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通過領域 / 高校3年生
はじめまして。
解説を読んで、それぞれ範囲を出すところまでは理解出来たんですが、領域の図示の仕方が分かりません……。
領域はそれぞれの共通している所だと思ったのですが、違うんですか??
お願いします。

No.44622 - 2017/07/13(Thu) 18:39:10

Re: 通過領域 / X
>>領域はそれぞれの共通している所だと思ったのですが、違うんですか??
はい、違います。

(I)(II)で場合分けしていますので、求める領域は
(I)で得られる領域(つまり?A)
「又は(かつ、ではありません)」
(II)で得られる領域(つまり?B)
となります。

No.44628 - 2017/07/13(Thu) 20:54:37

Re: 通過領域 / 高校3年生

場合分けのときの領域は「又は」ということですね。
助かりました。ありがとうございました!

No.44629 - 2017/07/13(Thu) 21:09:33

Re: 通過領域 / らすかる
『場合分けのときの領域は「又は」』と考えてはいけません。
「かつ」の場合もあります。
問題ごとに場合分けの意味を考えて判断しましょう。

No.44632 - 2017/07/13(Thu) 22:05:40

Re: 通過領域 / 高校3年生
たしかに、問題ごとに確認すべきですね。
ありがとうございますm(_ _)m

No.44638 - 2017/07/14(Fri) 00:33:57
(No Subject) / 高3
わかりませんでした
お願いします

No.44612 - 2017/07/13(Thu) 15:04:05

Re: / 高3
すいません件名入れ忘れました
No.44616 - 2017/07/13(Thu) 15:27:30

Re: / たなお
とりあえず1問目についてUPします。

  an = a + nd  初項:a 公差d

と置くと、

  bn = {1・a + 2・(a + d) + 3・(a + 2d) + … + n(a + n(n-1)d)}/(1 + 2 + 3 + … + n)
  = {(1 + 2 + 3 + … + n)/(1 + 2 + 3 + … + n)}・a + (1・0 + 2 ・1 + 3・2 + … + n(n-1))d}/(1 + 2 + 3 + … + n)

  = a + {Σ[k=1..n]k(k-1)d}/(1 + 2 + 3 + … + n)

  = a + {Σ[k=1..n](k^2-k)d}/(1 + 2 + 3 + … + n)

  = a + {Σ[k=1..n]k^2d}/(1 + 2 + 3 + … + n) - {Σ[k=1..n]kd}/(1 + 2 + 3 + … + n)

  = a + {(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2)/(1 + 2 + 3 + … + n)}・d - d

ここで、

  1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
  1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

より、

  bn = a + {n(n+1)(2n+1)/6}/{n(n+1)/2} ・d - d

  = a + (n+2)/3 ・d - d
  
  = a - (n-1)・(d/3)

よって、bn は等差数列である。

No.44617 - 2017/07/13(Thu) 15:56:21

Re: / たなお
(2)について、PCで打つとかなり見辛くなってしまったので紙に書きました。
画像を添付します。

画像で見辛い部分があったり、その他質問があれば再度投稿願います。

No.44619 - 2017/07/13(Thu) 16:50:48

Re: / たなお
ちなみに、画像では

(1 + 2 + 3 + … + n)

などを途中から

(1 + … + n)

の様に略して記載しています。すっきりさせたかったので。。。表記として正しいかどうかなどはここでは無視してください。

No.44620 - 2017/07/13(Thu) 16:53:41

Re: / たなお
すません、画像の最後から2番目の行の部分で訂正です。

誤:b + (3n-1)・(d/2)
正:b + 3(n-1)・(d/2)

今日は訂正が多いですね。。。すいません。
もう少し慎重にチェックします。

No.44621 - 2017/07/13(Thu) 16:59:10

Re: / 高3
とても見やすくて助かりました
ありがとうございます。

No.44623 - 2017/07/13(Thu) 19:04:45
整数 / 高3
2次方程式x^2-4x-3=0の2つの解をα、β(α>β)とし、
an=α^n+β^n(n=1,2,3...)
とおく。
(1)anは3で割ると1余る整数であることを示せ
(2)α^nの整数部分を3で割った余りを求めよ
お願いします

No.44602 - 2017/07/13(Thu) 12:28:07

Re: 整数 / たなお
解答させていただきます。
分かりにくいところがあれば再度質問願います。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(1)anは3で割ると1余る整数であることを示せ

   α^n+β^n

  = (α + β)^n - Σ[k=1..n-1](nCk・α^(n-k)・β^n) ・・・「1」

ここで、解と係数の関係より、α + β = 4 、α・β = -3 であるので、

  (α + β)^n = 4^n

  α^(n-k)・β^n = -3(α^(n-k-1)・β^(n-1))
   ⇒ Σ[k=1..n-1](nCk・α^(n-k)・β^n)は3の倍数

であるとわかる。
4^n について 4 = 3m+1 とおくと、

  (3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1

よって 4^n を3で割った時の余りは1。

以上より、anは3で割ると1余る整数である。

つづけて(2)についてもUPします。

No.44604 - 2017/07/13(Thu) 13:39:08

Re: 整数 / らすかる
(1)別解
解と係数の関係から α+β=4、αβ=-3
a[1]=α+β=4=3×1+1
a[2]=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=22=3×7+1
n≧3のとき、a[n-1]=3k+1とおくと
a[n]=α^n+β^n=(α+β){α^(n-1)+β^(n-1)}-αβ{α^(n-2)+β^(n-2)}
=4a[n-1]+3a[n-2]=4(3k+1)+3a[n-2]=3(4k+a[n-2]+1)+1
∴a[n]は3で割ると1余る整数
(2)
β=2-√7なので-1<β<0
nが奇数のとき -1<β^n<0なので [α^n]=α^n+β^n ∴3で割った余りは1
nが偶数のとき 0<β^n<1なので [α^n]=α^n+β^n-1 ∴3で割った余りは0

No.44605 - 2017/07/13(Thu) 13:46:32

Re: 整数 / たなお
すいません、先ほどの解答について2箇所訂正です。

★1箇所目・・・式「1」
β^n ではなく β^kです

誤:(α + β)^n - Σ[k=1..n-1](nCk・α^(n-k)・β^n)
正:= (α + β)^n - Σ[k=1..n-1](nCk・α^(n-k)・β^k) 


★2箇所目・・・下から4行目の式
別のところで使ったものを誤ってコピペしてしまいました。

誤:(3m + 1)^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3(3m^2 + 2m) + 1
正:(3m + 1)^n = (3m)^n + 1^n + Σ[k=1..n-1](nCk・(3m)^(n-k)・1^k)

よろしくお願いします。

No.44606 - 2017/07/13(Thu) 13:51:32

Re: 整数 / たなお
(2)の解答については、らすかるさんが自分の考えと同じ解答してくださっているので割愛します。

よろしくお願いします。

No.44609 - 2017/07/13(Thu) 14:17:13

Re: 整数 / 高3
お二方解答ありがとうございます
たなおさんに質問なのですが
4^n について 4 = 3m+1 とおくと
このように置くのは初めて見るのですが良いのですか?
無知ですいません

No.44611 - 2017/07/13(Thu) 14:50:25

Re: 整数 / たなお
高3 さん

4^n について、 4 = 3+1 と置いた方が良かったかもしれませんね。すいません。

ある整数 x について、x^n を3で割った余りを求めるといった問題の場合、
x = 3m + 1 のときの余りの求め方が上記に書いたものにまります。
今回はそれを利用してm = 1 の場合を考えたものになります。

ちなみに 4 = 3+1 として式を書き直すと

  (3 + 1)^n = (3)^n + 1^n + Σ[k=1..n-1](nCk・(3)^(n-k)・1^k)

となって、やはり余りは1になります。

No.44615 - 2017/07/13(Thu) 15:26:33
数的推理 / はやて
初めまして
この問題いくら考えてもわからないです
わかりやすい説明で解き方教えていただけないでしょうか?

No.44601 - 2017/07/13(Thu) 10:46:59

Re: 数的推理 / たなお
はやて さん

初めまして。
解答させていただきます。

「悪い」と答えた人の割合を x % とします。
その場合、それぞれの解答の%は以下の様になります。

良い     :x - 10
あまり良くない:3(x - 10)
悪い     :x             ※いずれも単位は%

全てを合計すると100%になるので、

 (x - 10) + 3(x - 10) + x = 100

 5x - 40 = 100

 5x = 140

 x = 28

よって答えは28%になります。

No.44603 - 2017/07/13(Thu) 12:40:47

Re: 数的推理 / らすかる
問題がよくないですね。
おそらくたなおさんのような解答を期待している問題と思われますが、
本当は「aがbより10%少ない」というのは「aがbの0.9倍」という意味ですから、
正しく問題文を解釈して解答すると

「悪い」と答えた人の割合をx(%)とすると、条件から
「悪い」→x
「良い」→ x×0.9
「あまり良くない」→ 3(x×0.9)
よって
x+x×0.9+3(x×0.9)=100
10x+9x+3(9x)=1000
46x=1000
x=500/23≒21.7
よって解答の選択肢から選ぶならば1

のようになります。

# NHKでは、例えばaが72%、bが80%だった場合、
# 差は8%ですが実際は10%少なく、紛らわしいので
# 決して「aはbより8%少ない」のような言い方はせず、
# 「aはbより8ポイント少ない」と言っています。

No.44607 - 2017/07/13(Thu) 14:00:08

Re: 数的推理 / たなお
らすかる さん

NHKでは「ポイント」という単語を確かに使ってますね。
自分も最初は x×0.9 かなと思ったんですが、その場合は「aがbの10%少ない」という言い方になるかなと思い、上の解答にしました。本当はどっちなんですかね?

自分はあまり日本語が得意ではないので、勉強になりました。ありがとうございます。

No.44608 - 2017/07/13(Thu) 14:08:26

Re: 数的推理 / らすかる
「10%少ない」は本来は0.9倍という意味のはずですが、
比較するもの自体が%の値の場合はまぎらわしいですね。
日常会話では単純に%の値から10引くという意味でいう人が多いかも知れません。
二つの意味に解釈できる曖昧な言葉なので、誤解されてはいけないような場合
(ニュースなどの公的発言や試験問題)では使うべきではないと思います。
この問題では、「10引く」と解釈すると綺麗な数字になりますので、
おそらくたなおさんの解答が正解になるものと思います。

No.44610 - 2017/07/13(Thu) 14:26:25
面白い()ゲーム / ナイロン66
【問題】

aを2以上の自然数とする。長さaの線分ABを数直線上で移動させる次のようなゲームを考える。

<ルール>
・サイコロを投げて出た目の数が2以下なら正の方向へ1、それ以外なら負の方向へ1移動する。
・これを繰り返し、どちらかの端点が原点Oに到達したらゲームは終了する。
・線分の左端Aは、ゲーム開始時には座標-nの位置にある。(nは0<n<aをみたす自然数)

<設問>
端点Aが原点Oに到達してゲームが終了する確率を求めよ。

No.44599 - 2017/07/12(Wed) 20:58:42

Re: 面白い()ゲーム / らすかる
きれいな答えになるような気がしませんが、
もしかして自作問題ですか?

No.44614 - 2017/07/13(Thu) 15:09:12

Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66
>らすかるさん

いえ、学校で課された問題です。

No.44618 - 2017/07/13(Thu) 16:01:30

Re: 面白い()ゲーム / IT
線分ABを固定して、原点O=Xが動くと考えたほうが分かりやすいので、そうします。

Aのx座標を0、Bのx座標をa,Xのx座標をk(最初はn)とします。
点XがBの方に動く確率をpとするとp=2/3
点XがAの方に動く確率をqとするとq=1/3

Xがkの位置を出発して、Aに到達する前にBに達する確率をf(k) とすると,
f(0)=0,f(a)=1.
0<k<aについて, f(k)=pf(k+1)+qf(k-1).
よって,  (p+q)f(k)=pf(k+1)+qf(k-1).
移項して,p(f(k+1)-f(k))=q(f(k)-f(k-1)).
r=q/p とおくと,f(k+1)-f(k)=r(f(k)-f(k-1)) 等比数列.

漸化式を解くと,求める確率は1-f(n)=1-((r^n-1)/(r^a-1)).
ここにr=1/2 を代入。

(注) f(k) が確定することを前提にしています。

No.44624 - 2017/07/13(Thu) 19:22:58
高校入試 / 健児
どういうふうに影ができるのかがわかりません。
よろしくお願いします。

No.44587 - 2017/07/12(Wed) 02:48:06

Re: 高校入試 / X
問題の影は直線OC,OG,OH,ODと床との
4つの交点を頂点とする平行四辺形
となります。

No.44588 - 2017/07/12(Wed) 05:57:46

Re: 高校入試 / らすかる
平行四辺形にはならないと思います。
(あと、OC,OG,OH,ODではなくPC,PG,PH,PDですね。)

No.44589 - 2017/07/12(Wed) 06:50:53

Re: 高校入試 / X
>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>健児さんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
問題の影は直線PC,PG,PH,PDと床との4つの
交点を頂点とする四角形となります。

No.44590 - 2017/07/12(Wed) 08:42:05

Re: 高校入試 / 健児
ところで、問題の答えはいくらなんですか?
No.44592 - 2017/07/12(Wed) 10:42:35

Re: 高校入試 / X
方針はNo.44590の通りです。
従ってこれを解くには三次元座標を設定する
などが適当であり、中学数学の範囲で解くと
かなり煩雑になります。

高校数学の範囲でという条件付きであれば
以下のようになります。
(注:中学数学の範囲で解きたい、
という条件であればその旨を
アップして下さい。)

点Oを原点に、直線lを↑OPの向きにx軸として
設定します。
更に↑ADの向きをy軸の向きとします。
このとき
P(5,0,0)

C(0,1,-1)
D(-1,1,-1)
G(0,1,-2)
H(-1,1,-2)
よって直線CP,DP,GP,HPの方程式はそれぞれ
(x-5)/(-5)=y/1=z/(-1) (A)
(x-5)/(-6)=y/1=z/(-1) (B)
(x-5)/(-5)=y/1=z/(-2) (C)
(x-5)/(-6)=y/1=z/(-2) (D)
又、床に対応する平面の方程式は
z=-3 (E)
(A)(B)(C)(D)と(E)との交点をそれぞれ
C',D',G',H'
とすると
C'(-10,3,-3)
D'(-13,3,-3)
G'(-5/2,3/2,-3)
H'(-4,3/2,-3)
面積を求めたい図形は
四角形C'D'H'G'
であり、上述の座標から
C'D'//G'H'
ですので、これは台形となっています。
ここで直線C'D',G'H'の間の距離を
hとすると
h=3-3/2=3/2
よって求める面積をSとすると
S=(1/2)(C'D'+G'H')h
=(1/2){(-10-(-13))+(-5/2-(-4))}(3/2)
=(3/4)(7-5/2)
=(3/4)(9/2)
=27/8
となります。

No.44593 - 2017/07/12(Wed) 12:49:48

Re: 高校入試 / らすかる
二次元的に考える別解

平面ABCDを考え、A(0,1)B(0,0)C(1,0)D(1,1)とします。
上から見た図で考えると、A=E、O=B=F、C=G、D=H、P(0,-5)となります。
PとGの中点G'は平面ABCD上にあり、座標は(1/2,-5/2)です。
PとHの中点H'も平面ABCD上にあり、座標は(1/2,-2)です。
面CGHDの影は台形CG'H'Dの影と一致します。
台形CG'H'Dの面積は(1/2+1)×(1/2)÷2=3/8で、
Pから影までの距離はPから台形CG'H'Dまでの距離の3倍ですから
求める影の面積は3/8×3^2=27/8となります。

No.44594 - 2017/07/12(Wed) 14:16:48
図形の問題 / ぶどう
いつも詳しい解説ありがとうございます。
図形の問題なのですが 八角形の1つの角と同じに
なることを利用するのだと思うのですが
よくわかりません。

解説よろしくお願いします。

No.44576 - 2017/07/11(Tue) 10:54:10

Re: 図形の問題 / たなお
ぶどうさん

見辛いかもしれませんが。。。画像をUPします。
正八角形の1つの角は135°です。これを利用すると

 ★ = (180° - 135°)/2
 ● = (360° - (135° + 135°))/2

と分かります。
以上から、角アの対向の角の角度を求めることができるので、角アの角度も分かります。

No.44581 - 2017/07/11(Tue) 15:27:17

Re: 図形の問題 / ぶどう
たなおさん 詳しい解説ありがとうございました。
理解できました。

No.44582 - 2017/07/11(Tue) 16:04:13
面白い()ゲーム / ナイロン66
【問題】

A,Bの2人がいる。投げたとき、表と裏の出る確率がそれぞれ1/2のコインが1つあり、最初はAがコインを持っている。
次の操作を繰り返し、A,Bのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。

<操作>
(?T)Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればAに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(?U)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表がでればBに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。

<設問>
A,Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率を求めよ。

No.44575 - 2017/07/11(Tue) 10:47:59

Re: 面白い()ゲーム / angel
Bが2点取って勝利しては問題の条件に合いませんから、Bが自分の手番で出せる表は1回までです。
一方、今回Aが勝利ということですので、表を丁度2回 ( しかも1回は最後に ) 出すことになります。

というところで、Aの手番を基準として考えます。
選択肢は、

(1) Aが表を出して、またAの手番になる
(2) A裏→B裏でAの手番に戻る
(3) A裏→B表→A裏でAの手番に戻る

ですが、(3)は1回以下、(1)は2回です。

なので、n の偶奇によって変わります。

* nが偶数
 ( (1)×1回 + (2)×(n/2-1)回 )→(1)で終結
 確率 n/2・(1/2)^n
* nが奇数で 1 or 3
 Aの勝利で終わる状況が起り得ません。確率 0
* nが奇数で 5以上
 ( (1)×1回 + (2)×((n-5)/2)回 + (3)×1回 )→(1)で終結
 確率 (n-1)/2・(n-3)/2・(1/2)^n

まとめると、
* nが偶数 … n/2^(n+1)
* nが奇数 … (n-1)(n-3)/2^(n+2)
※奇数の場合は、結果的に1つの式にまとめることができています

No.44585 - 2017/07/12(Wed) 00:07:16

Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66
>angelさん

解説ありがとうございました!

No.44596 - 2017/07/12(Wed) 17:35:11
面白い()ゲーム / ナイロン66
【問題】

1からNまでの数字が書かれたカードを計N枚用意し、甲,乙の2人が次の手順でゲームを行う。

<手順>
(?T)甲が1枚カードを引く。そのカードに書かれた数字をaとする。引いたカードは元に戻す。
(?U)甲はもう1枚カードを引くかどうかを選ぶ。引いた場合、そのカードに書かれた数字をbとする。引いたカードは元に戻す。引かなかった場合、b=0とする。a+b>Nの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了とする。
(?V)a+b≦Nの場合、乙が1枚カードを引く。そのカードに書かれた数をcとする。引いたカードは元に戻す。a+b<cの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了とする。
(?W)a+b≧cの場合、乙はもう1回カードを引く。そのカードに書かれた数字をdとする。a+b<c+d≦Nの場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。

<設問>
(1)甲が2回目にカードを引かないことにしたとき、甲が勝つ確率をaを用いて表せ。

(2)甲が2回目にカードを引くことにしたとき、甲が勝つ確率をaを用いて表せ。

No.44574 - 2017/07/11(Tue) 10:41:15

Re: 面白い()ゲーム / らすかる
cとは?
No.44586 - 2017/07/12(Wed) 00:35:05

Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66
>らすかるさん

修正しました。どうぞよろしくお願いします。

No.44595 - 2017/07/12(Wed) 17:34:36

Re: 面白い()ゲーム / らすかる
(1)
乙が引いたカードcがa以下の確率はa/N
その後乙が2枚目に引いたカードdとの和がa<c+d≦Nを満たすような
dはN-a通りなので、満たさないのはa通り、よって満たさない確率はa/N
従って甲が勝つ確率は(a/N)^2

(2)
甲の引いた2枚の和が
a+1〜Nになる確率がそれぞれ1/Nずつなので、求める確率は(1)を利用して
Σ[k=a+1〜N](1/N)(k/N)^2
={Σ[k=1〜N](1/N)(k/N)^2}-{Σ[k=1〜a](1/N)(k/N)^2}
={N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}/(6N^3)

No.44598 - 2017/07/12(Wed) 18:52:54

Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66
分かりやすい解説をありがとうございました!
No.44613 - 2017/07/13(Thu) 15:09:11
(No Subject) / 勉強
イでa<=のとき x+3>0なら?Aが成り立つので とありますがこれは
a>0のとき絶対値x<aならば-a<x<aの公式のa>0の部分のことですよね
a>0の条件の時に確認していないのはなぜですか?飛ばしてるだけなのでしょうか?

また x+3>0なら?Aが成り立つので?Aの解はx>-3を含み
このとき?Aの解が?Bになることはないとありますがなぜですか?数直線で書いてみるとx>-3の範囲に-6/11<x<bは含まれうると思うのですが

回答よろしくお願いします

No.44569 - 2017/07/11(Tue) 09:28:10

Re: / 勉強
続き
No.44570 - 2017/07/11(Tue) 09:30:18

Re: / らすかる
> イでa<=のとき x+3>0なら?Aが成り立つので とありますがこれは
> a>0のとき絶対値x<aならば-a<x<aの公式のa>0の部分のことですよね


違います。その公式とは関係ありません。
a≦0ならば(左辺)≦0なので
(右辺)>0であれば(左辺)≦0<(右辺)となり?Aが成り立つ、ということです。


> また x+3>0なら?Aが成り立つので?Aの解はx>-3を含み
> このとき?Aの解が?Bになることはないとありますがなぜですか?
> 数直線で書いてみるとx>-3の範囲に-6/11<x<bは含まれうると思うのですが


「含まれる」ではいけません。
x-a|x|+3>0 の解が -6/11<x<b にならなければいけないのです。
x>-3 を満たすすべてのxで成り立ってしまうと、
例えばx=-2とかx=-1も解に含んでしまいますので
解が「-6/11<x<b」となることはあり得ません。

No.44571 - 2017/07/11(Tue) 09:50:27

Re: / 勉強
なるほど 理解できました ありがとうございました
No.44591 - 2017/07/12(Wed) 09:21:18
意味不明 / 健児
m<√x<m+4を満たすxの値のうち√xが整数でないものが300個あるとするときのmの値を求めよ。意味がわかりません。どうか教えてください。
No.44565 - 2017/07/11(Tue) 03:44:51

Re: 意味不明 / らすかる
例えばm=1の場合、
m=1=√1,m+4=5=√25なので
1〜5の間には√2〜√24の23個がありますが
このうち3個は整数(2,3,4)なので
m=1の場合は√xが整数でないものは20個です。
m=10ならば√100と√196の間ですから92個です。

辺々2乗して
m^2<x<m^2+8m+16
でありm^2とm^2+8m+16の間に整数は8m+15個ありますが、
そのうち3個((m+1)^2と(m+2)^2と(m+3)^2)は√を付けても整数ですから
√を付けた時に整数でないものは8m+12個です。
従って8m+12=300からm=36となります。
実際
36<√x<40
1296<x<1600
1297〜1599のうち37^2=1369,38^2=1444,39^2=1521を除いた300個が
√を付けて整数でないものとなります。

No.44567 - 2017/07/11(Tue) 03:59:36

Re: 意味不明 / 健児
ありがとうございます。納得しました。
No.44577 - 2017/07/11(Tue) 12:08:34
高校入試問題 / たかつ
69÷(3×7)+69÷(7×11)+69÷(11×15)+69÷(15×19)+69÷(19×23)を計算せよという問題ですが、どうすれば簡単に計算できるのですか、教えてください。
No.44564 - 2017/07/11(Tue) 03:39:07

Re: 高校入試問題 / らすかる
69/(a(a+4))=(1/4){69/a-69/(a+4)} なので
69/(3×7)+69/(7×11)+69/(11×15)+69/(15×19)+69/(19×23)
=(1/4){(69/3-69/7)+(69/7-69/11)+(69/11-69/15)+(69/15-69/19)+(69/19-69/23)}
=(1/4)(69/3-69/23)
=(1/4)(23-3)
=5

No.44566 - 2017/07/11(Tue) 03:51:20

Re: 高校入試問題 / たかつ
すごいですね。こんな簡単にできるんだ。
No.44578 - 2017/07/11(Tue) 12:10:05
(No Subject) / ラオニッチ
次の方法で12人の中から委員を選ぶ。選ばれる委員の数が4人になる確率および5人になる確率を求めよ。

選び方:12人の中から異なる2人を記した計66枚のカードを用意し、その中から3枚を取り出す。3枚のカードに記されている人が委員になる。(選ばれる委員の数は3人から6人まで考えられる)

宜しくお願いします。

No.44559 - 2017/07/11(Tue) 01:48:03

Re: / らすかる
4人になる確率
(a,b)(c,d)(a,c)のように最初の2枚で4人になり、3枚目は既出の人2人の場合
1×10C2/65×4/64=9/208
(a,b)(b,c)(a,d)のように最初の2枚で3人になり、3枚目は既出の人+他の人の場合
1×(10×2)/65×(9×3)/64=27/208
計 9/52

5人になる確率
(a,b)(c,d)(a,e)のように最初の2枚で4人になり、3枚目は既出の人+他の人の場合
1×10C2/65×(8×4)/64=9/26
(a,b)(b,c)(d,e)のように最初の2枚で3人になり、3枚目は他の人2人の場合
1×(10×2)/65×9C2/64=9/52
計 27/52

No.44563 - 2017/07/11(Tue) 03:13:35
三角比 / 星
四角形ABCDがあり、AB=BC=CD=2、角ABC=60、cos角BCD=−1/4
である。辺BC上に点EをDEとABが平行になるようにとる。また、辺BCの中点をMとし、辺AB上に点FをFMとDMが垂直になるようにとる。

問題
(1)sin角BMFの値を求めよ。
(2)FMの長さを求めよ。また、三角形EFMの面積を求めよ。

自分の解答
(1)√6/4
(2)FM=(√10−√2)/2、面積は(√15−2√3)/2

合っているかどうかも含めて、解説お願いします。

No.44557 - 2017/07/10(Mon) 23:15:21

Re: 三角比 / ヨッシー
こちらと同じ問題ですね。
No.44568 - 2017/07/11(Tue) 09:20:06

Re: 三角比 / 星
おーけー
合ってました。

No.44572 - 2017/07/11(Tue) 10:14:41
図形 / たゆたう
鋭角三角形ABCの角A=45°でAから辺BCに垂線を下ろし交点をDとするときBD=2,DC=3である。三角形ABCの面積を求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。
No.44553 - 2017/07/10(Mon) 19:46:34

Re: 図形 / X
加法定理を学習済み、という前提で回答します。

∠BAD=θ
と置くと、条件から
AD=2/tanθ=3/tan(45°-θ) (A)
これより
3tanθ=2tan(45°-θ)
3tanθ=2(1-tanθ)/(1+tanθ)
ここで
tanθ=t
と置くと
3t(1+t)=2(1-t)
3t^2+5t-2=0
(3t-1)(t+2)=0 (B)
条件から0°<θ<45°
∴0<t<1
∴(B)からt=1/3
よって(A)より
AD=6
となるので求める面積は
(1/2)AD・BC=(1/2)AD・(BD+DC)
=15

No.44554 - 2017/07/10(Mon) 21:11:01

Re: 図形 / たゆたう
わかりました。ありがとうございました。
No.44558 - 2017/07/10(Mon) 23:23:29
(No Subject) / 夏樹
問題
√(3-x) + √(5x-4) の最大値を求めよ

解答
√(3-x) = X √(x-4/5 ) =Y とする
つまり
X^2 + Y^2 = 11/5 X,Y≧0 の元のX+Yの範囲を求めれば良い
以下省略....


「X^2 + Y^2 = 11/5 」の所だけ解説をお願いします

なぜx,yそれぞれ2乗してその範囲で求められるのですか??(つまり、A+B を求めるときA^2+B^2ってやったら絞れちゃうの??)xを消したいのはわかるんですがそんなことして良いんですか??

No.44548 - 2017/07/10(Mon) 18:23:27

Re: / たなお
夏樹さん

認識が違っていたらすいません。
なぜ X,Y >= 0 と範囲を指定できるのかということでよろしいでしょうか?

理由としては、解答の1行目で
  √(3-x) = X
  √(x-4/5 ) =Y
と置いているためです。X=√a と置いたら、X >= 0 となります。X=-√a と置いたら、X <= 0 となります。
「X^2 + Y^2 = 11/5」と式を置くことと、X,Yの範囲は関係ありません。

もし、質問の意図が違えば再度ご質問願います。

No.44551 - 2017/07/10(Mon) 19:17:12

Re: / たなお
ちなみに、問題では「√(5x-4)」で、解答では「√(x-4/5 ) 」となっていますが、これはあってますか?どちらが正しいのでしょう?
No.44552 - 2017/07/10(Mon) 19:31:05
行列の問題 / たなお
行列の分野で出てきた問題について質問があります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
<問題>
次の連立1次方程式が x=y=0 以外の解を持つように、定数 a の値を定めよ。

2x + (1-a)y = 0
ax - 3y = 0
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

この問題について、私は添付画像の様に考えました。
この考え方で問題ないでしょうか?
また、他にも良い考え方があれば教えていただきたいです。

質問させていただいた意図としては、「掃き出し法」と「逆行列」の項目で出てきた問題なのに、それらを使わない方法で解いてしまったためです。また、それらを使って解く方法がうまく思いつきません。

よろしくお願いいたします。

No.44546 - 2017/07/10(Mon) 17:13:24

Re: 行列の問題 / たなお
すいません、添付画像の3行目は間違っていました。
行列式は正方行列でないとダメでしたね。

上記の問題をどの様に解いたらいいか教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。

No.44547 - 2017/07/10(Mon) 17:16:50

Re: 行列の問題 / ヨッシー
(x,y)≠0 なので、の部分を、
(・・・・)が逆行列を持つと仮定すると、両辺左からそれをかけて、
 (x,y)=0 となり不適。
のように書けば、逆行列の単元の解き方になるのでは?

No.44549 - 2017/07/10(Mon) 18:29:25

Re: 行列の問題 / たなお
ヨッシーさん

なるほど!そうすればいいのですね!
ありがとうございます。

No.44550 - 2017/07/10(Mon) 18:49:43
(No Subject) / 62円の値打ち
問題

2人が1対1で対戦する競技の大会に8人の選手が参加する。

1日の試合の組み合わせ表は、どの選手も1試合ずつ行うように4試合の組み合わせを決めたものである。

1日目の試合終了後、2日目の対戦相手を無作為に決めるとき、どの選手の対戦相手も1日目と2日目で異なっている確率を求めよ。

解説をお願いします。

No.44543 - 2017/07/10(Mon) 15:33:52

Re: / らすかる
1日目の対戦組合せが(a,b)(c,d)(e,f)(g,h)だったとします。
2日目に
aがb以外と対戦する確率は6/7
aの対戦相手はc,d,e,f,g,hの誰でも同じ条件なのでcとします。
残りはb,d,e,f,g,hです。
bがdと対戦した場合、eがf以外と対戦する確率は2/3です。
bがd以外と対戦した場合、対戦相手はe,f,g,hの誰でも同じ条件なのでeとします。
残りはd,f,g,hです。このときgがh以外と対戦する確率は2/3です。
従ってbが誰と対戦しても条件を満たす確率は2/3ですから、
求める確率は(6/7)(2/3)=4/7となります。

No.44544 - 2017/07/10(Mon) 16:19:18
(No Subject) / rin
数3の微分です。
(2)がわかりません。
どうしたらいいのでしょう。

No.44542 - 2017/07/10(Mon) 14:16:17

Re: / X
x(θ)=(1/3)cosθ+(2/3)sinθ (A)
y(θ)=(1/6)cosθ-(2/3)sinθ (B)
と置くと
dx(θ)/dθ=-(1/3)sinθ+(2/3)cosθ (C)
dy(θ)/dθ=-(1/6)sinθ-(2/3)cosθ (D)
一方、求める接線の方程式は
(dy(θ)/dθ)(x-x(θ))-(dx(θ)/dθ)(y-y(θ))=0 (E)
(A)(B)(C)(D)を(E)に代入して
(-(1/6)sinθ-(2/3)cosθ)(x-(1/3)cosθ-(2/3)sinθ)
-(-(1/3)sinθ+(2/3)cosθ)(y-(1/6)cosθ+(2/3)sinθ)=0

(sinθ+4cosθ)(3x-cosθ-2sinθ)
+(-sinθ+2cosθ)(6y-cosθ+4sinθ)=0 (E)'

これが点(2,0)を通るので
(sinθ+4cosθ)(6-cosθ-2sinθ)+(-sinθ+2cosθ)(-cosθ+4sinθ)=0 (E)"
(E)"を展開して整理をすると
sinθ+4cosθ=1
これと
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
とを連立して解くことにより
(sinθ,cosθ)=(15/17,8/17),(1,0)
よって(E)'により接線の方程式は
x-2y=2 (P)
47x+2y-34=0 (Q)
接点の座標は
(P)に対して
(2/3,-2/3)
(Q)に対して
(38/51,-26/51)

上記の二組の解答の内、解答欄6〜13に合うものは
(P)についてのもの、つまり
接点:(2/3,-2/3)
接線:y=(1/2)x-1
となります。

No.44562 - 2017/07/11(Tue) 03:04:58

Re: / angel
一応一点だけ。

> 上記の二組の解答の内、解答欄6〜13に合うものは

解が2組あるように思えますが、実際は

> (sinθ,cosθ)=(15/17,8/17),(1,0)

この2解の前者が正しくは (-15/17,8/17) で、θの値として 0≦θ≦πに収まっていないので除外、かと思います。
※最終的な答えとして問題はありませんが

No.44600 - 2017/07/13(Thu) 00:38:20
確率 / ICE
以下の問いの解法を教えてください。

問1.n個のサイコロを投げたとき、出目が4種類になる確率を求めよ。

問2.サイコロをn回投げ、出た目を順にX[1],X[2],…,X[n]とする。さらに、Y[1]=X[1]、Y[k]=X[k]+1/Y[k-1](k=2,3,…,n) によってY[1],Y[2],…,Y[n]を定める。
このとき、(1+√3)/2≦Y[n]≦1+√3 となる確率P[n]を求めよ。

どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします!

No.44539 - 2017/07/10(Mon) 12:51:09

Re: / らすかる
問2は式に不審な点があるので問1だけ。

出目が特定の1つになるのは1通り
出目が特定の2つになるのは2^n-2通り
出目が特定の3つになるのは3^n-3C2・(2^n-2)-3C1・1=3^n-3・2^n+3通り
出目が特定の4つになるのは4^n-4C3・(3^n-3・2^n+3)-4C2・(2^n-2)-4C1・1
=4^n-4・3^n+6・2^n-4通り
従って出目が4種類になるのは6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)通りなので
求める確率は{6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)}/6^n
=15(4^n-4・3^n+6・2^n-4)/6^n

No.44541 - 2017/07/10(Mon) 13:40:31

Re: / ICE
>>らすかるさん

回答ありがとうございます。問2の式の不審な点とはどのようなものでしょうか?

No.44560 - 2017/07/11(Tue) 01:49:41

Re: / らすかる
Y[k]=X[k]+1/Y[k-1] は
Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1]) と解釈されますが
もしかしたら
Y[k]=(X[k]+1)/Y[k-1] なのではないかと。

No.44561 - 2017/07/11(Tue) 02:46:36

Re: / ICE
>>らすかるさん

Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1])
という解釈で正しいですよ。

No.44573 - 2017/07/11(Tue) 10:34:44

Re: / らすかる
そうでしたか。それは大変失礼しました。
それでは…

Y[n]<(1+√3)/2
⇔ X[n]+1/Y[n-1]<(1+√3)/2
⇔ 「X[n]=1 かつ 1/Y[n-1]<(-1+√3)/2」(∵Y[n-1]>1)
⇔ 「X[n]=1 かつ Y[n-1]>1+√3」

Y[n]>1+√3
⇔ X[n]+1/Y[n-1]>1+√3
⇔ 「X[n]=2 かつ 1/Y[n-1]>-1+√3」または「X[n]≧3」(∵Y[n-1]>1)
⇔ 「X[n]=2 かつ Y[n-1]<(1+√3)/2」または「X[n]≧3」
なので

Y[n]<(1+√3)/2 である確率をQ[n]
Y[n]>1+√3 である確率をR[n]
とすると
Q[1]=1/6, R[1]=2/3,
Q[n+1]=R[n]/6, R[n+1]=(Q[n]+4)/6
P[n]=1-Q[n]-R[n]なので
P[1]=1-Q[1]-R[1]=1/6
P[n+1]=1-Q[n+1]-R[n+1]=1-R[n]/6-(Q[n]+4)/6
=1/6+(1-Q[n]-R[n])/6=1/6+P[n]/6=(P[n]+1)/6
この漸化式を解いて
P[n]=(1-1/6^n)/5

No.44580 - 2017/07/11(Tue) 13:20:59

Re: / ICE
>>らすかるさん

理解できました。ありがとうございます!

No.44597 - 2017/07/12(Wed) 17:38:52
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