ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高3 / しら

cosx+cosy=a
sinx+siny=b
ただしx,yは0からπとする
このx,yの範囲に解を持つようなa,bの存在範囲を図示せよ。

No.45158 - 2017/08/09(Wed) 22:44:04

☆ Re: 高3 / しら

教えてください！

No.45159 - 2017/08/09(Wed) 22:44:28

☆ Re: 高3 / ねふぇる

これじゃだめですか？

No.45161 - 2017/08/09(Wed) 22:53:39

☆ Re: 高3 / しら

一文字固定して出す方法はどうやればいいのでしょうか

No.45180 - 2017/08/10(Thu) 02:50:15

☆ Re: 高3 / angel

うーん…。
x,yの条件がなければ a^2+b^2≦4 だけで終わるのですが、x,yの範囲が定められてしまうとなかなか厳しいところです。

図形的に見るか、三角関数の性質を利用するか ( 実はどちらでもやってることは同じなのですが )、どちらかが必要です。

さて
> ただしx,yは0からπとする
これ、細かく分からないのですが、0＜x,y＜π としておきます。＜ではなく≦でもまあ少し違うだけなので。
それから、x≧y という条件も追加しておきます。追加しても問題的には全く影響がないので安全です。
※解答的には「x≧yと仮定して一般性を失わない」とかそんなやつ

さて、では問題の条件を
　cosx+cosy=a ⇔ 2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)=a
　sinx+siny=b ⇔ 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)=b
に変換しておきます。三角関数の和積ってやつです。

で、このままだと見辛いので、θ=(x+y)/2, φ=(x-y)/2 を導入しておきます。同時に x=θ+φ, y=θ-φ です。
0＜y≦x＜π から、
　0≦φ＜π/2, 0≦φ＜θ＜π-φ≦π
と整理できて、元の条件は
　cosθcosφ=a/2
　sinθcosφ=b/2
両辺を2乗して足すことで
　(cosφ)^2=(a^2+b^2)/4
φの条件からcosφ＞0 が分かるので、
　cosφ=1/2・√(a^2+b^2)
　0＜√(a^2+b^2)≦2
同時に、
　cosθ=a/√(a^2+b^2)
　sinθ=b/√(a^2+b^2)
です。

で、θの大きさの条件から sinθ＞0 つまり b＞0
…後は cos の条件の問題となります。

cosの条件に関しては、0≦φ＜θ＜π-φ≦πから
　-cosφ＜cosθ＜cosφ
つまり、
　-1/2・√(a^2+b^2)＜a/√(a^2+b^2)＜1/2・√(a^2+b^2)
整理すると
　a^2+2a+b^2＞0 かつ a^2-2a+b^2＞0

最後にまとめです。
　0＜a^2+b^2≦4
　b＞0
　a^2+2a+b^2＞0
　a^2-2a+b^2＞0
この4条件が求めるものです。

図示すると、半径2の円から、左右の半径1の円2つをくりぬいた上側のような領域になります。( 描いてみて下さい )

No.45198 - 2017/08/10(Thu) 14:46:34

☆ Re: / sin

angelさんのやつでも正しいですがそんなことをやらなくてもいけます。
ベクトルで考えてP＝（cosx,sinx）,Q＝（cosy,siny）,R＝（a,b）としておいてベクトル方程式に置き換えて図示すれば一発です。答えはπです

No.45199 - 2017/08/10(Thu) 14:53:40

☆ Re: 高3 / angel

sinさん
> 答えはπです
ん? それはどういうことですか?

しらさん
> 図形的に見るか、三角関数の性質を利用するか ( 実はどちらでもやってることは同じなのですが )、どちらかが必要です。

図形的に見ると添付の図のようになります。図中のθ,φが上の説明のθ,φに相当します。
一番の肝の φ＜θ＜π-φ も一目瞭然かと。

No.45202 - 2017/08/10(Thu) 16:11:18

☆ Re: 高3 / sin

πは領域の面積ですすみません
おうぎ形が月の弧を描くように移動していくのが目に見えるベクトル方程式の方が計算いらずで簡単なのではと思いました

No.45203 - 2017/08/10(Thu) 16:29:43

☆ Re: 高3 / angel

まあ、確かに、半円をぐるっと、中心もやはり半円の上を動くように動かすと、この問題の答えの領域が浮かび上がってはくるのですが…。
ただ、解答がちょっと書き辛いですね。

No.45225 - 2017/08/10(Thu) 20:39:33

★ 高一数1 / ゆか

いつもありがとうございます。問5をよろしくお願いします

No.45156 - 2017/08/09(Wed) 18:15:12

☆ Re: 高一数1 / たなお

回答します。

1/(√3 - √2) の整数部分を n とすると

　　1/(√3 - √2) = n + a

また、1/(√3 - √2)を変形すると

　　1/(√3 - √2) = (√3 + √2)/{(√3 - √2)(√3 + √2)}
　　　　　　　　= √3 + √2

　　∴√3 + √2 = n + a

ここで、√3 ≒ 1.732、√2 ≒ 1.414 より n = 3 とわかるので、

　　√3 + √2 = 3 + a

　　∴(√3 + √2)^2 = (3 + a)^2
　　⇔3 + 2√6 + 2 = 9 + 6a + a^2
　　⇔a^2 + 6a + 8 = 4 + 2√6

よって選択肢Bが正解になります。

　　

No.45157 - 2017/08/09(Wed) 18:34:35

☆ 参考：不真面目な解答 / angel

真面目な解答は、もちろんたなおさんので良いのですが、1つ不真面目なバージョンも。

まず、1/(√3-√2)=√3+√2 ここまでは流石にやっておかないと厳しいです。

で、√3=1.732…、√2=1.414…から、ざっくり√3+√2≒3.15弱
つまり、小数部分 a≒0.15弱

そうすると、a^2 はせいぜい 0.02 程度なので殆ど影響はなくて、a^2+6a+8≒0.15×6+8 で 8.9程度

選択肢の中で、大きさが丁度合うのがBしかない、となります。
※例えばAなら、4+3√6=4+√(3^2×6)=4+√54＞4+√49=11 で大きすぎ
　Cだと 3+2√6=3+√24＜3+√25=8 で足りない、とか。

…文章にすると長いですが、慣れれば ( ファインマン先生ほどとはいかなくても ) すぐに計算できるので、できるようになって損はないです。

一応真面目な話もすると、機械的に計算する場合だと、途中ミスって変な値が出てもなかなか気付けないところ、具体的な大きさが見積もれると、チェックができて良い、というのがあります。

No.45166 - 2017/08/09(Wed) 23:43:16

★ 逆演算子（微分方程式） / たなお

添付画像の大問７の(2)について質問です。

(1) は証明できたのですが、(2)はどのように計算したらいいのでしょうか？
部分積分を使って力尽くで計算しようと思えばできるのですが、かなりめんどくさくなってしまいます。
このような問題の場合、全問で証明した式を利用するとかなり楽に計算できるのがセオリーだと思いますが、どうやったら楽に計算できるのかが分かりません。

楽な計算方法があればご教授願います。
※ちなみに記載されている正答は -x^3 でした。

No.45154 - 2017/08/09(Wed) 17:24:23

☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / たなお

補足です。
補足というより疑問かもしれませんが、部分積分を使って力尽くでけいさんすると、答えが

　-x^3 + x + 11/6

になるのですが、どこか計算がおかしいのでしょうか？
正答に記載されている通り -x^3 になりますか？

No.45155 - 2017/08/09(Wed) 18:11:35

☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / angel

> 答えが　-x^3 + x + 11/6　になるのですが、どこか計算がおかしいのでしょうか？

いえ、特に問題ないと思います。
答え -x^3 が正しいとするなら、問題の誤植でしょう。
x の係数が +30 ではなくて +36 になるはずです。
※逆の計算として (D-1)(D-2)(D-3)(-x^3) を計算してみるとそうなります

No.45167 - 2017/08/09(Wed) 23:47:23

☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / angel

> 部分積分を使って力尽くでけいさんすると、

それは少し力み過ぎな気が。

∫e^(-ax)・f(x)dx を部分積分してみると、

∫e^(-ax)・f(x)dx
= -1/a・e^(-ax)・f(x) - ∫(-1/a)・e^(-ax)・f'(x) dx
= -1/a・e^(-ax)・f(x) + 1/a・∫e^(-ax)・f'(x) dx

となって似た形に戻りますから、これを繰り返すと、

∫e^(-ax)・f(x)dx = -1/a・e^(-ax)・( f(x)+1/a・f'(x)+1/a^2・f''(x)+1/a^3・f'''(x)+… )

です。
今回のように f(x) が3次式だと、4階の微分でもう 0 になりますから、+… の部分がなくなりますね。

ちなみに、F(x)=6x^3-33x^2+36x-6 に対して ∫e^(-3x)・F(x)dx を計算する場合、

　x^3: 6 のまま
　x^2: -33+6×3/3=-27　※×3 は x^3 から、/3 はe^(-3x)から
　x^1: 36+(-27)×2/3=18
　x^0: -6+18×1/3=0

で、-1/3・e^(-3x)・(6x^3-27x^2+18x)=e^(-3x)・(-2x^3+9x^2-6x) とすると一発です。…まあ、覚えてもしようがない気はしますが。

No.45168 - 2017/08/10(Thu) 00:04:58

☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / たなお

angel さん

回答ありがとうございます。

やはり答えは-x^3 + x + 11/6になりますよね。
ありがとうございます。

やり方はやはりそれしかないですかね？私もそのやり方でやっていました（すこし説明不足でしたかね？）

与式は e^x∫e^x∫e^x∫e^(-3x)F(x)dxdxdx となるので、

　　p = ∫e^(-3x)F(x)dx　を計算（angelさんと同じ方法）
　　↓
　　q = ∫e^x・pdxを計算（angelさんと同じ方法）
　　↓
　　e^x∫e^x・qdxを計算（angelさんと同じ方法）

という順でやっていきました。
やはりそれしかないでしょうか？

No.45185 - 2017/08/10(Thu) 09:52:35

☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / ググ

それしかないか，という質問に対しては他にFourier変換(やLaplace変換)を使う方法も考えられます

Fourier変換のテーブルを使う場合積分計算を明に行う必要はなくなりますが，項数が多いので手数が多くなるのは仕方ないですね

x^3があるので，これをFourier変換して出て来るδ^(3)(k) [δ関数の3階微分]の前につく係数[1/{(D-1)(D-2)(D-3)}をFourier変換してでてくる1/{(ik-1)(ik-2)(ik-3)}のこと]δ^(3)(k)に吸収させるときに1/{(ik-1)(ik-2)(ik-3)}の3階微分の計算が必要になります．k=0での3階微分さえ分かればいいことと，部分分数分解を行うことで多少楽にできます

他には結果が多項式になることを使って積分ではなく微分操作で係数を決めていくという方法もありますが，これもひとつひとつの操作は楽ですが手数が多くなるのは変わりません

No.45196 - 2017/08/10(Thu) 14:07:41

☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / たなお

ググさん

回答ありがとうございます。

フーリエ変換はまだ未学習ですが、学習したときに試してみようと思います。
手数が多くなるのは仕方ないんですね。。。
ありがとうございました！

No.45197 - 2017/08/10(Thu) 14:42:13

★ 微分 / 受験生

⑴の解答のピンクのマーカー部分の変形がよく分かりません。

教えて下さい。お願いします！

No.45145 - 2017/08/09(Wed) 13:58:34

☆ Re: 微分 / たなお

回答します。

マーカー部分はf(x) の x = 1 における「導関数の定義の形」になっています。
問題文に、「f(x) の x = 1 における微分係数が存在する」と条件がありますよね？なのでマーカー部分を「f '(x)」と表すことができます。

No.45147 - 2017/08/09(Wed) 14:38:25

☆ Re: 微分 / たなお

補足です。
分かりにくければ、x = 1 + h とおき、さらに x → 1 を h → 0 と置き換えれば、さらに定義の形に近くなると思います。

No.45148 - 2017/08/09(Wed) 14:41:54

☆ Re: 微分 / たなお

すいません、回答に訂正があります。

誤：「f '(x)」と表すことができます。
正：「f '(1)」と表すことができます。

No.45149 - 2017/08/09(Wed) 14:43:15

☆ Re: 微分 / 受験生

ありがとうございます！理解できました！

No.45151 - 2017/08/09(Wed) 16:34:18

★ (No Subject) / 風薙豹

関数g(x)を次の式で定めるとき、g(x)の最小値を求めよ。

g(x)=(1/π)*∫[-π/2～π/2]{xcost+(1-x)sint}^2dt

考え方を教えてください。

No.45138 - 2017/08/08(Tue) 23:54:10

☆ Re: / たなお

回答します。

まず、{xcost+(1-x)sint}^2 を変形してみましょう。

　　　{xcost+(1-x)sint}^2
　　= (xcost)^2 + (1 - 2x + x^2)(sint)^2
　　= x^2 + (1 - 2x)(sint)^2

ここで、(sint)^2 = (1 - cos2t)/2 を利用して、

　　　x^2 + (1 - 2x)(sint)^2
　　= x^2 + (1 - 2x)(1 - cos2t)/2
　　= x^2 - x + 1/2 - (1 - 2x)/2・cos2t

とできます。これを t で不定積分すると

　　　∫{x^2 - x + 1/2 - (1 - 2x)/2・cos2t} dt
　　= (x^2 - x + 1/2)t - (1 - 2x)/4・sin2t　　・・・（１）

となります。
問題文の定積分に当てはめると

　　　(1/π)∫[-π/2～π/2]{x^2 - x + 1/2 - (1 - 2x)/2・cos2t} dt
　　= (1/π){(x^2 - x + 1/2)(π/2) - (x^2 - x + 1/2)(-π/2)}
　　= x^2 - x + 1/2

となります。あとはこの関数の最大最小を求めればいいです。

No.45140 - 2017/08/09(Wed) 09:33:09

☆ Re: / たなお

補足です。
上記の解説は、x と t が互いに独立変数である前提で記載しています。

No.45142 - 2017/08/09(Wed) 09:38:00

☆ Re: / angel

たなおさん

結果的には変わらないのですが、途中の計算に一部間違いがあるようです。

>　　　{xcost+(1-x)sint}^2
>　　= (xcost)^2 + (1 - 2x + x^2)(sint)^2

最初のこの部分ですが、2x(1-x)sint・cost の項が抜けています。
尤も、この部分を積分計算すると 0 になるため、結果には影響はしないのですが。

No.45143 - 2017/08/09(Wed) 12:58:35

☆ 補足 / angel

今回、三角関数の2次式の積分が出てくるため、倍角の公式を適用して積分計算…という流れを先に掴んだら、そこだけ咲きに整理してしまった方が計算は分かりやすくなります。

sin,cosの積分は、区間が周期にはまると相CENSORED 0 になります。
今回の場合、倍角の積分
　∫[-π/2,π/2] sin2t dt = 0
　∫[-π/2,π/2] cos2t dt = 0
が該当します。

で、倍角の公式として
　sint・cost = 1/2・sin2t
　(cost)^2 = 1/2+1/2・cos2t
　(sint)^2 = 1/2-1/2・cos2t
から、
　∫[-π/2,π/2] sint・cost dt = 0
　∫[-π/2,π/2] (sint)^2 dt = π/2
　∫[-π/2,π/2] (cost)^2 dt = π/2
よって、
　g(x)
　=1/π・(
　　　　x^2・∫[-π/2,π/2] (cost)^2 dt
　　　+ 2x(1-x)∫[-π/2,π/2] sint・cost dt
　　　+ (1-x)^2・∫[-π/2,π/2] (sint)^2 dt
　　)
　=1/π・( x^2・π/2 + 2x(1-x)・0 + (1-x)^2・π/2 )
　=1/2・( x^2 + (1-x)^2 )
　※以下略

という感じです。

No.45144 - 2017/08/09(Wed) 13:15:41

☆ Re: / たなお

angel さん

指摘ありがとうございます。

No.45146 - 2017/08/09(Wed) 14:32:26

★ 対称式について / 数学復習中

対称式の公式の変形なのですが、添付画像の2つ目の式から3つ目の式へなぜ変形できるのか思いつきません。どのような考え方でやればいいのでしょうか？

No.45135 - 2017/08/08(Tue) 21:44:52

☆ Re: 対称式について / らすかる

この部分だけ書かれてもわかりません。
（何も条件がないとしたら、2つ目の式から3つ目の式には変形できません。）
問題・解答・別解など、関係ありそうなものは全て書いて下さい。

# もしかして、x+y=2,xy=-1という条件があるのでは？

No.45136 - 2017/08/08(Tue) 21:57:37

☆ Re: 対称式について / 数学復習中

> # もしかして、x+y=2,xy=-1という条件があるのでは？
ありがとうございます。その通りでした。
一般化した説明だと思い込んでいましたが、全問の条件を踏まえた上での話でした。
当方、社会人で高校数学を1Aから3Cまで復習してみようかと思った矢先につまづきましたが大変助かりました。
宜しければオススメの参考書等教えていただけるとありがたいです、

No.45137 - 2017/08/08(Tue) 22:07:37

★ (No Subject) / 高3(理系)

任意の実数xに対して、不等式1+kx²≦cosxが成り立つような定数kの範囲を求めよ。

よろしくお願いします。

No.45130 - 2017/08/08(Tue) 19:47:21

☆ Re: / X

方針を。

問題の不等式を(A)とします。
x=0のとき、kの値によらず(A)は成立。
よってx≠0のときを考えます。
このとき
(A)⇔k≦(cosx-1)/x^2
ここで
f(x)=(cosx-1)/x^2
と置いて、x≠0におけるf(x)の増減表を書くと
a,bをある定数(但しa＜b)として
f(x)の値の範囲が
a＜f(x)≦b
の形になることが分かります。

よって求めるkの値の範囲は
k≦a
後はこのaの値を求めることを考えるわけですが
この値がどの値を指しているかを、f(x)の
増減表を書きながら考えて下さい。
(考えた上で分からないのであればその旨を
アップして下さい。)

No.45131 - 2017/08/08(Tue) 20:10:17

☆ Re: / 高3(理系)

f(x)の増減表が書けないのですが…。(微分しても正負判定ができませんでした)

No.45249 - 2017/08/11(Fri) 14:02:50

★ (No Subject) / iPhone7

関数f(θ)=(sinθ)^(n+2)+a^n*(cosθ)^(n+2) (0≦θ≦π/2)の最大値・最小値を求めよ。ただし、nは自然数、aは正の定数とする。

という問題が分かりません…。解法をご教授願います。

No.45122 - 2017/08/08(Tue) 11:42:14

☆ Re: / たなお

回答します。
ちなみに微分は学習済みでしょうか？学習済みの前提で解説します。

　　f'(θ) = (n+2)(sinθ)^(n+1)・cosθ - (a^n)(n+2)(cosθ)^(n+1)・sinθ

関数f(θ)が最大値・最小値を取るとき、f'(θ) = 0 なので

　　(n+2)(sinθ)^(n+1)・cosθ - (a^n)(n+2)(cosθ)^(n+1)・sinθ = 0
　⇔(n+2)(sinθ)^(n+1)・cosθ = (a^n)(n+2)(cosθ)^(n+1)・sinθ
　⇔(sinθ)^n = (a^n)(cosθ)^n
　⇔sinθ = acosθ

よって、sinθ = acosθ のとき、f(θ)は極値をとる。
これを与式に代入すると

　　f(θ)=(sinθ)^2・(acosθ)^n + (cosθ)^2・(acosθ)^n
　　　　={(sinθ)^2 + (cosθ)^2}(acosθ)^n
　　　　=(acosθ)^n

よって、
n が奇数のとき：最大値は a^n (θ=0,2π)、最小値は -a^n (θ=π)
n が偶数のとき：最大値は a^n (θ=0,π,2π)、最小値は 0 (θ=π/2,3π/2)

以上です。

No.45124 - 2017/08/08(Tue) 14:25:30

☆ Re: / たなお

すいません、先ほどの解説は間違っているかもしれないので一度取り下げさせてください。

No.45125 - 2017/08/08(Tue) 14:51:39

☆ Re: / ググ

最大・最小を取る可能性があるのは
端点θ=0,π/2
か，微係数が0になる点θ=α
f'(α)=0, 0<α<π/2
のどれかです

（必要ならたなおさんの回答を参考にして）微分計算を進めると，αの満たす条件は
sinα=acosα
と整理されます．さらに
cosα=1/√(a^2+1)
まで進めてもいいです

これらの点でのfの取る値f(0),f(π/2),f(α)はそれぞれ
a^n, 1, a^n/{(a^2+1)^(n/2)}
ですので，この3つのうちの最小値および最大値が求める値になります

確認は簡単なので省きますが，
最小値: a^n/{(a^2+1)^(n/2)}
最大値: max{1,a^n}
です．最大値のみaの値で場合分けが必要ということです

No.45126 - 2017/08/08(Tue) 16:16:15

☆ Re: / たなお

解説訂正しました。
途中から書きます。

関数f(θ)が最大値・最小値を取るとき、f'(θ) = 0 なので

　　　(n+2)(sinθ)^(n+1)・cosθ - (a^n)(n+2)(cosθ)^(n+1)・sinθ = 0
　　⇔cosθ・sinθ・{(sinθ)^n - (acosθ)^n} = 0

よって、極値をとるのは
cosθ = 0 または sinθ = 0 または (sinθ)^n - (acosθ)^n = 0 のときである。

　★cosθ = 0 のとき

　　　f = (sinθ)^(n+2)

　　　　　n が奇数のとき、

　　　　　　　f = 1 （θ = π/2）　または　f = -1 （θ = 3π/2）

　　　　　n が偶数のとき、

　　　　　　　f = 1 （θ = π/2 , 3π/2）

　★sinθ = 0 のとき

　　　f = (a^n)(cosθ)^(n+2)

　　　　　n が奇数のとき、

　　　　　　　f = a^n （θ = 0 , 2π）　または　f = -a^n （θ = π）

　　　　　n が偶数のとき、

　　　　　　　f = a^n （θ = 0 , π , 2π）

　★(sinθ)^n - (acosθ)^n = 0 のとき

　　　与式に(sinθ)^n = (acosθ)^n を代入して

　　　　f = (acosθ)^n　　・・・（１）

　　　(sinθ)^n - (acosθ)^n = 0 より、

　　　　θ = arctan(a)　・・・（２）

　　　cosθを変形すると

　　　　cosθ = √{(cosθ)^2}
　　　　　　　= √{1/(1 + (tanθ^2))}　・・・（３）

　　　（１）に（２）と（３）を代入して

　　　　f = a^n・√{1/(1 + a^2)}^n
　　　　　= √{(a^2)/(1 + a^2)}^n
　　　　　< 1

　　　また、

　　　a^n = √(a^2)n
　　　　　> √{(a^2)/(1 + a^2)}^n

以上より、まとめると

n が奇数のとき：
　　a > 1 の場合：最大値 a^n、最小値 -a^n
　　a ≦ 1 の場合：最大値 1 、最小値 -1

n が偶数のとき：
　　a > 1 の場合：最大値 a^n、最小値 √{(a^2)/(1 + a^2)}^n
　　a ≦ 1 の場合：最大値 1 、最小値 √{(a^2)/(1 + a^2)}^n

No.45127 - 2017/08/08(Tue) 16:16:58

☆ Re: / たなお

＞ググさん
投稿のタイミングが被ってしまいましたね(^^;;

最大値だけでなく、最小値も場合分けが必要かと思います。
実際、エクセルでグラフを書いてみればわかりますが、f はマイナスの値も取ります。

No.45128 - 2017/08/08(Tue) 16:22:35

☆ Re: / たなお

すいません、範囲を(0≦θ≦2π)と見間違えてました！
ググさんの解説は間違ってません。
すいません。

No.45129 - 2017/08/08(Tue) 16:24:04

★ 複素 / 七分咲きの桜華

[問]
f(x)=x^4-14x^3/5+98x^2/25+cx+d (c,dは実数)とする。

また、方程式f(x)=0は次の条件(ア)、(イ)を満たす虚数解α,βをもつとする。
(ア)|α|=|β|=1 (イ)0°<argα<argβ<180°

このとき、c,d,α,βを求めよ。

だいたいの方針だけでも(細かい計算は省略していただいても)構いませんので、解説をお願いします。

No.45121 - 2017/08/08(Tue) 11:35:07

☆ Re: 複素 / angel

鍵は複素共役です。これに気付けば大きく前進、逆に気付かないと厳しいでしょう。

この方程式は、係数が全て実数ですから、非実数解に対しては、必ずその複素共役も解になります。
ところが、今回argの範囲から、α,βとで複素共役のペアにはなりえません。

ということは、α,βそれぞれで別の複素共役の数がこの方程式の解になるわけで、解は全部で α,~α,β,~βの4つで確定 ( 4次方程式ですから )
結局 f(x)=(x-α)(x-~α)(x-β)(x-~β)

あとは計算ですが、α,βやargで進めると分かりにくいので、実部 a=re(α), b=re(β) あたりを導入する感じで。
複素共役の性質として、z~z=|z|^2 や z+~z=2re(z) を活かしてまとめていきましょう。

No.45123 - 2017/08/08(Tue) 13:05:59

★ (No Subject) / 健児

√２×√５が√１０になることを方眼紙上で説明するにはどうしたらよいですか？また、同様に√２＋√２が２√２になることも説明してください。お願いします。

No.45117 - 2017/08/07(Mon) 22:32:02

☆ Re: / らすかる

どういう解答が求められているのかよくわかりませんので、
以下の回答は求められているものと違うかも知れません。

> √２×√５が√１０になることを方眼紙上で説明するにはどうしたらよいですか？

(1) 方眼紙に-4≦x≦4,-4≦y≦4の範囲の座標軸を作ります。
(2) 点A(1,0)を中心として(0,1)を通る円を描き、
　この円とx=1との交点のうちy座標が正の方をBとします。
　Bは(1,√2)ですからAB=√2です。
(3) 原点O(0,0)を中心として(2,1)を通る円を描き、
　この円とx軸との交点のうちx座標が正の方をCとします。
　Cは(√5,0)です。
(4) Cを通りy軸と平行な直線と直線OBとの交点をDとします。
　直線OBはy=(√2)xですから、Dのy座標は√2×√5です。
(5) Dを通りx軸と平行な直線とy軸との交点をEとし、
　原点Oを中心としてEを通る円を描くと、この円が(3,1)を通ることから
　Dのy座標が√10となっていることが確認できます。

> また、同様に√２＋√２が２√２になることも説明してください。お願いします。

(0,0)から(2,2)までの線分を引くとこの線分は(1,1)を通り、
(0,0)から(1,1)までの長さは√2、(1,1)から(2,2)までの長さは√2なので
この線分の長さは√2+√2です。
一方(0,0)から(2,2)までの長さは√(2^2+2^2)=2√(1+1)=2√2ですから
√2+√2=2√2となります。

No.45118 - 2017/08/07(Mon) 23:08:18

☆ 別解 / angel

なんというか…不可思議な問題ですが。

次のような「三平方の定理」ベースの説明ではどうでしょうか。

左上の正方形のように、正方形の一辺と対角線の長さの比は、
　1 : √(1^2+1^2) = 1 : √2
です。

そこで右下に注目すると、
緑の線分は、
　・長さ√(2^2+1^2)=√5 の正方形の対角線、√5×√2
　・紫の長方形の対角線√(3^2+1^2)=√10

ということで、√5×√2=√10 となります。

No.45119 - 2017/08/07(Mon) 23:42:40

★ 高３定積分 / あり

なぜかいとうが1/aになるのかがわかりません。

不定積分の関数型はexp(-ax)/-a になると考えていますが。。。

No.45108 - 2017/08/07(Mon) 19:07:27

☆ Re: 高３定積分 / angel

「定積分」とあって、確かに間違ってはいないのですが、これは定積分と極限の複合ですよ。

つまり、
　∫[0,+∞] e^(-ax) dx = lim[t→+∞]∫[0,t] e^(-ax) dx
ということです。

なので、定積分を求めて、それから極限を考えましょう。
「不定積分」はあっているので、そこからすすめて問題ないかと思います。

なお、a≦0 だと発散しますので注意が必要です。

No.45109 - 2017/08/07(Mon) 19:20:10

☆ Re: 高３定積分 / あり

> 「定積分」とあって、確かに間違ってはいないのですが、これは定積分と極限の複合ですよ。
>
ありがとうございます。
不定積分からの進め方に難渋しております

> つまり、
> 　∫[0,+∞] e^(-ax) dx = lim[t→+∞]∫[0,t] e^(-ax) dx
> ということです。
>
> なので、定積分を求めて、それから極限を考えましょう。
> 「不定積分」はあっているので、そこからすすめて問題ないかと思います。
>
> なお、a≦0 だと発散しますので注意が必要です。

No.45110 - 2017/08/07(Mon) 19:31:06

☆ Re: 高３定積分 / angel

> 不定積分からの進め方に難渋しております

なるほど。

この問題に限らず一般的な話として、不定積分 F(x)=∫f(x)dx が分かっているのであれば、定積分は

　∫[p,q]f(x)dx = F(q)-F(p)

という計算になります。

今回の場合は、
　F(x)=e^(-ax)・(-1/a)
　p=0, q=t
のケースにあてはまりますね。

一旦 t 混じりの式として定積分が求まります。その後 t→+∞の極限です。

No.45113 - 2017/08/07(Mon) 19:49:48

☆ Re: 高３定積分 / あり

ありがとうございます
はい.qに無限を代入してそこからpにゼロを代入したものを引けば良いのはわかっているのですが無限をいれるとどういう値になるのかがわからなくて困っています

No.45114 - 2017/08/07(Mon) 20:34:25

☆ Re: 高３定積分 / angel

> 無限をいれるとどういう値になるのか
そこが極限ですね。「無限をいれる」というのは気持ちとしては分かるのですが、ややもすると誤解の元ですので…。
「無限に大きくする」や「無限に近づける」です。

∫[0,t] e^(-ax) dx = 1/a - 1/a・e^(-at)
いえ、 1/a - 1/( a・e^(at) ) と変形した方が分かり易いでしょうか。

これの t→+∞ での極限ということです。

で、a=1 や a=2 等具体例を試してみて下さい。
t を大きくすれば e^(at) の部分は際限なく大きくなりますから、逆に 1/( a・e^(at) ) と逆数になっていれば 0 に収束 ( 近づく ) ということです。

残るのは 1/a ということです。

No.45115 - 2017/08/07(Mon) 20:57:07

☆ 補足 / angel

あ。ちなみに収束するのは a＞0 の場合なので念のため。

a=0 の場合はそもそも積分計算が別
※e^(-ax)=e^0=1 なので定数関数の積分、不定積分は ∫dx=x+C

a＜0の場合は逆にe^(-at) は、t が大きくなるにつれ指数部分も大きくなり+∞に発散です。

No.45116 - 2017/08/07(Mon) 21:52:12

☆ Re: 高３定積分 / あり

2日考えてようやく分かりました。
ありがとうございました。
分からなかった理由はx=0の場合を無視して定積分しようとしたことでした。どうせ0だから定積分しても引かれる項はゼロだろうという安易な予断でした。つまりxに極限を代入した場合のみを考えていた訳です。(つまり答えが1/( a・e^(at) =0になる)
ゼロを代入すると結果的に1/aになることがよく分かりました。
有難うございました
> ∫[0,t] e^(-ax) dx = 1/a - 1/a・e^(-at)
> いえ、 1/a - 1/( a・e^(at) ) と変形した方が分かり易いでしょうか。

No.45150 - 2017/08/09(Wed) 15:53:17

★ 言語 / ζ

日本語の数オリの本と英語で書かれた数オリの本とでは、どちらの方が解答が分かりやすいのでしょうか？

No.45100 - 2017/08/07(Mon) 15:07:03

☆ Re: 言語 / ζ

というのも、日本語の数学の本と英語の数学の本とでは、どちらの方が理解しやすいのでしょうか？

No.45101 - 2017/08/07(Mon) 15:54:35

☆ Re: 言語 / angel

んー? それはなかなか答えがない質問のような気も。

前提によって色々かわるでしょうからね。

ただ、日本語が母語であって、英語はnative並に達していないという話であれば、英語の方が難しいのが自然ですね。

どのレベルを目指されているか分かりませんが、IMOレベルだと、図示されたものを見てほぼほぼ理解できる、なんてことはありえないので、処理や概念・判断、全部英語で読み解かないと、ということで、最初から意味がとれる日本語の方が…とは思います。

ただ、見方を変えれば、日本語でも英語でもどっちでも同じくらい分からないものなので、どっちでも変わらないとも言えそうです。

まずは、jmoのサイトにある解説と、usamo肝連のとを読み比べてみては。今時だと紙の書籍に拘る理由もないですし。

No.45111 - 2017/08/07(Mon) 19:41:06

☆ Re: 言語 / ζ

ご回答ありがとうございました。

No.45112 - 2017/08/07(Mon) 19:44:11

★ 平面ベクトル / rua

(1)OD=sOA+tOB、s+t=より、
OB=3/2OCを代入して、OD=sOA+3/2tOC、s+3/2t=1
ここからの解法教えてください、よろしくお願いします！

No.45097 - 2017/08/07(Mon) 11:45:06

☆ Re: 平面ベクトル / たなお

回答します。

まず間違いがあるのでその指摘をさせていただきます。
「OB=3/2OCを代入して、OD=sOA+3/2tOC、s+3/2t=1」と記載していますが、s+3/2t=1 ではありません。これだと s + t = 1 が成り立ちません。OB=3/2OCを代入したからといって、条件を変えてはいけません。

ここから解法です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
条件より

　　OD = sOA + tOB
　　　　= sOA + (1-s)OB
　　　　= sOA + {3(1-s)/2}OC

　　OM = (OA + OC)/2

ここで、OD = kOM なので、

　　sOA + {3(1-s)/2}OC = (k/2)OA + (k/2)OC

　　∴ k/2 = s　　　　　・・・（１）
　　　k/2 = 3(1-s)/2　　・・・（２）

（１）を（２）に代入して

　　k = 3(1-k/2)
　⇔2k = 6 - 3k
　⇔5k = 6

　　∴k = 6/5
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以上です。
分からないところなどがあれば再度質問願います。

No.45098 - 2017/08/07(Mon) 13:05:00

☆ Re: 平面ベクトル / たなお

補足です。
もし、s + 3/2t = 1 が成り立つとすると、u = 3/2tと置けば

　OX = sOA+uOC

と書くことができ、Xは線分AC上の点を表します。
ちなみに、s = u = 1/2 であれば、

　(1/2)OA + (1/2)OC = OM

となり、中点Mを表していることになります。

No.45099 - 2017/08/07(Mon) 13:16:50

★ 微分積分 / rua

放物線y=x^2-2x+4に原点Oから2本の接線を引くとき、放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
解答はS=16/3です。よろしくお願いします。

No.45095 - 2017/08/07(Mon) 00:18:56

☆ Re: 微分積分 / angel

地道にやっても次の手順でできますね。

・接線を y=mx とおく
・「接する」という条件を整備、
　x^2-2x+4=mx が重解を持つ ( 判別式 D=0 ) から m を決定 ( 2個 )
・それぞれの m の値に応じて x^2-2x+4=mx を解いて接点の x 座標を求める
・∫[α,0] ( x^2-2x+4-m1x ) dx + ∫[0,β] ( x^2-2x+4-m2x ) dx を計算する
　※ m1,m2 は上で決定した2個の m の値
　　α,βはm1,m2に対応する接点の x 座標。ただし α＜0＜β になるように m1,m2 を調整

ただ、気付けば上の手順を踏まなくても
　∫[-2,0] (x+2)^2・dx + ∫[0,2] (x-2)^2・dx
　= 1/3・2^3・2 = 16/3
で一発です。
※まずは上の手順を踏んでみるところからでしょうか

No.45096 - 2017/08/07(Mon) 00:44:12