ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数 / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問1.等差数列{a[n]}(n=1,2,…)の初項から第n項までの和をS[n]とする。S[n]を大きい順に並べ替えると第3項までがそれぞれ22,21,20となるとき、この数列の一般項a[n]を求めよ。

問2.相異なる素数p,qの積pqをnとするとき、C[n.1],C[n.2],C[n.3],…,C[n.n-1]の最大公約数を求めよ。

どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします！

No.44883 - 2017/07/24(Mon) 21:24:23

☆ Re: 整数 / IT

問２
まずはn=6でどうなるかやってみてください。

一般には
C[pq,1] の値と、
C[pq,p] はp を、C[pq,q] はqを　約数に持たないことを使えばいいと思います。確認してください。

No.44891 - 2017/07/25(Tue) 00:07:24

★ 行列　Im(A) / million

Ker(A)を求めてから計算しようと思ったのですがうまくいきません。
どこで間違えているのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.44882 - 2017/07/24(Mon) 19:13:06

☆ Re: 行列　Im(A) / angel

取り敢えず行列式 det(A)≠0 なので、Aによる線形変換は全単射、Im(A)は3次元ですね。
Im(A)の基底としては、R^3 の自明な基底 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) から、Ae1,Ae2,Ae3 を持ってくればそれで1組作れます。

No.44919 - 2017/07/26(Wed) 23:56:15

★ Re: Re:数列　解と係数の関係 / 前進

解と係数の関係で赤線の部分はtでなくてもいいのでしょうか？

教科書の二次方程式の１つと何か関係があるのでしょうか？

二次方程式の１つとはどういう意味でしょうか？
例えばXの代わりにtでもｃにするとそれも方程式の１つでしょうか？確かにα、βで解は変わらないと思います。
それと各項をn倍するのもありなのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.44880 - 2017/07/24(Mon) 19:09:10

☆ Re: Re:数列　解と係数の関係 / 前進

教科書の画像です。

No.44881 - 2017/07/24(Mon) 19:11:24

☆ Re: Re:数列　解と係数の関係 / angel

まず先に。

> 二次方程式の１つとはどういう意味でしょうか？

( おそらく想像されているような ) 意味はないです。
( 殊に学術的な ) 文章を読む上では、「何を言っているか」と同じくらい「何を言っていないか」が重要です。

で、「～の1つ」という表現を見て「きっと複数あるからそういう言い回しをしているに違いない」というのは、日常会話風の「読み」重視 ( 悪く言えば「邪推」 ) に慣れ過ぎで。

これは、「1つかも知れないし複数かも知れないが、『唯一つ』という確信があるわけではない、または1つなのか複数なのかは今はどうでもいい。なのでどちらでも対応できるような表現にした」位に見た方が良いです。

No.44894 - 2017/07/25(Tue) 08:02:23

☆ Re: Re:数列　解と係数の関係 / angel

それで、
> 解と係数の関係で赤線の部分はtでなくてもいいのでしょうか？

質問文を端折り過ぎです。
が、それはさておき、
「この t の方程式を解くと重解 t=-2 で、そもそもα,γがこの方程式の2解だったということから α=-2, γ=-2」を短縮した形とすれば、特に不自然でもないです。ここまで細かく説明しなくても良いですから。
※なお、α＜γの条件に合わないのでそもそも不適切ではあるなですが、それはまた別の話

No.44896 - 2017/07/25(Tue) 10:36:58

★ 因数分解 / rua

9番教えてください
解答は(1)-n(n+1)(n-1)で(2)-(a-b)(b-c)(c-a)です
よろしくお願いします

No.44874 - 2017/07/24(Mon) 15:43:51

☆ Re: 因数分解 / らすかる

(1)
2(n+1)^3-3n(n+1)^2-2(n+1)
=(n+1){2(n+1)^2-3n(n+1)-2}
=(n+1)(2n^2+4n+2-3n^2-3n-2)
=(n+1)(-n^2+n)
=-n(n+1)(n-1)

(2)
ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c
=ab(a-b)+ac^2-bc^2-a^2c+b^2c
=ab(a-b)+c^2(a-b)-c(a^2-b^2)
=ab(a-b)+c^2(a-b)-c(a+b)(a-b)
=(a-b){ab+c^2-c(a+b)}
=(a-b)(ab+c^2-ac-bc)
=(a-b)(ab-ac-bc+c^2)
=(a-b){a(b-c)-c(b-c)}
=(a-b)(b-c)(a-c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)
となりますね。

No.44876 - 2017/07/24(Mon) 15:52:05

★ 因数分解 / rua

4番教えてください
解答は(a-b)(b-c)(c-a)です
よろしくお願いします

No.44872 - 2017/07/24(Mon) 14:16:25

☆ Re: 因数分解 / らすかる

一部だけ展開して整理しましょう。
a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
=a(b^2-c^2)+bc^2-a^2b+a^2c-b^2c
=a(b^2-c^2)-b^2c+bc^2-a^2b+a^2c
=a(b^2-c^2)-bc(b-c)-a^2(b-c)
=a(b+c)(b-c)-bc(b-c)-a^2(b-c)
=(b-c){a(b+c)-bc-a^2}
=(b-c)(ab+ac-bc-a^2)
=(b-c)(ac-a^2-bc+ab)
=(b-c){a(c-a)-b(c-a)}
=(b-c)(c-a)(a-b)
=(a-b)(b-c)(c-a)

No.44875 - 2017/07/24(Mon) 15:47:42

★ Re: Re:確率 / 前進

この問題ですが事象AをA,事象BをBとするとBBBABでもBBBAAB...いくらでもBが優勝する確率は作ることができて、
オカ/キクケとコサシ/キクケの解は定まらないのではないのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.44870 - 2017/07/24(Mon) 14:00:29

☆ Re: Re:確率 / 前進

あぁその前にAが優勝してしまいます。AAがふたつでもあれば、申し訳ありません。この問題解決しました。大変失礼しました

No.44871 - 2017/07/24(Mon) 14:03:18

★ 数列の途中計算 / 名無し

すみません、この?A÷?@なのですが（r30-1）÷（r10-1）がどう計算すれば（r10）^2+r10+1になるのか分かりません。
どなたかお願いします。

No.44865 - 2017/07/24(Mon) 10:35:41

☆ Re: 数列の途中計算 / たなお

こんにちは。
r30だと、「r かける 30」となってしまいます。指数を使うときは r^30 のように今後は記載してくださると誤解なく伝わりますよ。
以下、疑問点に関しての回答になります。

因数分解の中に、以下のようなものがあります。

　　x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 +ax + a^2)

これを利用すれば、

　　r^30-1 = (r^10)^3 - 1^3
　　　　　 =(r^10 - 1)((r^10)^2 +r^10 + 1)

となります。なので、割った結果が (r^10)^2 +r^10 + 1 になります。

No.44867 - 2017/07/24(Mon) 11:08:06

☆ Re: 数列の途中計算 / 名無し

ご返答ありがとうございます、変な書き方をしてすみませんでした。
お陰で謎が解けました、ありがとうございます。

No.44869 - 2017/07/24(Mon) 11:14:52

★ Re: Re:確率　 / 前進

(1)(2)の右の赤線でなぜ6/10と4/10なのでしょうか？

(1)は7/10,4/10のいずれかではだめでしょうか？

何故でしょうか？
宜しくお願い致します。

No.44854 - 2017/07/24(Mon) 02:30:27

☆ Re: Re:確率　 / たなお

回答します。

(1)について
Aの袋の白球が増加するには、AからBに球を移す際、白球がAから取り出されない必要があります。もしAから白球が取られてしまうと、Bから球を持ってきても白玉の数が ±0 もしくは -1 されてしまうからです。

白球が取り出されないということは、逆に言えば赤球を取り出すということです。
赤球はAの袋では 10個中 6個ですから、6/10という数字をかけています。

(2)について
(1)と同じように考えると、今度は白球が取り出される必要があります。
白球はAの袋では 10個中 4個ですから、4/10という数字をかけています。

以上です。
ちなみに、(1)の7/10という数字はどこから出てきたのでしょうか？
もしかすると、前進さんが想像しているのは「Aの白球が増えた後」の「Aの中の白球の割合」ではないですか？
別の考えでしたら、教えていただけるとこちらもアドバイスしやすいです。

よろしくお願いします。

No.44860 - 2017/07/24(Mon) 09:05:33

☆ Re: Re:確率　 / 前進

はい、「Aの白球が増えた後」の「Aの中の白球の割合」ではないですか？　を考えておりました。ただこのときは、漠然とbの袋が増えた後の確率を求めるているならばaもそれに準ずると思っていましたが、よくよく考えてみるとこれはおそらく、条件付き確率であり、aの確率とaの影響を受けたbの確率だと思いました。ものものしい公式もいいですが ±0 もしくは -1 などから順番に事象を考えると理解できました。

No.44862 - 2017/07/24(Mon) 09:47:56

★ 対数 / ノボル

対数の応用で、この文章題が解けませんでした。

「放射線物質は核分裂、崩壊で時間と共にその量が一定の割合で減っていく。放射線物質があるラジウム226は1600年経つとその量が半分になる。ラジウム226の量が元の量の1/10になるのは何年後か？log10底2=0.3010として求めよ」

教えて下さいm(_ _)m

No.44853 - 2017/07/24(Mon) 01:48:25

☆ Re: 対数 / たなお

回答します。

１年後に減る割合が r だとします。問題文より、1600年後の量が元の量の半分ということなので、

　　　r^1600 = 1/2

という式が成り立ちます。よって

　　　log[10]r^1600 = log[10](1/2)
　　⇔1600log[10]r = -log[10]2
　　⇔log[10]r = -(log[10]2)/1600
　　　　　　　= -(0.3010)/1600

x 年後の量が元の量の 1/10 なので

　　　r^x ≦ 1/10

と置けます。よって

　　　log[10]r^x ≦ log[10](1/10)
　　⇔xlog[10]r ≦ -log[10]10
　　　　　　　 = -1

log[10]r = -(0.3010)/1600 より、

　　　x(-(0.3010)/1600) ≦ -1
　　⇔x ≧ 1600/0.3010
　　　= 5315.614618

となります。
なので、整数値で答えるとすると5315年後になります。

No.44858 - 2017/07/24(Mon) 08:51:15

☆ Re: 対数 / たなお

すいません、訂正です。
x ≧ 5315.614618 なので整数値で答えるとすると5316年後です。

No.44859 - 2017/07/24(Mon) 08:52:21

★ (No Subject) / ムムー

次の方程式の解き方を教えて下さい。
(1) (log4底x)^3-log2底x^2=0
(2) 2^x=5
(3) 3^-x=5^2
(4) 4^x+2^x+1-15=0
(5) log2底(log3底x)=2

お願いします。

No.44852 - 2017/07/24(Mon) 01:18:45

☆ Re: / たなお

回答します。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（１）
log[4]x をlog[2]x^2 に直すと、(log[2]x^2)^3 = log[2]x^2 となります。３乗しても値が変わらないので、log[2]x^2 = 1と成ります。ここからxを求めます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（２）（３）
「a^x = A ⇔ log[a]A = x」の関係を利用してください。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（４）
数式は 4^x+2^(x+1)-15=0 でしょうか？定数項を分けて書く意味がないと思うので、おそらくこうなのだと思いますが。。。この前提で回答します。

　　　4^x+2^(x+1)-15=0
　　⇔(2^x)^2 + 2・2^x - 15 = 0
　　⇔(2^x + 5)(2^x - 3) = 0
　　
　　　2^x > 0 より
　　　2^x = 3

あとは（２）と同じです。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（５）
今度は（２）（３）とは逆パターンです。log[a]A = x を a^x = A という形に直していくと、xを求められます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以上です。

No.44857 - 2017/07/24(Mon) 08:26:21

★ 平面図形 / rua

(1)が1:1となることは分かったのですが、(2)の解法が分かりません。ちなみに(2)の解答は3:5です。
よろしくお願いします！

No.44845 - 2017/07/24(Mon) 00:10:15

☆ Re: 平面図形 / angel

(2)
面積比△OBC:△ABCということであれば、底辺がBCで共通と見てみます。
そうすると、面積比は丁度 ( 底辺に対する ) 高さの比に等しく、OP:AP です。
※OP,APが高さというわけではないけど ( 底辺に垂直とは限らないので )。
　ただ、高さを測ってみればその比は OP:AP に一致するはずだ、ということ

あとは、メネラウスの定理

　AO/OP・PB/BC・CQ/QA=1

を利用します。
※ちょうど A→O→P→B→C→Q→A と一周する経路を辿るような式です

これで AO/OP=2/3 つまり AO:OP=2:3 が出ますから、ここから OP:AP=3:5 です。

No.44851 - 2017/07/24(Mon) 01:13:38

★ (No Subject) / 龍人

旅行の部屋割について、1部屋6人ずつにすると7人が入れず、1部屋7人ずつにすると6人の部屋が2部屋できるという。部屋数と人数

6x+7=7(x-2)+6×2
の右辺のx-2はどういう意味ですか?

No.44838 - 2017/07/23(Sun) 22:48:40

☆ Re: / たなお

x は部屋の総数ですよね。
となると、xある部屋のうち2部屋が6人部屋で、残りが7人部屋です。

なので、x-2 は「総数から6人部屋の数を引いた残り」ということを意味しています。

No.44839 - 2017/07/23(Sun) 22:53:12

☆ Re: / 龍人

ありがとうございました。

No.44843 - 2017/07/23(Sun) 23:41:06

★ 微分方程式 / たなお

以下の微分方程式を解けという問題なのですが、記載されている正答と一致しません。途中式のどこが間違っているのでしょうか？

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
問題：2(1-y^2)xy dx + (1+x^2)(1+y^2)dy = 0
載っている正答：(1+x^2)y = c(1+y^2)　　（cは任意定数）

以下、自分で行った計算です。

　　　(1+x^2)(1+y^2)dy = 2(y^2 - 1)xy dx
　　⇔(1+y^2)/{y(y^2 - 1)}dy = 2x/(1+x^2) dx
　　⇔∫(1+y^2)/{y(y^2 - 1)}dy = ∫2x/(1+x^2) dx + a　（aは任意定数）
　　⇔∫{2y/(y^2 - 1) - 1/y}dy = ∫2x/(1+x^2) dx + a
　　⇔log(y^2 - 1) - log y = log(1+x^2) + a
　　⇔(y^2 - 1)/y = b(1+x^2)　　　　　　　　　　　　（b = e^a）
　　⇔c(y^2 - 1) = (1+x^2)y　　　　　　　　　　　　（c = 1/a）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

よろしくお願いいたします。

No.44835 - 2017/07/23(Sun) 22:24:57

☆ Re: 微分方程式 / たなお

すいません。一部訂正です。

訂正箇所：計算の最終行
誤：c = 1/a
正：c = 1/b

No.44836 - 2017/07/23(Sun) 22:26:48

☆ Re: 微分方程式 / angel

いえ、特に間違っていないと思います。
その正答の誤植ではないでしょうか。

逆に、得られた答え c(y^2 - 1) = (1+x^2)y を
c=(1+x^2)y/(y^2-1) にして微分してみると分かります。ちゃんと問題文の微分方程式が出てきます。

No.44842 - 2017/07/23(Sun) 23:35:57

☆ Re: 微分方程式 / たなお

angelさん

ありがとうございます！

ちなみにこの場合、出版社に連絡とかした方がいいのでしょうか？
そういうことはあまりしない方がいいのでしょうか？差し出がましいですかね？

No.44844 - 2017/07/23(Sun) 23:58:37

☆ Re: 微分方程式 / angel

> ちなみにこの場合、出版社に連絡とかした方がいいのでしょうか？
> そういうことはあまりしない方がいいのでしょうか？差し出がましいですかね？

された方が親切ではあると思います。
どれくらい真剣に対応してくれるかは出版社次第でしょうけど。
まあ、余裕があれば、でいいのではないでしょうか。

No.44850 - 2017/07/24(Mon) 01:07:17

☆ Re: 微分方程式 / たなお

angelさん

分かりました。
問い合わせ先に連絡してみます。
ありがとうございました。

No.44856 - 2017/07/24(Mon) 07:51:06

★ (No Subject) / テクテク

(7)から分かりません。教えて下さい！

No.44834 - 2017/07/23(Sun) 19:10:47

☆ Re: / IT

(7) (7^n - 5^n)/8^n = (7/8)^n - (5/8)^n を使えばいいと思います。
(13) √(n+1) - √n = (√(n+1) - √n)(√(n+1) + √n)/(√(n+1) + √n)=1/(√(n+1) + √n)を使います。
(16) -1≦cosnθ≦1 を使います。

注意事項に「問題まる投げは、ご遠慮下さい。」とあります。類題は自力で解けることもあるでしょうし２，３問ずつ質問して理解していかれた方が良いのではないでしょうか。

No.44837 - 2017/07/23(Sun) 22:33:45

★ 図形と計量 / ゆうたろう

この問題の(3)が分かりません。
おしえてください。

No.44831 - 2017/07/23(Sun) 16:37:57

☆ Re: 図形と計量 / X

(3)
DE=x,CE=y
と置き、△BCEに正弦定理と余弦定理を
適用することでx,yの連立方程式を立てます。

△BCDは直角三角形ですので
sin∠CBE(=sin∠CBD)
cos∠CBE(=cos∠CBD)
の値は容易に計算できます。
又、(1)(2)の結果から△ABCにおいて
正弦定理を使うことにより
sin∠BCE(=sin∠ACB)
の値も求めることができます。
後は
CE=CD-DE=…
となることを使います。

No.44832 - 2017/07/23(Sun) 17:28:54

★ (No Subject) / 名無しさん

画像の行列式の値を求めよ、という問題の解き方が全くといっていいぐらいわかりません。分かりやすく教えて下さると助かります。

No.44826 - 2017/07/23(Sun) 14:34:43

☆ Re: / たなお

第１列のx倍を第２列に足すと、第２列は

0
1
0
0
・
・
・
xa0 + a1

と成ります。そこからさらに、第２列のx倍を第３列に足すと

0
0
1
0
・
・
・
x^2a0 + xa1 + a2

と成ります。
同様のことを繰り返して行くと、最終的に

　　1　　　 0　　　　　　 0　　　　・・・・ 0
　　0　　　1 　　　　　　 0　　　　・・・・ 0
　　0　　　0　　　　　　 1　　　　・・・・ 0
　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
　　0　　　0　　　　　　0　　　　　　・・・0
　　a0 (xa0 + a1) (x^2a0 + xa1 + a2)　　　　 F

　　　※F = Σ[i=0→n]x^(n-i)ai

となります（各列のバランスが悪くてすいません）。
要するに、Σ[i=0→n]x^(n-i)ai の計算結果がこの行列式の答えになります。

No.44841 - 2017/07/23(Sun) 23:05:57

☆ Re: / ast

さほど変わらないとは思いますが, 問題の行列式を P(n;a_0,…,a_n) と書くと第一行に関する余因子展開は

　P(n;a_0,…,a_n) = 1*P(n-1;a_1,…,a_n) - (-x)*a_0*(-1)^(1+n)(-x)^(n-1)
# 第二項は、(1,2)-余因子をさらにその第一列に関して余因子展開した.

となるので, あとは帰納的に P(n;a_0,…,a_n) = a_0*x^n + a_1*x^(n-1) + … + a_{n-1}*x + a_n です.

No.44855 - 2017/07/24(Mon) 05:06:05

★ (No Subject) / アメーバ

行列Aの成分aijが
aij={1 i+j=n+1のと 0 i+j≠n+1のとき}
detAを求めてください！

No.44823 - 2017/07/23(Sun) 12:24:55

☆ Re: / angel

例えば n=2 の場合だと

A=(0 1)
　(1 0)

のようになっているということですね。
なので、n=2 ならば detA=-1

さて、行列式については「ある行同士 ( または列同士 ) を交換した行列の行列式は、交換前の -1倍」という性質があります。

つまり、n=2 の場合、Aの第1行・第2行を交換して単位行列Eになる、ということからも、行列式は E の 1 の -1 倍、と見ることもできるのです。

なので、何回の交換で A を E にできるのか、を見れば計算できます。
丁度端同士から組み合わせて交換していくのが分かり易く、n を4で割った余りで分類して、

　n÷4 の余りが 2,3 … detA=-1
　n÷4 の余りが 0,1 … detA=1

と分かります。

No.44840 - 2017/07/23(Sun) 23:00:10