ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 名無し

すいません

これについて一つ質問なのですが、

どうして(ii)が必要なのですか？

(i)と(iii)だけで、範囲がわかりますよね？

よろしくお願いいたします。

No.43753 - 2017/06/07(Wed) 22:12:29

☆ Re: / X

例えば軸が定義域の範囲外の右側にある場合、
(i)(iii)を満たしていると、グラフとx軸との
二つの交点は範囲外右側に存在することに
なります。

No.43755 - 2017/06/07(Wed) 23:11:28

★ (No Subject) / 名無し

画像の部分分数部分がよく分かりません。
解き方を教えて下さい。

No.43746 - 2017/06/07(Wed) 21:14:34

☆ Re: / X

1/{(v-a)(v-b)}={1/(a-b)}(a-b)/{(v-a)(v-b)}
={1/(a-b)}{(v-b)-(v-a)}/{(v-a)(v-b)}
={1/(a-b)}{1/(v-a)-1/(v-b)}
と変形できますから…

No.43750 - 2017/06/07(Wed) 21:23:57

☆ Re: / 名無し

なんでそのように変形できるのですか？

No.43760 - 2017/06/07(Wed) 23:59:54

☆ Re: / 名無し

1行列目に1/(a-b)がいきなりでてくる理由が分かりません。

No.43767 - 2017/06/08(Thu) 06:40:58

☆ Re: / X

回答の前に訂正を(ごめんなさい)。
No.43750で誤りがありましたので直接修正しました。
再度ご覧下さい。
それで回答ですが、以下の通りです。

1/{(v-a)(v-b)} (A)
がもし
(a-b)/{(v-a)(v-b)} (B)
であれば
(a-b)/{(v-a)(v-b)}={(v-b)-(v-a)}/{(v-a)(v-b)}
=1/(v-a)-1/(v-b)
と変形できます。
そこで(B)の形が式の中に出てくるように
(A)の分母分子にa-bをかけています。
分母のa-bだけ外に出すと、結局
1/(a-b)
をかけるのと同じになります。

No.43781 - 2017/06/08(Thu) 21:27:38

★ 平均値の定理 / がん

この問題の（２）を教えてください。
漸化式と方程式の辺々引いて右辺に平均値の定理を使って解くことはわかったのですがその後の式展開等がわかりません。違う解法でも構いませんので教えてください。
よろしくお願いします。

No.43743 - 2017/06/07(Wed) 20:08:27

☆ Re: 平均値の定理 / WIZ

f(x) = x-(1/2)sin(x)-1, f'(x) = 1-(1/2)sin(x) > 0なので、f(x)は単調増加です。
f(0) = -1 < 0, f(π/2) = π/2-3/2 > 0ですから、
実数αに対してf(α) = 0ならば、0 < α < π/2です。

> 漸化式と方程式の辺々引いて右辺に平均値の定理を使って解くことはわかったのですが

ならば、
a[n+1] = (1/2)sin(a[n])-1・・・・・(1)
α = (1/2)sin(α)-1・・・・・(2)
の各辺の差をとると、
a[n+1]-α = {(1/2)sin(a[n])-1}-{(1/2)sin(α)-1} = (1/2){sin(a[n])-sin(α)}・・・・・(3)
となります。

平均値の定理より、
sin(a[n])-sin(α) = cos(c){a[n]-α}・・・・・(4)
となる実数cがa[n]とαの間の値が存在します。
# a[n]とαの大小関係は分かりませんので、間と表現しています。

(3)(4)より、
a[n+1]-α = (1/2)cos(c){a[n]-α}
⇒ |a[n+1]-α| ≦ (1/2)|a[n]-α|
⇒ 0 ≦ |a[n]-α| ≦ ((1/2)^(n-1))|a[1]-α| = ((1/2)^(n-1))|a-α|
です。

n→∞のとき、((1/2)^(n-1))|a-α| → 0ですから、|a[n]-α| → 0と言えて、
よって、a[n] → αと言えます。

No.43745 - 2017/06/07(Wed) 21:07:31

☆ Re: 平均値の定理 / がん

WIZさん回答ありがとうございます。回答を見ながらもう一度トライします！
ありがとうございました！

No.43751 - 2017/06/07(Wed) 21:29:32

★ (No Subject) / ロー

この問題の(3)と(4)を教えてください

No.43740 - 2017/06/07(Wed) 17:57:04

☆ Re: / X

(3)
(1)の結果より
y=(t-a)^2+3-a^2 (A)
従って横軸にt、縦軸にyを取った
(A)のグラフの軸の方程式は
t=a (B)
後は、定義域である
-5≦t≦4 (C)
と(B)との位置関係で場合分けをします。
(i)a＜-5のとき
直線(B)は(C)の範囲外左側になりますので
yはt=-5のときに最小値10a+28を取ります。
(ii)-5≦a≦4のとき
直線(B)は(C)の範囲内になりますので
yはt=aのときに最小値3-a^2を取ります。
(iii)4＜aのとき
直線(B)は(C)の範囲外右側になりますので
yはt=4のときに最小値-8a+19を取ります。

以上から求める最小値は
a＜-5のとき10a+28
-5≦a≦4のとき3-a^2
4＜aのとき-8a+19

(4)
(3)の過程から
(i)a＜-5のとき
最小値を与えるxの値について
x^2-6x+4=-5
これより
x=3 ∴不適
(ii)-5≦a≦4のとき
最小値を与えるxの値について
x^2-6x+4=a
これより
x^2-6x+4-a=0 (P)
(P)の解の判別式をDとすると
題意を満たすためには
D/4=9-(4-a)＞0
これより5＜a
∴不適
(iii)4＜aのとき
最小値を与えるxの値について
x^2-6x+4=4
これより
x=0,6
∴題意を満たします。

よって求めるaの値の範囲は
4＜a

No.43741 - 2017/06/07(Wed) 18:24:23

☆ Re: / ロー

ありがとうございます

No.43752 - 2017/06/07(Wed) 22:02:15

★ Re: 長さ / 前進

この問題はなぜ　÷2などでしょうか？
20m/sとは瞬間の速さか平均の速さかどちらでしょうか？

また先ほどの質問No.43737と何か関連があるのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.43738 - 2017/06/07(Wed) 16:48:42

☆ Re: 長さ / X

＞＞この問題はなぜ　÷2などでしょうか？
理由はありません。計算結果がそうなっているだけです。

数式で詰めると以下のようになります。
物体の加速度をa(a＞0)、速度をv、斜面を下るのに
かかった時間をt,斜面の長さをlとすると
v=at (A)
l=(1/2)at^2 (B)
(B)から(A)を消去して
l=(1/2)vt (C)
(C)に
v=20[m/s],t=10[s]
を代入すれば計算できます。

只、ここでは横軸にt,縦軸にvを取った
(A)のグラフを考えているようです。
このグラフにおいて
t=10[s]
において物体が進んだ距離(=求める斜面の長さ)
は(A)のグラフと直線t=10,t軸で囲まれた
直角三角形の面積になります。
模範解答の計算はこの直角三角形の面積の
計算式を表しています。

＞＞20m/sとは瞬間の速さか平均の速さかどちらでしょうか？
他に特に何も書かれていないので瞬間の速さです。

No.43739 - 2017/06/07(Wed) 16:58:35

☆ Re: 長さ / 前進

あぁ確か授業で速さ×時間で距離が出る図形を思い出しました。直角三角形の面積でした。

１，２，３それぞれの速さが出ていませんが10秒の時を20m/sとすると縦軸が２０になるので確かにでます。また詳しくは高校の物理でやります。

今より、数学(90％)時々理科（物理化学生物地学）というスタンスで前進させていただきます。

No.43756 - 2017/06/07(Wed) 23:34:15

☆ Re: 長さ / 前進

ありがとうございました

No.43757 - 2017/06/07(Wed) 23:34:53

★ Re: 瞬間の速さ / 前進

一応暗記で覚えたのですが、なぜ(4)の0と1.0秒の半分の0.05秒の瞬間の速さがこの時間における平均の速さ30cm/sになるのでしょうか？
宜しくお願い致します。

No.43737 - 2017/06/07(Wed) 16:01:31

☆ Re: 瞬間の速さ / angel

それは ( 狭い範囲での自由落下のような )「等加速度運動」の特徴です。

例えば、A打刻時点～B打刻時点では、0.1秒間に、速度が20cm/s→40cm/s と増加していますが、この間の移動距離は丁度台形の面積に相当します。
つまり、1/2・(20+40)・0.1=3 ということです。

そうすると、この面積というのは、図中の赤い線、台形の上底と下底の中間の線の長さに、幅 ( 0.1 ) をかけて求めることもできるのです。これは台形の性質です。

ということは、等加速度運動の場合は、(始まりの速度+終わりの速度)/2 が、丁度その区間での平均速度になる、というわけです。

No.43789 - 2017/06/09(Fri) 10:24:50

★ (No Subject) / 名無し

すいません、133の２つの問題全てがわかりません。

(1)の質問：
どうして
y=a
y=2x^2-x+1
の共有点を探しに行ったのですか？
他のやっていることはわかります

(2)の質問
端っこの方に書いてあるのですが、
0≦x≦1において、?Aと?Bが異なる２点で交わる
＝?@｀が０≦x＜１に異なる２個の解xをもつ
＝?@が異なる４個の解θをもつ

ことになるのですか？
ここの説明をもう少し詳しく、わかりやすくしてほしいです。

よろしくお願いいたします。

No.43733 - 2017/06/07(Wed) 15:12:34

☆ Re: / がん

☆(1)について
　この関数にはsinとcosが含まれているのでそれをsinに統一しましたよね。その後sinをxで置き換えました。その時、
-2x^2+x+a-1=0となりますよね。aを右辺に移項して両辺に-1をかけると、2x^2-x+1=aとなります。この時、y=2x^2-x+1とy=aの交点の個数が-2x^2+x+a-1=0の解の個数になるので共有点（交点）を探しています。

☆（２）について
最初にsinθをxでおいていますよね。単位円を描けばわかると思うのですが問題で与えられたθの範囲において、１つのｘに２つのθが対応しています。例えばｘ＝1/2だったらｘ＝sin３０°とsin１５０°が対応します。このようにｘ＝sinθとおいたため１つのｘに二つのθが対応しています。

※初めての回答なので間違っていたりわかりにくかったらすみません。

No.43742 - 2017/06/07(Wed) 20:03:16

★ (No Subject) / 名無し

すいません、下位の存在範囲についてですが、

(i)と(ii)はやる必要あったのですか？

(iii)だけをすればいい気がするのですが。。。

そもそも(i)と(ii)って何がしたかったのですか？

いまいち、よくわからなくて。。。よろしくお願いいたします。

No.43728 - 2017/06/07(Wed) 13:16:38

☆ Re: / ふぇるまー

f(0)とf(4)が異符号とかどうかわからない時は場合分けが必要です。
軸と交わるかどうかも大事です。場合分けの数直線を書いてみては?

No.43732 - 2017/06/07(Wed) 14:42:58

★ 部分分数は難しい / bridget

f(x)は関数です。

f(x)/((x-a)(x-b))=1/(a-b)[f(x)/(x-a)-f(x)/(x-b)]
(a,bは定数)

と部分分数に分解できますよね。

f(x)/((x-a)(x-b)(x-c)=??
(a,b,cは定数)

はどのように部分分数に分解できますでしょうか?

No.43721 - 2017/06/07(Wed) 09:15:38

☆ Re: 部分分数は難しい / らすかる

1/{(x-a)(a-b)(c-a)}+1/{(x-b)(a-b)(b-c)}+1/{(x-c)(b-c)(c-a)}
=-1/{(x-a)(x-b)(x-c)}
なので
f(x)/{(x-a)(x-b)(x-c)}
=-f(x)/{(x-a)(a-b)(c-a)}-f(x)/{(x-b)(a-b)(b-c)}-f(x)/{(x-c)(b-c)(c-a)}

No.43724 - 2017/06/07(Wed) 09:43:09

☆ Re: 部分分数は難しい / WIZ

既にスレ主さんは
f(x)/((x-a)(x-b)) = (1/(a-b)){f(x)/(x-a)-f(x)/(x-b)}
という関係を知っているのだから、これを応用しない手はありません。

f(x)/((x-a)(x-b)(x-c) = (f(x)/(x-c))/((x-a)(x-b))
と考えれば、
(f(x)/(x-c))/((x-a)(x-b)) = (1/(a-b)){(f(x)/(x-c))/(x-a)-(f(x)/(x-c))/(x-b)}
= (1/(a-b)){f(x)/((x-c)(x-a))-f(x)/((x-b)(x-c))}

上記に再度、スレ主さんがご存じの関係を使うと、
(1/(a-b)){f(x)/((x-a)(x-c))-f(x)/((x-b)(x-c))}
= (1/(a-b)){(1/(c-a)){f(x)/(x-c)-f(x)/(x-a)}-(1/(b-c)){f(x)/(x-b)-f(x)/(x-c)}}
= (1/((a-b)(c-a)))(-f(x)/(x-a))+(1/((a-b)(b-c)))(-f(x)/(x-b))+(1/(a-b){1/(c-a)+1/(b-c)}(f(x)/(x-c))
= -f(x)/((x-a)(a-b)(c-a))-f(x)/((x-b)(a-b)(b-c)(x-b))+(f(x)/((x-c)(a-b))){((b-c)+(c-a)/((c-a)(b-c))}
= -f(x)/((x-a)(a-b)(c-a))-f(x)/((x-b)(a-b)(b-c)(x-b))-f(x)/((x-c)(c-a)(b-c))
となります。

No.43727 - 2017/06/07(Wed) 12:49:44

☆ Re: 部分分数は難しい / bridget

有難うございます。参りました。

No.43768 - 2017/06/08(Thu) 08:42:08

★ (No Subject) / Pirate Radio

Q.平面上の点Oを中心とし、半径1の円周上に相異なる3点A、B
、Cがある。三角形ABCの内接円の半径は1/2以下であることを示せ。

よろしくおねがいします。

No.43718 - 2017/06/07(Wed) 08:02:49

☆ Re: / らすかる

BCを固定してAを動かすと内接円の中心はBCを弦とする弧を描くから、
内接円の面積はAがBCの垂直二等分線上にある時に最大になる。
従ってAB=ACである三角形の内接円の半径が1/2以下であることを示せば十分。
AB=ACとして∠AOB=2θとすると∠AOC=2θ,∠BOC=2π-4θ
AB=AC=2sinθ,BC=2sin(π-2θ)=2sin2θ=4sinθcosθ
(周の長さ)=2(2sinθ+sin2θ)=4sinθ(1+cosθ)
(高さ)=1+cos(π-2θ)=1-cos2θ=2(sinθ)^2
(面積)=4(sinθ)^3(cosθ)
(内接円の半径)
=2(面積)/(周の長さ)
=8(sinθ)^3(cosθ)/{4sinθ(1+cosθ)}
=2(sinθ)^2(cosθ)/(1+cosθ)
=2(1-cosθ)(cosθ)
≦1/2　（等号はcosθ=1/2すなわちθ=π/3つまり△ABCが正三角形のとき）

No.43726 - 2017/06/07(Wed) 10:39:37

☆ Re: / Pirate Radio

>BCを固定してAを動かすと内接円の中心はBCを弦とする弧を描くから、内接円の面積はAがBCの垂直二等分線上にある時に最大になる。従ってAB=ACである三角形の内接円の半径が1/2以下であることを示せば十分。

この部分をもう少し噛み砕いて説明していただけますか？<m(__)m>

No.43744 - 2017/06/07(Wed) 21:00:58

☆ Re: / らすかる

内接円の中心をIとすると
∠IBC+∠ICB=(1/2)∠ABC+(1/2)∠ACB
=(1/2)(∠ABC+∠ACB)
=(1/2)(π-∠BAC)
=(一定)　（∵BCを固定したから）
なので
∠BIC=π-(∠IBC+∠ICB)=(一定)
従ってIはBCを弦とする弧を描く。
内接円の半径が最大となるのは
IがBCから最も離れているときであり、
弧上の点と弦が最も遠いのは
点が弦の垂直二等分線上にあるときだから
I,AがBCの垂直二等分線上にあるときに
内接円の半径が最大となる。
よって任意のBCに対してAB=ACである時の
内接円の半径が最大だから、
それが1/2以下であることを示せば十分。

No.43748 - 2017/06/07(Wed) 21:16:28

☆ Re: / Pirate Radio

>>らすかるさん

詳しい解説をありがとうございました！

No.43763 - 2017/06/08(Thu) 00:33:51

★ 数学の記号 / がん

平均値の定理をやってるときにこの大なりと小なりを組み合わせたみたいな記号が出てきました。これはどういう意味なのでしょうか？
教えてください。
よろしくお願いします。

No.43715 - 2017/06/07(Wed) 07:52:07

☆ Re: 数学の記号 / noname

恐らく，「○＜□＜△または○＞□＞△である」ということを表しているのだと思います．

No.43722 - 2017/06/07(Wed) 09:34:15

☆ Re: 数学の記号 / がん

> 恐らく，「○＜□＜△または○＞□＞△である」ということを表しているのだと思います．

回答ありがとうございます。
たしかに問題で大小はいまのところつけられませんでした。ありがとうござます。

No.43729 - 2017/06/07(Wed) 13:19:17

★ (No Subject) / Doomsday

写真の2題が解けません…。どなたか解き方を教えて下さい！

No.43714 - 2017/06/07(Wed) 07:49:11

☆ Re: / らすかる

11
△ABCを固定してOの動く範囲を考えると
OはABを直径とする半円(Cと反対側)を描くから、
Cから最も遠くなるのはOCがABの中点Mを通るときで、
OM=2,MC=3なのでOCの最大値は5

No.43719 - 2017/06/07(Wed) 08:24:44

☆ Re: / Doomsday

>△ABCを固定してOの動く範囲を考えると、OはABを直径とする半円(Cと反対側)を描く

という部分がどうにもイメージできません…。その事実は数式で導出できますか？

No.43747 - 2017/06/07(Wed) 21:14:42

☆ Re: / らすかる

∠AOB=90°ですから、Oは半円を描きます。

No.43749 - 2017/06/07(Wed) 21:19:41

☆ Re: / Doomsday

なるほど、理解できました。ありがとうございます。

問12の方はどう考えれば良いのでしょうか？

No.43762 - 2017/06/08(Thu) 00:32:52

★ (No Subject) / 名無し

すいません、

130の(2)の質問ですが、

どうして4sinθ+5>0を求めにいかなったのですか？

あと「4sinθ+5>0より
2sinθ-1>0」の意味がわかりません

申し訳ないのですが、もう少しわかりやすく教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.43712 - 2017/06/07(Wed) 07:02:45

☆ Re: / X

>>どうして4sinθ+5>0を求めにいかなったのですか？
0°≦θ≦180° (A)
より
0≦sinθ≦1
∴4sinθ+5≧5＞0
つまり(A)のような任意のθに対し
4sinθ+5＞0
となるからです。

＞＞あと「4sinθ+5>0より
＞＞2sinθ-1>0」の意味がわかりません
分かりにくければ置き換えて考えましょう。

4sinθ+5=A,2sinθ-1=B
と置くと、
(4sinθ+5)(2sinθ-1)＞0
は
AB＞0 (B)
一方
4sinθ+5＞0
は
A＞0 (C)
(B)(C)より
B＞0
Bを元に戻して
2sinθ-1＞0
です。

No.43713 - 2017/06/07(Wed) 07:31:12

☆ Re: / X

但し、この問題については模範解答通りに不等式を
処理する必要はなく
(4sinθ+5)(2sinθ-1)＞0 (P)
をsinθについての二次不等式とみて
0≦sinθ≦1 (Q)
と連立させて解いても問題ありません。

(P)より
sinθ≦-5/4,1/2≦sinθ
これと(Q)から
1/2≦sinθ≦1
となります。

No.43730 - 2017/06/07(Wed) 13:28:36