次の定積分の求め方を教えてください。
?@∫[0,π]【xsinx/{3+(sinx)^2}】dx
?A∫[0,π/2]{xsinx/(1+cosx)+xcosx/(1+sinx)}dx
どうぞよろしくお願いします。
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No.45266 - 2017/08/11(Fri) 17:53:21
| ☆ Re: 定積分 / X | | | (1)
(与式)=∫[0,π/2]{xsinx/{3+(sinx)^2}}dx
+∫[π/2,π]{xsinx/{3+(sinx)^2}}dx
第二項において
t=π-x
と置くことにより
(与式)=∫[0,π/2]{xsinx/{3+(sinx)^2}}dx
-∫[π/2,0]{(π-t)sint/{3+(sint)^2}}dt
=∫[0,π/2]{xsinx/{3+(sinx)^2}}dx
+∫[0,π/2]{(π-x)sinx/{3+(sinx)^2}}dx
=π∫[0,π/2]{sinx/{3+(sinx)^2}}dx
=π∫[0,π/2]{sinx/{4-(cosx)^2}}dx
=π∫[0,π/2]{sinx/{(2-cosx)(2+cosx)}}dx
=(π/4)∫[0,π/2]{1/(2-cosx)+1/(2+cosx)}sinxdx
=(π/4)[log(2-cosx)-log(2+cosx)][0,π/2]
=(π/4)log3
(2)
(与式)=∫[0,π/4]{xsinx/(1+cosx)+xcosx/(1+sinx)}dx
+∫[π/4,π/2]{xsinx/(1+cosx)+xcosx/(1+sinx)}dx
第二項において
x=π/2-t
と置くと
(与式)=∫[0,π/4]{xsinx/(1+cosx)+xcosx/(1+sinx)}dx
-∫[π/4,0]{(π/2-t)cost/(1+sint)+(π/2-t)sint/(1+cost)}dt
=∫[0,π/4]{xsinx/(1+cosx)+xcosx/(1+sinx)}dx
+∫[0,π/4]{(π/2-x)cosx/(1+sinx)+(π/2-x)sinx/(1+cosx)}dx
=(π/2)∫[0,π/4]{sinx/(1+cosx)+cosx/(1+sinx)}dx
=(π/2)[-log(1+cosx)+log(1+sinx)][0,π/4]
=(π/2)log2
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No.45270 - 2017/08/11(Fri) 18:26:09 |
| ☆ Re: 定積分 / 天空中央駅 | | | No.45272 - 2017/08/11(Fri) 19:08:08 |
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