ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極座標の応用 / がん

この写真の（２）の解答の方針を教えてください。求める値に含まれているＯＰやＯＱは二乗です。（見えにくくてすみません。）
答えは３（a^2+b^2)/2a^2b^2
です。
よろしくお願いします。

※問題は代々木ライブラリーの萩野の勇者を育てる数学?V（三訂）です。（５３ページ）

No.43464 - 2017/05/30(Tue) 09:17:30

☆ Re: 極座標の応用 / ヨッシー

(1) で
　r^2(cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2)＝1
　
を出したと思います。
Ｐの偏角をθ とすると、Ｑ，Ｒの偏角は
　θ＋2π/3, θ－2π/3
と書けます。すると
　ＯＰ^2(cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2)＝1
　ＯＱ^2{cos^2(θ＋2π/3)/a^2＋sin^2(θ＋2π/3)/b^2)＝1
　ＯＲ^2{cos^2(θ－2π/3)/a^2＋sin^2(θ－2π/3)/b^2)＝1
よって、
　Ｓ＝1/ＯＰ^2＋1/ＯＱ^2＋1/ＯＲ^2
とおくと、
　Ｓ＝cos^2θ/a^2＋sin^2θ/b^2＋cos^2(θ＋2π/3)/a^2＋sin^2(θ＋2π/3)/b^2＋cos^2(θ－2π/3)/a^2＋sin^2(θ－2π/3)/b^2
これを変形していきます。

No.43465 - 2017/05/30(Tue) 13:13:20

☆ Re: 極座標の応用 / がん

ヨッシーさんありがとうございます。これを踏まえてもう一度やってみます！

No.43483 - 2017/05/31(Wed) 15:52:48

★ (No Subject) / 名無し

出来れば今日中に願いたいのですが、
A=
【1 0】
【1 1】とするとき、次の等式を満たす行列Xをすべて求めよ。という問題で答えは分かっていて、解き方も載っていたのですが、画像のように連立にして解くというやり方で、
これを解けば答えになるのですが、
いまいち解き方が分かりません。解き方、または別の簡単な解き方があれば是非教えて下さい。
Xは
【a b】
【c d】としています。

No.43455 - 2017/05/29(Mon) 20:30:02

☆ Re: / 名無し

計算過程です。

No.43456 - 2017/05/29(Mon) 20:31:20

☆ Re: / noname

問題文を正確にお書きください．また，ご不明な点は画像にある2つの解答例のうち後者(画像を見て右側の方のもの)にある連立方程式の解き方に関してでしょうか？

No.43457 - 2017/05/29(Mon) 21:05:46

☆ Re: / 名無し

(X+A)(X-A)=0を満たす行列Xをすべて求めよ。という問題です。不明な点は画像を見て分かる通り、後者です。

No.43461 - 2017/05/29(Mon) 22:04:05

★ (No Subject) / K

次の初期値問題を解いてください
x^3y'''+xy'-y=8x^3 y(1)=0,y'(1)=0, y''(1)=0

No.43449 - 2017/05/29(Mon) 09:40:00

☆ Re: / WIZ

(x^3)y'''+xy'-y = 8(x^3)
⇒ x{(x^2)y'''+y'-8(x^2)} = y

w = (x^2)y'''+y'-8(x^2)とおけば、y = xwです。

y' = xw'+w
y'' = xw''+2w'
y''' = xw'''+3w''
⇒ (x^3)(xw'''+3w'')+x(xw'+w)-xw = 8(x^3)
⇒ (x^4)w'''+3(x^3)w''+(x^2)w' = 8(x^3)
⇒ (x^2)w'''+3xw''+w' = 8x

上記はw'に関する非同次な2階微分方程式です。

先ず、同次2階微分方程式(x^2)w'''+3xw''+w' = 0の解を求めます。
経験的に(!)これは、Aを任意定数、aを定数としてw' = A(x^a)形の解を持つので、
(x^2)w'''+3xw''+w'
= (x^2)Aa(a-1)(x^(a-2))+3xAa(x^(a-1))+A(x^a)
= A(x^a)(a^2+2a+1)
= 0
よって、a = -1とすれば良いです。

もう一つ、w' = A(x^(-1))と独立な解を求めます。
Bを任意定数、uをxの関数として、w' = u/xが解であるとします。
w'' = u'/x-u/(x^2)
w''' = u''/x-2u'/(x^2)+2u/(x^3)
よって、
(x^2)w'''+3xw''+w'
= (x^2){u''/x-2u'/(x^2)+2u/(x^3)}+3x{u'/x-u/(x^2)}+u/x
= {u''x-2u'+2u/x}+{3u'-3u/x}+u/x
= u''x+u' = (u'x)' = 0
⇒ u'x = B (Bは任意定数)
⇒ u' = B/x
⇒ u = B*log(x)

よって、w' = B*log(x)/xも(x^2)w'''+3xw''+w' = 0の解です。
# きちんと確認してませんが、A/xとB*log(x)/xは1次独立だと思います。

一般解は
w' = A/x+B*log(x)/x
⇒ w = -A/(x^2)+(B/2)(log(x)^2)+C (Cは任意定数)

a = -A, b = B/2, c = Cとおけば、a, b, cも任意定数で、y = a/x+bx(log(x)^2)+cxとなります。
# 計算間違いしている可能性がありますので、スレ主さんにて良く検算してみてください。

No.43451 - 2017/05/29(Mon) 13:28:57

★ (No Subject) / すくすく

正方形Sがあり、中にn^2個の合同な正方形A(1),A(2),A(3),…,A(n^2)が並んでいる。このとき、正方形A(1),A(2),A(3),…,A(n^2)に1からn^2までの数を適当に1つずつ入れていったとき、縦横で隣り合う2数の差の最小値aがn>=aとなる事を示せ。
↑この証明が全く思いつきません。解答を知ってる方、解法のヒントになりそうな事がある方、何か書いていただけると助かります。

No.43442 - 2017/05/28(Sun) 22:22:33

☆ Re: / らすかる

問題が曖昧ですが、図でもあるのでしょうか。
例えば一辺の大きさがn^2の正方形の中に、ある一辺に沿って
一辺の大きさが1の正方形がn^2個一列に並んでいるような
状態も考えられます。
よってこの問題文だけでは並び方がよくわかりませんが、
もし合同な正方形が縦横にn個ずつ並んでいたとしても
「縦横で隣り合う2数の差の最小値aがn≧a」は成り立たないと思います。
反例(n=4)
01 09 02 10
11 03 12 04
05 13 06 14
15 07 16 08

No.43447 - 2017/05/28(Sun) 23:44:38

★ 図形 / マヤ

画像の問題ですが。解法が思いつきません。
何通りかありましたら教えてください。

No.43432 - 2017/05/28(Sun) 20:11:08

☆ Re: 図形 / らすかる

PからABに垂線PHを下ろし、PQ=2x,PH=y,(台形の面積)=Sとすると
x^2+y^2=r^2,S=(x+r)y
S＞0なので「面積が最大」⇔「面積の2乗が最大」
S^2=(x+r)^2・y^2=(x+r)^2(r^2-x^2)
{S^2}'=2(x+r)(r^2-x^2)+(x+r)^2・(-2x)
=2(x+r)^2(r-2x)
なのでS^2は2x＜rで増加、2x=rで極大値をとり2x＞rで減少
従ってPQ=2x=r=AB/2のとき面積が最大になり、
このとき∠PAB=π/3

No.43437 - 2017/05/28(Sun) 21:09:09

☆ Re: 図形 / WIZ

# 既にもっと見通しの良い回答が付いているのですが、
# 一生懸命計算したので別解として書き込んでおきます。

∠PAB = xとおきます。

ABの中点をOとすると、OA = OP = OQ = OB = rです。
よって、△OAPと△OBQは合同な2等辺三角形で、∠PAO = ∠APO = ∠OBQ = ∠OQB = xとなります。

また、∠AOP = ∠BOQ = π-2xですので、
台形の高さは、r*sin(∠AOP) = r*sin(π-2x) = r*sin(2x)となり、
{△OAPの面積} = {△OBQの面積} = (r^2)sin(2x)/2となります。

PQの中点をTとすると、
∠AOP = ∠BOQの錯角ですから、∠OPT = ∠OQT = π-2xとなります。
すると、(PT) = (QT) = r*cos(π-2x) = -r*cos(2x)となり、
{△OPTの面積} = {△OQTの面積} = (-r*cos(2x))(r*sin(2x))/2 = -(r^2)cos(2x)sin(2x)/2です。

台形の面積をS(x)とすると、
S(x) = {△OAPの面積}+{△OBQの面積}+{△OPTの面積}+{△OQTの面積}
= 2(r^2)sin(2x)/2-2(r^2)cos(2x)sin(2x)/2
= (r^2)sin(2x){1-cos(2x)}

S'(x) = (r^2)*2cos(2x){1-cos(2x)}+(r^2)sin(2x)*2sin(2x)
= 2(r^2){cos(2x)-cos(2x)^2+sin(2x)^2}
= 2(r^2){1+cos(2x)-2cos(2x)^2}
= 2(r^2)(1-cos(2x))(1+2cos(2x))

ここで、図よりπ/4 < x = ∠PAB < π/2なので、π/2 < 2x < πです。
π/2 < 2x < πで、cos(2x) < 0なので、1-cos(2x) > 0です。

π/2 < 2x < 2π/3で、1+2cos(2x) > 0つまりS'(x) > 0なので、S(x)は増加。
2x = 2π/3で、1+2cos(2x) = 0つまりS'(x) = 0なので、S(x)は極大。
2π/3 < 2x < πで、1+2cos(2x) < 0つまりS'(x) < 0なので、S(x)は減少。

以上から、2x = 2π/3、つまりx = ∠PAB = π/3で台形の面積は最大になります。

No.43439 - 2017/05/28(Sun) 21:51:11

☆ Re: 図形 / らすかる

参考別解（幾何学的解法）※概略のみ

弧ABの三等分点のうちAに近い方をC,Bに近い方をDとする。
PQ≠CDのとき
△PAQ＜△CAQから台形PABQ＜四角形CABQ
△QCB＜△DCBから四角形CABQ＜台形CABD
よってPQがCDに一致しない場合は台形PABQ＜台形CABDなので
PQがCDに一致する場合が最大で、このとき∠PAB=π/3

# 「円に内接するn角形のうち面積最大のものは正n角形」
# も上記の手法を使って幾何学的に証明できます。

No.43444 - 2017/05/28(Sun) 23:26:46

☆ Re: 図形 / マヤ

丁寧にありがとうございます。
様々な解法が学べました。
本当にありがとうございました！

No.43454 - 2017/05/29(Mon) 18:23:55

★ (No Subject) / 名無し

A=
a 2
0 a
と可換な行列をすべて求めよ、という問題で答えは
B=
b c
d e
とおくと
B=
b c
0 b
になるらしいのですが、
b=eになるので、正確には
e c
0 e
も答えになるのではないですか？問題はすべて答えよ、と書いてあるので少し疑問をもちました。

No.43430 - 2017/05/28(Sun) 19:20:58

☆ Re: / noname

>も答えになるのではないですか？問題はすべて答えよ、と書いてあるので少し疑問をもちました。

見た目は両方の答えは異なる様に思えるかもしれませんが，どちらも同じ答えです．例えば，3で割ると1余る様な整数を全て求めよという問いであれば，答えは3n+1(nは任意の整数)ですが，このnの代わりにmを使って3m+1(mは任意の整数)の様に解答してもよいのです．重要なのは，解答すべきことが解答出来ているかどうかです．

No.43441 - 2017/05/28(Sun) 22:13:59

★ 仕事算 / キルキン

画像のような仕事算を最小公倍数を使って解いている問題を、全体の仕事量を1とした解法で解くにはどうすれば良いでしょうか。

この教材がほとんど最小公倍数を使っているのですが、全体を1とする方が応用がきく気がするので。

公式を理解しているはずなのに、仕事算や割合、速度算がとにかく苦手なのですが、もう地道に同じような問題を繰り返し何十回も解くしかないのでしょうか。

No.43427 - 2017/05/28(Sun) 17:17:14

☆ Re: 仕事算 / WIZ

問題か解説がおかしくないですか?
36/(4+3+2) = 36/9 = 4であり、商3余り3にはならないですよね?
従って、最後の日はCが2/36 = 1/18の量の仕事をするということになりますよね?

全体を1にするのなら、Aは9日かかるから1日当たり1/9、
同様にBは1日当たり1/12、Cは1日当たり1/18の仕事をすることになります。
A, B, Cの順で1人ずつ交代で仕事をすると、3日で1/9+1/12+1/18 = 1/4で、
丁度4順(?)で全体の1に達するので、やはり最後の日はCで1/18となりますね。

No.43428 - 2017/05/28(Sun) 18:03:28

☆ 相似 / キルキン

ありがとうございます、3日で1/4になると計算できればわかりやすいですね。
こういった発想ができないため、なかなか応用がきかず、どうしたらこの手のSPI的問題ができるようになるか困っております。。
確かに、解説がおかしいですね。ネットの小学生向けサイトなので間違っているようです。

No.43433 - 2017/05/28(Sun) 20:19:15

★ (No Subject) / 名無し

すいません、(2)の質問ですが、頂点ってどうやって出せば良いのですか？
あと、私の認識が間違っていなければ、(2)は『もしg=mがグラフだった場合どんな放物線になるのか、そして最小値はどこなのか』であってますよね？
よろしくお願いします。

No.43418 - 2017/05/28(Sun) 12:25:15

☆ Re: / X

>>(2)は『もしg=mがグラフだった場合～
間違っています。
(2)は
mの関数gの最小値を求めよ。
ということです。
つまり(1)の結果を使い、横軸にm、縦軸にgを
取ったグラフ(（添付されている画像の右下
のグラフですね)を描いてgの最小値を求める
のが方針になります。
このグラフは(1)の結果によりmの値の範囲
によって場合分けして描かれており、放物線
となっているのは飽くまで「グラフの一部」
です。

このグラフを描くに当たり注意することは
場合分けしているmの値の範囲において、
対応しているgがmの二次関数であるとき
頂点がそのmの値の範囲に含まれているか否か
ということです。
この問題においては
m＜-7/2 (A)のとき
g=m^2+8m+10
ですがこれは
g=(m+4)^2-6
により頂点のm座標は-4となり
(A)に含まれています。

No.43425 - 2017/05/28(Sun) 13:20:22

★ 極限 / ももか

こんにちは。以下の問題を教えて下さい。
2つの数列｛an｝,｛bn｝が、a1≦a2≦・・・≦an≦・・・≦bn≦・・・≦b2≦b1でbn-an→0（n→∞）を満たすならば、lim｛n→∞｝an＝lim｛n→∞｝bnとなることを示せ。
と言う問題です。
感覚的にはわかるのですが、どう示したら良いのでしょうか？

No.43417 - 2017/05/28(Sun) 12:09:32

☆ Re: 極限 / X

方針を。
a[1]≦a[2]≦・・・≦a[n]≦・・・≦b[n]≦・・・≦b[2]≦b[1]
から
{a[n]}は上に有界な単調増加列
{b[n]}は下に有界な単調減少列
ですのでいずれも極限を持ちます。
後は
lim[n→∞]a[n]=α
lim[n→∞]b[n]=β
(α、βは有限確定値)
と置いて
α=β
を示します。

No.43421 - 2017/05/28(Sun) 12:58:18

★ 数列 / 名無し

画像の問題の解き方が分かりません。お願いします！

No.43411 - 2017/05/28(Sun) 11:20:18

☆ Re: 数列 / WIZ

a[n] = (1-2+3-4+・・・-2n)/√(n^2-1)とおきます。

a[n] = {(Σ[k=1, n]{2k-1})-(Σ[k=1, n]{2k})}/√(n^2+1)
= {(2n(n+1)/2-n)-(2n(n+1)/2)}/√(n^2+1)
= -n/√(n^2+1)
= -1/√(1+1/(n~2))

n→∞のとき、a[n]→-1となります。

No.43412 - 2017/05/28(Sun) 11:39:18

☆ Re: 数列 / 名無し

2行目の計算は思い付くしかないのですか？
また、3行目の式はなぜそういう感じになるのですか？どう変形したのですか。

No.43415 - 2017/05/28(Sun) 11:53:11

☆ Re: 数列 / 名無し

3行目というのは、((2n(n+1)/…という部分です、

No.43416 - 2017/05/28(Sun) 11:55:14

☆ Re: 数列 / WIZ

数学に限らず、どんな問題でも何かしら思い付かないと解けないと思いますよ。

> 2行目の計算は思い付くしかないのですか？

1-2+3-4+・・・-2n から (Σ[k=1, n]{2k-1})-(Σ[k=1, n]{2k}) への変形ですね?
等差数列の和の公式(?)を使うため、正の項と負の項に分けて和を取っただけです。
(1+3+・・・+(2n-1))-(2+4+・・・+(2n))という風に変形した訳ですね。

> また、3行目の式はなぜそういう感じになるのですか？どう変形したのですか。
> 3行目というのは、((2n(n+1)/…という部分です、

(Σ[k=1, n]{2k-1})-(Σ[k=1, n]{2k}) から (2n(n+1)/2-n)-(2n(n+1)/2) への変形ですね?

Σ[k=1, n]{2k-1} = 1+3+・・・+(2n-1)
Σ[k=1, n]{2k} = 2+4+・・・+(2n)
だから、等差数列の和の公式(?)を使っても良かったのですが、私は、
Σ[k=1, n]{2k-1} = 2(Σ[k=1, n]k)-(Σ[k=1, n]1) = 2(n(n+1)/2)-n
Σ[k=1, n]{2k} = 2(Σ[k=1, n]k) = 2(n(n+1)/2)
と変形してしまいました。

Σ[k=1, n]k = n(n+1)/2 と Σ[k=1, n]1 = n が思い付けないと、厳しい変形だったかもしれません。

No.43426 - 2017/05/28(Sun) 13:24:07

★ (No Subject) / 名無し

すいません、
(1)の質問ですが
回答としては

a<0のとき
最小値　４（x=0）

0≦a<3/2,3/2<a≦3のとき
最小値　-a^2+4 (x=a)

a=3/2のとき
最小値7/4 (x=3/2)

a>3のとき　
最小値-6a+13 (x=3)

でもいいでしょうか？
よろしくおねがいします

No.43407 - 2017/05/28(Sun) 07:01:31

☆ Re: / X

書き方としてはそれでも問題ありません。
(間違ってはいませんので。)
只、
a=3/2のとき (A)
の最小値は
0≦a<3/2,3/2<a≦3のとき (B)
の最小値にa=3/2を代入した値と
等しくなっていますので、
(A)(B)をまとめて
0≦a≦3のとき
の最小値を答えておいた方が
合理的です。
(実際、模範解答ではそうなっています。)

No.43408 - 2017/05/28(Sun) 11:15:40

★ (No Subject) / 名無し

すいません、グラフの質問なのですが、(1)の解答に『1<a<3のとき』とありますが、どうして『1<a』としないといけないのですか？問題文には『a>1とする』ってかいてあるじゃないですか..

よろしくお願いします。

No.43401 - 2017/05/27(Sat) 19:32:01

☆ Re: / angel

いや、気分的には確かに要らないと思いますが。

ただ、問題の解答ってのは「このように解けます」ということを、他の人に説明するものでもあるので。
単に a＜3 と書いた場合、
　・a＞1 という前提があるので 1＜a＜3 から省略している
　・a＞1 という前提を忘れて話をしている
のどちらかを悩ませてしまう ( 誤解させる恐れがある ) という意味で、私は1＜a＜3の方で書くようにしていますね。

No.43403 - 2017/05/27(Sat) 20:33:56