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★ (No Subject) / 学ぶ
全ての実数値xに対して-2<(ax^2+2x-1)/(x^2+1)<1が成り立つときの定数aの範囲を教えてください
No.44325 - 2017/07/02(Sun) 23:05:08
☆ Re: / らすかる
x^2+1＞0だから辺々x^2+1を掛けて
-2x^2-2＜ax^2+2x-1＜x^2+1
-2x^2-2＜ax^2+2x-1 から
(a+2)x^2+2x+1＞0
これが常に成り立つためには
a+2＞0 かつ D/4=-a-1＜0
∴a＞-1
ax^2+2x-1＜x^2+1 から
(a-1)x^2+2x-2＜0
これが常に成り立つためには
a-1＜0 かつ D/4=2a-1＜0
∴a＜1/2
従って求めるaの範囲は -1＜a＜1/2
No.44326 - 2017/07/03(Mon) 01:11:13
★ 連立不等式の応用(解の判別) / 柴犬
2つの2次方程式x^2+mx+m=0･･･?@,x^2-2mx+m+6=0･･･?Aがある。?@?Aの少なくとも一方が実数解をもつように、定数mの値の範囲を求めよ。

答え
m≦0,3≦m

この問題の?@?Aの少なくとも一方が実数解をもつのは?@の判別式Dが0以上または、?Aの判別式Dが０以上ときであるというのがなぜなのか分かりません。
解説お願い致します。
No.44320 - 2017/07/02(Sun) 16:08:40
☆ Re: 連立不等式の応用(解の判別) / X
教科書で二次方程式の解の判別式の項目を復習しましょう。
その上で分からないようであればその旨をアップして
下さい。
No.44321 - 2017/07/02(Sun) 17:04:07
★ (No Subject) / 名無し
この問題の（3）なのですが?@はy軸と一致することはなく?Aは直線y=2と一致することはないので点（0.2）は含まれないとあるのですがイマイチ理解できません。
また、円周角と中心角の関係から交点PはABを直径の両端とするとあるのですが円周角と中心角の関係をどう利用したのか分かりません。
初歩的な質問で申し訳ないのですがお願いします。
No.44317 - 2017/07/02(Sun) 14:39:32
☆ Re: / ググ
まず「?@はy軸と一致することはなく」についてですが

* y軸を表す式は x = 0
* 式?@において、mがどんな値でも x = 0 という式になることはない

ということが分かっていれば?@がy軸と一致することはないことが理解できると思います


(2)で証明したのは∠APB=90°という事実です
AとBは定点で点Pはmを変えると色々動き回りますが、常にこの関係式∠APB=90°は成り立っているということです

ABの中心をMとすると∠AMB=180°なので
∠AMB = 2∠APB
ですこれは中心MでA,Bを通る円周上に点Pがあることを意味します（円周角と中心角の関係、の逆ですね）
No.44318 - 2017/07/02(Sun) 15:37:10
☆ Re: / 名無し
ご返信ありがとうございます。円周角と中心角の関係は理解できました。
?@がx=0にならないのはx,y=0になって線にならないから、で合ってるでしょうか？
それと?Aが直線y=2と一致することはないと書いてあるのですが何故なのか分かりません…
重ね重ね申し訳ないのですがお願いします。
No.44322 - 2017/07/02(Sun) 19:07:35
☆ Re: / ググ
違います。なんとなく何を誤解されているのかが分かってきました

たとえば直線y=2xと書いたときは「平面上の点(x,y)でy=2xの関係式を満たすもの全体」という意味であることに注意してください

今考えているのは「直線x=0」であり、これは
* 変数xが0に等しい
という意味ではありません。たぶんそう誤解してますよね？
これは「平面上の点(x,y)でx=0の関係式を満たすもの全体」を意味します。たとえば(0,1)や(0,2)や(0,√2)や(0,-0.5)などのことです

慣れてくるとどうということはないのですが、慣れるまでは
x=0 (xという変数が0に等しい、ことを意味する等式)
と
直線x=0（意味は上に書いたとおり）
を意識的に区別して考えたほうがいいです

なので「?@がx=0にならないのはx,y=0になって線にならないから」というのは誤りで「mをパラメータにもつ直線の式?@において、mがどんな実数値を取ろうとも、式?@は『直線x=0』にはならないから」が正しいです

実際m=1なら?@は直線y=xになりますし
m=2なら?@は直線y=2xになります
m=√2なら?@は直線y=(√2)xになります
m=-0.5なら?@は直線y=-0.5xになります
どんなmを代入しても?@が直線x=0になることはありませんね？
No.44324 - 2017/07/02(Sun) 21:09:52
☆ Re: / 名無し
ようやく理解できました、ご丁寧にありがとうございます。
No.44328 - 2017/07/03(Mon) 09:27:37
★ (No Subject) / 名無し
すいません、(2)についてですが、
No.44311 - 2017/07/02(Sun) 13:44:14
☆ Re: / 名無し
私の場合、最後「実数のときは、3a+4/13=0より　a=-4/3

純虚数のときは、6-2a/13=0かつ、3a+4/13≠0よりa=3」

と書きましたが、それでも大丈夫ですよね？

よろしくお願いします。
No.44312 - 2017/07/02(Sun) 13:47:59
☆ Re: / angel
自信がありませんか?

別に一言一句、数式も含めて模範解答と同じである必要はありませんからね。別に問題ないです。
No.44323 - 2017/07/02(Sun) 19:46:04
★ 円周角 / 名無し
59の∠BOCの考え方を教えていただきたいです
ちなみに解答は
∠BAD=90°、∠BAC=14°、∠BOC=28° です
よろしくお願いします
No.44310 - 2017/07/02(Sun) 12:40:27
☆ Re: 円周角 / X
∠BADは円Oの直径が作る角、つまり180°に対する
円周角なので
∠BAD=(1/2)×180[°]=90[°]
又、円周角により
∠CAD=∠CBD=76[°]
よって
∠BAC=∠BAD-∠CAD=14[°]
∠BACは扇形BOCの中心角∠BOCに対応する円周角なので
∠BOC=2×∠BAC=28[°]
No.44315 - 2017/07/02(Sun) 13:53:36
★ (No Subject) / キルキン
パテ埋めさん、出張で拝見するのが遅くなりましたがご回答ありがとうございました。

やはり仕事算については、類題をたくさん解いて慣れるしかないのでしょうね。
どうしても解く際になると、どういう順序で立式して良いのか、全く整理ができなくなってしまいのですが、慣れるまで頑張ります。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=43999
No.44307 - 2017/07/02(Sun) 11:42:24
★ (No Subject) / 名無し
すいません、36の(1)の(イ)についてですが、
No.44305 - 2017/07/02(Sun) 11:15:55
☆ Re: / 名無し
すいません、こちらを√(2)を有理化しても問題ありませんよね？

あと端っこの方に書いてありましたが、√(b)/√(a)=√(a/b)となるのはa>0またはb≦0のとき
とありました

a>0になるのはわかりますが、どうしてb≦0とならなければならないのですか？

よろしくお願いします。
No.44306 - 2017/07/02(Sun) 11:21:01
☆ Re: / IT
> あと端っこの方に書いてありましたが、√(b)/√(a)=√(a/b)となるのはa>0またはb≦0のとき
> とありました
√(b)/√(a)=√(b/a) では？

>
> a>0になるのはわかりますが、どうしてb≦0とならなければならないのですか？

a,b 具体的な値のとき,どうなるか調べてみると納得しやすいのでは？
No.44309 - 2017/07/02(Sun) 12:12:42
★ (No Subject) / 名無し
すいません、こちらは34の(2)なのですが、
No.44296 - 2017/07/02(Sun) 06:25:49
☆ Re: / 名無し
ここで「0≦lxl<1,0≦lyl<1より」とありますが

0って必要ありますか？

よろしくお願いします。
No.44298 - 2017/07/02(Sun) 06:30:29
☆ Re: / X
(1-x^2)(1-y^2)＞0
を証明するのに0が必要なのか
という意味であれば、必要ありません。
しかし
＞＞0≦lxl<1,0≦lyl<1
が問題で与えられている条件であれば
敢えてそれに言及する必要はありません。
(あってもなくても同じですので)
No.44302 - 2017/07/02(Sun) 08:17:01
☆ Re: / 名無し
こちらです、よろしくお願いします。
No.44303 - 2017/07/02(Sun) 08:34:27
☆ Re: / X
lxl<1⇔0≦lxl<1
lyl<1⇔0≦lyl<1
ですので、「解答としては」間違っていません。
No.44304 - 2017/07/02(Sun) 10:23:48
☆ Re: / 名無し
えっと、ではすいません、

なくても大丈夫ですよね。。。？

本当に申し訳有りません、よろしくお願いします。
No.44314 - 2017/07/02(Sun) 13:49:37
☆ Re: / angel
> なくても大丈夫ですよね。。。？

まあ大丈夫ですね。


ただそこは、こちら ( 少なくとも私 ) には答え辛い面があって。
ないとダメか、なくても大丈夫か、の結論だけあってもあんまり意味がないんです。

質問者の方は自信がないのかも知れませんが、「0≦」が不要でも筋が通るという考えあって質問されたのではないですか?

その感覚はおそらく間違ってないのですが、大事なのは「本人の中で筋の通った説明ができるか」なので、結論だけどっち? というのはなかなか辛いです。
「こういう理由で0≦がなくても問題ないと考えているけどあっているか?」というような聞き方の方が答え易いです。
No.44327 - 2017/07/03(Mon) 03:19:22
★ (No Subject) / 名無し
すいません、34の(1)についてですが、
No.44295 - 2017/07/02(Sun) 06:24:38
☆ Re: / 名無し
?@からの?Aがどうして式変形出来るのかがわかりません。

あとそれによってどうして

「よって不等式lx+y+zl≦lxl+lyl+lzl」が成り立つ」のかがわかりません。

よろしくお願いします。
No.44297 - 2017/07/02(Sun) 06:28:11
☆ Re: / らすかる
?@から?Aを導いているのではなく、
?@が成り立つ。
?Aも成り立つ。
よって?@と?Aから|x+y+z|≦|x|+|y|+|z|が成り立つ。
ということです。
No.44300 - 2017/07/02(Sun) 07:51:27
☆ Re: / 名無し
あ、なるほど！！誤解していました！

教えてくださって、ありがとうございます。
No.44313 - 2017/07/02(Sun) 13:48:33
★ x^3+y^3+z^3 / つくし
f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3(x,y,zは有理数)において、x,y,zを適切に定めることでf(x,y,z)は任意の有理数値をとることを証明したいのですが、方針を教えていただけますか？
No.44294 - 2017/07/02(Sun) 01:04:06
☆ Re: x^3+y^3+z^3 / ググ
u=x+y+z, v=y+zとおいてfを変形後、u^3-3v(u^2-z^2)=0とおいて
u=3h(1-θ^2), v=h, z=3hθ(1-θ^2)
とおく
No.44308 - 2017/07/02(Sun) 11:45:44
☆ Re: x^3+y^3+z^3 / つくし
ありがとうございました。発表に使わせていただきます。
No.44316 - 2017/07/02(Sun) 13:56:00
★ 二次不等式 / 柴犬
次の不等式を解け。ただし、aは定数とする。
(1)x^2−(a−2)x−2a＞0
答え
a＜−2のとき、解はx＜a,−2＜x
a=−2のとき、解は−2以外のすべての実数
a＞−2のとき、解はx＜−2,a＜x


という問題が分かりません。
詳しい解説をお願いします。
No.44290 - 2017/07/01(Sat) 15:23:42
☆ Re: 二次不等式 / angel
んー、どこまで把握されてますか?

・不等式の左辺を因数分解すると (x-a)(x+2)＞0 になるのはいいですか?
・(x-a)(x+2)＞0 という不等式があって、a の値が、例えば -3 とか -2 とか 0 とか 4 とか、特定の値に決まっているときに解けますか?
No.44291 - 2017/07/01(Sat) 15:41:11
☆ Re: 二次不等式 / 柴犬
どちらも大丈夫です。

答えのa＜-2、a＝-2、a＞-2に分けて答えるところがどうしてなのか分からないです。
No.44292 - 2017/07/01(Sat) 16:59:59
☆ Re: 二次不等式 / angel
ではもう少し詳しく例を並べてみますか。

・a=-4 の時、解は x＜-4, x＞-2　( 言い換えると x＜a, x＞-2 )
・a=-3 の時、解は x＜-3, x＞-2　( 言い換えると x＜a, x＞-2 )
・a=-2 の時、解は x＜-2, x＞-2、もっと単純には x≠-2
・a=-1 の時、解は x＜-2, x＞-1　( 言い換えると x＜-2, x＞a )
・a=0 の時、解は x＜-2, x＞0　( 言い換えると x＜-2, x＞a )

ということで、a=-2 を境に解が分かれる、逆に言えば a＜-2, a＞-2 の範囲では解は a を使って同じ形に書けるわけです。


これがなぜかというと。
二次不等式　(x-α)(x-β)＞0 があったとして、この解は
　・x＜α, x＞β
　・x＜β, x＞α
のどちらかですが、どちらになるかこれだけでは分かりません。
α,βの大小によって変わるからです。
確定させるためにはα,βの大小の条件が必要ですし、だから今回の問題を答える時も、こういう条件に沿って場合分けする必要があるのです。
No.44293 - 2017/07/01(Sat) 23:44:10
☆ Re: 二次不等式 / 柴犬
詳しい解説ありがとうございます。
納得しました。
No.44319 - 2017/07/02(Sun) 15:53:28
★ 図形と計量 / jdw

【緊急】
四角形ABCDがあり、AB=BC=CD=2,角ABC=60°,cos角BCD=ー1/4である。
辺BC上に点EをDE//ABとなるようにとる。また、辺BCの中点をMとして辺AB上に点FをFM⊥DMとなるようにとる。
(1)線分DMの長さ
(2)線分DEの長さ,sin角BMFの値
(3)線分FMの長さ,△EFMの面積

(3)が分からないです、お願いします！
No.44285 - 2017/06/30(Fri) 23:20:39
★ 積分∫ / アゴ
382(2) 2/sin^2xが-2/tanxになる理由がわかりません。よろしくお願い申し上げます。。
No.44284 - 2017/06/30(Fri) 21:24:45
☆ Re: 積分∫ / angel
> 2/sin^2xが-2/tanxになる

それは流石に微分した形を覚えておくしかないんじゃないかなあ…と思います。

　(tanx)'=1/(cosx)^2　　( なので ∫dx/(cosx)^2=tanx+C )

と類似の形として、

　(1/tanx)'=-1/(sinx)^2　　( なので ∫dx/(sinx)^2=-1/tanx+C )

があるのです。

1/tanx=cosx/sinx と見て商 ( 積 ) の微分を計算するか、
あるいは tan(x-π/2)=-1/tanx から
　( tan(x-π/2) )'= 1/(cos(x-π/2))^2=1/(sinx)^2
　( tan(x-π/2) )'= (-1/tanx)'=-(1/tanx)'
ということで、(1/tanx)'=-1/(sinx)^2 か、でも。
No.44287 - 2017/07/01(Sat) 02:15:43
★ フーリエ級数(大学2年) / ぽよ
4番の微分方程式の特殊解がどうしても求められません。
No.44280 - 2017/06/30(Fri) 14:34:14
☆ Re: フーリエ級数(大学2年) / ググ
-sin(x)/6 です
No.44281 - 2017/06/30(Fri) 15:04:26
☆ Re: フーリエ級数(大学2年) / ググ
見てなんとなく-sin(x)/6を考えましたが、真面目に解くなら以下のようになります

微分演算子d/dxをDと略記することにして
(D+3)(D-2)y = sin(x)
両辺にexp(3x)を（左から）掛けて
exp(3x)(D+3)(D-2)y = exp(3x)sin(x)
exp(ax)(D+a)という演算子はDexp(ax)という、「exp(ax)を掛けてから微分Dする」という演算子に置き換えられる事実（単に積の微分公式）を使って
D{exp(3x)(D-2)y} = exp(3x)sin(x)
両辺に左からDの逆演算しを掛けて、つまり不定積分して
exp(3x)(D-2)y = ∫exp(3x')sin(x')dx'
両辺にexp(-2x)exp(3x)を左から掛けて
exp(-2x)(D-2)y = exp(x)∫exp(3x')sin(x')dx'
左辺を先と同じように変形
D(exp(-2x)y) = exp(x)∫exp(3x')sin(x')dx'
左からDの逆演算しを掛けて
exp(-2x)y = ∫exp(x''){∫exp(3x')sin(x')dx'}dx''
両辺に左からexp(2x)を掛けて
y = exp(2x)∫exp(x''){∫exp(3x')sin(x')dx'}dx''
です。

右辺の積分はめんどくささはありますがやることは高校レベルです。sinをexpで書き直せばもっと簡単にできるハズ
No.44282 - 2017/06/30(Fri) 15:17:45
★ (No Subject) / あああああああ
(2m)C(m)(2n)C(n)/(m+n)C(n) が整数であることがわかっています。

(括弧の中が小文字)

この値を場合の数として捉えると、

分子は例えば、

「男子2m人,女子2n人のクラスを男子m人,女子n人ずつの２グループに分ける」

などの解釈ができます。

分母はどのような解釈ができますか？
No.44278 - 2017/06/30(Fri) 12:32:35
★ グラフ理論 / なにゃら
グラフ理論の証明です。
問題. 頂点数nの全二分木の葉の個数は(n+1)/2であることを証明せよ。

模範解答では頂点数nに関しての帰納法で解いていましたが僕の解法と異なっているので僕の議論に穴がないかを見てください。

解.頂点数nの全二分木T=(V,E)を考える。木であるから辺の本数を|E|とすると
n=|E|+1
である。

握手補題を利用する。
握手補題 :2|E|=v(∈V)の次数の総和
まず根は1つのみであるから根の次数は2である。
葉の個数をkとすると内部節点(ノード)の個数はn-k-1となる。(頂点数から葉と根の個数を引いたもの)
ノードの次数は3であるから,ノードの次数の総和は3(n-k-1)である。葉の次数は1であるから
1×kが葉の次数の総和である。
よって握手補題より
2+3(n-k-1)+k=2|E|
前述のn=|E|+1を利用して|E|を消去すると
k=(n+1)/2 Q.E.D.
No.44273 - 2017/06/30(Fri) 01:53:32
☆ Re: グラフ理論 / なにゃら
ちなみに全二分木とは根の次数が2でありそれ以外の内部節点の次数が3である二分木のことです。
No.44274 - 2017/06/30(Fri) 02:09:25
☆ Re: グラフ理論 / angel
良いと思います。
No.44275 - 2017/06/30(Fri) 02:28:03
☆ Re: グラフ理論 / なにゃら
ありがとうございます。
No.44277 - 2017/06/30(Fri) 03:41:23
★ 中3の数学です。 / まどか
解答欄の、鉛筆下線部の意味が解りません。
いきなり5nとなっていますが、文字式は両辺に等しくなっていふのでしょうか？
No.44266 - 2017/06/29(Thu) 19:23:39
☆ Re: 中3の数学です。 / 数学初心者
ルートの中身を二乗の形にしたいので
そのような 表記になっております。
つまり 5の二乗かける nの二乗は
ルートが外れると 5 かける n となり
整数が求められますね！
No.44267 - 2017/06/29(Thu) 20:41:48
☆ Re: 中3の数学です。 / IT
少していねいに書くと

√(5(20-a))=m,(mは０以上の整数)とおける。
両辺２乗して,5(20-a)=m^2
よってmは5の倍数なので,m=5n,(nは０以上の整数)とおける。
5(20-a)=(5n)^2=(5^2)(n^2)
両辺を5で割って,20-a=5(n^2)
No.44268 - 2017/06/29(Thu) 21:34:10
☆ Re: 中3の数学です。 / angel
んー、少なくとも私が現役の頃は、この参考書にあるような物言いしたら咎められたものですが。ラフで曖昧な表現ということで。

> (略)だから、20-a=5n^2 ( nは整数 ) であればよい

ここは、

(略)ということは、20-a=5n^2 を満たすような整数 n が存在することと同値である
※または、「存在することが必要十分」

と表現すべきところで。

つまり、具体的な値が何になるかはまだ分からないとしても、そういう条件を満たす数が何かあって、それに n という名前を仮決めしているわけです。
No.44270 - 2017/06/29(Thu) 21:45:13
☆ Re: 中3の数学です。 / まどか
ありがとございます。スッキリ解りました。
このテキストは学校教材です。
定期テストの必修教材です。
No.44271 - 2017/06/29(Thu) 21:54:33
★ (No Subject) / のり
包含写像は単射であることを証明してください！
No.44265 - 2017/06/29(Thu) 19:04:40
☆ Re: / IT
集合A、集合BについてA⊂Bとする。
　fが集合Aから集合Bへの包含写像であるとは、任意のx∈Aについてf(x)=x　ということです。

fが集合Aから集合Bへの包含写像 のとき
x≠y ならばf(x)=x≠y=f(y) なので　fは単射。
No.44269 - 2017/06/29(Thu) 21:42:07
★ 式変形について / 数学初心者
画像の?のところがよくわかりませんでした。
解説をよろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.44263 - 2017/06/29(Thu) 17:26:46
☆ Re: 式変形について / ググ
単なる微分の記法の問題ですね

(d/dx)は「微分する」ということを表す記号です
微分演算子とも言います

(d/dx)f(x) で 関数f(x)を微分したもの（つまり導関数）を意味します。f'(x)と書くこともありますし、df(x)/dxと書いてもいいです

2回連続でxで微分することを(d/dx)(d/dx)と書きます
これはd^2/dx^2と書いてもいいですし、普通( (d/dx)(d/dx)という書き方よりは)こう書きます
f(x)を2回微分したものは

f''(x)
(d/dx)(df(x)/dx)
(d^2/dx^2)f(x)
d^2f(x)/dx^2

などの書き方があります。どれを使っても同じ意味です

画像ではf(x)がyとなっているだけです
d^2y/dx^2はy''と同じ意味でyをxで2回微分した結果を表します
上で述べたように (d/dx)(dy/dx) と書いても同じことです

d^2/dx^2は(d/dx)^2という意味で d^2/((dx)^2) を意味します
d^2/d(x^2)ではないですしdは変数ではないのでdで約分してd/xとなるということはありません

そもそも d/x は意味不明です
No.44264 - 2017/06/29(Thu) 18:18:04
★ 数?Vの問題です / 幸幸
グラフを書く問題です。

⑴ｙ＝ｘ（logｘ）^2

⑵ｙ＝e^-ｘ･sinｘ ０≦ｘ≦4π

⑶ｙ＝e^-ｘ（ｘ^2+2ｘ-2）

⑷ｙ＝e^ｘ+e^-ｘ/2

⑸ｙ＝ｘlog｜ｘ-1｜

以上の関数の増減表を作りたいので
すが、計算過程と増減表を教えていただけないでしょうか？
No.44261 - 2017/06/29(Thu) 06:35:38
☆ Re: 数?Vの問題です / 幸幸
補足させてください！第一次導関数と第二次導関数を求める計算をしても、何故かうまく行きません･･･ここを教えてくださったら嬉しいです･･･
No.44283 - 2017/06/30(Fri) 15:48:04
☆ Re: 数?Vの問題です / X
>>第一次導関数と第二次導関数を求める計算をしても、
>>何故かうまく行きません
単に導関数の計算の演習不足では？
導関数の計算の演習問題でも、微分した後
そのままほったらかしではなくて
分かりやすいように整理しますよね？
その整理をもう少し進めます。

(1)を例にとって回答します。
積の微分などを使うと
y'=(logx)^2-x・2(logx)(1/x)
=(logx)^2-2logx
=(logx)(logx-2)
y"=2(logx)(1/x)-2/x
=(2/x)(logx-1)

増減表を作る場合にy',y"を使うコツは
整式の関数の場合と同じです。
整式の関数の場合は微分した後に因数分解をしていますが
sinx,logxなどの解析関数の場合は、微分した後に
「基本の解析関数に関する」因数分解(最低でもくくり出し)
をします。
(分かりにくい場合は、logx=tと置いてみるのも手です。)

ここまで計算できたら、定義域に対して
条件がないかをチェックします。
(1)の場合だと真数条件により、定義域は
x＞0
となります。
No.44288 - 2017/07/01(Sat) 09:38:27
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