以下の問いの解法を教えてください。
問1.n個のサイコロを投げたとき、出目が4種類になる確率を求めよ。
問2.サイコロをn回投げ、出た目を順にX[1],X[2],…,X[n]とする。さらに、Y[1]=X[1]、Y[k]=X[k]+1/Y[k-1](k=2,3,…,n) によってY[1],Y[2],…,Y[n]を定める。
このとき、(1+√3)/2≦Y[n]≦1+√3 となる確率P[n]を求めよ。
どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします！
|
No.44539 - 2017/07/10(Mon) 12:51:09
| ☆ Re: / らすかる | | | 問2は式に不審な点があるので問1だけ。
出目が特定の1つになるのは1通り
出目が特定の2つになるのは2^n-2通り
出目が特定の3つになるのは3^n-3C2・(2^n-2)-3C1・1=3^n-3・2^n+3通り
出目が特定の4つになるのは4^n-4C3・(3^n-3・2^n+3)-4C2・(2^n-2)-4C1・1
=4^n-4・3^n+6・2^n-4通り
従って出目が4種類になるのは6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)通りなので
求める確率は{6C4・(4^n-4・3^n+6・2^n-4)}/6^n
=15(4^n-4・3^n+6・2^n-4)/6^n
|
No.44541 - 2017/07/10(Mon) 13:40:31 |
| ☆ Re: / ICE | | | >>らすかるさん
回答ありがとうございます。問2の式の不審な点とはどのようなものでしょうか？
|
No.44560 - 2017/07/11(Tue) 01:49:41 |
| ☆ Re: / らすかる | | | Y[k]=X[k]+1/Y[k-1] は
Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1]) と解釈されますが
もしかしたら
Y[k]=(X[k]+1)/Y[k-1] なのではないかと。
|
No.44561 - 2017/07/11(Tue) 02:46:36 |
| ☆ Re: / ICE | | | >>らすかるさん
Y[k]=(X[k]) + (1/Y[k-1])
という解釈で正しいですよ。
|
No.44573 - 2017/07/11(Tue) 10:34:44 |
| ☆ Re: / らすかる | | | そうでしたか。それは大変失礼しました。
それでは…
Y[n]＜(1+√3)/2
⇔ X[n]+1/Y[n-1]＜(1+√3)/2
⇔ 「X[n]=1 かつ 1/Y[n-1]＜(-1+√3)/2」（∵Y[n-1]＞1）
⇔ 「X[n]=1 かつ Y[n-1]＞1+√3」
Y[n]＞1+√3
⇔ X[n]+1/Y[n-1]＞1+√3
⇔ 「X[n]=2 かつ 1/Y[n-1]＞-1+√3」または「X[n]≧3」（∵Y[n-1]＞1）
⇔ 「X[n]=2 かつ Y[n-1]＜(1+√3)/2」または「X[n]≧3」
なので
Y[n]＜(1+√3)/2 である確率をQ[n]
Y[n]＞1+√3 である確率をR[n]
とすると
Q[1]=1/6, R[1]=2/3,
Q[n+1]=R[n]/6, R[n+1]=(Q[n]+4)/6
P[n]=1-Q[n]-R[n]なので
P[1]=1-Q[1]-R[1]=1/6
P[n+1]=1-Q[n+1]-R[n+1]=1-R[n]/6-(Q[n]+4)/6
=1/6+(1-Q[n]-R[n])/6=1/6+P[n]/6=(P[n]+1)/6
この漸化式を解いて
P[n]=(1-1/6^n)/5
|
No.44580 - 2017/07/11(Tue) 13:20:59 |
| ☆ Re: / ICE | | | >>らすかるさん
理解できました。ありがとうございます！
|
No.44597 - 2017/07/12(Wed) 17:38:52 |
|
