ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ Re: 瞬間の速さ / 前進

速さは確か温度などと同じように足し算できないとあったのですが足してもよいのでしょうか？
宜しくお願い致します。

No.43690 - 2017/06/06(Tue) 23:43:14

☆ Re: 瞬間の速さ / angel

> 速さは確か温度などと同じように足し算できないとあったのですが

そんなことはないです。普通に足し引きします。足し引きできないとそもそも「加速」が考えられないです。

例えば自動車なんかは、街中だと 40(km/時)位で走ってたりしますが、信号なんかで止まっているところから発進して、いきなりこの速度になるわけではありません。

つまり 0(km/時) ( 停止 ) → 40(km/時) と、40(km/時)の速度の「増加」があるわけで、これは引き算してます。

※この「速度の差」を更に時間で割ると、どれくらい急激に加速したかという「加速度」という数字が出てきます。

No.43696 - 2017/06/07(Wed) 00:05:56

☆ Re: 瞬間の速さ / 前進

たしかにその通りでした。ありがとうございました。

No.43734 - 2017/06/07(Wed) 15:45:09

★ (No Subject) / 名無し

すいません、これの解き方ですが、

y=-ルート3+2
の角度が欲しいのであって、y=-ルート3に勝手に変換したら、ダメですよね？

No.43689 - 2017/06/06(Tue) 23:33:53

☆ Re: / angel

> y=-√3・x+2
> の角度が欲しいのであって、y=-√3・x に勝手に変換したら、ダメですよね？

ということですが、その参考書の解説に書いてある

> (略) 2直線 y=-√3・x …?@', (略) のなす角に等しい

がウソではないかと疑っているということでしょうか? ウソではないですよ。

「勝手に変換」というところが抵抗があるというのであれば、おそらくそれは誤解で、「変換」しているのではなくて「代用」していると見るところです。

つまり、y=-√3・x+2 の「代わりに」y=-√3・x を使って計算しても角度が同じになることが分かっているので、じゃあそちらで「代用」して、ラクしましょう、ということです。

No.43694 - 2017/06/06(Tue) 23:55:48

★ (No Subject) / 名無し

すいません、(2)についてですが、どうして『これは与式を満たす』と書かないといけないのですか？
θが90度だと不味いからですか？　よろしくお願いします

No.43686 - 2017/06/06(Tue) 21:59:17

☆ Re: / angel

> どうして『これは与式を満たす』と書かないといけないのですか？

「書かないといけない」とは書いていないことに注意。( 模範解答はあくまで「例」であって、全くこの通りに書かなきゃいけないものではない )
実際、この問題なら書かなくても良いです。

もっとも、書かなくても良いかどうか判断に悩むなら、書いて間違いになることはありませんので、保険にはなります。

つまり、「色々計算を進めてθ=120°と分かったけど、もともとは sinθtanθ=-3/2 が成立するかどうかを調べるのが目的だった。本当に成立してるかな? 確かめてみよう」と。単に念押ししてるだけの話です。

No.43688 - 2017/06/06(Tue) 22:56:38

★ (No Subject) / 飛鳥

この証明をお願いします。

No.43684 - 2017/06/06(Tue) 20:30:08

☆ Re: / みずき

f(x)=x^3+ax^2+bx+c とおくと f'(x)=3x^2+2ax+b
(判別式)=4a^2-12b＞0⇒f'(x)=0は2つの実数解をもつ。
2解をp,q(p＜q)とするとpq=b/3＜0だからp＜0＜q
f(0)=c＜0なので（増減表を書いてグラフの概形を描いて）
f(x)=0はただ1つの正の解をもつことが分かる。
また、α+β+γ=-a＞0⇒-α＜β+γ
さらに、f(-a)=-ab+c＜0だから0＜-a＜α⇒β+γ＜0

逆が成り立たないことは、例えば
f(x)=x^3-x^2-100=(x-5)(x+2+4i)(x+2-4i)
から分かります。

No.43699 - 2017/06/07(Wed) 00:28:32

★ 存在範囲 / Dai

0以上1以下のx
y=ax^2+2bx
の最小値が-1であるようなa,bを座標とする点(a,b)
の存在範囲を図示せよ。
駿台のテキストの問題です。どなたかお願いします。

No.43683 - 2017/06/06(Tue) 20:24:52

☆ Re: 存在範囲 / angel

f(x)=ax^2+bx と置いておきます。

で、そもそもの話として f(0)=0 なので「0≦x≦1 で f(x)の最小値が -1」となると、0＜x≦1 のどこかで f(x)=-1 ということになります。それを意識しておきます。

その上で、a の値、正か0か負かで y=f(x) のグラフ形状が変わりますので場合分けしていきます。

(1) a＜0 の場合
　最小値が-1 ⇔ f(1)=-1
　※y=f(x)のグラフ形状が上に凸な放物線なので、0≦x≦1での最小はf(0)かf(1)のどちらか。自動的にf(1)が最小と決まる

(2) a=0 の場合
　最小値が-1 ⇔ f(1)=-1
　※y=f(x)のグラフは直線なので、やはり自動的にf(1)が最小と決まる

(3) a＞0 の場合
　※ f(x)=ax^2+2bx=a(x+b/a)^2-b^2/a と変形しておく
　(3)-1 放物線の軸 -b/a＞1 の場合
　　最小値が-1 ⇔ f(1)=-1
　　※下に凸な放物線 y=f(x) で軸が0≦x≦1の範囲外なので f(1)が最小

　(3)-2 放物線の軸 0＜-b/a≦1 の場合
　　最小値が-1 ⇔ -b^2/a=-1

　※放物線の軸 -b/a≦0 だと最小がf(0)になるためそもそも不適

と、一旦条件が出そろったところで改めてまとめ直します。

(i) a≦0 または ( a＞0 かつ -b/a＞1 ) の時 f(1)=-1
　( a＞0 かつ -b/a＞1 ) を整形して ( a＞0 かつ a+b＜0 )
　f(1)=a+2b であることから a+2b=-1

(ii) a＞0 かつ 0＜-b/a≦1 の場合 -b^2/a=-1
　a＞0 かつ 0＜-b/a≦1 を整形して a＞0 かつ a+b≧0 かつ b＜0
　-b^2/a=-1 を整形して b=√a　( a＞0 という前提なので、負の平方根は気にしなくて良い )

グラフ化すると、(i)が添付の図の左、(ii)が真ん中、ということで2つ繋げて右が求めるべき存在範囲となります。
※すいません。左のグラフ中の式が a+2b=1 となっていますが、=-1 の間違いです

なお、最終的な答えは a の値に応じて式を整理し直して

　a＜1 … a+2b=-1
　a≧1 … b=-√a

です。

No.43708 - 2017/06/07(Wed) 02:08:00

★ 中学受験　算数　速さ / ぶどう

おはようございます。
速さの単元の問題ですが解説よろしくお願いします。
A,B,Cの位置関係のイメージがつかなく、図示することが
できていないです。

答えは　?@　1200m ?A6630mです。
よろしくお願いします。

No.43674 - 2017/06/06(Tue) 09:38:04

☆ Re: 中学受験　算数　速さ / 25201729

では、こちらから質問します。

AとBとCが同時に会うためには、Bは何分前に出発すれば良かったでしょうか？

No.43675 - 2017/06/06(Tue) 17:30:34

☆ Re: 中学受験　算数　速さ / ぶどう

Bは9時6分らに出発して8分後に出会ったのだから
9時2分前であっていますか?
よろしくお願いします。

No.43676 - 2017/06/06(Tue) 18:09:56

☆ ダイアグラム / angel

ダイアグラムで位置関係の変化を整理してみます。
※長さはかなりテキトーなのでご注意を

まず、問題?@で欲しいのは真ん中縦の矢印 ( ピンク ) の部分の距離ですね。

?Aについては、例えば「AとCが出会うまでの時間」が分かればそこから進めます。ということは、図中の横矢印 6分と8分の間の時間が分かれば解けます。
それには、図中青の点線のグラフ ( もしAがBと同時に出発したら、という仮想のグラフ ) と、Bのグラフとの離れ具合を見てあげます。

No.43687 - 2017/06/06(Tue) 22:36:56

☆ Re: 中学受験　算数　速さ / 25201729

はい、8時58分です。

さて、Bが8時58分に出れば、AとBとCが同時に合うのですから、「AとCが会う時刻」を求めるためには、Bが8時58分に出発したことにして「AとBの会う時刻」を求めればよいです。

Bがいつ出発しようが、AとCの出発時刻が変わらなければ、「AとCの出発時刻」は変わりません。それを利用した方法です。

No.43700 - 2017/06/07(Wed) 00:43:42

☆ Re: 中学受験　算数　速さ / 25201729

すみません、訂正です。

「AとCの出発時刻」が変わらないのではなく、「AとCが会う時刻」は変わらないでした。

No.43702 - 2017/06/07(Wed) 00:50:14

☆ Re: 中学受験　算数　速さ / ぶどう

解説ありがとうございました。
ダイアグラムがはじめて便利だと思いました。

No.43720 - 2017/06/07(Wed) 08:29:15

☆ Re: 中学受験　算数　速さ / ぶどう

ダイアグラムを元に解いてみました。
解答の値と同じになるので　おそらく正解だと思いますが
考え方はあっているでしょうか? 教えてください。

?@ピンクの矢印を求めたいので
　Bの速度とC速度から8分(前?)を使うと
　ピンクの矢印=(80+70)×8分=1200m

?AAが6分に進む距離 90×6=540m
Aの点線とBとの距離　1200m-540m=660m
6分と8分の間の時間
　660m÷(90-70)=33分

　AとCが出会った時間は　33分+6分=39分
　Aの距離　39分×90=3510m
Cの距離　39分×80=3120m

東町と西町の距離
　3510m+3120m=6630m
　
よろしくお願いします。

No.43725 - 2017/06/07(Wed) 09:58:01

☆ Re: 中学受験　算数　速さ / angel

問題ないと思います

No.43766 - 2017/06/08(Thu) 01:49:31

★ Re: ジュール　カロリー変換 / 前進

上の赤線を下の赤線の公式に変換する際に

1 cal/ 4.2 = j ではないでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.43671 - 2017/06/06(Tue) 00:58:32

☆ Re: ジュール　カロリー変換 / angel

1cal/4.2 = 1J という式自体は妥当ですが、「変換する際に」というのは何を指しているのでしょうか?

“4.2×…”ではなくて“1/4.2×…”ではないかという疑問でしょうか?
※△(J)=… という計算をしているのですから、もちろん前者ですね。

No.43673 - 2017/06/06(Tue) 02:10:48

☆ Re: ジュール　カロリー変換 / 前進

間違えました。変換というより上の式と下の式が＝になりません。水の質量と水の上昇温度でcalになるので

下の式だとJ = 4.2calとなり上の式の1cal = 4.2Jとなりイコールになりません。これはどういう意味でしょうか？

宜しくお願い致します。

No.43695 - 2017/06/07(Wed) 00:03:25

☆ Re: ジュール　カロリー変換 / angel

それはおそらく何か勘違いがありますね。

今回の話だと、

・水1gを1℃温度上昇させる熱量は1calです
・熱量1calはエネルギー4.2Jと等価です
・熱量(J)=4.2×水の量(g)×温度上昇(℃) です

ですね。
次の例と対比してみてください。

・TVのサイズ(型)の数が1大きくなると、対角線(斜め)の長さが1インチ長くなります
・長さ1インチは、長さ2.54cmと等価です
・対角線の長さ(cm)=2.54×サイズ(型) です

例えば、今時なら40型のテレビなんか、そこそこ大型でよくありそうでしょうか? これだと対角線の長さが約100cmになるわけで。( ご自宅にあるなら測ってみても良いでしょう )

No.43701 - 2017/06/07(Wed) 00:46:51

☆ Re: ジュール　カロリー変換 / 前進

ゆっくり考えさせていただきます。ありがとうございます。

No.43758 - 2017/06/07(Wed) 23:42:27

★ 数列（漸化式） / Make it possible with 俺

（5）～（8）はどのように求めますか？

No.43670 - 2017/06/06(Tue) 00:44:27

☆ Re: 数列（漸化式） / angel

(1)～(4)をを解いているので、(5)～(8)についても、初項を決めてあげれば同じように解けるはずですね。

例えば(5)であれば、a[1]=A と置けば a[n]=(A-3)・3^(n-1)+3 です。

…ただそれだと式の形が少しだけ複雑なので、α=a[1]+3 とおいて a[n]=α・3^(n-1)+3 とした方が綺麗でしょう。
こうなると、置いた文字 ( この場合α ) は a[1] そのものではないので、もはや初項を置いてどうこうしなくても良くなります。

引き続き(5)の場合だと、

　a[n+1]=3a[n]-6
　⇔ a[n+1]-3=3a[n]-9
　⇔ a[n+1]-3=3(a[n]-3)
　⇔ 数列 a[n]-3 は公比3の等比数列なので、ある数αに対して a[n]-3=α・3^(n-1)

というように話を進めることができます。

No.43672 - 2017/06/06(Tue) 01:43:47

★ 対数微分法 / がん

数学?Vでは対数微分法が出てきますが、これはどういう場合に使うといいのでしょうか。ネットで調べたら、指数が複雑な時という情報が多かったのですが実際はどうなのでしょうか。教えてください。
よろしくお願いします。

No.43658 - 2017/06/05(Mon) 20:13:43

☆ Re: 対数微分法 / ヨッシー

ｙ＝ｘ^x の微分のようなときに使います。

No.43660 - 2017/06/05(Mon) 20:22:22

☆ Re: 対数微分法 / がん

> ｙ＝ｘx の微分のようなときに使います。

回答ありがとうございます。
つまりｙ＝ｘ＾（ｘの関数）みたいなときに対数微分法を使うと上手く行くことが多いのですね。
ありがとうございます！

No.43662 - 2017/06/05(Mon) 20:51:30

★ (No Subject) / 名無し

どうして、f(-1)×f(1)<0と、f(2)×f(4)<0になるのかがわかりません。どちらかが負になるからですか？　
なら、f(-1)×f(2)<0でもいいじゃないですか？

あとどうして
判別式
軸
F(-1)
F(2)
F(1)
F(4)

の値求めにいかなかったり、
a>0とa<0を場合分けしなかったのがわかりません。

よろしくお願いしますm(__)m

No.43657 - 2017/06/05(Mon) 19:50:43

☆ Re: / ヨッシー

f(-1)×f(1)＜0 で、-1＜ｘ＜1 の範囲に解があることを表しています。
解答の上の方に、下に凸のグラフと、上に凸のグラフが描いてありますが、
どちらの場合でも言えることがわかります。
f(2)×f(4)＜0 も同様に、2＜ｘ＜4 の範囲に解があることを表しています。

f(-1)×f(2)＜0 だと、-1＜ｘ＜2 の範囲に解があることを表しますが、その解は　
　1＜ｘ＜2
の範囲にあるかもしれないので、題意を満たさない可能性があるのでダメです。

f(-1)×f(1)＜0 で、-1＜ｘ＜1 の範囲に解があることを表すので、判別式は不要です（判別式をとっても、どうせ正になります）

また、下に凸、上に凸のどちらの場合も成り立つので、ａによって、場合分けする必要もありません。

もっと細かく
ａ＞０のとき
　f(-1)＞０、f(1)＜０，f(2)＜０，f(4)＞０
ａ＜０のとき
　f(-1)＜０、f(1)＞０，f(2)＞０，f(4)＜０
と書く方法もあります。こちらの方は、
　f(-1)・f(1) のように、式と式を掛ける必要が無いので、
計算が簡単になります。

No.43659 - 2017/06/05(Mon) 20:21:19

★ 速さ / 柳下

この図は何を表している図ですか？

No.43650 - 2017/06/05(Mon) 18:09:12

☆ Re: 速さ / ヨッシー

出発してからの時間と２人の間隔の関係を表しています。

線分の両端から２人が同じ速さで往復する様子を想像してみてください。
両端にいるときは距離が一番長いです。
あるところですれ違い（距離＝０）
また離れていきます。
片方が端について折り返すと、追いかける形になって距離はゆるやかに縮まります。
もう片方も折り返すと、近づく速さは大きくなります。
再びすれ違い、離れていきます。

No.43652 - 2017/06/05(Mon) 18:20:20

☆ Re: 速さ / ヨッシー

グラフから読み取れることは、
１．小島くんはスタート後１８分でＢ町に着く
２．大池くんはスタート後22.5分でＡ町に着く
です。
このことから、小島くんと大池くんの速さの比が
　２２．５：１８＝５：４
であることがわかります。すると、各時刻での位置関係は以下のようになります。

これで、大分進むことと思います。

No.43653 - 2017/06/05(Mon) 19:06:57