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★ (No Subject) / A
答えを、累乗を分配して約分して、このようにまとめてもいいでしょうか？
No.44469 - 2017/07/08(Sat) 16:49:33
☆ Re: / らすかる
はい、大丈夫です。
No.44470 - 2017/07/08(Sat) 16:54:45
☆ Re: / A
ありがとうございます！
No.44473 - 2017/07/08(Sat) 17:12:43
★ (No Subject) / 龍人
4k＾2≤998を因数分解して1≤k≤15という問題で
素因数分解できないのでわかりません
計算過程を教えてください。
No.44466 - 2017/07/08(Sat) 14:09:20
☆ Re: / IT
>4k＾2≤998を因数分解して1≤k≤15という問題で
これは解答・解説の一部では？

元の問題文をそのまま書いてください。
No.44467 - 2017/07/08(Sat) 15:12:16
☆ Re: / 龍人
1から999までの奇数の中で、ｎ＾2＋１(ｎは自然数)の形で表される数の総和はいくらか？


です。よろしくお願いします。
No.44468 - 2017/07/08(Sat) 15:26:00
☆ Re: / ヨッシー
ｎ^2＋1 が奇数になるにはｎは偶数でなければなりません。
　２^2＋１＝５
　４^2＋１＝１７
　・・・
　30^2＋１＝９０１
までの和を求めます。32^2＋１＝1025 は含みません。
ｎの上限を決めるための不等式が
　ｎ^2≦９９８　（ｎ＝２ｋ とおけば　４ｋ^2≦９９８）
なので、最大の整数ｎを求めさえすればいいのです。
素因数分解や因数分解は必要ありません。
No.44471 - 2017/07/08(Sat) 16:56:03
☆ Re: / 龍人
ｎ＝２ｋ とおけば　４ｋ^2≦９９８のｋの解き方を教えてください
No.44493 - 2017/07/08(Sat) 21:12:56
★ 極方程式 / Ace
どなたかお願いいたします
No.44464 - 2017/07/08(Sat) 12:16:01
☆ Re: 極方程式 / X
(1)
条件から
√{(x-√3)^2+y^2}:|x-4/√3|=(√3)/2:1
これより
√{(x-√3)^2+y^2}={(√3)/2}|x-4/√3|
(x-√3)^2+y^2=(3/4)|x-4/√3|^2
4(x-√3)^2+4y^2=3|x-4/√3|^2
4(x^2-2x√3+3)+4y^2=3x^2-8x√3+16
x^2+4y^2=4
よって求める軌跡は楕円
(x^2)/4+y^2=1
となります。

(2)
条件から
x=rcosθ+√3
y=rsinθ
これらを(1)の結果に代入すると
{(rcosθ+√3)^2}/4+(rsinθ)^2=1
これより
(rcosθ)^2+(2rcosθ)√3+3+4(rsinθ)^2=4
{4-3(cosθ)^2}r^2+(2rcosθ)√3-1=0
{{2-(√3)cosθ}r-1}{{2+(√3)cosθ}r+1}=0
ここで0≦θ＜2πより-1≦cosθ≦1
又、0≦r
∴r=1/{2-(√3)cosθ}

(3)
(2)の極座標を使うと、点Aを通る直線の極方程式は
θ=k,π+k
(0≦k＜π)
と置くことができます。
これを(2)の結果に代入することにより
Q,Rの座標は(2)の極座標による表記では
Q(1/{2-(√3)cosk},k),R(1/{2+(√3)cosk},π+k)
∴
QA=1/{2-(√3)cosk}
RA=1/{2+(√3)cosk}
よって
1/QA+1/RA=4=(一定)
No.44465 - 2017/07/08(Sat) 13:10:37
★ (No Subject) / 名無し
この63番の問題の不等式の変形がよくわかりません。
どう計算しているのか解説をお願いします。
No.44461 - 2017/07/08(Sat) 07:54:21
☆ Re: / 名無し
すみません、自己解決しました。-1倍してπ/2足すだけでした。
No.44462 - 2017/07/08(Sat) 07:58:23
★ 容積 容積の問題 / 下忍乗り
直径１ｍ、高さ８ｍの円柱を母線と地面が水平になるように倒し、水を７５ｃｍのところまで入れた。

その時の水の容積を求めよ

という問題です。単位は㎥です。
さっぱりわからないので教えてください、おねがいします。
No.44455 - 2017/07/07(Fri) 22:08:05
☆ Re: 容積 容積の問題 / ヨッシー
断面を図のように扇形と三角形に分け、それぞれの面積を求めます。
合計したものに８ｍを掛けます。

No.44456 - 2017/07/07(Fri) 22:37:50
☆ Re: 容積 容積の問題 / 下忍乗り
すみません、中心角の求め方や三角形の底辺の求め方もわからないので教えてもらえませんか？(T_T)
No.44498 - 2017/07/08(Sat) 22:54:58
★ (No Subject) / ゆうたろう
この問題の(2)の後半と、
(3)が分かりません。
No.44452 - 2017/07/07(Fri) 17:43:20
☆ Re: / ヨッシー

(1)ＤＭ＝√6
(2)ＤＥ＝√5
までは求められたとして、後半。
△ＤＭＣにおける余弦定理より
　cos∠ＤＭＣ＝√6/4
∠ＢＭＦ＝π/2−∠ＤＭＣ より
　sin∠ＢＭＦ＝cos∠ＤＭＣ＝√6/4　・・・答え
(3)
△ＢＦＭにおいて、∠ＢＦＭ＝π−∠ＢＭＦ−∠ＦＢＭ
正弦定理より
　ＦＭ/sin∠ＦＢＭ＝ＢＭ/sin∠ＢＦＭ
　sin∠ＢＦＭ＝sin(∠ＢＭＦ＋∠ＦＢＭ)＝(√6/8)(1＋√5)
よって、
　ＦＭ＝(√10−√2)/2　・・・答え
△ＣＤＥにおいて
　sin∠ＣＤＥ＝sin(∠ＤＣＥ＋∠ＤＥＣ)＝(√3/8)(√5−1)
正弦定理より
　ＥＣ/sin∠ＣＤＥ＝ＣＤ/sinＤＥＣ
　ＥＣ＝(√5−1)/2
　ＥＭ＝1−ＥＣ＝(3−√5)/2
あとは、
　△ＥＦＭ＝(1/2)ＭＦ・ＭＥsin∠ＥＭＦ
で面積を求めます。
No.44458 - 2017/07/08(Sat) 01:21:38
★ (No Subject) / 名無し
0≦α<π/2,0≦β≦πとする時sinα=cos2βをみたすβをαで表わせという問題なのですがなぜ2β=π/2-α、3π/2+αになるのかイマイチ分かりません。
初歩的な質問で申し訳ないのですがどなたか解説をお願いします。
No.44449 - 2017/07/07(Fri) 10:51:42
☆ Re: / ヨッシー
0°≦ｘ≦360° において
　cosｘ＝cos60°
のとき、ｘ＝60°または ｘ＝300° であるということは分かりますか？
No.44450 - 2017/07/07(Fri) 10:59:22
☆ Re: / 名無し
ご返信ありがとうございます。角度が2つあるので混乱していたみたいです。
No.44451 - 2017/07/07(Fri) 11:21:22
★ 極限値 / あん
これの問題5(2)(4)
を教えていただけないでしょうか
No.44444 - 2017/07/07(Fri) 02:29:41
☆ Re: 極限値 / あん
失礼、問題3の(2)(4)です
No.44445 - 2017/07/07(Fri) 02:30:39
☆ Re: 極限値 / X
(2)
分母分子に√(1+x+x^2)+1をかけましょう。

(4)
ロピタルの定理を使います。
別解)
{1/(3x)}log(1+5x)=(1/3)log{(1+5x)^(1/x)}
と変形し公式(II)が使えるように適当な
置き換えをします。
No.44446 - 2017/07/07(Fri) 05:42:05
☆ Re: 極限値 / あん
(4)の別解の方はどのように置き換えればネイピア数まで持っていけますかね？
No.44447 - 2017/07/07(Fri) 10:20:28
☆ Re: 極限値 / あん
あと遅れて申し訳ありません
Xさんありがとうございます
No.44448 - 2017/07/07(Fri) 10:21:03
☆ Re: 極限値 / X
ごめんなさい。No.44446の(4)ですが誤りがありましたので
直接修正しました。再度ご覧下さい。

>>(4)の別解の方はどのように置き換えればネイピア数まで持っていけますかね？
実は公式(II)をこのまま置き換えで(4)に使う場合、
x→+0,x→-0で場合分けをして極限を計算し
両者が有限確定値であり、かつ等しくなることを
確かめる、といった方針となり、x→-0の場合の
計算が煩雑になります。

それよりは(II)から、補題として
lim[h→0](1+h)^(1/h)=e (A)
を証明した方が多少は楽ですので
まずは(A)を証明することを考えます。
(と言ってもh→+0,h→-0で場合分けが必要ですが)
(i)h→+0について。
1/h=xと置くと
lim[h→+0](1+h)^(1/h)=lim[x→∞](1+1/x)^x=e
(∵)(II)による。
(ii)h→-0について
lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→-0]{1/(1+h)}^(-1/h)
と変形して
1/(1+h)=1+1/x
と置くと
x=-1-1/h
となるので
lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[x→∞](1+1/x)^(x+1)
=lim[x→∞](1+1/x)(1+1/x)^x
=e (∵)(II)による

以上(i)(ii)から(A)は成立しますので
lim[x→0]{1/(3x)}log(1+5x)=lim[x→0](1/3)log{(1+5x)^(1/x)}
=lim[x→0](5/3)log{(1+5x)^{1/(5x)}}
=(5/3)loge
=5/3
No.44454 - 2017/07/07(Fri) 20:07:16
☆ Re: 極限値 / angel
ちなみに(4)って、対数関数の微分そのものだったりします。

一般に f(x)=logx に対して f'(x)=1/x
特に f'(1)=1 ( lim[h→0] 1/h・(log(1+h)-log(1)) = 1 )

これを少しいじって
　lim[x→0] 1/(3x)・( log(1+5x)-log(1) )
　= 5/3・lim[h→0] 1/h・( log(1+h)-log(1) )
ということですね。

Xさんの説明と同じ話が対数関数の微分に出てきます
https://sci-pursuit.com/math/differential-logarithm.html
No.44463 - 2017/07/08(Sat) 10:56:16
★ 展開と因数分解 / 未来
因数分解せよ
(x^2-x+1)(x^2-x-6)+12

=(x^2-x)^2-5(x^2-x)+6
ここまでは出来ましたがこの次がなぜそうなるのかがわかりません…

=(x^2-x-2)(x^2-x-3)
No.44442 - 2017/07/07(Fri) 01:14:54
☆ Re: 展開と因数分解 / らすかる
一旦x^2-xをtとおいてみましょう。
No.44443 - 2017/07/07(Fri) 02:19:47
☆ Re: 展開と因数分解 / 未来
できました！
ありがとうございます(_ _)
No.44460 - 2017/07/08(Sat) 01:41:50
★ 一様分布のたたみこみ / ふぁが
互いに独立な確率変数Xl ，X2 が区間(0， 1 )で一様分布しているとき，確率変数Xl 十 2X2 の密度関数を求めよ

解答を読んでもよくわかりません（とくに、Xの範囲の決め方）。どうぞよろしくお願い致します。

No.44437 - 2017/07/06(Thu) 21:44:56
☆ Re: 一様分布のたたみこみ / angel
x1,x2の両軸が独立で、なおかつ一様分布なので、「ある範囲に(x,y)が収まる確率」というのは、その範囲の面積に他ならないのです。で、全体としては 0＜x1＜1, 0＜x2＜1の1×1の正方形。( x,y軸の代わりにx1,x2軸としたグラフを思い浮かべてください )

なので、その解説にある2重積分も「特定の範囲の面積」と見れば良いのです。
0＜x1＜1, 0＜x2＜1, x1+x2＜X という範囲の。

この範囲は、

・Xが小さいうちは三角形
・Xが少し大きくなると台形
・もっと大きくなると五角形 ( 正方形から隅の三角形を切り落とした形 )→最終的には正方形全体

と、Xに応じて変化していきます。
No.44440 - 2017/07/06(Thu) 22:35:05
☆ Re: 一様分布のたたみこみ / ふぁが
angelさん

返信ありがとうございます。
0＜x1＜1, 0＜x2＜1, x1+x2＜Xを用いて、ｘの範囲を決めることはわかりました。
しかし、例えば、x<=0,2<x<=3という感じでｘの範囲をどのように決めるのかわかりません。

お手数をおかけしますが、どうぞよろしくお願い致します。
No.44457 - 2017/07/07(Fri) 22:53:18
☆ Re: 一様分布のたたみこみ / angel
> しかし、例えば、x<=0,2<x<=3という感じでｘの範囲をどのように決めるのかわかりません。

もちろん、勘で数字を決めている訳ではなくて

> この範囲は、
>
> ・Xが小さいうちは三角形
> ・Xが少し大きくなると台形
> ・もっと大きくなると五角形 ( 正方形から隅の三角形を切り落とした形 )→最終的には正方形全体
>
> と、Xに応じて変化していきます。

というように。グラフ形状を見て、状況がどこで変わるか、で調べているのですよ。
ということで、一度グラフを描いてみましょう。
No.44530 - 2017/07/09(Sun) 20:44:46
★ 高校 数1 / neko
この問題の回答を導き出す過程で、3x^2+6xy+3y^2-10xyと書かれてあるのですが、ここにある6xyと-10xyはどこから来たものなのでしょうか？
いまいち分かりませんでしたので、教えていただけると嬉しいです。

よろしくお願いします。
No.44429 - 2017/07/06(Thu) 20:44:04
☆ Re: 高校 数1 / らすかる
x+yとxyの値を利用して3x^2-4xy+3y^2の値を求めるためには
3(x+y)^2+○xy
という形に変形する必要がありますが、
3(x+y)^2=3x^2+6xy+3y^2ですから
-4xyを6xy-10xyとして
3x^2-4xy+3y^2=3x^2+6xy+3y^2-10xy
と変形したものです。
No.44433 - 2017/07/06(Thu) 21:12:58
☆ Re: 高校 数1 / neko
なるほど。
なんとなく分かりました。

大変助かりました。
ありがとうございます。
No.44434 - 2017/07/06(Thu) 21:41:28
★ 三角関数 / Make it possible with 俺
（2）,（3）をお願いします。
No.44428 - 2017/07/06(Thu) 18:26:13
☆ Re: 三角関数 / X
(2)
(1)の結果により?@は
1-2(sinθ)^2-sinθ=a (A)
これにa=0を代入して整理すると
2(sinθ)^2+sinθ-1=0 (B)
ここで
sinθ=t
と置くと
0≦θ＜2π (C)
により
-1≦t≦1 (D)
で(B)は
2t^2+t-1=0
(D)に注意してこれを解くと…

(3)
(A)において
sinθ=x
と置くと
2x^2+x+a-1=0 (A)'
であり、(C)より
-1≦x≦1 (E)
ここで
x=1,-1のときx、θは1対1に対応し、
-1＜x＜1のときxの値一つにθの値二つが対応する
ことに注意すると、題意を満たすためには
次のいずれかにならなければなりません。
(i)(A)の解がx=1,-1となる。
(ii)(A)が-1＜x＜1の範囲に解を一つのみ持ち、かつ
x=1,-1を解に持たない。

(i)の場合は(A)'に関する解と係数の関係から
不適となります。
(ii)の場合は
y=2x^2+x+a-1
のグラフとx軸との交点が
-1＜x＜1
の範囲にひとつだけあり、かつ
x=1,-1
が交点のx座標とならない条件を
考えます。
No.44435 - 2017/07/06(Thu) 21:41:54
★ 数列 / Make it possible with 俺
（2）,（3）をお願いします。
No.44427 - 2017/07/06(Thu) 18:25:29
☆ Re: 数列 / X
(2)
前半)
(1)の結果を使ってまずa[n]を求めます。
後はΣの公式を使うことを考えましょう。
後半)
2016÷3=672
により1から2016までの間に3で割って1,2余る値
の個数は…

(3)
前半)
条件から
S[1]=a[1]b[1]+a[2]b[2]+a[3]b[3]
=…
後半)
3k-2=3(k-1)+1
3k-1=3(k-1)+2
により
b[3k-2]=1
b[3k-1]=2
又、
b[3k]=0
これと(2)の前半の過程で求めたa[n]を使うと…
No.44432 - 2017/07/06(Thu) 21:09:49
★ 複素数と方程式 / Make it possible with 俺
（2）,（3）をお願いします。
No.44425 - 2017/07/06(Thu) 18:24:18
☆ Re: 複素数と方程式 / Make it possible with 俺
こちらです。
No.44426 - 2017/07/06(Thu) 18:24:52
☆ Re: 複素数と方程式 / X
(2)
(1)の結果から因数定理により
P(x)はx-aを因数に持つ
ことが分かります。
そこでP(x)を展開し、x-aで実際に割り算を実行しましょう。

(3)
前半)
(2)の結果により
P(x)=(x-a)g(x)
(g(x)は、ある二次式)
の形に因数分解できます。
従ってP(x)=0の解は
xの二次方程式g(x)=0 (A)
の解と
x=a
ここで(A)の二つの解の和は解と係数の関係で
求められますので、三つの解の和が-3であること
から、a,bについての方程式を導くことが
できます。

後半)
前半の結果を使って(A)からbを消去した上で
次の場合分けをして、aについての方程式を立てます。
(i)(A)がx≠aなる重解を持つとき
((A)の解の判別式に対する条件を考えます)
(ii)(A)がx=aを解に持ち、尚且つ重解とならないとき
((A)にx=aを代入します)
No.44431 - 2017/07/06(Thu) 21:03:35
★ 図形と方程式 / Make it possible with 俺
（1）〜（3）までお願いします。
No.44424 - 2017/07/06(Thu) 18:23:06
☆ Re: 図形と方程式 / X
(1)
Kが点A,Bを通ることから、a,bについての
連立方程式を立てます。

(2)
前半)
(1)の結果をKの方程式に代入し、円の方程式の形に
変形しましょう。
後半)
Kの中心をO'とすると、
l⊥線分BO'
このことからlの傾きを求めることを考えます。

(3)
直線CDに平行となるようなKの接線を考えると
求める点Pはこの接線の内、直線CDに近い方の
接点となります。
そこで点Pにおける直線CDと平行なKの接線を
mとし、mのy切片をkとしてmの方程式をkで
表し、mとKの方程式からyを消去してできる
xの二次方程式に対する解の判別式についての
条件を考えましょう。
No.44430 - 2017/07/06(Thu) 20:54:00
★ (No Subject) / 名無し
この問題の（2）の解説でtan2θ=2になるとあるのですが、なぜ2になるのか分かりません。tan2θは分かるのですが右辺の2はなんなのでしょうか？
お願いします。
No.44421 - 2017/07/06(Thu) 15:37:45
☆ Re: / らすかる
y=2xの2ですね。
No.44422 - 2017/07/06(Thu) 16:34:42
☆ Re: / 名無し
見落としていました、しょうもないミスですみません…ありがとうございます。
No.44423 - 2017/07/06(Thu) 17:49:36
★ 関西大 過去問 / 井上
cos2x+2ksinx+k-4=0(0≦x≦π)の異なる解の個数が2つであるためのkのみたす条件を数三の微分を用いてt=sinxと置かずに解く方法で解答解説お願いします
No.44420 - 2017/07/06(Thu) 15:21:17
☆ Re: 関西大 過去問 / X
問題の方程式から
(2sinx+1)k=-cos2x+4
ここで
0≦x≦π (A)
により
2sinx+1≠0
∴k=(-cos2x+4)/(2sinx+1)
そこで
f(x)=(-cos2x+4)/(2sinx+1)
と置いて、(A)におけるf(x)の増減表を書き
(A)におけるy=f(x)のグラフと直線y=kの
交点の個数がkの値によってどう変化するのか
を考えます。
No.44438 - 2017/07/06(Thu) 21:46:34
★ 整数 / 名無し
70の解き方教えてください
解答）nは10個、nの最大値は89
よろしくお願いします
No.44413 - 2017/07/05(Wed) 23:48:47
☆ Re: 整数 / 名無し
これが解説ですが読んでも分からないです…。
n^2を5でわると1余るというのが、n^2=(4a+1)^2になるところからわかりません
No.44414 - 2017/07/05(Wed) 23:50:48
☆ Re: 整数 / 名無し
すみません、画像つけ忘れました
これが解答です、よろしくお願いします
No.44415 - 2017/07/05(Wed) 23:51:52
☆ Re: 整数 / らすかる
n^2を5でわると1余るからn^2=(4a+1)^2になるのではありません。

・nを4で割ると1余る→n=4a+1と書ける
・n=4a+1ならば当然n^2=(4a+1)^2
・(4a+1)^2=5(3a^2+a)+a^2+3a+1であり、n^2は5で割ると1余るから、a^2+3aは5の倍数
ということです。
No.44416 - 2017/07/05(Wed) 23:57:25
☆ Re: 整数 / angel
えっと、先に力技から。

最悪、綺麗に計算なんてできなくて良いんです。全部列挙しちゃえばいいんです。
ただ、流石に100個は試せないからある程度はパターンで見ましょう、というところさせ意識すれば。

問題としては「4で割ると」「5で割ると」の2種類の条件なので、4,5の最小公倍数20から「20で割った余りがどうか?」を見れば十分です。

例えば 9 は、9÷4=2...1, 9^2÷5=16...1 で条件を満たします。
すると、9 に20を ( 何個でもいいから ) 足した数も条件を満たすのです。
実際、
　9+20k = 4・5k+9 → 4で割ると1余る
　(9+20k)^2 = 400k^2+40k・9+9^2 = 5・80k^2+5・8k・9+9^2 → 二乗を5で割ると1余る

なので、1〜20の範囲で調べてみて、条件を満たす数字を見つけたら、あとは20を足していくだけです。

で、1〜20の範囲では 1,9 が条件を満たすので、
全部で
　1,9,21,29,41,49,61,69,81,89
の10個ということです。
1〜100だと20個の周期がちょうど5周期とれるので、2×5=10個でも良いですね。
No.44417 - 2017/07/06(Thu) 00:02:21
☆ Re: 整数 / 名無し
angelさん、そういう解き方もあるんですね、ありがとうございます！

2枚目の画像なんですが、n^2=5(3a^2+a)+a^2+3a+1がa(a+3)となってるのはどうしてなのでしょうか？普通に分解すればa(3a+1)かなと思ったので…
No.44439 - 2017/07/06(Thu) 22:18:01
☆ Re: 整数 / らすかる
5の倍数かどうかが問題になるのは
カッコ内の3a^2+aではなく、カッコの後のa^2+3aの部分です。
a^2+3a=a(a+3)ですね。
No.44441 - 2017/07/06(Thu) 23:30:04
★ (No Subject) / ゆうたろう
すいません。もう1度質問させて下さい。
(3)が分からないのですが、
(3)は、直角三角形OABを作ると書いてあるのですが、∠Aが直角である、という意味なのか、ほかの角が直角でもいいのか分かりません。下側に書いてあるのは、
自分の答えです。
No.44411 - 2017/07/05(Wed) 22:42:12
☆ Re: / らすかる
∠Aが直角とは書かれていませんので、∠Aまたは∠Bが直角ということになりますね。
y=-(3/4)x+(15/4)は正しいですが、y=-(3/4)x+(5/4)は辺OA,OBと接しませんので
正しくありません。もう一つはx=3ですね。
No.44412 - 2017/07/05(Wed) 22:48:24
☆ Re: / ゆうたろう
そうなんですね。
ありがとうございました。
以前答えて下さった方も
ありがとうございます。
No.44418 - 2017/07/06(Thu) 06:49:04
★ (No Subject) / あ
iは虚数単位とする
cosiは実数か

できれば高校数学の範囲で解いてください
No.44405 - 2017/07/05(Wed) 20:22:58
☆ Re: / IT
高校数学では、cosx は xが実数の場合しか定義されてないので「高校数学の範囲で解くこと」は不可能（というかナンセンス）だと思います。
No.44407 - 2017/07/05(Wed) 20:28:11
☆ Re: / angel
というか、
　cosz=( e^(iz)+e^(-iz) )/2
なので、cosi が実数なのはtrivialかと…。
No.44408 - 2017/07/05(Wed) 20:58:30
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