x)(dt/dx)(d^2)y/dt^2
=(1/e^(2t))((d^2)y/dt^2-dy/dt)
となります。
No.45333 - 2017/08/13(Sun) 01:06:36
☆ Re: 微分方程式 / たなお
Xさん

ありがとうございます！
No.45336 - 2017/08/13(Sun) 09:30:12
★ 関数の最小 / saku
y=(x^2+2x-2)^2-2a(x^2+2x-2)+1の最小値を求めよという問題なのですが、(x^2+2x-2)=tと置いてからのtの範囲の求め方から分かりません
よろしくお願いします。
No.45330 - 2017/08/12(Sat) 23:31:55
☆ Re: 関数の最小 / X
tに置いたxの二次式を平方完成すると
t=x^2+2x-2
=(x+1)^2-3
∴t≧-3 (A)
このとき、問題の関数は
y=t^2-2at+1 (B)
後は横軸にt、縦軸にyを取った(B)のグラフを
(A)の範囲で描くことを考えます。
但し
(i)(B)の軸が(A)の範囲外
(ii)(B)の軸が(A)の範囲内
で場合分けする必要があります。
No.45331 - 2017/08/13(Sun) 00:02:36
★ 数学的帰納法 / たっつる
()内の問題に対してこのような答案を作ったのですが、この答案で大きな間違いはないでしょうか
自分自身でもα^k倍する部分等に不安があるので質問させていただきました
細かい部分は省略して書いています
No.45327 - 2017/08/12(Sat) 23:01:01
☆ Re: 数学的帰納法 / angel
特に問題ないと思います。
※ちょっと α^n+β^n-3^n と α^n-β^n-3^n と表記ゆれがあるのですが、前者として話を進めます

ちゃんと「5(α^k+β^k)だから5の倍数」と即断してないところもいいポイントです。

なお、「両辺をα^kして」で特に問題はないんですが、気になるようなら、

　αはx^2-3x+5=0 の解であるため、α^2-3α+5=0
　すなわち α^2=3α-5
　同様に β^2=3β-5

　α^(k+2)+β^(k+2)-3^(k+2)
　= α^2・α^k+β^2・β^k-3^(k+2)
　= (3α-5)α^k+(3β-5)β^k-3・3^(k+1)
　= 3(α^(k+1)+β^(k+1)-3^(k+1)) - 5(α^k+β^k)
　= 3(α^(k+1)+β^(k+1)-3^(k+1)) - 5(α^k+β^k-3^k) - 5・3^k

位の感じで進めると書き易いかもしれません。
No.45329 - 2017/08/12(Sat) 23:22:40
☆ Re: 数学的帰納法 / たっつる
回答ありがとうございます

α^n+β^n-3^nで正しいです、すみません
係数が5だからといって5の倍数だと断言してはいけないことも注意しておいてよかったです
わざわざ別解までありがとうございました
No.45337 - 2017/08/13(Sun) 10:46:50
★ 高一数1 / ゆか
いつもありがとうございます
この画像の問9以外をお願いしたいのです。よろしくお願いします。
No.45326 - 2017/08/12(Sat) 22:02:32
☆ Re: 高一数1 / ヨッシー
７．
「周囲が同じ幅」の意味が不明ですが（学校の課題ですかね？）
同心円を描いて道を作るってことでしょうね。
道の面積は
　π(４０＋ｌ)^2−π４０^2＝π（ｌ^2＋８０ｌ)
より、
　２７００≦π（ｌ^2＋８０ｌ)≦９９００
π＝３　とすると
　９００≦ｌ^2＋８０ｌ≦３３００

　ｌ^2＋80ｌ−900≧０　より
　(ｌ＋９０)(ｌ−１０)≧０
　ｌ≦−９０　または　ｌ≧１０

　ｌ^2＋８０ｌ−３３００≦０　より
　(ｌ＋１１０)(ｌ−３０)≦０
　−１１０≦ｌ≦３０

以上より　１０≦ｌ≦３０

８．
ＣＤ＝ｘｍ　とおくと　（以下　ｍ　は省略)
　ＡＤ＝ｘ/√3、ＢＤ＝ｘ
△ＡＢＤにおける三平方の定理より
　ＡＢ＝√(2/3)ｘ＝１００
　ｘ＝１００√(3/2)＝５０√６(m)　・・・答え
　
１０．

図のように展開図を描き、ＯとＡを直線で結ぶときが、最短となります。
△ＯＨＡにおける三平方の定理で求めることが出来ます。
No.45334 - 2017/08/13(Sun) 01:08:34
☆ Re: 高一数1 / エンヴィー
△ABDは直角三角形じゃないと思いました。
ADとBを通る真北の直線の交点をEとして、△AEBについて三平方の定理を適用したら、答えが100√3になりました。
EAの長さはED-ADで求めます。
このED, ADとBEは直角三角形を見ればCD=xで表せます。
No.45335 - 2017/08/13(Sun) 01:56:21
★ 面積/体積 / 鳴海悠人
[問題]
aを正の定数とする。xy平面において、曲線√x+√y=√aと、直線x+y=aとで囲まれた図形をDとおく。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)Dの概形を描き、その面積を求めよ。
(2)直線x+y=aを軸として、Dを1回転させてできる図形の体積を求めよ。

[解答]
(1)面積:a²/3 (2)√2πa³/15

宜しくお願いします。
No.45323 - 2017/08/12(Sat) 20:28:30
★ 和から一般項 / bigsky
和から一般項の問題なんですけど写真の通りです。お願いします。
No.45315 - 2017/08/12(Sat) 17:56:32
☆ Re: 和から一般項 / IT
a[n]=(1/2)a[n-1]+1,(n≧2)
a[n+1]=(1/2)a[n]+1,(n≧1)
２つ目の式では添え字をn+1 としていますからOKです。

１つ目の式で　n=2 のときは　a[2]=(1/2)a[1]+1
２つ目の式で　n=1 のときは　a[2]=(1/2)a[1]+1
で同じことを表してます。
No.45316 - 2017/08/12(Sat) 18:09:02
☆ Re: 和から一般項 / らすかる
a[n]=(1/2)a[n-1]+1（n≧2） というのは
a[n]=(1/2)a[n-1]+1 という式が n=2,3,4,… のすべてに対して成り立つ
つまり
a[2]=(1/2)a[1]+1
a[3]=(1/2)a[2]+1
a[4]=(1/2)a[3]+1
・・・
が全部成り立つ、ということを表したものです。

a[n+1]=(1/2)a[n]+1（n≧1） というのは
a[n+1]=(1/2)a[n]+1 という式が n=1,2,3,… のすべてに対して成り立つ
つまり
a[2]=(1/2)a[1]+1
a[3]=(1/2)a[2]+1
a[4]=(1/2)a[3]+1
・・・
が全部成り立つ、ということを表したものです。

従って全く同じ意味になります。
No.45321 - 2017/08/12(Sat) 18:58:58
★ 放物線と接線 / サルミアッキ
問題にある「定数a.bの関係を示せ」というのはどのように回答すべきなのでしょうか。大学公式の推薦過去問なのですが解答編が無い仕様なので（全問とは言いませんが）具体的に解き方を明示していただけると助かります。
No.45313 - 2017/08/12(Sat) 17:25:56
☆ Re: 放物線と接線 / らすかる
「y=ax+bが放物線に接する」
⇔「(x^2-4x+5)-(ax+b)の判別式が0」
なので
(x^2-4x+5)-(ax+b)=x^2-(a+4)x+(5-b)から
判別式D=(a+4)^2-4(5-b)=a^2+8a+4b-4=0
No.45320 - 2017/08/12(Sat) 18:45:48
★ Re: Re:方程式における割り算 / 前進
方程式において?@÷?Aをしてもいいのでしょうか？
宜しくお願い致します。
No.45311 - 2017/08/12(Sat) 17:05:23
☆ Re: Re:方程式における割り算 / 前進
計算してみると同じになりましたが理由もできればお願いいたします
No.45312 - 2017/08/12(Sat) 17:06:12
☆ Re: Re:方程式における割り算 / らすかる
?Aが0にならない限り?@÷?Aを計算しても問題ありません。
なぜなら
a=b
c=d≠0
であれば
a/c=b/dになるからです。
（a=bなのでa/c=b/c、c=dなのでb/c=b/dです）
No.45317 - 2017/08/12(Sat) 18:10:36
★ 極限 / 灰根
数列 a[1]=√2,a[2]=(√2)^√2,a[3]=(√2)^(√2)^(√2),…は漸化式 a[n+1]=(√2)^a[n] (n=1,2,…)を満たしている。このとき、lim[n→∞]a[n]=2であることを示せ。なお、e>2であることは事実として用いても良い。
No.45310 - 2017/08/12(Sat) 16:37:46
☆ Re: 極限 / らすかる
f(x)=(√2)^xとおくと
f'(x)=(log√2)(√2)^x
f(2)=2, f'(2)=log2なので
直線g(x)=(log2)(x-2)+2は(2,2)でf(x)に接する。
従って(√2)^x≧(log2)(x-2)+2（等号はx=2のとき）
これを使って
a[n]＜2のとき
a[n+1]=(√2)^a[n]＞(log2)(a[n]-2)+2なので
b[1]=√2,b[n+1]=(log2)(b[n]-2)+2とおけば
n≧2のときa[n]＞b[n]
b[n]の漸化式からlim[n→∞]b[n]=2
（ここでe＞2からlog2＜1であることを使っている）
またa[n]＜2のときa[n+1]＜2だから任意のkに対してa[k]＜2
従ってb[n]＜a[n]＜2から
2=lim[n→∞]b[n]≦lim[n→∞]a[n]≦2なので
lim[n→∞]a[n]=2
No.45319 - 2017/08/12(Sat) 18:36:28
☆ Re: 極限 / IT
別解(略解)
数学的帰納法により,任意の自然数nについて√2≦a[n]＜2.
a[n+1]/2 ＝ {(√2)^a[n]}/2＝(√2)^(a[n]-2)
自然対数をとると　log(a[n+1])-log2＝(a[n]-2)(1/2)log2
平均値の定理により log2 - log(a[n+1])＝(2-a[n+1])(1/c) となるc (a[n+1]＜c＜2)がある。
よって、0＜2-a[n+1]＝(1/2)c(log2)(2-a[n])＜(log2)(2-a[n]) ＜((log2)^n)(2-a[1]) →0（n→∞) (∵0＜log2＜1)
No.45322 - 2017/08/12(Sat) 18:59:41
★ 高3 / ケルン
再掲させていただきます。

【問題】
z軸中心、半径2の円柱のうち、z≧0かつ3x+z≦3を満たす部分をKとおく。

(1)Kの体積Vを求めよ。
(2)Kの側面積Sを求めよ。

【解答】
(1)8π+9√3 (2)8π+12√3

解き方の解説をお願いします。
No.45307 - 2017/08/12(Sat) 14:47:00
☆ Re: 高3 / エンヴィー
まずは図を描いて図形のイメージを膨らませます。
すると竹を斜めに切った先の部分の下から1/4を切り落とした図形が注目すべき図形であるとわかります。

解き方ですが、積分の王道的な解き方が有効です。
図形を細かく切り刻み、その(1)微小体積(2)微小側面積を求め、切り刻んだすべてについて足しあげれば求めるべきものはでます。
この問題の場合、z-x平面に平行な平面で切り刻むとうまくいくでしょう。

(1)x~x+Δx間における微小体積を求めます。微小体積は厳密には直方体ではないですが、厳密の場合と比べても、体積の比率は1に限りなく等しいのでこれでよいのです。
横の長さがΔx, 高さが3-3xであると確認してください。高さはx^2+y^2=4の関係から、y=√(4-x^2)なので、2√(4-x^2)となります。

以上から、微小体積はΔV=2(3-3x)√(4-x^2)Δx, 求める体積はx=-2から1の範囲でそれらを足し上げ、
V=∫_(-2)^(1){2(3-3x)√(4-x^2)}dxとなります。

(2)同様に、x~x+Δx間における微小側面積を求めます。ここで注意すべきことがあります。
例えば、巨視的に見て同じ斜面でも、ツルツルの斜面と階段状になった斜面では、斜面部分の表面積はことなります。
この(2)についても同じことが言えます。すなわち、円柱の円の部分を再現した場合、底面が等脚台形の角柱となり、直方体の場合と側面積を比べると、無視できない比があります。(2)では、これを考慮する必要があるのです。

等脚台形の足の長さを求めましょう。x^2+y^2=4のxにおける傾きをy'とすると、三平方の定理から、√(1+y'^2)×Δxです。
これと、高さ3-3xをかけると縦かける横で、側面積のひとつが分かります。角柱の側面積は2つあります。よってこれを2倍。

すなわち、微小側面積ΔS=2(3-3x)√(1+y'^2)Δx
よって、S=∫_(-2)^(1)2(3-3x)√(1+y'^2)dx

厳密性は知りませんが、大まかな考え方はこんな感じだと思います。
No.45318 - 2017/08/12(Sat) 18:22:28
☆ Re: 高3 / Kenji
(1)
全体の図形を(1/2)倍して考える。
すなわちz軸中心、半径1の円柱のうち、z≧0かつ3x+z≦3/2を満たす部分をKとおく。
このときKの体積は(1/8)倍となっている。
V/8=∫[-1→1/2]{2√(1-x^2)}{3/2-3x}dx
V/48=∫[-1→1/2]√(1-x^2)(1/2-x)dx
x=cosθとおいて、x:-1→1/2のときθ:π→π/3とするとdx/dθ=-sinθ
よって
V/48
=∫[π→π/3] sinθ(1/2-cosθ)(-sinθ) dθ
=∫[π/3→π] sinθ(1/2-cosθ)sinθ dθ
=∫[π/3→π] (1/2)(sinθ)^2-(sinθ)^2cosθ dθ
=∫[π/3→π] (1/4)(1-cos2θ)-(sinθ)^2cosθ dθ
=∫[π/3→π] (1/4)-(1/4)cos2θ-(sinθ)^2cosθ dθ
=∫[π/3→π] {(1/4)θ-(1/8)sin2θ-(1/3)(sinθ)^3}' dθ
=(1/4){π-π/3}-(1/8){0-√3/2}-(1/3){0-3√3/8}
=π/6+√3/16+√3/8
=π/6+(3/16)√3
∴V=8π+9√3
（答）V=8π+9√3

(2)
全体の図形を(1/2)倍して考える。このときKの面積は(1/4)倍となっている。
原点を中心とするxy平面上の単位円x^2+y^2=1上で、
側面の一端(1/2,√3/2)から側面の中央(-1,0)まで左回りに移動する動点Pを考える。
(1/2,√3/2)からの円周上の道のりがθであるとき（ただし0≦θ≦(2/3)π）
Pの座標は(cos(θ+π/3),sin(θ+π/3))であり、
この点における側面の高さ(z方向の幅)は3/2-3cos(θ+π/3)である。
よって側面積の半分は
S/8
=∫[0→(2/3)π] 3/2-3cos(θ+π/3) dθ
=∫[0→(2/3)π] {(3/2)θ-3sin(θ+π/3)}' dθ
=(3/2){(2/3)π-0}-3{0-√3/2}
=π+(3/2)√3
∴S=8π+12√3
（答）S=8π+12√3
No.45328 - 2017/08/12(Sat) 23:16:39
★ 三角関数 / rua
θが0≦θ≦πの範囲を動くとき、θ-π/4は -π/4≦θ-π/4≦3/4πの範囲を動く。sin(θ-π/4)のとり得る値の範囲は-1/√2≦sin(θ-π/4)≦1となる。
1がでる理由が分かりません。3/4πは135°なので、1/√2かと思いました。よろしくお願いします。
No.45304 - 2017/08/12(Sat) 12:04:18
☆ Re: 三角関数 / らすかる
1になるのはθ-π/4=π/2のときです。
No.45305 - 2017/08/12(Sat) 12:28:47
☆ Re: 三角関数 / rua
問題全体はこんな感じです…
No.45306 - 2017/08/12(Sat) 14:45:44
☆ Re: 三角関数 / らすかる
問題全体を書かれても回答は変わりません。
sin(θ-π/4)は
θ-π/4=-π/4のとき最小値-1/√2、
θ-π/4=π/2のとき最大値1をとりますので
-1/√2≦sin(θ-π/4)≦1となります。
θ-π/4=(3/4)πのときの値は最小値でも最大値でもありません。
No.45308 - 2017/08/12(Sat) 15:02:22
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