ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 偏微分（最大・最小） / たなお

偏微分についての質問です。
以下の問題が本に載っていました。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜問題＞
体積が一定の直方体のうち、表面積が最小のものを求めよ。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

相加相乗平均を使っても解けますが、偏微分の分野で出てきたので偏微分を使って解こうと、「考えその１（下部に記載）」のように考えていきました。
答え自体はあっていたのですが、回答の部分にヒントとして以下のことが書いてありました。

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＜ヒント＞
変数x、y、z は条件 φ(x,y,z) = 0 をみたして変化するとき、3変数の関数 u = f(x,y,z) について次のことが言える；

　　関数 u が極値を取る点では、次の比例式が成り立つ（極値の必要条件）。

　　　fx/φx = fy/φy = fz/φz

　　　　※見やすいように、このヒント欄では∂f/∂x を fx、∂φ/∂x を φx と表記しています。
　　　　　y、zについても同様です。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

このヒントを使って解いてみようと、「考えその２（下部に記載）」のように考えてみました。しかし、極値をとるx、y、z は分かっても、それが最小であるとどう示したらいいのかが分かりません。

最小であることをどう示せばいいか、ご教授いただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

↓↓↓↓↓↓　以下、私の考え方です　↓↓↓↓↓↓

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜考えその１＞
体積をV、表面積をS、直方体の縦横高さをそれぞれx、y、zとすると

　　V = xyz　　　　　　・・・⑴
　　S = 2(xy + yz + zx)　・・・⑵

⑴より

　　z = V/(xy)

⑵に代入して

　　S = 2(xy + V/x + V/y)

　　∂S/∂x = 2(y - V/x^2)
　　∂S/∂y = 2(x - V/y^2)

　　∂^2S/∂x^2 = 4V/x^3
　　∂^2S/∂x∂y = 2
　　∂^2S/∂y^2 = 4V/y^3

Sが極値を取るとき、

　　∂S/∂x = ∂S/∂y = 0

となるので、これを解くと

　　x = y = V^(1/3)

⑴に代入し、

　　x = y = z = V^(1/3)

となる。
この時、D<0、∂^2S/∂x^2 > 0 なので、　　　　　
x = y = z = V^(1/3)のとき、表面積は最小となる。

※Dは判別式です
　　D = (∂^2S/∂x∂y)^2 - (∂^2S/∂x^2)(∂^2S/∂y^2)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜考えその２＞
体積をV、表面積をS、直方体の縦横高さをそれぞれx、y、zとすると

　　V = xyz　　　　　　・・・⑴
　　S = 2(xy + yz + zx)　・・・⑵

　　∂S/∂x = 2(y + z)
　　∂S/∂y = 2(z + x)
　　∂S/∂z = 2(x + y)

⑴より、φ(x,y,z) = xyz - V = 0 とすると

　　∂φ/∂x = yz
　　∂φ/∂y = zx
　　∂φ/∂z = xy

Sが極値を取るのであれば、ヒントの式より

　　(y + z)/yz = (z + x)/zx = (x + y)/xy

これを解いて

　　x = y = z

⑵に代入して

　　x = y = z = V^(1/3)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

No.44197 - 2017/06/26(Mon) 11:54:46

★ Re: Re:単位変換 / 前進

0.2mol/20mlの分母をリットルにするときに分母だけを1000で割ってもいいのでしょうか？

分子も1000で割るべきではないでしょうか？

今まで通分にしろ約分にしろ数の法則により同じ数をかけたり割ったりしてきました

宜しくお願い致します。

No.44195 - 2017/06/26(Mon) 11:31:24

☆ Re: Re:単位変換 / らすかる

1000mL=1Lですから
1mL=(1/1000)L
20mL=(20/1000)L
です。
別の言い方をすれば、
mLの「m」は「×10^(-3)」すなわち「÷1000」という意味ですから
20mL=(20×10^(-3))L=(20/1000)L
です。

No.44196 - 2017/06/26(Mon) 11:40:20

☆ Re: Re:単位変換 / 前進

分かりやすい説明ありがとうございます

No.44846 - 2017/07/24(Mon) 00:34:08

☆ Re: Re:単位変換 / 前進

理解できました

No.44847 - 2017/07/24(Mon) 00:34:25

★ Re: Re:中和と電離度 / 前進

赤線のα＝0.01は確立や割合であり、1molあたり0.01molが生じるのでH＋とOH－における中和は一回きりなのではないのでしょうか？

なぜ何回H＋がなくなっても次から次へと電離し、最終的にすべて中和されるのでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.44194 - 2017/06/26(Mon) 11:25:45

☆ Re: Re:中和と電離度 / angel

んー、どこを気にされているのかがちょっと分からないのですが、色々誤解がありそうな。

> 中和は一回きりなのではないのでしょうか？

中和に限らず、沈殿や燃焼といったほぼ非可逆な反応を除き、状態は常に行ったり来たりです。
ただ、( ミクロには行ったり来たりを繰り返しているにしても ) 全体の量としてはバランスが取れたところで落ち着く、それを動的平衡と言っています。
水素イオン-水酸化物イオン-水での、この平衡状態に落ち着く現象が中和です。「1回きり」なんて考え方はできないんです。

> 赤線のα＝0.01は

この数字、鵜呑みにしちゃだめですよ。こんなの状況によってコロコロ変わりますから。
あくまで0.01と言ってるのは、酢酸を純水に、大体1mol/L程度…いや、0.5程度ですかね。それ位の濃度で溶かした場合の話です。
水酸化ナトリウムと混ぜて中和反応を起こしたら、このαはほぼ1になりますから。

No.44198 - 2017/06/26(Mon) 21:59:44

☆ Re: Re:中和と電離度 / angel

> 大体1mol/L程度…いや、0.5程度ですかね。
失礼しました。0.2mol/L弱の時でα=0.01ですね。

で、この「動的平衡」ですが、関係する物質 ( イオン等 ) の濃度のバランスで決まります。

今回、強塩基のNaOHは、ほぼ完全電離なので気にしなくて良いのですが、

　?@CH3COOH ⇔ CH3COO- + H+
　?AH2O ⇔ H+ + OH-

この2種類のバランスを考える必要があります。

が、大前提として?Aのバランスはほぼ全部左寄りになることに注意が必要です。
pH=7で中性という話を聞いたことはないでしょうか。不純物のない水、純水では、つまりH+・OH- とも同量でバランスしている状況では、それぞれ濃度 10^(-7) mol/L になります ( 0.0000001 なので非常に小さい )。この ^(-7) というところから pH=7 が来ているわけです。

さて、まずは水にCH3COOHを溶かした段階です。
これは弱酸なので?@の反応で電離する ( 右側に進む ) 割合が低いです。で、電離が進んで CH3COO- と H+ の両者の濃度が増えると、そこでバランスします。
ここで生まれたH+はほんの微量だけOH-と反応してH2Oになりますが、もともとのOH-の濃度があまりに小さいため無視できるレベルです。

ここから、NaOH水溶液と混ぜるとどうなるか。
まず、NaOH水溶液に含まれる大量のOH-が入ってきます。?Aは極々少量のH+,OH-でバランスするものですから、H+を供給できる物質がある状況なら、そこからH+を引っ張ってきてH2Oにするようにバランスが傾きます。

じゃあ?@のバランスはどうなるのか。これは電離が進んで、ほぼ全部 ( でも全部ではない ) 右側に寄ります。
確かに CH3COOH が圧倒的に減って、その分 CH3COO- が圧倒的に増える、これらいずれもは?@の反応を左に押し戻す要因になるはずなのですが、?AのH2OになるためにH+が殆どが取られてしまいますので、トータルとしてはそれでもバランスが取れるのです。

それだけH+が取られて目減りする影響が大きいということです。

No.44203 - 2017/06/26(Mon) 22:55:51

★ 計算 / まなと

(2)の計算の答えがなぜそうなるのかわかりません

No.44186 - 2017/06/25(Sun) 20:06:23

☆ Re: 計算 / X

添付された写真の解答の4行目の左側の等式が
成立する理由が理解できている、という前提で
回答を(もし「成立する理由」も理解できて
いないなら、その旨をアップして下さい。)。

添付された写真の解答の４行目左側の等式から
(2/3)h=v[0]√{2h/(3g)}-(1/2)g{2h/(3g)}
(2/3)h=v[0]√{2h/(3g)}-(1/2)(2h/3)
(2/3)h=v[0]√{2h/(3g)}-h/3
h=v[0]√{2h/(3g)}
∴v[0]=h√{3g/(2h)}
=√(3gh/2)

No.44187 - 2017/06/25(Sun) 20:24:32

☆ Re: 計算 / まなと

> h=v[0]√{2h/(3g)}…?@
> ∴v[0]=h√{3g/(2h)}…?A
> =√(3gh/2)…?B
のところをもう少し詳しく書いていただけないでしょうか
疑問
なぜ?@から?Aになるのか
なぜ?Aから?Bになるのか
お願いします

No.44189 - 2017/06/25(Sun) 21:46:46

☆ Re: 計算 / X

＞＞なぜ?@から?Aになるのか
?@の両辺を√{2h/(3g)}で割る、つまり
?@の両辺に√{3g/(2h)}をかける
ということです。

＞＞なぜ?Aから?Bになるのか
h√{3g/(2h)}=√{(h^2)3g/(2h)}
=√(h・3g/2)
=√(3gh/2)
となります。

No.44190 - 2017/06/25(Sun) 22:11:16

★ 円順列 / 「場合の数・確率」弱者

「同形状の赤玉6個、白玉6個を円形に並べる。回転すると一致する並べ方は同一視するとき、異なる並べ方は何通りあるか。」

という問題の考え方を教えてください！よろしくお願いします。

No.44184 - 2017/06/25(Sun) 17:51:41

☆ Re: 円順列 / らすかる

一列に並べると12C6=924通りですね。
これを円形にした時にそれぞれのパターンが
いくつずつ重複しているかを考えます。
円形にすると60°回転対称になる場合
12×(60°÷360°)=2なので2重複になります。
赤白赤白赤白赤白赤白赤白と
白赤白赤白赤白赤白赤白赤
の2重複で、円形では1パターンしかありません。
円形にすると120°回転対称になる場合
12×(120°÷360°)=4なので4重複になります。
赤赤白白赤赤白白赤赤白白
白赤赤白白赤赤白白赤赤白
白白赤赤白白赤赤白白赤赤
赤白白赤赤白白赤赤白白赤
の4重複で、これも円形では1パターンしかありません。
円形にすると180°回転対称になる場合
12×(180°÷360°)=6なので6重複になります。
180°分の並べ方は赤3個白3個の並べ方6C3通りで、
そのうち2通りは60°回転対称
(赤白赤白赤白と白赤白赤白赤)ですから
60°回転対称でない180°回転対称は6C3-2=18通りあり、
これが6重複ずつですから円形では18÷6=3パターンになります。
(具体的には赤赤赤白白白・赤赤白赤白白・赤赤白白赤白の3個)
上記以外は非回転対象ですから12重複です。
従って円形の並べ方は
2/2+4/4+18/6+(924-2-4-18)/12=80通り
となります。

No.44185 - 2017/06/25(Sun) 19:19:33

☆ Re: 円順列 / IT

（別解）
赤玉、白玉とも6個は１から６固まりの場合があります。
1固まり6
2固まり5+1,4+2,3+3,
3固まり4+1+1,3+2+1,1+2+3,2+2+2,(1+2+3と3+2+1は回転しても重ならない）
4固まり3+1+1+1,2+2+1+1,2+1+2+1（2+2+1+1と2+1+2+1は回転しても重ならない）
5固まり2+1+1+1+1
6固まり1+1+1+1+1+1

赤と白の固まり数は等しい。

1)赤が１固まりのとき１通り。
2)赤が２固まりのとき 13通り。
　5+1 のとき、赤5の右には白の5,1,4,2,3の５通り
　4+2 のとき、赤4の右には白５通り
　3+3 のとき、白は３通り
3)赤が3固まりのとき　34通り。
　4+1+1のとき　白は3+3+3+1=10通り
3+2+1のとき同じく10通り
　1+2+3のとき同じく10通り
　2+2+2のとき白は4通り
4)赤が4固まりのとき 26通り
　3+1+1+1のとき
　　白が3+1+1+1のとき赤3の位置は4通り。
　　白が2+2+1+1のとき赤3の位置は4通り。
　　白が2+1+2+1のとき赤3の位置は2通り。計10通り。
　2+2+1+1のとき　同じく10通り
　2+1+2+1のとき
　　白が3+1+1+1のとき白3の位置は2通り。
　　白が2+2+1+1のとき白2+2の位置は2通り。
　　白が2+1+2+1のとき白2の位置は2通り。計6通り。
5)赤が5固まりのとき　5通り。
6)赤が6固まりのとき　1通り。

合計80通り。

No.44188 - 2017/06/25(Sun) 21:21:24

★ 平方根 / 詩音

頑張って考えたんですが、何が何だかわかりません。教えてください。

No.44181 - 2017/06/25(Sun) 15:56:01

☆ Re: 平方根 / X

これは数学的な計算以外に、B5判の紙の縦横の長さの比を
知っているか、若しくは調べることができるかも試されて
いる問題ですね。

B5判の紙の横と縦の長さをそれぞれx,y(但しx＞y)
します。
このときB5判の紙の面積をSとすると
S=xy (A)
また切り取った正方形の紙のうち、
大きい方の面積は(x+y)^2
小さい方の面積は(x-y)^2
よって切り取った正方形の面積の和を
Tとすると
T=(x+y)^2+(x-y)^2
=2(x^2+y^2) (B)

問題には与えられていませんが、B5用紙の縦横の比が
白銀比(白銀比についてはネット検索して下さい)
つまり
x:y=√2:1 (C)
であると仮定すると
x=y√2 (C)'
(C)'を(A)(B)に代入して
S=(√2)y^2
T=6y^2
これらからyを消去して
T=(6/√2)S
=(3√2)S
よって(C)のときの求める倍率は
3√2倍
となります。

No.44182 - 2017/06/25(Sun) 17:11:00

☆ Re: 平方根 / X

蛇足かもしれませんが補足を。

ちなみに倍率を求めたい面積が
切り取った正方形の面積の和
ではなくて
切り取った正方形の面積の差
(これをUとします)であるとすると
U=(x+y)^2-(x-y)^2
=4xy
=4S
となり、この場合はB5判の紙の
縦横の比率に関係なく
4倍
となります。

No.44183 - 2017/06/25(Sun) 17:14:46

★ 式変形 / がん

1998年度のセ試数ＩＡ本試の問題で質問があります。
写真のように-a^2/4+a-4が-((a-2)/2)^2-3という式変形がなぜこうなるのかわかりません。
平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはずなので平方完成をしているわけではないとおもうのですが教えてください。
よろしくお願いします。

No.44177 - 2017/06/24(Sat) 23:47:21

☆ Re: 式変形 / IT

> 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはず
なぜ、そうだと考えられましたか？
a^2の係数が-1/4 であることに注意してもう一度考えてみてください。

No.44178 - 2017/06/24(Sat) 23:57:00

☆ Re: 式変形 / angel

> 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはずなので平方完成をしているわけではないとおもうのですが

数学で ( に限るかはともかく ) 大事なのは、「結果が妥当か」「その妥当性に説明がつくか」なので、「～はず」「なわけない」と決めてかかるのは、ある意味もったいないです。

まずは「なぜ」「どのように」はさておき、計算結果が正しいことは確認されてますか?

No.44179 - 2017/06/25(Sun) 00:22:38

☆ Re: 式変形 / がん

> > 平方完成をするとすると-1/4が括りだされるはず
> なぜ、そうだと考えられましたか？
> a^2の係数が-1/4 であることに注意してもう一度考えてみてください。

回答ありがとうございます。
もう一度考えてみました。平方完成すると-1/4が括り出せれるという表現が間違っていたのかもしれません。平方完成すると-1/4（a-2)^2-3になります。このとき、4は2の2乗で（a-2)^2は(a-2)の二乗だから合わせて二乗にできる（解答のような形になる）ということだったのですね。※文章意味不明でしたらすみません（笑）

まとめると私は計算結果は正しかったがそれを分母分子の合わせて二乗にすることができていなかったという感じでした。また、「括り出す」という言葉を誤って用いていました。
センターの誘導では自分勝手に解答するのではなく誘導の形に合わせようとする努力も必要だとわかりました。
お二方とも回答ありがとうございました。

No.44180 - 2017/06/25(Sun) 14:45:35

★ 一次不等式について / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミと申します。この問題は中学生レベルですが引っかかってしまいました。
問）-1/a<1を解け。解答はa<-1なのですが、我流でやると、
解）両辺にaを掛けて-1<aとなり、解答と一致しません。
どこが間違っているか指摘できる方、ご説明よろしくおねがいします。レベルが低すぎてすみません。

No.44173 - 2017/06/24(Sat) 10:27:42

☆ Re: 一次不等式について / らすかる

a＜-1 も -1＜a も誤りです。

両辺に正の数を掛けると不等号の向きはそのままですが、
負の数を掛けると不等号の向きが逆になります。
（44147で書いたのも同じ内容です。）

よって-1/a＜1は
a＞0のとき両辺にaを掛けて-1＜a
a＞0と合わせて 0＜a
a＜0のとき両辺にaを掛けて-1＞a
a＜0と合わせて a＜-1
従って正解は a＜-1,0＜a
となります。

常套手段として、場合分けせずに済むように
分母の二乗を掛けるという手があります。
（ただし、「一次不等式」ではなくなります。）
こうすれば常に正なので不等号の向きは変わりません。
この問題の場合は、両辺にa^2を掛けます。
-1/a＜1 の両辺にa^2を掛けて -a＜a^2
移項して a^2+a＞0
a(a+1)＞0
∴a＜-1,0＜a

No.44174 - 2017/06/24(Sat) 10:57:57

☆ Re: 一次不等式について / ブラッドマミ

回答ありがとうございます。明確な説明を頂き不明瞭な考え方もまとまりました。aが正、負によっても不等号の向きも変わってくるので、結構ナイーブな問題だなと思いました。参考させて頂きます。

No.44175 - 2017/06/24(Sat) 11:19:15

☆ Re: 一次不等式について / angel

前のご質問の時にも触れましたが、「分母を払わない」( 分数のまま処理する ) というのは、こういう場面でも効きます。

　-1/a＜1 ⇔ 0＜1+1/a ⇔ 0＜(a+1)/a

と変形してしまえば、後は分母・分子の正負だけを整理するお話になりますから。
( 毎回わざわざ書く必要はないですが ) 添付の図のような表で整理する、というのは良くあります。

No.44176 - 2017/06/24(Sat) 13:57:47

★ (No Subject) / 名無し

すいません、21についての質問なのですが、

最後あたりの

(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0
ですが、
「これがすべのyについて成り立つから」という意味があんまり理解できませんし、

確かに
9p+q+4r=0
6p+4r=0
p+r-2=0

の条件なら(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0にはなりますが、
y=0
p+r-2=0
という条件でも(9p+q+4r)y^2+(6p+4r)y+(p+r-2)=0にはなりますよね？

どうして
9p+q+4r=0
6p+4r=0
p+r-2=0
と断言できるのですか？
やはり問題文で「x,y,zについての恒等式になるように」と書いてあるからですか？

いつも申し訳ないです。よろしくお願いします。

No.44169 - 2017/06/24(Sat) 08:02:18

☆ Re: / angel

> やはり問題文で「x,y,zについての恒等式になるように」と書いてあるからですか？

はい。
ですので、恒等式についてのイメージを、自身の中で確立させるのが先かと思います。

今回「x,y,zについての恒等式となるように」とありますが、「…が成り立つとき」という条件によって、実際のところ x,z は y に縛られています。つまり実質1変数 y についての恒等式と同じです。
「y についての恒等式」=「どんな y の値に対しても等式が成立する」を意識してください。

※問題を解く上で、必ずしも y を軸にしなくても良いのですが、ここでは y について整理しているので

No.44171 - 2017/06/24(Sat) 08:21:50

★ (No Subject) / 名無し

すいません、解2についてですが、二次恒等式で、代入している値はx,y,それぞれ３つなので、本来逆の確認しなくても大丈夫ですよね？

どうか、よろしくお願いします。

No.44167 - 2017/06/24(Sat) 05:51:36

☆ Re: / angel

> 二次恒等式で、代入している値はx,y,それぞれ３つなので、本来逆の確認しなくても大丈夫ですよね？

いえ。大丈夫ではないです。
もしかして、変数が1つの場合と混同されていますか?
※変数が2つ以上の場合の恒等式で、そういう話は習わないはずです

変数が1つの場合であれば、次が言えますが。
　ax^2+bx+c=0 が3つ以上の異なる x で成立
　⇒ これは恒等式、a=b=c=0

変数がx,yの2つになると、無数の(x,y)の組で等式が成立するからと言って、それだけで恒等式になるとは言えません。
ごく単純な例として、 x+y=0 という等式は無数の(x,y)の組で成立しますが、これはもちろん恒等式ではないです。

No.44168 - 2017/06/24(Sat) 07:28:55

☆ Re: / angel

変数が1つの場合が特別なのは、代数学の基本定理というのがあるからです。
1変数 x の例えば2次方程式であれば、解の個数は高々2個。なので解 ( 等式を成立させる x の値 ) が3つ以上あるのであれば恒等式にならざるを得ない。そういう理屈です。

変数が2つ以上の場合は、そういうのがありません。

No.44170 - 2017/06/24(Sat) 08:03:00

☆ Re: / 名無し

なるほど！！
すいません、私、変数が１つの場合と混ぜてました。

教えてくださって、ありがとうございます。

No.44172 - 2017/06/24(Sat) 08:30:59

★ 二項係数 / ふぁが

画像の式の導出の仕方がいまいちりかいできません。

どうぞよろしくお願い致します。

No.44154 - 2017/06/23(Fri) 00:13:06

☆ Re: 二項係数 / angel

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/neg-nikou.html の最後の式は、それを逆から辿ったものですが、こっちだとどうでしょうか。

No.44155 - 2017/06/23(Fri) 00:47:27

☆ Re: 二項係数 / ふぉが

angelさん

ホームページありがとうございます。大変申し訳ないのですが、私の頭だといまいちしっくりきませんでした。

r+x-1Cxがなぜ(r+x-1)(r+x-2)••••(r+1)r/x!に変形できるのかわからないです。

お手数おかけして、申し訳ございません。

No.44156 - 2017/06/23(Fri) 07:21:00

☆ Re: 二項係数 / angel

> r+x-1Cxがなぜ(r+x-1)(r+x-2)••••(r+1)r/x!に変形できるのかわからないです。

であれば、C の計算について。
例えば、8C3=8・7・6/(3・2・1) と。8から大きい順に連番3個をかけて ( これは 8P3 )、それを 3! で割ったものです。

なので、(r+x-1)Cx=( (r+x-1)Px )/x! です。これで、分母のところは一致していますね。

では、分子の (r+x-1)Px ですが。
これは、r+x-1 から大きい順に x個とった連番を掛け合わせたものなので、それで、r+x-1～r の積なのですね。

あれ? r+x-1 の -1 はどこへ行った? と思うようなら、以下も見た方が良いでしょうか。

もう一度 8P3=8・7・6 の例に戻ります。
これは 8から大きい順に 3個とった、と見ても言いのですが、
　8P3 = 8・7・6・5・4・3・2・1/(5・4・3・2・1)
と、8!を下位5個分で割ったものと見ることもできます。
すなわち、8P3=8!/(8-3)!

とすれば、同様に、
　(r+x-1)Px = (r+x-1)!/((r+x-1)-x) = (r+x-1)!/(r-1)!
r-1以下が分母に出てくる分で相殺されますから、分母に残るのは、上は r+x-1 から、下は r までの積、ということになります。

No.44165 - 2017/06/23(Fri) 18:36:21

☆ Re: 二項係数 / ふぁが

angelさん

理解できました。大変解りやすい解説ありがとうございました。

No.44166 - 2017/06/24(Sat) 01:51:27

★ Re: / かつお

a-b平面に図示せよという問題で、「b(b-a^2/4)>0..?@かつｂ＜０?A」を図示するのですが、?@を図示してからｂ＜０の部分だけを図示するのと、?Aをｂ（＜０）で割ってb-a^2/4＜０を図示したものが違うものになるのはなぜですか？

前者はｂ＜０(aは全ての実数）
後者はb-a^2/4＜０
と異なるものになります。

よろしくおねがいします

No.44149 - 2017/06/22(Thu) 21:58:52

☆ Re: / angel

b(b-a^2/4)＞0 かつ b＜0 ⇔ (b＜0で割って) b-a^2/4＜0
とすると、b＜0 という情報が失われてしまいますね。

なので、b＜0 で割るのは良いとしても、「b-a^2/4＜0 かつ b＜0」と、b＜0 を抜かないようにします。
※これは結局 b＜0 と同じになります

No.44150 - 2017/06/22(Thu) 22:06:11

☆ Re: / かつお

ありがとうございます、よくわかりました。

No.44223 - 2017/06/27(Tue) 22:44:47

★ 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / ブラッドマミ

お世話になります。ブラッドマミと申します。この度は絶対値を使った不等式で、２通りの解き方と解の範囲の関係を質問したいと思います。
問い）｜2x/(1+x)｜<1を解け。
解）-1<2x/(1+x) より両辺1加えて、
(1+3x)/(1+x)>0ゆえにx<-1,x>-1/3　　　―?@
2x/(1+x)<1 より両辺から1引いて
(x-1)/(1+x)<0ゆえに-1<x<1 ―?A
?@、?Aより解は-1/3<x<1
以上

ここで質問です。単純に｜2x/(1+x)｜<1より
ここからは我流ですが、-(2x/(1+x))<1
-2x<1+x,-3x<1,x>-1/3 ―?@
そして
(2x/(1+x))<1より
2x<1+x,x<1 　―?A
?@、?Aより
-1/3<x<1
以上解答書と自分で解いたやり方ではかなりの違いが出てしまいましたが、結果は同じでした。どちらが厳密でどちらが正しいやり方か判断しかねています。どなたかわかる方説明よろしくお願いします。

No.44146 - 2017/06/22(Thu) 18:59:06

☆ Re: 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / らすかる

> ここからは我流ですが、-(2x/(1+x))<1
> -2x<1+x,-3x<1,x>-1/3 ―?@

-(2x/(1+x))＜1 を -2x＜1+x にするのは正しくありません。
1+x＞0 のときは -2x＜1+x、
1+x＜0 のときは -2x＞1+x です。
同様に
(2x/(1+x))＜1 → 2x＜1+x も正しくありません。

No.44147 - 2017/06/22(Thu) 19:25:52

☆ 別解 / angel

最初の解法は参考書のものでしょうかね?
私が模範解答を書くなら、両辺平方して整理していく方法を採ります。
すなわち、

|2x/(1+x)|＜1
⇔ (2x/(1+x))^2＜1^2
⇔ ( (2x)^2-(1+x)^2 )/(1+x)^2＜0
⇔ (2x+(1+x))(2x-(1+x))/(1+x)^2＜0
⇔ (3x+1)(x-1)/(1+x)^2＜0
⇔ -1/3＜x＜1

ミソは両辺が非負なので、平方しても同値であること。
つまり、|A|＜p ( pは正 ) の形は A^2＜p^2 に替えてもいいこと。
後は、分母をそのまま保つこと。不等式の両辺に何かかけると、その度に不等号の向きが逆転しないか、気にするハメになりますし、分母≠0 の条件が抜けたりもします。これは習慣的なものです。

No.44148 - 2017/06/22(Thu) 20:42:50

☆ Re: 絶対値を使った不等式の解と解き方の関係 / ブラッドマミ

両辺２乗するやり方が一番やりやすいと思いますので、参考にしたいと思います。有り難うございました。

No.44157 - 2017/06/23(Fri) 09:55:54

★ 行列の固有値、固有ベクトル / たま

行列の固有値、固有ベクトル、行列の固有方程式、行列の対角化のあたりを学んでいるのが、理解が腹落ちせず先にすすめません。

これらはどういうときに便利な概念なんでしょうか？どういう問題を説くのに役に立つんでしょうか？なぜ行列とベクトルを組み合わせるんですか？
どなたか分かりやすく解説していただけないでしょうか？

No.44145 - 2017/06/22(Thu) 15:04:33

☆ Re: 行列の固有値、固有ベクトル / angel

> なぜ行列とベクトルを組み合わせるんですか？

行列とベクトルは必ずセットです。
ベクトルは、線形性を持った何かを表すモノであり、行列はそのベクトルに対する線形操作 ( 線形変換 ) を表すモノだからです。

で、なぜ ( 固有値等々に限らず ) 行列の勉強をするのかと言えば、喩えて言うなら、子供がまず算数で加減乗除を学んで先に勉強を進めていくのと同じで、大学以上のレベルで何か数値モデルを扱うためには、行列 ( 線形代数 ) の知識が当たり前のように要求されるからです。

例えば、コンピュータによる大規模計算、その最重要問題の1つが連立1次方程式=行列・ベクトル積の方程式であり、最頻出の計算が行列計算です ( 次点は多分フーリエ変換 )。
※スーパーコンピュータの性能指標を測るLinpack ( 最近東工大/Yahoo/産総研が世界1～3位を獲ったGreen500 や中国が圧倒的1位のTop500 ), HPCG ( 理研の「京」が2年連続世界1位 ) はいずれも連立1次方程式を解くプログラムです

なお、最近見直されている ( 特に、世界中のトッププロを圧倒した囲碁AI AlphaGo 等の ) 機械学習/DeepLearningでも、その内部で行っているのは膨大な行列計算です。
※Googleの出しているDeepLearning用のミドルウエアTensorflow、専用プロセッサTPU ( TensorProcessingUnit )、この“Tensor”という言葉はベクトルや行列を一般化した概念です。

No.44152 - 2017/06/22(Thu) 22:45:13

☆ Re: 行列の固有値、固有ベクトル / angel

で、本題の固有値についてですが、これは行列の持つ特徴量として極めて有用なものです。

固有値α,βを持つ2次行列を対角化して

　(α 0 )
　(0　β)

という行列が得られるとすると、この行列の示す変換は、(1 0)→(α 0), (0 1)→(0 β) と、ベクトル(本当は列ベクトル)を単純に拡大するものになります。
幾何としてのベクトルで言うなら、平行四辺形または斜直方体を、辺にそって拡大・縮小するような話で、非常に扱いやすくなるのです。

これで何が嬉しいかと言うと、線形性を持った方程式、初歩としては数列の漸化式、実用的には微分方程式、こういったところで固有値から解を得られるところです。

例えば、a[n+2]=5a[n+1]+6a[n] という数列の漸化式。
行列・ベクトル積を使うと、

　(a[n+2])=(5 6)(a[n+1])
　(a[n+1])　(1 0)(a[n] )

という表現ができ、この行列の固有値は 2 と 3。ここから、a[n]=A・2^(n-1)+B・3^(n-1) という解が求められます。

微分方程式で言うなら、波動や振動が関わるところ。「固有振動数」という言葉を聞いたことがありませんか。
プロの声楽家が声を共鳴させてそのエネルギーでガラスのコップを割ってしまうという逸話、建物によって影響を受ける地震の振動周期が違うという話。原子や分子が特定の色の光線を吸収したり放出する話。これが全部そうです。この裏には行列の絡む方程式から出てきた固有値が関わってきます。

なので、材料工学、物性解析、地震解析、多分その他もろもろ、「固有値解析」という手法が現れます。というか、微分方程式が出てきたら、大体どこでも固有値と固有ベクトルは重要なターゲットになります。

それだけ応用範囲が広いものなのです。

No.44153 - 2017/06/22(Thu) 23:14:13

★ (No Subject) / Zverev

放物線y=3x^2/4-7/4をCとし、Cを原点中心にπ/2回転して得られる曲線をC'とする。CとC'は4個の交点をもち、それらをx座標の小さい順に並べたものをP1,P2,P3,P4とする。Cの弧P2P3とC'の弧P2P3によって囲まれる部分の面積を求めよ。

この問題の解説をお願いします。

No.44115 - 2017/06/21(Wed) 21:43:36

☆ Re: / X

C上の点(x,y)を原点中心でπ/2だけ回転移動させた点
の座標を(X,Y)とすると
(X,Y)=(-y,x)
∴(x,y)=(Y,-X)
これをCの方程式に代入して
-X=(3/4)Y^2-7/4
これより
X=-(3/4)Y^2+7/4
∴C'の方程式は
x=-(3/4)y^2+7/4 (A)
(A)と
y=(3/4)x^2-7/4 (B)
とを連立して解き、交点のx座標をまず求めます。
(A)+(B)より
x+y=(3/4)(x-y)(x+y)
(x+y){1-(3/4)(x-y)}=0
∴y=-x又はy=x-3/4
(i)y=-xのとき
(A)より
…
(ii)y=x-3/4のとき
(A)より
…

更にC'の弧P[2]P[3]の方程式は(A)より
y=√{(1/3)(-4x+7)}
となるので、求める面積は…
(無理関数の積分を学習していないのであれば
その旨をアップして下さい。別の計算方法の
方針をアップします。)

No.44132 - 2017/06/22(Thu) 06:51:57