ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / pui

チャートの「共通解を求める問題での注意点」に書いてあったことについてです。x^2+3x+2=0-?@ x^2-6x+8=0-?Aの共通解を求めるとき、?@-?Aから、9x-6=0　よってx=2/3　というように解く場合、このxが必ずしも共通解とはならない、だからこれが共通解であるかを確かめなければならない、と書いてあったのですが、なぜこう解くと必ずしも共通解にはならないということが起こるのでしょうか。

No.45490 - 2017/08/19(Sat) 08:45:20

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / IT

?@-?Aから出てきた
9x-6=0 は、x^2+3x+2=x^2-6x+8 と同値です。
9x-6=0 をみたすxは必ずしも?@?Aを満たすとは限りません。
（なお?@を満たせば?Aも満たします）

グラフで考えると y=x^2+3x+2とy=x^2-6x+8 の交点P(x,y)のxは9x-6=0を満たしますが、y=0になるとは限りません。

たとえば　x(x-1)=0,(x-3)(x-4)=0 は共通解を持ちませんが
y=x(x-1),y=(x-3)(x-4)は、P(2,2) を交点に持ち、 x(x-1)-(x-3)(x-4)=0 の解はx=2です。

No.45492 - 2017/08/19(Sat) 09:34:23

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / Kenji

x^2+3x+2=0-?@ かつ x^2-6x+8=0-?A が成り立つとき、?@-?Aから9x-6=0　よってx=2/3と結論される。
?@と?Aの共通解がもしあるとすれば、それはx=2/3であるから、
x=2/3が?@?Aを満たすか否かを確認することによって、共通解の有無を判断することができる。
・・・そのような状況です。

No.45493 - 2017/08/19(Sat) 09:36:07

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / angel

蛇足ながら。
人間、候補が1つに絞られると「これが答えだ!」と決めつけてしまうところもあるのではないかと思いますが、それは「必ず1つ答えがある」という暗黙の前提に拠っているところがありまして。が、本当にあるかどうかは保証されていないですよね。

今回「よって x=2/3」と、候補が1つに絞られたのは確かですが、それは「共通解がある」ことの保証にはなっていないのです。「無い」という可能性を忘れてはならないのです。

「必要」と「十分」はもう習っていますね?
「?@,?Aの共通解として x=2/3 が『必要』だが、共通解の存在を示すのに『十分』ではない」ということになります。

No.45494 - 2017/08/19(Sat) 09:49:58

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / pui

丁寧に解説してくださってありがとうございます！理解できました。

No.45495 - 2017/08/19(Sat) 09:52:34

★ 極限 / es

【問題】
座標平面上の曲線C=logx(x>0)を考える。tは正の実数として、曲線C上の点P(t,logt)、x軸上の点Q(2t²-t,0)をとり、曲線Cとx軸の交点をEとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)PがEと一致しないとき、↑EPと同じ向きの単位ベクトルを↑vとおき、その成分表示を↑v=(v[1],v[2])とする。tが1より大きな値をとりながら限りなく1に近づくときのv[1]、v[2]の極限値をそれぞれ求めよ。

(2)θ=∠EPQとおく。極限lim[t→1]cosθの値を求めよ。

【解答】
(1)lim[t→1+0]v[1]=1/√2,lim[t→1+0]v[2]=1/√2
(2)-1/√10

この問題の解説をお願いします。

No.45487 - 2017/08/19(Sat) 01:35:27

☆ Re: 極限 / X

(1)
条件から
↑v=↑EP/|↑EP|
=((t-1)/√{(t-1)^2+(logt)^2},logt/√{(t-1)^2+(logt)^2}) (P)
∴
lim[t→1+0]v[1]=lim[t→1+0](t-1)/√{(t-1)^2+(logt)^2}
=lim[t→1+0]1/√{1+{(logt)/(t-1)}^2} (A)
lim[t→1+0]v[2]=lim[t→1+0](logt)/√{(t-1)^2+(logt)^2}
=lim[t→1+0]1/√{1+1/{(logt)/(t-1)}^2} (B)
ここで
g(t)=logt
と置くと(A)(B)はそれぞれ
lim[t→1+0]v[1]=1/√{1+(g'(1))^2}
=1/√2
lim[t→1+0]v[2]=1/√{1+1/(g'(1))^2}
=1/√2

(2)
条件から
↑PQ=(2t^2-t-t,-logt)
=(2t^2-2t,-logt)
これと(P)を使うと
cosθ=(-↑v・↑PQ)/|↑PQ|
={-(t-1)(2t^2-2t)+(logt)^2}/√{{(t-1)^2+(logt)^2}{(2t^2-2t)^2+(logt)^2}}
={-2t(t-1)^2+(logt)^2}/√{{(t-1)^2+(logt)^2}{4(t^2)(t-1)^2+(logt)^2}}
={-2+(1/t){(logt)/(t-1)}^2}/√{{1+{(logt)/(t-1)}^2}{4+(1/t^2){(logt)/(t-1)}^2}}
∴(1)のg(t)を使うと
lim[t→1]cosθ={-2+(g'(1))^2}/√{{1+(g'(1))^2}{4+(g'(1))^2}}
=-1/√10

No.45509 - 2017/08/19(Sat) 18:33:48

★ 高校数学(A)の問題 / 高校生

internetのすべての文字を使ってできる順列は(ア)通りであり、そのうちどのtも、どのeより左側にあるものは(イ)通りである。

アの解き方は分かるのですが、イの解き方がわからないので教えてください。答えは840です。

No.45483 - 2017/08/19(Sat) 00:12:30

☆ Re: 高校数学(A)の問題 / らすかる

eとtをoに置き換えて、並べた後に4つのoを左から順にt,t,e,eに換えればよいので、
inoornooの順列の数と同じとなり、求める場合の数は 8!/(4!2!)=840通り

No.45484 - 2017/08/19(Sat) 00:15:27

☆ Re: 高校数学(A)の問題 / 高校生

> eとtをoに置き換えて、並べた後に4つのoを左から順にt,t,e,eに換えればよいので、
> inoornooの順列の数と同じとなり、求める場合の数は 8!/(4!2!)=840通り

丁寧にありがとうございます。
とても分かりやすいです。

No.45485 - 2017/08/19(Sat) 00:19:25

★ 高校数学aの問題 / k

9人を、区別をしない２つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、それぞれの部屋には少なくとも1人は入れるものとする。

2の9乗(＝512)をしてから-2をする理由が分かりません。丁寧に教えて頂けると嬉しいです。ちなみにこの問題の答えは255です。

No.45477 - 2017/08/18(Fri) 19:14:07

☆ Re: 高校数学aの問題 / らすかる

まず2つの部屋をA,Bと区別します。
1人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
2人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
3人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
・・・
9人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
ここまでで2^9通り
しかしこの中には、問題の条件を満たさない
「全員がA」「全員がB」という2通りが含まれているので
それを除くと2^9-2通り
よって2つの部屋が区別されている場合は2^9-2通りだが
この問題では部屋が区別されていないので、
2で割って(2^9-2)÷2=255通り

No.45478 - 2017/08/18(Fri) 19:20:53

☆ Re: 高校数学aの問題 / k

> まず2つの部屋をA,Bと区別します。
> 1人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> 2人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> 3人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> ・・・
> 9人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> ここまでで2^9通り
> しかしこの中には、問題の条件を満たさない
> 「全員がA」「全員がB」という2通りが含まれているので
> それを除くと2^9-2通り
> よって2つの部屋が区別されている場合は2^9-2通りだが
> この問題では部屋が区別されていないので、
> 2で割って(2^9-2)÷2=255通り

丁寧に解説してくださりありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

No.45479 - 2017/08/18(Fri) 19:27:21

★ 数学?V / KONMAI

極限の問題です。

1.lim[n→∞][1/(2n+1)+1/(2n+3)+1/(2n+5)+…+1/{2n+(2n-1)}]
2.lim[n→∞](C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)

1.恐らく区分求積の考え方を使うのだと思うのですが、f(k/n)の形を作り出せずに停滞してしまいました。
2.こちらも区分求積に持ち込もうと考え、logをとって項をバラしてみたのですがうまくいかず…。

解説をお願いします。

No.45476 - 2017/08/18(Fri) 17:39:44

☆ Re: 数学?V / みずき

1.
Nを正の整数とするとき、N-1≦x≦Nに対して
1/(2n+1+2x)≦1/(2n+2N-1)≦1/(2n-1+2x)
が成り立つので
∫[N-1,N]dx/(2n+1+2x)≦1/(2n+2N-1)≦∫[N-1,N]dx/(2n-1+2x)
よって
∫[0,n]dx/(2n+1+2x)≦1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)≦∫[0,n]dx/(2n-1+2x)
つまり
(1/2)log{(4+1/n)/(2+1/n)}≦1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)≦(1/2)log{(4-1/n)/(2-1/n)}
はさみうちの原理により
lim[n→∞]{1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)}=(1/2)log2

2.
log{(C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)}
=(1/n)log{(5n)!n!/((3n)!(3n)!)}
=(1/n)Σ[k=1,2n]log{(3n+k)/(n+k)}
=(1/n)Σ[k=1,2n]log{(3+k/n)/(1+k/n)}
→∫[0,2]log{(3+x)/(1+x)}dx　（n→∞）
=log(3125/729)
∴lim[n→∞](C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)=3125/729

No.45480 - 2017/08/18(Fri) 19:57:48

★ 式の展開の仕方 / 数学初心者

画像の?の所がどうしてそうなるのかが分かりませんでした。何かの公式かそれとも計算が省略されているのでしょうか？分かりやすくて丁寧な解説を頂戴いただければ幸いです。ではよろしくお願いしますm(._.)m

No.45473 - 2017/08/18(Fri) 15:56:54

☆ Re: 式の展開の仕方 / らすかる

一つ目
二項定理から
2^n=(1+1)^n=nC0・1^n・1^0+nC1・1^(n-1)・1^1+nC2・1^(n-2)・1^2
+…+nC(n-2)・1^2・1^(n-2)+nC(n-1)・1^1・1^(n-1)+nCn・1^0・1^n
=nC0+nC1+nC2+…+nC(n-2)+nC(n-1)+nCn
=Σ[k=0～n]nCk
ですから
Σ[k=0～n]nCk=2^nです。

二つ目
k・nCk
=k・n!/{k!・(n-k)!}
=n!/{(k-1)!・(n-k)!}
=n・(n-1)!/{(k-1)!・(n-k)!}
=n・(n-1)!/{(k-1)!・((n-1)-(k-1))!}
=n・(n-1)C(k-1)

三つ目
Σ[k=1～n](n-1)C(k-1)
=Σ[k=0～n-1](n-1)Ck
=2^(n-1)　（一つ目と同じ）

No.45474 - 2017/08/18(Fri) 16:06:15

★ 数?V評価 / 高さ危険太郎

(1)x>0のとき、以下の不等式が成立することを示せ。
1/(x+1)<log(1+x)-logx<1/x

(2)次の不等式が成立することを示せ。
x+1/(1+e^x)<log(1+e^x)<x+1/e^x

(3)lim[a→∞](1/a^2)*∫[0～a]{log(1+e^x)}dxを求めよ。

よろしくお願い致します。

No.45471 - 2017/08/18(Fri) 11:14:20

☆ Re: 数?V評価 / IT

(1)x>0で1/x は狭義単調減少なので
x≦t≦1/(1+x)について、1/(1+x)≦1/t≦1/x (それぞれ等号はt=x+1,t=xのとき）
よって　1/(1+x)＜∫[x,1+x](1/t)dt＜1/x
1/(1+x)＜log(1+x)-log(x)＜1/x

(2)(1)でx=e^s とおくと　 1/(1+e^s)≦log(1+e^s)-log(e^s)≦1/e^s
sをxで書き換えて　1/(1+e^x)≦log(1+e^x)-x≦1/e^x
よって　x+1/(1+e^x)<log(1+e^x)<x+1/e^x

(3)∫[0,a](x+1/(1+e^x))dx≦∫[0,a]log(1+e^x)dx≦∫[0,a](x+1/e^x)dx
あとは、両側の定積分を計算して　(1/a^2) を掛けてa→∞のときを考えると出来ます。

No.45491 - 2017/08/19(Sat) 08:50:14

★ (No Subject) / saku

漸化式においての特殊解に関して質問です。
例えば、a1=0,a(n+1)=2an-nという漸化式において
特殊解をpn+qと置くのはなぜなのでしょうか？
単にpnと置くのではなぜダメなのでしょうか？

No.45464 - 2017/08/17(Thu) 23:18:36

☆ Re: / angel

単純に上手く行かないからですね…。

a[n+1]=2a[n]-n で、a[n]=pn と置いてみると、
p(n+1)=2pn-n つまり (p-1)n-p=0、これは p の値をどう取っても恒等式にできません。

a[n]=pn+q と置くならば p(n+1)+q=2(pn+q)-n で
今度は (p-1)n+(q-p)=0 これなら p=q=1 で恒等式が作れます

No.45465 - 2017/08/18(Fri) 00:00:46

☆ Re: / angel

なお、これは大学レベルになると思いますが、

　a[n+1]=2a[n]-n
　→ a[n+2]=2a[n+1]-(n+1)

これを辺々差し引いて

　a[n+2]-3a[n+1]+2a[n]=-1
　→ a[n+3]-3a[n+2]+2a[n+1]=-1

また辺々差し引いて

　a[n+3]-4a[n+2]+5a[n+1]-2a[n]=0

この係数から t^3-4t^2+5t-2=0 という方程式 ( 特性方程式 ) を作ると、この解は t=1(重解),2
と言うことで、a[n]=α・1^(n-1)+β・n・1^(n-1)+γ・2^(n-1) という3次元の解を持ちます。

特殊解としている pn+q はこのうちの2次元分 α・1^(n-1)+β・n・1^(n-1) ( t=1(重解)に対応 ) を見ていることになります。

No.45466 - 2017/08/18(Fri) 00:06:57

★ 初歩的な質問なんですけど… / ゆゆ

群数列で項数と第何項と数列の表を書いて解くと、第n項の初項とかって見たら答えわかるんですけど、解を書くときにいきなり、表より初項nの2乗とかって書いてもいいんですか？

No.45457 - 2017/08/17(Thu) 20:01:21

☆ Re: 初歩的な質問なんですけど… / らすかる

ダメです。
例えば各群の初項が1,4,9,16 となっていても
その後に25,36,49,と続くとは限りません。

No.45461 - 2017/08/17(Thu) 21:32:22

☆ Re: 初歩的な質問なんですけど… / ゆゆ

> ダメです。
> 例えば各群の初項が1,4,9,16 となっていても
> その後に25,36,49,と続くとは限りません。

ありがとうございます！

No.45463 - 2017/08/17(Thu) 22:25:15

★ 三角関数の性質 / きのこ

【問題】（sin）３乗θ＋（cos）３乗θ＝－１のとき、sinθ＋cosθの値を求めよ。

【答え】－１

sinθ＋cosθ＝ｔとおいて、sinθcosθ＝ｔ２乗ー１/２というところまでは分かりましたがそこから行き詰っています。教えてください。

No.45453 - 2017/08/17(Thu) 16:19:53

☆ Re: 三角関数の性質 / らすかる

(sinθ)^3+(cosθ)^3=(sinθ+cosθ)^3-3sinθcosθ(sinθ+cosθ)
=t^3-3t(t^2-1)/2=-1
(t-2)(t+1)^2=0
-√2≦t≦√2なので t=-1

No.45454 - 2017/08/17(Thu) 16:36:24

☆ Re: 三角関数の性質 / きのこ

ありがとうございます。助かりました。

No.45456 - 2017/08/17(Thu) 17:55:44

★ 連立漸化式について / bigsky

連立漸化式でなにをかけて連立をするのか求める時の話なんですけど2行目のように考える理由がわかりません。教えてください

No.45452 - 2017/08/17(Thu) 15:39:04

☆ Re: 連立漸化式について / angel

> 2行目のように考える理由

その答えはですね、「そう考えると解くのに都合が良い ( ということが分かってる ) から」以外にないんですよ。

…これを自力で思いつく人は凄いと思うのですが、全員がそうである必要はなくて、大事なのは「じゃあ、どのように『都合が良い』のか」を理解することだと思います。
※理解していれば、似たような場面で、この方法を引き出しから取り出せるはずだから

No.45460 - 2017/08/17(Thu) 21:31:58

☆ Re: 連立漸化式について / angel

じゃあ、どのように都合が良いか。
それは、基本的なゼ漸化式で表せる、等比数列を作り出せるから、に他なりません。
※というか、漸化式を解けるの、大体、等差数列、等比数列、あとは階差数列からの和の数列くらいしか習わないので

たとえば、今回の問題とは別に、漸化式が
　a[n+1]=11a[n]+2b[n]
　b[n+1]=2a[n]+14b[n]
となっているような問題があるとしましょう。

ここで例えば、
　c[n]=a[n]-0.5b[n]
という数列を作ったとします。すると、
　c[n+1]
　=11a[n]+2b[n]-0.5(2a[n]+14b[n])
　=10a[n]-5b[n]
　=10(a[n]-0.5b[n])
　=10c[n]
という、公比10の等比数列になって、これは都合が良いわけです。

…でもじゃあ、この -0.5 なんてどっから出て来るの? と。こんなん閃けって言うの? というと、それは苦しいので、そこを調べるために方程式を活用しましょうか、というのが今回の話。

a[n+1]+pb[n+1]=q(a[n]+b[n]) という形を作り出したい、そのための p が知りたい。
ところで、a[n+1]+pb[n+1]=(11+2p)a[n]+… であることは分かるので、だとすると q=11+2p が都合が良い。
つまり、a[n+1]+pb[n+1]=(11+2p)(a[n]+pb[n]) と、これが成立する ( b[n]の係数も一致する ) p が見つかると大変都合が良い、と。そうなるわけです。

No.45462 - 2017/08/17(Thu) 22:11:50

★ 中学数学 / あゆみ

284の問題が、解けません。
途中までは解けたのですが、それもあってるかわからず…。
よろしくお願いします。

No.45449 - 2017/08/17(Thu) 14:45:50

☆ Re: 中学数学 / Azel A.

はた

No.45467 - 2017/08/18(Fri) 00:52:22

☆ Re: 中学数学 / Azel A.

あらら、ごめんなさい、エンターキーに手が当たって意味不明な投稿をしてしまいました。

どこまでは解けましたか？
書き込みを見る限りでは、Eの座標を求めるあたりでわからなくなりましたか？

No.45468 - 2017/08/18(Fri) 00:54:34

☆ Re: 中学数学 / あゆみ

はい> <

No.45469 - 2017/08/18(Fri) 06:34:30

☆ Re: 中学数学 / あゆみ

点Eはわかりました！
(2)がわかりません。

No.45470 - 2017/08/18(Fri) 08:46:21

☆ Re: 中学数学 / Azel A.

お返事が遅くなりました。

うーん、(2)は僕も今考えてみたんですが、何故だか中学生が解けるはずのない式が出てきますね...

OEの傾きとADの傾きが等しくなるとき、これらが平行になることを利用して、それぞれの傾きを求めてから=で結んで解くのだろうとは思いますが、その方法でやると、4次方程式という、高校入試では出題されるはずのない式が出てきてしまいます。

もしかしたら僕が計算を間違えているのかもしれません。

その問題の解答をお持ちで、この問題の答えの数字だけでもわかっているなら、それを教えてもらえれば僕の計算が間違っているかどうかを確認できますから、もし知っているなら教えてもらえますか?

No.45486 - 2017/08/19(Sat) 00:33:26

☆ Re: 中学数学 / エンヴィー

(2)四角形OADEは平行四辺形となる。
Eのx座標は、Oのx座標より、a-1大きい
Eのy座標は、Oのy座標より、a^2+2大きい
これと、平行四辺形OADEより、
Dのx座標は、Aのx座標より、a-1大きい
Dのy座標は、Aのy座標より、a^2+2大きい
したがって、D(a+(a-1), a^2+(a^2+2))
すなわちD(2a-1,2a^2+2)
これがグラフy=x^2上にあるので、
2a^2+2=(2a-1)^2
これを解くと、a=(2±√6)/2
a＞1より、a=(2+√6)/2

(3)△ADE=△OAE以降を・・・
CD//OAでしたからここからさらに、△OAE=△OACとなりますね。
求める面積は
S=△OAC
=1/2×OC×(Aのx座標(＞0))
=(1/2)a(a+2)
=(9+4√6)/4

No.45488 - 2017/08/19(Sat) 06:18:47

★ 弧度法と一般角 / きのこ

【問題】半径２√３の円と半径２の円があり、それらの中心間の距離は４である。この2円が重なり合う部分の面積を求めよ。

どのように解けばいいのでしょうか？数学が苦手な私にも分かるようにお願いします。

No.45446 - 2017/08/17(Thu) 12:40:27

☆ Re: 弧度法と一般角 / ヨッシー

まず、△ＡＢＣが、１：２：√3 の直角三角形であることに気付きます。

求める面積は黄色と青の部分に分けて考えます。
黄色：
　半径２、中心角120°の扇形から△ＢＣＤを引いたもの
　△ＢＣＤは１辺が２の正三角形の面積と同じ
青：
　半径 2√3、中心角60°の扇形から、正三角形ＡＢＤを引いたもの

No.45447 - 2017/08/17(Thu) 14:04:16

☆ Re: 弧度法と一般角 / きのこ

理解できました。助かりました。

No.45451 - 2017/08/17(Thu) 15:07:03

★ 円の方程式 / はやて

この図形からどんな式が出来ますか？
よろしくお願いします

No.45443 - 2017/08/17(Thu) 10:44:23

☆ Re: 円の方程式 / ヨッシー

グラフ上に見えている２つの直線、２つの円の式は作れますか？
領域を不等式で表すのはそのあとです。

No.45444 - 2017/08/17(Thu) 10:49:08

☆ Re: 円の方程式 / はやて

自力で解こうと教科書と学習書を何回も読みましたが全部がよくわかりません。

No.45445 - 2017/08/17(Thu) 11:20:15

☆ Re: 円の方程式 / ヨッシー

ということは、
左のグラフで、直線の式はそれぞれ
　ｙ＝－ｘ＋５
　ｙ＝２ｘ－１
なので・・・
と書いても、ちんぷんかんぷんですか？

No.45448 - 2017/08/17(Thu) 14:07:02

☆ Re: 円の方程式 / はやて

そうやって見ればいいんですか。
グラフの見方がやっとわかりました。

No.45450 - 2017/08/17(Thu) 15:04:14

★ 角の３等分線 / ヨッシー

これは、ヨッシーが個別に受けた質問です。
一応、解法を載せましたが、別の解き方があれば、お願いします。

問題
３辺の長さが、ＡＢ＝20√(2/11), ＢＣ＝12, ＡＣ＝4√(35/11) である
三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの三等分線とＢＣの交点をＢの側から順に
Ｐ、Ｑとしたとき、ＢＰ、ＰＱ、ＱＣのそれぞれの長さを求めてください。

問題作成の経緯
元の問題
三角形ＡＢＣの∠Ａの三等分線とＢＣの交点をＢの側から順に
Ｐ、Ｑとします。ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４　のとき、ＡＢ、
ＡＣの長さを求めてください。
の逆をたどる問題です。

No.45441 - 2017/08/17(Thu) 10:38:42

☆ Re: 角の３等分線 / ヨッシー

ヨッシーの解答
△ＡＢＣの各頂点の余弦を計算すると
　cosＡ＝－√70／50，cosＢ＝19/5√22，cosＣ＝14/√385
となります。
角の３倍角の公式
　cos(3θ)＝4cos^3θ－3cosθ
より、cos(A/3)＝ｘとおくと
　４ｘ^3－３ｘ＋√70／50＝０
これは左辺が
　(1/5)(ｘ－√70/10)(20x^2＋2√70ｘ－1)＝０
と因数分解できて、解は
　ｘ＝√70/10、(－√70±3√10)/20
ですが、０＜A/3＜π/3 に合うのは　ｘ＝√70/10

△ＡＢＰにおいて、ＡＢ＝20√(2/11)
　cosＢ＝19/5√22，sinＢ＝3√21/5√22
　cosＡ＝√70/10，sinＡ＝√30/10
　sinＰ＝sin(Ａ＋Ｂ)＝4√15/5√11
正弦定理
　ＡＢ/sinＰ＝ＢＰ/sinＡ＝ＡＰ/sinＢ
より、
　ＢＰ＝５，ＡＰ＝3√(35/11)
と分かります。ＣＱも△ＡＣＱから同様にして出せますが、
ＰＣ＝１２－５＝７とＡＰ：ＡＣ＝３：４であることから、
角の二等分線の定理より
　ＰＱ：ＱＣ＝３：４
　ＰＱ＝３，ＱＣ＝４
となります。

No.45442 - 2017/08/17(Thu) 10:39:05

☆ Re: 角の３等分線 / ヨッシー

見逃しておりましたが、こちらですでに、答えられておりました。
併せて、ご覧下さい。

No.45475 - 2017/08/18(Fri) 17:29:29

★ (No Subject) / bigsky

この推定はどういう考えでこうなるとたどり着くんですか？

No.45439 - 2017/08/17(Thu) 07:27:44

☆ Re: / らすかる

分子は b^1,b^2,b^3,…
分母は 1,b+1,b^2+b+1,…
となっていますので、続きも予想すると
分子は b^1,b^2,b^3,b^4,b^5,…
分母は 1,b+1,b^2+b+1,b^3+b^2+b+1,b^4+b^3+b^2+b+1,…
と予想できますね。
すると分母は等比数列の和の公式を使って
Σ[k=0～n-1]b^k=(b^n-1)/(b-1)
と簡略化できますので
分子のb^nと合わせて
b^n÷{(b^n-1)/(b-1)}=b^n(b-1)/(b^n-1)
となりますね。

No.45440 - 2017/08/17(Thu) 08:38:52

★ 方向ベクトル / 数学頑張るマン

大門3の方向ベクトルはどうやって求めたのかわかりません。
v1,v2

No.45436 - 2017/08/16(Wed) 23:24:19

☆ Re: 方向ベクトル / 数学頑張るマン

解説です。あと方向ベクトルは何を指しているのかよくわかりません…

No.45437 - 2017/08/16(Wed) 23:26:46

☆ Re: 方向ベクトル / IT

> あと方向ベクトルは何を指しているのかよくわかりません…
直線l1,l2 と　各方向ベクトル（答えのとおり）を描いて見られると、分かると思いますが、

数学Ｂの教科書に定義が書いてあるはずです。定義は教科書などで、しっかり確認されることをお勧めします。

No.45438 - 2017/08/17(Thu) 01:09:17

★ (No Subject) / 金時豆

kを正の定数とする。曲線y=coskxと3直線x=-θ,x=0,x=θ(0<θ<π/2k)との交点を通る円の中心をPとする。θが0に近づくとき、Pはどのような点に近づくか。

宜しくお願いします。

No.45430 - 2017/08/16(Wed) 17:16:50

☆ Re: / らすかる

(0,1)を通りy軸に関して対称だから、円の中心を(0,t)とおくと
円の方程式はx^2+(y-t)^2=(1-t)^2とおける。
この円が(θ,coskθ)を通るので
代入して整理すると
t={1-θ^2-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}
lim[θ→0]t
=lim[θ→0]{1-θ^2-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}
=lim[θ→0]{1-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}-θ^2/{2(1-coskθ)}
=lim[θ→0](1+coskθ)/2-(1/k^2)(kθ/2)^2/{sin(kθ/2)}^2
=1-1/k^2
よってPは(0,1-1/k^2)に近づく。

No.45432 - 2017/08/16(Wed) 21:18:37

☆ Re: / 金時豆

ありがとうございます！

No.45472 - 2017/08/18(Fri) 11:15:37