ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 方向ベクトル / 数学頑張るマン

大門3の方向ベクトルはどうやって求めたのかわかりません。
v1,v2

No.45436 - 2017/08/16(Wed) 23:24:19

☆ Re: 方向ベクトル / 数学頑張るマン

解説です。あと方向ベクトルは何を指しているのかよくわかりません…

No.45437 - 2017/08/16(Wed) 23:26:46

☆ Re: 方向ベクトル / IT

> あと方向ベクトルは何を指しているのかよくわかりません…
直線l1,l2 と　各方向ベクトル（答えのとおり）を描いて見られると、分かると思いますが、

数学Ｂの教科書に定義が書いてあるはずです。定義は教科書などで、しっかり確認されることをお勧めします。

No.45438 - 2017/08/17(Thu) 01:09:17

★ (No Subject) / 金時豆

kを正の定数とする。曲線y=coskxと3直線x=-θ,x=0,x=θ(0<θ<π/2k)との交点を通る円の中心をPとする。θが0に近づくとき、Pはどのような点に近づくか。

宜しくお願いします。

No.45430 - 2017/08/16(Wed) 17:16:50

☆ Re: / らすかる

(0,1)を通りy軸に関して対称だから、円の中心を(0,t)とおくと
円の方程式はx^2+(y-t)^2=(1-t)^2とおける。
この円が(θ,coskθ)を通るので
代入して整理すると
t={1-θ^2-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}
lim[θ→0]t
=lim[θ→0]{1-θ^2-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}
=lim[θ→0]{1-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}-θ^2/{2(1-coskθ)}
=lim[θ→0](1+coskθ)/2-(1/k^2)(kθ/2)^2/{sin(kθ/2)}^2
=1-1/k^2
よってPは(0,1-1/k^2)に近づく。

No.45432 - 2017/08/16(Wed) 21:18:37

☆ Re: / 金時豆

ありがとうございます！

No.45472 - 2017/08/18(Fri) 11:15:37

★ √を使った計算方法 / けんじ

中学2年です。√を使った計算を学習中です。
　
√2/3+１/√6-√54/2-√2（√18-√3）

の計算方法を解説いただけませんでしょうか。
　

No.45425 - 2017/08/16(Wed) 13:58:32

☆ Re: √を使った計算方法 / らすかる

1/√6は分子分母に√6を掛けて√6/6
√54=√(9×6)=√9×√6=3√6
√18=√(9×2)=√9×√2=3√2
ここまでを代入すると
√2/3+√6/6-3√6/2-√2(3√2-√3)
分母を6に統一してから計算
{2√2+√6-9√6-6√2(3√2-√3)}/6
={2√2+√6-9√6-18×(√2)^2+6×√2×√3}/6
={2√2+√6-9√6-18×2+6√6}/6
={2√2+√6-9√6-36+6√6}/6
=(2√2-2√6-36)/6
=(√2-√6-18)/3

No.45426 - 2017/08/16(Wed) 14:30:12

☆ Re: √を使った計算方法 / けんじ

らすかる様

分数などが組み合わさり、わからなくなっておりましたが
この様なわかりやすい解説をいただき良く理解できました。
大変ありがとうございました。

No.45427 - 2017/08/16(Wed) 15:13:57

★ 色の塗り分け / ツンドラ気候

考え方について質問です。
(2)では、?@，?Eの固定した球の塗り方 5通りをかけていますが
(1)では、?@に固定した球の塗り方をかけていません
(1)の ?@の塗り方は6色のうちから選ぶので、6をかけるのかと考えたのですが、、
まず一つだけ固定して考える場合は、かけなくてよいのでしょうか？

No.45418 - 2017/08/16(Wed) 09:58:41

☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候

(1)の画像です

No.45419 - 2017/08/16(Wed) 09:59:46

☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候

何度もすみません質問はこれです

No.45420 - 2017/08/16(Wed) 10:00:27

☆ Re: 色の塗り分け / X

確かにツンドラ気候さんの仰る通り、(1)の
解説はおかしいですね。
例えば1に赤を塗る場合、解説の通りでは
1,6いずれも赤に塗らない場合が考慮され
ないことになります。

問題の正八面体が2,3,4,5の玉を含む平面
に関して対称であることを考えると
(1)は以下のようになります。

まず1,6の色の塗り方は
6C2=15[通り]
残りの玉で2,3,4,5の円順列を作る
ように色を塗ると考えて
(4-1)!=6[通り]
よって求める色の塗り方の数は
15・6=90[通り]
となります。

No.45421 - 2017/08/16(Wed) 11:07:12

☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候

なるほど、そう考えられますね
ありがとうございます！

No.45422 - 2017/08/16(Wed) 11:14:10

☆ Re: 色の塗り分け / IT

横から失礼します。
元の答えで良いのでは？
(1) どの色でも１に持ってこれますから答えのままでいいと思います。（回転して赤を塗った頂点を１に持ってくる）
(2) の５色で塗るのは、６色から５色選んで５色で塗るのではなくて、あらかじめ与えられた５色ＡＢＣＤＥで塗るということだと思います。

No.45424 - 2017/08/16(Wed) 13:13:55

☆ Re: 色の塗り分け / X

>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ツンドラ気候さんへ
ごめんなさい。(1)についてはITさんの仰る通りです。

No.45428 - 2017/08/16(Wed) 15:14:28

☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候

ITさん、ありがとうございます！
そういうことでしたか
回転して、というのは思いつきませんでした
Xさん、大丈夫ですよ！
みなさんありがとうございました！

No.45435 - 2017/08/16(Wed) 23:09:51

★ 格子点問題 / bigsky

解答見ても全然わからなかったので教えてください。お願いします。

No.45413 - 2017/08/15(Tue) 21:47:28

☆ Re: 格子点問題 / らすかる

ここで回答者が解説しても解答と同じ内容を解説してしまって
結局わからない可能性がありますので、
解答も書いてわからない部分を具体的に示していただいた方が
よいと思います。

No.45414 - 2017/08/15(Tue) 22:00:27

☆ Re: 格子点問題 / bigsky

すみません。お願いします。

No.45416 - 2017/08/15(Tue) 22:56:35

☆ Re: 格子点問題 / らすかる

第１象限のx=1～x=nの分の他に
第２象限のx=-1～x=-nの分があるからですね。
そこにある図は第１象限の分しか書かれていませんが、
「y=x^2とy=n^2で囲まれた部分」は第２象限側もあります。

No.45417 - 2017/08/15(Tue) 23:41:49

★ 中学数学 / あゆみ

よろしくお願いします。

No.45407 - 2017/08/15(Tue) 16:47:19

☆ Re: 中学数学 / エンヴィー

(1)A(a,a^2), B(-2, 4)から、直線ABの方程式がaを用いて表せます。
文字を扱う計算となりますが、最終的には直線AB:y=(a-2)x+2aとなり、C(0, 2a)を得ます。

(2)与えられた図では不十分なので、問題文に忠実に必要なものを描きいれていきます。
図を描いたら、ここでは平行四辺形のまだ名前のついていない点(O, A, E以外の点)をFと置きます。FはCE上にあります。
以下解答

OA//CEより、△OAF=△OACだから、
S_1=平行四辺形OAEF=2△OAF=2△OAC
また、S_2=△OAB=(AB/AC)△OAC
よって、S_1:S_2=2△OAC:(AB/AC)△OAC=2:AB/AC
一方、与えられた条件より、S_1:S_2=1:2なのだから、
S_1:S_2=2:AB/AC=1:2
よって、AB/AC=4
よって、BC:CA=3:1
Aのx座標がa(＞0), Bのx座標が-2だから、
BC:CA=2:aでもある。
これよりすなわち、BC:CA=2:a=3:1の関係が成り立つことがいえ、
a=2/3

No.45412 - 2017/08/15(Tue) 20:47:36

☆ Re: 中学数学 / あゆみ

ありがとうございました！

No.45458 - 2017/08/17(Thu) 20:42:45

★ 二次関数と線分比 / あゆみ

中学数学です。
沢山聞いてしまってすみません…

No.45406 - 2017/08/15(Tue) 16:07:31

☆ Re: 二次関数と線分比 / エンヴィー

(1)Cは直線とx軸の交点だから、C(-3n, 0)
さらにCA:AD=1:2なので、A(-2n, (1/3)n)・・・?@
点Aは放物線上にもあるから、y座標は
y=(1/36)(-2n)^2=(1/9)n^2・・・?A
とも表せる。
?@, ?Aより、(1/3)n=(1/9)n^2
よって、n=0,3
n＞0より、n=3

(2)n=3より、A(-6, 1), 直線の方程式：y=(1/3)x+3
Bは直線と放物線の交点のうち、Aではない方だから、B(18, 9)

(3)E(a, 0)(a＞0)とする。
Aのx座標はEのx座標より、-6-aだけ大きい。
Aのy座標はEのy座標より、1-0=1だけ大きい。
これと平行四辺形の性質から、
Fのx座標はBのx座標より、-6-aだけ大きい。
Fのy座標はBのy座標より、1だけ大きい。
したがって、Fの座標は、
x座標:18+(-6-a)=12-a
y座標:9+1=10
すなわちF(12-a,10)と表される。
Fは放物線上の点だから、10=(1/36)(12-a)^2
これからaを求めると、a=12±6√10
a＞0より、a=12+6√10, Eの座標はE(12+6√10, 0)

No.45411 - 2017/08/15(Tue) 19:27:29

☆ Re: 二次関数と線分比 / あゆみ

ありがとうございました！

No.45459 - 2017/08/17(Thu) 20:43:14

★ (No Subject) / 数学初心者

画像の上式を変形して...とありますがどう変形させたのかがよく分かりませんでした。文字をαのような文字に置き換えてみたのですがなぜ 2パターンに変形できたのかよく分かりませんでした。丁寧でわかりやすい解説を頂戴いただけると幸いです。ではよろしくお願いしますm(._.)m

No.45404 - 2017/08/15(Tue) 16:00:47

☆ Re: / Kenji

数列の三項間漸化式が
　p[n]=(α+β)p[n-1]-(αβ)p[n-2]（ただしα≠β）
の形になっている場合、
両辺から αp[n-1] あるいは βp[n-1] を引き去ることにより、
　p[n]-αp[n-1]=β{p[n-1]-αp[n]}
　p[n]-βp[n-1]=α{p[n-1]-βp[n]}
の2通りに変形できます。
（α≠βであることが前提ですから、この2つの式は異なる式となります。）

本問の漸化式は
p[n]=(1/3)p[n-1]-(-2/9)p[n-2]
ですから、
(α,β)=(2/3,-1/3)の場合になります。
和が(1/3),積が-2/9となる2数を求めるためには
2次方程式x^2-(1/3)x-2/9=0を解けばよいです。

No.45410 - 2017/08/15(Tue) 17:52:03

☆ Re: / 数学初心者

ありがとうごさいました！教えてくださった手順に従ったら無事計算が出来ました！m(._.)m

No.45423 - 2017/08/16(Wed) 12:31:43

★ 図形 / 初心者

中心が点A(a、a/2)で半径がaの円をCとする。円Cが直線l: y＝ーx＋1/2と異なる2点P、Qで交わるようなaの値の範囲は(1)である。またこのとき線分PQの長さが最大となるのはa＝(2)のときであり、その最大値は(3)である。
という問題なのですが、(2)は直線が円の中心を通る時と考えて、1/3だと考えたのですが、答えは3でした。これは何故なのでしょうか？

No.45402 - 2017/08/15(Tue) 15:53:04

☆ Re: 図形 / らすかる

円の半径が一定で直線の位置が変わる場合は
円の中心を通る時に最大となりますが、
この問題では円の半径が変わりますので
円の中心を通る時に最大とは言えません。
例えば半径1の円の中心を通る弦と
半径2で円の中心から少しそれた弦を比べたら
後者の方が長いですね。

No.45403 - 2017/08/15(Tue) 15:58:48

☆ Re: 図形 / 初心者

ありがとうございます。
すっきりしました。
ではこの問題では解と係数の関係を用いて導くやり方がベストでしょうか？

No.45405 - 2017/08/15(Tue) 16:02:40

☆ Re: 図形 / らすかる

そうですね、それが一番簡単かと思います。

No.45408 - 2017/08/15(Tue) 16:50:50

★ 角の三等分線 / ばたやん

主催ヨッシー様

小生は65才過ぎの老人素人の数学愛好家です。
たまたま、このホームページを見付け、質問が可能らしい
のでメールました。

最近、既に閉鎖状態になっていながらも閲覧可能なあるホ
ームページさて、次のような問題を見付けました。この問
題にヨッシーさんなる方からの解答が寄せられていました。

「三角形ＡＢＣの∠Ａの三等分線とＢＣの交点をＰ、Ｑと
します。ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４　のとき、ＡＢ、
ＡＣの長さを求めてください。」

答は、ＡＢ＝20√（2/11）、ＡＣ＝4√（35/11）でした。
これを解いたヨッシーさんはすばらしいと思いました。
これからが小生の質問です。次の問題をご覧ください。

「三辺の長さが、ＡＢ＝20√（2/11）、ＢＣ＝12、ＡＣ＝
4√（35/11）なる三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの三等分線
とＢＣの交点をＰ、Ｑとしたとき、ＢＰ、ＰＱ、ＱＣのそ
れぞれの長さを求めてください。」

これは初めの問題の逆の問題を小生が文書化したものです。
最初の問題を基にしているので、解答は最初からわかって
いて、答は　ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４　になります。
ところが、いざ、解答に取り組むと意外に難しく、角の二
等分線の公式を使って求めようとすると、式が暴発してし
まいました。もし、この問題の解き方をご存知であれば、
指南して頂けないでしょうか。宜しくお願い致します。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ばたやん

No.45397 - 2017/08/15(Tue) 09:46:02

☆ Re: 角の三等分線 / らすかる

角の二等分線に関する定理から
AB・PQ=AQ・BP
AP・QC=AC・PQ
AP^2=AB・AQ-BP・PQ
AQ^2=AP・AC-PQ・QC
見やすくするために
AB=c, AC=b, AP=p, AQ=q, BP=u, QC=vとおくとPQ=12-u-vなので
c(12-u-v)=qu … (1)
pv=b(12-u-v) … (2)
p^2=cq-u(12-u-v) … (3)
q^2=bp-(12-u-v)v … (4)
(1)から q=c(12-u-v)/u … (5)
(2)から p=b(12-u-v)/v … (6)
(5)(6)を(3)に代入して整理すると
b^2(12-u-v)u=(c^2-u^2)v^2 … (7)
(5)(6)を(4)に代入して整理すると
c^2(12-u-v)v=(b^2-v^2)u^2 … (8)
(7)-(8)を整理すると
u=12c^2v/{12b^2-(b^2-c^2)v} … (9)
(7)にb^2=560/11,c^2=800/11を代入して整理すると
560(12-u-v)u=(800-11u^2)v^2 … (10)
(9)にb^2=560/11,c^2=800/11を代入して整理すると
u=40v/(28+v) … (11)
(11)を(10)に代入して整理すると
v^3-4v^2-112v+448=0
(v-4)(v^2-112)=0
∴v=4,±4√7
v＞0なのでv=-4√7は不適
v=4√7とすると(11)からu=20(√7-1)/3となり
u+v=4(8√7-5)/3＞4(8×2-5)/3=44/3＞12となり不適
よってv=4、(11)からu=5
従ってBP=u=5, PQ=12-u-v=3, QC=v=4

No.45398 - 2017/08/15(Tue) 11:56:30

☆ Re: 角の三等分線 / ばたやん

こんなに早くお解き頂くとは思ってもみませんでした。
ご指南頂きありがとうございました。
しばらく、じっくり研究してみます。
まずは、即答頂きました事、深く御礼申しあげます。

　　　　　　　　　　　　　　　ばたやん

No.45409 - 2017/08/15(Tue) 17:05:30

★ (No Subject) / ASKA

問.
複素数zとwに￥の間には、w=1/(z-α)の関係がある。ただし、αは複素定数である。
複素平面上において、実軸上かつz≠αを満たす部分を点zが動くとき、点wはある1つの直線上を動くとする。
では、虚軸上かつz≠αを満たす部分を点zが動くとき、点wの描く図形はどのようなものになるだろうか。

さっぱり分かりません…。どなたか教えてください！

No.45393 - 2017/08/15(Tue) 00:20:57

☆ Re: / IT

もっとうまいやり方があるかも知れませんが、

w=x+yi,α=a+bi,z=s+ti(x,y,a,b,s,t は実数) とおいて
条件を満たすa,bを求めるのが第一歩かと思います。
ｚが実軸上を動くときは、z=s (t=0) です。

w=1/(z-α) より　w(z-α)=1.
(x+yi)(s-a-bi)=1. 展開して実部と虚部に分け連立方程式を作る。
s-aが動くとき連立方程式の解(x,y) がどう動くか考える。

No.45394 - 2017/08/15(Tue) 01:07:00

☆ Re: / angel

w=1/(z-α) という変換は、基本的に直線→円の変換になるものです ( のはず )

それが直線→直線 ( zを実軸という直線を動かす時 w がある直線上を動く ) となると、αは何かしら特別な値である、ということになります。
※ぶっちゃけるとαは実数

なお、w の描く図形については、
　zが実軸上 ⇔ z-~z=0 ( ~z は zの複素共役と思ってください )
を利用して、
　w=1/(z-α) ⇔ z=α+1/w
から、
　α-~α+1/w-1/~w=0
として整理します。
αが実数でない、つまり α-~α=i/b ( bは非0実数 ) とすると、
　i/b+1/w-1/~w=0
　⇔ w~w+ibw-ib~w=0
　⇔ (w-ib)(~w+ib)=b^2
　⇔ (w-ib)・~(w-ib)=b^2
　⇔ |w-ib|=b
なので、wの描く図形は円になって問題の条件に合わない、と。

最後に z が虚軸を動く場合も、上と似たような計算から円が出てくるはずです…、が、α=0 の場合だけ注意が必要です。

No.45395 - 2017/08/15(Tue) 02:03:27

☆ Re: / IT

angel さんの方法が、複素数の性質を使って見通しも良いですし、計算も簡明で（速くて間違いにくい）のでお薦めです。

No.45396 - 2017/08/15(Tue) 08:42:22

☆ Re: / ASKA

皆さんありがとうございました！

No.45400 - 2017/08/15(Tue) 14:15:13

★ 立方体の切断面の問題 / 中学3年生

一辺6cmの立方体、五角形の切断面なのですが、さっぱり分かりません。解説では、最初に相似を使っていたのですがやっぱり分からないので教えて下さい。(解説の方も写真を載せたかったのですが、1枚しか載せれないみたいでした)

No.45387 - 2017/08/14(Mon) 20:27:04

☆ Re: 立方体の切断面の問題 / らすかる

「返信」を押せば2枚目を載せられますよ。

No.45390 - 2017/08/14(Mon) 21:16:22

☆ Re: 立方体の切断面の問題 / angel

取り敢えずは「五角形」と見ずに、「三角形の端を落としたもの」と見ることです。
※図中、TとUを追加しています。

No.45391 - 2017/08/14(Mon) 22:06:25

★ 数学I / aa

すみません教えてください。
下記の問題の解法で、3次以下の整方程式は存在しない
という証明は理解したのですが、4次方程式以上なら存在
するという解法がわかりません。
■問題
係数が整数である高次方程式でSQRT(2)+SQRT(3)を
一つの解とするもののうち、最低次を求めよ。
■解
赤枠の箇所です。
まず、3次方程式では高次の係数はaとありますが、
4次方程式では係数がないのは何故でしょうか
11a+c=0・・・はどこから導入されたのでしょうか・・。

No.45378 - 2017/08/14(Mon) 17:24:39

☆ Re: 数学I / IT

aα^3+bα^2+cα+d=(11a+c)√2+(9a+c)√3+2b√6+(5b+d)1
において√2,√3の係数にはa,cのみが現われ、√6と1の係数にはb,d のみが現われています.

√6の係数2bは任意の偶数にできます。bを決めた後、dを適当にとれば(5b+d)は任意の整数にできます。
したがって　α^4=49+20√6　と打ち消しあうようにb,dを決められます。

また、b,dとは独立して,a,cを決めることによって、
√2,√3の係数をそれぞれ(11a+c)＝(9a+c)＝0とできます。

No.45381 - 2017/08/14(Mon) 18:44:44

☆ Re: 数学I / aa

有難う御座いました。
理解できました

No.45388 - 2017/08/14(Mon) 21:02:51

★ 漸化式の立て方 / 数学初心者

画像の図と 1/2 と 1/4がどう導き出されたのかよく分かりませんでした。分かりやすく丁寧に解説を頂戴いただけると幸いです。ではよろしくお願いしますm(._.)m

No.45377 - 2017/08/14(Mon) 17:23:52

☆ Re: 漸化式の立て方 / IT

図のとおりです。表を○、裏を×とします。
ｎ≧3について
ちょうどｎ+１回目に終了するのは、
（１）１回目に×が出た場合、残りのｎ回について考えるとちょうどｎ回目で終了する場合。
（２）１回目に○が出た場合、２回目は×でないといけない、そして残りのｎ-１回について考えると、ちょうどｎ-１回で終了する場合。
の２つである。
（１）の確率は(1/2)P[n]
（２）の確率は(1/2)(1/2)P[n-1]

No.45385 - 2017/08/14(Mon) 19:35:53

☆ Re: 漸化式の立て方 / 数学初心者

返信ありがとうございます。ちょっとずつですが分かり始めました！類題を解いてみて理解を深めたいと思います！ありがとうございましたm(._.)m

No.45401 - 2017/08/15(Tue) 15:47:51