ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 62円の値打ち

問題

2人が1対1で対戦する競技の大会に8人の選手が参加する。

1日の試合の組み合わせ表は、どの選手も1試合ずつ行うように4試合の組み合わせを決めたものである。

1日目の試合終了後、2日目の対戦相手を無作為に決めるとき、どの選手の対戦相手も1日目と2日目で異なっている確率を求めよ。

解説をお願いします。

No.44543 - 2017/07/10(Mon) 15:33:52

☆ Re: / らすかる

1日目の対戦組合せが(a,b)(c,d)(e,f)(g,h)だったとします。
2日目に
aがb以外と対戦する確率は6/7
aの対戦相手はc,d,e,f,g,hの誰でも同じ条件なのでcとします。
残りはb,d,e,f,g,hです。
bがdと対戦した場合、eがf以外と対戦する確率は2/3です。
bがd以外と対戦した場合、対戦相手はe,f,g,hの誰でも同じ条件なのでeとします。
残りはd,f,g,hです。このときgがh以外と対戦する確率は2/3です。
従ってbが誰と対戦しても条件を満たす確率は2/3ですから、
求める確率は(6/7)(2/3)=4/7となります。

No.44544 - 2017/07/10(Mon) 16:19:18

★ (No Subject) / rin

数3の微分です。
（2)がわかりません。
どうしたらいいのでしょう。

No.44542 - 2017/07/10(Mon) 14:16:17

☆ Re: / X

x(θ)=(1/3)cosθ+(2/3)sinθ (A)
y(θ)=(1/6)cosθ-(2/3)sinθ (B)
と置くと
dx(θ)/dθ=-(1/3)sinθ+(2/3)cosθ (C)
dy(θ)/dθ=-(1/6)sinθ-(2/3)cosθ (D)
一方、求める接線の方程式は
(dy(θ)/dθ)(x-x(θ))-(dx(θ)/dθ)(y-y(θ))=0 (E)
(A)(B)(C)(D)を(E)に代入して
(-(1/6)sinθ-(2/3)cosθ)(x-(1/3)cosθ-(2/3)sinθ)
-(-(1/3)sinθ+(2/3)cosθ)(y-(1/6)cosθ+(2/3)sinθ)=0
∴
(sinθ+4cosθ)(3x-cosθ-2sinθ)
+(-sinθ+2cosθ)(6y-cosθ+4sinθ)=0 (E)'

これが点(2,0)を通るので
(sinθ+4cosθ)(6-cosθ-2sinθ)+(-sinθ+2cosθ)(-cosθ+4sinθ)=0 (E)"
(E)"を展開して整理をすると
sinθ+4cosθ=1
これと
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
とを連立して解くことにより
(sinθ,cosθ)=(15/17,8/17),(1,0)
よって(E)'により接線の方程式は
x-2y=2 (P)
47x+2y-34=0 (Q)
接点の座標は
(P)に対して
(2/3,-2/3)
(Q)に対して
(38/51,-26/51)

上記の二組の解答の内、解答欄6～13に合うものは
(P)についてのもの、つまり
接点：(2/3,-2/3)
接線：y=(1/2)x-1
となります。

No.44562 - 2017/07/11(Tue) 03:04:58

☆ Re: / angel

一応一点だけ。

> 上記の二組の解答の内、解答欄6～13に合うものは

解が2組あるように思えますが、実際は

> (sinθ,cosθ)=(15/17,8/17),(1,0)

この2解の前者が正しくは (-15/17,8/17) で、θの値として 0≦θ≦πに収まっていないので除外、かと思います。
※最終的な答えとして問題はありませんが

No.44600 - 2017/07/13(Thu) 00:38:20

★ 確率 / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問1.n個のサイコロを投げたとき、出目が4種類になる確率を求めよ。

問2.サイコロをn回投げ、出た目を順にX[1],X[2],…,X[n]とする。さらに、Y[1]=X[1]、Y[k]=X[k]+1/Y[k-1](k=2,3,…,n) によってY[1],Y[2],…,Y[n]を定める。
このとき、(1+√3)/2≦Y[n]≦1+√3 となる確率P[n]を求めよ。

どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします！

No.44539 - 2017/07/10(Mon) 12:51:09

☆ Re: / らすかる

問2は式に不審な点があるので問1だけ。

出目が特定の1つになるのは1通り
出目が特定の2つになるのは2^n-2通り
出目が特定の3つになるのは3^n-3C2・(2^n-2)-3C1・1=3^n-3・2^n+3通り
出目が特定の4つになるのは4^n-4C3・(3^n-3・2^n+3)-4C2・(2^n-2)-4C1・1
=4^n-4・3^n+6・2^n-4通り
従って出目が4種類になるのは6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)通りなので
求める確率は{6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)}/6^n
=15(4^n-4・3^n+6・2^n-4)/6^n

No.44541 - 2017/07/10(Mon) 13:40:31

☆ Re: / ICE

>>らすかるさん

回答ありがとうございます。問2の式の不審な点とはどのようなものでしょうか？

No.44560 - 2017/07/11(Tue) 01:49:41

☆ Re: / らすかる

Y[k]=X[k]+1/Y[k-1] は
Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1]) と解釈されますが
もしかしたら
Y[k]=(X[k]+1)/Y[k-1] なのではないかと。

No.44561 - 2017/07/11(Tue) 02:46:36

☆ Re: / ICE

>>らすかるさん

Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1])
という解釈で正しいですよ。

No.44573 - 2017/07/11(Tue) 10:34:44

☆ Re: / らすかる

そうでしたか。それは大変失礼しました。
それでは…

Y[n]＜(1+√3)/2
⇔ X[n]+1/Y[n-1]＜(1+√3)/2
⇔ 「X[n]=1 かつ 1/Y[n-1]＜(-1+√3)/2」（∵Y[n-1]＞1）
⇔ 「X[n]=1 かつ Y[n-1]＞1+√3」

Y[n]＞1+√3
⇔ X[n]+1/Y[n-1]＞1+√3
⇔ 「X[n]=2 かつ 1/Y[n-1]＞-1+√3」または「X[n]≧3」（∵Y[n-1]＞1）
⇔ 「X[n]=2 かつ Y[n-1]＜(1+√3)/2」または「X[n]≧3」
なので

Y[n]＜(1+√3)/2 である確率をQ[n]
Y[n]＞1+√3 である確率をR[n]
とすると
Q[1]=1/6, R[1]=2/3,
Q[n+1]=R[n]/6, R[n+1]=(Q[n]+4)/6
P[n]=1-Q[n]-R[n]なので
P[1]=1-Q[1]-R[1]=1/6
P[n+1]=1-Q[n+1]-R[n+1]=1-R[n]/6-(Q[n]+4)/6
=1/6+(1-Q[n]-R[n])/6=1/6+P[n]/6=(P[n]+1)/6
この漸化式を解いて
P[n]=(1-1/6^n)/5

No.44580 - 2017/07/11(Tue) 13:20:59

☆ Re: / ICE

>>らすかるさん

理解できました。ありがとうございます！

No.44597 - 2017/07/12(Wed) 17:38:52

★ (No Subject) / 漢

画像の問題の意味がいまいちわかりません。これは、ただ単に、f(x)=g(p)とみて、g(p)<0、となるxの範囲を求めているだけに見えるのですが、下の「注」の欄を見ると、なんかそうでは無いような気がします。下の「注」を、利用した、もしくは意識しやすいような、別解を教えて頂けませんでしょうか？

No.44533 - 2017/07/10(Mon) 01:21:42

☆ Re: / らすかる

微分はご存知ですか？

No.44536 - 2017/07/10(Mon) 10:55:18

☆ Re: / 漢

まだやってません…

No.44540 - 2017/07/10(Mon) 13:14:41

☆ Re: / らすかる

(注のグラフ参照)

f(x)=0の解はx=p±√(2p^2-2p+1)
p+√(2p^2-2p+1)はpが大きくなると連続的にいくらでも大きくなり、
p-√(2p^2-2p+1)はpが小さくなると連続的にいくらでも小さくなるため、
p+√(2p^2-2p+1)の最小値と
p-√(2p^2-2p+1)の最大値を調べればよい。

p≧1のとき p+√(2p^2-2p+1)＞1
p＜1のとき
p^2≧0
p^2+(1-p)^2≧(1-p)^2
√(2p^2-2p+1)≧1-p
∴p+√(2p^2-2p+1)≧1　（等号はp=0のとき）

p＜0のとき p-√(2p^2-2p+1)＜0
p≧0のとき
0≦(p-1)^2
p^2≦p^2+(p-1)^2
p≦√(2p^2-2p+1)
∴p-√(2p^2-2p+1)≦0　（等号はp=1のとき）

従ってp+√(2p^2-2p+1)の最小値が1、p-√(2p^2-2p+1)の最大値が0なので
放物線が通過しない部分は0＜x＜1

No.44545 - 2017/07/10(Mon) 16:38:47

☆ Re: / 漢

ありがとうございます。考え方は理解できましたが、p+√(2p²-2p+1)の最小値、p-√(2p²-2p+1)の最大値を求める時の、途中式が全体的に意味がわかりません…どのような事を行って、最小値最大値を求めているのでしょう…

No.44555 - 2017/07/10(Mon) 21:27:44

☆ Re: / らすかる

p≧1のとき
√(2p^2-2p+1)＞0なので（∵2p^2-2p+1=2(p-1/2)^2+1/2＞0）
p+√(2p^2-2p+1)＞1

p＜1のとき
p^2≧0（実数の2乗は0以上）
p^2+(1-p)^2≧(1-p)^2（両辺に(1-p)^2を足した）
2p^2-2p+1≧(1-p)^2（左辺を展開した）
√(2p^2-2p+1)≧1-p（a^2≧b^2,a≧0,b≧0ならばa≧b）
∴p+√(2p^2-2p+1)≧1（両辺にpを足した）

p＜0のとき
-√(2p^2-2p+1)＜0なので
p-√(2p^2-2p+1)＜0

p≧0のとき
0≦(p-1)^2（実数の2乗は0以上）
p^2≦p^2+(p-1)^2（両辺にp^2を足した）
p^2≦2p^2-2p+1（右辺を展開した）
p≦√(2p^2-2p+1)（a^2≦b^2,a≧0,b≧0ならばa≦b）
∴p-√(2p^2-2p+1)≦0（両辺から√(2p^2-2p+1)を引いた）

# 途中式は、例えば前半なら
# p+√(2p^2-2p+1)≧1を示すためには√(2p^2-2p+1)≧1-pを示せばよい
# √(2p^2-2p+1)≧1-pを示すためには2p^2-2p+1≧(1-p)^2を示せばよい
# 2p^2-2p+1≧p^2-2p+1を示すためにはp^2≧0を使えばよい
# のように考えて逆順に書き直したものです。

# 今回は「最小値が1」ということがわかっていたため上記のように考えましたが、
# もしわかっていない場合は
# p+√(2p^2-2p+1)≧aを示す
# ⇔√(2p^2-2p+1)≧a-pを示す
# ⇔2p^2-2p+1≧(a-p)^2を示す（a-p≧0の場合のみ）
# ⇔2p^2-2p+1≧p^2-2ap+a^2を示す
# ⇔p^2-2(1-a)p+1-a^2≧0を示す
# ⇔{p-(1-a)}^2+2a(1-a)≧0を示す
# a-p≧0でこの式の等号が成り立つためにはa=1でなければならないので
# 最小値は1でp+√(2p^2-2p+1)≧1を示せばよいのだろう
# のように考えられます。

No.44556 - 2017/07/10(Mon) 22:25:44

☆ Re: / 漢

ありがとうございます！

No.44584 - 2017/07/11(Tue) 22:40:33

★ 複素数？ / たゆたう

λは1の5乗根でa=λ+1/λであるとき、a^3+a^2-aの値を求めよ。ただしλは1ではない。という問題ですが、極形式を使って考えたのですが θ=2/5 nπとなりλの値がなくてできません。解き方を教えてください。

No.44522 - 2017/07/09(Sun) 17:59:18

☆ Re: 複素数？ / X

条件から
λ^4+λ^3+λ^2+λ+1=0 (A)
となることはよろしいですか？
λ≠0ですので(A)の両辺をλ^2で割ることができ
λ^2+λ+1+1/λ+1/λ^2=0
これより
(λ^2+2+1/λ^2)+λ+1/λ-1=0
∴a^2+a-1=0 (B)
よって
a^3+a^2-a=(a^2+a-1)a=0
となります。

No.44523 - 2017/07/09(Sun) 18:20:42

☆ Re: 複素数？ / たゆたう

わかりました。ありがとうございました。

No.44532 - 2017/07/09(Sun) 21:42:52

★ ベクトル / 内緒さん

ベクトルについて
次の問題がわかりません。高1です。

三角形OABがあり、↑OA=↑a 、↑OB=↑bとする。
辺ABを2：1に内分する点をC、OCを3：2に内分する点をDとする。また、三角形OABの重点をGとする。

問題
(1)↑ODを↑aと↑bを用いて、表せ。また、↑BE=(1/4)↑ABを満たす点Eをとるとき、↑OEを↑aと↑bを用いて、表せ。

(2) (1)において、2直線OE、GDの交点をPとする。
↑OPを↑aと↑bを用いて、表せ。

また、(1)においては、一応、答えが
↑OD=(↑a+2↑b)/5、↑OE=(5↑b－↑a)/4となりました。

No.44521 - 2017/07/09(Sun) 15:52:01

☆ Re: ベクトル / X

(1)
前半)
↑OD=(3/5)↑OC=(3/5)(↑OA+2↑OB)/3
=(↑a+2↑b)/5
後半)
↑BE=(1/4)↑AB
から
↑OE-↑OB=(1/4)↑AB
∴↑OE=(1/4)↑AB+↑OB
=(1/4)(↑b-↑a)+↑b
=(5/4)↑b-(1/4)↑a

ということで(1)は正解です。
(2)
点Pは直線OE上の点ですので(1)の結果から
↑OP=t↑OE=(5t/4)↑b-(t/4)↑a (A)
(tは実数)
一方、点Pは直線GD上の点でもあるので
↑OP=(1-u)↑OD+u↑OG
(uは実数)
(1)の結果とGが△OABの重心であることから
↑OP=(1-u)(↑a+2↑b)/5+u(↑a+↑b)/3
={(1-u)/5+u/3}↑a+{2(1-u)/5+u/3}↑b (B)
ここで
↑a//↑bでなく、かつ↑a≠↑0かつ↑b≠↑0
∴(A)(B)の係数を比較することができ
-t/4=(1-u)/5+u/3 (C)
5t/4=2(1-u)/5+u/3 (D)
(C)(D)をt,uの連立方程式として解きます。

No.44524 - 2017/07/09(Sun) 18:32:35

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

何度もすみません。
一応確認したいのですが、
答えは(7↑a-35↑b)/29ですか？

No.44525 - 2017/07/09(Sun) 19:30:48

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

すみません。間違えました。上の訂正で、
答えは3↑a－15↑bでした。

No.44526 - 2017/07/09(Sun) 20:02:44

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

またまた、間違えました。すみません。
(5↑b－↑a)/3

No.44527 - 2017/07/09(Sun) 20:07:02

☆ Re: ベクトル / X

こちらの計算では
↑OP=(5↑b-↑a)/9
になりました。

No.44528 - 2017/07/09(Sun) 20:19:34

☆ Re: ベクトル / 内緒さん

そうでした。ありがとうございます。

No.44529 - 2017/07/09(Sun) 20:29:45

★ 図形の問題 / ぶどう

いつも詳しい解説ありがとうございます。
図形の問題について教えてください。
辺の比を使って解く問題だと思うのですが
△ABCと△DCEの関係がよくわかりません。

解答は　4.5なので　無理やり当てはめると
24:18は4:3
6×3/4=4.5になりましたが、なぜそうな説明ができないです。解説お願いします。

No.44511 - 2017/07/09(Sun) 09:52:37

☆ Re: 図形の問題 / らすかる

△ABD∽△DCEで
相似比がAB：DC=24：18=4：3なので
BD：CE=4：3です。

No.44514 - 2017/07/09(Sun) 10:30:42

☆ Re: 図形の問題 / ぶどう

らすかるさん　いつもありがとうございます。
△ABD∽△DCEが相似ということが理解できました。

角Bと角Cは60度
角Aと角Dは同じ角度(60度共通)なんですね
納得しました。　ありがとうございました。

No.44520 - 2017/07/09(Sun) 14:20:49

★ 数の性質について / 高一モノ

a,b,cの値の組が異なっても、2^a+3^b+5^cの値が同じになってしまう(重複して数えてしまう)ということはないんですか？a,b,cの値の組が異なれば、かならず上の式は異なる値をとるのですか？またそうなるなら、理由も教えてください。

No.44504 - 2017/07/09(Sun) 09:02:30

☆ Re: 数の性質について / X

(2^a)(3^b)(5^c)
についてではなくて
>>2^a+3^b+5^c
について、でしょうか？
写真の内容とはずれていますが。

No.44508 - 2017/07/09(Sun) 09:18:45

☆ Re: 数の性質について / 高一モノ

あ、そうです。すみません。

No.44516 - 2017/07/09(Sun) 10:42:41

☆ Re: 数の性質について / らすかる

A=(2^a)(3^b)(5^c), B=(2^p)(3^q)(5^r) のとき
もしa＜pならば
Aを2^aで割ると奇数になりますが、Bを2^aで割っても偶数ですからAとBは異なる数です。
もしa＞pならば
Bを2^pで割ると奇数になりますが、Aを2^pで割っても偶数ですからAとBは異なる数です。
もしb＜qならば
Aを3^bで割ると3で割り切れない数になりますが、
Bを3^bで割っても3の倍数ですからAとBは異なる数です。
もしb＞qならば
Bを3^qで割ると3で割り切れない数になりますが、
Aを3^qで割っても3の倍数ですからAとBは異なる数です。
5^c,5^rも同様。
よってA=Bとなるのはa=pかつb=qかつc=rのときだけであり、
aとp、bとq、cとrのうちどれか一つでも異なればAとBは異なる数になります。

No.44517 - 2017/07/09(Sun) 12:28:36

☆ Re: 数の性質について / 高一モノ

ありがとうございます。

No.44519 - 2017/07/09(Sun) 12:44:06

★ 数学高校一年 / 進撃

全然わかりませんどなたかわかる方教えてください！！

No.44496 - 2017/07/08(Sat) 22:21:20

☆ Re: 数学高校一年 / X

条件から
0≦x≦4のとき点P,Qは辺AB上にある
ことはよろしいですか？
このことと点P,Qの速さ、速さの向きが同じ
であることから
PQ=AD(つまりx=0のときの辺PQの長さ)=6
この辺PQを△PQRの底辺とみてyを計算する
ことを考えます。

ということで
(1)
条件からx=2のとき
BR=BE+2=8
となるので点Rは点C上にあります。
ここで点Cから辺ABに下ろした垂線の足をH'とすると
△BCH'∽△ABC
ですので相似比により
CH':BC=AC:AB
これより
CH':8=6:10
CH'=24/5
よって
y=(1/2)PQ×CH'=(1/2)×6×(24/5)
=72/5

(2)
(1)と考え方は同じです。
条件から
BR=BE+x=6+x
ここで点Rから辺Hに下ろした垂線の足をHとすると
△BRH∽△ABC
ですので相似比により
RH:BR=AC:AB
これより
RH:(6+x)=6:10
よって
RH=3(6+x)/5
となるので
y=(1/2)×PQ×RH
=9(6+x)/5
=(9/5)x+54/5

(3)
まず0≦x≦4においてyをxの式で表すことを考えます。
0≦x≦2 (A)
の場合は(2)で計算していますので
ここでは
2≦x≦4 (B)
の場合を考えていきます。
このとき点Rは辺CA上にあり
CR=x-BC=x-8
ですので
AR=CA-CR=14-x
ここで点Rから辺ABに下ろした垂線の足をH"とすると…
(ここからyをxの式で表すところまで
自分で解いてみて下さい。
どの三角形が相似の関係になりますか？)

※もし分からないかったらその旨をアップして下さい。

以上から(A)(B)それぞれの場合でyをxの式で
表しましたのでこれらのグラフを描きます。
(山形の折れ線になります)
このグラフにx軸平行の直線
y=12 (C)
を描き込むと、求めるxの値の範囲は
山形の折れ線で(C)の下側にある部分の
xの値の範囲となります。
そこで(C)と山形の折れ線の2つの交点の
x座標を求めましょう。

No.44501 - 2017/07/09(Sun) 08:33:08

★ (No Subject) / A

数列の和Snと、数列の一般項anの関係の問題について、
n=1のとき、n≧2のときの式を満たさないことがあるのが理解できません。

例えば画像の(2)の問題の数列は
9,6,8,10,..と並ぶ数列で、
初項だけ不自然な数の数列と考えればいいのでしょうか。第二項以降のみ規則的に数が並んでるものも、同じく「数列」なのでしょうか？

No.44479 - 2017/07/08(Sat) 18:55:54

☆ Re: / A

問題はこの（2)です

No.44480 - 2017/07/08(Sat) 18:56:27

☆ Re: / A

問題は解けるのですが、なんかモヤモヤするので質問しました。数列初学者のため、変な質問してすみませんでした。

No.44482 - 2017/07/08(Sat) 19:03:08

☆ Re: / X

数列、とは飽くまで「数の列」です。
ですのでそこに規則性があろうとなかろうと
数列であることに変わりはありません。

No.44485 - 2017/07/08(Sat) 19:15:41

☆ Re: / A

ありがとうございました！

No.44487 - 2017/07/08(Sat) 19:40:52

★ 平方根 / たゆたう

正の実数aの小数部分をbでa^2-2b^2=5あるとき、aの値を求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。

No.44477 - 2017/07/08(Sat) 18:26:03

☆ Re: 平方根 / X

aの整数部分をnとすると
a=n+b (A)
これを
a^2-2b^2=5 (B)
に代入すると
(n+b)^2-2b^2=5
これより
n^2+2bn-b^2-5=0
b^2-2nb-n^2+5=0 (C)
(C)においてb=0とすると
n^2=5
となりn^2の値が平方数になりません。
よって(C)をbの二次方程式と見たとき
0＜b＜1
の範囲に少なくとも一つ解を持つ条件
を求めることを考えます。
今
f(b)=b^2-2nb-n^2+5 (D)
と置いて、横軸にb、縦軸にf(b)
を取った(D)のグラフを考えると、
(i)(C)が重解を持たないとき
求める条件は
f(0)f(1)＜0
∴(-n^2+5)(1-2n-n^2+5)＜0
これより
(n^2-5)(n^2+2n-6)＜0
-1-√7＜-√5＜-1+√7＜√5
に注意すると
-1-√7＜n＜-√5,-1+√7＜n＜√5
nは0又は自然数ですので
2＜√5＜3,1=-1+2＜-1+√7＜-1+3=2
に注意すると
n=2
(ii)(C)の解が重解となるとき
(C)の解の判別式をDとすると
D/4=n^2-(-n^2+5)=0
これより
n^2=5/2
∴n^2の値が平方数となっていないので不適。

以上から
n=2
これを(C)に代入して
b^2-4b+1=0
条件から0＜b＜1に注意すると
b=2-√3
よって(A)より
a=2+(2-√3)=4-√3
となります。

No.44483 - 2017/07/08(Sat) 19:06:36

☆ Re: 平方根 / IT

Xさんの答えは間違っているのではないかと思います。

a^2-2b^2=5 …（1）
a^2=2b^2+5
0≦b＜1なので、5≦a^2＜７
よって　2＜a＜3 …(2)
よってb=a-2
これを(1)に代入,a^2-2(a-2)^2=5
解くと,a=4±√3
(2)より,a=4-√3

No.44486 - 2017/07/08(Sat) 19:31:32

☆ Re: 平方根 / IT

Xさんの
>
>これより
>(n^2-5)(n^2+2n-6)＜0
でx^2+2x-6＝0の解の計算を間違えておられるようです。　

No.44488 - 2017/07/08(Sat) 19:52:17

☆ Re: 平方根 / X

＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞たゆたうさんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
No.44483を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.44489 - 2017/07/08(Sat) 19:59:21

☆ Re: 平方根 / たゆたう

お二方ありがとうございました。わかりやすかったです。

No.44497 - 2017/07/08(Sat) 22:45:29