ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 名もなき詩

0≦x≦1を満たすxについて、常に|ax+b|≧1-x²が成立するような点(a,b)の存在範囲を図示せよ。

No.44664 - 2017/07/15(Sat) 16:24:18

☆ Re: / IT

（概要）
aの正負で場合分けします。

a＝0のとき　|b|≧1が必要十分条件であることが容易に分かります.

a＞0のとき　ax+b=0 となるのはx=-b/a のとき、この点の位置で場合分け。
　-b/a≧1のとき

　　元の不等式は、f(x)=x^2-ax-b-1≧0.
　　放物線y=f(x)の軸はx=a/2なので,
　　0≦a/2≦1のとき　求める条件は、f(x)=0の判別式=a^2+4(b+1)≦0
　　a/2＞1のとき　　求める条件は、f(1)=1-a-b-1≧0.

　0＜-b/a＜1のときは、x=-b/aで|ax+b|=0,1-x^2＞0なので不適。

　-b/a≦0のときは、元の不等式は,g(x)=x^2+ax+b-1≧0
　　　放物線y=g(x)の軸はx=-a/2＜0なので,　求める条件は,g(0)=b-1≧0

a＜0のときは,a＞0のときのaを-a,bを-bに置き換えればよい。　

No.44669 - 2017/07/15(Sat) 20:18:40

☆ 別解 / angel

|ax+b|≧1-x^2 ⇔ ax+b≧1-x^2 or -(ax+b)≧1-x^2
と見做して考えることもできます。
つまり、
　常に|ax+b|≧1-x^2 ⇔ 常にax+b≧1-x^2 or 常に-(ax+b)≧1-x^2
とするのです。
…というのは、今回の問題限りの話なので要注意です
※正しくは「常に ( ax+b≧1-x^2 or -(ax+b)≧1-x^2 )」であって、「常に ax+b≧1-x^2 or 常に -(ax+b)≧1-x^2)」ではないのです。一般的には。

今回、0≦x≦1 の間で、ax+b＞0 と ax+b＜0 の両者の範囲が混在するとすれば、0＜x＜1 のどこかで ax+b=0 が成立します ( 中間値の定理 )
つまりそこでは |ax+b|=0
しかし、0＜x＜1 では 1-x^2＞0 となっているため、そうすると |ax+b|≧1-x^2 が成立しない点ができてしまいます。

そのため、0≦x≦1 において常に ax+b≧0 または常に ax+b≦0

ということで、冒頭の
　常に|ax+b|≧1-x^2 ⇔ 常にax+b≧1-x^2 or 常に-(ax+b)≧1-x^2
は、今回はO.K.ということです

No.44674 - 2017/07/15(Sat) 23:49:41

☆ 別解-続き / angel

すると、2次関数
　f(x)=x^2+ax+b-1
　g(x)=x^2-ax-b-1
に関して、
　0≦x≦1 において常に f(x)≦0 または、常に g(x)≦0
という2次関数の問題2つ分になります。

f(x)の方で言うと、

　f(0)≧0 かつ f(1)≧0 かつ
　　( y=f(x)の頂点のy座標 f(-a/2)≧0 または、軸 -a/2≦0 または -a/2≧1 )

というような感じで条件を整理します。
※頂点のy座標≧0 の代わりに、2次方程式 f(x)=0 の判別式 D≦0 でも良いです。同じことです。

No.44675 - 2017/07/15(Sat) 23:55:46

★ (No Subject) / コンテクストを考えて

中の見えない箱に、1から8までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計8枚入っている。この箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている数字を記録してから箱の中に戻す操作を、1回の試行とする。この試行を3回繰り返して行い、1回目に記録された数をa、2回目に記録された数をb、3回目に記録された数をcとする。

(1)(a-b)(b-c)(c-a)≦0となる確率を求めよ。

(2)(a-b)(b-c)(c-a)=2となる確率を求めよ。

という問題が解けません…。解法を教えてください！

No.44663 - 2017/07/15(Sat) 15:51:58

☆ Re: / らすかる

全部で8^3=512通り
(1)
(a-b)(b-c)(c-a)＞0となるのはa＜b＜c,b＜c＜a,c＜a＜bの場合なので8C3×3=168通り
よって求める確率は 1-168/512=43/64
(2)
(a-b)(b-c)(c-a)=2となるのは(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)のいずれかの順に昇順の連番の場合のみ
よって求める確率は 6×3/512=9/256

No.44665 - 2017/07/15(Sat) 16:29:08

☆ Re: / たなお

回答させていただきます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（１）(a-b)(b-c)(c-a)≦0となる確率を求めよ。

この場合、(a-b)(b-c)(c-a)≦0となる確率を直接求めるのではなく、(a-b)(b-c)(c-a)>0となる確率を全体から引いた方が楽そうですね。

ここで、(a-b)(b-c)(c-a)>0となるパターンをいくつか考えます。

　★その１
　　　(a-b)<0　かつ　(b-c)<0　かつ　(c-a) > 0

　　　⇒　c > b > a

　★その2
　　　(a-b)<0　かつ　(b-c)>0　かつ　(c-a) < 0

　　　⇒　b > a > c

　★その3
　　　(a-b)>0　かつ　(b-c)<0　かつ　(c-a) < 0

　　　⇒　a > c > b

この３パターンがそれぞれ何通りあるかを求めて、全体から引けば求められます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(2)(a-b)(b-c)(c-a)=2となる確率を求めよ。

(a-b)(b-c)(c-a)=2 となるのは、

　　|a-b| = 1 , |b-c| = 1 , |c-a| = 2 　・・・※１　または
　　|a-b| = 1 , |b-c| = 2 , |c-a| = 1 　・・・※２　または
　　|a-b| = 2 , |b-c| = 1 , |c-a| = 1 　・・・※３

のときです。さらに (a-b)(b-c)(c-a)=2>0 なので（１）より、

　　c > b > a　・・・※４　または
　　b > a > c　・・・※５　または
　　a > c > b　・・・※６

という関係になります。
ここで※4~6のそれぞれのパターンについて考えてみます。

c > b > a（※４）のとき、a,b,cはそれぞれ自然数なので、aとcは少なくとも2は値が離れています。このことから

　c > b > a　⇒　|a-b| = 1 , |b-c| = 1 , |c-a| = 2　（※１）
　∴c = a+2, b= a+1, a=a

※５、※６についても同様に考えて

　b > a > c　⇒　|a-b| = 1 , |b-c| = 2 , |c-a| = 1 　（※２）
　∴b = c+2, a = c+1, c = c

　a > c > b　⇒　|a-b| = 2 , |b-c| = 1 , |c-a| = 1　（※３）
　∴a = b+2, c = b+1, b = b

以上より、(a-b)(b-c)(c-a)=2 となるのは、引いた３回の数が連続した数になっている場合です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

これでいかがでしょうか？計算は頑張ってやってみてください。
間違いや、もっといい解法などがあればご指摘願います。

No.44666 - 2017/07/15(Sat) 16:43:27

☆ Re: / たなお

らすかるさん

入力している間に回答してくださってましたね。。重複してしまいすいません。

No.44667 - 2017/07/15(Sat) 16:44:18

☆ Re: / コンテクストを考えて

ありがとうございました。

No.44670 - 2017/07/15(Sat) 22:04:55

★ (No Subject) / 聖隷

問.
赤玉3個と白玉6個、合計9個の玉がある。また、箱が3つある。
(1)9個の玉を無作為に3個ずつに分けた後、3つの箱に入れるとき、それぞれの箱の中に赤玉1個と白玉2個ずつが入る確率を求めよ。
(2)9個の玉を1個ずつ3つの箱から無作為に選んだ1つの箱に入れるとき、それぞれの箱の中に赤玉1個と白玉2個ずつが入る確率を求めよ。

宜しくお願いします。

No.44661 - 2017/07/15(Sat) 12:54:33

☆ Re: / らすかる

(1)
9個を無作為に並べて3個ずつ区切ったときに3個ずつの中に
赤玉がそれぞれ1個ずつ入る確率と同じ。
よって求める確率は3^3/9C3=9/28

(2)
赤玉と白玉を別々に考えます。
赤玉を1個ずつ入れて3つの箱それぞれに入る確率は3!/3^3=2/9
白玉を1個ずつ入れて3つの箱それぞれに2個ずつ入る確率は(6!/(2!)^3)/3^6=10/81
従って求める確率は(2/9)(10/81)=20/729

No.44662 - 2017/07/15(Sat) 13:25:47

★ (No Subject) / K

大学入試において、ですが「特別な誘導がない限りは、積分計算は、積分結果を知っていればそれをそのまま書いてよい」というのは本当ですか？
例えば
(1)Ｃ：x=e^t+e^(-t)
y=e^t-e^(-t)(t≧０）
の概形を描け
（２）Ｃ、ｘ軸、ｘ＝４で囲まれる部分の面積を求めよ、で
∫（２～４）√(x＾2-4dx
＝(1/2)[x√(x＾2-4)-4loglx+√(x＾2-4)l]といきなり書いてもよいのですか？
積分した結果を、「微分したら√(x＾2-4）になるものが偶然見つかったと言い張ればいい」という考え方のようですが

よろしくおねがいします

No.44649 - 2017/07/14(Fri) 20:19:02

☆ Re: / パテ埋め

本当かも何も、そんなの受ける試験次第でしょというお決まりのツッコミをまずしておきますー。

##「全試験が必ずこれに従う共通採点基準」なんてものがあるとはまさか思っていませんよね？

自分が受験する立場なら、細かいことやってていちいち時間取られたくないのでいきなり書きますかね。申し訳程度に微分してみた結果をそれらしく付記するぐらいで。

No.44653 - 2017/07/14(Fri) 21:02:53

☆ Re: / angel

> 特別な誘導がない限りは、積分計算は、積分結果を知っていればそれをそのまま書いてよい

どこでそう聞いたのか分かりませんが、そのまま鵜呑みにしたら火傷するんじゃないですかね。

数学での解答というのが、「その答えが正しいものである事をちゃんと説明しているもの」と捉えていれば、自ずとどうすべきか分かるはず。

逆に言えば、その問題を解けない人が納得して解けるようになるような説明、ではないんですよ。
「えぇ?! なんでいきなりこんな変形してるんですか?」という声に答える必要はなくて ( それは解説、ここで回答している方々の説明がそう )。その変形が誤りでないこと、その先進んで出た結果が答えとして妥当であること、それらをちゃんと担保することです。

No.44655 - 2017/07/14(Fri) 23:50:08

☆ Re: / K

回答ありがとうございます。後で自分なりに調べてみました。http://mathtrain.jp/x2a2このページに「右辺を微分したら左辺になる」というのが積分公式の証明になっており，そのことに言及すれば記述式の問題でも遠慮無く公式を使うことができます。とあります。裏を返せば「そのこと」に言及、つまり積分結果を微分して確かに積分前になることを言及しなければならないと読めますね。しかし常識的にどこから言及しなければならないと思いますか？
例えば∫sintcost=(1/2)(sint)^2や∫logt/tdt=(1/2)(logt)^2は平気で使いますよね...？

よろしくおねがいします

No.44668 - 2017/07/15(Sat) 20:17:10

☆ Re: / angel

> 例えば∫sintcost=(1/2)(sint)^2や∫logt/tdt=(1/2)(logt)^2は平気で使いますよね...？

こういうのであれば、合成関数の微分 (f(x)^n)'=nf'(x)f(x)^(n-1) の裏返し、
　∫f'(x)f(x)^n dx = 1/(n+1)・f(x)^(n+1)+C
ということが分かるように、

∫sintcost dt = ∫(sint)'sint dt = 1/2・(sint)^2+C
∫logt/t dt = ∫(logt)'logt dt = 1/2・(logt)^2+C

という感じですかね…。

No.44672 - 2017/07/15(Sat) 22:40:46

★ 数的推理 / はやて

初めまして！
わかる方お力を貸してください。
自分馬鹿なのでなるべくわかりやすい説明でお願い致します

No.44648 - 2017/07/14(Fri) 20:00:23

☆ Re: 数的推理 / X

これは二進数ですね。
横並びの5つの四角に左から順に
1,2,2^2,2^3,2^4
が対応しています。
例えば
問題の上の真ん中の図は3に対応している
ということですが
3≡11)[2]
つまり3は二進数で１１ですので左から
二つの四角が黒くなっています。

さて、同様に25について考えると
25≡11001)[2]
ですので対応するのは
左側から二番目、三番目のみが白いもの
となります。
よって正解は2となります。

No.44650 - 2017/07/14(Fri) 20:42:35

★ (No Subject) / 明彦

すいません、(2)についてですが、
D=0の状態で解いていって、それを答えにしても正解な気がするのですが。。。

どうしてDの判別式を求めに行かないとダメなのでしょうか？

与式=(x-(9-y+√(0))/2)(x-(9-y+√(0)/2)でも良いような。。。

どうか、よろしくお願いします。

No.44646 - 2017/07/14(Fri) 17:32:55

☆ Re: / らすかる

> D=0の状態で解いていって、それを答えにしても正解な気がするのですが。。。
D=0とするということは(1次式)^2とすることになります。
問題は(1次式)×(1次式)となるようなkの値を求めるのですから、
D=0としてしまってはダメですね。
# D=0としても答えが見つかる可能性はありますが、たとえ見つかったとしても
# その答えだけとは限りませんのでダメです。
# なお、この問題ではD=0とすると答えが見つかりません。

実際、与式=(x-(9-y+√(0))/2)(x-(9-y+√(0)/2) とすると
(x-(9-y+√(0))/2)(x-(9-y+√(0)/2) = x^2+xy+(1/4)y^2-9x-(9/2)y+81/4
となってしまって問題の式と合いませんね。

No.44647 - 2017/07/14(Fri) 17:59:01

★ 行列（２次形式の標準化） / たなお

こんにちは。２次形式の標準化について質問があります。

２次形式 F = ax^2 + 2hxy + by^2（２次形式Fの行列を A とする）が与えられたとき、直交行列 P を使って

　　x x'
　　( ) = P( )
　　y y'

のように x , y を新しい文字 x' , y' に置き換え、 Fの標準形

　F = αx'^2 + βy'^2

に変形するとします。
この作業を行う際、行列 A の固有 α , β を求め、それぞれに対応する大きさ１の固有ベクトル

　 u1　　　　 v1
　u = ( )　　v = ( )　　　　　　※u と v は本来太文字にすべきですが、
　　　 u2　　　　 v2　　　　　　　やり方がわかりませんでした。

を使って、直交行列

　　　 u1 v1
　P = (　　　 )
　　　 u2 v2

を作ると、

　　　　　α 0
　tPAP = (　　 )　　　　　　※tP は P の転置行列とみなしてください。
　　　　　0 β

となります。が、質問したいのはここからです。
上の書き方では、直交行列 P を (u v) としていますが、以下のように

　　　 v1 u1
　P = (　　　 )
　　　 v2 u2

とu , v の位置を入れ替えてもいいように思えるのです。
そうすると、

　　　　　β 0
　tPAP = (　　 )　　　　　　
　　　　　0 α

となり、標準形も

　F = βx'^2 + αy'^2

となって、結果が変わってしまいます。
標準形は様々形を取るのでしょうか？それとも一意に決まるのでしょうか？
一意に決まるのであれば、u , v の順序の決め方はどうなっているのでしょうか？

この辺りについて、参考書に説明がなかったため、どなたか教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。

No.44644 - 2017/07/14(Fri) 13:50:11

☆ Re: 行列（２次形式の標準化） / たなお

すいません、２箇所ほど表示がずれてしまいました。

　　x x'　　　　　　　　x　　　x'
　　( ) = P( )　　⇒　　(　) = P(　)
　　y y'　　　　　　　　y　　　y'

　 u1　　　　 v1　　　　　　　　　　u1　　　　 v1
　u = ( )　　v = ( )　　　⇒　　　u = (　)　　v = (　)
　　　 u2　　　　 v2　　　　　　　　u2　　　　 v2　

と表示したかったです。
よろしくお願いいたします。

No.44645 - 2017/07/14(Fri) 13:57:00

☆ Re: 行列（２次形式の標準化） / angel

> …(略)となって、結果が変わってしまいます。
> 標準形は様々形を取るのでしょうか？それとも一意に決まるのでしょうか？

そこは「本質的な違いではない」として区別しませんよね。
あくまで軸や準腺がx,y軸に平行になるようにしてるだけですし。

なにより、標準形を求めること、それ自体が目的なのではなくて、それを通じて元の形を分析するのが本質なので、順番には囚われない方が良いと思います。

No.44657 - 2017/07/15(Sat) 00:01:04

☆ Re: 行列（２次形式の標準化） / たなお

angelさん

回答ありがとうございます。
順番には囚われない方がいいと理解できました！

No.44658 - 2017/07/15(Sat) 02:17:42

★ (No Subject) / のり

g:B→Cを単射とする。写像f:A→B,f'A→Bがg｡f=g｡f'を満たすならば、f=f'であることを示してください！

No.44643 - 2017/07/14(Fri) 13:28:14

☆ Re: / angel

流石にそれは自分で考えさせる訓練の問題なのでは。

「単射」であるとか“=”の意味や条件を明確にして考えてみてください。

・gが単射
　( 任意のb1,b2の組に対し ) g(b1)=g(b2) ならば b1=b2 であること
　※或いはその対偶、「b1≠b2 ならば g(b1)≠g(b2)」でもよい

・写像の“=”
　f=f' ⇔ 任意のaに対して f(a)=f'(a) となる
　g・f=g・f' ⇔ 任意の a に対して g(f(a))=g(f'(a)) となる
　※なお、a の範囲はその定義域が何かで変わってくるわけですが、
　　この問題での f,f',g・f,g・f' ならいずれも a∈A ですね

No.44660 - 2017/07/15(Sat) 10:42:45

★ (No Subject) / 明彦

すいません、170の(2)ですが、
チャートに左右端っこに何通りか書いたのですが、解答と合わなくて。。。

チャートに書いていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

No.44634 - 2017/07/13(Thu) 23:25:33

☆ Re: / たなお

こんばんは。

「チャートに書く」というのがどういうことか分かりません（自分の無知だったらすいません）が、もし約数の個数が合わないということでしたら、左右に描いた表で約数は網羅できていると思います。

注意点としては、1・1 のマスが３つの表で重複していることと、左側の表の1・3 と 1・167 のマスが右側の表とそれぞれ重複していることですね。その点を考慮して数えてみてください。

質問への回答になったでしょうか？

No.44635 - 2017/07/13(Thu) 23:39:17

☆ Re: / たなお

すいません。上記の回答は一度取り消させてください。

No.44636 - 2017/07/13(Thu) 23:41:58

☆ Re: / たなお

度々すいません。
表を描いたので画像をUPします。
この表でいかがでしょうか？

No.44637 - 2017/07/13(Thu) 23:51:51

★ 通過領域 / 高校3年生

はじめまして。
解説を読んで、それぞれ範囲を出すところまでは理解出来たんですが、領域の図示の仕方が分かりません……。
領域はそれぞれの共通している所だと思ったのですが、違うんですか？？
お願いします。

No.44622 - 2017/07/13(Thu) 18:39:10

☆ Re: 通過領域 / X

>>領域はそれぞれの共通している所だと思ったのですが、違うんですか？？
はい、違います。

(I)(II)で場合分けしていますので、求める領域は
(I)で得られる領域(つまり?A)
「又は(かつ、ではありません)」
(II)で得られる領域(つまり?B)
となります。

No.44628 - 2017/07/13(Thu) 20:54:37

☆ Re: 通過領域 / 高校3年生

場合分けのときの領域は「又は」ということですね。
助かりました。ありがとうございました！

No.44629 - 2017/07/13(Thu) 21:09:33

☆ Re: 通過領域 / らすかる

『場合分けのときの領域は「又は」』と考えてはいけません。
「かつ」の場合もあります。
問題ごとに場合分けの意味を考えて判断しましょう。

No.44632 - 2017/07/13(Thu) 22:05:40

☆ Re: 通過領域 / 高校3年生

たしかに、問題ごとに確認すべきですね。
ありがとうございますm(_ _)m

No.44638 - 2017/07/14(Fri) 00:33:57

★ (No Subject) / 高3

わかりませんでした
お願いします

No.44612 - 2017/07/13(Thu) 15:04:05

☆ Re: / 高3

すいません件名入れ忘れました

No.44616 - 2017/07/13(Thu) 15:27:30

☆ Re: / たなお

とりあえず１問目についてUPします。

　　an = a + nd 　初項：a　公差d

と置くと、

　　bn = {1・a + 2・(a + d) + 3・(a + 2d) + … + n(a + n(n-1)d)}/(1 + 2 + 3 + … + n)
　　= {(1 + 2 + 3 + … + n)/(1 + 2 + 3 + … + n)}・a + (1・0 + 2 ・1 + 3・2 + … + n(n-1))d}/(1 + 2 + 3 + … + n)

　　= a + {Σ[k=1..n]k(k-1)d}/(1 + 2 + 3 + … + n)

　　= a + {Σ[k=1..n](k^2-k)d}/(1 + 2 + 3 + … + n)

　　= a + {Σ[k=1..n]k^2d}/(1 + 2 + 3 + … + n) - {Σ[k=1..n]kd}/(1 + 2 + 3 + … + n)

　　= a + {(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2)/(1 + 2 + 3 + … + n)}・d - d

ここで、

　　1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
　　1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

より、

　　bn = a + {n(n+1)(2n+1)/6}/{n(n+1)/2} ・d - d

　　= a + (n+2)/3 ・d - d
　　
　　= a - (n-1)・(d/3)

よって、bn は等差数列である。

No.44617 - 2017/07/13(Thu) 15:56:21

☆ Re: / たなお

（２）について、PCで打つとかなり見辛くなってしまったので紙に書きました。
画像を添付します。

画像で見辛い部分があったり、その他質問があれば再度投稿願います。

No.44619 - 2017/07/13(Thu) 16:50:48

☆ Re: / たなお

ちなみに、画像では

(1 + 2 + 3 + … + n)

などを途中から

(1 + … + n)

の様に略して記載しています。すっきりさせたかったので。。。表記として正しいかどうかなどはここでは無視してください。

No.44620 - 2017/07/13(Thu) 16:53:41

☆ Re: / たなお

すません、画像の最後から２番目の行の部分で訂正です。

誤：b + (3n-1)・(d/2)
正：b + 3(n-1)・(d/2)

今日は訂正が多いですね。。。すいません。
もう少し慎重にチェックします。

No.44621 - 2017/07/13(Thu) 16:59:10

☆ Re: / 高3

とても見やすくて助かりました
ありがとうございます。

No.44623 - 2017/07/13(Thu) 19:04:45

★ 整数 / 高3

2次方程式x^2-4x-3=0の2つの解をα、β(α>β)とし、
an=α^n+β^n(n=1,2,3...)
とおく。
(1)anは3で割ると1余る整数であることを示せ
(2)α^nの整数部分を3で割った余りを求めよ
お願いします

No.44602 - 2017/07/13(Thu) 12:28:07

☆ Re: 整数 / たなお

解答させていただきます。
分かりにくいところがあれば再度質問願います。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(1)anは3で割ると1余る整数であることを示せ

　　　α^n+β^n

　　= (α + β)^n - Σ[k=1..n-1]（nCk・α^(n-k)・β^n）　・・・「１」

ここで、解と係数の関係より、α + β = 4 、α・β = -3 であるので、

　　(α + β)^n = 4^n

　　α^(n-k)・β^n = -3(α^(n-k-1)・β^(n-1))
　　　⇒ Σ[k=1..n-1]（nCk・α^(n-k)・β^n）は３の倍数

であるとわかる。
4^n について 4 = 3m+1 とおくと、

　　(3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1

よって 4^n を3で割った時の余りは1。

以上より、anは3で割ると1余る整数である。

つづけて（２）についてもUPします。

No.44604 - 2017/07/13(Thu) 13:39:08

☆ Re: 整数 / らすかる

(1)別解
解と係数の関係から α+β=4、αβ=-3
a[1]=α+β=4=3×1+1
a[2]=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=22=3×7+1
n≧3のとき、a[n-1]=3k+1とおくと
a[n]=α^n+β^n=(α+β){α^(n-1)+β^(n-1)}-αβ{α^(n-2)+β^(n-2)}
=4a[n-1]+3a[n-2]=4(3k+1)+3a[n-2]=3(4k+a[n-2]+1)+1
∴a[n]は3で割ると1余る整数
(2)
β=2-√7なので-1＜β＜0
nが奇数のとき -1＜β^n＜0なので [α^n]=α^n+β^n ∴3で割った余りは1
nが偶数のとき 0＜β^n＜1なので [α^n]=α^n+β^n-1 ∴3で割った余りは0

No.44605 - 2017/07/13(Thu) 13:46:32

☆ Re: 整数 / たなお

すいません、先ほどの解答について２箇所訂正です。

★１箇所目・・・式「１」
β^n ではなく β^kです

誤：(α + β)^n - Σ[k=1..n-1]（nCk・α^(n-k)・β^n）
正：= (α + β)^n - Σ[k=1..n-1]（nCk・α^(n-k)・β^k）　

★２箇所目・・・下から４行目の式
別のところで使ったものを誤ってコピペしてしまいました。

誤：(3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1
正：(3m + 1)^n = (3m)^n + 1^n + Σ[k=1..n-1]（nCk・(3m)^(n-k)・1^k）

よろしくお願いします。

No.44606 - 2017/07/13(Thu) 13:51:32

☆ Re: 整数 / たなお

（２）の解答については、らすかるさんが自分の考えと同じ解答してくださっているので割愛します。

よろしくお願いします。

No.44609 - 2017/07/13(Thu) 14:17:13

☆ Re: 整数 / 高3

お二方解答ありがとうございます
たなおさんに質問なのですが
4^n について 4 = 3m+1 とおくと
このように置くのは初めて見るのですが良いのですか？
無知ですいません

No.44611 - 2017/07/13(Thu) 14:50:25

☆ Re: 整数 / たなお

高３さん

4^n について、 4 = 3+1 と置いた方が良かったかもしれませんね。すいません。

ある整数 x について、x^n を３で割った余りを求めるといった問題の場合、
x = 3m + 1 のときの余りの求め方が上記に書いたものにまります。
今回はそれを利用してm = 1 の場合を考えたものになります。

ちなみに 4 = 3+1 として式を書き直すと

　　(3 + 1)^n = (3)^n + 1^n + Σ[k=1..n-1]（nCk・(3)^(n-k)・1^k）

となって、やはり余りは１になります。

No.44615 - 2017/07/13(Thu) 15:26:33

★ 数的推理 / はやて

初めまして
この問題いくら考えてもわからないです
わかりやすい説明で解き方教えていただけないでしょうか？

No.44601 - 2017/07/13(Thu) 10:46:59

☆ Re: 数的推理 / たなお

はやてさん

初めまして。
解答させていただきます。

「悪い」と答えた人の割合を x % とします。
その場合、それぞれの解答の％は以下の様になります。

良い　　　　　：x - 10
あまり良くない：3(x - 10)
悪い　　　　　：x　　　　　　　　　　　　　※いずれも単位は％

全てを合計すると100％になるので、

　(x - 10) + 3(x - 10) + x = 100

　5x - 40 = 100

　5x = 140

　x = 28

よって答えは28%になります。

No.44603 - 2017/07/13(Thu) 12:40:47

☆ Re: 数的推理 / らすかる

問題がよくないですね。
おそらくたなおさんのような解答を期待している問題と思われますが、
本当は「aがbより10%少ない」というのは「aがbの0.9倍」という意味ですから、
正しく問題文を解釈して解答すると

「悪い」と答えた人の割合をx(%)とすると、条件から
「悪い」→x
「良い」→ x×0.9
「あまり良くない」→ 3(x×0.9)
よって
x+x×0.9+3(x×0.9)=100
10x+9x+3(9x)=1000
46x=1000
x=500/23≒21.7
よって解答の選択肢から選ぶならば1

のようになります。

# NHKでは、例えばaが72%、bが80%だった場合、
# 差は8%ですが実際は10%少なく、紛らわしいので
# 決して「aはbより8%少ない」のような言い方はせず、
# 「aはbより8ポイント少ない」と言っています。

No.44607 - 2017/07/13(Thu) 14:00:08

☆ Re: 数的推理 / たなお

らすかるさん

NHKでは「ポイント」という単語を確かに使ってますね。
自分も最初は x×0.9 かなと思ったんですが、その場合は「aがbの10%少ない」という言い方になるかなと思い、上の解答にしました。本当はどっちなんですかね？

自分はあまり日本語が得意ではないので、勉強になりました。ありがとうございます。

No.44608 - 2017/07/13(Thu) 14:08:26

☆ Re: 数的推理 / らすかる

「10%少ない」は本来は0.9倍という意味のはずですが、
比較するもの自体が%の値の場合はまぎらわしいですね。
日常会話では単純に%の値から10引くという意味でいう人が多いかも知れません。
二つの意味に解釈できる曖昧な言葉なので、誤解されてはいけないような場合
（ニュースなどの公的発言や試験問題）では使うべきではないと思います。
この問題では、「10引く」と解釈すると綺麗な数字になりますので、
おそらくたなおさんの解答が正解になるものと思います。

No.44610 - 2017/07/13(Thu) 14:26:25

★ 面白い()ゲーム / ナイロン66

【問題】

aを2以上の自然数とする。長さaの線分ABを数直線上で移動させる次のようなゲームを考える。

＜ルール＞
・サイコロを投げて出た目の数が2以下なら正の方向へ1、それ以外なら負の方向へ1移動する。
・これを繰り返し、どちらかの端点が原点Oに到達したらゲームは終了する。
・線分の左端Aは、ゲーム開始時には座標-nの位置にある。(nは0＜n＜aをみたす自然数)

＜設問＞
端点Aが原点Oに到達してゲームが終了する確率を求めよ。

No.44599 - 2017/07/12(Wed) 20:58:42

☆ Re: 面白い()ゲーム / らすかる

きれいな答えになるような気がしませんが、
もしかして自作問題ですか？

No.44614 - 2017/07/13(Thu) 15:09:12

☆ Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66

>らすかるさん

いえ、学校で課された問題です。

No.44618 - 2017/07/13(Thu) 16:01:30

☆ Re: 面白い()ゲーム / IT

線分ABを固定して、原点O＝Xが動くと考えたほうが分かりやすいので、そうします。

Aのｘ座標を0、Bのｘ座標をa,Xのｘ座標をk(最初はn)とします。
点XがBの方に動く確率をpとするとp=2/3
点XがAの方に動く確率をqとするとq=1/3

Xがkの位置を出発して、Aに到達する前にBに達する確率をf(k) とすると,
f(0)=0,f(a)=1.
0<k<aについて, f(k)＝pf(k+1)+qf(k-1).
よって,　　(p+q)f(k)＝pf(k+1)+qf(k-1).
移項して,p(f(k+1)-f(k))=q(f(k)-f(k-1)).
r=q/p とおくと,f(k+1)-f(k)=r(f(k)-f(k-1)) 等比数列.

漸化式を解くと,求める確率は１-f(n)=１-((r^n-1)/(r^a-1)).
ここにr=1/2 を代入。

（注） f(k) が確定することを前提にしています。

No.44624 - 2017/07/13(Thu) 19:22:58