ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 面白い()ゲーム / ナイロン66

【問題】

A,Bの2人がいる。投げたとき、表と裏の出る確率がそれぞれ1/2のコインが1つあり、最初はAがコインを持っている。
次の操作を繰り返し、A,Bのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。

＜操作＞
(?T)Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればAに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(?U)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表がでればBに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。

＜設問＞
A,Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率を求めよ。

No.44575 - 2017/07/11(Tue) 10:47:59

☆ Re: 面白い()ゲーム / angel

Bが2点取って勝利しては問題の条件に合いませんから、Bが自分の手番で出せる表は1回までです。
一方、今回Aが勝利ということですので、表を丁度2回 ( しかも1回は最後に ) 出すことになります。

というところで、Aの手番を基準として考えます。
選択肢は、

(1) Aが表を出して、またAの手番になる
(2) A裏→B裏でAの手番に戻る
(3) A裏→B表→A裏でAの手番に戻る

ですが、(3)は1回以下、(1)は2回です。

なので、n の偶奇によって変わります。

* nが偶数
　( (1)×1回 + (2)×(n/2-1)回 )→(1)で終結
　確率 n/2・(1/2)^n
* nが奇数で 1 or 3
　Aの勝利で終わる状況が起り得ません。確率 0
* nが奇数で 5以上
　( (1)×1回 + (2)×((n-5)/2)回 + (3)×1回 )→(1)で終結
　確率 (n-1)/2・(n-3)/2・(1/2)^n

まとめると、
* nが偶数 … n/2^(n+1)
* nが奇数 … (n-1)(n-3)/2^(n+2)
※奇数の場合は、結果的に1つの式にまとめることができています

No.44585 - 2017/07/12(Wed) 00:07:16

☆ Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66

>angelさん

解説ありがとうございました！

No.44596 - 2017/07/12(Wed) 17:35:11

★ 面白い()ゲーム / ナイロン66

【問題】

1からNまでの数字が書かれたカードを計N枚用意し、甲,乙の2人が次の手順でゲームを行う。

＜手順＞
(?T)甲が1枚カードを引く。そのカードに書かれた数字をaとする。引いたカードは元に戻す。
(?U)甲はもう1枚カードを引くかどうかを選ぶ。引いた場合、そのカードに書かれた数字をbとする。引いたカードは元に戻す。引かなかった場合、b=0とする。a+b＞Nの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了とする。
(?V)a+b≦Nの場合、乙が1枚カードを引く。そのカードに書かれた数をcとする。引いたカードは元に戻す。a+b＜cの場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了とする。
(?W)a+b≧cの場合、乙はもう1回カードを引く。そのカードに書かれた数字をdとする。a+b＜c+d≦Nの場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。

＜設問＞
(1)甲が2回目にカードを引かないことにしたとき、甲が勝つ確率をaを用いて表せ。

(2)甲が2回目にカードを引くことにしたとき、甲が勝つ確率をaを用いて表せ。

No.44574 - 2017/07/11(Tue) 10:41:15

☆ Re: 面白い()ゲーム / らすかる

cとは？

No.44586 - 2017/07/12(Wed) 00:35:05

☆ Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66

>らすかるさん

修正しました。どうぞよろしくお願いします。

No.44595 - 2017/07/12(Wed) 17:34:36

☆ Re: 面白い()ゲーム / らすかる

(1)
乙が引いたカードcがa以下の確率はa/N
その後乙が2枚目に引いたカードdとの和がa＜c+d≦Nを満たすような
dはN-a通りなので、満たさないのはa通り、よって満たさない確率はa/N
従って甲が勝つ確率は(a/N)^2

(2)
甲の引いた2枚の和が
a+1～Nになる確率がそれぞれ1/Nずつなので、求める確率は(1)を利用して
Σ[k=a+1～N](1/N)(k/N)^2
={Σ[k=1～N](1/N)(k/N)^2}-{Σ[k=1～a](1/N)(k/N)^2}
={N(N+1)(2N+1)-a(a+1)(2a+1)}/(6N^3)

No.44598 - 2017/07/12(Wed) 18:52:54

☆ Re: 面白い()ゲーム / ナイロン66

分かりやすい解説をありがとうございました！

No.44613 - 2017/07/13(Thu) 15:09:11

★ (No Subject) / 勉強

イでa<=のとき　x+3>0なら?Aが成り立つので　とありますがこれは
a>0のとき絶対値x<aならば-a<x<aの公式のa>0の部分のことですよね
a>0の条件の時に確認していないのはなぜですか？飛ばしてるだけなのでしょうか？

また　x+3>0なら?Aが成り立つので?Aの解はx>-3を含み
このとき?Aの解が?Bになることはないとありますがなぜですか？数直線で書いてみるとx>-3の範囲に-6/11<x<bは含まれうると思うのですが

回答よろしくお願いします

No.44569 - 2017/07/11(Tue) 09:28:10

☆ Re: / 勉強

続き

No.44570 - 2017/07/11(Tue) 09:30:18

☆ Re: / らすかる

> イでa<=のとき　x+3>0なら?Aが成り立つので　とありますがこれは
> a>0のとき絶対値x<aならば-a<x<aの公式のa>0の部分のことですよね

違います。その公式とは関係ありません。
a≦0ならば(左辺)≦0なので
(右辺)＞0であれば(左辺)≦0＜(右辺)となり?Aが成り立つ、ということです。

> また　x+3>0なら?Aが成り立つので?Aの解はx>-3を含み
> このとき?Aの解が?Bになることはないとありますがなぜですか？
> 数直線で書いてみるとx>-3の範囲に-6/11<x<bは含まれうると思うのですが

「含まれる」ではいけません。
x-a|x|+3＞0 の解が -6/11＜x＜b にならなければいけないのです。
x＞-3 を満たすすべてのxで成り立ってしまうと、
例えばx=-2とかx=-1も解に含んでしまいますので
解が「-6/11＜x＜b」となることはあり得ません。

No.44571 - 2017/07/11(Tue) 09:50:27

☆ Re: / 勉強

なるほど　理解できました　ありがとうございました

No.44591 - 2017/07/12(Wed) 09:21:18

★ 意味不明 / 健児

ｍ＜√x＜ｍ＋４を満たすxの値のうち√xが整数でないものが３００個あるとするときのｍの値を求めよ。意味がわかりません。どうか教えてください。

No.44565 - 2017/07/11(Tue) 03:44:51

☆ Re: 意味不明 / らすかる

例えばm=1の場合、
m=1=√1,m+4=5=√25なので
1～5の間には√2～√24の23個がありますが
このうち3個は整数(2,3,4)なので
m=1の場合は√xが整数でないものは20個です。
m=10ならば√100と√196の間ですから92個です。

辺々2乗して
m^2＜x＜m^2+8m+16
でありm^2とm^2+8m+16の間に整数は8m+15個ありますが、
そのうち3個((m+1)^2と(m+2)^2と(m+3)^2)は√を付けても整数ですから
√を付けた時に整数でないものは8m+12個です。
従って8m+12=300からm=36となります。
実際
36＜√x＜40
1296＜x＜1600
1297～1599のうち37^2=1369,38^2=1444,39^2=1521を除いた300個が
√を付けて整数でないものとなります。

No.44567 - 2017/07/11(Tue) 03:59:36

☆ Re: 意味不明 / 健児

ありがとうございます。納得しました。

No.44577 - 2017/07/11(Tue) 12:08:34

★ 高校入試問題 / たかつ

６９÷（３×７）＋６９÷（７×１１）＋６９÷（１１×１５）＋６９÷（１５×１９）＋６９÷（１９×２３）を計算せよという問題ですが、どうすれば簡単に計算できるのですか、教えてください。

No.44564 - 2017/07/11(Tue) 03:39:07

☆ Re: 高校入試問題 / らすかる

69/(a(a+4))=(1/4){69/a-69/(a+4)} なので
69/(3×7)+69/(7×11)+69/(11×15)+69/(15×19)+69/(19×23)
=(1/4){(69/3-69/7)+(69/7-69/11)+(69/11-69/15)+(69/15-69/19)+(69/19-69/23)}
=(1/4)(69/3-69/23)
=(1/4)(23-3)
=5

No.44566 - 2017/07/11(Tue) 03:51:20

☆ Re: 高校入試問題 / たかつ

すごいですね。こんな簡単にできるんだ。

No.44578 - 2017/07/11(Tue) 12:10:05

★ (No Subject) / ラオニッチ

次の方法で12人の中から委員を選ぶ。選ばれる委員の数が4人になる確率および5人になる確率を求めよ。

選び方：12人の中から異なる2人を記した計66枚のカードを用意し、その中から3枚を取り出す。3枚のカードに記されている人が委員になる。(選ばれる委員の数は3人から6人まで考えられる)

宜しくお願いします。

No.44559 - 2017/07/11(Tue) 01:48:03

☆ Re: / らすかる

4人になる確率
(a,b)(c,d)(a,c)のように最初の2枚で4人になり、3枚目は既出の人2人の場合
1×10C2/65×4/64=9/208
(a,b)(b,c)(a,d)のように最初の2枚で3人になり、3枚目は既出の人+他の人の場合
1×(10×2)/65×(9×3)/64=27/208
計 9/52

5人になる確率
(a,b)(c,d)(a,e)のように最初の2枚で4人になり、3枚目は既出の人+他の人の場合
1×10C2/65×(8×4)/64=9/26
(a,b)(b,c)(d,e)のように最初の2枚で3人になり、3枚目は他の人2人の場合
1×(10×2)/65×9C2/64=9/52
計 27/52

No.44563 - 2017/07/11(Tue) 03:13:35

★ 三角比 / 星

四角形ABCDがあり、AB=BC=CD=2、角ABC=60、cos角BCD=－1/4
である。辺BC上に点EをDEとABが平行になるようにとる。また、辺BCの中点をMとし、辺AB上に点ＦをFMとDMが垂直になるようにとる。

問題
(1)sin角BMFの値を求めよ。
(2)FMの長さを求めよ。また、三角形EFMの面積を求めよ。

自分の解答
(1)√6/4
(2)FM=(√10－√2)/2、面積は(√15－2√3)/2

合っているかどうかも含めて、解説お願いします。

No.44557 - 2017/07/10(Mon) 23:15:21

☆ Re: 三角比 / ヨッシー

こちらと同じ問題ですね。

No.44568 - 2017/07/11(Tue) 09:20:06

☆ Re: 三角比 / 星

おーけー
合ってました。

No.44572 - 2017/07/11(Tue) 10:14:41

★ 図形 / たゆたう

鋭角三角形ABCの角A=45°でAから辺BCに垂線を下ろし交点をDとするときBD=2,DC=3である。三角形ABCの面積を求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。

No.44553 - 2017/07/10(Mon) 19:46:34

☆ Re: 図形 / X

加法定理を学習済み、という前提で回答します。

∠BAD=θ
と置くと、条件から
AD=2/tanθ=3/tan(45°-θ) (A)
これより
3tanθ=2tan(45°-θ)
3tanθ=2(1-tanθ)/(1+tanθ)
ここで
tanθ=t
と置くと
3t(1+t)=2(1-t)
3t^2+5t-2=0
(3t-1)(t+2)=0 (B)
条件から0°＜θ＜45°
∴0＜t＜1
∴(B)からt=1/3
よって(A)より
AD=6
となるので求める面積は
(1/2)AD・BC=(1/2)AD・(BD+DC)
=15

No.44554 - 2017/07/10(Mon) 21:11:01

☆ Re: 図形 / たゆたう

わかりました。ありがとうございました。

No.44558 - 2017/07/10(Mon) 23:23:29

★ (No Subject) / 夏樹

問題
√(3-x) + √(5x-4) の最大値を求めよ

解答
√(3-x) ＝ X √(x-4/5 ) ＝Y とする
つまり
X^2 + Y^2 = 11/5 X,Y≧0 の元のX+Yの範囲を求めれば良い
以下省略....

「X^2 + Y^2 = 11/5 」の所だけ解説をお願いします
。
なぜx,yそれぞれ2乗してその範囲で求められるのですか？？(つまり、A+B を求めるときA^2+B^2ってやったら絞れちゃうの？？)xを消したいのはわかるんですがそんなことして良いんですか？？

No.44548 - 2017/07/10(Mon) 18:23:27

☆ Re: / たなお

夏樹さん

認識が違っていたらすいません。
なぜ X,Y >= 0 と範囲を指定できるのかということでよろしいでしょうか？

理由としては、解答の１行目で
　　√(3-x) ＝ X
　　√(x-4/5 ) ＝Y
と置いているためです。X=√a と置いたら、X >= 0 となります。X=-√a と置いたら、X <= 0 となります。
「X^2 + Y^2 = 11/5」と式を置くことと、X,Yの範囲は関係ありません。

もし、質問の意図が違えば再度ご質問願います。

No.44551 - 2017/07/10(Mon) 19:17:12

☆ Re: / たなお

ちなみに、問題では「√(5x-4)」で、解答では「√(x-4/5 ) 」となっていますが、これはあってますか？どちらが正しいのでしょう？

No.44552 - 2017/07/10(Mon) 19:31:05

★ 行列の問題 / たなお

行列の分野で出てきた問題について質問があります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
次の連立１次方程式が x=y=0 以外の解を持つように、定数 a の値を定めよ。

2x + (1-a)y = 0
ax - 3y = 0
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

この問題について、私は添付画像の様に考えました。
この考え方で問題ないでしょうか？
また、他にも良い考え方があれば教えていただきたいです。

質問させていただいた意図としては、「掃き出し法」と「逆行列」の項目で出てきた問題なのに、それらを使わない方法で解いてしまったためです。また、それらを使って解く方法がうまく思いつきません。

よろしくお願いいたします。

No.44546 - 2017/07/10(Mon) 17:13:24

☆ Re: 行列の問題 / たなお

すいません、添付画像の３行目は間違っていました。
行列式は正方行列でないとダメでしたね。

上記の問題をどの様に解いたらいいか教えていただければと思います。
よろしくお願いいたします。

No.44547 - 2017/07/10(Mon) 17:16:50

☆ Re: 行列の問題 / ヨッシー

（ｘ，ｙ）≠０なので、の部分を、
（・・・・）が逆行列を持つと仮定すると、両辺左からそれをかけて、
　（ｘ，ｙ）＝０となり不適。
のように書けば、逆行列の単元の解き方になるのでは？

No.44549 - 2017/07/10(Mon) 18:29:25

☆ Re: 行列の問題 / たなお

ヨッシーさん

なるほど！そうすればいいのですね！
ありがとうございます。

No.44550 - 2017/07/10(Mon) 18:49:43

★ (No Subject) / 62円の値打ち

問題

2人が1対1で対戦する競技の大会に8人の選手が参加する。

1日の試合の組み合わせ表は、どの選手も1試合ずつ行うように4試合の組み合わせを決めたものである。

1日目の試合終了後、2日目の対戦相手を無作為に決めるとき、どの選手の対戦相手も1日目と2日目で異なっている確率を求めよ。

解説をお願いします。

No.44543 - 2017/07/10(Mon) 15:33:52

☆ Re: / らすかる

1日目の対戦組合せが(a,b)(c,d)(e,f)(g,h)だったとします。
2日目に
aがb以外と対戦する確率は6/7
aの対戦相手はc,d,e,f,g,hの誰でも同じ条件なのでcとします。
残りはb,d,e,f,g,hです。
bがdと対戦した場合、eがf以外と対戦する確率は2/3です。
bがd以外と対戦した場合、対戦相手はe,f,g,hの誰でも同じ条件なのでeとします。
残りはd,f,g,hです。このときgがh以外と対戦する確率は2/3です。
従ってbが誰と対戦しても条件を満たす確率は2/3ですから、
求める確率は(6/7)(2/3)=4/7となります。

No.44544 - 2017/07/10(Mon) 16:19:18

★ (No Subject) / rin

数3の微分です。
（2)がわかりません。
どうしたらいいのでしょう。

No.44542 - 2017/07/10(Mon) 14:16:17

☆ Re: / X

x(θ)=(1/3)cosθ+(2/3)sinθ (A)
y(θ)=(1/6)cosθ-(2/3)sinθ (B)
と置くと
dx(θ)/dθ=-(1/3)sinθ+(2/3)cosθ (C)
dy(θ)/dθ=-(1/6)sinθ-(2/3)cosθ (D)
一方、求める接線の方程式は
(dy(θ)/dθ)(x-x(θ))-(dx(θ)/dθ)(y-y(θ))=0 (E)
(A)(B)(C)(D)を(E)に代入して
(-(1/6)sinθ-(2/3)cosθ)(x-(1/3)cosθ-(2/3)sinθ)
-(-(1/3)sinθ+(2/3)cosθ)(y-(1/6)cosθ+(2/3)sinθ)=0
∴
(sinθ+4cosθ)(3x-cosθ-2sinθ)
+(-sinθ+2cosθ)(6y-cosθ+4sinθ)=0 (E)'

これが点(2,0)を通るので
(sinθ+4cosθ)(6-cosθ-2sinθ)+(-sinθ+2cosθ)(-cosθ+4sinθ)=0 (E)"
(E)"を展開して整理をすると
sinθ+4cosθ=1
これと
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
とを連立して解くことにより
(sinθ,cosθ)=(15/17,8/17),(1,0)
よって(E)'により接線の方程式は
x-2y=2 (P)
47x+2y-34=0 (Q)
接点の座標は
(P)に対して
(2/3,-2/3)
(Q)に対して
(38/51,-26/51)

上記の二組の解答の内、解答欄6～13に合うものは
(P)についてのもの、つまり
接点：(2/3,-2/3)
接線：y=(1/2)x-1
となります。

No.44562 - 2017/07/11(Tue) 03:04:58

☆ Re: / angel

一応一点だけ。

> 上記の二組の解答の内、解答欄6～13に合うものは

解が2組あるように思えますが、実際は

> (sinθ,cosθ)=(15/17,8/17),(1,0)

この2解の前者が正しくは (-15/17,8/17) で、θの値として 0≦θ≦πに収まっていないので除外、かと思います。
※最終的な答えとして問題はありませんが

No.44600 - 2017/07/13(Thu) 00:38:20

★ 確率 / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問1.n個のサイコロを投げたとき、出目が4種類になる確率を求めよ。

問2.サイコロをn回投げ、出た目を順にX[1],X[2],…,X[n]とする。さらに、Y[1]=X[1]、Y[k]=X[k]+1/Y[k-1](k=2,3,…,n) によってY[1],Y[2],…,Y[n]を定める。
このとき、(1+√3)/2≦Y[n]≦1+√3 となる確率P[n]を求めよ。

どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします！

No.44539 - 2017/07/10(Mon) 12:51:09

☆ Re: / らすかる

問2は式に不審な点があるので問1だけ。

出目が特定の1つになるのは1通り
出目が特定の2つになるのは2^n-2通り
出目が特定の3つになるのは3^n-3C2・(2^n-2)-3C1・1=3^n-3・2^n+3通り
出目が特定の4つになるのは4^n-4C3・(3^n-3・2^n+3)-4C2・(2^n-2)-4C1・1
=4^n-4・3^n+6・2^n-4通り
従って出目が4種類になるのは6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)通りなので
求める確率は{6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)}/6^n
=15(4^n-4・3^n+6・2^n-4)/6^n

No.44541 - 2017/07/10(Mon) 13:40:31

☆ Re: / ICE

>>らすかるさん

回答ありがとうございます。問2の式の不審な点とはどのようなものでしょうか？

No.44560 - 2017/07/11(Tue) 01:49:41

☆ Re: / らすかる

Y[k]=X[k]+1/Y[k-1] は
Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1]) と解釈されますが
もしかしたら
Y[k]=(X[k]+1)/Y[k-1] なのではないかと。

No.44561 - 2017/07/11(Tue) 02:46:36

☆ Re: / ICE

>>らすかるさん

Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1])
という解釈で正しいですよ。

No.44573 - 2017/07/11(Tue) 10:34:44

☆ Re: / らすかる

そうでしたか。それは大変失礼しました。
それでは…

Y[n]＜(1+√3)/2
⇔ X[n]+1/Y[n-1]＜(1+√3)/2
⇔ 「X[n]=1 かつ 1/Y[n-1]＜(-1+√3)/2」（∵Y[n-1]＞1）
⇔ 「X[n]=1 かつ Y[n-1]＞1+√3」

Y[n]＞1+√3
⇔ X[n]+1/Y[n-1]＞1+√3
⇔ 「X[n]=2 かつ 1/Y[n-1]＞-1+√3」または「X[n]≧3」（∵Y[n-1]＞1）
⇔ 「X[n]=2 かつ Y[n-1]＜(1+√3)/2」または「X[n]≧3」
なので

Y[n]＜(1+√3)/2 である確率をQ[n]
Y[n]＞1+√3 である確率をR[n]
とすると
Q[1]=1/6, R[1]=2/3,
Q[n+1]=R[n]/6, R[n+1]=(Q[n]+4)/6
P[n]=1-Q[n]-R[n]なので
P[1]=1-Q[1]-R[1]=1/6
P[n+1]=1-Q[n+1]-R[n+1]=1-R[n]/6-(Q[n]+4)/6
=1/6+(1-Q[n]-R[n])/6=1/6+P[n]/6=(P[n]+1)/6
この漸化式を解いて
P[n]=(1-1/6^n)/5

No.44580 - 2017/07/11(Tue) 13:20:59

☆ Re: / ICE

>>らすかるさん

理解できました。ありがとうございます！

No.44597 - 2017/07/12(Wed) 17:38:52

★ (No Subject) / 漢

画像の問題の意味がいまいちわかりません。これは、ただ単に、f(x)=g(p)とみて、g(p)<0、となるxの範囲を求めているだけに見えるのですが、下の「注」の欄を見ると、なんかそうでは無いような気がします。下の「注」を、利用した、もしくは意識しやすいような、別解を教えて頂けませんでしょうか？

No.44533 - 2017/07/10(Mon) 01:21:42

☆ Re: / らすかる

微分はご存知ですか？

No.44536 - 2017/07/10(Mon) 10:55:18

☆ Re: / 漢

まだやってません…

No.44540 - 2017/07/10(Mon) 13:14:41

☆ Re: / らすかる

(注のグラフ参照)

f(x)=0の解はx=p±√(2p^2-2p+1)
p+√(2p^2-2p+1)はpが大きくなると連続的にいくらでも大きくなり、
p-√(2p^2-2p+1)はpが小さくなると連続的にいくらでも小さくなるため、
p+√(2p^2-2p+1)の最小値と
p-√(2p^2-2p+1)の最大値を調べればよい。

p≧1のとき p+√(2p^2-2p+1)＞1
p＜1のとき
p^2≧0
p^2+(1-p)^2≧(1-p)^2
√(2p^2-2p+1)≧1-p
∴p+√(2p^2-2p+1)≧1　（等号はp=0のとき）

p＜0のとき p-√(2p^2-2p+1)＜0
p≧0のとき
0≦(p-1)^2
p^2≦p^2+(p-1)^2
p≦√(2p^2-2p+1)
∴p-√(2p^2-2p+1)≦0　（等号はp=1のとき）

従ってp+√(2p^2-2p+1)の最小値が1、p-√(2p^2-2p+1)の最大値が0なので
放物線が通過しない部分は0＜x＜1

No.44545 - 2017/07/10(Mon) 16:38:47

☆ Re: / 漢

ありがとうございます。考え方は理解できましたが、p+√(2p²-2p+1)の最小値、p-√(2p²-2p+1)の最大値を求める時の、途中式が全体的に意味がわかりません…どのような事を行って、最小値最大値を求めているのでしょう…

No.44555 - 2017/07/10(Mon) 21:27:44

☆ Re: / らすかる

p≧1のとき
√(2p^2-2p+1)＞0なので（∵2p^2-2p+1=2(p-1/2)^2+1/2＞0）
p+√(2p^2-2p+1)＞1

p＜1のとき
p^2≧0（実数の2乗は0以上）
p^2+(1-p)^2≧(1-p)^2（両辺に(1-p)^2を足した）
2p^2-2p+1≧(1-p)^2（左辺を展開した）
√(2p^2-2p+1)≧1-p（a^2≧b^2,a≧0,b≧0ならばa≧b）
∴p+√(2p^2-2p+1)≧1（両辺にpを足した）

p＜0のとき
-√(2p^2-2p+1)＜0なので
p-√(2p^2-2p+1)＜0

p≧0のとき
0≦(p-1)^2（実数の2乗は0以上）
p^2≦p^2+(p-1)^2（両辺にp^2を足した）
p^2≦2p^2-2p+1（右辺を展開した）
p≦√(2p^2-2p+1)（a^2≦b^2,a≧0,b≧0ならばa≦b）
∴p-√(2p^2-2p+1)≦0（両辺から√(2p^2-2p+1)を引いた）

# 途中式は、例えば前半なら
# p+√(2p^2-2p+1)≧1を示すためには√(2p^2-2p+1)≧1-pを示せばよい
# √(2p^2-2p+1)≧1-pを示すためには2p^2-2p+1≧(1-p)^2を示せばよい
# 2p^2-2p+1≧p^2-2p+1を示すためにはp^2≧0を使えばよい
# のように考えて逆順に書き直したものです。

# 今回は「最小値が1」ということがわかっていたため上記のように考えましたが、
# もしわかっていない場合は
# p+√(2p^2-2p+1)≧aを示す
# ⇔√(2p^2-2p+1)≧a-pを示す
# ⇔2p^2-2p+1≧(a-p)^2を示す（a-p≧0の場合のみ）
# ⇔2p^2-2p+1≧p^2-2ap+a^2を示す
# ⇔p^2-2(1-a)p+1-a^2≧0を示す
# ⇔{p-(1-a)}^2+2a(1-a)≧0を示す
# a-p≧0でこの式の等号が成り立つためにはa=1でなければならないので
# 最小値は1でp+√(2p^2-2p+1)≧1を示せばよいのだろう
# のように考えられます。

No.44556 - 2017/07/10(Mon) 22:25:44

☆ Re: / 漢

ありがとうございます！

No.44584 - 2017/07/11(Tue) 22:40:33

★ 複素数？ / たゆたう

λは1の5乗根でa=λ+1/λであるとき、a^3+a^2-aの値を求めよ。ただしλは1ではない。という問題ですが、極形式を使って考えたのですが θ=2/5 nπとなりλの値がなくてできません。解き方を教えてください。

No.44522 - 2017/07/09(Sun) 17:59:18

☆ Re: 複素数？ / X

条件から
λ^4+λ^3+λ^2+λ+1=0 (A)
となることはよろしいですか？
λ≠0ですので(A)の両辺をλ^2で割ることができ
λ^2+λ+1+1/λ+1/λ^2=0
これより
(λ^2+2+1/λ^2)+λ+1/λ-1=0
∴a^2+a-1=0 (B)
よって
a^3+a^2-a=(a^2+a-1)a=0
となります。

No.44523 - 2017/07/09(Sun) 18:20:42

☆ Re: 複素数？ / たゆたう

わかりました。ありがとうございました。

No.44532 - 2017/07/09(Sun) 21:42:52

★ ベクトル / 内緒さん

ベクトルについて
次の問題がわかりません。高1です。

三角形OABがあり、↑OA=↑a 、↑OB=↑bとする。
辺ABを2：1に内分する点をC、OCを3：2に内分する点をDとする。また、三角形OABの重点をGとする。

問題
(1)↑ODを↑aと↑bを用いて、表せ。また、↑BE=(1/4)↑ABを満たす点Eをとるとき、↑OEを↑aと↑bを用いて、表せ。

(2) (1)において、2直線OE、GDの交点をPとする。
↑OPを↑aと↑bを用いて、表せ。

また、(1)においては、一応、答えが
↑OD=(↑a+2↑b)/5、↑OE=(5↑b－↑a)/4となりました。

No.44521 - 2017/07/09(Sun) 15:52:01

☆ Re: ベクトル / X

(1)
前半)
↑OD=(3/5)↑OC=(3/5)(↑OA+2↑OB)/3
=(↑a+2↑b)/5
後半)
↑BE=(1/4)↑AB
から
↑OE-↑OB=(1/4)↑AB
∴↑OE=(1/4)↑AB+↑OB
=(1/4)(↑b-↑a)+↑b
=(5/4)↑b-(1/4)↑a

ということで(1)は正解です。
(2)
点Pは直線OE上の点ですので(1)の結果から
↑OP=t↑OE=(5t/4)↑b-(t/4)↑a (A)
(tは実数)
一方、点Pは直線GD上の点でもあるので
↑OP=(1-u)↑OD+u↑OG
(uは実数)
(1)の結果とGが△OABの重心であることから
↑OP=(1-u)(↑a+2↑b)/5+u(↑a+↑b)/3
={(1-u)/5+u/3}↑a+{2(1-u)/5+u/3}↑b (B)
ここで
↑a//↑bでなく、かつ↑a≠↑0かつ↑b≠↑0
∴(A)(B)の係数を比較することができ
-t/4=(1-u)/5+u/3 (C)
5t/4=2(1-u)/5+u/3 (D)
(C)(D)をt,uの連立方程式として解きます。

No.44524 - 2017/07/09(Sun) 18:32:35

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

何度もすみません。
一応確認したいのですが、
答えは(7↑a-35↑b)/29ですか？

No.44525 - 2017/07/09(Sun) 19:30:48

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

すみません。間違えました。上の訂正で、
答えは3↑a－15↑bでした。

No.44526 - 2017/07/09(Sun) 20:02:44

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

またまた、間違えました。すみません。
(5↑b－↑a)/3

No.44527 - 2017/07/09(Sun) 20:07:02

☆ Re: ベクトル / X

こちらの計算では
↑OP=(5↑b-↑a)/9
になりました。

No.44528 - 2017/07/09(Sun) 20:19:34

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

そうでした。ありがとうございます。

No.44529 - 2017/07/09(Sun) 20:29:45