ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / きあら

この問題が分かる方いらっしゃいますか？

実数x,yはx^2+xy+y^2=1を満たす。また、ω=x+xy+yとする。
?@　p=x+yとするとき、ωをpの関数で表しなさい。
?A　?@のとき，ωをとりうる範囲を求めなさい。

?@はω＝p^2+p-1　と出たのですが、?Aが分かりません
よろしくお願いいたします。

No.44687 - 2017/07/16(Sun) 20:49:31

☆ Re: / X

単純に?@の結果を平方完成して…、では
計算が足りません。
x,yの実数条件を求めましょう。

条件から
x+y=p
xy=ω-p
よって解と係数の関係から、x,yはtの二次方程式
t^2-pt+ω-p=0 (A)
の解となります。
ここでx,yは実数ですので(A)の解の判別式を
Dとすると
D=p^2-4(ω-p)≧0 (B)
(B)の条件の下で?@の結果である
ω=p^2+p-1 (C)
の取りうる値の範囲を求めます。
(C)を(B)に代入して
p^2-4(p^2-1)≧0
3p^2-4≦0
∴-2/√3≦p≦2/√3 (D)
横軸にp、縦軸にωを取った(C)のグラフを
(D)の範囲で描くことにより
-5/4≦ω≦1/3+(2/3)√3
となります。

No.44688 - 2017/07/16(Sun) 21:29:26

☆ Re: / angel

?@にも被りますが。

p=x+y と置いたように、q=xy とも置いておきます。
この時 p,q の満たす条件は p^2-4q≧0 です。
※ ちょうど p^2-4q=(x-y)^2 という形になるから、というのもありますが、これは p=x+y,q=xy から導出される2次方程式の判別式の条件にも対応しています

こうすると、
　x^2+xy+y^2=1 ⇔ p^2-q=1
と条件を書き替えることができます。

後は、
　p^2-4q≧0
　p^2-q=1
から、p の範囲を絞ることができます。

No.44689 - 2017/07/16(Sun) 21:29:53

☆ Re: / きあら

分かりました。ありがとうございます。

No.44715 - 2017/07/17(Mon) 19:02:37

★ 大学数学　写像 / k

下の問題を教えてください

No.44684 - 2017/07/16(Sun) 17:21:55

☆ 前提 / angel

写像等の定義・条件を如何に把握して運用するかがカギです。

まず単射・全射・全単射の条件についてです
・単射の条件として、
　A→Bへの写像 f に対して
　　fが単射 ⇔ ( a1≠a2⇒f(a1)≠f(a2) )
　　或いはその対偶 f(a1)=f(a2)⇒a1=a2

・全射の条件として
　A→Bへの写像 f に対して
　　fが全射 ⇔ 任意のb∈B に対して f(a)=b を満たす a∈A が存在する

・fが全単射⇔fが単射かつ全射

次に写像・集合の同値性についてです
・A→Bへの写像 f,g に対して
　f=g ⇔ 任意のa∈A に対し f(a)=g(a)
　逆に言うと f≠g ⇔ f(a)≠g(a)となる a∈A が存在する

・集合X1,X2に対して
　X1=X2 ⇔ X1⊂X2かつX2⊂X1
　X1⊂X2 ⇔ 任意の x∈X1 に対して x∈X2

ということを前提として(続く)

No.44702 - 2017/07/17(Mon) 01:09:08

☆ 解答 / angel

(1)
Φ: x→*x が単射ということで、
x1* = x2* ⇒ x1=x2 ( x1,x2∈X ) を示す方向で行きます

　x1* = x2*
　⇔ 任意の x'∈X に対し x1*(x')=x2*(x')
　⇒ x1*(x2)=x2*(x2)　　← x'に特定の値 x2 を代入 )
　⇔ x1*(x2)=1　　← ∵x*(x')=1 if x'=x
　⇒ x1=x2　　← もしx1≠x2なら x1*(x2)=0 で矛盾(背理法)

(2)
α: f→f^(-1)(1) が全単射ということで、単射・全射をそれぞれ示します。

単射: f1^(-1)(1)=f2^(-1)(1) ⇒ f1=f2 ⇔ 任意のx∈X に対して f1(x)=f2(x) が目的

　f1^(-1)(1)=f2^(-1)(1)
　⇔ 任意の x∈f1^(-1)(1) に対して x∈f2^(-1)(1)
　　かつ任意の x∈f2^(-1)(1) に対して x∈f1^(-1)(1)
　⇔ ( f1(x)=1 ⇒ f2(x)=1 ) かつ ( f2(x)=1 ⇒ f1(x)=1 )　　← ^(-1) の定義をそのまま適用
　⇔ ( f1(x)=1⇔f2(x)=1 )
　⇔ ( f1(x)=1⇔f2(x)=1 ) かつ ( f1(x)≠1⇔f2(x)≠1 )　　← 対偶を追加しても同値
　⇔ ( f1(x)=1⇔f2(x)=1 ) かつ ( f1(x)=0⇔f2(x)=0 )　　← 0,1しか値の候補がない
　⇔ 任意の x に対して f1(x)=f2(x)　　← 1つ上と同様、0,1しか値の候補がないから
　⇔ f1=f2

全射: 任意のX'∈Ρ(X)つまり、X'⊂X に対し、f^(-1)(1)=X' となる f の存在を示す

　任意の X' に対し、
　　f(x)=1 ( x∈X' の場合 )
　　f(x)=0 ( その他 )
　と f を定義すれば f^(-1)=X' となる。つまりそのような f は常に存在する

(3)
Ψ:X x→g=: f→f(x) が単射ということで、
g1=Ψ(x1),g2=Ψ(x2) に対して g1=g2⇒x1=x2 を示します
なお、g=Ψ(x) に対して g(f)=f(x) つまり、Ψ(x)(f)=f(x) であることに注意

　g1=g2
　⇔ 任意の f に対して g1(f)=g2(f)
　⇔ 任意の f に対して f(x1)=f(x2)
　⇒ Yの2要素 y1,y2∈Y ( y1≠y2 ) に対して、f'(x1)=y1, f'(x)=y2 ( x≠x1 ) となる f' に対して
　　f'(x1)=f'(x2) つまり、f'(x2)=y1 なので x1=x2
　　※ x1≠x2 だと f'(x2)=y2≠y1 となり矛盾

No.44703 - 2017/07/17(Mon) 01:11:03

☆ 補足 / angel

(3) についてですが、|Y|≧2 と条件があるのは、上の証明で
「Yの2要素y1,y2」というのを取って来ることができるように、ですね。

後(2)について直感的に言えば、
　Xの部分集合をつくる
　→ Xのどの要素を抽出するか?
　→ Xの各要素につき、必要/不要を割り当てる
ということを考えると、「部分集合の作り方」と「X→{必要,不要}の写像」というのは実は同じものとみなすことができるのですね。
※この問題では{必要,不要}の代わりに{0,1}という集合にしていますが

Ρ(X)というのは「部分集合全体」つまり、「部分集合の作り方全てのレシピ」と同一視できる、つまり「必要/不要を割り当てるやり方(写像)全体」と同一視できるので、全単射なのはある意味当たり前なのです。

No.44704 - 2017/07/17(Mon) 01:16:26

★ 複素平面の問題 / たなお

こんにちは。
複素平面の問題でわからないものがあります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
w = (1+z)/(1-z) とする。点 z が次の円の上を動くとき、点 w はどんな図形をえがくか。

（１）|z| = 1
（２）|z| = 2

＜答え＞
（１）虚軸
（２）中心が-(5/3)、半径が4/3の円
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（１）は解けましたが、（２）が解けません。解法を教えていただけないでしょうか。
ちなみに、（１）をどうやって解いたか下に載せます。（１）についても、もっと簡単な解き方があれば教えていただきたいと思います。

よろしくお願いいたします。

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（１）の解法

z = a + bi, w = x + yi とする。与えられた条件より、

　　(1 - z)w = 1 + z

　⇔a + bi - (ax + ayi + bxi - by) = 1 + x + yi

　⇔(a -ax + by) + (b - bx - ay)i = (x + 1) + yi

係数を比較して

　　a(1 - x) + by = x + 1　・・・　※１
　　b(1 - x) - ay = y　　　・・・　※２

※２より

　　y = b(1 - x)/(a + 1)

※１に代入して

　　a(1 - x) + (b^2)(1 - x)/(a + 1) = x + 1

　⇔{a + (b^2)/(a + 1)}(1 - x) = x + 1

　⇔{(a^2 + b^2 + a)/(a+1)}(1 - x) = x + 1

|z| = 1 より、a^2 + b^2 = 1 なので

　1 - x = x + 1

　∴x = 0

よって、w は虚軸を表す。

No.44677 - 2017/07/16(Sun) 16:02:30

☆ Re: 複素平面の問題 / IT

分母≠0など細かい点は抜きにして

w = (1+z)/(1-z) より　z=(w-1)/(w+1)
|z|=2 より
|(w-1)/(w+1)|=2
|w-1|=2|w+1|
|w-1|^2=4|w+1|^2
ww~-w-w~+1=4(ww~+w+w~+1)
3ww~+5w+5w~+3=0
(w+5/3)(w~+5/3)-16/9=0
|w+5/3|^2=(4/3)^2

（１）も同様にできます。

No.44679 - 2017/07/16(Sun) 16:33:14

☆ Re: 複素平面の問題 / たなお

ITさん

ありがとうございます！理解できました。

一点質問なのですが、「w~」という表記を初めて見るのですが、これは何でしょうか？無知ですいません。

No.44681 - 2017/07/16(Sun) 16:48:32

☆ Re: 複素平面の問題 / IT

注意書きを忘れていましたが理解されたということは、推測していただけたのだと思いますが、

「wの共役複素数」を便宜的に「w~」と書きました。

No.44682 - 2017/07/16(Sun) 17:01:39

☆ Re: 複素平面の問題 / たなお

ITさん

回答ありがとうございます。wの共役複素数ということですね！
おそらくそうだろうとは推測しましたが、念のため確認させていただきました。

ありがとうございました！助かりました！

No.44683 - 2017/07/16(Sun) 17:10:16

★ (No Subject) / ジオット・セヴェルス

nを3以上の自然数とする。このとき、正2n角形の頂点から無作為に異なる4頂点を選び、それぞれをA,B,C,Dとする。

(1)△ABCが直角三角形である確率を求めよ。
(2)A,B,C,Dから3頂点を選んで得られるすべての三角形の集合を考える。その集合の少なくとも1つの要素が直角三角形である確率を求めよ。
(3)△ABCが鈍角三角形である確率を求めよ。

No.44676 - 2017/07/16(Sun) 15:59:51

☆ Re: / たなお

回答させていただきます。

「円に内接する三角形の角度」の知識を応用すればいいと思います。
円（中心点がO）に内接する三角形ABCについて、∠ACB = (1/2)∠AOBとなります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（１）円に内接する三角形の１つの辺が円の直径のとき、内接する三角形は直角三角形となることを考えると、三角形ABCが直角三角形になるには

　★パターン１
　　　Aの正面にBかCが来る。
　★パターン２
　　　BとCが互いに正面になる。

のいずれかになっていれば良いです。
それぞれ何通りか求めれば、確率の計算はできます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（２）今度は、A,B,C,Dのどの３点を選んでも直角三角形にならない確率を、全体から引けば求められます。要するに、

　A,B,C,Dのどの点も、互いに正面にならない確率

を全体から引いてください。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（３）三角形ABCが鈍角三角形であるには、円に内接する三角形の角度の性質より、以下のパターンを考えればいいです。

　★パターン１
　　AとBが正面でない　かつ　Cが弧AB（短い方）上に存在する。

　★パターン２
　　BとCが正面でない　かつ　Aが弧BC（短い方）上に存在する。

　★パターン３
　　CとAが正面でない　かつ　Bが弧CA（短い方）上に存在する。

正確には「弧」ではありませんが、便宜上「弧」という単語を使いました。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

以上です。
ちなみに、上記は全て各点を区別した場合の考え方です。
もし区別しないでいいのなら、もう少し考えるパターンを減らせますが、各点にA,B,C,Dと名前がついているので、おそらく区別して考えていいでしょう。

間違いなどがあればご指摘願います。

No.44678 - 2017/07/16(Sun) 16:29:18

☆ Re: / たなお

ちなみに、「上記は全て各点を区別した場合の考え方」と言いましたが、今回の場合は実際に計算すると、区別してもしなくても、確率は同じになります。なので、（１）と（３）に関しては以下の様に考えてもいいです。

（１）：３点のうち２点が互いに正面になる確率を求める
（２）：３点のうち２点が互いに正面でなく、かつ残り１点が他２点の短い方の弧上に存在する確率を求める

また、その場合は全体も3分の1にして計算してください。

ただし、一般的に名前がついていれば基本は区別するということを忘れないでください。今回の場合はたまたま問題なく計算できるだけです。

No.44680 - 2017/07/16(Sun) 16:40:12

☆ Re: / angel

図形的性質について、すでにたなおさんが説明されていますが、実際に確率を計算するにあたっては、大きく2通り、場面によって使い易さが変わる場合がありますから、見極められると楽できます。

その2通りとは、ざっくり言うと次の通りです

* 組み合わせベース
　(問題の条件に合う組み合わせ数)÷(全体の組み合わせ数) を計算する
* 確率の掛け算ベース
　1点ずつ順番に決めて行って、都度確率を掛けていく ( + 場合分け )

(1)なら両方同じくらい楽にできます。
* 組み合わせベース
　全体 … 2nC3 = 2n(2n-1)(2n-2)/6
　直角三角形 … 斜辺(直径)の取り方が n 通り、残り直角の頂点が 2n-2 通り、組み合わせ n(2n-2)通り
　割り算して 3/(2n-1)
* 確率ベース
　点Aは任意に取り、
　　点Bが対面に来る … 確率 1/(2n-1)
　　点Bが対面に来ず、CがA or B の対面 … 確率 (2n-2)/(2n-1)×2/(2n-2)
　合計で 3/(2n-1)

(2) 組み合わせベースはちょっとキツイ…?
* 確率ベース
　点Aは任意、
　点BはAの対面以外、確率 (2n-2)/(2n-1)
　点CはA,Bの対面以外、確率 (2n-4)/(2n-2)
　点DはA,B,Cの対面以外、確率 (2n-6)/(2n-3)
　掛け合わせて、4(n-2)(n-3)/(2n-1)(2n-3)

(3) 組み合わせの方が楽ですかね
* 組み合わせベース
　全体 … 2nC3 = 2n(2n-1)(2n-2)/6
　鈍角三角形
　　鈍角になる頂点 2n通り
　　残り2頂点は、鈍角になる頂点を挟んで、間の点(鈍角の頂点含む)が1～n-2個に収まること
　　※間の点がn-1個だと直角三角形になる。その手前まで
　　間の点が k 個なら、2頂点の決め方は k通り、全部で 1+2+…+(n-2)=1/2・(n-1)(n-2)
　　結局、2n・1/2・(n-1)(n-2)=n(n-1)(n-2)通り
　割り算して 3(n-2)/2(2n-1)

No.44707 - 2017/07/17(Mon) 09:26:07

★ (No Subject) / 名もなき詩

0≦x≦1を満たすxについて、常に|ax+b|≧1-x²が成立するような点(a,b)の存在範囲を図示せよ。

No.44664 - 2017/07/15(Sat) 16:24:18

☆ Re: / IT

（概要）
aの正負で場合分けします。

a＝0のとき　|b|≧1が必要十分条件であることが容易に分かります.

a＞0のとき　ax+b=0 となるのはx=-b/a のとき、この点の位置で場合分け。
　-b/a≧1のとき

　　元の不等式は、f(x)=x^2-ax-b-1≧0.
　　放物線y=f(x)の軸はx=a/2なので,
　　0≦a/2≦1のとき　求める条件は、f(x)=0の判別式=a^2+4(b+1)≦0
　　a/2＞1のとき　　求める条件は、f(1)=1-a-b-1≧0.

　0＜-b/a＜1のときは、x=-b/aで|ax+b|=0,1-x^2＞0なので不適。

　-b/a≦0のときは、元の不等式は,g(x)=x^2+ax+b-1≧0
　　　放物線y=g(x)の軸はx=-a/2＜0なので,　求める条件は,g(0)=b-1≧0

a＜0のときは,a＞0のときのaを-a,bを-bに置き換えればよい。　

No.44669 - 2017/07/15(Sat) 20:18:40

☆ 別解 / angel

|ax+b|≧1-x^2 ⇔ ax+b≧1-x^2 or -(ax+b)≧1-x^2
と見做して考えることもできます。
つまり、
　常に|ax+b|≧1-x^2 ⇔ 常にax+b≧1-x^2 or 常に-(ax+b)≧1-x^2
とするのです。
…というのは、今回の問題限りの話なので要注意です
※正しくは「常に ( ax+b≧1-x^2 or -(ax+b)≧1-x^2 )」であって、「常に ax+b≧1-x^2 or 常に -(ax+b)≧1-x^2)」ではないのです。一般的には。

今回、0≦x≦1 の間で、ax+b＞0 と ax+b＜0 の両者の範囲が混在するとすれば、0＜x＜1 のどこかで ax+b=0 が成立します ( 中間値の定理 )
つまりそこでは |ax+b|=0
しかし、0＜x＜1 では 1-x^2＞0 となっているため、そうすると |ax+b|≧1-x^2 が成立しない点ができてしまいます。

そのため、0≦x≦1 において常に ax+b≧0 または常に ax+b≦0

ということで、冒頭の
　常に|ax+b|≧1-x^2 ⇔ 常にax+b≧1-x^2 or 常に-(ax+b)≧1-x^2
は、今回はO.K.ということです

No.44674 - 2017/07/15(Sat) 23:49:41

☆ 別解-続き / angel

すると、2次関数
　f(x)=x^2+ax+b-1
　g(x)=x^2-ax-b-1
に関して、
　0≦x≦1 において常に f(x)≦0 または、常に g(x)≦0
という2次関数の問題2つ分になります。

f(x)の方で言うと、

　f(0)≧0 かつ f(1)≧0 かつ
　　( y=f(x)の頂点のy座標 f(-a/2)≧0 または、軸 -a/2≦0 または -a/2≧1 )

というような感じで条件を整理します。
※頂点のy座標≧0 の代わりに、2次方程式 f(x)=0 の判別式 D≦0 でも良いです。同じことです。

No.44675 - 2017/07/15(Sat) 23:55:46

★ (No Subject) / コンテクストを考えて

中の見えない箱に、1から8までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計8枚入っている。この箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている数字を記録してから箱の中に戻す操作を、1回の試行とする。この試行を3回繰り返して行い、1回目に記録された数をa、2回目に記録された数をb、3回目に記録された数をcとする。

(1)(a-b)(b-c)(c-a)≦0となる確率を求めよ。

(2)(a-b)(b-c)(c-a)=2となる確率を求めよ。

という問題が解けません…。解法を教えてください！

No.44663 - 2017/07/15(Sat) 15:51:58

☆ Re: / らすかる

全部で8^3=512通り
(1)
(a-b)(b-c)(c-a)＞0となるのはa＜b＜c,b＜c＜a,c＜a＜bの場合なので8C3×3=168通り
よって求める確率は 1-168/512=43/64
(2)
(a-b)(b-c)(c-a)=2となるのは(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b)のいずれかの順に昇順の連番の場合のみ
よって求める確率は 6×3/512=9/256

No.44665 - 2017/07/15(Sat) 16:29:08

☆ Re: / たなお

回答させていただきます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（１）(a-b)(b-c)(c-a)≦0となる確率を求めよ。

この場合、(a-b)(b-c)(c-a)≦0となる確率を直接求めるのではなく、(a-b)(b-c)(c-a)>0となる確率を全体から引いた方が楽そうですね。

ここで、(a-b)(b-c)(c-a)>0となるパターンをいくつか考えます。

　★その１
　　　(a-b)<0　かつ　(b-c)<0　かつ　(c-a) > 0

　　　⇒　c > b > a

　★その2
　　　(a-b)<0　かつ　(b-c)>0　かつ　(c-a) < 0

　　　⇒　b > a > c

　★その3
　　　(a-b)>0　かつ　(b-c)<0　かつ　(c-a) < 0

　　　⇒　a > c > b

この３パターンがそれぞれ何通りあるかを求めて、全体から引けば求められます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(2)(a-b)(b-c)(c-a)=2となる確率を求めよ。

(a-b)(b-c)(c-a)=2 となるのは、

　　|a-b| = 1 , |b-c| = 1 , |c-a| = 2 　・・・※１　または
　　|a-b| = 1 , |b-c| = 2 , |c-a| = 1 　・・・※２　または
　　|a-b| = 2 , |b-c| = 1 , |c-a| = 1 　・・・※３

のときです。さらに (a-b)(b-c)(c-a)=2>0 なので（１）より、

　　c > b > a　・・・※４　または
　　b > a > c　・・・※５　または
　　a > c > b　・・・※６

という関係になります。
ここで※4~6のそれぞれのパターンについて考えてみます。

c > b > a（※４）のとき、a,b,cはそれぞれ自然数なので、aとcは少なくとも2は値が離れています。このことから

　c > b > a　⇒　|a-b| = 1 , |b-c| = 1 , |c-a| = 2　（※１）
　∴c = a+2, b= a+1, a=a

※５、※６についても同様に考えて

　b > a > c　⇒　|a-b| = 1 , |b-c| = 2 , |c-a| = 1 　（※２）
　∴b = c+2, a = c+1, c = c

　a > c > b　⇒　|a-b| = 2 , |b-c| = 1 , |c-a| = 1　（※３）
　∴a = b+2, c = b+1, b = b

以上より、(a-b)(b-c)(c-a)=2 となるのは、引いた３回の数が連続した数になっている場合です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

これでいかがでしょうか？計算は頑張ってやってみてください。
間違いや、もっといい解法などがあればご指摘願います。

No.44666 - 2017/07/15(Sat) 16:43:27

☆ Re: / たなお

らすかるさん

入力している間に回答してくださってましたね。。重複してしまいすいません。

No.44667 - 2017/07/15(Sat) 16:44:18

☆ Re: / コンテクストを考えて

ありがとうございました。

No.44670 - 2017/07/15(Sat) 22:04:55

★ (No Subject) / K

大学入試において、ですが「特別な誘導がない限りは、積分計算は、積分結果を知っていればそれをそのまま書いてよい」というのは本当ですか？
例えば
(1)Ｃ：x=e^t+e^(-t)
y=e^t-e^(-t)(t≧０）
の概形を描け
（２）Ｃ、ｘ軸、ｘ＝４で囲まれる部分の面積を求めよ、で
∫（２～４）√(x＾2-4dx
＝(1/2)[x√(x＾2-4)-4loglx+√(x＾2-4)l]といきなり書いてもよいのですか？
積分した結果を、「微分したら√(x＾2-4）になるものが偶然見つかったと言い張ればいい」という考え方のようですが

よろしくおねがいします

No.44649 - 2017/07/14(Fri) 20:19:02

☆ Re: / パテ埋め

本当かも何も、そんなの受ける試験次第でしょというお決まりのツッコミをまずしておきますー。

##「全試験が必ずこれに従う共通採点基準」なんてものがあるとはまさか思っていませんよね？

自分が受験する立場なら、細かいことやってていちいち時間取られたくないのでいきなり書きますかね。申し訳程度に微分してみた結果をそれらしく付記するぐらいで。

No.44653 - 2017/07/14(Fri) 21:02:53

☆ Re: / angel

> 特別な誘導がない限りは、積分計算は、積分結果を知っていればそれをそのまま書いてよい

どこでそう聞いたのか分かりませんが、そのまま鵜呑みにしたら火傷するんじゃないですかね。

数学での解答というのが、「その答えが正しいものである事をちゃんと説明しているもの」と捉えていれば、自ずとどうすべきか分かるはず。

逆に言えば、その問題を解けない人が納得して解けるようになるような説明、ではないんですよ。
「えぇ?! なんでいきなりこんな変形してるんですか?」という声に答える必要はなくて ( それは解説、ここで回答している方々の説明がそう )。その変形が誤りでないこと、その先進んで出た結果が答えとして妥当であること、それらをちゃんと担保することです。

No.44655 - 2017/07/14(Fri) 23:50:08

☆ Re: / K

回答ありがとうございます。後で自分なりに調べてみました。http://mathtrain.jp/x2a2このページに「右辺を微分したら左辺になる」というのが積分公式の証明になっており，そのことに言及すれば記述式の問題でも遠慮無く公式を使うことができます。とあります。裏を返せば「そのこと」に言及、つまり積分結果を微分して確かに積分前になることを言及しなければならないと読めますね。しかし常識的にどこから言及しなければならないと思いますか？
例えば∫sintcost=(1/2)(sint)^2や∫logt/tdt=(1/2)(logt)^2は平気で使いますよね...？

よろしくおねがいします

No.44668 - 2017/07/15(Sat) 20:17:10

☆ Re: / angel

> 例えば∫sintcost=(1/2)(sint)^2や∫logt/tdt=(1/2)(logt)^2は平気で使いますよね...？

こういうのであれば、合成関数の微分 (f(x)^n)'=nf'(x)f(x)^(n-1) の裏返し、
　∫f'(x)f(x)^n dx = 1/(n+1)・f(x)^(n+1)+C
ということが分かるように、

∫sintcost dt = ∫(sint)'sint dt = 1/2・(sint)^2+C
∫logt/t dt = ∫(logt)'logt dt = 1/2・(logt)^2+C

という感じですかね…。

No.44672 - 2017/07/15(Sat) 22:40:46

★ (No Subject) / 明彦

すいません、(2)についてですが、
D=0の状態で解いていって、それを答えにしても正解な気がするのですが。。。

どうしてDの判別式を求めに行かないとダメなのでしょうか？

与式=(x-(9-y+√(0))/2)(x-(9-y+√(0)/2)でも良いような。。。

どうか、よろしくお願いします。

No.44646 - 2017/07/14(Fri) 17:32:55

☆ Re: / らすかる

> D=0の状態で解いていって、それを答えにしても正解な気がするのですが。。。
D=0とするということは(1次式)^2とすることになります。
問題は(1次式)×(1次式)となるようなkの値を求めるのですから、
D=0としてしまってはダメですね。
# D=0としても答えが見つかる可能性はありますが、たとえ見つかったとしても
# その答えだけとは限りませんのでダメです。
# なお、この問題ではD=0とすると答えが見つかりません。

実際、与式=(x-(9-y+√(0))/2)(x-(9-y+√(0)/2) とすると
(x-(9-y+√(0))/2)(x-(9-y+√(0)/2) = x^2+xy+(1/4)y^2-9x-(9/2)y+81/4
となってしまって問題の式と合いませんね。

No.44647 - 2017/07/14(Fri) 17:59:01

★ 行列（２次形式の標準化） / たなお

こんにちは。２次形式の標準化について質問があります。

２次形式 F = ax^2 + 2hxy + by^2（２次形式Fの行列を A とする）が与えられたとき、直交行列 P を使って

　　x x'
　　( ) = P( )
　　y y'

のように x , y を新しい文字 x' , y' に置き換え、 Fの標準形

　F = αx'^2 + βy'^2

に変形するとします。
この作業を行う際、行列 A の固有 α , β を求め、それぞれに対応する大きさ１の固有ベクトル

　 u1　　　　 v1
　u = ( )　　v = ( )　　　　　　※u と v は本来太文字にすべきですが、
　　　 u2　　　　 v2　　　　　　　やり方がわかりませんでした。

を使って、直交行列

　　　 u1 v1
　P = (　　　 )
　　　 u2 v2

を作ると、

　　　　　α 0
　tPAP = (　　 )　　　　　　※tP は P の転置行列とみなしてください。
　　　　　0 β

となります。が、質問したいのはここからです。
上の書き方では、直交行列 P を (u v) としていますが、以下のように

　　　 v1 u1
　P = (　　　 )
　　　 v2 u2

とu , v の位置を入れ替えてもいいように思えるのです。
そうすると、

　　　　　β 0
　tPAP = (　　 )　　　　　　
　　　　　0 α

となり、標準形も

　F = βx'^2 + αy'^2

となって、結果が変わってしまいます。
標準形は様々形を取るのでしょうか？それとも一意に決まるのでしょうか？
一意に決まるのであれば、u , v の順序の決め方はどうなっているのでしょうか？

この辺りについて、参考書に説明がなかったため、どなたか教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。

No.44644 - 2017/07/14(Fri) 13:50:11

☆ Re: 行列（２次形式の標準化） / たなお

すいません、２箇所ほど表示がずれてしまいました。

　　x x'　　　　　　　　x　　　x'
　　( ) = P( )　　⇒　　(　) = P(　)
　　y y'　　　　　　　　y　　　y'

　 u1　　　　 v1　　　　　　　　　　u1　　　　 v1
　u = ( )　　v = ( )　　　⇒　　　u = (　)　　v = (　)
　　　 u2　　　　 v2　　　　　　　　u2　　　　 v2　

と表示したかったです。
よろしくお願いいたします。

No.44645 - 2017/07/14(Fri) 13:57:00

☆ Re: 行列（２次形式の標準化） / angel

> …(略)となって、結果が変わってしまいます。
> 標準形は様々形を取るのでしょうか？それとも一意に決まるのでしょうか？

そこは「本質的な違いではない」として区別しませんよね。
あくまで軸や準腺がx,y軸に平行になるようにしてるだけですし。

なにより、標準形を求めること、それ自体が目的なのではなくて、それを通じて元の形を分析するのが本質なので、順番には囚われない方が良いと思います。

No.44657 - 2017/07/15(Sat) 00:01:04

☆ Re: 行列（２次形式の標準化） / たなお

angelさん

回答ありがとうございます。
順番には囚われない方がいいと理解できました！

No.44658 - 2017/07/15(Sat) 02:17:42

★ (No Subject) / 明彦

すいません、170の(2)ですが、
チャートに左右端っこに何通りか書いたのですが、解答と合わなくて。。。

チャートに書いていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

No.44634 - 2017/07/13(Thu) 23:25:33

☆ Re: / たなお

こんばんは。

「チャートに書く」というのがどういうことか分かりません（自分の無知だったらすいません）が、もし約数の個数が合わないということでしたら、左右に描いた表で約数は網羅できていると思います。

注意点としては、1・1 のマスが３つの表で重複していることと、左側の表の1・3 と 1・167 のマスが右側の表とそれぞれ重複していることですね。その点を考慮して数えてみてください。

質問への回答になったでしょうか？

No.44635 - 2017/07/13(Thu) 23:39:17

☆ Re: / たなお

すいません。上記の回答は一度取り消させてください。

No.44636 - 2017/07/13(Thu) 23:41:58

☆ Re: / たなお

度々すいません。
表を描いたので画像をUPします。
この表でいかがでしょうか？

No.44637 - 2017/07/13(Thu) 23:51:51