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★ Σ / ζ
Σ［i＋j＋1,｛i,j｝］とは、どういう意味なのでしょうか？
k=1~nとかなら意味は分かるのですが。
No.44821 - 2017/07/23(Sun) 11:41:17
☆ Re: Σ / angel
> Σ［i＋j＋1,｛i,j｝］

この表現だと意味が良く分かりませんが、Σ[k=1〜n] a[k] 以外の表現はあります。
と言うのは、これだと1次元的な広がり、しかも連番にしか対応できないためで、例えば
　a[2]+a[3]+a[5]+a[7]+…+a[19]
のように、素数番目の項の和を計算するような表現がし辛いからです ( できないことはないけど )

なので、こういう場合 Σ[k≦19,kは素数] a[k] のように、開始値・終了値ではなくて条件を書きます。
なお、Σ[k=1〜n] a[k] というのも、Σ[1≦k≦n, kは整数] a[k] のように書いてしまっても良いわけです。

しかも、この書き方だと添え字が2種類になっても対応できます。
例えば、Σ[i≧1,j≧1,i+j≦n] a[i,j] のように、ですね。
例えば n=4 の場合であればこれは
　a[1,1]+a[1,2]+a[1,3]+a[2,1]+a[2,2]+a[3,1]
のことを表します。

ご質問にある式も、そういうような意図で書かれたものに思えるのですが、ただその表現では意味が通じないでしょうね。
No.44848 - 2017/07/24(Mon) 01:00:46
☆ Re: Σ / angel
なおこの「条件」というのは、お気づきかも知れませんが、集合を表現するときと全く同じです。

例えば、nによって定まる集合S(n)を、
　S(n)={(i,j)|i≧1,j≧1,i+j≦n}
とすれば、S(4)={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} ですし、上で挙げた Σ[i≧1,j≧1,i+j≦n] a[k] も Σ[(i,j)∈S(n)] a[k] と書くことができます。
No.44849 - 2017/07/24(Mon) 01:05:07
★ (No Subject) / ルッカ
この問題の解説をお願いします。

[問]

空間内に3点A(0,0,1),B(2,1,0),C(0,2,1)がある。点Pがxy平面上を、点Qが直線AB上を動くとき、距離CP,PQの和CP+PQが最小となる点P,Qの座標を求めよ。

どうぞよろしくお願いします。
No.44820 - 2017/07/23(Sun) 11:40:06
☆ Re: / らすかる
Q(2-2t,1-t,t)とおくと
t=0のときQ=B,t=1のときQ=Aなので
t＞0のときCとQはxy平面に関して同じ側、
t＜0のときCとQはxy平面に関して反対側
となります。

t=0のときCP+PQが最小となるのはP=Qの場合でCP+PQ=CB=√6

t＜0のときCP+PQが最小となるのはPが直線CQとxy平面の交点のときです。
直線CQは((2-2t)s,(1-t-2)s+2,(t-1)s+1)と表すことが出来て
xy平面との交点は(t-1)s+1=0すなわちs=1/(1-t)のときなので
Pは((2-2t)/(1-t),(1-t-2)/(1-t)+2,0)で
CP+PQ=CQ=√{(2-2t)^2+(-1-t)^2+(t-1)^2}=√(6t^2-8t+6)
しかしt＜0のとき√(6t^2-8t+6)＞√6なのでCP+PQは最小になりません。

t＞0のときはxy平面に関してCと対称な位置の点をC'(0,2,-1)とすれば
CP=C'Pとなりますので、CP+PQ=C'P+PQが最小となるのはPが直線C'Qと
xy平面の交点のときです。
直線C'Qは((2-2t)s,(1-t-2)s+2,(t+1)s-1)と表すことが出来て
xy平面との交点は(t+1)s-1=0すなわちs=1/(t+1)のときなので
Pは((2-2t)/(t+1),(1-t-2)/(t+1)+2,0)で
CP+PQ=C'P+PQ=C'Q=√{(2-2t)^2+(-1-t)^2+(t+1)^2}=√(6t^2-4t+6)
=√{6(t-1/3)^2+16/3}なのでt=1/3のときに最小値√(16/3)=4/√3をとります。
このときP(1,1,0),Q(4/3,2/3,1/3)です。
No.44827 - 2017/07/23(Sun) 14:38:17
★ 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。
大学生は自分で解けと書いてあるにも関わらず、質問させていただきます。申し訳ありません。

Aがベキ等行列のとき、｜A|はどのような値をとるか。

どこから手を付ければいいのかわかりません。。。
よろしくお願いします。
No.44808 - 2017/07/22(Sat) 23:09:59
☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / IT
「Aがベキ等行列」を式で表して、

A が正則行列のときとそうでないときに分けて考えれば良いのでは

A が正則行列のときは,Aの逆行列をA^(-1)としてAA^(-1)=E を使えば良いと思います。
No.44809 - 2017/07/22(Sat) 23:19:19
☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。
正則の時が1になったのですが合ってるでしょうか。
また正則でないときはどのようにすればいいのでしょうか。
理解が悪く申し訳ありません。
No.44810 - 2017/07/22(Sat) 23:55:08
☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。
言い忘れました。すみません。

返答ありがとうございます。
No.44811 - 2017/07/22(Sat) 23:56:13
☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / IT
> 正則の時が1になったのですが合ってるでしょうか。
合っていると思います。

> また正則でないときはどのようにすればいいのでしょうか。
正則でないとき、行列式＝0ですよね？
( 基本的なことなので、テキストで確認されることをお勧めします。）
非正則でベキ等行列であるような行列の存在を示せばよいと思います。
No.44812 - 2017/07/23(Sun) 00:01:30
☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / 大学生です。
あ。。。
完全に意識から抜けてました笑
ご丁寧にありがとうございます！
No.44813 - 2017/07/23(Sun) 00:53:32
☆ Re: 夜分遅くに失礼します。 / IT
|A||A|=|A| ⇔|A|=1,0 でも良かったかも。
No.44814 - 2017/07/23(Sun) 04:17:18
★ (No Subject) / 高3
ABを直径とする半円がある。周上の弦PQで折り返したとき、折り返された弧がABに接したとする。このような弦PQの存在する範囲を図示せよ。
No.44805 - 2017/07/22(Sat) 21:09:58
☆ Re: / X
座標平面上に
A(r,0),B(-r,0)
(但しr＞0)
と取り、半円を
x^2+y^2=r^2 (y≧0) (A)
にとっても一般性を失いません。

さてこのとき、弦PQで折り返した弧を
含む円の方程式は
(x-a)^2+(y-r)^2=r^2 (B)
(但し,-r≦a≦r (C))
(A)(B)を連立して解くと
(A)-(B)より
2ax+2ry=a^2+r^2 (D)
これが点P,Qを通る直線の方程式です。
さて(D)を変形すると
a^2-2xa-2ry+r^2=0 (D)'
(D)'をaの方程式と見たとき、(C)の
範囲で解を持つ条件を考えていきます。

ここで弦PQは半円の内部にありますので
x^2+y^2≦r^2かつy≧0 (E)
∴-r≦x≦r (F)
f(a)=a^2-2xa-2ry+r^2
と置き、横軸にa、縦軸にf(a)を取った
グラフを(C)の範囲で描くと、グラフの
軸は(F)より(C)の範囲内にありますので
題意を満たすためには
f(x)=-x^2-2ry+r^2≦0 (G)
f(-r)≧0又はf(r)≧0 (H)
(G)より
y≧-(1/(2r))x^2+r/2 (G)'
(H)より
2r^2-2xr-2ry≧0又は2r^2+2xr-2ry≧0
∴r-x-y≧0又はr+x-y≧0
∴y≦x+r又はy≦-x+r

以上をまとめると求める弦PQの存在範囲は
y≧-(1/(2r))x^2+r/2
x^2+y^2≦r^2
y≧0

放物線
y=-(1/(2r))x^2+r/2
の準線が直線y=r、焦点の座標が(0,0)
であることに注意して、座標軸を
使わない表現にすると、

弦PQの存在範囲は
半円の中心を焦点、半円の中心を通り
半円の直径に垂直な直線と半円との交点を
接点とする半円の接線を準線とする放物線
と半円で囲まれた領域
となります。
No.44807 - 2017/07/22(Sat) 22:53:49
★ 力学の途中の計算 / たなお
力学の途中の計算で、分からない部分があります。

同じ問題について、以下の知恵袋に解法に関する投稿がありました。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1169234496

内容を読んでほとんど理解できたのですが、一部の変形が、自分でやると上手くいきません。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜該当の変形箇所＞

kv/g << 1

t = 2v/g・[ 1/(1+kv/g) + 2kv/{ 3g(1+kv/g)^2 } ]　・・・※１
x = ut/(1+kv/g)　　　　　　　　　　　　　　　　・・・※２

↓（※２に※１を代入）

x = 2uv/g・{ 1 - 4kv/(3g) }　　　　

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

自分で代入をしてみると、x = 2uv/g・{ 1 + 2kv/(3g) } になってしまいます。
しかし、記載されている答えからすると、知恵袋に載っている変形がただしいようです。

どう変形すると上の様になるのか、教えていただけないでしょうか？
No.44803 - 2017/07/22(Sat) 19:50:15
☆ Re: 力学の途中の計算 / 黄桃
Y=kv/g とおけば、「※２に※１を代入」した式は
x=(2uv/g){(1+(5/3)Y)/(1+Y)^3}
です。
{}内をマクローリン展開して1次の項までとればちゃんと1-(4/3)Yとなります。

＃知恵袋の元の答には「上のtを代入して，kv/g << 1 に関して１次までとれば，」
＃とあるのに、肝心な後の部分を省略するのはひどすぎます。
＃答がわかっていて、それと合わないのであれば、どこかで計算間違い
＃したのでしょう。分母を(1+Y)で割るのを(1+Y)を掛けてしまったとか。
＃大学生以上とお見受けしますので、こういうことは自分で修正できるようにしましょう。
No.44815 - 2017/07/23(Sun) 09:19:19
☆ Re: 力学の途中の計算 / たなお
黄桃さん

ありがとうございます。
確かに、書き方が悪かったかもしれません。以後気をつけます。
No.44825 - 2017/07/23(Sun) 12:40:57
★ クレーローの微分方程式 / たなお
クレーローの微分方程式に関する問題について質問があります。

添付画像の右中央部にある例題１ですが、一般解と特異解の求め方は、解答を読みながら理解できました。
しかし、以下の点についてわからない部分があります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜疑問点＞
特異解として導き出した x^2 + y^2 = 1 から y' を求めると

　　　x^2 + y^2 = 1
　⇔　2x + 2yy' = 0
　⇔　y' = -x/y

ここで、x + p/√(1 + p^2) の p に y' を代入すると

　　　x + (-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
　 =　x + (-x)/√(x^2 + y^2)
　 =　x - x
　 =　0

しかし、x - p/√(1 + p^2) の p に y' を代入すると

　　　x - (-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
　 =　x - (-x)/√(x^2 + y^2)
　 =　x + x
　 =　2x
　 ≠　0
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

0 = x ± p/√(1 + p^2) に対し、特異解 x^2 + y^2 = 1 が上手く当てはまっていない様に思えます。自分がどこで考え違いをしているのかわかりません。

どなたかご教授よろしくお願いいたします。
No.44801 - 2017/07/22(Sat) 17:24:26
☆ Re: クレーローの微分方程式 / 黄桃
>　　　x + (-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
>　 =　x + (-x)/√(x^2 + y^2)

ここで、y≧0 を仮定していますね。
y≧0 の時はこの通りで、y≦0の時は、
x-(-x/y)/√(1 + (-x/y)^2)
が0になります。

元の微分方程式を満たすことを確認するのが筋ではないでしょうか。
No.44816 - 2017/07/23(Sun) 09:21:22
☆ Re: クレーローの微分方程式 / たなお
黄桃さん

ありがとうございます！
確かに、x - p/√(1 + p^2) のときは y≦0 ですね！
スッキリしました！
No.44824 - 2017/07/23(Sun) 12:36:34
★ (No Subject) / ζ
（1/2）^x=e^（-xlog2）になるのは、どうしてでしょうか？
No.44799 - 2017/07/22(Sat) 15:27:15
☆ Re: / らすかる
一般にa=e^(loga)です。
このaに(1/2)^xを代入すると
(1/2)^x=e^(log((1/2)^x))
=e^(log(2^(-x)))
=e^(-xlog2)
となりますね。
No.44800 - 2017/07/22(Sat) 16:11:23
☆ Re: / ζ
ありがとうございました。
No.44802 - 2017/07/22(Sat) 18:10:13
★ 行列 / million
行列の問題です
よろしくお願いします！
No.44797 - 2017/07/22(Sat) 14:00:38
☆ Re: 行列 / たなお
million さん

こんばんは。
分からない問題はどれでしょうか？
問題番号を記載してくださいね。
No.44804 - 2017/07/22(Sat) 19:51:25
☆ Re: 行列 / million
問３、問４です！
宜しくお願い致します！！
No.44830 - 2017/07/23(Sun) 16:07:54
★ (No Subject) / プラス
因数分解です(._.)
x次条 ➕（x＋2）次条−3y−15
これと、x次条＋xy−x−y
よろしくお願い致します
No.44795 - 2017/07/21(Fri) 23:51:42
☆ Re: / らすかる
x^2+(x+2)^2-3y-15 は因数分解できません。
x^2+xy-x-y は
x(x+y)-(x+y)
=(x-1)(x+y)
となります。
No.44796 - 2017/07/22(Sat) 03:00:46
★ 図形 / ぼのぼ
問題
平面上に点Oを中心とし、点A[1]、A[2]、A[3]、A[4]、A[5]、A[6]を頂点とする正六角形がある。Oを通り、その平面上にある直線lを考え、各点A[k]との距離をそれぞれd[k]とする。このとき、D=(d[1])²+(d[2])²+(d[3])²+(d[4])²+(d[5])²+(d[6])²の値を求めよ。ただし、OA[k]=rとする。

よろしくお願い致します。
No.44791 - 2017/07/21(Fri) 20:57:59
☆ Re: 図形 / X
条件から座標平面上に
A[1](r,0),A[2](r/2,r(√3)/2),A[3](-r/2,r(√3)/2)
,A[4](-r,0),A[5](-r/2,-r(√3)/2),A[6](r/2,-r(√3)/2)
と取り、更にlの方程式を
xsinθ-ycosθ=0
(0≦θ＜π)
と置いても一般性を失いません。
このとき、点と直線との間の距離の公式により
d[1]=d[4]=r|sinθ|
d[2]=d[5]=(r/2)|sinθ-(√3)cosθ|
d[3]=d[6]=(r/2)|sinθ+(√3)cosθ|
∴(d[1])^2+(d[2])^2+(d[3])^2+(d[4])^2+(d[5])^2+(d[6])^2
={(d[1])^2+(d[4])^2}+{(d[2])^2+(d[5])^2}+{(d[3])^2+(d[6])^2}
=(2r^2)(sinθ)^2+{(r^2)/2}|sinθ-(√3)cosθ|^2+{(r^2)/2}|sinθ+(√3)cosθ|^2
=(2r^2)(sinθ)^2+(r^2)(sinθ)^2+(3r^2)(cosθ)^2
=3r^2
No.44793 - 2017/07/21(Fri) 21:48:48
☆ Re: 図形 / らすかる
別解
直線lをy軸、A[k]=(rcos(θ+kπ/3),rsin(θ+kπ/3))とおけば
D=Σ[k=1〜6](rcos(θ+kπ/3))^2
=(r^2)Σ[k=1〜6](1+cos(2θ+2kπ/3))/2
=3r^2+(2r^2){cos(2θ+2π/3)+cos(2θ+4π/3)+cos(2θ+6π/3)}
=3r^2
No.44794 - 2017/07/21(Fri) 22:50:10
☆ Re: 図形 / ぼのぼ
ありがとうございました。
No.44806 - 2017/07/22(Sat) 21:10:48
★ Re: Re:確率 / 前進
この4C2という考え方がわかりません。４つの中から２つ選らんで、並び方はどうでもいいのですが〇〇□□と〇□□〇は違いますが、〇〇を左に並べるときもあれば〇□□〇のように左右の端に分かれるときもあります。

ふたつ例えば〇〇を選べば□□の並び方がなぜ決定するのでしょうか？

宜しくお願い致します。
No.44784 - 2017/07/21(Fri) 12:10:56
☆ Re: Re:確率 / 前進
それともなにかわからない？？？？があってそこに〇〇をいれていくということでしょうか？

4C2で４つの？から２つ選んでそこに〇は同じすし、組み合わせは並び方を考慮しないので２つ〇を埋めればあとは勝手に□□が決まるということでしょうか？

宜しくお願い致します。
No.44785 - 2017/07/21(Fri) 12:15:01
☆ Re: Re:確率 / 前進
たった6通りですので書き出してみました
No.44786 - 2017/07/21(Fri) 12:18:40
☆ Re: Re:確率 / ヨッシー
>なにかわからない？？？？があってそこに〇〇をいれていく
が近いです。
「なにかわからない」ではなく「○か□か決まっていない」です。

例えば、○○？？ となったら、２箇所の？に□を２個入れます。
ですので、
>ふたつ例えば〇〇を選べば□□の並び方がなぜ決定するのでしょうか？
は、空き席が２つしかない所に２つの□を入れるので、１通りしかありません。

厳密に書けば、2Ｃ2＝1 ですが、ほぼ自明ですので、省略することが多いです。

書き並べたその６通りが、まさに 4Ｃ2 です。
No.44787 - 2017/07/21(Fri) 12:44:46
☆ Re: Re:確率 / 前進
あぁ2Ｃ2＝1通りですから省略するのですか。なるほど、しかしコンビネーションの定義は異なるn個のものから異なるr個を選ぶ組み合わせとありますが何が異なるのでしょうか？

？はすべて同じ記号ですし、確率は同じリンゴでも例えばA1,A2というように同じ程度に確からしくなくなるので区別するとありました。しかし場合の数は区別しません。

この2Ｃ2におけるCの意味が知りたいです。宜しくお願い致します。
No.44788 - 2017/07/21(Fri) 14:22:45
☆ Re: Re:確率 / 前進
1番は確率でなく、場合の数ですの
で〇〇や□□のように区別していません。


この問題は選ぶのとｃ　並べるのを分けていてP、今は選んでいる場面ということよろしいでしょうか？

自分でももう一度考えてみます
No.44789 - 2017/07/21(Fri) 14:40:39
☆ Re: Re:確率 / ヨッシー
>何が異なるのでしょうか？
場所が違います。
「並べる」ですから、順番は区別されます。

これがもし、４個のボールがあって、Ａさん、Ｂさんに
２個ずつ分ける方法は？だと、１通りです。
No.44790 - 2017/07/21(Fri) 17:17:53
☆ Re: Re:確率 / angel
> この問題は選ぶのとｃ　並べるのを分けていてP、今は選んでいる場面ということよろしいでしょうか？

あんまり、選ぶとか並べるとかの「行為」と C,P とかいった「計算」とを直結させない方が良いです。大抵混乱します。

ベースは、

・異なる(区別の有る)ものを単純に並べる場合は P で計算「できます」よ
・異なるものを単純に ( 組み合わせを ) 選ぶ場合は C で計算「できます」よ

であって、ただ各問題を解くにあたってはそんな単純にはいかないのでどう応用しましょうか、という話であって、「並べる=P」「選ぶ=C」はこういう極々単純なところまで問題をブレイクダウンした後の話です
No.44817 - 2017/07/23(Sun) 10:33:20
☆ Re: Re:確率 / angel
「○○□□を並べる」という話であれば、

・並べる場所に 1〜4 という番号を振る
・○を置く場所分の2つを選ぶ
　… これは、(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) の 6=4C2通り
・選んだ場所以外には□を並べる
　例えば(1,4)を選んだら、残り(2,3)には□なので ○□□○ という並べ方

という考え方ができるので、だから 4C2 で計算できます、ってことです。

なお、ここの説明で出てきた 1〜4 なんかの番号は説明用に勝手に設定したものであって、その通りにしなければならない訳ではありません。
が、そう説明しても「問題としては同じ」ということで。見た目が異なる問題を、いかに上手く ( こういう説明を付け加えたりすることで ) 同じ問題に変えて解くか、というのは大事なところです。
No.44818 - 2017/07/23(Sun) 10:47:41
☆ Re: Re:確率 / 前進
丁寧な説明をありがとうございました。かなりわかりやすかったです。
No.44861 - 2017/07/24(Mon) 09:30:23
☆ Re: Re:確率 / 前進
見た目が異なる問題を、いかに上手く ( こういう説明を付け加えたりすることで ) 同じ問題に変えて解くか、というのは大事なところです。

今している講座は特にそのような考え方が多いのでかなり学ばせていただいております。しきりを入れた順列など、

一歩ずつ新しい考えかたを取り入れながら前進していきます
No.44863 - 2017/07/24(Mon) 09:57:37
☆ Re: Re:確率 / 前進
もし6通りすべてを書けと言われたら、私の紙の方法だとすべてを洗い出す自信はないので(特に規則を決めて書いているわけではない)

・並べる場所に 1〜4 という番号を振る
・○を置く場所分の2つを選ぶ
　… これは、(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) の 6=4C2通り
・選んだ場所以外には□を並べる
　例えば(1,4)を選んだら、残り(2,3)には□なので ○□□○ という並べ方

という考えかたは素晴らしいと思います。

ありがとうございました
No.44868 - 2017/07/24(Mon) 11:12:23
★ 分からないです。 / マイオニー
この三問がどうしても分からないです。
教えて頂きたいです。
No.44780 - 2017/07/20(Thu) 23:06:56
☆ Re: 分からないです。 / X
二項定理により
{√x+1/x^(2/3)}^7=Σ[k=0〜7](7Ck){(√x)^k}{1/x^(2/3)}^(7-k)
=Σ[k=0〜7](7Ck)x^{k/2+(2/3)(k-7)}
よって定数項に対応するkの値に対し
k/2+(2/3)(k-7)=0
これより
k=4
よって定数項の値は
7C4=35

(2)
問題の方程式において、真数条件により
x＞0
∴問題の方程式の両辺で2を底とする対数
を取ることができ
(log[2]x)^2=10-3log[2]x
これより
(log[2]x)^2+3log[2]x-10=0
(log[2]x+5)(log[2]-2)=0
∴log[2]x=-5,2
となるのでx=1/32,4
よって大きい方の解はx=4です。

(3)
y=x^2,y=(x^2)/4,y=1
のグラフの概形を描くことにより、
求める面積をSとすると
S=1・2-{1・1-∫[0→1](x^2)dx}-∫[0→2]{(x^2)/4}dx
(それぞれの項が、面積を求めたい領域の周辺において
どこの領域の面積を指しているのかを考えましょう。)
=…
No.44782 - 2017/07/21(Fri) 03:45:17
★ 大学数学　収束 / 大学生
a[n+1]=1/2*(a[n])^2-a[n]
a[1]=1
が収束することを示し、その極限を求めよ

お願いします
No.44779 - 2017/07/20(Thu) 19:27:05
☆ Re: 大学数学　収束 / IT
（概要）
f(x)=(1/2)x^2-x とおく.
y=f(x) とy=x のグラフを描いてa[n] の挙動を調べると
a[n]→0(n →∞) が推測されます。

0＜a[3]＜a[1]≦1　を確認。

-1/2≦x＜0のとき　f(x)は狭義単調減少で　0＜f(x)≦１。
0＜x≦1のとき　　f(x)は狭義単調減少で　-1/2≦f(x)＜0。

よって,0＜a[3]＜a[1]≦1　→　　-1/2≦a[2]＜a[4]＜0 →　0＜a[5]＜a[3]≦1　→ ...となる
数学的帰納法により　0＜a[2n+1]＜a[2n-1]≦1,-1/2≦a[2n]＜a[2n+2]＜0.

漸化式から,
a[n+2]-a[n+1]=(1/2)(a[n+1]+a[n]-2)(a[n+1]-a[n]).
a[n+1]+a[n]=(1/2)a[n]^2＜2.

(1)あるα>0 があって、任意のｎについて、α≦(1/2)a[n]^2と仮定すると、
　-2＜α-2≦a[n+1]+a[n]-2＜0
|a[n+2]-a[n+1]|≦|(1/2)(α-2)(a[n+1]-a[n])|≦|(2-α)/2|^n|a[2]-a[1]| →0

このときa[n]→0。(矛盾）

よって(1)でない。　
したがってa[n]^2 →0　(注)理由の説明が必要です。
No.44781 - 2017/07/20(Thu) 23:35:33
☆ Re: 大学数学　収束 / らすかる
別解
a[n+1]=(1/2)(a[n])^2-a[n] から
a[n+2]={(a[n])^4-4(a[n])^3+8a[n]}/8
1/{(x^4-4x^3+8x)/8}^2-1/x^2
={(4-x)(16-4x^2+x^3)}/{(2-x)(4+2x-x^2)}^2
0＜x≦1のとき
4-x≧3, 16-4x^2+x^3≧13, 1＜2-x≦2, 4＜4+2x-x^2≦5なので
1/{(x^4-4x^3+8x)/8}^2-1/x^2≧(3・13)/(2・5)^2＞1/3
また0＜x≦1のとき(x^4-4x^3+8x)/8=x(2-x)(4+x(2-x))/8＞0
従って
0＜a[n]≦1のとき1/(a[n+2])^2-1/(a[n])^2＞1/3、0＜a[n+2]＜1となるので、
m→∞のとき1/(a[2m+1])^2→∞すなわちa[2m+1]→0
またa[2m+1]→0のときa[2m+2]=(1/2)(a[2m+1])^2-a[2m+1]→0なので
lim[n→∞]a[n]=0
No.44783 - 2017/07/21(Fri) 08:15:39
★ 大学数学 / ひかる
失礼しました。大学2年生です。
R^2の2点a,bの距離をd(a,b)で表す。
ある正定数k>0が存在してfの定義域Dの全てのx1,x2について
|f(x1)-f(x2)|<kd(x1,x2)であるならば
fはDで連続であることを示せ。
ヒント εδ論法

よろしくお願いします。
No.44775 - 2017/07/20(Thu) 13:43:35
☆ Re: 大学数学 / IT
任意のx1∈D、ε>0 に対して
　δ＝ε/k とすると
　d(x1,x2)＜δなる任意のx2∈Dについて　|f(x1)-f(x2)|<kd(x1,x2)<kδ=εとなる。

よってfはDで連続である。
No.44798 - 2017/07/22(Sat) 14:36:27
★ 大学数学です / ひかる
a=(x1,y1)b=(x2,y2)とする。
?@d1(a,b)=|x1-x2|+|y1-y2|
?Ad∞(a,b)=max(|x1-x2|,|y1-y2|)
?@と?Aが同値であることを示せ。
ヒント:Z=f(x,y)が連続ならば…

よろしくお願いしますm(__)m
No.44774 - 2017/07/20(Thu) 13:42:52
★ (No Subject) / 名無しさん
画像の問題で、[?T][?U]の違いがよくわかりません。何か例を挙げて説明してくださると助かります。また、lim[x→+0](-logx)で+∞になる理由もよくわかりません。お願いします。
No.44773 - 2017/07/20(Thu) 13:26:26
☆ Re: / ヨッシー

超簡単な例で言うと、整数未満を切り上げる関数、切り捨てる関数で、
1から2まで積分するような場合が、それぞれ、[I]、[II] に当たります。

また、２つ目の質問は、ｙ＝log(x) のグラフを、右から左にたどっていけば、ｘ→＋０ で、−∞ に落ち込んでいくのがわかると思います。
頭に−（マイナス）が付いているので、＋∞ となります。
No.44776 - 2017/07/20(Thu) 14:38:24
★ ガウスの発散定理での重積分の計算 / あい
円柱x^2+y^2≦1,0≦z≦1 の全表面をSとし、その上の単位法線をnベクトルとするとき、面積分∫(s)F・ndSを求めよ という問題で、
ガウスの発散定理を用いるとdivF＝x+2zになったので求めるものは∫(v)(x+2z)dV＝∫∫∫xdxdydz+∫∫∫2zdxdydzになります
解答だとすぐに∫∫∫xdxdydz＝0としていたのですが、これはどうしてですか？
No.44772 - 2017/07/20(Thu) 11:47:38
☆ Re: ガウスの発散定理での重積分の計算 / X
積分領域Vがyz平面に関して対称であることと
問題の被積分関数xが、xのみで構成され
更にxに関して奇関数であるからです。

もっと一般的に言えば
f(x)が問題の積分領域で積分可能な
xの奇関数であるとき
問題の積分領域Vに対して
∫∫∫[V]f(x)dxdydz=0
となります。
No.44777 - 2017/07/20(Thu) 17:24:04
★ 集積値 / は
集積値の集合がℤと一致するような実数列(an)nの例を作れ
No.44768 - 2017/07/20(Thu) 02:11:06
★ 合成積 / なにゃら
定数a<bに対してf(x)=1 (a≦x≦b), それ以外のxではf(x)=0
のとき合成積f＊f(x)を求めよ.

f＊f(x)=∫(-∞ to ∞) f(x-y)f(y)dy

と続くのですが積分範囲がわかりません.
関数は簡単なのでこの積分範囲が山場です.
No.44766 - 2017/07/20(Thu) 00:45:50
☆ Re: 合成積 / なにゃら
ちなみに模範解答では

f＊f
=0 (x>2b,またはx<2a)
x-2a (2a≦x<a+b)
2b-x (a+b≦x<2b)
No.44767 - 2017/07/20(Thu) 01:10:02
☆ Re: 合成積 / なにゃら
自己解決できましたのでご協力ありがとうございました。
No.44769 - 2017/07/20(Thu) 03:00:57
★ 領域図示 / アカエリスタ王国
xy平面上に、点(a,2)を中心として、原点Oを通る円Cがある。Cが放物線y=x²と異なる4点で交わるとき、Cの動く範囲を図示せよ。

という問題です。宜しくお願いします。
No.44763 - 2017/07/19(Wed) 21:55:59
☆ Re: 領域図示 / らすかる
円Cの方程式はx^2-2ax+y^2-4y=0
y=x^2を代入して整理すると x(x^3-3x-2a)=0
f(x)=x^3-3xとおくとf'(x)=3(x-1)(x+1)なので
x=-1で極大値2、x=1で極小値-2をとる。
従って-2＜2a＜2すなわち-1＜a＜1のときx^3-3x-2a=0は3解を持つが、
a=0のときはx(x^3-3x-2a)=x^2(x^2-3)となり交点が3個になるので
交点が4個になるのは-1＜a＜0,0＜a＜1
従って求める領域は
x^2-2x+y^2-4y=0,x^2+2x+y^2-4y=0の2円のうちどちらか一方のみの内部と(0,0)と(0,4)
つまり(x^2-2x+y^2-4y)(x^2+2x+y^2-4y)＜0と(0,0)と(0,4)
すなわち(x^2+y^2-4y)^2＜4x^2と(0,0)と(0,4)
No.44765 - 2017/07/19(Wed) 23:16:55
☆ Re: 領域図示 / Kenji
横から失礼します。
(0,0)(0,4)の2点を追加する前に、
それらを直径とする円周上の点を除外する必要があると思います。

x=0のとき
(x,y)が求める領域に属する
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつx^2-2ax+y^2-4y=0が成り立つ
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつy^2-4y=0が成り立つ
⇔y=0,4

x＞0のとき
(x,y)が求める領域に属する
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつx^2-2ax+y^2-4y=0が成り立つ
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつa=(x^2+y^2-4y)/(2x)が成り立つ
⇔-1＜(x^2+y^2-4y)/(2x)＜1かつ(x^2+y^2-4y)/(2x)≠0
⇔-2x＜(x^2+y^2-4y)＜2xかつ(x^2+y^2-4y)≠0
⇔5＜(x+1)^2+(y-2)^2かつ(x-1)^2+(y-2)^2＜5かつx^2+(y-2)^2≠4

x＜0のとき
(x,y)が求める領域に属する
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつx^2-2ax+y^2-4y=0が成り立つ
⇔実数aを上手く選べば-1＜a＜1かつa≠0かつa=(x^2+y^2-4y)/(2x)が成り立つ
⇔-1＜(x^2+y^2-4y)/(2x)＜1かつ(x^2+y^2-4y)/(2x)≠0
⇔-2x＞(x^2+y^2-4y)＞2xかつ(x^2+y^2-4y)≠0
⇔5＞(x+1)^2+(y-2)^2かつ(x-1)^2+(y-2)^2＞5かつx^2+(y-2)^2≠4

これらを総合すると、
求める領域は
　(x+1)^2+(y-2)^2=5と(x-1)^2+(y-2)^2=5の2円の片方だけの内部に属する点の集合から
　(0,0)(0,4)を直径とする円周を取り除いた上で(0,0)(0,4)の2点を追加した点の集合
となると思います。
No.44770 - 2017/07/20(Thu) 04:14:49
☆ Re: 領域図示 / らすかる
Kenjiさんの仰る通りですね。
私の解答では、自分で-1＜a＜0,0＜a＜1と書いておきながら
領域を考える時にa=0の円を除外するのを忘れていました。
No.44771 - 2017/07/20(Thu) 04:30:28
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