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★ (No Subject) / らき☆すた
(1)赤玉2個、青玉2個、白玉4個の計8個の玉を円状に並べる。回転して同じ配置になるものは同一の並べ方と見做すとき、異なる並べ方は何通りあるか。

(2)白玉1個、赤玉2個、青玉4個、黄玉6個がある。これを糸で繋いで隙間のないネックレスをつくるとき、ネックレスの種類の総数を求めよ。ただし、回転または裏返しにより一致するものは同種と見做すものとする。

解説をお願いします。
No.44255 - 2017/06/29(Thu) 00:34:15
☆ (1) / angel
(1)
「回転して同じ配置になるものは…」とありますから、それであれば、最初から回転する余地のないように配置していくことを考えます。

つまり、一番少ない赤 ( 青でも良い ) に着目して、
・赤は一番上および向かって右側にしか配置しない
とするのです。
これで、少しでも回転させたら必ず異なる並べ方になります。

まず、赤の配置の方法としては、隣接、1個置き、2個置きの3通りがあり、それぞれ残り6個の並べ方の問題です。
これが、3×6C2=45通り

ただし、赤が真上・真下に来る場合は別です。これは180°回転させてもやはり赤が真上・真下になるからです。

例えば
　赤青青白赤白白白
　赤白白白赤青青白
これは、180°回転してお互い行ったり来たりします。この分は半分に減らす必要があります。

ただし、180°回転させても同じ形に戻るものは例外です。
　赤青白白赤青白白
なんかがそうで、3通りあります。

なので、半分に減らすのは 6C2-3 の部分。

結局全部で、45+(6C2-3)/2+3=54通り
※45+(6C2+3)/2 としても良い
No.44258 - 2017/06/29(Thu) 01:58:23
☆ (2) / angel
(2)
(1)と同様に、回転させる余地がないように。今度は1つしかない白を1番上で固定します。すると、残り12個の配置を考えるだけで済みます。

ところが、今回は「裏返しにより一致するものは…」とありますから、ほぼ全体を半分にカウントする必要があります。

ただし、というのも(1)と同じで、裏返して同じ形になるもの、これは除きます。
結局、

　( (白以外の12個の単純な配置全体) + (裏返して同じになる組み合わせ数) )÷2

を計算することになります。
※(1)の (6C2+3)/2 の部分と対比してください。

で、前者は12か所中、同じ色の2か所、4か所を順次選んで行く組み合わせになるので、
　12C2×10C4

後者は、右半分の6か所から同じ色の1か所、2か所を順次選んで行く組み合わせになるので、
　6C1×5C2

結局答えは、
　(12C2×10C4 + 6C1×5C2)/2 = 6960通り
No.44259 - 2017/06/29(Thu) 02:11:43
★ (No Subject) / Doomsday
写真の問題の解き方を教えて下さい！
No.44249 - 2017/06/28(Wed) 23:15:49
☆ Re: / らすかる
使えない道を消すと以下のようになりますね。
┏━━┳━━┓Y
┃┌┬┨┌┬┨
┃├┼┨├┼┨
┣┷┷╋┷┷┫
┃┌┬┨┌┬┨
┃├┼┨├┼┨
┗┷┷┻┷┷┛
X
Xを(0,0)、Yを(6,6)とします。
(4,0)を通る場合
(4,0)から(6,2)までが4C2=6通りなので6通り
(3,2)を通る場合
(1,0)から(3,2)までが6通り、(3,3)の先が7通りなので6×7=42通り
(1,3)と(4,3)を通る場合
(4,3)から(6,5)までが6通りなので6通り
(1,3)と(3,5)を通る場合
(1,3)から(3,5)までが6通りなので6通り
(0,4)を通る場合
1通り
よって全部で 6+42+6+6+1=61通り
No.44254 - 2017/06/29(Thu) 00:16:23
☆ Re: / Doomsday
回答ありがとうございました。
No.44345 - 2017/07/04(Tue) 13:26:58
★ (No Subject) / 名無し
すいません、例題174についてですが、
No.44246 - 2017/06/28(Wed) 22:55:44
☆ Re: / 名無し
どうして
(1)では(5-1)!で答えが出るのですか？
理屈が知りたいです

(2)これもどうしてこの式になるのかが理解できません。

よろしくお願いします。
No.44247 - 2017/06/28(Wed) 22:59:46
☆ Re: / X
どちらのご質問についても、まず教科書の円順列の項目
を復習しましょう。
その上で分からないようであれば、その旨をアップして
下さい。
No.44252 - 2017/06/29(Thu) 00:05:18
☆ Re: / angel
> (1)では(5-1)!で答えが出るのですか？
> 理屈が知りたいです
それを、そのページまるまる1ページ分で説明してるのですから…

(2)
3か所の円順列だと、円順列でない場合に比べ÷3 と見るなら5P3÷3 ですし、
3か所の円順列 (3-1)! に対し、どの文字の組み合わせを充てるかと見るなら、5C3×(3-1)! です。
両方とも結果は ( もちろん ) 同じになりますが、両面で考えられると良いです。
No.44253 - 2017/06/29(Thu) 00:10:41
★ (No Subject) / 名無し
すいません、127についてですが、
No.44245 - 2017/06/28(Wed) 22:53:41
☆ Re: / 名無し
私、127の(2)

途中まで
√(2)sinθcosθ-sinθ=0

まで行けたのですが、

sinθで割ってしまいました。

どうしてわれないのでしょうか？よろしくお願いします。
No.44248 - 2017/06/28(Wed) 23:01:29
☆ Re: / X
sinθ=0
のときはsinθでは割れないからです。
No.44251 - 2017/06/29(Thu) 00:02:26
★ (No Subject) / 浪漫飛行
赤玉5個、白玉9個がある。これらをA,B,Cの3つの箱に分けるとき、玉が1つも入っていない箱がないような分け方は何通りあるか。ただし、同じ色の玉は区別しないものとする。
No.44242 - 2017/06/28(Wed) 22:18:44
☆ Re: / らすかる
玉が1つも入っていない箱があってよい場合、
赤玉5個の分け方は5個の○と2個の仕切りを並べる場合の数なので7C2=21通り、
白玉9個の分け方は同様に11C2=55通りなので赤白両方では21×55=1155通り
このうち
特定の1つの箱に全部入るのは1通りなのでどれか1つの箱に全部入るのは3通り
特定の2つの箱に入るのは6×10=60通りだがこのうち2通りはどちらか片方に
全部入る場合なので、特定の2つの箱に入りどちらの箱も空ではない場合の数は
60-2=58通り
よってちょうど2つの箱に玉が入るのは58×3C2=174通り
従って求める場合の数は
1155-3-174=978通り
No.44243 - 2017/06/28(Wed) 22:51:02
★ 整数 / 名無し
68の解法を教えてください
No.44239 - 2017/06/28(Wed) 17:17:23
☆ Re: 整数 / IT
1から30までの整数ｎのうち３０と互いに素であるもの（１と７以上の素数のみ）の個数を数表で数えそれを20倍すればよいと思います。

n=30k+r、 kは0以上の整数、rは整数で1≦r≦30とすると
nと30が互いに素⇔rと30が互いに素⇔rは2,3,5を約数に持たない。
No.44241 - 2017/06/28(Wed) 18:52:55
★ (No Subject) / 名無しさん
dy/dx=(x^3+y^3)/xy^2
と、(x^2)(dy/dx)=y^2+2xy
の微分方程式の解き方が分かりません。お願いします。
No.44238 - 2017/06/28(Wed) 16:34:08
☆ Re: / ググ
同次形なら
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/dif_eq_homo.htm
のように解けます

少なくとも2問目は同次形です
1問目は曖昧さなく正しく式を書くべきです
dy/dx=(x^3+y^3)/(xy^2)
という意味ですか？　それなら同次形です
No.44240 - 2017/06/28(Wed) 18:32:57
★ (No Subject) / 名無し
画像の問17の(1)と(2)の解き方が分かりません。
問題集の問題なのですが、答えと解き方が略になっていて分かりません。お願いします。
No.44237 - 2017/06/28(Wed) 16:20:27
★ 極方程式について / ふぁい
原点を中心とした球を、xy平面、yz平面、zx平面でそれぞれ球の内部の点Pで45度ずつ各平面に対して垂直に切れ目をいれ、に8等分した時に出来る24つの立体の各体積を求めたいのですが、極方程式の面積公式のように体積を求める公式はあるのでしょうか。何か知っている方がいたら教えて頂けると嬉しいです。
No.44235 - 2017/06/28(Wed) 09:20:26
☆ Re: 極方程式について / らすかる
よくわからないのですが
「点Pで45度ずつ各平面に対して垂直に」
とはどういう意味ですか？
No.44236 - 2017/06/28(Wed) 10:51:15
★ 確率 / MK
さいころをｎ回ふるとき最小値の目が２で、かつ最大値の目が５となる確率を求めよ、という問題で、全体集合Uを２〜５のいずれかの目が出る、として２が出ない不適な場合P(A)（例えば334,3455,344)を引き、さらに５が出ない不適な場合P(B)（例334,2344,3334)を引きダブって引いてしまった場合（例334)P(A∧B)を足して
(4/6)^n-(3/6)^n-(3/6)^n+(2/6)^n
を整理したもので答えはあっていますでしょうか？よろしくお願いします
No.44225 - 2017/06/27(Tue) 23:01:52
☆ Re: 確率 / らすかる
合ってます。
No.44228 - 2017/06/27(Tue) 23:22:19
☆ Re: 確率 / MK
ありがとうございます
No.44276 - 2017/06/30(Fri) 02:52:00
★ (No Subject) / PTSD
1.同形状の赤玉6個と白玉4個を、同形状の5個の箱に2個ずつ無作為に入れていく。このとき、白玉が2つ入っている箱が1つも生じない確率を求めよ。

2.サイコロをn回振り、出た目の数字を円周に沿って順に記録していく。nを2以上の自然数とするとき、隣り合う2数がすべて異なる確率を求めよ。

どちらか1問だけでも良いので解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.44220 - 2017/06/27(Tue) 22:19:29
☆ Re: / IT
1 余事象で考えます。(メイン部分だけ書きます）
10個の玉を並べ(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10) と5つの箱に入れると考えると

並べ方は全部でC(10,4)通り。
このうち白玉が同じ箱に２個入るのは
　２つの箱に２個ずつ入る場合　C(5,2)通り
　１つの箱に２個入り２つの箱に１個ずつ入る場合　C(5,1)×C(4,2)×2^2通り
No.44226 - 2017/06/27(Tue) 23:04:50
☆ Re: / らすかる
2
数字を1列に記録するとき、隣り合う2数がすべて異なり、かつ
1番目とn番目が異なる確率をP[n]、
隣り合う2数がすべて異なり、かつ
1番目とn番目が同じである確率をQ[n]とすると、
P[2]=5/6, Q[2]=0
P[n+1]=(2/3)P[n]+(5/6)Q[n]
Q[n+1]=(1/6)P[n]
この漸化式を解いて
P[n]=(5/6)^n+5(-1/6)^n

# 1は余事象にしない方が簡単な気がします…
No.44227 - 2017/06/27(Tue) 23:21:17
☆ Re: / IT
1 (別解）「1つの箱に２つ入ってない」を「条件をみたしている」と書く
白玉を先に1,2,3,4...10 の空いたところに並べて行くと考えても良い(# ここの説得力が疑問かも）
2つ目の白玉を入れたとき条件をみたしている確率は,8/9
さらに3つ目の白玉を入れたとき条件をみたしている確率は,8/9×6/8
さらに4つ目の白玉を入れたとき条件をみたしている確率は,8/9×6/8×4/7
No.44229 - 2017/06/27(Tue) 23:23:37
☆ Re: / IT
1 余事象でない方が　早いですね。
10個の玉を並べ(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10) と5つの箱に入れると考えると

並べ方は全部でC(10,4)=210通り。
条件を満たす並び方(白玉の位置)　C(5,4)×2^4=5×16=80通り。
No.44234 - 2017/06/28(Wed) 07:38:07
☆ Re: / PTSD
皆さん回答ありがとうございました。
No.44256 - 2017/06/29(Thu) 00:36:01
★ (No Subject) / えだまめビーンズ
nは自然数で、6の倍数であるとする。
x+y+z=n (x<y<z)を満たす自然数x,y,zの組み合わせは何通りあるか。

宜しくお願い致します。
No.44219 - 2017/06/27(Tue) 21:37:19
☆ Re: / らすかる
x＜y＜zという条件がなければ、全部で(n-1)C2通り
このうちx=yであるものはn/2-1通りなのでx=y≠zであるものはn/2-2通り
y=z≠x,z=x≠yであるものも同じ
x=y=zとなるのは1通りなので、求める場合の数は
{(n-1)C2-3(n/2-2)-1}/6=(n^2-6n+12)/12通り
No.44222 - 2017/06/27(Tue) 22:40:54
★ 対数を含む軌跡の問題 / 対数
どなたか、対数を含む軌跡の問題を知っていたら教えてください。今日中です。考えてくださっても結構です。お願いします。

高校2年生なので、それまでの知識で解けるように…無理言ってすみません。問題は難しい方が勉強になるので嬉しいです。
No.44218 - 2017/06/27(Tue) 20:59:17
☆ Re: 対数を含む軌跡の問題 / 対数
明日テストで対数を含む軌跡の問題を出すとだけ先生が言っていたのですが、対数を含む軌跡の問題がどんなものか、どんな解き方なのか全然検討もつきません。もしよろしければ問題を作っていただけませんか？
No.44230 - 2017/06/27(Tue) 23:40:27
☆ Re: 対数を含む軌跡の問題 / angel
…別に対数だからといって大きく変わることもないと思いますが…。

じゃあまあ、多分少し難し目で

　log[x]y + 2log[y]x = 3 の軌跡を求めよ
　※log[x]y というのは x を底、y を真数とする対数と見てください

答えは y=x または y=x^2 ただし、x＞0,y＞0,x≠1 ( 同時に y≠1 )
No.44231 - 2017/06/28(Wed) 00:46:42
☆ Re: 対数を含む軌跡の問題 / angel
あー、もし不等式で領域を求めるところまでいくと ( 一応軌跡の問題とも言える )、若干条件の整理に慎重を期す必要がありますね。

さっきの問題をちょっと変えて

　log[x]y + 2log[y]x ≧ 3 を満たす(x,y)の領域を求めよ

だと、結構ややこしいかもしれません。

答えは
　( 0＜x＜1 かつ x≦y＜1 ) または
　( 0＜x＜1 かつ 0＜y≦x^2 ) または
　( x＞1 かつ y≧x^2 ) または
　( x＞1 かつ 1＜y≦x )
No.44232 - 2017/06/28(Wed) 01:02:02
☆ Re: 対数を含む軌跡の問題 / 対数
ほんとにありがとうございます！！！解きます！
No.44233 - 2017/06/28(Wed) 06:19:24
★ 対数 / たゆたう
xの方程式 log 2x・log 3x=-a^2が相違なる2つの解をもつとき、2つの解の積の値を求めよという問題ですが解き方を教えてください。
No.44215 - 2017/06/27(Tue) 19:30:51
☆ Re: 対数 / 関数電卓
log2x･log3x＋a^2＝(log2＋logx)(log3＋logx)＋a^2＝(logx)^2＋(log2＋log3)logx＋log2･log3＋a^2＝0
この２次方程式の２解をlogα、logβとすると、解と係数の関係より　logα＋logβ＝−(log2＋log3)＝logαβ＝−log6
よって、αβ＝1/6
No.44216 - 2017/06/27(Tue) 20:16:24
☆ Re: 対数 / たゆたう
わかりました。ありがとうございました。
No.44217 - 2017/06/27(Tue) 20:49:24
★ 2次不等式 / かなと
二次不等式 ax²＋bx＋c＞0の解が−4＜x＜3であるとき、次の問いに答えよ。

（1）b,cをaを用いて表せ。

（2）二次不等式 ax²＋2bx＋2c＜0を解け。

(2)についてなんですが、ax²＋2ax−24a＜0が x²−2x−24＞0になる理由が分かりません。 x²−2x＋24ではないのですか？
No.44213 - 2017/06/27(Tue) 14:53:27
☆ Re: 2次不等式 / らすかる
> x²−2x−24＞0になる理由が分かりません

ax²＋2ax−24a＜0 の両辺をaで割れば
aが負なのでaが単純に消えて不等号の向きが変わり
x²＋2x−24＞0となります。

# x²−2x−24＞0にはならないと思います。
No.44214 - 2017/06/27(Tue) 17:32:42
★ 省略された 計算過程について / 数学初心者
画像の ? のところの 計算がよくわかりませんでした。どういったテクニックを使っていますでしょうか？よろしくお願いします(^^)
No.44209 - 2017/06/27(Tue) 13:22:42
☆ Re: 省略された 計算過程について / らすかる
1-4y=tとすればdy=(-1/4)dtなので
∫√(1-4y)dy
=∫√t・(-1/4)dt
=(2/3)t^(3/2)・(-1/4)+C
=-(1/6)t^(3/2)+C
=-(1/6)(1-4y)^(3/2)+C
となりますね。
No.44210 - 2017/06/27(Tue) 14:03:42
☆ Re: 省略された 計算過程について / 数学初心者
ありがとうございます！
無事解き切ることができました！
(^^)
No.44212 - 2017/06/27(Tue) 14:34:47
★ 巡回置換を互換の積で表す考え方 / イオリア
σ=(1234)とすると、

(1234)=(1 4)(1 3)(1 2)
となることについてですが、確かに右辺を計算すれば左辺になるのがわかるのですが、左辺から右辺にする考え方がイマイチよくわかりません。

教科書に(k1 k2・・・kr)=(k1 kr)・・・(k1 k3)(k1 k2)
となると書いてはあるのですが、なぜそうなるのでしょうか？
教えてください！
No.44207 - 2017/06/27(Tue) 12:51:06
★ テスト前、教えて / たかつ
中３の学校のプリントで座標（√７＋√２、３√７−√２）をグラフ用紙に点としてとることができるか？で、できるが正解なのですが、その理由が全くわかりません。どうかくわしく教えてください。
No.44206 - 2017/06/27(Tue) 12:02:31
☆ Re: テスト前、教えて / ヨッシー
「点としてとる」がどういう意味かによりますが、
√７＋√２も、３√７−√２も実数なので、ある大きさを持っている。
その大きさの値を座標に取れば良いので、点としてとることが出来る。

「作図せよ」的な意味であれば、斜辺４、直角をはさむ一つの辺が３の直角三角形を描くと、
もう１辺が√７、直角をはさむ２辺が１と１の直角二等辺三角形を描くと、斜辺が√２なので、それらを使って、長さを決めることが出来る。
No.44211 - 2017/06/27(Tue) 14:17:43
★ (No Subject) / 受験
２番目の問題でx=[x]+aよりx=1,4/3,5/3となっていますが
a=0,1/3,2/3からどういった経緯でその答えが出ているのでしょうか？

３番目の問題で[x]=2 このとき2<=x<2+1/3とありますが
[x]=2なら2<=x<3じゃないのはなんでですか？
同様に[x]=1のとき5/3<=x<2となるのがなぜだかわかりません

回答よろしくお願いします
No.44199 - 2017/06/26(Mon) 22:17:21
☆ Re: / 受験
その２
No.44200 - 2017/06/26(Mon) 22:19:19
☆ Re: / 受験
その３
No.44201 - 2017/06/26(Mon) 22:20:26
☆ Re: / 受験
その４
No.44202 - 2017/06/26(Mon) 22:21:32
☆ Re: / angel
(2)
> ２番目の問題でx=[x]+aよりx=1,4/3,5/3となっていますが a=0,1/3,2/3からどういった経緯でその答えが出ているのでしょうか？

問題の前提を思い出しましょう。

xの範囲は、1≦x＜2 と限定されています。つまり、x=1 とか x=1.333 とか、x=1.95 とか。x=1.yyy… と表せる、そういった x のみが対象です。
※ yyy… といっても同じ数の繰り返しという意味ではありません

そこで、a を「x の小数点以下の部分」と置きました。
では、例えば小数点以下 a=1/3=0.333… となるような、1.yyy… と表せるような x は? と言えば、これは x=1.333…=4/3 と。そういうことです。
No.44204 - 2017/06/26(Mon) 23:07:00
☆ Re: / angel
> ３番目の問題で[x]=2 このとき2<=x<2+1/3とありますが [x]=2なら2<=x<3じゃないのはなんでですか？

いえ、[x]=2 なら 2≦x＜3 ですよ。「じゃない」わけではないです。
ただ、これよりももっと強力な条件があるから、後回しにしているだけです。

[x]=2 と仮定すれば [3x]=6 まで分かるので、そこから 6≦3x＜7 です。こっちに一足飛びで話を進めているのです。

[x]=1 の時の話も同じことです。
No.44205 - 2017/06/26(Mon) 23:11:20
☆ Re: / 受験
[x]=1のときって[3x]=3になるってことですよね
このとき3<=3x<4になるから1<=x<2だと思うんですが
5/3<=x<2となってますがここはどういう風に考えればいいのでしょうか
No.44208 - 2017/06/27(Tue) 12:55:27
☆ Re: / angel
> [x]=1のときって[3x]=3になるってことですよね

あ…。
すいません、そこは説明が足りませんでした。そういうことではないのです。

> [x]=2 と仮定すれば [3x]=6 まで分かる

これは、
　[3x]-[x]=4 という前提が問題の条件としてつけられてるから、
　[3x]=4+[x] ということで、[x]=2 から [3x]=4+2=6 と分かる
ということを言っていて、
なので、[x]=1 であれば [3x]=4+1=5 です。

[x]=2 だから [x・3]=2・3 というのは、言えませんし、使えません。
No.44224 - 2017/06/27(Tue) 22:51:00
☆ Re: / 受験
なるほど　理解できました　最後に説きなおしてる途中で疑問点が一つだけ

[3x]=[3（3[x]+a）]=[3[x]+3a]=3[x]+[3a]となってますが
[]を外す段階で3aのほうは[3a]となるのに3[x]のほうは
[3[x]]とならずに3[x]となっています
この部分深く考えずに流してしまっていたのですがなにか深く考えるべき理屈とかあるのでしょうか？
No.44279 - 2017/06/30(Fri) 13:04:51
☆ Re: / angel
> この部分深く考えずに流してしまっていたのですがなにか深く考えるべき理屈とかあるのでしょうか？

深くはないですが「整数かどうか」は気にする必要があります。

[A] というのはざっくり言うと、小数点以下を切り捨てた数を表す記号と捉えて大きく違いはありません。
※ただ、負の数の場合に間違いかねない ( 例: [-2.7]=-3 であって -2 ではない ) ので、本当は「A以下の最大の整数」の方が適切

そうすると、
　[ (整数) + (何か) ] = (整数) + [(何か)]
と、整数だと確定している部分だけ切り離したりできます。
例えば、[2+3.6]=2+[3.6] とか。

今回、[x]というのは確実に整数で、3[x]も同様です。
なので、[ 3[x] + 3a ] = 3[x]+[3a] と。整数であることが分かっている 3[x] を切り離すことができるのです。
No.44286 - 2017/07/01(Sat) 00:14:32
☆ Re: / 受験
なるほど理解できました。ありがとうございます
No.44289 - 2017/07/01(Sat) 12:48:05
★ 偏微分（最大・最小） / たなお
偏微分についての質問です。
以下の問題が本に載っていました。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
体積が一定の直方体のうち、表面積が最小のものを求めよ。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

相加相乗平均を使っても解けますが、偏微分の分野で出てきたので偏微分を使って解こうと、「考えその１（下部に記載）」のように考えていきました。
答え自体はあっていたのですが、回答の部分にヒントとして以下のことが書いてありました。

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＜ヒント＞
変数x、y、z は条件 φ(x,y,z) = 0 をみたして変化するとき、3変数の関数 u = f(x,y,z) について次のことが言える；

　　関数 u が極値を取る点では、次の比例式が成り立つ（極値の必要条件）。

　　　fx/φx = fy/φy = fz/φz

　　　　※見やすいように、このヒント欄では∂f/∂x を fx、∂φ/∂x を φx と表記しています。
　　　　　y、zについても同様です。
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このヒントを使って解いてみようと、「考えその２（下部に記載）」のように考えてみました。しかし、極値をとるx、y、z は分かっても、それが最小であるとどう示したらいいのかが分かりません。

最小であることをどう示せばいいか、ご教授いただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

↓↓↓↓↓↓　以下、私の考え方です　↓↓↓↓↓↓

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＜考えその１＞
体積をV、表面積をS、直方体の縦横高さをそれぞれx、y、zとすると

　　V = xyz　　　　　　・・・⑴
　　S = 2(xy + yz + zx)　・・・⑵

⑴より

　　z = V/(xy)

⑵に代入して

　　S = 2(xy + V/x + V/y)

　　∂S/∂x = 2(y - V/x^2)
　　∂S/∂y = 2(x - V/y^2)

　　∂^2S/∂x^2 = 4V/x^3
　　∂^2S/∂x∂y = 2
　　∂^2S/∂y^2 = 4V/y^3

Sが極値を取るとき、

　　∂S/∂x = ∂S/∂y = 0

となるので、これを解くと

　　x = y = V^(1/3)

⑴に代入し、

　　x = y = z = V^(1/3)

となる。
この時、D<0、∂^2S/∂x^2 > 0 なので、　　　　　
x = y = z = V^(1/3)のとき、表面積は最小となる。

※Dは判別式です
　　D = (∂^2S/∂x∂y)^2 - (∂^2S/∂x^2)(∂^2S/∂y^2)
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＜考えその２＞
体積をV、表面積をS、直方体の縦横高さをそれぞれx、y、zとすると

　　V = xyz　　　　　　・・・⑴
　　S = 2(xy + yz + zx)　・・・⑵

　　∂S/∂x = 2(y + z)
　　∂S/∂y = 2(z + x)
　　∂S/∂z = 2(x + y)

⑴より、φ(x,y,z) = xyz - V = 0 とすると

　　∂φ/∂x = yz
　　∂φ/∂y = zx
　　∂φ/∂z = xy

Sが極値を取るのであれば、ヒントの式より

　　(y + z)/yz = (z + x)/zx = (x + y)/xy

これを解いて

　　x = y = z

⑵に代入して

　　x = y = z = V^(1/3)
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No.44197 - 2017/06/26(Mon) 11:54:46
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