ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 大杉さん

問．一辺の長さが5である正方形ABCDから、それぞれAB,BC,CD,DAを底辺とする合同な4個の二等辺三角形EAB,FBC,GCD,HDAを取り除き、できた図形を、頂点A,B,C,Dが同一の点に重なるようにHE,EF,FG,GHで折り曲げて正四角錐をつくる。この正四角錐の体積の最大値を求めよ。

解説お願いします。

No.44742 - 2017/07/18(Tue) 14:57:16

☆ Re: / らすかる

取り除く二等辺三角形の高さをx（0＜x＜5/2）とすると
正四角錐の底辺の1辺の長さは(5-2x)/√2、
側面の三角形の高さは(5+2x)/(2√2)なので
正四角錐の高さは√(5x)となり、
体積は(5-2x)^2√(5x)/6
f(x)=(体積×6)^2=(5x)(5-2x)^4とおくと
f'(x)=25(1-2x)(5-2x)^3なので
f(x)はx=1/2のとき最大
よって体積の最大値は(5-2x)^2√(5x)/6にx=1/2を代入して4√10/3

No.44744 - 2017/07/18(Tue) 15:51:43

★ (No Subject) / AKI

この問題を教えて下さい。

a,bを任意の定数(a‡b)とするとき、xに関する二次方程式「3(a-b)x^2+6bx-a-2b=0」は、0と1の間に少なくとも1つの解をもつことを示せ。

よろしくお願いします！

No.44741 - 2017/07/18(Tue) 13:36:46

☆ Re: / らすかる

f(x)=3(a-b)x^2+6bx-a-2b とおくと
f(0)=-a-2b
f(1/2)=(b-a)/4≠0
f(1)=2a+b
∴f(0)+4f(1/2)+f(1)=0
よってf(0)とf(1)のうち少なくとも一つはf(1/2)と異符号なので、
0＜x＜1/2または1/2＜x＜1の範囲のどちらかには解がある。

No.44743 - 2017/07/18(Tue) 15:38:29

☆ Re: / たなお

らすかるさん

横からすいません。
a = -5、b = 4 の場合、虚数解になりませんか？

どこか自分の計算が間違っているんでしょうか？
計算ミスだったらすいません。

No.44745 - 2017/07/18(Tue) 16:15:38

☆ Re: / らすかる

a=-5,b=4ならば
-27x^2+24x-3=0
x=(4±√7)/9
となりますね。
というか、元の方程式の判別式が
D/4=3(a^2+ab+b^2)=3(a^2+(a+b)^2+b^2)/2＞0なので
解は必ず実数です。

# あるいは、私の解答にあてはめて考えれば
# f(0)=-a-2b=-3
# f(1/2)=(b-a)/4=9/4
# f(1)=2a+b=-6
# なので0＜x＜1/2と1/2＜x＜1の両方に解があることがわかります。

No.44746 - 2017/07/18(Tue) 16:24:55

☆ Re: / たなお

すいません、単純な計算ミスでした。

No.44747 - 2017/07/18(Tue) 16:26:30

★ sinのガウスの連続かどうか。 / いもけんぴ

sin(x[x])　が連続かどうか証明せよ（[]:ガウス記号）。という問いが分かりません。

３問構成の問題なので、以下の二つを利用して解きます。

（１）f(x)=x[x] ([x]:xを超えない最大の整数)
　　　x＞0のとき、n=0でない整数に対して、
　　　lim(x→n+0)f(x)=n^2 lim(x→n-0)f(x)=n(n-1)
よって、右極限と左極限が違うため、f=x[x]は連続
　　　関数ではない。

（２）sinx=0を満たすxをすべて求めよ。
　　　x=kπ　（k:整数）

(1)(2)は上のように解けたのですが、（３）で
　sin(x[x])　が微分可能かどうか証明せよ。
という問いが分かりません。

問題集の範囲的に
定理：「f(x)がx=aで微分可能であれば、x=aで連続である。」を用いると思うのですが、全く分かりません。

どなたか途中式も含め、丁寧に教えてください。

No.44737 - 2017/07/18(Tue) 12:53:19

☆ Re: sinのガウスの連続かどうか。 / angel

いや、普通に不連続なのが第一感ですね。ガウス記号って(整数値のところで)不連続になる典型ですから。

たとえば、sinなしの x[x] という関数であっても、既に不連続なんですよ。
同じように考えれば良いのではないでしょうか。つまり、不連続になりそうなポイントにあたりをつけ、左右の極限値の不一致を見る、と。

もし例えば x=2 の近傍で考えるなら、
　1≦x＜2 では x=1 すなわち、sin(x[x])=sinx
　2≦x＜3 では x=2 すなわち、sin(x[x])=sin2x
というように場合分けして、x→2+0,-0の左右の極限値を求めていく感じです。

No.44740 - 2017/07/18(Tue) 13:10:13

☆ Re: sinのガウスの連続かどうか。 / IT

sin(πx[x])　だと少し面白いですが、sin(x[x])　だとangelさんの回答のとおりですね。

なお、angelさんの回答の
「1≦x＜2 では x=1」は、[x]=1 の書き間違いですね。

No.44749 - 2017/07/18(Tue) 19:18:46

☆ Re: sinのガウスの連続かどうか。 / いもけんぴ

angelさん、ITさんありがとうございます。
確かに具体的な数字を入れればすぐに分かりますね。
難しく考えていました。
ご教授いただきありがとうございます。

No.44751 - 2017/07/18(Tue) 21:54:23

☆ Re: sinのガウスの連続かどうか。 / IT

x→2+0,-0の左右の極限値が異なることは、きちんと証明しないといけませんね。

マルチ質問先の回答が参考になると思います。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=77307

No.44752 - 2017/07/18(Tue) 22:28:02

☆ Re: sinのガウスの連続かどうか。 / らすかる

連続でない点を1点挙げればよいだけなので、
lim[x→1-0]sin(x[x])=sin0
lim[x→1+0]sin(x[x])=sin1
sin0=0,sin1＞0なのでlim[x→1-0]sin(x[x])≠lim[x→1+0]sin(x[x])
ぐらいでよいかと思います。

No.44756 - 2017/07/19(Wed) 01:40:15

★ 用語に関する質問 / たなお

こんにちは。「流通座標」という単語の意味を教えていただけないでしょうか。

法線が一定の条件を満たす曲線群の微分方程式を求める問題を解いていたときのことです。問題自体は解けたのですが、解説の中で「流通座標」という単語が出てきました。

解説内容から、この問題では法線の座標のことを言っていると理解しましたが、流通座標とは何？と質問されたら答えられません。ネットで検索してみましたが、うまく情報を得られませんでした。

ご存知の方、よろしくお願いいたします。

No.44736 - 2017/07/18(Tue) 12:41:18

★ (No Subject) / 紺碧の空

実数x,yを、以下の不等式を満たす範囲で動かす。

log_{1/2}(2x-3)≧log_{1/2}(y)
log_{2}(x²+y²-4x-2y+5)≦log_{2}(5)

このとき、ax+yの最大値が4になるような正の実数aの値を求めよ。

宜しくお願い致します。

No.44733 - 2017/07/18(Tue) 11:53:25

☆ Re: / X

ヒントだけ。

問題の不等式を上から順に(A)(B)とします。
(A)において真数条件から
2x-3＞0 (C)
y＞0 (D)
(C)より
3/2＜x (C)'
又、(A)の両辺の対数を外すと
2x-3≦y (E)
一方、(B)において真数条件から
x^2+y^2-4x-2y+5＞0
∴(x-2)^2+(y-1)^2＞0
∴(x,y)≠(2,1) (F)
又、(B)の両辺の対数を外すと
(x-2)^2+(y-1)^2≦5 (G)
(C)'(D)(E)(F)(G)の共通領域を図示すると…

No.44748 - 2017/07/18(Tue) 17:55:54

☆ Re: / 紺碧の空

>Xさん

図を描いて考えてみたところ、以下のように答えはa=1/3となりました。ところが解答によれば、正解はa=-6+2√(10)らしく、答えが合いません…。どこが間違っているのか指摘して頂けますか？

ax+y(=kとする)が最大になるのは、直線y=-ax+kが点(3,3)を通るときである(∵-a<0)。∴3=-3a+4 ⇔a=1/3 これはa>0を満たすので、答えはa=1/3

よろしくお願いします。

No.44762 - 2017/07/19(Wed) 21:44:31

★ (No Subject) / 彌勒

【二次不等式:x^2-2kx+2k^2-2≦0をみたす整数値がただ1つであるようなkの値の範囲を求めよ。】

という問題の解き方が分かる方、いらっしゃいましたら教えてください。

No.44728 - 2017/07/18(Tue) 09:40:58

☆ Re: / ヨッシー

２次方程式
　x^2-2kx+2k^2-2＝0 ・・・(i)
の解は、
　x＝k±√(2－k^2)
です。
判別式より　－√2≦ｋ≦√2 が必要です。
ｋ＝－√2 のとき　ｘ＝－√2
ここからｋを０まで動かすと、軸ｘ＝ｋは、右(ｘの正の方向)に動きつつ
解の範囲は最大２√２（ｋ＝０のとき）まで広がります。
(i) の解をｘ＝α、β　（α＜β）とすると、
　β＝－１　のとき
　α＝－１　のとき
　β＝０　のとき
　β＝１　のとき
を境に、整数の個数が変わるので、どのときに　整数が１個だけ含まれるかを調べます。

図は　－√2≦ｋ≦０ですが、０≦ｋ≦√2　のときは、ｙ軸対称の位置に現れます。

No.44739 - 2017/07/18(Tue) 13:07:14

★ ベクトル / 星

平面上で、定点Aと点Pが次の関係を満たす時、点Pの描く図形を求めよ。ただし、Oは原点である。

↑OA=↑OQ－2OPで|OQ|=2

わからないので、解説お願いします。

No.44727 - 2017/07/18(Tue) 08:16:19

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

点Ａの座標を(a, b) 、点Ｑの座標を（2cosθ, 2sinθ) とします。
ＯＰ＝(ＯＱ－ＯＡ)/２
　　　＝(cosθ－a/2, sinθ－b/2)
これを(x, y) とおくと
　x＝cosθ－a/2, y＝sinθ－b/2
　(x＋a/2)^2＋(y＋b/2)^2＝1
よって、ＰはＯＡの中点を中心、半径１の円上を動く。

No.44729 - 2017/07/18(Tue) 09:45:47

☆ Re: ベクトル / 星

私もそうなったのですが、
答えが、OAを1:3に外分する点Cを中心とする半径1の円とかいてありました。

これは、答えが間違っているのでしょうか？

No.44730 - 2017/07/18(Tue) 11:08:33

☆ Re: ベクトル / angel

> 答えが、OAを1:3に外分する点Cを中心とする半径1の円とかいてありました。

こちらが正解です。

ヨッシーさんの説明の延長上で言えば、円の中心(-a/2,-b/2)、これは、原点に対して、OAの中点の正反対にある点です。

ベクトル式として、OP=1/2・OQ-1/2・OA と見れば、
原点中心、半径1の円を、OAの逆向き・距離半分に平行移動したもの、となります

No.44732 - 2017/07/18(Tue) 11:44:36

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

あ、プラマイ取り違えてました。
失礼しました。
　

No.44734 - 2017/07/18(Tue) 11:55:18

★ 数三関数の極限 / ねこ

解けないです
答えがありません
解き方を教えてください

No.44724 - 2017/07/18(Tue) 06:09:55

☆ Re: 数三関数の極限 / angel

画像で問題を載せるのは良いのですが、どちらの方の問題ですか。それとも両方ですか。
どちらも件名にある「極限」の問題とは言い辛く、判断できないです。

No.44725 - 2017/07/18(Tue) 07:06:10

☆ Re: 数三関数の極限 / ねこ

説明不足ですいません
72番です

この問題のタイトルみたいなのが関数の極限ってあって…

No.44726 - 2017/07/18(Tue) 07:16:34

☆ Re: 数三関数の極限 / angel

(1)
「極大」とありますので、その x=π/4 での微分係数 f'(π/4)=0 です。
※一般には微分係数0だけでは不十分なのですが、(1)では、これだけで答えが1つに絞れる ( それに「解なし」は問題文的にありえない ) ので良いでしょう。(2)ではここもケアします

導関数 f'(x)=e^(-kx)・(cosx - ksinx) から f'(π/4)=0 を計算して解き、結果 k=1 です

(2)
(1)で k=1 と分かったので、まずは三角関数の合成でまとめておきます。
f'(x)=e^(-1)・(cosx-sinx)=√2・e^(-1)・sin(x+3π/4)

で、f'(x)=0 になるのは、sin の部分だけを見れば良くて、x の値π置きに発生するのですが、問われているのは「極大」、微分係数が、正から負へと転じるところです。
なので π/4, 9π/4, 17π/4,… と、2π置きになります。
一般項としては ( 等差数列ってことから整理して )
x[n]=(8n-7)π/4

(3)
x[n]は値が2π置きなので、sinの部分の値が一定になります。のこりは指数関数部分から来る等比数列です。
f(x[n])=f((8n-7)π/4)
=√2/2・e^(-(8n-7)π/4)
=√2/2・e^(-π/4 - 2π(n-1))
=√2/2・e^(-π/4)・( e^(-2π) )^(n-1)
※一般に指数の計算として、a^(pq)=(a^p)^q
※ ^n じゃなくて ^(n-1) の形に整理したのは、等比数列の和が計算しやすいから

ということで、(等比)数列の和として、
Σ[k=1,n] f(x[k])
= √2/2・e^(-π/4)・Σ[k=1,n]( e^(-2π) )^(k-1)
= √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )・( 1-(e^(-2π))^n )

これのn→∞での極限が答えです
公比の絶対値1未満だと最後の項が1になって ( 掛け算の結果的に ) 消えるので、
√2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) ) …なんですが、e^(2π) を分子・分母に掛けて整形しておきます
答え √2・e^(π/4)/2( e^(2π)-1 )

No.44731 - 2017/07/18(Tue) 11:29:39

☆ Re: 数三関数の極限 / ねこ

ありがとうございます💦

No.44735 - 2017/07/18(Tue) 12:13:44

☆ Re: 数三関数の極限 / angel

あっと。申し訳ないです。最後の整形が間違えてました。

✕: √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )=√2・e^(π/4)/2( e^(2π)-1 )
○: √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )=√2・e^(7π/4)/2( e^(2π)-1 )

このように読み替えてください。

No.44738 - 2017/07/18(Tue) 12:58:49

★ (No Subject) / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問1.aは負でない実数とする。-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2を満たす全ての正の実数x,yについて、x³-3a²xy²+2y³≧0が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

問2.kを0≦k≦1を満たす実数とするとき、以下に示す3つの領域D,E,Fを考える。

D:連立不等式y≧x²,y≦kxで表される領域
E:連立不等式y≦x²,y≧kxで表される領域
F:連立不等式y≦-x²+2x,y≧kxで表される領域

(1)領域D⋃(E⋂F)の面積m(k)を求めよ。
(2)(1)で求めた面積m(k)を最小にするkの値と、その最小値を求めよ。

どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします！

No.44713 - 2017/07/17(Mon) 17:42:28

☆ Re: / angel

問1.
「～を満たす全ての正の実数x,yについて」とありますが、各式はどの項も次数が揃っていますから、実は x,yの比、つまり t=x/y だけで話が済みます。

t=x/y とすれば ( x=ty として代入し整理すれば )、
　-1/2≦(x-y)/(x+y)≦1/2 ⇔ 1/3≦t≦3
　x^3-3a^2xy^2+2y^3≧0 ⇔ t^3-3a^2t+2≧0
つまり、
　1/3≦t≦3 の範囲の全ての t で t^3-3a^2t+2≧0 となるような a の範囲は?
という問題なのです。

問2.
取り敢えず、添付の図のように各領域を整理しましたか?

No.44723 - 2017/07/18(Tue) 02:44:52

☆ Re: / ICE

>>angelさん

お陰様で問1、問2ともに解決することができました。回答ありがとうございました！

No.44792 - 2017/07/21(Fri) 21:00:33

★ (No Subject) / 飯山満

二次方程式x^2+x+a=0およびx^2-x+2a=0はあわせて4実数解をもち、これらはすべて異なる。このとき、いずれの方程式も解の1つが他の方程式の解の間にあるようなaの値の範囲を求めよ。

No.44711 - 2017/07/17(Mon) 16:04:03

☆ Re: / らすかる

x^2+x+a=0の解をα,β（α＜β）とおくと
α^2+α+a=0 → α^2=-α-a
β^2+β+a=0 → β^2=-β-a
α+β=-1, αβ=a
f(x)=x^2-x+2aとおくと条件から
f(α)f(β)＜0
(α^2-α+2a)(β^2-β+2a)＜0
{(-α-a)-α+2a}{(-β-a)-β+2a}＜0
(-2α+a)(-2β+a)＜0
4αβ-2a(α+β)+a^2＜0
4a-2a(-1)+a^2＜0
a^2+6a＜0
a(a+6)＜0
∴-6＜a＜0

No.44718 - 2017/07/17(Mon) 19:24:49

★ 数的推理 / はやて

なるべくわかりやすい解説で教えていただけませんか？

No.44708 - 2017/07/17(Mon) 09:52:35

☆ Re: 数的推理 / angel

天下り的に行きますが。

・47÷13=3 余り 8
・60÷13=4 余り 8
ということで、「ある数」は13で答え4です。
ちゃんと割り算の余りが一致しています。

が、○÷○=○ 余り ○ の形だと分かりにくいので、この関係を明確に式に表すと、

　47 = 3×13 + 8　( 8＜13 )
　60 = 4×13 + 8　( 8＜13 )

辺々引くと、
　60-47 = (4-3)×13
ということです。4-3 は割り算の商の差になっています

つまり、この「ある数」=13 が分からないとしても、
　60-47 = (商の差)×(ある数:除数)
ということで、「ある数」は13の約数とは分かるのです。
そうすると、13の約数の中で2桁の数は13そのものしかありません。

No.44721 - 2017/07/17(Mon) 20:47:54

★ (No Subject) / 赤

これも、お願いします。。。

No.44701 - 2017/07/17(Mon) 00:59:42

☆ Re: / きあら

(1)はｙ＝ax^2のグラフの対称性を利用します。
Ｐのx座標が４で、線分PQはy軸に平行なのでＱのx座標も４。
Ｒのx座標は、Ｑの座標に対してｙ軸において線対称なので、－４。
Ｒのx座標は-4と分かったので、?Aの式ｙ＝-1/4x^2に代入して
ｙ＝-1/4×(-4)^2
　＝-1/4×16
　＝-4
したがって、Ｒ(-4,-4)となります。

No.44716 - 2017/07/17(Mon) 19:15:32

☆ Re: / きあら

(2)はP(t,1/2t^2)と置きましょう。
(1)と同じように、対称性を利用すると、Q(t,-1/4t^2),
R(-t,-1/4t^2),S(-t,1/2t^2)と置けます。
四角形PQRSは正方形になるのですべての辺の長さは等しいので
ＰＳ＝ＰＱ
t-(-t)=1/2t^2-(-1/4t^2)
2t=1/2t^2+1/4t^2
2t=3/4t^2
3/4t^2-2t=0
3t^2-8t=0
t(3t-8)=0
t=0,8/3
t=0は問題に合わないのでｔ＝8/3　です。

No.44717 - 2017/07/17(Mon) 19:24:05

★ (No Subject) / CHAGE

この問題を教えてください。

問.実数aが0＜a＜1の範囲を動くとき、曲線y=x³-3a²x+a²の極大点・極小点の間にある部分(ただし、極大点・極小点は含まない)が通る範囲を図示せよ。

No.44692 - 2017/07/16(Sun) 23:59:55

☆ Re: / angel

y'=3x^2-3a^2=3x(x-a)(x+a) なので、極大・極小の間とは x^2＜a^2 です。
つまりこの問題は、

　0＜a＜1 で y=x^3-3a^2x+a^2 の x^2＜a^2 の区間の点の集合を求めよ

ということです。

ここで先に、x=1/3 の時は a に関わらず y=1/27 なのでこれは別に扱います。

で、話を戻して。このままでは扱い辛いのでこう替えます。

　-1＜x＜1 で、y-x^3=(1-3x)a^2 が x^2＜a^2＜1 なる解 a を持つ (x,y) の集合を求めよ

そうすると、x=1/3 はさっき別扱いにしましたので、
x＞1/3, x＜1/3 で状況が変わります。

x＞1/3 であれば y-x^3=(1-3x)a^2 の左右の符号を見て y-x^3＜0
で、さらに符号に注意して
　y-x^3＜(1-3x)x^2, y-x^3＞(1-3x)・1

逆に、x＜1/3 であれば y-x^3＞0, y-x^3＞(1-3x)x^2, y-x^3＜(1-3x)・1 です

…ということで、図示すると添付の図(右)のようになります。
左側は、a を小刻みに変化させた時の、「曲線の極大点・極小点の間にある部分」を描いたものです。

No.44705 - 2017/07/17(Mon) 02:40:35