ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

ｆは区間Ｉで定義された連続関数で、かつ単射であるとする。
そのとき、ｆはＩにおいて、強い意味での単調増加または強い意味での単調減少であることを証明せよ。

という問題なのですが、以下のような回答は問題がありますでしょうか。
自分ではわからないので教えていただけないでしょうか。

---

fが強い意味での単調増加であることを示す。
fは単射であるから、任意のx[1],x[2]∈I、f(x[1]) = f(x[2])ならば、x[1] = x[2]。
一方、問題の結論を否定すると、fは強い意味での単調増加ではないから、
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])≧f(u[2])となる。
これはf(u[1]) = f(u[2])となるとき仮定に矛盾。
fが強い意味での単調減少であること場合も同様。

---

ちなみに教科書の回答では、
a < b < c を満たすI の任意の3 点a, b, c に対して
f(a) < f(b) < f(c) またはf(a) > f(b) > f(c)であることを示す。
のように議論しており、自分の回答は不備がある、つまり
[fが強い意味での単調増加であることを示す。]という場合分けはまずいのかな？？
と思っています。

No.45366 - 2017/08/14(Mon) 15:17:44

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / らすかる

問題があります。

> これはf(u[1]) = f(u[2])となるとき仮定に矛盾。

fが狭義単調減少ならばu[1]＜u[2]のときf(u[1])＞f(u[2])ですから
f(u[1])=f(u[2])となるときがなく、仮定に矛盾しません。

No.45367 - 2017/08/14(Mon) 15:27:05

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

確かにそうですね。
強い意味での単調増加または強い意味での単調減少であることを示すので、別々に検討してはまずいですね。

ありがとうございました！

No.45370 - 2017/08/14(Mon) 15:51:59

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

すみません、ちょっと混乱しましたので、再度教えていただけないでしょうか。

「狭義単調増加または狭義単調減少である」を否定すると
「狭義単調増加でないかつ狭義単調減少でない」となり、

・「?@狭義単調増加でない」
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])≧f(u[2])

かつ

・「?A狭義単調減少でない」
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])≦f(u[2])

となって、?@、?Aを合わせると、結局
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])＝f(u[2])

となってしまったのですが、上記は何がまずいのでしょう・・・。すみません。

No.45371 - 2017/08/14(Mon) 16:10:48

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / IT

> となって、?@、?Aを合わせると、結局
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])＝f(u[2])

?@、?A で　同じu[1],u[2]∈I　とは限りません。

No.45372 - 2017/08/14(Mon) 16:21:42

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

たしかにそうですね。同じu[1],u[2]∈Iとは限らないので、
この方法で矛盾を示すのは難しそうですね。

ありがとうございます。

No.45382 - 2017/08/14(Mon) 18:47:34

★ 1995年京都大学理系後期 / りな

この(2)が分かりません…。解説サイト(リンク)を見たのですが、?@と?Aをまとめるところでひっかかってしまいます…。
高1に分かる解説お願いしますm(_ _)m

ちなみに1995年京都大学理系後期の問題です。

No.45361 - 2017/08/14(Mon) 14:34:36

☆ 追記 1995年京都大学理系後期 / りな

このサイトです。

No.45362 - 2017/08/14(Mon) 14:36:06

☆ Re: 1995年京都大学理系後期 / IT

どのサイトですか？

?@と?Aをまとめるところ　とは？　どこのことですか？

なお、この問題の解答は、下記にもあります。http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/20c/95ka205.htm

No.45386 - 2017/08/14(Mon) 19:49:53

☆ Re: 1995年京都大学理系後期 / angel

りなさんの言ってるのは http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/51221229.html のことですね。
※URL入力欄だと実は気付かれにくい…メールと同じで、自分のブログやホームページの扱いなのかも

「?@と?Aをまとめる」ですが、

(Aが勝つ確率 p[n])
　=　(Bが初手0を引く確率)×(0を引かせたAが勝つ確率)
　　+(Bが初手0を引かない確率)×(0の残ったAが勝つ確率)

と2通りに分けて確率を計算するところ、

?@
　(Bが初手0を引く確率) = 1/(n+1)
　(0を引かせたAが勝つ確率) = q[n]
?A
　(Bが初手0を引かない確率) = n/(n+1)
　(0の残ったAが勝つ確率) = p[n-2]

だと分かったので、

　p[n]=q[n]/(n+1) + p[n-2]/(n+1)

ですね、と言っているわけです。

No.45389 - 2017/08/14(Mon) 21:05:23

☆ Re: 1995年京都大学理系後期 / りな

とても分かりやすい解説ありがとうございます。おかげで解くことができました。

No.45415 - 2017/08/15(Tue) 22:27:22

★ 放物線と直線 / あゆみ

(3)からが解けません…。
求め方を教えて下さい。

No.45357 - 2017/08/14(Mon) 09:51:33

☆ Re: 放物線と直線 / エンヴィー

(3)等積変形と言えばピンときますかね。
△ACE=△BDEのとき、
△ACB=△ACE+△ECB
△CBD=△BDE+△ECB　から、
△ACB=△CBD
Aを通り、CBに平行な直線上にDがあります。(等積変形)
直線BC:l,直線AD:mとし、mと放物線の交点Dの座標を求めると、点D(5/2,25/8)

(4)y軸に平行で、Aを通る直線, Dを通る直線と、lとの交点をそれぞれF, Gとおく。
四角形ADBC=平行四辺形FGDA+△AFC+△DGB
右辺のそれぞれの図形について、AFやDGを底辺と考えた場合の高さを求める。
(平行四辺形FGDAの高さ)=(点Aと点Dのx座標の差)=7/2
(△AFCの高さ)＝(点Aと点Cのx座標の差)=1/2
(△DGBの高さ)＝(点Dと点Bのx座標の差)=1/2

AF=DG=(lとmの切片の差)=1だから、
四角形ADBC=平行四辺形FGDA+△AFC+△DGB
=1*(7/2)+(1/2)*1*(1/2)+(1/2)*1*(1/2)=4

No.45359 - 2017/08/14(Mon) 12:46:02

★ 極限 / 天空中央駅

次の極限の求め方を教えてください。

?@lim[n→∞]{(x+2)^(2n)/{(x-1)^(2n+1)+3)}}
?Alim[n→∞][{{a^(1/n)+b^(1/n)}/2}^n]

よろしくお願いします。

No.45355 - 2017/08/14(Mon) 00:18:29

☆ Re: 極限 / GM

ａ＞０，ｂ＞０
ｈ＝１／ｎとしｆ（ｈ）＝（（ａ^h＋ｂ^h）／２）^1/hとおいて対数をとり
ｌｏｇｆ（ｈ）＝ｌｏｇ（（ａ^h＋ｂ^h）／２）／ｈ
ｎ→∞のときｈ→０
ｌｉｍ（ｈ→０）ｌｏｇｆ（ｈ）
＝ｌｉｍ（ｈ→０）（ｌｏｇ（（ａ^h＋ｂ^h）／２）－ｌｏｇ１）／ｈ
＝ｌｉｍ（ｈ→０）（ｌｏｇ（（ａ^h＋ｂ^h）／２）－ｌｏｇ（（ａ⁰＋ｂ⁰）／２））／ｈ
これはｌｏｇ（（ａ^x＋ｂ^x）／２）のｘ＝０における微分系数を意味するから
微分してｘ＝０を代入するとｌｏｇ（ａｂ）／２＝ｌｏｇ（√ａｂ）
よって求める答えは√ａｂ

No.45455 - 2017/08/17(Thu) 17:38:17

★ (No Subject) / ゆうたろう

少し長くなりますが、
この問題の(3)の解答に疑問があります。
まず、問題です。

No.45349 - 2017/08/13(Sun) 23:33:31

☆ Re: / ゆうたろう

解答が２ページあります。
一つ目はこちらで。

No.45350 - 2017/08/13(Sun) 23:34:47

☆ Re: / ゆうたろう

二つ目はこちらになります。
ここで、質問なのですが、
解答の(3)の9行目の、
「ここで、?DよりX＝･･･」となっている
部分が分かりません。なぜ、このような式に変形したのでしょうか？

No.45351 - 2017/08/13(Sun) 23:37:19

☆ Re: / IT

-√3/3 ＜a＜√3/3 の範囲でa が動くとき
Ｘ＝-(a^2)/(1+a^2) がとる値の範囲を調べるためです。

-(a^2)/(1+a^2)のままより-2+2/(1+a^2)の方が値の範囲が調べやすいと思います。

No.45353 - 2017/08/14(Mon) 00:07:07

★ (No Subject) / 龍人

5x+8<3と4x+24>0を満たすxの範囲を求めよ
X>1
X>-6
両方を満たすのがなぜX>1なのかが
わかりません。
教えてください。

No.45342 - 2017/08/13(Sun) 16:53:04

☆ Re: / らすかる

5x+8＜3と4x+24＞0の両方を満たすxの範囲は-6＜x＜-1です。
「x＞1」と書かれているのであれば、問題か解答のどちらかが間違っています。

No.45344 - 2017/08/13(Sun) 19:36:34

☆ Re: / 龍人

-5x+8<3と4x+24>0を満たすxの範囲を求めよ
X>1
X>-6

でした

両方満たすのがx>1というのがよくわかりません。

X>-6の方が範囲が広いのになぜですか？

No.45346 - 2017/08/13(Sun) 21:32:25

☆ Re: / らすかる

「両方とも満たす」のは「範囲が狭い方」です。
たとえばx=0は
x＞-6は満たしますが
x＞1は満たしませんね。

# 「どちらかを満たす」のが「範囲が広い方」です。

No.45347 - 2017/08/13(Sun) 21:59:04

☆ Re: / 龍人

よくわかりました。ありがとうございました

No.45352 - 2017/08/14(Mon) 00:04:14

★ 極限 / 天空中央駅

次の極限の求め方を教えてください。

?@lim[n→∞](√(9n^2+14n+7)-[√9n^2+14n+7]) ([x]はx以下の最大の整数を表す)
?Alim[n→∞](1/n)*{(Σ[k=2n+1～3n]logk)-nlogn}

よろしくお願いします。

No.45341 - 2017/08/13(Sun) 16:51:55

☆ Re: 極限 / IT

（１）は、
任意の自然数nについて
(3n+2)^2≦9n^2+14n+7＜(3n+3)^2 より
　[√(9n^2+14n+7)]=√(3n+2)^2を使えばできると思います。

No.45343 - 2017/08/13(Sun) 17:17:02

☆ Re: 極限 / IT

(2)は
(Σ[k=2n+1～3n]logk)-nlogn
=Σ[k=2n+1～3n](logk-logn)
=Σ[k=2n+1～3n]log(k/n)
と変形すると、区分求積法で計算できると思います。

No.45345 - 2017/08/13(Sun) 20:39:11

☆ Re: 極限 / 天空中央駅

理解できました。回答ありがとうございました！

No.45354 - 2017/08/14(Mon) 00:15:34

★ (No Subject) / ルートの計算

√0.645=0.8031になる詳しい解説をお願いします。

No.45338 - 2017/08/13(Sun) 10:59:25

☆ Re: / らすかる

方法1（按分法）
0.8×0.8=0.64＜0.645
0.81×0.81=0.6561＞0.645
(0.645-0.64)/(0.6561-0.64)≒0.31
つまり0.645は0.64と0.6561をおよそ0.31：0.69に
内分した値なので、2乗して0.645になる数は
0.8と0.81を0.31：0.69に内分したあたりになる
(0.81-0.8)×0.31+0.8=0.8031
0.8031×0.8031=0.64496961≒0.645
∴√0.645≒0.8031

方法2（平方根近似）
0.8×0.8=0.64
0.645÷0.64=1.0078125なので
0.645≒0.64(1+0.0078)
√0.645≒√{0.64(1+0.0078)}=0.8√(1+0.0078)
≒0.8(1+0.0078/2)=0.80312（∵α<<1のとき√(1+α)≒1+α/2）
∴√0.645≒0.80312

方法3（ニュートン法）
0.8×0.8=0.64
0.8-(0.8-0.645/0.8)/2≒0.8031
∴√0.645≒0.8031

ニュートン法ではこの後数回の計算で
非常に精度の高い値が得られます。
0.8031-(0.8031-0.645/0.8031)/2≒0.80311892
0.80311892-(0.80311892-0.645/0.80311892)/2≒0.803118920210450527
∴√0.645≒0.803118920210450527
（0.803118920210450527^2≒0.64499999999999999996）

No.45339 - 2017/08/13(Sun) 11:15:03

★ 微分方程式 / たなお

以下の問題で分からないところがあります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
次の微分方程式を解け。x = e^t と置いて、独立変数を t に換えよ。

　(x^2)y'' + xy' - 4y = 0

＜正答＞

　y = ax^2 + bx^(-2) 　　　　※a と b は定数
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以下自分で考えた途中計算です。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　　x = e^t
　⇔dx/dt = e^t = x
　⇔dx = xdt

　∴（与式）= (x^2)(d^2y)/(xdt)^2 + xdy/(xdt) - 4y = 0
　　　　　 ⇔d^2y/dt^2 + dy/dt - 4y = 0

補助方程式は λ^2 + λ - 4 = 0 で、補助方程式の解をα、β とすると

　　y = ae^(αt) + be^(βt)　　　　※a と b は定数

x = e^t より

　　y = ax^α + bx^β
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

正答と一致するには α と β が ±2 にならなければなりませんが、補助方程式は λ^2 + λ - 4 = 0 なので一致しません。

正答を与式に代入するとちゃんと成り立つことは確認済みなので、自分の計算のどこかがおかしいのだと思いますが、おかしい箇所が分かりません。どこがおかしいか教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.45332 - 2017/08/13(Sun) 00:40:54

☆ Re: 微分方程式 / X

>>(与式)=～
で
dx^2=(dx)^2
を前提としていますが、このような関係は
成立しません。

x=e^t
のとき
dy/dx=(dt/dx)(dy/dt)
=(1/e^t)(dy/dt)
=(1/x)(dy/dt)
∴(d^2)y/dx^2=(d/dx){(1/x)(dy/dt)}
=-(1/x^2)(dy/dt)+(1/x)(d/dx)(dy/dt)
=-(1/e^(2t))(dy/dt)+(1/x)(dt/dx)(d^2)y/dt^2
=(1/e^(2t))((d^2)y/dt^2-dy/dt)
となります。

No.45333 - 2017/08/13(Sun) 01:06:36

☆ Re: 微分方程式 / たなお

Xさん

ありがとうございます！

No.45336 - 2017/08/13(Sun) 09:30:12

★ 数学的帰納法 / たっつる

()内の問題に対してこのような答案を作ったのですが、この答案で大きな間違いはないでしょうか
自分自身でもα^k倍する部分等に不安があるので質問させていただきました
細かい部分は省略して書いています

No.45327 - 2017/08/12(Sat) 23:01:01

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

特に問題ないと思います。
※ちょっと α^n+β^n-3^n と α^n-β^n-3^n と表記ゆれがあるのですが、前者として話を進めます

ちゃんと「5(α^k+β^k)だから5の倍数」と即断してないところもいいポイントです。

なお、「両辺をα^kして」で特に問題はないんですが、気になるようなら、

　αはx^2-3x+5=0 の解であるため、α^2-3α+5=0
　すなわち α^2=3α-5
　同様に β^2=3β-5

　α^(k+2)+β^(k+2)-3^(k+2)
　= α^2・α^k+β^2・β^k-3^(k+2)
　= (3α-5)α^k+(3β-5)β^k-3・3^(k+1)
　= 3(α^(k+1)+β^(k+1)-3^(k+1)) - 5(α^k+β^k)
　= 3(α^(k+1)+β^(k+1)-3^(k+1)) - 5(α^k+β^k-3^k) - 5・3^k

位の感じで進めると書き易いかもしれません。

No.45329 - 2017/08/12(Sat) 23:22:40

☆ Re: 数学的帰納法 / たっつる

回答ありがとうございます

α^n+β^n-3^nで正しいです、すみません
係数が5だからといって5の倍数だと断言してはいけないことも注意しておいてよかったです
わざわざ別解までありがとうございました

No.45337 - 2017/08/13(Sun) 10:46:50

★ 高一数1 / ゆか

いつもありがとうございます
この画像の問9以外をお願いしたいのです。よろしくお願いします。

No.45326 - 2017/08/12(Sat) 22:02:32

☆ Re: 高一数1 / ヨッシー

７．
「周囲が同じ幅」の意味が不明ですが（学校の課題ですかね？）
同心円を描いて道を作るってことでしょうね。
道の面積は
　π(４０＋ｌ)^2－π４０^2＝π（ｌ^2＋８０ｌ)
より、
　２７００≦π（ｌ^2＋８０ｌ)≦９９００
π＝３　とすると
　９００≦ｌ^2＋８０ｌ≦３３００

　ｌ^2＋80ｌ－900≧０　より
　(ｌ＋９０)(ｌ－１０)≧０
　ｌ≦－９０　または　ｌ≧１０

　ｌ^2＋８０ｌ－３３００≦０　より
　(ｌ＋１１０)(ｌ－３０)≦０
　－１１０≦ｌ≦３０

以上より　１０≦ｌ≦３０

８．
ＣＤ＝ｘｍ　とおくと　（以下　ｍ　は省略)
　ＡＤ＝ｘ/√3、ＢＤ＝ｘ
△ＡＢＤにおける三平方の定理より
　ＡＢ＝√(2/3)ｘ＝１００
　ｘ＝１００√(3/2)＝５０√６(m)　・・・答え
　
１０．

図のように展開図を描き、ＯとＡを直線で結ぶときが、最短となります。
△ＯＨＡにおける三平方の定理で求めることが出来ます。

No.45334 - 2017/08/13(Sun) 01:08:34

☆ Re: 高一数1 / エンヴィー

△ABDは直角三角形じゃないと思いました。
ADとBを通る真北の直線の交点をEとして、△AEBについて三平方の定理を適用したら、答えが100√3になりました。
EAの長さはED-ADで求めます。
このED, ADとBEは直角三角形を見ればCD=xで表せます。

No.45335 - 2017/08/13(Sun) 01:56:21

★ 和から一般項 / bigsky

和から一般項の問題なんですけど写真の通りです。お願いします。

No.45315 - 2017/08/12(Sat) 17:56:32

☆ Re: 和から一般項 / IT

a[n]=(1/2)a[n-1]+1,(n≧2)
a[n+1]=(1/2)a[n]+1,(n≧1)
２つ目の式では添え字をn+1 としていますからOKです。

１つ目の式で　n=2 のときは　a[2]=(1/2)a[1]+1
２つ目の式で　n=1 のときは　a[2]=(1/2)a[1]+1
で同じことを表してます。

No.45316 - 2017/08/12(Sat) 18:09:02

☆ Re: 和から一般項 / らすかる

a[n]=(1/2)a[n-1]+1（n≧2）というのは
a[n]=(1/2)a[n-1]+1 という式が n=2,3,4,… のすべてに対して成り立つ
つまり
a[2]=(1/2)a[1]+1
a[3]=(1/2)a[2]+1
a[4]=(1/2)a[3]+1
・・・
が全部成り立つ、ということを表したものです。

a[n+1]=(1/2)a[n]+1（n≧1）というのは
a[n+1]=(1/2)a[n]+1 という式が n=1,2,3,… のすべてに対して成り立つ
つまり
a[2]=(1/2)a[1]+1
a[3]=(1/2)a[2]+1
a[4]=(1/2)a[3]+1
・・・
が全部成り立つ、ということを表したものです。

従って全く同じ意味になります。

No.45321 - 2017/08/12(Sat) 18:58:58