ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル / 星

平面上で、定点Aと点Pが次の関係を満たす時、点Pの描く図形を求めよ。ただし、Oは原点である。

↑OA=↑OQ－2OPで|OQ|=2

わからないので、解説お願いします。

No.44727 - 2017/07/18(Tue) 08:16:19

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

点Ａの座標を(a, b) 、点Ｑの座標を（2cosθ, 2sinθ) とします。
ＯＰ＝(ＯＱ－ＯＡ)/２
　　　＝(cosθ－a/2, sinθ－b/2)
これを(x, y) とおくと
　x＝cosθ－a/2, y＝sinθ－b/2
　(x＋a/2)^2＋(y＋b/2)^2＝1
よって、ＰはＯＡの中点を中心、半径１の円上を動く。

No.44729 - 2017/07/18(Tue) 09:45:47

☆ Re: ベクトル / 星

私もそうなったのですが、
答えが、OAを1:3に外分する点Cを中心とする半径1の円とかいてありました。

これは、答えが間違っているのでしょうか？

No.44730 - 2017/07/18(Tue) 11:08:33

☆ Re: ベクトル / angel

> 答えが、OAを1:3に外分する点Cを中心とする半径1の円とかいてありました。

こちらが正解です。

ヨッシーさんの説明の延長上で言えば、円の中心(-a/2,-b/2)、これは、原点に対して、OAの中点の正反対にある点です。

ベクトル式として、OP=1/2・OQ-1/2・OA と見れば、
原点中心、半径1の円を、OAの逆向き・距離半分に平行移動したもの、となります

No.44732 - 2017/07/18(Tue) 11:44:36

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

あ、プラマイ取り違えてました。
失礼しました。
　

No.44734 - 2017/07/18(Tue) 11:55:18

★ 数三関数の極限 / ねこ

解けないです
答えがありません
解き方を教えてください

No.44724 - 2017/07/18(Tue) 06:09:55

☆ Re: 数三関数の極限 / angel

画像で問題を載せるのは良いのですが、どちらの方の問題ですか。それとも両方ですか。
どちらも件名にある「極限」の問題とは言い辛く、判断できないです。

No.44725 - 2017/07/18(Tue) 07:06:10

☆ Re: 数三関数の極限 / ねこ

説明不足ですいません
72番です

この問題のタイトルみたいなのが関数の極限ってあって…

No.44726 - 2017/07/18(Tue) 07:16:34

☆ Re: 数三関数の極限 / angel

(1)
「極大」とありますので、その x=π/4 での微分係数 f'(π/4)=0 です。
※一般には微分係数0だけでは不十分なのですが、(1)では、これだけで答えが1つに絞れる ( それに「解なし」は問題文的にありえない ) ので良いでしょう。(2)ではここもケアします

導関数 f'(x)=e^(-kx)・(cosx - ksinx) から f'(π/4)=0 を計算して解き、結果 k=1 です

(2)
(1)で k=1 と分かったので、まずは三角関数の合成でまとめておきます。
f'(x)=e^(-1)・(cosx-sinx)=√2・e^(-1)・sin(x+3π/4)

で、f'(x)=0 になるのは、sin の部分だけを見れば良くて、x の値π置きに発生するのですが、問われているのは「極大」、微分係数が、正から負へと転じるところです。
なので π/4, 9π/4, 17π/4,… と、2π置きになります。
一般項としては ( 等差数列ってことから整理して )
x[n]=(8n-7)π/4

(3)
x[n]は値が2π置きなので、sinの部分の値が一定になります。のこりは指数関数部分から来る等比数列です。
f(x[n])=f((8n-7)π/4)
=√2/2・e^(-(8n-7)π/4)
=√2/2・e^(-π/4 - 2π(n-1))
=√2/2・e^(-π/4)・( e^(-2π) )^(n-1)
※一般に指数の計算として、a^(pq)=(a^p)^q
※ ^n じゃなくて ^(n-1) の形に整理したのは、等比数列の和が計算しやすいから

ということで、(等比)数列の和として、
Σ[k=1,n] f(x[k])
= √2/2・e^(-π/4)・Σ[k=1,n]( e^(-2π) )^(k-1)
= √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )・( 1-(e^(-2π))^n )

これのn→∞での極限が答えです
公比の絶対値1未満だと最後の項が1になって ( 掛け算の結果的に ) 消えるので、
√2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) ) …なんですが、e^(2π) を分子・分母に掛けて整形しておきます
答え √2・e^(π/4)/2( e^(2π)-1 )

No.44731 - 2017/07/18(Tue) 11:29:39

☆ Re: 数三関数の極限 / ねこ

ありがとうございます💦

No.44735 - 2017/07/18(Tue) 12:13:44

☆ Re: 数三関数の極限 / angel

あっと。申し訳ないです。最後の整形が間違えてました。

✕: √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )=√2・e^(π/4)/2( e^(2π)-1 )
○: √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )=√2・e^(7π/4)/2( e^(2π)-1 )

このように読み替えてください。

No.44738 - 2017/07/18(Tue) 12:58:49

★ (No Subject) / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問1.aは負でない実数とする。-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2を満たす全ての正の実数x,yについて、x³-3a²xy²+2y³≧0が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

問2.kを0≦k≦1を満たす実数とするとき、以下に示す3つの領域D,E,Fを考える。

D:連立不等式y≧x²,y≦kxで表される領域
E:連立不等式y≦x²,y≧kxで表される領域
F:連立不等式y≦-x²+2x,y≧kxで表される領域

(1)領域D⋃(E⋂F)の面積m(k)を求めよ。
(2)(1)で求めた面積m(k)を最小にするkの値と、その最小値を求めよ。

どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします！

No.44713 - 2017/07/17(Mon) 17:42:28

☆ Re: / angel

問1.
「～を満たす全ての正の実数x,yについて」とありますが、各式はどの項も次数が揃っていますから、実は x,yの比、つまり t=x/y だけで話が済みます。

t=x/y とすれば ( x=ty として代入し整理すれば )、
　-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2 ⇔ 1/3≦t≦3
　x^3-3a^2xy^2+2y^3≧0 ⇔ t^3-3a^2t+2≧0
つまり、
　1/3≦t≦3 の範囲の全ての t で t^3-3a^2t+2≧0 となるような a の範囲は?
という問題なのです。

問2.
取り敢えず、添付の図のように各領域を整理しましたか?

No.44723 - 2017/07/18(Tue) 02:44:52

☆ Re: / ICE

>>angelさん

お陰様で問1、問2ともに解決することができました。回答ありがとうございました！

No.44792 - 2017/07/21(Fri) 21:00:33

★ (No Subject) / CHAGE

この問題を教えてください。

問.実数aが0＜a＜1の範囲を動くとき、曲線y=x³-3a²x+a²の極大点・極小点の間にある部分(ただし、極大点・極小点は含まない)が通る範囲を図示せよ。

No.44692 - 2017/07/16(Sun) 23:59:55

☆ Re: / angel

y'=3x^2-3a^2=3x(x-a)(x+a) なので、極大・極小の間とは x^2＜a^2 です。
つまりこの問題は、

　0＜a＜1 で y=x^3-3a^2x+a^2 の x^2＜a^2 の区間の点の集合を求めよ

ということです。

ここで先に、x=1/3 の時は a に関わらず y=1/27 なのでこれは別に扱います。

で、話を戻して。このままでは扱い辛いのでこう替えます。

　-1＜x＜1 で、y-x^3=(1-3x)a^2 が x^2＜a^2＜1 なる解 a を持つ (x,y) の集合を求めよ

そうすると、x=1/3 はさっき別扱いにしましたので、
x＞1/3, x＜1/3 で状況が変わります。

x＞1/3 であれば y-x^3=(1-3x)a^2 の左右の符号を見て y-x^3＜0
で、さらに符号に注意して
　y-x^3＜(1-3x)x^2, y-x^3＞(1-3x)・1

逆に、x＜1/3 であれば y-x^3＞0, y-x^3＞(1-3x)x^2, y-x^3＜(1-3x)・1 です

…ということで、図示すると添付の図(右)のようになります。
左側は、a を小刻みに変化させた時の、「曲線の極大点・極小点の間にある部分」を描いたものです。

No.44705 - 2017/07/17(Mon) 02:40:35

★ (No Subject) / 松島みどり

以下の問題の解説をお願いします。

赤玉が3個、白玉が3個、青玉が3個ある。これら9個の玉を1列に並べるとき、すべての同色の玉が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。但し、同色の玉は区別しないものとする。

No.44690 - 2017/07/16(Sun) 21:59:41

☆ Re: / IT

かなり前に同じ問題があります。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=38596

No.44691 - 2017/07/16(Sun) 23:37:22

☆ Re: / らすかる

別解
まず赤と白を並べ、後から青を追加します。
先頭を赤として最後に2倍することにします。
白が連続しないのは1通り（赤白赤白赤白）で、
このとき青を入れなければならない箇所は0箇所。
白が2連続と単独の二つに分かれるのは3P2=6通り
このうち両端が赤であるものは2通りで、このとき赤は連続せず、
青を入れなければならない箇所は1箇所。
最後が白であるものは6-2=4通りで、このとき赤も2個と1個に分かれ、
青を入れなければならない箇所は2箇所。
白が3つ続くのが3通り、ただし赤赤赤白白白は
この後どのように青玉を入れても条件を満たさないので除外して、残りは2通り。
（赤赤白白白赤と赤白白白赤赤）
このとき青を入れなければならない箇所は3箇所。
青を入れなければならない箇所がk箇所のとき、
残りの7-k箇所に3-k個の青を入れればよいので、
(1×7C3+2×6C2+4×5C1+2×4C0)×2=174通り。

No.44695 - 2017/07/17(Mon) 00:24:28

☆ Re: / IT

(別解）樹形図で数えます。

先頭の色を１、２番目の色を２、残りの色を３とすると、色の順番は６通りあります。

先頭の３個が
1-2-1 の場合、残りは{1,2,2,3,3,3}なので
　　-3○3○3の○２箇所に{1,2},2を入れる方法が2×2＝4とおり。
　　-2-3○3○3：{1,2}の並べ方が2とおり。
　　-3○3○3○：{1,2,2}の並べ方が3とおり。
計9とおり。

先頭の３個が
1-2-3 の場合、残り６個の並べ方
　　　-1-2-1-323 ：1とおり
　　　-1-2-3-(1,2,3の並べ方で先頭が3以外) ：4とおり
　　　-1-3 ：5とおり。
　　　-2 ：10とおり
計20とおり。

よって求める並べ方の数は,(9+20)×6＝174通り。

No.44699 - 2017/07/17(Mon) 00:50:36

☆ Re: / らすかる

別解
各色が5個あるとき、9個の玉を同色が隣り合わないように並べる方法は3×2^8=768通り
このうちある色の玉を5個使うのは3×2^4=48通り
いずれかの色の玉を4個使うのは
その色の玉が両端にあるとき3×4C2×2^3=144通り
片端だけにあるとき3×2×4C3×2^4=384通り
端にないとき3×(2^5-2)=90通り　※他の1色が5個の場合を除外
この中に2種類の色を4個使う場合が重複して含まれていて、
それは3P2×(9+3)=72通り
従って求める場合の数は
768-48-144-384-90+72=174通り

# すっきり簡単に計算できる方法をいろいろ考えているのですが、
# なかなかうまい方法が見つかりません。

No.44706 - 2017/07/17(Mon) 04:44:28

★ (No Subject) / きあら

この問題が分かる方いらっしゃいますか？

実数x,yはx^2+xy+y^2=1を満たす。また、ω=x+xy+yとする。
?@　p=x+yとするとき、ωをpの関数で表しなさい。
?A　?@のとき，ωをとりうる範囲を求めなさい。

?@はω＝p^2+p-1　と出たのですが、?Aが分かりません
よろしくお願いいたします。

No.44687 - 2017/07/16(Sun) 20:49:31

☆ Re: / X

単純に?@の結果を平方完成して…、では
計算が足りません。
x,yの実数条件を求めましょう。

条件から
x+y=p
xy=ω-p
よって解と係数の関係から、x,yはtの二次方程式
t^2-pt+ω-p=0 (A)
の解となります。
ここでx,yは実数ですので(A)の解の判別式を
Dとすると
D=p^2-4(ω-p)≧0 (B)
(B)の条件の下で?@の結果である
ω=p^2+p-1 (C)
の取りうる値の範囲を求めます。
(C)を(B)に代入して
p^2-4(p^2-1)≧0
3p^2-4≦0
∴-2/√3≦p≦2/√3 (D)
横軸にp、縦軸にωを取った(C)のグラフを
(D)の範囲で描くことにより
-5/4≦ω≦1/3+(2/3)√3
となります。

No.44688 - 2017/07/16(Sun) 21:29:26

☆ Re: / angel

?@にも被りますが。

p=x+y と置いたように、q=xy とも置いておきます。
この時 p,q の満たす条件は p^2-4q≧0 です。
※ ちょうど p^2-4q=(x-y)^2 という形になるから、というのもありますが、これは p=x+y,q=xy から導出される2次方程式の判別式の条件にも対応しています

こうすると、
　x^2+xy+y^2=1 ⇔ p^2-q=1
と条件を書き替えることができます。

後は、
　p^2-4q≧0
　p^2-q=1
から、p の範囲を絞ることができます。

No.44689 - 2017/07/16(Sun) 21:29:53

☆ Re: / きあら

分かりました。ありがとうございます。

No.44715 - 2017/07/17(Mon) 19:02:37

★ 大学数学　写像 / k

下の問題を教えてください

No.44684 - 2017/07/16(Sun) 17:21:55

☆ 前提 / angel

写像等の定義・条件を如何に把握して運用するかがカギです。

まず単射・全射・全単射の条件についてです
・単射の条件として、
　A→Bへの写像 f に対して
　　fが単射 ⇔ ( a1≠a2⇒f(a1)≠f(a2) )
　　或いはその対偶 f(a1)=f(a2)⇒a1=a2

・全射の条件として
　A→Bへの写像 f に対して
　　fが全射 ⇔ 任意のb∈B に対して f(a)=b を満たす a∈A が存在する

・fが全単射⇔fが単射かつ全射

次に写像・集合の同値性についてです
・A→Bへの写像 f,g に対して
　f=g ⇔ 任意のa∈A に対し f(a)=g(a)
　逆に言うと f≠g ⇔ f(a)≠g(a)となる a∈A が存在する

・集合X1,X2に対して
　X1=X2 ⇔ X1⊂X2かつX2⊂X1
　X1⊂X2 ⇔ 任意の x∈X1 に対して x∈X2

ということを前提として(続く)

No.44702 - 2017/07/17(Mon) 01:09:08

☆ 解答 / angel

(1)
Φ: x→*x が単射ということで、
x1* = x2* ⇒ x1=x2 ( x1,x2∈X ) を示す方向で行きます

　x1* = x2*
　⇔ 任意の x'∈X に対し x1*(x')=x2*(x')
　⇒ x1*(x2)=x2*(x2)　　← x'に特定の値 x2 を代入 )
　⇔ x1*(x2)=1　　← ∵x*(x')=1 if x'=x
　⇒ x1=x2　　← もしx1≠x2なら x1*(x2)=0 で矛盾(背理法)

(2)
α: f→f^(-1)(1) が全単射ということで、単射・全射をそれぞれ示します。

単射: f1^(-1)(1)=f2^(-1)(1) ⇒ f1=f2 ⇔ 任意のx∈X に対して f1(x)=f2(x) が目的

　f1^(-1)(1)=f2^(-1)(1)
　⇔ 任意の x∈f1^(-1)(1) に対して x∈f2^(-1)(1)
　　かつ任意の x∈f2^(-1)(1) に対して x∈f1^(-1)(1)
　⇔ ( f1(x)=1 ⇒ f2(x)=1 ) かつ ( f2(x)=1 ⇒ f1(x)=1 )　　← ^(-1) の定義をそのまま適用
　⇔ ( f1(x)=1⇔f2(x)=1 )
　⇔ ( f1(x)=1⇔f2(x)=1 ) かつ ( f1(x)≠1⇔f2(x)≠1 )　　← 対偶を追加しても同値
　⇔ ( f1(x)=1⇔f2(x)=1 ) かつ ( f1(x)=0⇔f2(x)=0 )　　← 0,1しか値の候補がない
　⇔ 任意の x に対して f1(x)=f2(x)　　← 1つ上と同様、0,1しか値の候補がないから
　⇔ f1=f2

全射: 任意のX'∈Ρ(X)つまり、X'⊂X に対し、f^(-1)(1)=X' となる f の存在を示す

　任意の X' に対し、
　　f(x)=1 ( x∈X' の場合 )
　　f(x)=0 ( その他 )
　と f を定義すれば f^(-1)=X' となる。つまりそのような f は常に存在する

(3)
Ψ:X x→g=: f→f(x) が単射ということで、
g1=Ψ(x1),g2=Ψ(x2) に対して g1=g2⇒x1=x2 を示します
なお、g=Ψ(x) に対して g(f)=f(x) つまり、Ψ(x)(f)=f(x) であることに注意

　g1=g2
　⇔ 任意の f に対して g1(f)=g2(f)
　⇔ 任意の f に対して f(x1)=f(x2)
　⇒ Yの2要素 y1,y2∈Y ( y1≠y2 ) に対して、f'(x1)=y1, f'(x)=y2 ( x≠x1 ) となる f' に対して
　　f'(x1)=f'(x2) つまり、f'(x2)=y1 なので x1=x2
　　※ x1≠x2 だと f'(x2)=y2≠y1 となり矛盾

No.44703 - 2017/07/17(Mon) 01:11:03

☆ 補足 / angel

(3) についてですが、|Y|≧2 と条件があるのは、上の証明で
「Yの2要素y1,y2」というのを取って来ることができるように、ですね。

後(2)について直感的に言えば、
　Xの部分集合をつくる
　→ Xのどの要素を抽出するか?
　→ Xの各要素につき、必要/不要を割り当てる
ということを考えると、「部分集合の作り方」と「X→{必要,不要}の写像」というのは実は同じものとみなすことができるのですね。
※この問題では{必要,不要}の代わりに{0,1}という集合にしていますが

Ρ(X)というのは「部分集合全体」つまり、「部分集合の作り方全てのレシピ」と同一視できる、つまり「必要/不要を割り当てるやり方(写像)全体」と同一視できるので、全単射なのはある意味当たり前なのです。

No.44704 - 2017/07/17(Mon) 01:16:26

★ 複素平面の問題 / たなお

こんにちは。
複素平面の問題でわからないものがあります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
w = (1+z)/(1-z) とする。点 z が次の円の上を動くとき、点 w はどんな図形をえがくか。

（１）|z| = 1
（２）|z| = 2

＜答え＞
（１）虚軸
（２）中心が-(5/3)、半径が4/3の円
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（１）は解けましたが、（２）が解けません。解法を教えていただけないでしょうか。
ちなみに、（１）をどうやって解いたか下に載せます。（１）についても、もっと簡単な解き方があれば教えていただきたいと思います。

よろしくお願いいたします。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（１）の解法

z = a + bi, w = x + yi とする。与えられた条件より、

　　(1 - z)w = 1 + z

　⇔a + bi - (ax + ayi + bxi - by) = 1 + x + yi

　⇔(a -ax + by) + (b - bx - ay)i = (x + 1) + yi

係数を比較して

　　a(1 - x) + by = x + 1　・・・　※１
　　b(1 - x) - ay = y　　　・・・　※２

※２より

　　y = b(1 - x)/(a + 1)

※１に代入して

　　a(1 - x) + (b^2)(1 - x)/(a + 1) = x + 1

　⇔{a + (b^2)/(a + 1)}(1 - x) = x + 1

　⇔{(a^2 + b^2 + a)/(a+1)}(1 - x) = x + 1

|z| = 1 より、a^2 + b^2 = 1 なので

　1 - x = x + 1

　∴x = 0

よって、w は虚軸を表す。

No.44677 - 2017/07/16(Sun) 16:02:30

☆ Re: 複素平面の問題 / IT

分母≠0など細かい点は抜きにして

w = (1+z)/(1-z) より　z=(w-1)/(w+1)
|z|=2 より
|(w-1)/(w+1)|=2
|w-1|=2|w+1|
|w-1|^2=4|w+1|^2
ww~-w-w~+1=4(ww~+w+w~+1)
3ww~+5w+5w~+3=0
(w+5/3)(w~+5/3)-16/9=0
|w+5/3|^2=(4/3)^2

（１）も同様にできます。

No.44679 - 2017/07/16(Sun) 16:33:14

☆ Re: 複素平面の問題 / たなお

ITさん

ありがとうございます！理解できました。

一点質問なのですが、「w~」という表記を初めて見るのですが、これは何でしょうか？無知ですいません。

No.44681 - 2017/07/16(Sun) 16:48:32

☆ Re: 複素平面の問題 / IT

注意書きを忘れていましたが理解されたということは、推測していただけたのだと思いますが、

「wの共役複素数」を便宜的に「w~」と書きました。

No.44682 - 2017/07/16(Sun) 17:01:39

☆ Re: 複素平面の問題 / たなお

ITさん

回答ありがとうございます。wの共役複素数ということですね！
おそらくそうだろうとは推測しましたが、念のため確認させていただきました。

ありがとうございました！助かりました！

No.44683 - 2017/07/16(Sun) 17:10:16

★ (No Subject) / ジオット・セヴェルス

nを3以上の自然数とする。このとき、正2n角形の頂点から無作為に異なる4頂点を選び、それぞれをA,B,C,Dとする。

(1)△ABCが直角三角形である確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dから3頂点を選んで得られるすべての三角形の集合を考える。その集合の少なくとも1つの要素が直角三角形である確率を求めよ。
(3)△ABCが鈍角三角形である確率を求めよ。

No.44676 - 2017/07/16(Sun) 15:59:51

☆ Re: / たなお

回答させていただきます。

「円に内接する三角形の角度」の知識を応用すればいいと思います。
円（中心点がO）に内接する三角形ABCについて、∠ACB = (1/2)∠AOBとなります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（１）円に内接する三角形の１つの辺が円の直径のとき、内接する三角形は直角三角形となることを考えると、三角形ABCが直角三角形になるには

　★パターン１
　　　Aの正面にBかCが来る。
　★パターン２
　　　BとCが互いに正面になる。

のいずれかになっていれば良いです。
それぞれ何通りか求めれば、確率の計算はできます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（２）今度は、A,B,C,Dのどの３点を選んでも直角三角形にならない確率を、全体から引けば求められます。要するに、

　A,B,C,Dのどの点も、互いに正面にならない確率

を全体から引いてください。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（３）三角形ABCが鈍角三角形であるには、円に内接する三角形の角度の性質より、以下のパターンを考えればいいです。

　★パターン１
　　AとBが正面でない　かつ　Cが弧AB（短い方）上に存在する。

　★パターン２
　　BとCが正面でない　かつ　Aが弧BC（短い方）上に存在する。

　★パターン３
　　CとAが正面でない　かつ　Bが弧CA（短い方）上に存在する。

正確には「弧」ではありませんが、便宜上「弧」という単語を使いました。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以上です。
ちなみに、上記は全て各点を区別した場合の考え方です。
もし区別しないでいいのなら、もう少し考えるパターンを減らせますが、各点にA,B,C,Dと名前がついているので、おそらく区別して考えていいでしょう。

間違いなどがあればご指摘願います。

No.44678 - 2017/07/16(Sun) 16:29:18

☆ Re: / たなお

ちなみに、「上記は全て各点を区別した場合の考え方」と言いましたが、今回の場合は実際に計算すると、区別してもしなくても、確率は同じになります。なので、（１）と（３）に関しては以下の様に考えてもいいです。

（１）：３点のうち２点が互いに正面になる確率を求める
（２）：３点のうち２点が互いに正面でなく、かつ残り１点が他２点の短い方の弧上に存在する確率を求める

また、その場合は全体も3分の1にして計算してください。

ただし、一般的に名前がついていれば基本は区別するということを忘れないでください。今回の場合はたまたま問題なく計算できるだけです。

No.44680 - 2017/07/16(Sun) 16:40:12

☆ Re: / angel

図形的性質について、すでにたなおさんが説明されていますが、実際に確率を計算するにあたっては、大きく2通り、場面によって使い易さが変わる場合がありますから、見極められると楽できます。

その2通りとは、ざっくり言うと次の通りです

* 組み合わせベース
　(問題の条件に合う組み合わせ数)÷(全体の組み合わせ数) を計算する
* 確率の掛け算ベース
　1点ずつ順番に決めて行って、都度確率を掛けていく ( + 場合分け )

(1)なら両方同じくらい楽にできます。
* 組み合わせベース
　全体 … 2nC3 = 2n(2n-1)(2n-2)/6
　直角三角形 … 斜辺(直径)の取り方が n 通り、残り直角の頂点が 2n-2 通り、組み合わせ n(2n-2)通り
　割り算して 3/(2n-1)
* 確率ベース
　点Aは任意に取り、
　　点Bが対面に来る … 確率 1/(2n-1)
　　点Bが対面に来ず、CがA or B の対面 … 確率 (2n-2)/(2n-1)×2/(2n-2)
　合計で 3/(2n-1)

(2) 組み合わせベースはちょっとキツイ…?
* 確率ベース
　点Aは任意、
　点BはAの対面以外、確率 (2n-2)/(2n-1)
　点CはA,Bの対面以外、確率 (2n-4)/(2n-2)
　点DはA,B,Cの対面以外、確率 (2n-6)/(2n-3)
　掛け合わせて、4(n-2)(n-3)/(2n-1)(2n-3)

(3) 組み合わせの方が楽ですかね
* 組み合わせベース
　全体 … 2nC3 = 2n(2n-1)(2n-2)/6
　鈍角三角形
　　鈍角になる頂点 2n通り
　　残り2頂点は、鈍角になる頂点を挟んで、間の点(鈍角の頂点含む)が1～n-2個に収まること
　　※間の点がn-1個だと直角三角形になる。その手前まで
　　間の点が k 個なら、2頂点の決め方は k通り、全部で 1+2+…+(n-2)=1/2・(n-1)(n-2)
　　結局、2n・1/2・(n-1)(n-2)=n(n-1)(n-2)通り
　割り算して 3(n-2)/2(2n-1)

No.44707 - 2017/07/17(Mon) 09:26:07