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★ 円順列 / 「場合の数・確率」弱者
「同形状の赤玉6個、白玉6個を円形に並べる。回転すると一致する並べ方は同一視するとき、異なる並べ方は何通りあるか。」

という問題の考え方を教えてください！よろしくお願いします。
No.44184 - 2017/06/25(Sun) 17:51:41
☆ Re: 円順列 / らすかる
一列に並べると12C6=924通りですね。
これを円形にした時にそれぞれのパターンが
いくつずつ重複しているかを考えます。
円形にすると60°回転対称になる場合
12×(60°÷360°)=2なので2重複になります。
赤白赤白赤白赤白赤白赤白 と
白赤白赤白赤白赤白赤白赤
の2重複で、円形では1パターンしかありません。
円形にすると120°回転対称になる場合
12×(120°÷360°)=4なので4重複になります。
赤赤白白赤赤白白赤赤白白
白赤赤白白赤赤白白赤赤白
白白赤赤白白赤赤白白赤赤
赤白白赤赤白白赤赤白白赤
の4重複で、これも円形では1パターンしかありません。
円形にすると180°回転対称になる場合
12×(180°÷360°)=6なので6重複になります。
180°分の並べ方は赤3個白3個の並べ方6C3通りで、
そのうち2通りは60°回転対称
(赤白赤白赤白と白赤白赤白赤)ですから
60°回転対称でない180°回転対称は6C3-2=18通りあり、
これが6重複ずつですから円形では18÷6=3パターンになります。
(具体的には赤赤赤白白白・赤赤白赤白白・赤赤白白赤白の3個)
上記以外は非回転対象ですから12重複です。
従って円形の並べ方は
2/2+4/4+18/6+(924-2-4-18)/12=80通り
となります。
No.44185 - 2017/06/25(Sun) 19:19:33
☆ Re: 円順列 / IT
（別解）
赤玉、白玉とも6個は１から６固まりの場合があります。
1固まり6
2固まり5+1,4+2,3+3,
3固まり4+1+1,3+2+1,1+2+3,2+2+2,(1+2+3と3+2+1は回転しても重ならない）
4固まり3+1+1+1,2+2+1+1,2+1+2+1（2+2+1+1と2+1+2+1は回転しても重ならない）
5固まり2+1+1+1+1
6固まり1+1+1+1+1+1

赤と白の固まり数は等しい。

1)赤が１固まりのとき １通り。
2)赤が２固まりのとき 13通り。
　5+1 のとき、赤5の右には白の5,1,4,2,3の５通り
　4+2 のとき、赤4の右には白５通り
　3+3 のとき、白は３通り
3)赤が3固まりのとき　34通り。
　4+1+1のとき　白は3+3+3+1=10通り
3+2+1のとき 同じく10通り
　1+2+3のとき 同じく10通り
　2+2+2のとき 白は4通り
4)赤が4固まりのとき 26通り
　3+1+1+1のとき
　　白が3+1+1+1のとき赤3の位置は4通り。
　　白が2+2+1+1のとき赤3の位置は4通り。
　　白が2+1+2+1のとき赤3の位置は2通り。計10通り。
　2+2+1+1のとき　同じく10通り
　2+1+2+1のとき
　　白が3+1+1+1のとき白3の位置は2通り。
　　白が2+2+1+1のとき白2+2の位置は2通り。
　　白が2+1+2+1のとき白2の位置は2通り。計6通り。
5)赤が5固まりのとき　5通り。
6)赤が6固まりのとき　1通り。

合計80通り。
No.44188 - 2017/06/25(Sun) 21:21:24
★ 平方根 / 詩音
頑張って考えたんですが、何が何だかわかりません。教えてください。
No.44181 - 2017/06/25(Sun) 15:56:01
☆ Re: 平方根 / X
これは数学的な計算以外に、B5判の紙の縦横の長さの比を
知っているか、若しくは調べることができるかも試されて
いる問題ですね。

B5判の紙の横と縦の長さをそれぞれx,y(但しx＞y)
します。
このときB5判の紙の面積をSとすると
S=xy (A)
また切り取った正方形の紙のうち、
大きい方の面積は(x+y)^2
小さい方の面積は(x-y)^2
よって切り取った正方形の面積の和を
Tとすると
T=(x+y)^2+(x-y)^2
=2(x^2+y^2) (B)

問題には与えられていませんが、B5用紙の縦横の比が
白銀比(白銀比についてはネット検索して下さい)
つまり
x:y=√2:1 (C)
であると仮定すると
x=y√2 (C)'
(C)'を(A)(B)に代入して
S=(√2)y^2
T=6y^2
これらからyを消去して
T=(6/√2)S
=(3√2)S
よって(C)のときの求める倍率は
3√2倍
となります。
No.44182 - 2017/06/25(Sun) 17:11:00
☆ Re: 平方根 / X
蛇足かもしれませんが補足を。

ちなみに倍率を求めたい面積が
切り取った正方形の面積の和
ではなくて
切り取った正方形の面積の差
(これをUとします)であるとすると
U=(x+y)^2-(x-y)^2
=4xy
=4S
となり、この場合はB5判の紙の
縦横の比率に関係なく
4倍
となります。
No.44183 - 2017/06/25(Sun) 17:14:46
★ 式変形 / がん
1998年度のセ試数ＩＡ本試の問題で質問があります。
写真のように-a^2/4+a-4が-((a-2)/2)^2-3という式変形がなぜこうなるのかわかりません。
平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはずなので平方完成をしているわけではないとおもうのですが教えてください。
よろしくお願いします。
No.44177 - 2017/06/24(Sat) 23:47:21
☆ Re: 式変形 / IT
> 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはず
なぜ、そうだと考えられましたか？
a^2の係数が-1/4 であることに注意してもう一度考えてみてください。
No.44178 - 2017/06/24(Sat) 23:57:00
☆ Re: 式変形 / angel
> 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはずなので平方完成をしているわけではないとおもうのですが

数学で ( に限るかはともかく ) 大事なのは、「結果が妥当か」「その妥当性に説明がつくか」なので、「〜はず」「なわけない」と決めてかかるのは、ある意味もったいないです。

まずは「なぜ」「どのように」はさておき、計算結果が正しいことは確認されてますか?
No.44179 - 2017/06/25(Sun) 00:22:38
☆ Re: 式変形 / がん
> > 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはず
> なぜ、そうだと考えられましたか？
> a^2の係数が-1/4 であることに注意してもう一度考えてみてください。

回答ありがとうございます。
もう一度考えてみました。平方完成すると-1/4が括り出せれるという表現が間違っていたのかもしれません。平方完成すると-1/4（a-2)^2-3になります。このとき、4は2の2乗で（a-2)^2は(a-2)の二乗だから合わせて二乗にできる（解答のような形になる）ということだったのですね。※文章意味不明でしたらすみません（笑）

まとめると私は計算結果は正しかったがそれを分母分子の合わせて二乗にすることができていなかったという感じでした。また、「括り出す」という言葉を誤って用いていました。
センターの誘導では自分勝手に解答するのではなく誘導の形に合わせようとする努力も必要だとわかりました。
お二方とも回答ありがとうございました。
No.44180 - 2017/06/25(Sun) 14:45:35
★ 一次不等式について / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。この問題は中学生レベルですが引っかかってしまいました。
問）-1/a<1を解け。解答はa<-1なのですが、我流でやると、
解）両辺にaを掛けて-1<aとなり、解答と一致しません。
どこが間違っているか指摘できる方、ご説明よろしくおねがいします。レベルが低すぎてすみません。
No.44173 - 2017/06/24(Sat) 10:27:42
☆ Re: 一次不等式について / らすかる
a＜-1 も -1＜a も誤りです。

両辺に正の数を掛けると不等号の向きはそのままですが、
負の数を掛けると不等号の向きが逆になります。
（44147で書いたのも同じ内容です。）

よって-1/a＜1は
a＞0のとき 両辺にaを掛けて-1＜a
a＞0と合わせて 0＜a
a＜0のとき 両辺にaを掛けて-1＞a
a＜0と合わせて a＜-1
従って正解は a＜-1,0＜a
となります。

常套手段として、場合分けせずに済むように
分母の二乗を掛けるという手があります。
（ただし、「一次不等式」ではなくなります。）
こうすれば常に正なので不等号の向きは変わりません。
この問題の場合は、両辺にa^2を掛けます。
-1/a＜1 の両辺にa^2を掛けて -a＜a^2
移項して a^2+a＞0
a(a+1)＞0
∴a＜-1,0＜a
No.44174 - 2017/06/24(Sat) 10:57:57
☆ Re: 一次不等式について / ブラッドマミ
回答ありがとうございます。明確な説明を頂き不明瞭な考え方もまとまりました。aが正、負によっても不等号の向きも変わってくるので、結構ナイーブな問題だなと思いました。参考させて頂きます。
No.44175 - 2017/06/24(Sat) 11:19:15
☆ Re: 一次不等式について / angel
前のご質問の時にも触れましたが、「分母を払わない」( 分数のまま処理する ) というのは、こういう場面でも効きます。

　-1/a＜1 ⇔ 0＜1+1/a ⇔ 0＜(a+1)/a

と変形してしまえば、後は分母・分子の正負だけを整理するお話になりますから。
( 毎回わざわざ書く必要はないですが ) 添付の図のような表で整理する、というのは良くあります。
No.44176 - 2017/06/24(Sat) 13:57:47
★ (No Subject) / 名無し
すいません、21についての質問なのですが、

最後あたりの

(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0
ですが、
「これがすべのyについて成り立つから」という意味があんまり理解できませんし、

確かに
9p+q+4r=0
6p+4r=0
p+r-2=0

の条件なら(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0にはなりますが、
y=0
p+r-2=0
という条件でも(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0にはなりますよね？

どうして
9p+q+4r=0
6p+4r=0
p+r-2=0
と断言できるのですか？
やはり問題文で「x,y,zについての恒等式になるように」と書いてあるからですか？

いつも申し訳ないです。よろしくお願いします。
No.44169 - 2017/06/24(Sat) 08:02:18
☆ Re: / angel
> やはり問題文で「x,y,zについての恒等式になるように」と書いてあるからですか？

はい。
ですので、恒等式についてのイメージを、自身の中で確立させるのが先かと思います。

今回「x,y,zについての恒等式となるように」とありますが、「…が成り立つとき」という条件によって、実際のところ x,z は y に縛られています。つまり実質1変数 y についての恒等式と同じです。
「y についての恒等式」=「どんな y の値に対しても等式が成立する」を意識してください。

※問題を解く上で、必ずしも y を軸にしなくても良いのですが、ここでは y について整理しているので
No.44171 - 2017/06/24(Sat) 08:21:50
★ (No Subject) / 名無し
すいません、解2についてですが、二次恒等式で、代入している値はx,y,それぞれ３つなので、本来逆の確認しなくても大丈夫ですよね？

どうか、よろしくお願いします。
No.44167 - 2017/06/24(Sat) 05:51:36
☆ Re: / angel
> 二次恒等式で、代入している値はx,y,それぞれ３つなので、本来逆の確認しなくても大丈夫ですよね？

いえ。大丈夫ではないです。
もしかして、変数が1つの場合と混同されていますか?
※変数が2つ以上の場合の恒等式で、そういう話は習わないはずです

変数が1つの場合であれば、次が言えますが。
　ax^2+bx+c=0 が3つ以上の異なる x で成立
　⇒ これは恒等式、a=b=c=0

変数がx,yの2つになると、無数の(x,y)の組で等式が成立するからと言って、それだけで恒等式になるとは言えません。
ごく単純な例として、 x+y=0 という等式は無数の(x,y)の組で成立しますが、これはもちろん恒等式ではないです。
No.44168 - 2017/06/24(Sat) 07:28:55
☆ Re: / angel
変数が1つの場合が特別なのは、代数学の基本定理 というのがあるからです。
1変数 x の例えば2次方程式であれば、解の個数は高々2個。なので解 ( 等式を成立させる x の値 ) が3つ以上あるのであれば恒等式にならざるを得ない。そういう理屈です。

変数が2つ以上の場合は、そういうのがありません。
No.44170 - 2017/06/24(Sat) 08:03:00
☆ Re: / 名無し
なるほど！！
すいません、私、変数が１つの場合と混ぜてました。

教えてくださって、ありがとうございます。
No.44172 - 2017/06/24(Sat) 08:30:59
★ 計算の手順について / 数学初心者
?のところが よく分かりません。1/2 x 2=1 でしょうか？
なぜ 囲まれたところが 2 になるのでしょうか？
No.44160 - 2017/06/23(Fri) 16:57:45
☆ Re: 計算の手順について / ヨッシー
(e^2＋1)/(e^(-2)＋1) の
分子分母に e^2 を掛けると
　分子は　e^2(e^2＋1)
　分母は　・・・
（以下略）
No.44161 - 2017/06/23(Fri) 17:22:31
☆ Re: 計算の手順について / 関数電卓
> 1/2×2=1 でしょうか？
ええ、そうですね。
log[(e^2＋1)/(e^(-2)＋1)]＝log[(e^2＋1)e^2/(1＋e^2)]＝log[e^2]＝2　ですから。
No.44162 - 2017/06/23(Fri) 17:24:14
☆ Re: 計算の手順について / 数学初心者
ありがとうございます。無事 疑問点が解消されましたm(_ _)m
No.44164 - 2017/06/23(Fri) 17:33:05
★ 式変形について / 数学初心者
☆印の 式変形について。
？ のところが どうしてこうなるのか 分かりません。これは何か
公式を用いた式変形でしょうか？
よろしくお願いします！
No.44158 - 2017/06/23(Fri) 14:45:22
☆ Re: 式変形について / パテ埋め
その参考書あるいは問題集に「区分求積法」の項があるかと思いますのでそこをご覧ください。
あるいは教科書を読んでもよいでしょう。
No.44159 - 2017/06/23(Fri) 15:09:52
☆ Re: 式変形について / 数学初心者
分かりました
確認して参りますm(_ _)m
No.44163 - 2017/06/23(Fri) 17:30:09
★ 二項係数 / ふぁが
画像の式の導出の仕方がいまいちりかいできません。

どうぞよろしくお願い致します。
No.44154 - 2017/06/23(Fri) 00:13:06
☆ Re: 二項係数 / angel
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/neg-nikou.html の最後の式は、それを逆から辿ったものですが、こっちだとどうでしょうか。
No.44155 - 2017/06/23(Fri) 00:47:27
☆ Re: 二項係数 / ふぉが
angelさん

ホームページありがとうございます。大変申し訳ないのですが、私の頭だといまいちしっくりきませんでした。

r+x-1Cxがなぜ(r+x-1)(r+x-2)••••(r+1)r/x!に変形できるのかわからないです。

お手数おかけして、申し訳ございません。
No.44156 - 2017/06/23(Fri) 07:21:00
☆ Re: 二項係数 / angel
> r+x-1Cxがなぜ(r+x-1)(r+x-2)••••(r+1)r/x!に変形できるのかわからないです。

であれば、C の計算について。
例えば、8C3=8・7・6/(3・2・1) と。8から大きい順に連番3個をかけて ( これは 8P3 )、それを 3! で割ったものです。

なので、(r+x-1)Cx=( (r+x-1)Px )/x! です。これで、分母のところは一致していますね。

では、分子の (r+x-1)Px ですが。
これは、r+x-1 から大きい順に x個とった連番を掛け合わせたものなので、それで、r+x-1〜r の積なのですね。

あれ? r+x-1 の -1 はどこへ行った? と思うようなら、以下も見た方が良いでしょうか。

もう一度 8P3=8・7・6 の例に戻ります。
これは 8から大きい順に 3個とった、と見ても言いのですが、
　8P3 = 8・7・6・5・4・3・2・1/(5・4・3・2・1)
と、8!を下位5個分で割ったものと見ることもできます。
すなわち、8P3=8!/(8-3)!

とすれば、同様に、
　(r+x-1)Px = (r+x-1)!/((r+x-1)-x) = (r+x-1)!/(r-1)!
r-1以下が分母に出てくる分で相殺されますから、分母に残るのは、上は r+x-1 から、下は r までの積、ということになります。
No.44165 - 2017/06/23(Fri) 18:36:21
☆ Re: 二項係数 / ふぁが
angelさん

理解できました。大変解りやすい解説ありがとうございました。
No.44166 - 2017/06/24(Sat) 01:51:27
★ Re: / かつお
a-b平面に図示せよという問題で、「b(b-a^2/4)>0..?@かつｂ＜０?A」を図示するのですが、?@を図示してからｂ＜０の部分だけを図示するのと、?Aをｂ（＜０）で割ってb-a^2/4＜０を図示したものが違うものになるのはなぜですか？

前者はｂ＜０(aは全ての実数）
後者はb-a^2/4＜０
と異なるものになります。

よろしくおねがいします
No.44149 - 2017/06/22(Thu) 21:58:52
☆ Re: / angel
b(b-a^2/4)＞0 かつ b＜0 ⇔ (b＜0で割って) b-a^2/4＜0
とすると、b＜0 という情報が失われてしまいますね。

なので、b＜0 で割るのは良いとしても、「b-a^2/4＜0 かつ b＜0」と、b＜0 を抜かないようにします。
※これは結局 b＜0 と同じになります
No.44150 - 2017/06/22(Thu) 22:06:11
☆ Re: / かつお
ありがとうございます、よくわかりました。
No.44223 - 2017/06/27(Tue) 22:44:47
★ 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。この度は絶対値を使った不等式で、２通りの解き方と解の範囲の関係を質問したいと思います。
問い）｜2x/(1+x)｜<1を解け。
解）-1<2x/(1+x) より両辺1加えて、
(1+3x)/(1+x)>0ゆえにx<-1,x>-1/3　　　―?@
2x/(1+x)<1 より 両辺から1引いて
(x-1)/(1+x)<0ゆえに-1<x<1 ―?A
?@、?Aより解は-1/3<x<1
以上

ここで質問です。単純に｜2x/(1+x)｜<1より
ここからは我流ですが、-(2x/(1+x))<1
-2x<1+x,-3x<1,x>-1/3 ―?@
そして
(2x/(1+x))<1より
2x<1+x,x<1 　―?A
?@、?Aより
-1/3<x<1
以上解答書と自分で解いたやり方ではかなりの違いが出てしまいましたが、結果は同じでした。どちらが厳密でどちらが正しいやり方か判断しかねています。どなたかわかる方説明よろしくお願いします。
No.44146 - 2017/06/22(Thu) 18:59:06
☆ Re: 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / らすかる
> ここからは我流ですが、-(2x/(1+x))<1
> -2x<1+x,-3x<1,x>-1/3 ―?@

-(2x/(1+x))＜1 を -2x＜1+x にするのは正しくありません。
1+x＞0 のときは -2x＜1+x、
1+x＜0 のときは -2x＞1+x です。
同様に
(2x/(1+x))＜1 → 2x＜1+x も正しくありません。
No.44147 - 2017/06/22(Thu) 19:25:52
☆ 別解 / angel
最初の解法は参考書のものでしょうかね?
私が模範解答を書くなら、両辺平方して整理していく方法を採ります。
すなわち、

|2x/(1+x)|＜1
⇔ (2x/(1+x))^2＜1^2
⇔ ( (2x)^2-(1+x)^2 )/(1+x)^2＜0
⇔ (2x+(1+x))(2x-(1+x))/(1+x)^2＜0
⇔ (3x+1)(x-1)/(1+x)^2＜0
⇔ -1/3＜x＜1

ミソは両辺が非負なので、平方しても同値であること。
つまり、|A|＜p ( pは正 ) の形は A^2＜p^2 に替えてもいいこと。
後は、分母をそのまま保つこと。不等式の両辺に何かかけると、その度に不等号の向きが逆転しないか、気にするハメになりますし、分母≠0 の条件が抜けたりもします。これは習慣的なものです。
No.44148 - 2017/06/22(Thu) 20:42:50
☆ Re: 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / ブラッドマミ
両辺２乗するやり方が一番やりやすいと思いますので、参考にしたいと思います。有り難うございました。
No.44157 - 2017/06/23(Fri) 09:55:54
★ 行列の固有値、固有ベクトル / たま
行列の固有値、固有ベクトル、行列の固有方程式、行列の対角化のあたりを学んでいるのが、理解が腹落ちせず先にすすめません。

これらはどういうときに便利な概念なんでしょうか？どういう問題を説くのに役に立つんでしょうか？なぜ行列とベクトルを組み合わせるんですか？
どなたか分かりやすく解説していただけないでしょうか？
No.44145 - 2017/06/22(Thu) 15:04:33
☆ Re: 行列の固有値、固有ベクトル / angel
> なぜ行列とベクトルを組み合わせるんですか？

行列とベクトルは必ずセットです。
ベクトルは、線形性を持った何かを表すモノであり、行列はそのベクトルに対する線形操作 ( 線形変換 ) を表すモノだからです。

で、なぜ ( 固有値等々に限らず ) 行列の勉強をするのかと言えば、喩えて言うなら、子供がまず算数で加減乗除を学んで先に勉強を進めていくのと同じで、大学以上のレベルで何か数値モデルを扱うためには、行列 ( 線形代数 ) の知識が当たり前のように要求されるからです。

例えば、コンピュータによる大規模計算、その最重要問題の1つが連立1次方程式=行列・ベクトル積の方程式であり、最頻出の計算が行列計算です ( 次点は多分フーリエ変換 )。
※スーパーコンピュータの性能指標を測るLinpack ( 最近東工大/Yahoo/産総研が世界1〜3位を獲ったGreen500 や中国が圧倒的1位のTop500 ), HPCG ( 理研の「京」が2年連続世界1位 ) はいずれも連立1次方程式を解くプログラムです

なお、最近見直されている ( 特に、世界中のトッププロを圧倒した囲碁AI AlphaGo 等の ) 機械学習/DeepLearningでも、その内部で行っているのは膨大な行列計算です。
※Googleの出しているDeepLearning用のミドルウエアTensorflow、専用プロセッサTPU ( TensorProcessingUnit )、この“Tensor”という言葉はベクトルや行列を一般化した概念です。
No.44152 - 2017/06/22(Thu) 22:45:13
☆ Re: 行列の固有値、固有ベクトル / angel
で、本題の固有値についてですが、これは行列の持つ特徴量として極めて有用なものです。

固有値α,βを持つ2次行列を対角化して

　(α 0 )
　(0　β)

という行列が得られるとすると、この行列の示す変換は、(1 0)→(α 0), (0 1)→(0 β) と、ベクトル(本当は列ベクトル)を単純に拡大するものになります。
幾何としてのベクトルで言うなら、平行四辺形または斜直方体を、辺にそって拡大・縮小するような話で、非常に扱いやすくなるのです。

これで何が嬉しいかと言うと、線形性を持った方程式、初歩としては数列の漸化式、実用的には微分方程式、こういったところで固有値から解を得られるところです。

例えば、a[n+2]=5a[n+1]+6a[n] という数列の漸化式。
行列・ベクトル積を使うと、

　(a[n+2])=(5 6)(a[n+1])
　(a[n+1])　(1 0)(a[n] )

という表現ができ、この行列の固有値は 2 と 3。ここから、a[n]=A・2^(n-1)+B・3^(n-1) という解が求められます。

微分方程式で言うなら、波動や振動が関わるところ。「固有振動数」という言葉を聞いたことがありませんか。
プロの声楽家が声を共鳴させてそのエネルギーでガラスのコップを割ってしまうという逸話、建物によって影響を受ける地震の振動周期が違うという話。原子や分子が特定の色の光線を吸収したり放出する話。これが全部そうです。この裏には行列の絡む方程式から出てきた固有値が関わってきます。

なので、材料工学、物性解析、地震解析、多分その他もろもろ、「固有値解析」という手法が現れます。というか、微分方程式が出てきたら、大体どこでも固有値と固有ベクトルは重要なターゲットになります。

それだけ応用範囲が広いものなのです。
No.44153 - 2017/06/22(Thu) 23:14:13
★ (No Subject) / かい
具体的にどのようなときでしょうか？
No.44129 - 2017/06/22(Thu) 06:31:07
☆ Re: / X
例えば
z=x^2+2xy+3y^2+4y+5
は
z=x^2+2yx+3y^2+4y+5
=(x+y)^2+2y^2+4y+5
=(x+y)^2+2(y+2)^2+3
と変形できるのでzは
x+y=0
かつ
y+2=0
のときに最小値3を取ります。
No.44134 - 2017/06/22(Thu) 07:07:03
★ (No Subject) / Zverev
放物線y=3x^2/4-7/4をCとし、Cを原点中心にπ/2回転して得られる曲線をC'とする。CとC'は4個の交点をもち、それらをx座標の小さい順に並べたものをP1,P2,P3,P4とする。Cの弧P2P3とC'の弧P2P3によって囲まれる部分の面積を求めよ。

この問題の解説をお願いします。
No.44115 - 2017/06/21(Wed) 21:43:36
☆ Re: / X
C上の点(x,y)を原点中心でπ/2だけ回転移動させた点
の座標を(X,Y)とすると
(X,Y)=(-y,x)
∴(x,y)=(Y,-X)
これをCの方程式に代入して
-X=(3/4)Y^2-7/4
これより
X=-(3/4)Y^2+7/4
∴C'の方程式は
x=-(3/4)y^2+7/4 (A)
(A)と
y=(3/4)x^2-7/4 (B)
とを連立して解き、交点のx座標をまず求めます。
(A)+(B)より
x+y=(3/4)(x-y)(x+y)
(x+y){1-(3/4)(x-y)}=0
∴y=-x又はy=x-3/4
(i)y=-xのとき
(A)より
…
(ii)y=x-3/4のとき
(A)より
…

更にC'の弧P[2]P[3]の方程式は(A)より
y=√{(1/3)(-4x+7)}
となるので、求める面積は…
(無理関数の積分を学習していないのであれば
その旨をアップして下さい。別の計算方法の
方針をアップします。)
No.44132 - 2017/06/22(Thu) 06:51:57
★ (No Subject) / 名無し
すいません、解2についてですが、
No.44110 - 2017/06/21(Wed) 21:17:29
☆ Re: / 名無し
どうしてx=-1,0,1を代入したのかわかりません。

よろしくおねがいします！
No.44111 - 2017/06/21(Wed) 21:18:31
☆ Re: / X
得られるp,q,rの連立方程式が簡単になるからです。
No.44112 - 2017/06/21(Wed) 21:21:28
☆ Re: / 名無し
なるほど、

得られるp,q,rがの連立方程式が簡単になるなら、どんな値でも良いということですね

返信してくださって、ありがとうございました。
No.44140 - 2017/06/22(Thu) 12:26:15
★ (No Subject) / 名無し
すいません、この問題文についてですが、
No.44107 - 2017/06/21(Wed) 21:09:40
☆ Re: / 名無し
すいません、「数学」というより「国語」の問題になってしまうのですが、

赤線を引いたところがわかりません

よろしくお願いします
No.44109 - 2017/06/21(Wed) 21:15:43
☆ Re: / X
a(x+1)^2+bx=x^2+4 (A)
という恒等式を考えるとき、変数代入法だと
x=0,1 (B)
を代入して得られるa,bの連立方程式を
解けば、a,bの値が得られます。
しかし(A)はxの二次の等式であるので
xの値を2つだけ代入して得られたa,bの値では、
(A)が恒等式ではなくて
解が(B)である二次方程式となっている可能性もある、
ということです。

そこで十分性を確かめるわけですが、方法は
二つあります。
(特に(ii)をよく読んでください。)
(i)
得られているa,bの値を代入した上で
(A)の左辺を整理して右辺と等しくなっている
ことを確かめる
(ii)
得られているa,bの値を代入した上で
(A)に(B)以外のxの値(例えばx=2)を代入して
成立していることを確かめる
(異なる三つの値に対して(A)が成立しているのであれば
(A)はxの二次方程式ではありえません。
(二次方程式は異なる3つ以上の解を持ちませんので。))
No.44114 - 2017/06/21(Wed) 21:34:24
☆ Re: / 名無し
返信して下さって、ありがとうございます
No.44117 - 2017/06/21(Wed) 22:43:22
☆ Re: / 名無し
ちなみに申し訳ないのですが、
最初の図の「一般に、P,Qが。。。」
という本文ありますよね、でも数値代入法による解法である解2は逆の確認をしています

（n+1個のxの値を代入しているのに）

どうしてですか？

よろしくおねがいします。
No.44118 - 2017/06/21(Wed) 22:46:17
☆ Re: / X
解２をよく読みましょう。
３次式の恒等式ですが、連立方程式を導くために
代入している値は3つであって4つ以上では
ありませんね。
No.44130 - 2017/06/22(Thu) 06:44:19
☆ Re: / 名無し
すいません、勘違いをしていました。

教えてくださってありがとうございます。
No.44141 - 2017/06/22(Thu) 12:30:09
★ (No Subject) / 名無し
すいません、(1)についてなのですが
No.44106 - 2017/06/21(Wed) 21:08:44
☆ Re: / 名無し
21C2・20^2+....21C21・20^21

を実際に計算をしたのですが、確かに40の倍数になっていました

どうしてでしょうか？

「計算をしてみればわかる」という返信は無しで。

他の問題を例にしてもらっても大丈夫です、よろしくおねがいします。
No.44108 - 2017/06/21(Wed) 21:14:09
☆ Re: / パテ埋め
たかが数件に申し訳程度に返信したところで礼儀を尽くしたつもりなのか・・・

それはそれとして。

20^2,20^3,…,20^21は全部40で割り切れるので21C2などを掛けて和を取っても当然割り切れる。
No.44113 - 2017/06/21(Wed) 21:27:37
☆ Re: / 名無し
最後の回答者に対する返信をその回答者は見ないと思い、返信をしませんでした。

本当に申し訳ありませんでした。

本当に感謝してます、私みたいな数学初心者に丁寧に教えてくださっているので。

本当にありがとうございます。

不愉快な思いをさせてしまい、すみませんでした。

どうか、これからもよろしくお願いします。
No.44125 - 2017/06/22(Thu) 05:37:47
☆ Re: / 名無し
これからはちゃんと返信をします。

ご指摘してくださって、ありがとうございます。
No.44126 - 2017/06/22(Thu) 05:38:24
☆ Re: / パテ埋め
結局なにもわかってないってことですね。
No.44131 - 2017/06/22(Thu) 06:48:57
☆ Re: / 名無し
？仰っている意味が。。。
No.44133 - 2017/06/22(Thu) 07:03:27
☆ Re: / パテ埋め
「意味が」どうしたのですか？

-*-*-*-

ええと、あなた、この掲示板でいままでいくつ質問したか覚えていますか？
少し遡ればあなたが質問したっきりでほったらかしにしているものがいくらも見つかるわけですが。
「これからは」とかでなく、今現在そうやって放置してあるものをどうにかしようとどうして考えないのですか？

##「その記事一つ一つに礼をコピー＆ペーストして回るべき」と言っているのではもちろんない。もしそうしたらそれはそれで別の感想を持つけど。
##それまで受けた回答を全部自分に役立てられるレベルまで理解できたのですか？
No.44144 - 2017/06/22(Thu) 13:30:26
☆ Re: / 名無し
パテ埋めさん！！申し訳ありません！！

おかげさまで、全部理解しました。

理解して、疑問だった部分は今では自分で最後まで解けるようになりました。

本当にすいません。
No.44151 - 2017/06/22(Thu) 22:17:14
★ (No Subject) / 名無し
すいません11のウについてなのですが
No.44095 - 2017/06/21(Wed) 17:34:55
☆ Re: / 名無し
どうして恒等式にならないのですか？

よろしくお願いします。
No.44096 - 2017/06/21(Wed) 17:35:38
☆ Re: / ヨッシー
かなりの数の質問が、放置されたままになっています。
こちらからの質問に答えられていないものもあります。
一度見直してから、新しい質問を立てるようにしてください。
No.44097 - 2017/06/21(Wed) 17:39:20
☆ Re: / 名無し
申し訳ありません。

ちゃんと返信しました。

どうか、お願いします。
No.44101 - 2017/06/21(Wed) 20:05:48
☆ Re: / ヨッシー
>どうして恒等式にならないのですか？
恒等式の要件を満たさないからです。
恒等式の要件は、そのテキスト４５ページの上の方に書いてあります。
No.44136 - 2017/06/22(Thu) 09:35:59
☆ Re: / 名無し
そうですね。。。

すいません、これからはもっとちゃんと読みます。

教えてくださってありがとうございます。
No.44142 - 2017/06/22(Thu) 12:37:58
★ (No Subject) / 名無し
すいません、s3についてなのですが
No.44087 - 2017/06/21(Wed) 07:02:28
☆ Re: / 名無し
どうして因数分解したのですか？

(n+2)^2+1≧１
(n-2)^2+1≧1
では何がしたかったのですか？素数になるはずである1の値をとるかどうか知りたかったのですか？

また
(n+2)^2+1=1または(n-2)^2+1=1とありますが、
でも因数分解の時点で、n^4-6n^2+25を(n^2+5)^2-(4n)^2しているので別の値を入れているから、もうそれは素数ではないのに=1をするのはおかしくないですか？
No.44089 - 2017/06/21(Wed) 07:12:49
☆ Re: / ヨッシー
>どうして因数分解したのですか？
素数となる条件を絞り込むためです。

>(n+2)^2+1≧１
>(n-2)^2+1≧1
>では何がしたかったのですか？
因数分解して得られた　n^2＋4n＋5, n^2−4n＋5 のとりうる範囲を調べたのです。
その結果、負の数になる可能性はなくなったので、正の数だけで考えればいいことがわかりました。

>別の値を入れている
入れていません。

>もうそれは素数ではない
「それ」が、(n^2+5)^2-(4n)^2 を指しているならば、
素数である n^4-6n^2+25 を変形しただけなので、素数です。

ある素数を思い浮かべてください。それが２つの正の整数の積
　Ａ×Ｂ
の形に書けたとします。そのとき、ＡとＢのどちらか一方は１ではありませんか？
答えが No であれば、思い浮かべた数字が素数ではありません。
答えが Yes であれば、
>=1とするのはおかしくないですか？
おかしくないですね？
No.44092 - 2017/06/21(Wed) 10:46:35
☆ Re: / 名無し
＞素数となる条件を絞り込むためです。
すいません、自分が頭悪すぎて、仰っている意味が。。。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

＞因数分解して得られた　n^2＋4n＋5, n^2−4n＋5 のとりうる範囲を調べたのです。
＞その結果、負の数になる可能性はなくなったので、正の数だけで考えればいいことがわかりました。

負の数ならどうなっていましたか？
あと確認なんですが、素数でしたら、負の数であったとしても言えますよね？

＞>別の値を入れている
＞入れていません。

入れているじゃないですか、
n^4-6n^2+25に10n^2と-10n^2
もう0n^2と-10n^2入れているのだから素数ではないですよね？
No.44104 - 2017/06/21(Wed) 20:22:13
☆ Re: / angel
うん。割と頭冷やした方が良いと思う所です。

> > >別の値を入れている
> 入れていません。
>
> 入れているじゃないですか、

分からなくて質問している、それで貰った答えを吟味せずに自分の思い込みを貫こうとするのであれば、もはや質問する意味がないのでは。

回答者が間違うこともそれなりにあるわけですが、それでも貴方よりは色々分かっている上でアドバイスをしているわけですよ。
自分の考えに勘違いがあるか、もしくは書いた文章の内容が考えと違っている可能性もありますが、そこに思いが至らず、聞く耳持たない態度をとるのであれば、回答を貰っても役に立たないでしょう。
No.44119 - 2017/06/21(Wed) 22:46:36
☆ Re: / 名無し
申し訳ありません。

自分の意見を貫こうとしたのではなく、私の言っている意味が伝わっていないと思い、あんな書き方をしました。

失礼いたしました。

本当に教えていただいている立場なはずなのに、とるべきではない態度をとってしまい、本当にすみませんでした。
No.44124 - 2017/06/22(Thu) 05:34:47
☆ Re: / 名無し
これからもよろしくお願いします。
No.44127 - 2017/06/22(Thu) 05:57:23
☆ Re: / ヨッシー
n^4-6n^2+25 に 10n^2 と -10n^2 を足している。
と言いたかったようですね。
（「入れる」は「代入する」と解釈されます）

10n^2 を足して -10n^2 を足している
（正確には 16n^2 を足して -16n^2 を足しているのですが）
すなわち、何も足していないので、
n^4-6n^2+25 が素数なら、n^4-6n^2+25+10n^2-10n^2 も素数です。
もちろん
　n^4-6n^2+25+16n^2-16n^2
　n^4+10n^2+25-16n^2
なども、全部素数です。なぜなら、全部 n^4-6n^2+25 と同じだからです。
No.44139 - 2017/06/22(Thu) 11:19:00
★ (No Subject) / 名無し
すいません、s2の(2)についてなのですが
No.44086 - 2017/06/21(Wed) 07:01:54
☆ Re: / 名無し
ちょっとした疑問なのですが、
-(x+y-2z)＾３を変形して

(-x-y+2z)^3としているではないですか？

どうして出来るのですか？

また、例外として、「この時に使ってはいけませんよ」というのありますか？
よろしくお願いします。
No.44088 - 2017/06/21(Wed) 07:05:06
☆ Re: / angel
今回
-(x+y-2z)^3 = -((-C)^3) = -(-C^3) = +C^3
ですから。

> どうして出来るのですか？

計算結果が一致するからです。それ以外の理由はありません。

> また、例外として、「この時に使ってはいけませんよ」というのありますか？

おそらくそこは大きな誤解があるように感じるのですが、「使っていい変形方法の辞書」みたいなものがあって、そこから選んで変形しているわけではないのですよ。
計算してみてちゃんと結果が合う、合うことの説明がつくようなら良し、そうでなければダメです。

で、どこまで細かく書くかは個人の裁量です。大体、全部細かく書いてたら膨大な量になるでしょう。
感覚的には、今回のは単なる符号の付け替えなので、経過を書くまでもない、でしょうか。
※極端な話、単に文字式展開したりとか、やる計算が分かり切ってるところなんて、途中経過書いてませんでしたが、それくらいでも構わないのです。
No.44090 - 2017/06/21(Wed) 07:33:01
☆ Re: / 名無し
ありがとうございます。
No.44143 - 2017/06/22(Thu) 12:41:11
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