ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトルの微分・積分 / たなお

添付画像の大問９がわかりません。

どのように考えればいいのかもよくわからなくなってしまいました。

（１）（２）ともにご教授よろしくお願いします。

No.45520 - 2017/08/20(Sun) 14:08:01

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / X

(1)
条件から
d↑K/dt=(d↑r/dt)×(d↑r/dt)+↑r×(d^2↑r/dt^2)
=(d↑r/dt)×(d↑r/dt)+↑r×{f(r)↑r}
=(d↑r/dt)×(d↑r/dt)+f(r)(↑r×↑r)
=↑0
∴命題は成立します。

(2)
前半)
↑r=(x,y,z)
とすると、(1)の↑Kの定義により
↑r・↑K=det[M{(x,y,z),(x,y,z),(dx/dt,dy/dt,dz/dt)}]
=0

後半)
↑r・↑K=0 (A)
とします。
(i)↑K≠↑0のとき
(A)は原点を通り、↑Kに垂直な平面を
表す方程式ですので、命題は成立します。
(ii)↑K=↑0のとき
(1)の↑Kの定義により
↑r//d↑r/dt
∴d↑r/dt=a↑r
(aは0でない定数)
と表すことができます。
これより
↑r={e^(at)}↑u
(↑uは任意の定ベクトル)
これは点Pが
原点を通る方向ベクトル↑uの直線
の上にあることを示しています。

No.45524 - 2017/08/20(Sun) 16:23:14

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお

ありがどうございます！理解できました！

No.45530 - 2017/08/20(Sun) 19:30:10

★ ベクトルの微分・積分 / たなお

添付画像の大問８の(2)が分かりません。

単元が「ベクトルの微分・積分」のため、微分や積分を使ってとくのだと思いますが、うまく解けません。A × A' = 0 ということは、ベクトルA が回転しないということは図形的（？）には理解できるのですが、数式でそれを示せません。

ご教授よろしくおねがいいたします。

No.45518 - 2017/08/20(Sun) 13:39:54

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお

少し訂正です。

誤：ベクトルA が回転しない
正：ベクトルA の方向が変化しない

No.45519 - 2017/08/20(Sun) 13:42:33

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / X

↑A'の定義がどこにも書かれていませんが
↑A'=(d/dt)↑A
の意味と解釈して回答を。

ベクトルが回転しない、ということではなくて
↑A×↑A'=↑0⇔↑A//↑A'
ということです。
従って
↑A'=a↑A
(aは定数)
と表すことができます。
これをx,y,z各成分について、微分方程式を
解くことにより
↑A={e^(at)}↑u
(↑uは任意の定ベクトル)
∴↑A/|↑A|={e^(at)}↑u/{{e^(at)}|↑u|}
=↑u/|↑u|=(定ベクトル)
となります。

No.45525 - 2017/08/20(Sun) 17:58:37

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお

理解できました。ありがとうございます。

No.45529 - 2017/08/20(Sun) 19:26:03

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / angel

Xさん

> ↑A'=a↑A
> (aは定数)

とは限らないです。
あくまで、「A'=aA となるスカラ(関数) a がある」です。

なので、e^(at) が導き出せる保証はなくて、あくまで

　(A/|A|)'
　=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3
　=( |A|^2・aA-(aA・A)A )/|A|^3
　=( a|A|^2・A - a|A|^2・A )/|A|^3
　=o ( 0ベクトル )　よって A/|A| は一定

と持っていく必要があると思います。

No.45555 - 2017/08/22(Tue) 00:54:09

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / angel

或いは、外積の公式、ベクトル3重積

　A×(B×C)=(A・C)B-(A・B)C

を知っていれば、

　(A/|A|)'
　=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3
　=( A×(A'×A) )/|A|^3
　=(A×(-o))/|A|^3
　=o

とダイレクトに導くこともできます。

No.45557 - 2017/08/22(Tue) 01:07:33

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお

angel さん

ありがとうございます。
一箇所途中式を追加していただきたいのですが。。

＞(A/|A|)'
＞=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3

この間をお願いします。
　　
　　(A/|A|)'
　= (|A|・A' - |A|'・A)/|A|^2

から変形していったんですよね？
計算力が乏しくてすいません。。。。

No.45586 - 2017/08/22(Tue) 21:53:33

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / angel

> ＞(A/|A|)'
> ＞=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3
>
> この間をお願いします。

A・A=|A|^2 ですから、A/|A|=(A・A)^(-1/2)・A と見れば、スカラ倍・内積という違いはあれど、同じ「積の微分」として扱えます。
※最初から分数にするよりも、まずは指数を負にして積の形にした方が簡明

　(A/|A|)'
　= ( (A・A)^(-1/2)・A )'
　= (A・A)^(-1/2)・A' + ( (A・A)^(-1/2) )'・A
　= (A・A)^(-1/2)・A' + (-1/2)・(A・A)'・(A・A)^(-3/2)・A
　= (A・A)^(-1/2)・A' + (-1/2)・(2A'・A)・(A・A)^(-3/2)・A
　= |A|^(-1)・A' - (A'・A)・|A|^(-3)・A
　= ( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3

No.45588 - 2017/08/22(Tue) 22:17:25

☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお

理解できました！ありがとうございます！

No.45593 - 2017/08/23(Wed) 00:37:35

★ (No Subject) / また夏が終わる

問:次の式が成り立つように、定数aの値を決めなさい。

lim[x→1][{a√(x+1)-a√2}/(x-1)]=1

お願いします。

No.45515 - 2017/08/20(Sun) 11:40:03

☆ Re: / IT

かっこが、不足では？

lim[x→1][{a√(x+1)-2√a}/x-1]=1
よってlim[x→1][{a√(x+1)-2√a}/x]=2

{a√(x+1)-2√a}/x　はx=1 で連続なので
{a√(1+1)-2√a}/1 = 2
となります。　

No.45516 - 2017/08/20(Sun) 13:00:43

☆ Re: / X

ITさんの回答に補足する形になるのですが…

問題文が正しいとすると、条件式から
a√2-2√a-2=0
a-√(2a)-√2=0
ここで√a=tと置くと
t≧0
で
t^2-t√2-√2=0
∴t=√2+√(2+4√2)
tを元に戻して
a={√2+√(2+4√2)}^2
=4+4√2+2√(4+2√2)
(これ以上は簡単な式にできないようです)

ちなみに条件式が
lim[x→1][{a√(x+1)-2√a}/(x-1)]=1
のタイプミスであったとしても、これを
満たすaの値は存在しません。
(左辺が0又は√2となってしまいます)

No.45517 - 2017/08/20(Sun) 13:28:39

☆ Re: / また夏が終わる

>ITさん、Xさん

問題にいくつかタイプミスがありました。

正しくは、

lim[x→1][{a√(x+1)-a√2}/(x-1)]=1

です。

*追記:自己解決しました。お二方にはご迷惑をおかけし、申し訳ありませんでした。

No.45521 - 2017/08/20(Sun) 15:13:05

★ 数一　最大・最小と実数解条件 / pui

チャートの「実数x,yがx^2+(y-1)^2=5を満たすとき、2x-yの最大値と最小値、およびそのときのx,yの値を求めよ。」という問題について質問です。チャートでは「2x-y=kとおき、yを消去するとx^2+(2x-k-1)^2=5　これはxの二次方程式である。ここで、『xは実数であるから、この二次方程式は実数解をもつ。』したがって、実数解をもつ⇔D≧0を利用する。」という方針で解くと書いてあるんですが、『』で囲った部分が、なんとなくわかるんですが、なんとなくでしかなく、完全に理解した気持ちになれません。『xは実数⇔この二次方程式は実数解をもつ』となる理由について教えてください。漠然とした質問ですみません。

No.45511 - 2017/08/19(Sat) 22:53:43

☆ Re: 数一　最大・最小と実数解条件 / IT

最初の「実数x,yがx^2+(y-1)^2=5を満たすとき」と「2x-y=kとおき」から「実数xは、この二次方程式の実数解である」
よって「この二次方程式は実数解をもつ」が必要条件となります。

『xは実数⇔この二次方程式は実数解をもつ』となるは、不正確だと思います。⇔　で結ぶのはおかしい。

No.45512 - 2017/08/19(Sat) 23:20:21

☆ Re: 数一　最大・最小と実数解条件 / 黄桃

問題の意味がよく理解できていないのではないかと思います。

この問題の１つ前の段階として次のような例題を考えてみます。
例題1 x^2+(y-1)^2=5, 2x-y=2 を共に満たす実数(x,y)は存在するか？存在するならすべて求めよ。
例題2 x^2+(y-1)^2=5, 2x-y=4 を共に満たす実数(x,y)は存在するか？存在するならすべて求めよ。
例題3 x^2+(y-1)^2=5, 2x-y=9 を共に満たす実数(x,y)は存在するか？存在するならすべて求めよ。

このような例題から、
「2x-y　がどんな値でも実数の組(x,y)がある」というわけではない、
とわかります。そこで、
じゃあこれらの例題に出てきた定数 2,4,9 をいろいろ変えるとして、一体どんな値なら実数の組(x,y)があるといえるの？
と考えて最初の問題が出てくるわけです。
つまり問題が聞いているのは、このような値のうち最大のものと最小のもの（ついでにその時の(x,y)の組）というわけです。

こう考えてくれば、文字定数kが入ったxの2次方程式が実数解をもつ条件を考える、ということの意味が理解でき、ITさんのおっしゃることもわかるのではないでしょうか。

No.45513 - 2017/08/20(Sun) 01:56:10

☆ Re: 数一　最大・最小と実数解条件 / pui

すっきりしました。本当にありがとうございます。

No.45514 - 2017/08/20(Sun) 08:56:19

★ 高一数学Aの問題 / k

問い，男子4人、女子3人の7人が手をつないで輪を作るとき、女子どうしが隣り合わない確率

解き方がわからないので教えてください。
答えは1/5です。

No.45506 - 2017/08/19(Sat) 17:53:50

☆ Re: 高一数学Aの問題 / IT

いくつか解法がありますが、図を描いてみてください。
男子を×、女子を○とでもします。

まず男子４人を並べます。間が４つ出来ます。
１人目の女子は、どこに入ってもいいです。間が５つになります。
２人目の女子は、男子２人の間、３箇所に入らないといけないので、その確率は、3/5 です。
間が６つになります。
３人目の女子は、男子の２人の間、２箇所に入らないといけないので、その確率は、2/6 です。

よって求める確率は(3/5)(2/6)=1/5 です。

No.45507 - 2017/08/19(Sat) 18:12:58

☆ Re: 高一数学Aの問題 / k

> いくつか解法がありますが、図を描いてみてください。
> 男子を×、女子を○とでもします。
>
> まず男子４人を並べます。間が４つ出来ます。
> １人目の女子は、どこに入ってもいいです。間が５つになります。
> ２人目の女子は、男子２人の間、３箇所に入らないといけないので、その確率は、3/5 です。
> 間が６つになります。
> ３人目の女子は、男子の２人の間、２箇所に入らないといけないので、その確率は、2/6 です。
>
> よって求める確率は(3/5)(2/6)=1/5 です。

分かりやすく、ありがとうございます。

No.45508 - 2017/08/19(Sat) 18:20:33

★ 数A 順列の問題 / a

「1,2,3,4,5,6,7の7個の整数から異なる5個を選んでできる5桁の整数について、1と2を両方とも含む整数は何個できるか。」
という問題です。私は、
(出来得るすべての5桁の整数の個数)-(1と2以外を含んだ5桁の整数の個数)で求めようと思い
7P5-5P5=2400(個)としたのですが、答えは1200(個)でした。値がなぜ違うのか教えてください。

No.45496 - 2017/08/19(Sat) 12:35:40

☆ Re: 数A 順列の問題 / IT

「1と2以外を含んだ5桁の整数」という表現はおかしいですが、「3,4,5,6,7のみからなる5桁の整数」のことだとして、

たとえば　13456 がどうカウントされるか考えてみてください。

No.45497 - 2017/08/19(Sat) 13:11:16

☆ Re: 数A 順列の問題 / a

回答ありがとうございます。
なるほど、まだ13456など、1○○○○の組み合わせの整数や2○○○○の組み合わせの整数が残っていたんですね。
追加の質問になりますが、
余事象をつかって2400個から1200個に絞ることってできますか？解答の過程も書いていただけると嬉しいです。

No.45500 - 2017/08/19(Sat) 14:00:04

☆ Re: 数A 順列の問題 / IT

１○○○○ （○は２以外）のパターンは
　１の場所が５通り、あとは34567 から4つ選んで並べるので5×４×３×２通り。
　よって全部で５×５×４×３×２とおり

２○○○○ （○は２以外）のパターンも同じ。

これらの個数を引けばいいです。

No.45501 - 2017/08/19(Sat) 14:08:37

☆ Re: 数A 順列の問題 / IT

３４５６７から3つ選ぶ方法は5C3=5C2=10 通り
５つの数の並べ方は5!=120 通り

よって求める個数は10×120 通り.

がこの問題では速いですね。

No.45502 - 2017/08/19(Sat) 14:12:51

☆ Re: 数A 順列の問題 / a

ご丁寧にありがとうございます。
とても助かりました!

No.45503 - 2017/08/19(Sat) 14:14:59

★ 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / pui

チャートの「共通解を求める問題での注意点」に書いてあったことについてです。x^2+3x+2=0-?@ x^2-6x+8=0-?Aの共通解を求めるとき、?@-?Aから、9x-6=0　よってx=2/3　というように解く場合、このxが必ずしも共通解とはならない、だからこれが共通解であるかを確かめなければならない、と書いてあったのですが、なぜこう解くと必ずしも共通解にはならないということが起こるのでしょうか。

No.45490 - 2017/08/19(Sat) 08:45:20

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / IT

?@-?Aから出てきた
9x-6=0 は、x^2+3x+2=x^2-6x+8 と同値です。
9x-6=0 をみたすxは必ずしも?@?Aを満たすとは限りません。
（なお?@を満たせば?Aも満たします）

グラフで考えると y=x^2+3x+2とy=x^2-6x+8 の交点P(x,y)のxは9x-6=0を満たしますが、y=0になるとは限りません。

たとえば　x(x-1)=0,(x-3)(x-4)=0 は共通解を持ちませんが
y=x(x-1),y=(x-3)(x-4)は、P(2,2) を交点に持ち、 x(x-1)-(x-3)(x-4)=0 の解はx=2です。

No.45492 - 2017/08/19(Sat) 09:34:23

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / Kenji

x^2+3x+2=0-?@ かつ x^2-6x+8=0-?A が成り立つとき、?@-?Aから9x-6=0　よってx=2/3と結論される。
?@と?Aの共通解がもしあるとすれば、それはx=2/3であるから、
x=2/3が?@?Aを満たすか否かを確認することによって、共通解の有無を判断することができる。
・・・そのような状況です。

No.45493 - 2017/08/19(Sat) 09:36:07

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / angel

蛇足ながら。
人間、候補が1つに絞られると「これが答えだ!」と決めつけてしまうところもあるのではないかと思いますが、それは「必ず1つ答えがある」という暗黙の前提に拠っているところがありまして。が、本当にあるかどうかは保証されていないですよね。

今回「よって x=2/3」と、候補が1つに絞られたのは確かですが、それは「共通解がある」ことの保証にはなっていないのです。「無い」という可能性を忘れてはならないのです。

「必要」と「十分」はもう習っていますね?
「?@,?Aの共通解として x=2/3 が『必要』だが、共通解の存在を示すのに『十分』ではない」ということになります。

No.45494 - 2017/08/19(Sat) 09:49:58

☆ Re: 数一　二次不等式の共通解を求める問題について / pui

丁寧に解説してくださってありがとうございます！理解できました。

No.45495 - 2017/08/19(Sat) 09:52:34

★ 極限 / es

【問題】
座標平面上の曲線C=logx(x>0)を考える。tは正の実数として、曲線C上の点P(t,logt)、x軸上の点Q(2t²-t,0)をとり、曲線Cとx軸の交点をEとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)PがEと一致しないとき、↑EPと同じ向きの単位ベクトルを↑vとおき、その成分表示を↑v=(v[1],v[2])とする。tが1より大きな値をとりながら限りなく1に近づくときのv[1]、v[2]の極限値をそれぞれ求めよ。

(2)θ=∠EPQとおく。極限lim[t→1]cosθの値を求めよ。

【解答】
(1)lim[t→1+0]v[1]=1/√2,lim[t→1+0]v[2]=1/√2
(2)-1/√10

この問題の解説をお願いします。

No.45487 - 2017/08/19(Sat) 01:35:27

☆ Re: 極限 / X

(1)
条件から
↑v=↑EP/|↑EP|
=((t-1)/√{(t-1)^2+(logt)^2},logt/√{(t-1)^2+(logt)^2}) (P)
∴
lim[t→1+0]v[1]=lim[t→1+0](t-1)/√{(t-1)^2+(logt)^2}
=lim[t→1+0]1/√{1+{(logt)/(t-1)}^2} (A)
lim[t→1+0]v[2]=lim[t→1+0](logt)/√{(t-1)^2+(logt)^2}
=lim[t→1+0]1/√{1+1/{(logt)/(t-1)}^2} (B)
ここで
g(t)=logt
と置くと(A)(B)はそれぞれ
lim[t→1+0]v[1]=1/√{1+(g'(1))^2}
=1/√2
lim[t→1+0]v[2]=1/√{1+1/(g'(1))^2}
=1/√2

(2)
条件から
↑PQ=(2t^2-t-t,-logt)
=(2t^2-2t,-logt)
これと(P)を使うと
cosθ=(-↑v・↑PQ)/|↑PQ|
={-(t-1)(2t^2-2t)+(logt)^2}/√{{(t-1)^2+(logt)^2}{(2t^2-2t)^2+(logt)^2}}
={-2t(t-1)^2+(logt)^2}/√{{(t-1)^2+(logt)^2}{4(t^2)(t-1)^2+(logt)^2}}
={-2+(1/t){(logt)/(t-1)}^2}/√{{1+{(logt)/(t-1)}^2}{4+(1/t^2){(logt)/(t-1)}^2}}
∴(1)のg(t)を使うと
lim[t→1]cosθ={-2+(g'(1))^2}/√{{1+(g'(1))^2}{4+(g'(1))^2}}
=-1/√10

No.45509 - 2017/08/19(Sat) 18:33:48

★ 高校数学(A)の問題 / 高校生

internetのすべての文字を使ってできる順列は(ア)通りであり、そのうちどのtも、どのeより左側にあるものは(イ)通りである。

アの解き方は分かるのですが、イの解き方がわからないので教えてください。答えは840です。

No.45483 - 2017/08/19(Sat) 00:12:30

☆ Re: 高校数学(A)の問題 / らすかる

eとtをoに置き換えて、並べた後に4つのoを左から順にt,t,e,eに換えればよいので、
inoornooの順列の数と同じとなり、求める場合の数は 8!/(4!2!)=840通り

No.45484 - 2017/08/19(Sat) 00:15:27

☆ Re: 高校数学(A)の問題 / 高校生

> eとtをoに置き換えて、並べた後に4つのoを左から順にt,t,e,eに換えればよいので、
> inoornooの順列の数と同じとなり、求める場合の数は 8!/(4!2!)=840通り

丁寧にありがとうございます。
とても分かりやすいです。

No.45485 - 2017/08/19(Sat) 00:19:25

★ 高校数学aの問題 / k

9人を、区別をしない２つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、それぞれの部屋には少なくとも1人は入れるものとする。

2の9乗(＝512)をしてから-2をする理由が分かりません。丁寧に教えて頂けると嬉しいです。ちなみにこの問題の答えは255です。

No.45477 - 2017/08/18(Fri) 19:14:07

☆ Re: 高校数学aの問題 / らすかる

まず2つの部屋をA,Bと区別します。
1人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
2人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
3人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
・・・
9人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
ここまでで2^9通り
しかしこの中には、問題の条件を満たさない
「全員がA」「全員がB」という2通りが含まれているので
それを除くと2^9-2通り
よって2つの部屋が区別されている場合は2^9-2通りだが
この問題では部屋が区別されていないので、
2で割って(2^9-2)÷2=255通り

No.45478 - 2017/08/18(Fri) 19:20:53

☆ Re: 高校数学aの問題 / k

> まず2つの部屋をA,Bと区別します。
> 1人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> 2人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> 3人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> ・・・
> 9人目がA,Bのどちらに入るかで2通り
> ここまでで2^9通り
> しかしこの中には、問題の条件を満たさない
> 「全員がA」「全員がB」という2通りが含まれているので
> それを除くと2^9-2通り
> よって2つの部屋が区別されている場合は2^9-2通りだが
> この問題では部屋が区別されていないので、
> 2で割って(2^9-2)÷2=255通り

丁寧に解説してくださりありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

No.45479 - 2017/08/18(Fri) 19:27:21

★ 数学?V / KONMAI

極限の問題です。

1.lim[n→∞][1/(2n+1)+1/(2n+3)+1/(2n+5)+…+1/{2n+(2n-1)}]
2.lim[n→∞](C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)

1.恐らく区分求積の考え方を使うのだと思うのですが、f(k/n)の形を作り出せずに停滞してしまいました。
2.こちらも区分求積に持ち込もうと考え、logをとって項をバラしてみたのですがうまくいかず…。

解説をお願いします。

No.45476 - 2017/08/18(Fri) 17:39:44

☆ Re: 数学?V / みずき

1.
Nを正の整数とするとき、N-1≦x≦Nに対して
1/(2n+1+2x)≦1/(2n+2N-1)≦1/(2n-1+2x)
が成り立つので
∫[N-1,N]dx/(2n+1+2x)≦1/(2n+2N-1)≦∫[N-1,N]dx/(2n-1+2x)
よって
∫[0,n]dx/(2n+1+2x)≦1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)≦∫[0,n]dx/(2n-1+2x)
つまり
(1/2)log{(4+1/n)/(2+1/n)}≦1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)≦(1/2)log{(4-1/n)/(2-1/n)}
はさみうちの原理により
lim[n→∞]{1/(2n+1)+1/(2n+3)+・・・+1/(4n-1)}=(1/2)log2

2.
log{(C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)}
=(1/n)log{(5n)!n!/((3n)!(3n)!)}
=(1/n)Σ[k=1,2n]log{(3n+k)/(n+k)}
=(1/n)Σ[k=1,2n]log{(3+k/n)/(1+k/n)}
→∫[0,2]log{(3+x)/(1+x)}dx　（n→∞）
=log(3125/729)
∴lim[n→∞](C[5n,2n]/C[3n,2n])^(1/n)=3125/729

No.45480 - 2017/08/18(Fri) 19:57:48

★ 式の展開の仕方 / 数学初心者

画像の?の所がどうしてそうなるのかが分かりませんでした。何かの公式かそれとも計算が省略されているのでしょうか？分かりやすくて丁寧な解説を頂戴いただければ幸いです。ではよろしくお願いしますm(._.)m

No.45473 - 2017/08/18(Fri) 15:56:54

☆ Re: 式の展開の仕方 / らすかる

一つ目
二項定理から
2^n=(1+1)^n=nC0・1^n・1^0+nC1・1^(n-1)・1^1+nC2・1^(n-2)・1^2
+…+nC(n-2)・1^2・1^(n-2)+nC(n-1)・1^1・1^(n-1)+nCn・1^0・1^n
=nC0+nC1+nC2+…+nC(n-2)+nC(n-1)+nCn
=Σ[k=0～n]nCk
ですから
Σ[k=0～n]nCk=2^nです。

二つ目
k・nCk
=k・n!/{k!・(n-k)!}
=n!/{(k-1)!・(n-k)!}
=n・(n-1)!/{(k-1)!・(n-k)!}
=n・(n-1)!/{(k-1)!・((n-1)-(k-1))!}
=n・(n-1)C(k-1)

三つ目
Σ[k=1～n](n-1)C(k-1)
=Σ[k=0～n-1](n-1)Ck
=2^(n-1)　（一つ目と同じ）

No.45474 - 2017/08/18(Fri) 16:06:15

★ 数?V評価 / 高さ危険太郎

(1)x>0のとき、以下の不等式が成立することを示せ。
1/(x+1)<log(1+x)-logx<1/x

(2)次の不等式が成立することを示せ。
x+1/(1+e^x)<log(1+e^x)<x+1/e^x

(3)lim[a→∞](1/a^2)*∫[0～a]{log(1+e^x)}dxを求めよ。

よろしくお願い致します。

No.45471 - 2017/08/18(Fri) 11:14:20

☆ Re: 数?V評価 / IT

(1)x>0で1/x は狭義単調減少なので
x≦t≦1/(1+x)について、1/(1+x)≦1/t≦1/x (それぞれ等号はt=x+1,t=xのとき）
よって　1/(1+x)＜∫[x,1+x](1/t)dt＜1/x
1/(1+x)＜log(1+x)-log(x)＜1/x

(2)(1)でx=e^s とおくと　 1/(1+e^s)≦log(1+e^s)-log(e^s)≦1/e^s
sをxで書き換えて　1/(1+e^x)≦log(1+e^x)-x≦1/e^x
よって　x+1/(1+e^x)<log(1+e^x)<x+1/e^x

(3)∫[0,a](x+1/(1+e^x))dx≦∫[0,a]log(1+e^x)dx≦∫[0,a](x+1/e^x)dx
あとは、両側の定積分を計算して　(1/a^2) を掛けてa→∞のときを考えると出来ます。

No.45491 - 2017/08/19(Sat) 08:50:14

★ (No Subject) / saku

漸化式においての特殊解に関して質問です。
例えば、a1=0,a(n+1)=2an-nという漸化式において
特殊解をpn+qと置くのはなぜなのでしょうか？
単にpnと置くのではなぜダメなのでしょうか？

No.45464 - 2017/08/17(Thu) 23:18:36

☆ Re: / angel

単純に上手く行かないからですね…。

a[n+1]=2a[n]-n で、a[n]=pn と置いてみると、
p(n+1)=2pn-n つまり (p-1)n-p=0、これは p の値をどう取っても恒等式にできません。

a[n]=pn+q と置くならば p(n+1)+q=2(pn+q)-n で
今度は (p-1)n+(q-p)=0 これなら p=q=1 で恒等式が作れます

No.45465 - 2017/08/18(Fri) 00:00:46

☆ Re: / angel

なお、これは大学レベルになると思いますが、

　a[n+1]=2a[n]-n
　→ a[n+2]=2a[n+1]-(n+1)

これを辺々差し引いて

　a[n+2]-3a[n+1]+2a[n]=-1
　→ a[n+3]-3a[n+2]+2a[n+1]=-1

また辺々差し引いて

　a[n+3]-4a[n+2]+5a[n+1]-2a[n]=0

この係数から t^3-4t^2+5t-2=0 という方程式 ( 特性方程式 ) を作ると、この解は t=1(重解),2
と言うことで、a[n]=α・1^(n-1)+β・n・1^(n-1)+γ・2^(n-1) という3次元の解を持ちます。

特殊解としている pn+q はこのうちの2次元分 α・1^(n-1)+β・n・1^(n-1) ( t=1(重解)に対応 ) を見ていることになります。

No.45466 - 2017/08/18(Fri) 00:06:57

★ 初歩的な質問なんですけど… / ゆゆ

群数列で項数と第何項と数列の表を書いて解くと、第n項の初項とかって見たら答えわかるんですけど、解を書くときにいきなり、表より初項nの2乗とかって書いてもいいんですか？

No.45457 - 2017/08/17(Thu) 20:01:21

☆ Re: 初歩的な質問なんですけど… / らすかる

ダメです。
例えば各群の初項が1,4,9,16 となっていても
その後に25,36,49,と続くとは限りません。

No.45461 - 2017/08/17(Thu) 21:32:22

☆ Re: 初歩的な質問なんですけど… / ゆゆ

> ダメです。
> 例えば各群の初項が1,4,9,16 となっていても
> その後に25,36,49,と続くとは限りません。

ありがとうございます！

No.45463 - 2017/08/17(Thu) 22:25:15