この問題の解説をお願いします。
[問]
空間内に3点A(0,0,1),B(2,1,0),C(0,2,1)がある。点Pがxy平面上を、点Qが直線AB上を動くとき、距離CP,PQの和CP+PQが最小となる点P,Qの座標を求めよ。
どうぞよろしくお願いします。
|
No.44820 - 2017/07/23(Sun) 11:40:06
| ☆ Re: / らすかる | | | Q(2-2t,1-t,t)とおくと
t=0のときQ=B,t=1のときQ=Aなので
t＞0のときCとQはxy平面に関して同じ側、
t＜0のときCとQはxy平面に関して反対側
となります。
t=0のときCP+PQが最小となるのはP=Qの場合でCP+PQ=CB=√6
t＜0のときCP+PQが最小となるのはPが直線CQとxy平面の交点のときです。
直線CQは((2-2t)s,(1-t-2)s+2,(t-1)s+1)と表すことが出来て
xy平面との交点は(t-1)s+1=0すなわちs=1/(1-t)のときなので
Pは((2-2t)/(1-t),(1-t-2)/(1-t)+2,0)で
CP+PQ=CQ=√{(2-2t)^2+(-1-t)^2+(t-1)^2}=√(6t^2-8t+6)
しかしt＜0のとき√(6t^2-8t+6)＞√6なのでCP+PQは最小になりません。
t＞0のときはxy平面に関してCと対称な位置の点をC'(0,2,-1)とすれば
CP=C'Pとなりますので、CP+PQ=C'P+PQが最小となるのはPが直線C'Qと
xy平面の交点のときです。
直線C'Qは((2-2t)s,(1-t-2)s+2,(t+1)s-1)と表すことが出来て
xy平面との交点は(t+1)s-1=0すなわちs=1/(t+1)のときなので
Pは((2-2t)/(t+1),(1-t-2)/(t+1)+2,0)で
CP+PQ=C'P+PQ=C'Q=√{(2-2t)^2+(-1-t)^2+(t+1)^2}=√(6t^2-4t+6)
=√{6(t-1/3)^2+16/3}なのでt=1/3のときに最小値√(16/3)=4/√3をとります。
このときP(1,1,0),Q(4/3,2/3,1/3)です。
|
No.44827 - 2017/07/23(Sun) 14:38:17 |
|
