xy平面上に、点(a,2)を中心として、原点Oを通る円Cがある。Cが放物線y=x²と異なる4点で交わるとき、Cの動く範囲を図示せよ。
という問題です。宜しくお願いします。
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No.44763 - 2017/07/19(Wed) 21:55:59
| ☆ Re: 領域図示 / らすかる | | | 円Cの方程式はx^2-2ax+y^2-4y=0
y=x^2を代入して整理すると x(x^3-3x-2a)=0
f(x)=x^3-3xとおくとf'(x)=3(x-1)(x+1)なので
x=-1で極大値2、x=1で極小値-2をとる。
従って-2＜2a＜2すなわち-1＜a＜1のときx^3-3x-2a=0は3解を持つが、
a=0のときはx(x^3-3x-2a)=x^2(x^2-3)となり交点が3個になるので
交点が4個になるのは-1＜a＜0,0＜a＜1
従って求める領域は
x^2-2x+y^2-4y=0,x^2+2x+y^2-4y=0の2円のうちどちらか一方のみの内部と(0,0)と(0,4)
つまり(x^2-2x+y^2-4y)(x^2+2x+y^2-4y)＜0と(0,0)と(0,4)
すなわち(x^2+y^2-4y)^2＜4x^2と(0,0)と(0,4)
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No.44765 - 2017/07/19(Wed) 23:16:55 |
| ☆ Re: 領域図示 / Kenji | | | 横から失礼します。
(0,0)(0,4)の2点を追加する前に、
それらを直径とする円周上の点を除外する必要があると思います。
x=0のとき
(x,y)が求める領域に属する
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつx^2-2ax+y^2-4y=0が成り立つ
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつy^2-4y=0が成り立つ
⇔y=0,4
x＞0のとき
(x,y)が求める領域に属する
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつx^2-2ax+y^2-4y=0が成り立つ
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつa=(x^2+y^2-4y)/(2x)が成り立つ
⇔-1＜(x^2+y^2-4y)/(2x)＜1かつ(x^2+y^2-4y)/(2x)≠0
⇔-2x＜(x^2+y^2-4y)＜2xかつ(x^2+y^2-4y)≠0
⇔5＜(x+1)^2+(y-2)^2かつ(x-1)^2+(y-2)^2＜5かつx^2+(y-2)^2≠4
x＜0のとき
(x,y)が求める領域に属する
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつx^2-2ax+y^2-4y=0が成り立つ
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつa=(x^2+y^2-4y)/(2x)が成り立つ
⇔-1＜(x^2+y^2-4y)/(2x)＜1かつ(x^2+y^2-4y)/(2x)≠0
⇔-2x＞(x^2+y^2-4y)＞2xかつ(x^2+y^2-4y)≠0
⇔5＞(x+1)^2+(y-2)^2かつ(x-1)^2+(y-2)^2＞5かつx^2+(y-2)^2≠4
これらを総合すると、
求める領域は
(x+1)^2+(y-2)^2=5と(x-1)^2+(y-2)^2=5の2円の片方だけの内部に属する点の集合から
(0,0)(0,4)を直径とする円周を取り除いた上で(0,0)(0,4)の2点を追加した点の集合
となると思います。
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No.44770 - 2017/07/20(Thu) 04:14:49 |
| ☆ Re: 領域図示 / らすかる | | | Kenjiさんの仰る通りですね。
私の解答では、自分で-1＜a＜0,0＜a＜1と書いておきながら
領域を考える時にa=0の円を除外するのを忘れていました。
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No.44771 - 2017/07/20(Thu) 04:30:28 |
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