ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 立方体の切断面の問題 / 中学3年生

一辺6cmの立方体、五角形の切断面なのですが、さっぱり分かりません。解説では、最初に相似を使っていたのですがやっぱり分からないので教えて下さい。(解説の方も写真を載せたかったのですが、1枚しか載せれないみたいでした)

No.45387 - 2017/08/14(Mon) 20:27:04

☆ Re: 立方体の切断面の問題 / らすかる

「返信」を押せば2枚目を載せられますよ。

No.45390 - 2017/08/14(Mon) 21:16:22

☆ Re: 立方体の切断面の問題 / angel

取り敢えずは「五角形」と見ずに、「三角形の端を落としたもの」と見ることです。
※図中、TとUを追加しています。

No.45391 - 2017/08/14(Mon) 22:06:25

★ 数学I / aa

すみません教えてください。
下記の問題の解法で、3次以下の整方程式は存在しない
という証明は理解したのですが、4次方程式以上なら存在
するという解法がわかりません。
■問題
係数が整数である高次方程式でSQRT(2)+SQRT(3)を
一つの解とするもののうち、最低次を求めよ。
■解
赤枠の箇所です。
まず、3次方程式では高次の係数はaとありますが、
4次方程式では係数がないのは何故でしょうか
11a+c=0・・・はどこから導入されたのでしょうか・・。

No.45378 - 2017/08/14(Mon) 17:24:39

☆ Re: 数学I / IT

aα^3+bα^2+cα+d=(11a+c)√2+(9a+c)√3+2b√6+(5b+d)1
において√2,√3の係数にはa,cのみが現われ、√6と1の係数にはb,d のみが現われています.

√6の係数2bは任意の偶数にできます。bを決めた後、dを適当にとれば(5b+d)は任意の整数にできます。
したがって　α^4=49+20√6　と打ち消しあうようにb,dを決められます。

また、b,dとは独立して,a,cを決めることによって、
√2,√3の係数をそれぞれ(11a+c)＝(9a+c)＝0とできます。

No.45381 - 2017/08/14(Mon) 18:44:44

☆ Re: 数学I / aa

有難う御座いました。
理解できました

No.45388 - 2017/08/14(Mon) 21:02:51

★ 漸化式の立て方 / 数学初心者

画像の図と 1/2 と 1/4がどう導き出されたのかよく分かりませんでした。分かりやすく丁寧に解説を頂戴いただけると幸いです。ではよろしくお願いしますm(._.)m

No.45377 - 2017/08/14(Mon) 17:23:52

☆ Re: 漸化式の立て方 / IT

図のとおりです。表を○、裏を×とします。
ｎ≧3について
ちょうどｎ+１回目に終了するのは、
（１）１回目に×が出た場合、残りのｎ回について考えるとちょうどｎ回目で終了する場合。
（２）１回目に○が出た場合、２回目は×でないといけない、そして残りのｎ-１回について考えると、ちょうどｎ-１回で終了する場合。
の２つである。
（１）の確率は(1/2)P[n]
（２）の確率は(1/2)(1/2)P[n-1]

No.45385 - 2017/08/14(Mon) 19:35:53

☆ Re: 漸化式の立て方 / 数学初心者

返信ありがとうございます。ちょっとずつですが分かり始めました！類題を解いてみて理解を深めたいと思います！ありがとうございましたm(._.)m

No.45401 - 2017/08/15(Tue) 15:47:51

★ 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

ｆは区間Ｉで定義された連続関数で、かつ単射であるとする。
そのとき、ｆはＩにおいて、強い意味での単調増加または強い意味での単調減少であることを証明せよ。

という問題なのですが、以下のような回答は問題がありますでしょうか。
自分ではわからないので教えていただけないでしょうか。

---

fが強い意味での単調増加であることを示す。
fは単射であるから、任意のx[1],x[2]∈I、f(x[1]) = f(x[2])ならば、x[1] = x[2]。
一方、問題の結論を否定すると、fは強い意味での単調増加ではないから、
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])≧f(u[2])となる。
これはf(u[1]) = f(u[2])となるとき仮定に矛盾。
fが強い意味での単調減少であること場合も同様。

---

ちなみに教科書の回答では、
a < b < c を満たすI の任意の3 点a, b, c に対して
f(a) < f(b) < f(c) またはf(a) > f(b) > f(c)であることを示す。
のように議論しており、自分の回答は不備がある、つまり
[fが強い意味での単調増加であることを示す。]という場合分けはまずいのかな？？
と思っています。

No.45366 - 2017/08/14(Mon) 15:17:44

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / らすかる

問題があります。

> これはf(u[1]) = f(u[2])となるとき仮定に矛盾。

fが狭義単調減少ならばu[1]＜u[2]のときf(u[1])＞f(u[2])ですから
f(u[1])=f(u[2])となるときがなく、仮定に矛盾しません。

No.45367 - 2017/08/14(Mon) 15:27:05

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

確かにそうですね。
強い意味での単調増加または強い意味での単調減少であることを示すので、別々に検討してはまずいですね。

ありがとうございました！

No.45370 - 2017/08/14(Mon) 15:51:59

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

すみません、ちょっと混乱しましたので、再度教えていただけないでしょうか。

「狭義単調増加または狭義単調減少である」を否定すると
「狭義単調増加でないかつ狭義単調減少でない」となり、

・「?@狭義単調増加でない」
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])≧f(u[2])

かつ

・「?A狭義単調減少でない」
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])≦f(u[2])

となって、?@、?Aを合わせると、結局
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])＝f(u[2])

となってしまったのですが、上記は何がまずいのでしょう・・・。すみません。

No.45371 - 2017/08/14(Mon) 16:10:48

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / IT

> となって、?@、?Aを合わせると、結局
あるu[1],u[2]∈Iが存在し、u[1] < u[2]かつ、f(u[1])＝f(u[2])

?@、?A で　同じu[1],u[2]∈I　とは限りません。

No.45372 - 2017/08/14(Mon) 16:21:42

☆ Re: 単射と単調増加または単調減少について / tutuz

たしかにそうですね。同じu[1],u[2]∈Iとは限らないので、
この方法で矛盾を示すのは難しそうですね。

ありがとうございます。

No.45382 - 2017/08/14(Mon) 18:47:34

★ 1995年京都大学理系後期 / りな

この(2)が分かりません…。解説サイト(リンク)を見たのですが、?@と?Aをまとめるところでひっかかってしまいます…。
高1に分かる解説お願いしますm(_ _)m

ちなみに1995年京都大学理系後期の問題です。

No.45361 - 2017/08/14(Mon) 14:34:36

☆ 追記 1995年京都大学理系後期 / りな

このサイトです。

No.45362 - 2017/08/14(Mon) 14:36:06

☆ Re: 1995年京都大学理系後期 / IT

どのサイトですか？

?@と?Aをまとめるところ　とは？　どこのことですか？

なお、この問題の解答は、下記にもあります。http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/20c/95ka205.htm

No.45386 - 2017/08/14(Mon) 19:49:53

☆ Re: 1995年京都大学理系後期 / angel

りなさんの言ってるのは http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/51221229.html のことですね。
※URL入力欄だと実は気付かれにくい…メールと同じで、自分のブログやホームページの扱いなのかも

「?@と?Aをまとめる」ですが、

(Aが勝つ確率 p[n])
　=　(Bが初手0を引く確率)×(0を引かせたAが勝つ確率)
　　+(Bが初手0を引かない確率)×(0の残ったAが勝つ確率)

と2通りに分けて確率を計算するところ、

?@
　(Bが初手0を引く確率) = 1/(n+1)
　(0を引かせたAが勝つ確率) = q[n]
?A
　(Bが初手0を引かない確率) = n/(n+1)
　(0の残ったAが勝つ確率) = p[n-2]

だと分かったので、

　p[n]=q[n]/(n+1) + p[n-2]/(n+1)

ですね、と言っているわけです。

No.45389 - 2017/08/14(Mon) 21:05:23

☆ Re: 1995年京都大学理系後期 / りな

とても分かりやすい解説ありがとうございます。おかげで解くことができました。

No.45415 - 2017/08/15(Tue) 22:27:22

★ 放物線と直線 / あゆみ

(3)からが解けません…。
求め方を教えて下さい。

No.45357 - 2017/08/14(Mon) 09:51:33

☆ Re: 放物線と直線 / エンヴィー

(3)等積変形と言えばピンときますかね。
△ACE=△BDEのとき、
△ACB=△ACE+△ECB
△CBD=△BDE+△ECB　から、
△ACB=△CBD
Aを通り、CBに平行な直線上にDがあります。(等積変形)
直線BC:l,直線AD:mとし、mと放物線の交点Dの座標を求めると、点D(5/2,25/8)

(4)y軸に平行で、Aを通る直線, Dを通る直線と、lとの交点をそれぞれF, Gとおく。
四角形ADBC=平行四辺形FGDA+△AFC+△DGB
右辺のそれぞれの図形について、AFやDGを底辺と考えた場合の高さを求める。
(平行四辺形FGDAの高さ)=(点Aと点Dのx座標の差)=7/2
(△AFCの高さ)＝(点Aと点Cのx座標の差)=1/2
(△DGBの高さ)＝(点Dと点Bのx座標の差)=1/2

AF=DG=(lとmの切片の差)=1だから、
四角形ADBC=平行四辺形FGDA+△AFC+△DGB
=1*(7/2)+(1/2)*1*(1/2)+(1/2)*1*(1/2)=4

No.45359 - 2017/08/14(Mon) 12:46:02

★ 極限 / 天空中央駅

次の極限の求め方を教えてください。

?@lim[n→∞]{(x+2)^(2n)/{(x-1)^(2n+1)+3)}}
?Alim[n→∞][{{a^(1/n)+b^(1/n)}/2}^n]

よろしくお願いします。

No.45355 - 2017/08/14(Mon) 00:18:29

☆ Re: 極限 / GM

ａ＞０，ｂ＞０
ｈ＝１／ｎとしｆ（ｈ）＝（（ａ^h＋ｂ^h）／２）^1/hとおいて対数をとり
ｌｏｇｆ（ｈ）＝ｌｏｇ（（ａ^h＋ｂ^h）／２）／ｈ
ｎ→∞のときｈ→０
ｌｉｍ（ｈ→０）ｌｏｇｆ（ｈ）
＝ｌｉｍ（ｈ→０）（ｌｏｇ（（ａ^h＋ｂ^h）／２）－ｌｏｇ１）／ｈ
＝ｌｉｍ（ｈ→０）（ｌｏｇ（（ａ^h＋ｂ^h）／２）－ｌｏｇ（（ａ⁰＋ｂ⁰）／２））／ｈ
これはｌｏｇ（（ａ^x＋ｂ^x）／２）のｘ＝０における微分系数を意味するから
微分してｘ＝０を代入するとｌｏｇ（ａｂ）／２＝ｌｏｇ（√ａｂ）
よって求める答えは√ａｂ

No.45455 - 2017/08/17(Thu) 17:38:17

★ (No Subject) / ゆうたろう

少し長くなりますが、
この問題の(3)の解答に疑問があります。
まず、問題です。

No.45349 - 2017/08/13(Sun) 23:33:31

☆ Re: / ゆうたろう

解答が２ページあります。
一つ目はこちらで。

No.45350 - 2017/08/13(Sun) 23:34:47

☆ Re: / ゆうたろう

二つ目はこちらになります。
ここで、質問なのですが、
解答の(3)の9行目の、
「ここで、?DよりX＝･･･」となっている
部分が分かりません。なぜ、このような式に変形したのでしょうか？

No.45351 - 2017/08/13(Sun) 23:37:19

☆ Re: / IT

-√3/3 ＜a＜√3/3 の範囲でa が動くとき
Ｘ＝-(a^2)/(1+a^2) がとる値の範囲を調べるためです。

-(a^2)/(1+a^2)のままより-2+2/(1+a^2)の方が値の範囲が調べやすいと思います。

No.45353 - 2017/08/14(Mon) 00:07:07

★ (No Subject) / 龍人

5x+8<3と4x+24>0を満たすxの範囲を求めよ
X>1
X>-6
両方を満たすのがなぜX>1なのかが
わかりません。
教えてください。

No.45342 - 2017/08/13(Sun) 16:53:04

☆ Re: / らすかる

5x+8＜3と4x+24＞0の両方を満たすxの範囲は-6＜x＜-1です。
「x＞1」と書かれているのであれば、問題か解答のどちらかが間違っています。

No.45344 - 2017/08/13(Sun) 19:36:34

☆ Re: / 龍人

-5x+8<3と4x+24>0を満たすxの範囲を求めよ
X>1
X>-6

でした

両方満たすのがx>1というのがよくわかりません。

X>-6の方が範囲が広いのになぜですか？

No.45346 - 2017/08/13(Sun) 21:32:25

☆ Re: / らすかる

「両方とも満たす」のは「範囲が狭い方」です。
たとえばx=0は
x＞-6は満たしますが
x＞1は満たしませんね。

# 「どちらかを満たす」のが「範囲が広い方」です。

No.45347 - 2017/08/13(Sun) 21:59:04

☆ Re: / 龍人

よくわかりました。ありがとうございました

No.45352 - 2017/08/14(Mon) 00:04:14

★ 極限 / 天空中央駅

次の極限の求め方を教えてください。

?@lim[n→∞](√(9n^2+14n+7)-[√9n^2+14n+7]) ([x]はx以下の最大の整数を表す)
?Alim[n→∞](1/n)*{(Σ[k=2n+1～3n]logk)-nlogn}

よろしくお願いします。

No.45341 - 2017/08/13(Sun) 16:51:55

☆ Re: 極限 / IT

（１）は、
任意の自然数nについて
(3n+2)^2≦9n^2+14n+7＜(3n+3)^2 より
　[√(9n^2+14n+7)]=√(3n+2)^2を使えばできると思います。

No.45343 - 2017/08/13(Sun) 17:17:02

☆ Re: 極限 / IT

(2)は
(Σ[k=2n+1～3n]logk)-nlogn
=Σ[k=2n+1～3n](logk-logn)
=Σ[k=2n+1～3n]log(k/n)
と変形すると、区分求積法で計算できると思います。

No.45345 - 2017/08/13(Sun) 20:39:11

☆ Re: 極限 / 天空中央駅

理解できました。回答ありがとうございました！

No.45354 - 2017/08/14(Mon) 00:15:34

★ (No Subject) / ルートの計算

√0.645=0.8031になる詳しい解説をお願いします。

No.45338 - 2017/08/13(Sun) 10:59:25

☆ Re: / らすかる

方法1（按分法）
0.8×0.8=0.64＜0.645
0.81×0.81=0.6561＞0.645
(0.645-0.64)/(0.6561-0.64)≒0.31
つまり0.645は0.64と0.6561をおよそ0.31：0.69に
内分した値なので、2乗して0.645になる数は
0.8と0.81を0.31：0.69に内分したあたりになる
(0.81-0.8)×0.31+0.8=0.8031
0.8031×0.8031=0.64496961≒0.645
∴√0.645≒0.8031

方法2（平方根近似）
0.8×0.8=0.64
0.645÷0.64=1.0078125なので
0.645≒0.64(1+0.0078)
√0.645≒√{0.64(1+0.0078)}=0.8√(1+0.0078)
≒0.8(1+0.0078/2)=0.80312（∵α<<1のとき√(1+α)≒1+α/2）
∴√0.645≒0.80312

方法3（ニュートン法）
0.8×0.8=0.64
0.8-(0.8-0.645/0.8)/2≒0.8031
∴√0.645≒0.8031

ニュートン法ではこの後数回の計算で
非常に精度の高い値が得られます。
0.8031-(0.8031-0.645/0.8031)/2≒0.80311892
0.80311892-(0.80311892-0.645/0.80311892)/2≒0.803118920210450527
∴√0.645≒0.803118920210450527
（0.803118920210450527^2≒0.64499999999999999996）

No.45339 - 2017/08/13(Sun) 11:15:03

★ 微分方程式 / たなお

以下の問題で分からないところがあります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
次の微分方程式を解け。x = e^t と置いて、独立変数を t に換えよ。

　(x^2)y'' + xy' - 4y = 0

＜正答＞

　y = ax^2 + bx^(-2) 　　　　※a と b は定数
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以下自分で考えた途中計算です。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　　x = e^t
　⇔dx/dt = e^t = x
　⇔dx = xdt

　∴（与式）= (x^2)(d^2y)/(xdt)^2 + xdy/(xdt) - 4y = 0
　　　　　 ⇔d^2y/dt^2 + dy/dt - 4y = 0

補助方程式は λ^2 + λ - 4 = 0 で、補助方程式の解をα、β とすると

　　y = ae^(αt) + be^(βt)　　　　※a と b は定数

x = e^t より

　　y = ax^α + bx^β
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

正答と一致するには α と β が ±2 にならなければなりませんが、補助方程式は λ^2 + λ - 4 = 0 なので一致しません。

正答を与式に代入するとちゃんと成り立つことは確認済みなので、自分の計算のどこかがおかしいのだと思いますが、おかしい箇所が分かりません。どこがおかしいか教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いいたします。

No.45332 - 2017/08/13(Sun) 00:40:54

☆ Re: 微分方程式 / X

>>(与式)=～
で
dx^2=(dx)^2
を前提としていますが、このような関係は
成立しません。

x=e^t
のとき
dy/dx=(dt/dx)(dy/dt)
=(1/e^t)(dy/dt)
=(1/x)(dy/dt)
∴(d^2)y/dx^2=(d/dx){(1/x)(dy/dt)}
=-(1/x^2)(dy/dt)+(1/x)(d/dx)(dy/dt)
=-(1/e^(2t))(dy/dt)+(1/x)(dt/dx)(d^2)y/dt^2
=(1/e^(2t))((d^2)y/dt^2-dy/dt)
となります。

No.45333 - 2017/08/13(Sun) 01:06:36

☆ Re: 微分方程式 / たなお

Xさん

ありがとうございます！

No.45336 - 2017/08/13(Sun) 09:30:12