ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高一数1 / タカ

二行目まではりかいしているのですが、マークで引っ張った^2が何故消えたのか。また(a-b)の^2を外したら(a-b)は3つあるはずなのにどうして2つになるのか分かりません…
宜しくお願い致します。

No.45105 - 2017/08/07(Mon) 18:08:34

☆ Re: 高一数1 / ググ

(a-b)^2 - c(a-b)
= (a-b)(a-b) - c(a-b)
= (a-b){(a-b) - c}

なら分かりますか？
これでも分からないのならもうワンクッション入れて
(a-b)^2 - c(a-b)
= (a-b)(a-b) - c(a-b)
= (a-b)A - cA [ただし上の式でa-b=Aと置いた]
= A{(a-b)-c}
=(a-b){(a-b)-c}
ならどうですか？

No.45106 - 2017/08/07(Mon) 18:13:18

☆ Re: 高一数1 / タカ

ワンクッション入れた方でよく分かりました！
感謝します！

No.45107 - 2017/08/07(Mon) 18:23:37

★ 平面ベクトル / がん

平面ベクトルの長さの比について質問です。

線分ＢＣがありその線分ＢＣをｂ：１に内分する点をＱとします。このとき、ベクトルＢＣをベクトルＢＱを用いて表すとどうなりますか？

※セ試２００２年度数?UＢ本試第３問より

よろしくお願いします。

No.45102 - 2017/08/07(Mon) 16:12:59

☆ Re: 平面ベクトル / たなお

回答します。
点B、Q、C は同一線分上にあり、BQ：QC = b：１なので

　　BC = BQ + QC
　　　　= BQ + (1/b)BQ
　　　　= {(b+1)/b}BQ

です。

No.45103 - 2017/08/07(Mon) 17:25:11

☆ Re: 平面ベクトル / がん

たなおさん回答ありがとうございました(*´-｀*)ゞ

No.45120 - 2017/08/08(Tue) 09:33:13

★ 言語 / ζ

日本語の数オリの本と英語で書かれた数オリの本とでは、どちらの方が解答が分かりやすいのでしょうか？

No.45100 - 2017/08/07(Mon) 15:07:03

☆ Re: 言語 / ζ

というのも、日本語の数学の本と英語の数学の本とでは、どちらの方が理解しやすいのでしょうか？

No.45101 - 2017/08/07(Mon) 15:54:35

☆ Re: 言語 / angel

んー? それはなかなか答えがない質問のような気も。

前提によって色々かわるでしょうからね。

ただ、日本語が母語であって、英語はnative並に達していないという話であれば、英語の方が難しいのが自然ですね。

どのレベルを目指されているか分かりませんが、IMOレベルだと、図示されたものを見てほぼほぼ理解できる、なんてことはありえないので、処理や概念・判断、全部英語で読み解かないと、ということで、最初から意味がとれる日本語の方が…とは思います。

ただ、見方を変えれば、日本語でも英語でもどっちでも同じくらい分からないものなので、どっちでも変わらないとも言えそうです。

まずは、jmoのサイトにある解説と、usamo肝連のとを読み比べてみては。今時だと紙の書籍に拘る理由もないですし。

No.45111 - 2017/08/07(Mon) 19:41:06

☆ Re: 言語 / ζ

ご回答ありがとうございました。

No.45112 - 2017/08/07(Mon) 19:44:11

★ 平面ベクトル / rua

(1)OD=sOA+tOB、s+t=より、
OB=3/2OCを代入して、OD=sOA+3/2tOC、s+3/2t=1
ここからの解法教えてください、よろしくお願いします！

No.45097 - 2017/08/07(Mon) 11:45:06

☆ Re: 平面ベクトル / たなお

回答します。

まず間違いがあるのでその指摘をさせていただきます。
「OB=3/2OCを代入して、OD=sOA+3/2tOC、s+3/2t=1」と記載していますが、s+3/2t=1 ではありません。これだと s + t = 1 が成り立ちません。OB=3/2OCを代入したからといって、条件を変えてはいけません。

ここから解法です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
条件より

　　OD = sOA + tOB
　　　　= sOA + (1-s)OB
　　　　= sOA + {3(1-s)/2}OC

　　OM = (OA + OC)/2

ここで、OD = kOM なので、

　　sOA + {3(1-s)/2}OC = (k/2)OA + (k/2)OC

　　∴ k/2 = s　　　　　・・・（１）
　　　k/2 = 3(1-s)/2　　・・・（２）

（１）を（２）に代入して

　　k = 3(1-k/2)
　⇔2k = 6 - 3k
　⇔5k = 6

　　∴k = 6/5
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以上です。
分からないところなどがあれば再度質問願います。

No.45098 - 2017/08/07(Mon) 13:05:00

☆ Re: 平面ベクトル / たなお

補足です。
もし、s + 3/2t = 1 が成り立つとすると、u = 3/2tと置けば

　OX = sOA+uOC

と書くことができ、Xは線分AC上の点を表します。
ちなみに、s = u = 1/2 であれば、

　(1/2)OA + (1/2)OC = OM

となり、中点Mを表していることになります。

No.45099 - 2017/08/07(Mon) 13:16:50

★ 微分積分 / rua

放物線y=x^2-2x+4に原点Oから2本の接線を引くとき、放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
解答はS=16/3です。よろしくお願いします。

No.45095 - 2017/08/07(Mon) 00:18:56

☆ Re: 微分積分 / angel

地道にやっても次の手順でできますね。

・接線を y=mx とおく
・「接する」という条件を整備、
　x^2-2x+4=mx が重解を持つ ( 判別式 D=0 ) から m を決定 ( 2個 )
・それぞれの m の値に応じて x^2-2x+4=mx を解いて接点の x 座標を求める
・∫[α,0] ( x^2-2x+4-m1x ) dx + ∫[0,β] ( x^2-2x+4-m2x ) dx を計算する
　※ m1,m2 は上で決定した2個の m の値
　　α,βはm1,m2に対応する接点の x 座標。ただし α＜0＜β になるように m1,m2 を調整

ただ、気付けば上の手順を踏まなくても
　∫[-2,0] (x+2)^2・dx + ∫[0,2] (x-2)^2・dx
　= 1/3・2^3・2 = 16/3
で一発です。
※まずは上の手順を踏んでみるところからでしょうか

No.45096 - 2017/08/07(Mon) 00:44:12

★ 確率の公式を導き出して教えて下さい / hrhgdfgsd

確率の公式を教えて下さい。

A%の確立で連チャンする場合の連チャン期待回数がN回、だとします。
N回が決まっていて、そこからA%を逆算する計算式は？

N = 1 ÷ (1-A) なので、
A = (N-1) ÷ N　かな？と思ったのですが、
Nが1回を下回ると答えがA%がマイナス値になってしまいます。

A%を算出する正しい計算式を教えて下さい。

No.45093 - 2017/08/06(Sun) 22:54:41

☆ Re: 確率の公式を導き出して教えて下さい / らすかる

N=1÷(1-A)を変形するとA=(N-1)÷Nになりますので
A=(N-1)÷Nで正しく、
「Nが1回を下回ると」という仮定が誤りです。
A=0で1連チャンですから1回を下回ることはありません。

No.45094 - 2017/08/06(Sun) 23:19:51

★ 多項式、平方根の応用 / おーじ

写真の大問６の(1) (2)がわかりません、解説お願いします

No.45088 - 2017/08/06(Sun) 20:19:39

☆ Re: 多項式、平方根の応用 / X

(1)
√(455-7x)=√{7(65-x)}
よって、yを0又は自然数として
65-x=7y^2
の形にならなければなりません
0≦65-x≦65＜70=7×10
に注意すると
65-x=0,7×1^2,7×2^2,7×3^2
つまり
65-x=0,7,28,63
よって
x=2,37,58,65
となります。

(2)
√(80a)=4√(5a)
よって
a=5x^2 (A)
(xは自然数)
と置くことができます。
ここで条件から
10≦a≦99
これに(A)を代入すると
10≦5x^2≦99
2≦x^2≦19+4/5
よって
x=2,3,4
となるので(A)より
a=20,45,80
となります。

No.45091 - 2017/08/06(Sun) 22:11:29

★ 数オリ / ζ

数オリで、ShortlistとLonglistって、どういう意味と違いがあるのでしょうか？

No.45086 - 2017/08/06(Sun) 18:54:31

☆ Re: 数オリ / angel

こちらに載っている話でしょうか
http://mathtrain.jp/mo

以下抜粋
> 世界各国から提案された問題がLonglistとして整理され，そこからShortlistと呼ばれる20～30問に問題候補を絞ります。そして最終的に6問に絞られるのです。

No.45087 - 2017/08/06(Sun) 19:43:43

☆ Re: 数オリ / ζ

そうなんですか。
よく分かりました。
ありがとうございました。

No.45092 - 2017/08/06(Sun) 22:11:32

★ 数II/微分と積分 / rua

ヒントには、直円錐の高さをxとするとV=1/3πx^2(20-x) (0＜x＜20)とありますが、どうしてこのような式になるのかよく分かりません。円錐の体積の公式がV=1/3×底面積×高さであるのは分かります！解答はV1:V2=8:27です。よろしくお願いします！

No.45081 - 2017/08/06(Sun) 16:31:17

☆ Re: 数II/微分と積分 / X

添付された図において、直円錐から底面に
下ろした垂線(Oを通っている線分のことです)
の足をHとすると、条件から
OH=x-10
よって底面の半径をrとすると、添付された図
の点O,Hを頂点とする直角三角形において
三平方の定理により
r=√{10^2-(x-10)^2}
後はよろしいですね。

No.45084 - 2017/08/06(Sun) 16:45:04

★ 中３（ハイクラス）図形の問題です / でんすけアルファ

設問
(1)角ＡＣＥの大きさを求めよ
(2)線分ＡＥの長さを求めよ
(3)三角形ＯＡＥの面積を求めよ
(4)３点Ｂ，Ｃ，Ｅを通る円と円Ｏとの共通部分の面積を求めよ。

(1)は多分45度 (2)は6√2 だと思いますが、(3)(4)が解けません。

何卒何卒よろしくお願い致します。

No.45077 - 2017/08/05(Sat) 22:49:57

☆ Re: 中３（ハイクラス）図形の問題です / らすかる

(3)
E,OからBCに垂線EP,OQを下ろすと
CP=(√3/2)CE=3√3、CQ=3なので
PQ=CP-CQ=3(√3-1)
よって△OAE=OA×PQ÷2=9(√3-1)

(4)
△ABC∽△CEBでBCが円Oの半径なので
(B,C,Eを通る円の半径)=BE=3(√6-√2)
円Oの劣弧BCと弦BCに挟まれた弓型の面積は
(1/6)(36π)-(6・6・√3/4)=6π-9√3
B,C,Eを通る円の劣弧BCと弦BCに挟まれた弓型の面積は
(5/12){36(2-√3)π}-{3(√6-√2)・3(√6-√2)/2・(1/2)}
=15(2-√3)π-9(2-√3)
よってB,C,Eを通る円のうち円Oをはみ出た部分の面積は
{15(2-√3)π-9(2-√3)}-{6π-9√3}=3(8-5√3)π+18(√3-1)
なので、求める面積は
{36(2-√3)π}-{3(8-5√3)π+18(√3-1)}=3(16-7√3)π-18(√3-1)

No.45078 - 2017/08/06(Sun) 10:51:57

★ (No Subject) / 教べん

イ
について　任意　と　ある　で結果が変わる理由がいまいち理解しきれません。解説よろしくお願いします

No.45070 - 2017/08/05(Sat) 20:35:02

☆ Re: / 教べん

続き

No.45071 - 2017/08/05(Sat) 20:36:15

☆ Re: / 教べん

続き２

No.45072 - 2017/08/05(Sat) 20:37:02

☆ Re: / たなお

回答します。

「任意の正の数」とは、言い換えれば「全ての正の数」です。
一方、「ある正の数」とは、「特定の正の数」という意味です。

（１）は「全ての正の数 x について a + x ≧ 0」ということになります。全ての正の数 x について a + x ≧ 0 が成り立つためには、a ≧ 0 でなければなりません。よって必要十分条件です。

（２）は「特定の正の数 x について a + x ≧ 0」ということになります。解説にもある通り、x = -2a (x > 0) のときはたしかに「a + x ≧ 0」ですが、a < 0 であり「a ≧ 0」は成立していません。つまり、必ずしも「a ≧ 0」でなくてもいいということになり、十分条件になります。

以上の説明でいかがでしょうか？
分からないところがあれば再度質問願います。

No.45079 - 2017/08/06(Sun) 11:02:29

☆ Re: / 教べん

なるほど　理解できました　ありがとうございます

No.45104 - 2017/08/07(Mon) 17:56:03

★ 化学の数学的証明 / 牛

ある燃焼容器中にメタンと空気（窒素と酸素の体積比は４：１）が入っている。その内部の全圧は２５℃で8.4*10^4Paである。この混合気体に点火したところ酸素がなくなるまで燃焼しＣＯとＣＯ２，および水が生成した。また、一部のメタンが燃焼することなく残存していた。燃焼後、燃焼容器を２５度まで冷却したところ、その内部の全圧は7.6*10^4Paであった。【問い】最初に容器内部に入っていたメタンの分圧を求めよ
求めるメタンの分圧をｘ＋ｙ（Pa）
酸素の分圧は3a+2b（Pa)
２ＣＨ４＋3０２→2ＣＯ＋4Ｈ２Ｏ
反応前のPa) x 3a 0 0
変化するPa）-2a +3a +2a +4a
反応後）x-2a 0 2a 4a

ＣＨ４＋2０２→ＣＯ2＋2Ｈ２Ｏ
反応前のPa) y 2b 0 0
変化するPa）-b -2b +b +2b
反応後のPa）y-b 0 b 2b

燃焼容器を２５度まで冷却したところ、その内部の全圧は7.6*10^4Paであった。とあるので
全圧＝(x-2a)＋0＋2a＋(y-b)＋0＋b
＝ｘ＋ｙ＝7.6*10^4Pa

ここで、メタンの分圧はｘ＋ｙ（Pa）なので答えは7.6*10^4Paでなぜだめなのでしょうか？反応していないメタンもx-2a 、y-bという形で出てきているので条件のもれはないはずなのです。よろしくお願いします。

No.45069 - 2017/08/05(Sat) 19:49:35

☆ Re: 化学の数学的証明 / IT

窒素は、どこに行きましたか？

ＣＯとＣＯ2のいずれになる場合もメタンの分圧はＣＯとＣＯ2の分圧にそのまま移行するので、

燃焼により酸素の分圧分が純減した。

よって酸素の分圧0.8*10^4Pa ,窒素の分圧0.8*4*10^4Pa
残りがメタンの分圧になると思います。

No.45073 - 2017/08/05(Sat) 21:02:14

☆ Re: 化学の数学的証明 / 牛

回答ありがとうございます。窒素が抜けていたのですね！何時間も何日も悩みましたが気づきませんでした！おっしゃる解法が早いですね！

ということは、
窒素の分圧をｃとすると
全圧＝ｘ＋ｙ＋c＝7.6*10^4Pa・・（１）
さらに燃焼する前の条件より
ｘ＋ｙ＋ｃ＋(1/4)c=8.4*10^4Pa・・（２）
（２）ー（１）より
(1/4)c=0.8*10^4
c=3.2*10^4（Pa）
（１）に代入して
メタンの分圧ｘ＋ｙ＝4.4*10^4
としても合っていますか？（答えの数値はあっていますが
）よろしくおねがいします。

※蒸気圧は無視する、というのを書きそびれていましたが、汲んでくれてありがとうございます

No.45074 - 2017/08/05(Sat) 22:07:23

☆ Re: 化学の数学的証明 / IT

合ってます。

No.45076 - 2017/08/05(Sat) 22:15:46

★ 複素平面の一次変換 / ふなっし

複素平面の一次変換の問題です。
ad-bc≠0の条件下で
｛a(2i)+2｝/｛c(2i)+1｝=0
という代入の式が成り立つとき、
aとcの関係はどのように計算されるのですか？

分母分子にc(2i)-1をかけて分母を実数にする方法を考え、
(-4ac-2+(4c-2a)i)/(-4c^2-1)=0というふうに計算の答えが出て、あとは実数部分と虚数部分=0と計算したのですが、ad-bc=0となるような値が出てしまいます。

No.45066 - 2017/08/05(Sat) 12:58:32

☆ Re: 複素平面の一次変換 / らすかる

aやcが実数ならば
「{a(2i)+2}/{c(2i)+1}=0」が成り立つことはあり得ません。
{a(2i)+2}/{c(2i)+1}=0 ならば
a(2i)+2=0 ですから
a=iとなってしまいます。

No.45068 - 2017/08/05(Sat) 15:22:15

☆ Re: 複素平面の一次変換 / ふなっし

すいません、条件の記述が曖昧でした。
正しくは、
a,cは複素数の定数かつad-bc≠0
でした。
ちなみにa=iが答えでcはまだ定まらないのが途中解答ですね。
分子=0だけで求めるのが正解なのですかね。

No.45080 - 2017/08/06(Sun) 12:15:46

☆ Re: 複素平面の一次変換 / らすかる

cは2ic+1≠0からc≠i/2にはなります。
ad-bcについてはbやdが何だかわかりませんので
何とも言えません。

No.45085 - 2017/08/06(Sun) 17:48:59

☆ Re: 複素平面の一次変換 / ふなっし

ありがとうございました！

No.45089 - 2017/08/06(Sun) 21:35:55

★ 微分 / rua

関数f(x)=x^3+3x^2+kxが常に増加するように、定数kの値の範囲を定めよ。
ヒントには常にf'(x)≧0であればよいと書かれていて、式をつくってみましたが、よく分かりません。解答はk≧3です。
よろしくお願いします

No.45059 - 2017/08/04(Fri) 15:12:34

☆ Re: 微分 / ヨッシー

その、作ってみた式を書いてもらえますか？
それによって、説明のポイントが違ってきます。

その式が違っていれば、微分のやり方の説明になりますし、
その先が解けないなら二次不等式の説明になりますし、
また、そもそも、「常に増加」が「常にf'(x)≧0」につながることを
理解されているのかも気になります。

No.45061 - 2017/08/04(Fri) 15:51:06

☆ Re: 微分 / rua

f'(x)=3x^2+6x+k≧0
k≧-3x^2-6x
k≧-3x(x+2)
つくった式です

No.45063 - 2017/08/04(Fri) 16:23:58

☆ Re: 微分 / ヨッシー

では、微分は出来ていますので、二次不等式の説明になります。
　3x^2+6x+k≧0
が常に成り立つには　(判別式)≦０　というのは
習いませんでしたか？
　

No.45064 - 2017/08/04(Fri) 16:54:41

☆ Re: 微分 / rua

習いました！判別式使って解けました
丁寧にありがとうございました！

No.45065 - 2017/08/04(Fri) 18:15:45

★ (No Subject) / A

こんにちは。今から二枚の画像を貼ります。

二枚目の緑マークしたところの意味がわかりません。
d_（n+6）-d_nが6の倍数だとわかって、なぜ、r_（n+6）=r_nとなるのですか？
答えは分かったのですが、この意味がよくわからなくてモヤモヤします。

具体例などをあげてくれるとうれしいです。

No.45052 - 2017/08/04(Fri) 11:00:29

☆ Re: / A

二枚目です。よろしくお願いします。
スッキリしたいですm(__)m

No.45053 - 2017/08/04(Fri) 11:01:20

☆ Re: / A

質問に答えてくださる方に手間をかけさせたくないので、一応解答も載せておきます。

No.45054 - 2017/08/04(Fri) 11:04:18

☆ Re: / ヨッシー

ある整数ａ，ｂに対して
　d[n]＝６ａ＋r[n]
　d[n+6]＝６ｂ＋r[n+6]
と書けます。下の式から上の式を引いて
　d[n+6]－d[n]＝６(ｂ－ａ)＋r[n+6]－r[n]
この右辺が６の倍数であるなら、r[n+6]－r[n] も６の倍数です。
ところが r[k] (k は任意の自然数) は、0以上5以下の整数なので、
　－５≦r[n+6]－r[n]≦５
であり、r[n+6]－r[n]＝０に限られます。
よって、r[n+6]＝r[n] です。

具体例は　d[n]＝n など。

No.45055 - 2017/08/04(Fri) 11:21:23

★ (No Subject) / 16

一つ目の式が二つ目の式となる過程(変形の仕方)が分かりません。教えてください。高校です

No.45045 - 2017/08/03(Thu) 23:46:50

☆ (No Subject) / 16

すみません、件名を入れ忘れてしまいました。確率の問題の一部分、指数のある分数の計算です

No.45047 - 2017/08/03(Thu) 23:56:13

☆ Re: / angel

分数としての足し算のため、通分しているところですね。

例えば 3項目の +1/3・1/6・(1/2)^3 → +2・3^3/(2^5・3^5) の所なら、次のようになっています

1/3・1/6・(1/2)^3
= 1/3・1/(2・3)・(1/2)^3
= 1/(2^4・3^2)
= 2・3^3/(2^5・3^5)　　← 分子は 2^(5-4)・3^(5-2) で計算

なお通分後の分母 2^5・3^5 は、各項の分母の2のべき乗、3のべき乗の指数を見て決めています。
良くある「各分母の最小公倍数」として、「2,3それぞれの指数の最大値を指数にする」という対処です。

No.45048 - 2017/08/04(Fri) 00:00:51

☆ Re: / 16

angelさん
理解することができました！
答えにたどり着けました。！
分かりやすく教えてくださり本当にありがとうございました。

No.45049 - 2017/08/04(Fri) 00:18:42