ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限の問題です / 高3　極限

e^x/2x (1+ 2/x )^x (x^3-x^2+1)/e^x

の三つのxを無限大に飛ばす方法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.44920 - 2017/07/27(Thu) 00:38:31

☆ Re: 極限の問題です / らすかる

f(x)=x-4logxとおくと
f'(x)=1-4/x=(x-4)/xからx＞4のときf(x)は増加し、
f(16)=16-4log16=16-16log2＞0（∵2＜eからlog2＜1）なので
x≧16のときx＞4logxすなわちe^x＞x^4　… (*)

lim[x→∞]e^x/2x≧lim[x→∞]x^4/2x　（(*)より）
=lim[x→∞]x^3/2=∞なので
lim[x→∞]e^x/2x=∞

x=2tとおくと
lim[x→∞](1+2/x)^x=lim[t→∞](1+2/(2t))^(2t)
=lim[t→∞]{(1+1/t)^t}^2=e^2

x≧1のときx^3-x^2+1=x^2(x-1)+1＞0なので
0≦lim[x→∞](x^3-x^2+1)/e^x≦lim[x→∞](x^3-x^2+1)/x^4　（(*)より）
=lim[x→∞]1/x-1/x^2+1/x^4=0
∴lim[x→∞](x^3-x^2+1)/e^x=0

No.44930 - 2017/07/28(Fri) 03:13:05

★ 領域 / シンヤン

kが( )内の実数値をとるとき、次の直線の通る範囲を図示せよ。

kx+y+k^2 = 0 (k>0)

[指針] k>0 →kの2次方程式が少なくとも1つの正の解をもつ。

[回答]
k^2 + xk +y =0
[1] 2解とも正 ←→ D =x^2 - 4y≧0, 和 -x>0 , 積 y>0
∴ 0<y≦(x^2)/4 , x<0
[2] 正の解と他の解が0 ←→ -x>0, y=0
∴ x<0, y=0
[3] 正の解と負の解 ←→ y<0

←→この記号は、必要十分条件です。
図は省略します。

質問は、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのはなぜかということです。
条件はk>0だから、kの一方がk=0または、k<0だと、解にあてはまらないから判別式を持ちだしても意味がないと言うことでしょうか。
解に意味がないとすると、[2],[3]、の解と係数の式にもあてはまらないのではないかと思うのですが、そのへんが分からず質問しました。
よろしくお願いします。

No.44911 - 2017/07/26(Wed) 10:06:20

☆ Re: 領域 / IT

[2] k=0 が解ならば、kx+y+k^2 = 0 が実数解を持つという条件は満たしています。

[3] f(k)=kx+y+k^2 とおいたとき、f(0)=y<0 ならば
kx+y+k^2 = 0 は実数解を持つという条件は満たします。

No.44912 - 2017/07/26(Wed) 10:14:49

☆ Re: 領域 / シンヤン

ご回答、ありがとうございました。
参考書の解答で、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのは、省略してあるということでしょうか。

No.44913 - 2017/07/26(Wed) 11:13:49

☆ Re: 領域 / IT

> ご回答、ありがとうございました。
> 参考書の解答で、[2]と[3]に、D =x^2-4y≧0 が無いのは、省略してあるということでしょうか。

あらためて判別式D≧0を確認する必要がないので、判別式D≧0を書く必要がない。ということです。
気になるようなら書かれても間違いではありませんが。

No.44914 - 2017/07/26(Wed) 11:52:18

☆ Re: 領域 / シンヤン

度々、ありがとうございました。
私の性格でしょうか、はっきりしないと気がすまないのかもしれません。
失礼しました。

No.44915 - 2017/07/26(Wed) 12:22:04

★ (No Subject) / ダブルミリオン*2

関数f(x)が任意の実数x,yに対して、
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+1+y)
を満たし、f'(0)=3とする。
(1)f(x)は微分可能な関数であることを示し、f'(x)を求めよ。
(2)f(x)を求めよ。

この問題の考え方を教えてください!

No.44908 - 2017/07/26(Wed) 08:00:04

☆ Re: / IT

(1)
f(x+h)=f(x)+f(h)+2xh(x+1+h) （注）hはyのままでもいいですが、見慣れているhにしました.
移項して f(x+h)-f(x)=f(h)+2xh(x+1+h)
よって (f(x+h)-f(x))/h=f(h)/h+2x(x+1+h) と変形してf'(0)=3を使う。

No.44910 - 2017/07/26(Wed) 08:54:40

☆ Re: / X

僭越ですが、ITさんの回答に対し補足の形で。

ITさんの方針で
f'(0)=3
であることを使うためには、条件である
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+1+y)
を使って、前準備として
f(0)=0
を証明しておく必要があります。

No.44917 - 2017/07/26(Wed) 23:38:11

★ (No Subject) / TOKO

2n個の整数がある。それらの数をn個ずつ2組に分けたとき、どう分けても各組の数の和S[1],S[2]の差はnより小さいとする。このとき、これらの2n個の数のうち少なくともn+1個は等しいことを証明せよ。

上記の問の解き方を教えてください。

No.44900 - 2017/07/25(Tue) 16:56:26

☆ Re: / IT

対偶が正しいことを示します。

・2n個の整数を昇順に並べ,
　a[1]≦a[2]≦a[3]≦...≦a[n]≦a[n+1]≦...≦a[2n].とします。

・S[1]とS[2]の差が最大になるように,
　S[1]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
　S[2]=a[n+1]+a[n+2]+a[n+3]+...+a[2n]とします。

・2n個の数のうちのどのn+1個を抽出しても,少なくとも一つは異なるとすると,

　a[1],a[2],a[3],...a[n],a[n+1]の少なくとも一つは異なるので,a[1]+1≦a[n+1] となる.

　同様に,a[2]+1≦a[n+2],　a[3]+1≦a[n+3],...,a[n]+1≦a[2n]がいえる.

　このとき,S[2]-S[1]≧nとなる.

・したがって、．．．．

No.44901 - 2017/07/25(Tue) 17:57:14

☆ Re: / TOKO

納得できました。どうもありがとうございます。

No.44918 - 2017/07/26(Wed) 23:38:48

★ (No Subject) / 勉勉

方程式x^2-3lx-1l-ax=0　の実数解の個数を調べろ
ただしaは定数である

lx-1lの部分は絶対値です

答えはaが-3+2√３より小さいとき２こ
-3+2√３のとき３こ　-3+2√３より大きく１より小さいとき３こ　１より大きいとき２こ

となるのは分かっているのですが　この手の問題で
傾きaが大きくなっていったり小さくなっていくとx軸やy軸を超えた時点で傾きの正負がかわりますよね

例えばこの問題だとaが-3+2√３より小さくなっていくとx軸を超えた時点で傾きが正から負にかわってそのまま進むとまた傾きの正負がかわって最終的に一回転してa＝-3+2√３の直線と重なってしまいますよね　そうなってくるとaが-3+2√３より小さいとき実数解の個数が２であるという答えにも反する答えが出てくるし何より傾きのaが-3+2√３より小さくしていったにもかかわらず大きくなってしまいます

ここで質問なのですがこういった直線のグラフで傾きを大きくしていく、小さくしていくという問題では具体的にどのくらいの範囲までが回転の範囲なのでしょうか？

No.44899 - 2017/07/25(Tue) 15:26:39

☆ Re: / らすかる

> 傾きaが大きくなっていったり小さくなっていくとx軸やy軸を超えた時点で傾きの正負がかわりますよね
y=axのグラフが回転してy軸を超えることはありません。
従って
> どのくらいの範囲までが回転の範囲なのでしょうか？
y軸を除く範囲です。

No.44906 - 2017/07/26(Wed) 03:59:31

☆ Re: / 勉勉

理解できました　ありがとうございます

No.44916 - 2017/07/26(Wed) 15:30:30

★ テスト直前 / 大学生です。すみません。

行列
2a+b+c+d b c d
a a+2b+c+d c d
a b a+b+2c+d d
a b c a+b+c+2d
が正則になるための必要十分条件を求めよ

という問題なのですが..．テスト直前で困っています。お願いします。
よろしくお願いします。

No.44893 - 2017/07/25(Tue) 02:02:23

☆ Re: テスト直前 / IT

a+b+c+d=x とおきます。
基本変形していきます。
[x+a,b,c,d][a,x+b,c,d][a,b,x+c,d][a,b,c,x+d]
１、２、３行目から４行目を引いて
→[x,0,0,-x][0,x,0,-x][0,0,x,-x][a,b,c,x+d]
１，２、３列目を４列目に足して
→[x,0,0,0][0,x,0,0][0,0,x,0][a,b,c,2x]
x＝0のとき　[0,0,0,0][0,0,0,0][0,0,0,0][a,b,c,0] なので正則でない。
x≠0のとき
→[x,0,0,0][0,x,0,0][0,0,x,0][0,0,0,2x] 正則。

求める条件はa+b+c+d≠0

No.44905 - 2017/07/25(Tue) 23:29:32

★ 2曲線と長方形で囲まれた図形の面積 / ひろ

(2)から分かりません
答えはオ3 カ3 キ2 ク2 ケコ－1 サ3 シ2です

No.44892 - 2017/07/25(Tue) 00:24:19

☆ Re: 2曲線と長方形で囲まれた図形の面積 / X

条件からDのうちRの外側にある部分は
C[1],直線x=a+1,y=2
で囲まれた部分になっています。
C[1]と直線y=2との交点のx座標が1
であることに注意すると
U=∫[1→a+1]{(x^2+1)-2}dx (A)
又
T=S-U (B)
(A)を計算しこれと(1)の結果を
(B)に代入します。
その結果をaで微分し、0≦a≦1における
Tの増減表を書きます。

No.44902 - 2017/07/25(Tue) 20:56:19

★ 数3積分 / 数三積分難しい（；＿；）

53番解説でどうして波線部のようになるのかわかりません。cosx
はどこ行ったのですか？

No.44886 - 2017/07/24(Mon) 22:02:53

☆ Re: 数3積分 / 数三積分難しい（；＿；）

解説です

No.44887 - 2017/07/24(Mon) 22:03:28

☆ Re: 数3積分 / X

これは
(f(g(x)))'=f'((g(x))g'(x)
から
∫f'((g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C
(Cは積分定数)
となることを使って、置換積分を跨がずに
直接原始関数を求めています。
(模範解答は
f'(x)=x^2-x^4
g(x)=sinx
の場合です。)

模範解答が分かりにくければ
sinx=t
と置いて置換積分しても問題ありません。

No.44888 - 2017/07/24(Mon) 22:50:50

★ 論証 / パピルサグ

三次方程式x^3-3x-1=0の解をαとする。
(1)αは整数でないことを示せ。
(2)αは有理数でないことを示せ。
(3)αはp+q√3(p,qは有理数)の形で表せないことを示せ。

よろしくお願いします。

No.44885 - 2017/07/24(Mon) 21:32:47

☆ Re: 論証 / IT

（２）まで
α^3=3α+1 …(ア)
（１）αが整数とする.
　αが素数ｐを約数に持つと左辺はｐで割り切れ右辺はｐで割り切れない。
　よってα＝0、-１、１　ところがこれらはx^3-3x-1=0の解でない。
（２）α=m/n (m,ｎは互いに素な整数でｎは正）とする。
　（ア）に代入して（m/n)^3=3m/n + 1
　両辺にnを掛けると・・・　
　後は簡単だと思います。

No.44889 - 2017/07/24(Mon) 23:14:11

☆ Re: 論証 / IT

（３）　地道な方法で出来ます。（もっと簡単な方法があるかも知れませんが）
α＝p+q√3とおいて、α^3-3α-1=0　を計算して
Ａ+Ｂ√3 = 0 の形にして
Ａ＝Ｂ＝0　を満たすような有理数p,q が存在しないことを示す。

No.44890 - 2017/07/24(Mon) 23:45:29

★ ヘロンの公式証明 / 愛

お恥ずかしい話授業に出席しておらず、友人が板書を写したノートをコピーしたものですが、添付した写真において私が指摘しました箇所(鉛筆書きで説明不足では？と書いた)を疑問に感じます。指摘部分の説明を加えたいのですが当該四角形が直径をCLとする円に内接することの証明が思いつきません。(そもそもLに対する定義もKに対する定義も与えられていないのは如何なものかと…せめてCL平行BOなどの条件があれば…というのが私の考えです)
写真のような文で証明は可能でしょうか？
また可能であれば指摘した帰結の説明がいただければ幸いです。

補足
写真はヘロンの公式の証明です。
余弦定理等の簡易な証明があるのは百も承知ですのであくまで写真の証明方法の大筋を使った証明方法を教えていただければ幸いです。

No.44884 - 2017/07/24(Mon) 21:25:31

☆ Re: ヘロンの公式証明 / angel

この線で証明はできるのですが、ちょっと流れが分かりにくいので整理してみましょう。

まず、添付の図のようにもろもろ定義します。

そうすると、左の図より

　a=y+z
　b=z+x
　c=x+y
　α+β+γ=180°

また、K,Lを真ん中の図のように決め、現れる長さを u,v としておきます

さてそうすると、その「決め」た時の直角2つが円周角として等しいため、□BLCIは円に内接、もっと言うとCLを直径とする円に内接、です。
そして、

　∠BLC=180°-∠BIC=180°-(β+γ)=α

と。ここまで分かります。
一旦ここで切ります

No.44928 - 2017/07/27(Thu) 23:38:19

☆ Re: ヘロンの公式証明 / angel

承前

そうすると、添付の図のように、3組の三角形の相似形が見つかります。長さの関係としては、

左： xu = r(y+z)
真中： v=ry/(r+u)
右：r^2=vz

ということで、
　rxyz = vxz(r+u)　　← 真ん中の関係式
　　= vz(xr+xu)
　　= r^2・(xr+xu)　　← 右の関係式
　　= r^2・(xr+r(y+z))　← 左の関係式
　　= r^3・(x+y+z)
つまり、xyz=r^2・(x+y+z)

で、最後の詰めです。
　s=(a+b+c)/2 と置く時、s=x+y+z
　三角形の面積 S は、S=1/2・r(a+b+c)=rs
　s(s-a)(s-b)(s-c)=(x+y+z)(x+y+z-(y+z))(x+y+z-(z+x))(x+y+z-(x+y))
　= xyz(x+y+z)
　= r^2・(x+y+z)^2
　= (rs)^2
　= S^2
よって、S=√( s(s-a)(s-b)(s-c) )

No.44929 - 2017/07/28(Fri) 00:03:56

★ 整数 / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問1.等差数列{a[n]}(n=1,2,…)の初項から第n項までの和をS[n]とする。S[n]を大きい順に並べ替えると第3項までがそれぞれ22,21,20となるとき、この数列の一般項a[n]を求めよ。

問2.相異なる素数p,qの積pqをnとするとき、C[n.1],C[n.2],C[n.3],…,C[n.n-1]の最大公約数を求めよ。

どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします！

No.44883 - 2017/07/24(Mon) 21:24:23

☆ Re: 整数 / IT

問２
まずはn=6でどうなるかやってみてください。

一般には
C[pq,1] の値と、
C[pq,p] はp を、C[pq,q] はqを　約数に持たないことを使えばいいと思います。確認してください。

No.44891 - 2017/07/25(Tue) 00:07:24

★ 行列　Im(A) / million

Ker(A)を求めてから計算しようと思ったのですがうまくいきません。
どこで間違えているのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.44882 - 2017/07/24(Mon) 19:13:06

☆ Re: 行列　Im(A) / angel

取り敢えず行列式 det(A)≠0 なので、Aによる線形変換は全単射、Im(A)は3次元ですね。
Im(A)の基底としては、R^3 の自明な基底 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) から、Ae1,Ae2,Ae3 を持ってくればそれで1組作れます。

No.44919 - 2017/07/26(Wed) 23:56:15

★ Re: Re:数列　解と係数の関係 / 前進

解と係数の関係で赤線の部分はtでなくてもいいのでしょうか？

教科書の二次方程式の１つと何か関係があるのでしょうか？

二次方程式の１つとはどういう意味でしょうか？
例えばXの代わりにtでもｃにするとそれも方程式の１つでしょうか？確かにα、βで解は変わらないと思います。
それと各項をn倍するのもありなのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.44880 - 2017/07/24(Mon) 19:09:10

☆ Re: Re:数列　解と係数の関係 / 前進

教科書の画像です。

No.44881 - 2017/07/24(Mon) 19:11:24

☆ Re: Re:数列　解と係数の関係 / angel

まず先に。

> 二次方程式の１つとはどういう意味でしょうか？

( おそらく想像されているような ) 意味はないです。
( 殊に学術的な ) 文章を読む上では、「何を言っているか」と同じくらい「何を言っていないか」が重要です。

で、「～の1つ」という表現を見て「きっと複数あるからそういう言い回しをしているに違いない」というのは、日常会話風の「読み」重視 ( 悪く言えば「邪推」 ) に慣れ過ぎで。

これは、「1つかも知れないし複数かも知れないが、『唯一つ』という確信があるわけではない、または1つなのか複数なのかは今はどうでもいい。なのでどちらでも対応できるような表現にした」位に見た方が良いです。

No.44894 - 2017/07/25(Tue) 08:02:23

☆ Re: Re:数列　解と係数の関係 / angel

それで、
> 解と係数の関係で赤線の部分はtでなくてもいいのでしょうか？

質問文を端折り過ぎです。
が、それはさておき、
「この t の方程式を解くと重解 t=-2 で、そもそもα,γがこの方程式の2解だったということから α=-2, γ=-2」を短縮した形とすれば、特に不自然でもないです。ここまで細かく説明しなくても良いですから。
※なお、α＜γの条件に合わないのでそもそも不適切ではあるなですが、それはまた別の話

No.44896 - 2017/07/25(Tue) 10:36:58

★ 因数分解 / rua

9番教えてください
解答は(1)-n(n+1)(n-1)で(2)-(a-b)(b-c)(c-a)です
よろしくお願いします

No.44874 - 2017/07/24(Mon) 15:43:51

☆ Re: 因数分解 / らすかる

(1)
2(n+1)^3-3n(n+1)^2-2(n+1)
=(n+1){2(n+1)^2-3n(n+1)-2}
=(n+1)(2n^2+4n+2-3n^2-3n-2)
=(n+1)(-n^2+n)
=-n(n+1)(n-1)

(2)
ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c
=ab(a-b)+ac^2-bc^2-a^2c+b^2c
=ab(a-b)+c^2(a-b)-c(a^2-b^2)
=ab(a-b)+c^2(a-b)-c(a+b)(a-b)
=(a-b){ab+c^2-c(a+b)}
=(a-b)(ab+c^2-ac-bc)
=(a-b)(ab-ac-bc+c^2)
=(a-b){a(b-c)-c(b-c)}
=(a-b)(b-c)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
となりますね。

No.44876 - 2017/07/24(Mon) 15:52:05