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★ 連立漸化式について / bigsky
連立漸化式でなにをかけて連立をするのか求める時の話なんですけど2行目のように考える理由がわかりません。教えてください
No.45452 - 2017/08/17(Thu) 15:39:04
☆ Re: 連立漸化式について / angel
> 2行目のように考える理由

その答えはですね、「そう考えると解くのに都合が良い ( ということが分かってる ) から」以外にないんですよ。

…これを自力で思いつく人は凄いと思うのですが、全員がそうである必要はなくて、大事なのは「じゃあ、どのように『都合が良い』のか」を理解することだと思います。
※理解していれば、似たような場面で、この方法を引き出しから取り出せるはずだから
No.45460 - 2017/08/17(Thu) 21:31:58
☆ Re: 連立漸化式について / angel
じゃあ、どのように都合が良いか。
それは、基本的なゼ漸化式で表せる、等比数列を作り出せるから、に他なりません。
※というか、漸化式を解けるの、大体、等差数列、等比数列、あとは階差数列からの和の数列くらいしか習わないので

たとえば、今回の問題とは別に、漸化式が
　a[n+1]=11a[n]+2b[n]
　b[n+1]=2a[n]+14b[n]
となっているような問題があるとしましょう。

ここで例えば、
　c[n]=a[n]-0.5b[n]
という数列を作ったとします。すると、
　c[n+1]
　=11a[n]+2b[n]-0.5(2a[n]+14b[n])
　=10a[n]-5b[n]
　=10(a[n]-0.5b[n])
　=10c[n]
という、公比10の等比数列になって、これは都合が良いわけです。

…でもじゃあ、この -0.5 なんてどっから出て来るの? と。こんなん閃けって言うの? というと、それは苦しいので、そこを調べるために方程式を活用しましょうか、というのが今回の話。

a[n+1]+pb[n+1]=q(a[n]+b[n]) という形を作り出したい、そのための p が知りたい。
ところで、a[n+1]+pb[n+1]=(11+2p)a[n]+… であることは分かるので、だとすると q=11+2p が都合が良い。
つまり、a[n+1]+pb[n+1]=(11+2p)(a[n]+pb[n]) と、これが成立する ( b[n]の係数も一致する ) p が見つかると大変都合が良い、と。そうなるわけです。
No.45462 - 2017/08/17(Thu) 22:11:50
★ 中学数学 / あゆみ
284の問題が、解けません。
途中までは解けたのですが、それもあってるかわからず…。
よろしくお願いします。
No.45449 - 2017/08/17(Thu) 14:45:50
☆ Re: 中学数学 / Azel A.
はた
No.45467 - 2017/08/18(Fri) 00:52:22
☆ Re: 中学数学 / Azel A.
あらら、ごめんなさい、エンターキーに手が当たって意味不明な投稿をしてしまいました。

どこまでは解けましたか？
書き込みを見る限りでは、Eの座標を求めるあたりでわからなくなりましたか？
No.45468 - 2017/08/18(Fri) 00:54:34
☆ Re: 中学数学 / あゆみ
はい> <
No.45469 - 2017/08/18(Fri) 06:34:30
☆ Re: 中学数学 / あゆみ
点Eはわかりました！
(2)がわかりません。
No.45470 - 2017/08/18(Fri) 08:46:21
☆ Re: 中学数学 / Azel A.
お返事が遅くなりました。

うーん、(2)は僕も今考えてみたんですが、何故だか中学生が解けるはずのない式が出てきますね...

OEの傾きとADの傾きが等しくなるとき、これらが平行になることを利用して、それぞれの傾きを求めてから=で結んで解くのだろうとは思いますが、その方法でやると、4次方程式という、高校入試では出題されるはずのない式が出てきてしまいます。

もしかしたら僕が計算を間違えているのかもしれません。

その問題の解答をお持ちで、この問題の答えの数字だけでもわかっているなら、それを教えてもらえれば僕の計算が間違っているかどうかを確認できますから、もし知っているなら教えてもらえますか?
No.45486 - 2017/08/19(Sat) 00:33:26
☆ Re: 中学数学 / エンヴィー
(2)四角形OADEは平行四辺形となる。
Eのx座標は、Oのx座標より、a-1大きい
Eのy座標は、Oのy座標より、a^2+2大きい
これと、平行四辺形OADEより、
Dのx座標は、Aのx座標より、a-1大きい
Dのy座標は、Aのy座標より、a^2+2大きい
したがって、D(a+(a-1), a^2+(a^2+2))
すなわちD(2a-1,2a^2+2)
これがグラフy=x^2上にあるので、
2a^2+2=(2a-1)^2
これを解くと、a=(2±√6)/2
a＞1より、a=(2+√6)/2

(3)△ADE=△OAE以降を・・・
CD//OAでしたからここからさらに、△OAE=△OACとなりますね。
求める面積は
S=△OAC
=1/2×OC×(Aのx座標(＞0))
=(1/2)a(a+2)
=(9+4√6)/4
No.45488 - 2017/08/19(Sat) 06:18:47
★ 弧度法と一般角 / きのこ
【問題】半径２√３の円と半径２の円があり、それらの中心間の距離は４である。この2円が重なり合う部分の面積を求めよ。

どのように解けばいいのでしょうか？数学が苦手な私にも分かるようにお願いします。
No.45446 - 2017/08/17(Thu) 12:40:27
☆ Re: 弧度法と一般角 / ヨッシー

まず、△ＡＢＣが、１：２：√3 の直角三角形であることに気付きます。

求める面積は黄色と青の部分に分けて考えます。
黄色：
　半径２、中心角120°の扇形から△ＢＣＤを引いたもの
　△ＢＣＤは１辺が２の正三角形の面積と同じ
青：
　半径 2√3、中心角60°の扇形から、正三角形ＡＢＤを引いたもの
No.45447 - 2017/08/17(Thu) 14:04:16
☆ Re: 弧度法と一般角 / きのこ
理解できました。助かりました。
No.45451 - 2017/08/17(Thu) 15:07:03
★ 円の方程式 / はやて
この図形からどんな式が出来ますか？
よろしくお願いします
No.45443 - 2017/08/17(Thu) 10:44:23
☆ Re: 円の方程式 / ヨッシー
グラフ上に見えている２つの直線、２つの円の式は作れますか？
領域を不等式で表すのはそのあとです。
No.45444 - 2017/08/17(Thu) 10:49:08
☆ Re: 円の方程式 / はやて
自力で解こうと教科書と学習書を何回も読みましたが全部がよくわかりません。
No.45445 - 2017/08/17(Thu) 11:20:15
☆ Re: 円の方程式 / ヨッシー
ということは、
左のグラフで、直線の式はそれぞれ
　ｙ＝−ｘ＋５
　ｙ＝２ｘ−１
なので・・・
と書いても、ちんぷんかんぷんですか？
No.45448 - 2017/08/17(Thu) 14:07:02
☆ Re: 円の方程式 / はやて
そうやって見ればいいんですか。
グラフの見方がやっとわかりました。
No.45450 - 2017/08/17(Thu) 15:04:14
★ 角の３等分線 / ヨッシー
これは、ヨッシーが個別に受けた質問です。
一応、解法を載せましたが、別の解き方があれば、お願いします。

問題
３辺の長さが、ＡＢ＝20√(2/11), ＢＣ＝12, ＡＣ＝4√(35/11) である
三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの三等分線とＢＣの交点をＢの側から順に
Ｐ、Ｑとしたとき、ＢＰ、ＰＱ、ＱＣのそれぞれの長さを求めてください。



問題作成の経緯
元の問題
三角形ＡＢＣの∠Ａの三等分線とＢＣの交点をＢの側から順に
Ｐ、Ｑとします。ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４　のとき、ＡＢ、
ＡＣの長さを求めてください。
の逆をたどる問題です。
No.45441 - 2017/08/17(Thu) 10:38:42
☆ Re: 角の３等分線 / ヨッシー
ヨッシーの解答
△ＡＢＣの各頂点の余弦を計算すると
　cosＡ＝−√70／50，cosＢ＝19/5√22，cosＣ＝14/√385
となります。
角の３倍角の公式
　cos(3θ)＝4cos^3θ−3cosθ
より、cos(A/3)＝ｘ とおくと
　４ｘ^3−３ｘ＋√70／50＝０
これは左辺が
　(1/5)(ｘ−√70/10)(20x^2＋2√70ｘ−1)＝０
と因数分解できて、解は
　ｘ＝√70/10、(−√70±3√10)/20
ですが、０＜A/3＜π/3 に合うのは　ｘ＝√70/10

△ＡＢＰにおいて、ＡＢ＝20√(2/11)
　cosＢ＝19/5√22，sinＢ＝3√21/5√22
　cosＡ＝√70/10，sinＡ＝√30/10
　sinＰ＝sin(Ａ＋Ｂ)＝4√15/5√11
正弦定理
　ＡＢ/sinＰ＝ＢＰ/sinＡ＝ＡＰ/sinＢ
より、
　ＢＰ＝５，ＡＰ＝3√(35/11)
と分かります。ＣＱも△ＡＣＱから同様にして出せますが、
ＰＣ＝１２−５＝７ と ＡＰ：ＡＣ＝３：４ であることから、
角の二等分線の定理より
　ＰＱ：ＱＣ＝３：４
　ＰＱ＝３，ＱＣ＝４
となります。
No.45442 - 2017/08/17(Thu) 10:39:05
☆ Re: 角の３等分線 / ヨッシー
見逃しておりましたが、こちらですでに、答えられておりました。
併せて、ご覧下さい。
No.45475 - 2017/08/18(Fri) 17:29:29
★ (No Subject) / bigsky
この推定はどういう考えでこうなるとたどり着くんですか？
No.45439 - 2017/08/17(Thu) 07:27:44
☆ Re: / らすかる
分子は b^1,b^2,b^3,…
分母は 1,b+1,b^2+b+1,…
となっていますので、続きも予想すると
分子は b^1,b^2,b^3,b^4,b^5,…
分母は 1,b+1,b^2+b+1,b^3+b^2+b+1,b^4+b^3+b^2+b+1,…
と予想できますね。
すると分母は等比数列の和の公式を使って
Σ[k=0〜n-1]b^k=(b^n-1)/(b-1)
と簡略化できますので
分子のb^nと合わせて
b^n÷{(b^n-1)/(b-1)}=b^n(b-1)/(b^n-1)
となりますね。
No.45440 - 2017/08/17(Thu) 08:38:52
★ 方向ベクトル / 数学頑張るマン
大門3の方向ベクトルはどうやって求めたのかわかりません。
v1,v2
No.45436 - 2017/08/16(Wed) 23:24:19
☆ Re: 方向ベクトル / 数学頑張るマン
解説です。あと方向ベクトルは何を指しているのかよくわかりません…
No.45437 - 2017/08/16(Wed) 23:26:46
☆ Re: 方向ベクトル / IT

> あと方向ベクトルは何を指しているのかよくわかりません…
直線l1,l2 と　各方向ベクトル（答えのとおり）を描いて見られると、分かると思いますが、

数学Ｂの教科書に定義が書いてあるはずです。定義は教科書などで、しっかり確認されることをお勧めします。
No.45438 - 2017/08/17(Thu) 01:09:17
★ 円の方程式 / はやて
点(1.2)を中心として、y軸に接する円の方程式を教えてください
No.45433 - 2017/08/16(Wed) 22:14:03
☆ Re: 円の方程式 / らすかる
半径は1で1^2=1ですから
(x-1)^2+(y-2)^2=1
となります。
No.45434 - 2017/08/16(Wed) 22:40:21
★ (No Subject) / 金時豆
kを正の定数とする。曲線y=coskxと3直線x=-θ,x=0,x=θ(0<θ<π/2k)との交点を通る円の中心をPとする。θが0に近づくとき、Pはどのような点に近づくか。

宜しくお願いします。
No.45430 - 2017/08/16(Wed) 17:16:50
☆ Re: / らすかる
(0,1)を通りy軸に関して対称だから、円の中心を(0,t)とおくと
円の方程式はx^2+(y-t)^2=(1-t)^2とおける。
この円が(θ,coskθ)を通るので
代入して整理すると
t={1-θ^2-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}
lim[θ→0]t
=lim[θ→0]{1-θ^2-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}
=lim[θ→0]{1-(coskθ)^2}/{2(1-coskθ)}-θ^2/{2(1-coskθ)}
=lim[θ→0](1+coskθ)/2-(1/k^2)(kθ/2)^2/{sin(kθ/2)}^2
=1-1/k^2
よってPは(0,1-1/k^2)に近づく。
No.45432 - 2017/08/16(Wed) 21:18:37
☆ Re: / 金時豆
ありがとうございます！
No.45472 - 2017/08/18(Fri) 11:15:37
★ 算数 / 金ちゃん
ふろの湯160ℓあります温度は40度とします50度のお湯をたして42度にするにわ何リットルのお湯がいるのか計算式を教えてください
No.45429 - 2017/08/16(Wed) 15:48:13
☆ Re: 算数 / らすかる
50度-42度=8度
42度-40度=2度
8度÷2度=4
160L÷4=40L
よって40リットル
No.45431 - 2017/08/16(Wed) 21:03:50
★ √を使った計算方法 / けんじ
中学2年です。√を使った計算を学習中です。
　
√2/3+１/√6-√54/2-√2（√18-√3）

の計算方法を解説いただけませんでしょうか。
　
No.45425 - 2017/08/16(Wed) 13:58:32
☆ Re: √を使った計算方法 / らすかる
1/√6は分子分母に√6を掛けて√6/6
√54=√(9×6)=√9×√6=3√6
√18=√(9×2)=√9×√2=3√2
ここまでを代入すると
√2/3+√6/6-3√6/2-√2(3√2-√3)
分母を6に統一してから計算
{2√2+√6-9√6-6√2(3√2-√3)}/6
={2√2+√6-9√6-18×(√2)^2+6×√2×√3}/6
={2√2+√6-9√6-18×2+6√6}/6
={2√2+√6-9√6-36+6√6}/6
=(2√2-2√6-36)/6
=(√2-√6-18)/3
No.45426 - 2017/08/16(Wed) 14:30:12
☆ Re: √を使った計算方法 / けんじ
らすかる様

分数などが組み合わさり、わからなくなっておりましたが
この様なわかりやすい解説をいただき良く理解できました。
大変ありがとうございました。
No.45427 - 2017/08/16(Wed) 15:13:57
★ 色の塗り分け / ツンドラ気候
考え方について質問です。
(2)では、?@，?Eの 固定した球の塗り方 5通り をかけていますが
(1)では、?@に 固定した球の塗り方をかけていません
(1)の ?@の塗り方は6色のうちから選ぶので、6をかけるのかと考えたのですが、、
まず一つだけ固定して考える場合は、かけなくてよいのでしょうか？
No.45418 - 2017/08/16(Wed) 09:58:41
☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候
(1)の画像です
No.45419 - 2017/08/16(Wed) 09:59:46
☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候
何度もすみません質問はこれです
No.45420 - 2017/08/16(Wed) 10:00:27
☆ Re: 色の塗り分け / X
確かにツンドラ気候さんの仰る通り、(1)の
解説はおかしいですね。
例えば1に赤を塗る場合、解説の通りでは
1,6いずれも赤に塗らない場合が考慮され
ないことになります。

問題の正八面体が2,3,4,5の玉を含む平面
に関して対称であることを考えると
(1)は以下のようになります。

まず1,6の色の塗り方は
6C2=15[通り]
残りの玉で2,3,4,5の円順列を作る
ように色を塗ると考えて
(4-1)!=6[通り]
よって求める色の塗り方の数は
15・6=90[通り]
となります。
No.45421 - 2017/08/16(Wed) 11:07:12
☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候
なるほど、そう考えられますね
ありがとうございます！
No.45422 - 2017/08/16(Wed) 11:14:10
☆ Re: 色の塗り分け / IT
横から失礼します。
元の答えで良いのでは？
(1) どの色でも１に持ってこれますから答えのままでいいと思います。（回転して赤を塗った頂点を１に持ってくる）
(2) の５色で塗るのは、６色から５色選んで５色で塗るのではなくて、あらかじめ与えられた５色ＡＢＣＤＥで塗るということだと思います。
No.45424 - 2017/08/16(Wed) 13:13:55
☆ Re: 色の塗り分け / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ツンドラ気候さんへ
ごめんなさい。(1)についてはITさんの仰る通りです。
No.45428 - 2017/08/16(Wed) 15:14:28
☆ Re: 色の塗り分け / ツンドラ気候
ITさん、ありがとうございます！
そういうことでしたか
回転して、というのは思いつきませんでした
Xさん、大丈夫ですよ！
みなさんありがとうございました！
No.45435 - 2017/08/16(Wed) 23:09:51
★ 格子点問題 / bigsky
解答見ても全然わからなかったので教えてください。お願いします。
No.45413 - 2017/08/15(Tue) 21:47:28
☆ Re: 格子点問題 / らすかる
ここで回答者が解説しても解答と同じ内容を解説してしまって
結局わからない可能性がありますので、
解答も書いてわからない部分を具体的に示していただいた方が
よいと思います。
No.45414 - 2017/08/15(Tue) 22:00:27
☆ Re: 格子点問題 / bigsky
すみません。お願いします。
No.45416 - 2017/08/15(Tue) 22:56:35
☆ Re: 格子点問題 / らすかる
第１象限のx=1〜x=nの分の他に
第２象限のx=-1〜x=-nの分があるからですね。
そこにある図は第１象限の分しか書かれていませんが、
「y=x^2とy=n^2で囲まれた部分」は第２象限側もあります。
No.45417 - 2017/08/15(Tue) 23:41:49
★ 中学数学 / あゆみ
よろしくお願いします。
No.45407 - 2017/08/15(Tue) 16:47:19
☆ Re: 中学数学 / エンヴィー
(1)A(a,a^2), B(-2, 4)から、直線ABの方程式がaを用いて表せます。
文字を扱う計算となりますが、最終的には直線AB:y=(a-2)x+2aとなり、C(0, 2a)を得ます。

(2)与えられた図では不十分なので、問題文に忠実に必要なものを描きいれていきます。
図を描いたら、ここでは平行四辺形のまだ名前のついていない点(O, A, E以外の点)をFと置きます。FはCE上にあります。
以下解答

OA//CEより、△OAF=△OACだから、
S_1=平行四辺形OAEF=2△OAF=2△OAC
また、S_2=△OAB=(AB/AC)△OAC
よって、S_1:S_2=2△OAC:(AB/AC)△OAC=2:AB/AC
一方、与えられた条件より、S_1:S_2=1:2なのだから、
S_1:S_2=2:AB/AC=1:2
よって、AB/AC=4
よって、BC:CA=3:1
Aのx座標がa(＞0), Bのx座標が-2だから、
BC:CA=2:aでもある。
これよりすなわち、BC:CA=2:a=3:1の関係が成り立つことがいえ、
a=2/3
No.45412 - 2017/08/15(Tue) 20:47:36
☆ Re: 中学数学 / あゆみ
ありがとうございました！
No.45458 - 2017/08/17(Thu) 20:42:45
★ 二次関数と線分比 / あゆみ
中学数学です。
沢山聞いてしまってすみません…
No.45406 - 2017/08/15(Tue) 16:07:31
☆ Re: 二次関数と線分比 / エンヴィー
(1)Cは直線とx軸の交点だから、C(-3n, 0)
さらにCA:AD=1:2なので、A(-2n, (1/3)n)・・・?@
点Aは放物線上にもあるから、y座標は
y=(1/36)(-2n)^2=(1/9)n^2・・・?A
とも表せる。
?@, ?Aより、(1/3)n=(1/9)n^2
よって、n=0,3
n＞0より、n=3

(2)n=3より、A(-6, 1), 直線の方程式：y=(1/3)x+3
Bは直線と放物線の交点のうち、Aではない方だから、B(18, 9)

(3)E(a, 0)(a＞0)とする。
Aのx座標はEのx座標より、-6-aだけ大きい。
Aのy座標はEのy座標より、1-0=1だけ大きい。
これと平行四辺形の性質から、
Fのx座標はBのx座標より、-6-aだけ大きい。
Fのy座標はBのy座標より、1だけ大きい。
したがって、Fの座標は、
x座標:18+(-6-a)=12-a
y座標:9+1=10
すなわちF(12-a,10)と表される。
Fは放物線上の点だから、10=(1/36)(12-a)^2
これからaを求めると、a=12±6√10
a＞0より、a=12+6√10, Eの座標はE(12+6√10, 0)
No.45411 - 2017/08/15(Tue) 19:27:29
☆ Re: 二次関数と線分比 / あゆみ
ありがとうございました！
No.45459 - 2017/08/17(Thu) 20:43:14
★ (No Subject) / 数学初心者
画像の上式を変形して...とありますが どう変形させたのかがよく分かりませんでした。文字をαのような文字に置き換えてみたのですが なぜ 2パターンに変形できたのかよく分かりませんでした。丁寧でわかりやすい解説を頂戴いただけると幸いです。ではよろしくお願いしますm(._.)m
No.45404 - 2017/08/15(Tue) 16:00:47
☆ Re: / Kenji
数列の三項間漸化式が
　p[n]=(α+β)p[n-1]-(αβ)p[n-2]（ただしα≠β）
の形になっている場合、
両辺から αp[n-1] あるいは βp[n-1] を引き去ることにより、
　p[n]-αp[n-1]=β{p[n-1]-αp[n]}
　p[n]-βp[n-1]=α{p[n-1]-βp[n]}
の2通りに変形できます。
（α≠βであることが前提ですから、この2つの式は異なる式となります。）

本問の漸化式は
p[n]=(1/3)p[n-1]-(-2/9)p[n-2]
ですから、
(α,β)=(2/3,-1/3)の場合になります。
和が(1/3),積が-2/9となる2数を求めるためには
2次方程式x^2-(1/3)x-2/9=0を解けばよいです。
No.45410 - 2017/08/15(Tue) 17:52:03
☆ Re: / 数学初心者
ありがとうごさいました！教えてくださった手順に従ったら無事計算が出来ました！m(._.)m
No.45423 - 2017/08/16(Wed) 12:31:43
★ 図形 / 初心者
中心が点A(a、a/2)で半径がaの円をCとする。円Cが直線l: y＝ーx＋1/2と異なる2点P、Qで交わるようなaの値の範囲は(1)である。またこのとき線分PQの長さが最大となるのはa＝(2)のときであり、その最大値は(3)である。
という問題なのですが、(2)は直線が円の中心を通る時と考えて、1/3だと考えたのですが、答えは3でした。これは何故なのでしょうか？
No.45402 - 2017/08/15(Tue) 15:53:04
☆ Re: 図形 / らすかる
円の半径が一定で直線の位置が変わる場合は
円の中心を通る時に最大となりますが、
この問題では円の半径が変わりますので
円の中心を通る時に最大とは言えません。
例えば半径1の円の中心を通る弦と
半径2で円の中心から少しそれた弦を比べたら
後者の方が長いですね。
No.45403 - 2017/08/15(Tue) 15:58:48
☆ Re: 図形 / 初心者
ありがとうございます。
すっきりしました。
ではこの問題では解と係数の関係を用いて導くやり方がベストでしょうか？
No.45405 - 2017/08/15(Tue) 16:02:40
☆ Re: 図形 / らすかる
そうですね、それが一番簡単かと思います。
No.45408 - 2017/08/15(Tue) 16:50:50
★ (No Subject) / 高3(理系)
f(x)=(cosx-1)/x²の増減を調べるにはどうすれば良いですか？
No.45399 - 2017/08/15(Tue) 14:14:33
★ 角の三等分線 / ばたやん
主催ヨッシー様

小生は65才過ぎの老人素人の数学愛好家です。
たまたま、このホームページを見付け、質問が可能らしい
のでメールました。

最近、既に閉鎖状態になっていながらも閲覧可能なあるホ
ームページさて、次のような問題を見付けました。この問
題にヨッシーさんなる方からの解答が寄せられていました。

「三角形ＡＢＣの∠Ａの三等分線とＢＣの交点をＰ、Ｑと
します。ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４　のとき、ＡＢ、
ＡＣの長さを求めてください。」

答は、ＡＢ＝20√（2/11）、ＡＣ＝4√（35/11）でした。
これを解いたヨッシーさんはすばらしいと思いました。
これからが小生の質問です。次の問題をご覧ください。

「三辺の長さが、ＡＢ＝20√（2/11）、ＢＣ＝12、ＡＣ＝
4√（35/11）なる三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの三等分線
とＢＣの交点をＰ、Ｑとしたとき、ＢＰ、ＰＱ、ＱＣのそ
れぞれの長さを求めてください。」

これは初めの問題の逆の問題を小生が文書化したものです。
最初の問題を基にしているので、解答は最初からわかって
いて、答は　ＢＰ＝５、ＰＱ＝３、ＱＣ＝４　になります。
ところが、いざ、解答に取り組むと意外に難しく、角の二
等分線の公式を使って求めようとすると、式が暴発してし
まいました。もし、この問題の解き方をご存知であれば、
指南して頂けないでしょうか。宜しくお願い致します。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ばたやん
No.45397 - 2017/08/15(Tue) 09:46:02
☆ Re: 角の三等分線 / らすかる
角の二等分線に関する定理から
AB・PQ=AQ・BP
AP・QC=AC・PQ
AP^2=AB・AQ-BP・PQ
AQ^2=AP・AC-PQ・QC
見やすくするために
AB=c, AC=b, AP=p, AQ=q, BP=u, QC=vとおくとPQ=12-u-vなので
c(12-u-v)=qu … (1)
pv=b(12-u-v) … (2)
p^2=cq-u(12-u-v) … (3)
q^2=bp-(12-u-v)v … (4)
(1)から q=c(12-u-v)/u … (5)
(2)から p=b(12-u-v)/v … (6)
(5)(6)を(3)に代入して整理すると
b^2(12-u-v)u=(c^2-u^2)v^2 … (7)
(5)(6)を(4)に代入して整理すると
c^2(12-u-v)v=(b^2-v^2)u^2 … (8)
(7)-(8)を整理すると
u=12c^2v/{12b^2-(b^2-c^2)v} … (9)
(7)にb^2=560/11,c^2=800/11を代入して整理すると
560(12-u-v)u=(800-11u^2)v^2 … (10)
(9)にb^2=560/11,c^2=800/11を代入して整理すると
u=40v/(28+v) … (11)
(11)を(10)に代入して整理すると
v^3-4v^2-112v+448=0
(v-4)(v^2-112)=0
∴v=4,±4√7
v＞0なのでv=-4√7は不適
v=4√7とすると(11)からu=20(√7-1)/3となり
u+v=4(8√7-5)/3＞4(8×2-5)/3=44/3＞12となり不適
よってv=4、(11)からu=5
従ってBP=u=5, PQ=12-u-v=3, QC=v=4
No.45398 - 2017/08/15(Tue) 11:56:30
☆ Re: 角の三等分線 / ばたやん
こんなに早くお解き頂くとは思ってもみませんでした。
ご指南頂きありがとうございました。
しばらく、じっくり研究してみます。
まずは、即答頂きました事、深く御礼申しあげます。

　　　　　　　　　　　　　　　ばたやん
No.45409 - 2017/08/15(Tue) 17:05:30
★ (No Subject) / ASKA
問.
複素数zとwに￥の間には、w=1/(z-α)の関係がある。ただし、αは複素定数である。
複素平面上において、実軸上かつz≠αを満たす部分を点zが動くとき、点wはある1つの直線上を動くとする。
では、虚軸上かつz≠αを満たす部分を点zが動くとき、点wの描く図形はどのようなものになるだろうか。

さっぱり分かりません…。どなたか教えてください！
No.45393 - 2017/08/15(Tue) 00:20:57
☆ Re: / IT
もっとうまいやり方があるかも知れませんが、

w=x+yi,α=a+bi,z=s+ti(x,y,a,b,s,t は実数) とおいて
条件を満たすa,bを求めるのが第一歩かと思います。
ｚが実軸上を動くときは、z=s (t=0) です。

w=1/(z-α) より　w(z-α)=1.
(x+yi)(s-a-bi)=1. 展開して実部と虚部に分け連立方程式を作る。
s-aが動くとき連立方程式の解(x,y) がどう動くか考える。
No.45394 - 2017/08/15(Tue) 01:07:00
☆ Re: / angel
w=1/(z-α) という変換は、基本的に直線→円の変換になるものです ( のはず )

それが直線→直線 ( zを実軸という直線を動かす時 w がある直線上を動く ) となると、αは何かしら特別な値である、ということになります。
※ぶっちゃけるとαは実数

なお、w の描く図形については、
　zが実軸上 ⇔ z-~z=0 ( ~z は zの複素共役と思ってください )
を利用して、
　w=1/(z-α) ⇔ z=α+1/w
から、
　α-~α+1/w-1/~w=0
として整理します。
αが実数でない、つまり α-~α=i/b ( bは非0実数 ) とすると、
　i/b+1/w-1/~w=0
　⇔ w~w+ibw-ib~w=0
　⇔ (w-ib)(~w+ib)=b^2
　⇔ (w-ib)・~(w-ib)=b^2
　⇔ |w-ib|=b
なので、wの描く図形は円になって問題の条件に合わない、と。

最後に z が虚軸を動く場合も、上と似たような計算から円が出てくるはずです…、が、α=0 の場合だけ注意が必要です。
No.45395 - 2017/08/15(Tue) 02:03:27
☆ Re: / IT
angel さんの方法が、複素数の性質を使って見通しも良いですし、計算も簡明で（速くて間違いにくい）のでお薦めです。
No.45396 - 2017/08/15(Tue) 08:42:22
☆ Re: / ASKA
皆さんありがとうございました！
No.45400 - 2017/08/15(Tue) 14:15:13
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