軌跡と領域の問題です。
座標平面において２つの曲線C:y=ax^2+bxとD:y=x^3を考える。ただしa,b実数でa>0,b<0を満たすとする。
C,Dが異なる３つの交点を持ちCとDが囲む２つの領域のうち左側の領域の面積と右側の領域の面積の比が5:32となるようにa,bが動くときCの通過する領域を図示せよ。
難しくてやはり解けませんでした
よろしくお願いします
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No.45248 - 2017/08/11(Fri) 13:50:27
| ☆ 略解 / angel | | | もうちょっと簡単に計算できるのかも知れませんが、取り敢えずゴリゴリ計算すれば一本道ではあります。
〇前半
交点のx座標の方程式は x^3=ax^2+bx x(x^2-ax-b)=0
異なる3交点を持つことから 解 0,α,β ( α＜β ) と置く
このとき、 α+β=a ＞0, αβ=-b ＞0 結局 0＜α＜β
さて、f,F を次のようにおく
f(x)=x^3-ax^2-bx
F(x)=1/4・x^4-1/3・ax^3-1/2・bx^2 ( F'(x)=f(x) )
※要するに、F(x)はf(x)の不定積分の1つ
そうすると左右の面積は
左: ∫[0,α] f(x)dx = F(α)-F(0)
右: ∫[α,β] -f(x)dx = F(α)-F(β)
実際にF(0),F(α),F(β)の値は
F(0)=0
F(α)
= 1/4・α^4-1/3・aα^3-1/2・bα^2
= 1/4・α^4-1/3・(α+β)α^3-1/2・(-αβ)α^2
= 1/12・α^3・(2β-α)
F(β)=1/12・β^3・(2α-β)
※f(x)=x(x-α)(x-β) も、その不定積分 F(x) もα,βの対称式なので、α,βを入れ替えるだけ
面積比の条件から
( F(α)-F(0) ):( F(α)-F(β) )=5:32
⇔ 5(F(α)-F(β))=32(F(α)-F(0))
⇔ 27F(α)+5F(β)-32F(0)=0
⇔ 27・1/12・α^3・(2β-α)+5・1/12・β^3・(2α-β)-32・0=0
⇔ 5β^4-10αβ^3-54α^3・β+27α^4=0
⇔ 5(β/α)^4-10(β/α)^3-54(β/α)+27=0
これがα,βの満たすべき条件
ちょっと表現を整えて
方程式 5t^4-10t^3-54t+27=0 ( t=β/α＞1 ) を解く
(t-3)(5t^3+5t^2+15t-9)=0
t＞1 での解は t=3 のみ
※ g(t)=5t^3+5t^2+15t-9 とすると、g(t)=0 の t＞1 での解はない
計算により g(1)＞0 かつ t＞1 で g'(t)＞0 と分かるから
結局、面積比が5:32を満たす必要十分条件は α＞0, β/α=3
a,bを改めてαで表すと、
a=α+β=4α, b=-αβ=-3α^2
つまりCの方程式は C: y=4αx^2-3α^2・x
〇後半
α＞0 で変化する時のCの通過する領域ということは、
y=4αx^2-3α^2・x というαの ( 高々 ) 2次方程式が α＞0 の解を持つ、と読み替える。
αで整理すると、3x・α^2-4x^2・α+y=0
後は x の正負で場合分け
x=0 … y=0 のみ
x＞0 … y≦0 または D/4=4x^4-3xy≧0 つまり y≦4/3・x^3
x＜0 … y＞0
x=0 のケースは x＞0 のケースとまとめることができるので、最終的に
x≧0 かつ y≦4/3・x^3
または x＜0 かつ y＞0
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No.45301 - 2017/08/12(Sat) 10:22:07 |
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