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★ (No Subject) / crossroads
複素数zが|z-2|=√3を満たしている。(z/z~)+(z~/z)の最大値・最小値を求めよ。

色々と試してみたのですが上手くいきません…。
考え方を教えて下さい！
No.44957 - 2017/07/30(Sun) 21:36:18
☆ 地道には / angel
地道ですが、z=2+√3(cosθ+isinθ) と置いてまとめていく感じでしょうか…。
まとめると cosθ一本に絞って表現できるので、
t=cosθ ( -1≦t≦1 ) とでも置いて t の式にします

最終的には2次式を含む分数式になるので、2次方程式の実数解条件に持ち込む感じです。

…なかなか計算が大変ではあるのですが。
No.44960 - 2017/07/30(Sun) 22:13:55
☆ テクニカルには / angel
複素数の性質 ( 複素共役や絶対値、re,argの性質 ) を色々使ってまとめていくこともできるのですが…。
分からないとこちらはなかなか厳しいかも。

|z^2|=|z|^2=zz~
re(w)=|w|cos(arg(w))　← 要するに w=r(cosθ+icosθ) なら wの実部は rcosθですよ、ということ
w+w~=2re(w)
(z~)^2=(z^2)~
arg(z^2)=2arg(z)

とかここら辺でしょうか。

そうすると、
　(z/z~)+(z~/z)
　= ( z^2+(z~)^2 )/zz~
　= ( z^2+(z^2)~ )/|z|^2
　= 2re(z^2)/|z^2|
　= 2cos(arg(z^2))
　= 2cos(2arg(z))
　= 4(cos(arg(z)))^2-2
ということで、arg(z)の値の範囲を調べる問題に変えることができます。こちらの方が計算は圧倒的に分かり易いです。
No.44961 - 2017/07/30(Sun) 22:23:24
☆ Re: / IT
crossroads は既に分かっておられると思いますが、
|z-2|=√3　は中心(2,0) 半径√3の円になります。
arg(z)の値の範囲を調べるのは、図形的が簡単かも知れません。
No.44962 - 2017/07/30(Sun) 22:55:26
★ 図形 / 赤
解説お願いします。。。。
No.44951 - 2017/07/30(Sun) 15:23:44
☆ ヒント / angel
∠DFM=90°を示したい所、もともと△ADMが直角三角形なので、∠MAD=∠MDEであるはず。そこから示す道を考える。
∠MAD=∠MDEを示すためには、下側に潜んでいる△BCE, △BMCこの形に着目すること。ペアになる合同な三角形が他にあるはず。
No.44956 - 2017/07/30(Sun) 20:29:13
☆ Re: 図形 / 赤
ありがとうございます😊
No.44965 - 2017/07/31(Mon) 00:46:57
★ 図形 / 赤
解説お願いします。。。
No.44950 - 2017/07/30(Sun) 15:22:49
☆ ヒント / angel
直接∠DEG=∠DFCを示そうとしても厳しいので、他に同じ角度になっているところを考えること。
一番分かり易いのは、∠BEC=∠DEG の利用
だとすると、∠BECと∠DFCが等しいことをどう示すか。その角を含む△BEC, △DFCに着目すること
No.44955 - 2017/07/30(Sun) 20:24:01
★ 図形 / 赤
解説お願いします。。
No.44949 - 2017/07/30(Sun) 15:21:46
☆ ヒント / angel
点QからABに垂線を引いて、できる三角形の形を吟味すること。
特に、「足して90°になる角のペア」に着目し、同じ角度になるところを明らかにしていくこと。
AE=13 ( 5,12,13の直角三角形から ) とあるのが最大のヒント
No.44954 - 2017/07/30(Sun) 20:21:15
★ 図形 / 赤
解説お願いします。
No.44948 - 2017/07/30(Sun) 15:21:08
☆ ヒント / angel
点DからCFに垂線を下ろし、それでできる三角形・四角形の形が何か吟味すること。
つまり、台形GFCDがどんな三角形と四角形に分かれるか考えること。
No.44953 - 2017/07/30(Sun) 20:18:46
★ 図形 / 赤
解説お願いします
No.44947 - 2017/07/30(Sun) 15:16:15
☆ ヒント / angel
いきなり△AQB≡△CRAを示そうと考えるのではなく、
もう一つある合同な三角形△CPBを間に挟んで考えること。
つまり、△AQB≡△CPB と △CRA≡△CPB の両方を示すこと。
No.44952 - 2017/07/30(Sun) 20:16:57
★ 誤差関数のグラフ　熱伝導方程式 / Ｋ
熱伝導方程式の解が
初期条件u(x,0)=f(x) (-∞<x<∞)
u(x,t)=1/(2c√(πt))∫[-∞→∞]f(v){-(x-v)^2/4tc^2}dvで与えられていて

f(x)=1(x>0), 0(x<0)のとき、u(x,t)を誤差関数erfxを用いて表しました。

このときt=1でのu(x,t)のグラフをかけということなのですが、x<0ではf(x)=0だから、x<0のところは常に0としていいですか？
それとも、x軸に漸近していくようなグラフになりますか？
No.44946 - 2017/07/29(Sat) 22:51:07
★ 複素積分 / 数弱
以下の積分を複素積分に持ち込んで、留数によって、といてほしいですm(__)m
No.44939 - 2017/07/29(Sat) 00:05:27
☆ Re: 複素積分 / angel
http://eman-physics.net/math/imaginary12.html のやり方で良いのではないでしょうか。
No.44942 - 2017/07/29(Sat) 11:34:10
★ 数学 / らる
学校の先生が解説した問題ですが、イマイチ導き方がよくわかりません。

問
次のような三角形ABCについて3辺の長さの比を求めなさい
A:B:C=4:3:5

解答 a:b:c=2√3:2√2:√6+√2
No.44935 - 2017/07/28(Fri) 18:35:00
☆ Re: 数学 / X
まずA,B,Cの値を具体的に求めましょう。

A:B:C=4:3:5
より
A/4=B/3=C/5=k
と置くと
A=4k (A)
B=3k (B)
C=5k (C)
一方条件から
A+B+C=π (D)
(A)(B)(C)を(D)に代入して
12k=π
∴k=π/12
これを(A)(B)(C)に代入して
A=π/3 (A)'
B=π/4 (B)'
C=5π/12 (C)'
よって△ABCの外接円の半径を
Rとすると、正弦定理により
a/sin(π/3)=b/sin(π/4)=c/sin(5π/12)=2R
これより
a=2Rsin(π/3)=R√3
b=2Rsin(π/4)=R√2
c=2Rsin(5π/12)=2Rsin(5π/12)
=2Rsin(π-7π/12)
=2Rsin(7π/12)
=2Rsin(π/3+π/4)
=2R{sin(π/3)cos(π/4)+cos(π/3)sin(π/4)}
=R(√6+√2)/2
∴a:b:c=2√3:2√2:√6+√2
No.44936 - 2017/07/28(Fri) 19:44:07
☆ Re: 数学 / らる
Xさん解答ありがとうございます。

参考にして、問題の解き直しをしたいと思います。
No.44937 - 2017/07/28(Fri) 21:08:58
★ 平均値の定理 / がん
載せた写真の(2)が理解できません。
f(b)−f(a)を見つけて(sinan−sinα)、平均値の定理を用いることはわかりました。(α＜cn＜an　または　an＜cn＜α)
しかしその後が解答を見ても理解できませんでした。その部分を教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.44934 - 2017/07/28(Fri) 18:12:55
☆ Re: 平均値の定理 / IT
> しかしその後が解答を見ても理解できませんでした。その部分を教えて下さい。

その解答よりわかりやすい解答・解説ができるかどうか、その解答を見ないと分からないので回答が付き難いのでは。
No.44938 - 2017/07/28(Fri) 22:51:54
☆ Re: 平均値の定理 / がん
> > しかしその後が解答を見ても理解できませんでした。その部分を教えて下さい。
>
> その解答よりわかりやすい解答・解説ができるかどうか、その解答を見ないと分からないので回答が付き難いのでは。

すみませんでした！解答解説の写真載せます。
再度よろしくお願いします。
No.44940 - 2017/07/29(Sat) 01:43:59
☆ Re: 平均値の定理 / IT
解答の（２）・・・の行を１行目として、何行目から（どういう点が）分かりませんか？　
No.44941 - 2017/07/29(Sat) 08:07:59
☆ Re: 平均値の定理 / がん
> 解答の（２）・・・の行を１行目として、何行目から（どういう点が）分かりませんか？　

6行目までは現在理解できました。
✳はさみうちの原理を用いて証明するために
an−αに近づけているという風に解釈しています。
しかし、7行目の不等式の右側がなんでそれが出てくるのかがわかりません。左側は絶対値なのでゼロとわかりますし、はさみうちの原理の都合で両端をゼロにしたいというのもわかります。
よろしくお願いします。
No.44943 - 2017/07/29(Sat) 12:21:38
☆ Re: 平均値の定理 / IT
|a[n+1]-α|≦(1/2)|a[n]-α| は,任意の自然数n で成立しますから,
|a[n]-α|≦(1/2)|a[n-1]-α|
・・・
|a[3]-α|≦(1/2)|a[2]-α|
|a[2]-α|≦(1/2)|a[1]-α|

から|a[n+1]-α|≦((1/2)^n)|a[1]-α|ということです。　←ここが不明点ですよね？


上から行くと
　|a[n+1]-α|≦(1/2)|a[n]-α|≦(1/2){(1/2)|a[n-1]-α|} ≦(1/2){(1/2){(1/2)|a[n-2]-α|}}
・・・
≦((1/2)^n)|a[1]-α|.
です。
No.44944 - 2017/07/29(Sat) 13:03:31
☆ Re: 平均値の定理 / がん
理解できました！
数列がどんどんnから初項に向かっていって(その間1/2が掛け続けられる)最終的に初項-αになり条件の初項=αで絶対値がゼロになるということですね。ITさんのおかげでわかりやすくかつ自分でも頭を使うことができました！
回答ありがとうございました！
No.44945 - 2017/07/29(Sat) 17:39:33
★ 数学 / 高3 数列の和
高3です。
辺々加えるの意味も計算の仕方もわからずどうして16行目のような等式になるのかわかりません。
教えてください。
No.44931 - 2017/07/28(Fri) 11:16:59
☆ Re: 数学 / ヨッシー
辺々加えての使い方は、
　Ａ＝Ｂ
　Ｃ＝Ｄ
　Ｅ＝Ｆ
辺々加えて
　Ａ＋Ｃ＋Ｅ＝Ｂ＋Ｄ＋Ｆ
のような感じです。

これを理解した上で、
　Ａ−Ｂ＝ax^2＋bx＋c
　Ｂ−Ｃ＝ay^2＋by＋c
　Ｃ−Ｄ＝az^2＋bz＋c
辺々加えて
　Ａ−Ｄ＝a(x^2+y^2+z^2)＋b(x+y+z)＋3c
となるのは分かりますか？
No.44932 - 2017/07/28(Fri) 14:01:55
☆ Re: 数学 / 高3 数列の和
返信ありがとうございます。

左辺はそれぞれ−B.B、−C.C、が打ち消し合って
A−Dが残ることがわかってなかったです。
簡略な文字で考えることで
おかげで理解できました。
ありがとうございました。
No.44933 - 2017/07/28(Fri) 14:25:02
★ 数学 / つま
中3です。
この問題を解いてみたのですが、少し不安なので合っているかどうか教えてもらいたいです。
No.44924 - 2017/07/27(Thu) 20:02:00
☆ Re: 数学 / つま
解答です。
No.44925 - 2017/07/27(Thu) 20:02:58
☆ Re: 数学 / angel
問題ないと思います。
それと、お気づきのことと思いますが、この数列はフィボナッチ数列です。

なお、α,βの値を具体的に求めなくても解くことができるようになっていて、できるならそちらの方が計算がラクです。
余裕があれば挑戦しても良いと思います。
No.44926 - 2017/07/27(Thu) 20:50:46
☆ Re: 数学 / つま
返信ありがとうございます。その計算法も試してみようと思います。
No.44927 - 2017/07/27(Thu) 21:02:12
★ 根号 / rua
13番の解法教えてください
解答は
(1)-2x+2
(2)2
(3)2x-2
です！よろしくお願いします
No.44922 - 2017/07/27(Thu) 16:12:42
☆ Re: 根号 / ヨッシー
√(x^2) は、ｘ＜０ のとき -x, ｘ≧０ のとき x
√(x^2−4x＋4)＝√(x-2)^2 は ｘ＜２ のとき 2-x、ｘ≧２ のとき x-2
これを踏まえて、各場合において、式を計算します。
No.44923 - 2017/07/27(Thu) 18:43:44
★ 双曲線です。 / 双曲線。
⑶がわかりません！

どういう風に解くべきでしょうか。
解説お願いします！
No.44921 - 2017/07/27(Thu) 12:49:08
★ 極限の問題です / 高3　極限
e^x/2x (1+ 2/x )^x (x^3-x^2+1)/e^x

の三つのxを無限大に飛ばす方法を教えてください。
よろしくお願いします。
No.44920 - 2017/07/27(Thu) 00:38:31
☆ Re: 極限の問題です / らすかる
f(x)=x-4logxとおくと
f'(x)=1-4/x=(x-4)/xからx＞4のときf(x)は増加し、
f(16)=16-4log16=16-16log2＞0（∵2＜eからlog2＜1）なので
x≧16のときx＞4logxすなわちe^x＞x^4　… (*)

lim[x→∞]e^x/2x≧lim[x→∞]x^4/2x　（(*)より）
=lim[x→∞]x^3/2=∞なので
lim[x→∞]e^x/2x=∞

x=2tとおくと
lim[x→∞](1+2/x)^x=lim[t→∞](1+2/(2t))^(2t)
=lim[t→∞]{(1+1/t)^t}^2=e^2

x≧1のときx^3-x^2+1=x^2(x-1)+1＞0なので
0≦lim[x→∞](x^3-x^2+1)/e^x≦lim[x→∞](x^3-x^2+1)/x^4　（(*)より）
=lim[x→∞]1/x-1/x^2+1/x^4=0
∴lim[x→∞](x^3-x^2+1)/e^x=0
No.44930 - 2017/07/28(Fri) 03:13:05
★ 領域 / シンヤン
kが( )内の実数値をとるとき、次の直線の通る範囲を図示せよ。

kx+y+k^2 = 0 (k>0)

[指針] k>0 →kの2次方程式が少なくとも1つの正の解をもつ。

[回答]
k^2 + xk +y =0
[1] 2解とも正 ←→ D =x^2 - 4y≧0, 和 -x>0 , 積 y>0
∴ 0<y≦(x^2)/4 , x<0
[2] 正の解と他の解が0 ←→ -x>0, y=0
∴ x<0, y=0
[3] 正の解と負の解 ←→ y<0

←→この記号は、必要十分条件です。
図は省略します。

質問は、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのはなぜかということです。
条件はk>0だから、kの一方がk=0または、k<0だと、解にあてはまらないから判別式を持ちだしても意味がないと言うことでしょうか。
解に意味がないとすると、[2],[3]、の解と係数の式にもあてはまらないのではないかと思うのですが、そのへんが分からず質問しました。
よろしくお願いします。
No.44911 - 2017/07/26(Wed) 10:06:20
☆ Re: 領域 / IT
[2] k=0 が解ならば、kx+y+k^2 = 0 が実数解を持つという条件は満たしています。

[3] f(k)=kx+y+k^2 とおいたとき、f(0)=y<0 ならば
kx+y+k^2 = 0 は実数解を持つという条件は満たします。
No.44912 - 2017/07/26(Wed) 10:14:49
☆ Re: 領域 / シンヤン
ご回答、ありがとうございました。
参考書の解答で、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのは、省略してあるということでしょうか。
No.44913 - 2017/07/26(Wed) 11:13:49
☆ Re: 領域 / IT
> ご回答、ありがとうございました。
> 参考書の解答で、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのは、省略してあるということでしょうか。

あらためて判別式D≧0を確認する必要がないので、判別式D≧0を書く必要がない。ということです。
気になるようなら書かれても間違いではありませんが。
No.44914 - 2017/07/26(Wed) 11:52:18
☆ Re: 領域 / シンヤン
度々、ありがとうございました。
私の性格でしょうか、はっきりしないと気がすまないのかもしれません。
失礼しました。
No.44915 - 2017/07/26(Wed) 12:22:04
★ (No Subject) / ダブルミリオン*2
関数f(x)が任意の実数x,yに対して、
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+1+y)
を満たし、f'(0)=3とする。
(1)f(x)は微分可能な関数であることを示し、f'(x)を求めよ。
(2)f(x)を求めよ。

この問題の考え方を教えてください!
No.44908 - 2017/07/26(Wed) 08:00:04
☆ Re: / IT
(1)
f(x+h)=f(x)+f(h)+2xh(x+1+h) （注）hはyのままでもいいですが、見慣れているhにしました.
移項して f(x+h)-f(x)=f(h)+2xh(x+1+h)
よって (f(x+h)-f(x))/h=f(h)/h+2x(x+1+h) と変形してf'(0)=3を使う。
No.44910 - 2017/07/26(Wed) 08:54:40
☆ Re: / X
僭越ですが、ITさんの回答に対し補足の形で。

ITさんの方針で
f'(0)=3
であることを使うためには、条件である
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+1+y)
を使って、前準備として
f(0)=0
を証明しておく必要があります。
No.44917 - 2017/07/26(Wed) 23:38:11
★ (No Subject) / か
四面体の外接球や内接球についてなのですが、非"正"四面体の場合では、外接球や内接球が存在しなくなる事がある気がするのですが、そうだとしたら、それは具体的にどんな条件が揃った時でしょうか？
No.44907 - 2017/07/26(Wed) 07:49:00
☆ Re: / らすかる
存在しなくなることはありません。
No.44909 - 2017/07/26(Wed) 08:41:00
★ 計算 / 計算ビギナー
黄線の計算がよくわかりません。loga＝1/a^tじゃないのですか？
No.44903 - 2017/07/25(Tue) 21:33:04
☆ Re: 計算 / IT
問題全体が分からないので確実ではないですが
y=x からa^t=t なのでは？
No.44904 - 2017/07/25(Tue) 22:40:08
★ (No Subject) / TOKO
2n個の整数がある。それらの数をn個ずつ2組に分けたとき、どう分けても各組の数の和S[1],S[2]の差はnより小さいとする。このとき、これらの2n個の数のうち少なくともn+1個は等しいことを証明せよ。

上記の問の解き方を教えてください。
No.44900 - 2017/07/25(Tue) 16:56:26
☆ Re: / IT
対偶が正しいことを示します。

・2n個の整数を昇順に並べ,
　a[1]≦a[2]≦a[3]≦...≦a[n]≦a[n+1]≦...≦a[2n].とします。

・S[1]とS[2]の差が最大になるように,
　S[1]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
　S[2]=a[n+1]+a[n+2]+a[n+3]+...+a[2n]とします。

・2n個の数のうちのどのn+1個を抽出しても,少なくとも一つは異なるとすると,

　a[1],a[2],a[3],...a[n],a[n+1]の少なくとも一つは異なるので,a[1]+1≦a[n+1] となる.

　同様に,a[2]+1≦a[n+2],　a[3]+1≦a[n+3],...,a[n]+1≦a[2n]がいえる.

　このとき,S[2]-S[1]≧nとなる.

・したがって、．．．．
No.44901 - 2017/07/25(Tue) 17:57:14
☆ Re: / TOKO
納得できました。どうもありがとうございます。
No.44918 - 2017/07/26(Wed) 23:38:48
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