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★ (No Subject) / 名無し
この問題の（2）の解説でtan2θ=2になるとあるのですが、なぜ2になるのか分かりません。tan2θは分かるのですが右辺の2はなんなのでしょうか？
お願いします。
No.44421 - 2017/07/06(Thu) 15:37:45
☆ Re: / らすかる
y=2xの2ですね。
No.44422 - 2017/07/06(Thu) 16:34:42
☆ Re: / 名無し
見落としていました、しょうもないミスですみません…ありがとうございます。
No.44423 - 2017/07/06(Thu) 17:49:36
★ 関西大 過去問 / 井上
cos2x+2ksinx+k-4=0(0≦x≦π)の異なる解の個数が2つであるためのkのみたす条件を数三の微分を用いてt=sinxと置かずに解く方法で解答解説お願いします
No.44420 - 2017/07/06(Thu) 15:21:17
☆ Re: 関西大 過去問 / X
問題の方程式から
(2sinx+1)k=-cos2x+4
ここで
0≦x≦π (A)
により
2sinx+1≠0
∴k=(-cos2x+4)/(2sinx+1)
そこで
f(x)=(-cos2x+4)/(2sinx+1)
と置いて、(A)におけるf(x)の増減表を書き
(A)におけるy=f(x)のグラフと直線y=kの
交点の個数がkの値によってどう変化するのか
を考えます。
No.44438 - 2017/07/06(Thu) 21:46:34
★ 整数 / 名無し
70の解き方教えてください
解答）nは10個、nの最大値は89
よろしくお願いします
No.44413 - 2017/07/05(Wed) 23:48:47
☆ Re: 整数 / 名無し
これが解説ですが読んでも分からないです…。
n^2を5でわると1余るというのが、n^2=(4a+1)^2になるところからわかりません
No.44414 - 2017/07/05(Wed) 23:50:48
☆ Re: 整数 / 名無し
すみません、画像つけ忘れました
これが解答です、よろしくお願いします
No.44415 - 2017/07/05(Wed) 23:51:52
☆ Re: 整数 / らすかる
n^2を5でわると1余るからn^2=(4a+1)^2になるのではありません。

・nを4で割ると1余る→n=4a+1と書ける
・n=4a+1ならば当然n^2=(4a+1)^2
・(4a+1)^2=5(3a^2+a)+a^2+3a+1であり、n^2は5で割ると1余るから、a^2+3aは5の倍数
ということです。
No.44416 - 2017/07/05(Wed) 23:57:25
☆ Re: 整数 / angel
えっと、先に力技から。

最悪、綺麗に計算なんてできなくて良いんです。全部列挙しちゃえばいいんです。
ただ、流石に100個は試せないからある程度はパターンで見ましょう、というところさせ意識すれば。

問題としては「4で割ると」「5で割ると」の2種類の条件なので、4,5の最小公倍数20から「20で割った余りがどうか?」を見れば十分です。

例えば 9 は、9÷4=2...1, 9^2÷5=16...1 で条件を満たします。
すると、9 に20を ( 何個でもいいから ) 足した数も条件を満たすのです。
実際、
　9+20k = 4・5k+9 → 4で割ると1余る
　(9+20k)^2 = 400k^2+40k・9+9^2 = 5・80k^2+5・8k・9+9^2 → 二乗を5で割ると1余る

なので、1〜20の範囲で調べてみて、条件を満たす数字を見つけたら、あとは20を足していくだけです。

で、1〜20の範囲では 1,9 が条件を満たすので、
全部で
　1,9,21,29,41,49,61,69,81,89
の10個ということです。
1〜100だと20個の周期がちょうど5周期とれるので、2×5=10個でも良いですね。
No.44417 - 2017/07/06(Thu) 00:02:21
☆ Re: 整数 / 名無し
angelさん、そういう解き方もあるんですね、ありがとうございます！

2枚目の画像なんですが、n^2=5(3a^2+a)+a^2+3a+1がa(a+3)となってるのはどうしてなのでしょうか？普通に分解すればa(3a+1)かなと思ったので…
No.44439 - 2017/07/06(Thu) 22:18:01
☆ Re: 整数 / らすかる
5の倍数かどうかが問題になるのは
カッコ内の3a^2+aではなく、カッコの後のa^2+3aの部分です。
a^2+3a=a(a+3)ですね。
No.44441 - 2017/07/06(Thu) 23:30:04
★ (No Subject) / ゆうたろう
すいません。もう1度質問させて下さい。
(3)が分からないのですが、
(3)は、直角三角形OABを作ると書いてあるのですが、∠Aが直角である、という意味なのか、ほかの角が直角でもいいのか分かりません。下側に書いてあるのは、
自分の答えです。
No.44411 - 2017/07/05(Wed) 22:42:12
☆ Re: / らすかる
∠Aが直角とは書かれていませんので、∠Aまたは∠Bが直角ということになりますね。
y=-(3/4)x+(15/4)は正しいですが、y=-(3/4)x+(5/4)は辺OA,OBと接しませんので
正しくありません。もう一つはx=3ですね。
No.44412 - 2017/07/05(Wed) 22:48:24
☆ Re: / ゆうたろう
そうなんですね。
ありがとうございました。
以前答えて下さった方も
ありがとうございます。
No.44418 - 2017/07/06(Thu) 06:49:04
★ (No Subject) / あ
iは虚数単位とする
cosiは実数か

できれば高校数学の範囲で解いてください
No.44405 - 2017/07/05(Wed) 20:22:58
☆ Re: / IT
高校数学では、cosx は xが実数の場合しか定義されてないので「高校数学の範囲で解くこと」は不可能（というかナンセンス）だと思います。
No.44407 - 2017/07/05(Wed) 20:28:11
☆ Re: / angel
というか、
　cosz=( e^(iz)+e^(-iz) )/2
なので、cosi が実数なのはtrivialかと…。
No.44408 - 2017/07/05(Wed) 20:58:30
★ べき級数の収束半径 / をん
べき級数の収束半径を求める時にΣ[n=1→∞]のような場合のやり方がよくわかりません
例えば
Σ[n=1→∞](1/n)z^(n+1)
答えはRです
No.44403 - 2017/07/05(Wed) 19:09:05
☆ Re: べき級数の収束半径 / をん
> べき級数の収束半径を求める時にΣ[n=1→∞]のような場合のやり方がよくわかりません
> 例えば
> Σ[n=1→∞](1/n)z^(n+1)
> 答えはRです
打ち間違えました。
答えは１です
No.44404 - 2017/07/05(Wed) 19:09:49
☆ Re: べき級数の収束半径 / angel
ダランベールの収束判定法でいいのではないでしょうか。

lim[n→∞] | (1/n+1)/(1/n) | = 1 ですから、収束半径は 1

収束半径の頁もご参考に。
No.44406 - 2017/07/05(Wed) 20:23:06
☆ Re: べき級数の収束半径 / をん
回答ありがとうございました
理解できました。
No.44409 - 2017/07/05(Wed) 21:01:09
★ (No Subject) / Doomsday
写真の問題の解き方を教えて下さい！
No.44393 - 2017/07/05(Wed) 15:13:33
☆ Re: / らすかる
最外周と外から2周目の4領域はすべて異なる色でなければなりませんので
最外周の色をa、外から2周目の色を時計回りにb,c,dとします。
最内周と内から2周目の4領域も同様ですので、
最内周の色をe、内から2周目の色をf,g,hとします。
ただしfはc,dと接し、gはd,bと接し、hはb,cと接しているものとします。
このとき同色にできるものは
e=a, e=b, e=c, e=d, f=a, f=b, g=a, g=c, h=a, h=d … (A)
ですべてですが、e,f,g,hは全て異なる色にしなければなりませんので
8色: (A)を採用しない1通りのみ
7色: (A)をどれか1個採用する10通り
6色: (A)のうち右辺が異なる2個を採用するのは、
e=aを採用するとき もう1個はf=b,g=c,h=dのいずれかなので3通り
e=b,e=c,e=dのいずれかを採用するとき もう1個は5通りずつ
上記以外でf=a,g=a,h=aのいずれかを採用する時 もう1個は2通りずつ
それ以外 3通り
よって全部で 3+3×5+3×2+3=27通り
5色: (A)のうち右辺が異なる3個を採用するのは、
e=aを採用するとき あと2個の選び方は3通り
e=b,e=c,e=dのいずれかを採用するとき あと2個の選び方は5通り
上記以外でf=a,g=a,h=aのいずれかを採用する時 あと2個の選び方は1通り
それ以外 1通り
よって全部で3+3×5+3×1+1=22通り
4色: (A)のうちa,b,c,dを1個ずつ採用するので
e=aを採用するとき 1通り
e=b,e=c,e=dのいずれかを採用するとき それぞれ1通り
よって全部で4通り
従って
(1)
8色: 8!/3=13440通り
7色: 8P7/3×10=134400通り
6色: 8P6/3×27=181440通り
5色: 8P5/3×22=49280通り
4色: 8P4/3×4=2240通り
合計380800通り
(2)
6!/3×27=6480通り
No.44395 - 2017/07/05(Wed) 16:52:00
★ (No Subject) / GIFT
正八角形Aの辺と対角線(あるいはその一部)でつくられる三角形のうち、少なくとも2つの頂点がAの頂点であるものは何個あるか。

という問題の解説をお願いします。
No.44391 - 2017/07/05(Wed) 14:48:59
☆ Re: / らすかる
3つの頂点がAの頂点であるものは
8C3=56個
1つの頂点が対角線の交点であるものは
Aの頂点から4つ選んで四角形を作り、対角線を結べば
条件を満たす三角形が4個できるので
8C4×4=280個
よって全部で 56+280=336個
No.44396 - 2017/07/05(Wed) 16:58:36
★ 関数の凸性について / あつき
添付した画像の
同様に、以下の不等式について質問です。

∂f(z) / ∂x となっていますが
元の不等式は∇xf(x^(1))(x^(2) - x^(1))
なので、zで置き換えることはできないのではないでしょうか。

よろしくお願いします。
No.44386 - 2017/07/05(Wed) 11:02:56
☆ Re: 関数の凸性について / あつき
添付の画像です。
No.44387 - 2017/07/05(Wed) 11:07:22
★ 中3の数学です / まどか
どうしても、先生の解答の意味が解りません。
よろしくお願い致します
No.44384 - 2017/07/05(Wed) 09:38:38
☆ Re: 中3の数学です / ヨッシー
(ｘ−ｙ)^2＝ｘ^2−2xy＋ｙ^2
　　　　　＝ｘ^2＋2xy＋ｙ^2−4xy
　　　　　＝(ｘ＋ｙ)^2−4xy
を使っています。よって、
　3(ｘ−ｙ)^2＝3{(ｘ＋ｙ)^2−4xy}
　　　　＝3{(2√5)^2−4(-4)｝＝１０８
です。

正解の部分は写し間違い。
自分の部分は　ｘはｘ^2 の書き間違いとして、
　ｘ^2＋ｙ^2 と (ｘ＋ｙ)^2 を同一視しているように見えます。
No.44385 - 2017/07/05(Wed) 09:53:00
☆ Re: 中3の数学です / まどか
ありがとうございます。
解説、よく解りました。
同一視していました。基本の例題を固めていこうと思います。
No.44389 - 2017/07/05(Wed) 11:40:59
★ 規則性の問題 / ぶどう
いつもわかりやすい解説ありがとうございます。
規則性の問題なのですが、解説が詳しくないので
理解できないのです。　公式のようなものかあるのでしょうか? 　
例えば、27+12-3のところで27は底辺、12は高さだと思うの
ですが-3はどこから出できたのでしょうか?
また、(2)では27×10/12 で27は底辺、12は高さだと思うの
ですが10がどこから出できてのかわからないのです。
解説のほどよろしくお願いします。
No.44380 - 2017/07/05(Wed) 09:16:41
☆ Re: 規則性の問題 / らすかる
3は27と12の最大公約数です。
Aから右に9cm、上に4cm進むごとにタイルの頂点を通りますので
右9cm上4cmごとに9+4-1枚となり、
全体では(9+4-1)×3=27+12-3枚となります。
わかりにくい場合は、横を6cm、縦を4cmにして
実際に描いてみて下さい。

10はCEの長さです。
No.44383 - 2017/07/05(Wed) 09:28:41
☆ Re: 規則性の問題 / ぶどう
らすかるさん　
くわしい解説ありがとうございました。

最大公約数を使うのですね　納得です。
ありがとうございました。
No.44388 - 2017/07/05(Wed) 11:25:55
★ (No Subject) / ゆうたろう
この問題合ってますか？
(3)は、答えが二つあるので、間違っていると思います。
No.44378 - 2017/07/05(Wed) 06:52:53
☆ Re: / ヨッシー
(1)(2) は合っています。
(3) は２つは２つでも違う２つです。
ｙ＝-3x/4＋15/4 (図のＯＡ2Ｂ2) は正しいですが、ｙ＝-3x/4＋5/4 （赤線）は
「辺に」接していることにならないのでダメです。

その代わり、図のＯＡ1Ｂ1 があります
No.44382 - 2017/07/05(Wed) 09:19:39
☆ Re: / ゆうたろう
直角三角形OABを作るのに、ＯＡ1Ｂ1は引けるのでしょうか？
No.44399 - 2017/07/05(Wed) 18:13:18
★ (No Subject) / 昏い双眸
0から9を用いて4桁の暗証番号をつくる。
同じ番号が2回以上出現する数(1223や5752など)と続き番号を含む数(4709や2906など)を不適とすると、使用可能な暗証番号は何個あるか。

宜しくお願い致します。
No.44376 - 2017/07/05(Wed) 00:05:37
☆ Re: / らすかる
1桁目の選び方は10通り
2桁目の選び方は1桁目の数字と隣接の2数字を除いた7通り
3桁目の選び方は2桁目の数字と隣接の2数字と1桁目の数字を除いた6通り
よって3桁目までの選び方は420通り
このうち1桁目と3桁目が隣接しているものは10×2×6=120通りなので
隣接していないものは300通り
1桁目と3桁目が隣接している場合、4桁目に選べる数字は
3桁目の数字と隣接2数字と2桁目の数字を除いた6通り
1桁目と3桁目が隣接している場合、4桁目に選べる数字は
3桁目の数字と隣接2数字と2桁目の数字と1桁目の数字を除いた5通り
従って使用可能な暗証番号は
120×6+300×5=2220個。
No.44377 - 2017/07/05(Wed) 00:48:32
★ (No Subject) / ゆうたろう
数列の問題です。
(1)、(2)はこれで合ってますか？
(3)は自信ありません。
No.44367 - 2017/07/04(Tue) 18:52:56
☆ Re: / angel
先ほどと同じ問題でしょうか? であれば、既存のトピックに返信してつなげてほしいです。( 連続性が途切れるので )

さて、(1),(2)合っているようですが、(2)で聞かれてる「nの値」が抜けています。

(3)は間違いです。
計算過程はともかく、今回は答えを先に出せるはずです。それを利用すれば、自分が間違えていないかチェックできます。

さて「Snの最小値」とあるわけですが、これはanの初項からの和なので、
　-2k + -2(k-1) + … + -6 + -4 + …
と、負の項を足し続ける限り減っていくわけです。
じゃあ最小は? というと、足す項が0以上に転じる直前あたり。
なので、-2( k + (k-1) + … + 2 + 1 ) と同じ値になるはずなのです。
No.44370 - 2017/07/04(Tue) 19:11:06
☆ Re: / ゆうたろう
途中ですが、
このようにするのでしょうか？
すみませんが、(3)をもう少し解説お願いします。
No.44375 - 2017/07/04(Tue) 22:40:50
☆ Re: / angel
あ…。そっち路線で解答書きますか? ただ、( 答えを出す意味では簡単でも ) 書くの難しいと思います。
なので、解答書く用と、答え合わせ用と使い分けられるといいのですが。

まず、書くのが簡単な方です。これは(1)(2)の路線の継承で、つまり出題者の想定解になるものです。

初項-2k → 第n項 2(n-k-1) → Sn=1/2・n( -2k + 2(n-k-1) )
つまり、Sn=n^2-(2k+1)n で、n=k,k+1 で最小、最小値 -k(k+1)

次、答えだけだすなら…版。

ざっくり言うと、負である第k項まではSnは減少し続けるし、それ以降は増加に転じるから、最小はSk,S[k+1] だよね、という話。
つまり、S1＞S2＞…＞Sk=S[k+1]＜S[k+2]＜…
で、最小値は Sk=-2k + -2(k-1) + … + -4 + -2 = -2(1+2+…+k)=-k(k+1)

解答として書くなら、

an=2(n-k-1) となるため、n＞k+1 で an＞0, n=k+1でan=0, n＜k+1でan＜0
そのため、n≧2 において Sn=S[n-1]+an に対し
n＞k+1 で Sn＞S[n-1], S[k+1]=Sk, n＜k+1でSn＜S[n-1]
よって Sk,S[k+1]がともに最小

…後の計算は上で書いた通りなので割愛します。
No.44390 - 2017/07/05(Wed) 13:12:14
☆ Re: / ゆうたろう
これがなぜn＝k,k＋1で最小になるのでしょうか？
No.44398 - 2017/07/05(Wed) 18:02:50
☆ Re: / ゆうたろう
平方完成をすると
こうなるのではないでしょうか？
No.44400 - 2017/07/05(Wed) 18:24:47
☆ Re: / angel
平方完成自体は間違ってないですよ。でも最小値は間違いです。
(2k+1)/2 = k+0.5 と変形すればどうでしょうか。
kに、敢えて「自然数」という条件がついているのは、実は物凄く大きいんですよ。強く心に留めておくべきところ。
※そして、nが自然数という暗黙の前提も
No.44401 - 2017/07/05(Wed) 18:50:39
☆ Re: / angel
あと、(2)って、(3)での k を k=6 と特定の値に固定した状況なのですが。
(2)の答えは、「n=6,7でSn最小」ですよね。
「n=(2k+1)/2で最小」としてしまうと不整合になるわけで…。
もちろん、増減に着目した別解とも。

そういったところを常にチェックするようにした方がいいかな、と思います。多分そうすれば、どこがおかしいかも自力で解決できるようになってきます。
No.44402 - 2017/07/05(Wed) 18:57:45
☆ Re: / ゆうたろう
なるほど、分かりました。
ありがとうございます。
No.44410 - 2017/07/05(Wed) 22:07:46
★ (No Subject) / ゆうたろう
数列の問題なのですが、
(1)、(2)はこれで合ってますか？
(3)は、前半だけ、答えを無理やり
出してみたのですが、どうですか？
(写真の下側に書いてあります。)
No.44361 - 2017/07/04(Tue) 18:03:10
☆ Re: / X
全て間違っています。恐らく、計算方針は正しいと
思われますが、公差は3ではなくて2です。
No.44363 - 2017/07/04(Tue) 18:10:53
☆ Re: / ゆうたろう
あー、本当ですね。
もう1回やり直します。
No.44364 - 2017/07/04(Tue) 18:29:22
★ (No Subject) / あう
この問題の(2)のこの部分の解説がよくわかりません
感覚的に1/3がかけられるたびに値は小さくなっていてこの不等式は成り立たないような気がしてしまいます
解説よろしくお願いします
No.44357 - 2017/07/04(Tue) 17:49:16
☆ Re: / あう
解説の部分です
No.44358 - 2017/07/04(Tue) 17:49:57
☆ Re: / X
＞＞感覚的に1/3がかけられるたびに〜
それは
3-a[n]≧3-a[n-1]
の場合です。
3-a[n]に対して、3-a[n-1]が十分大きければ
3-a[n]＜(1/3)(3-a[n-1])
が成立する場合もあり得ます。
(1＜4
であって
1＜(1/3)・4
であることと同じことです。)
No.44360 - 2017/07/04(Tue) 18:02:48
☆ Re: / あう
(1)より0＜a〔n〕＜3なので3-a[n-1]は限りなく0に近い値を取るのでこのような不等式が成り立つという認識で大丈夫ですか？
No.44365 - 2017/07/04(Tue) 18:29:45
☆ Re: / X
違います。
1＜4であって1＜(1/3)・4
はよろしいですよね？
同じように
0.1＜0.4であって0.1＜(1/3)・0.4
0.01＜0.04であって0.01＜(1/3)・0.04

つまり
>>3-a[n-1]は限りなく0に近い値
であろうがなかろうが、片方に1/3をかけても
大小関係が変わらない場合がある
ということです。
No.44366 - 2017/07/04(Tue) 18:47:27
☆ Re: / あう
今回はその場合だということはどうしたら分かりますか？
僕の理解力不足で何度も質問してしまってすみません…
No.44369 - 2017/07/04(Tue) 18:58:23
☆ Re: / あう
ようやく意味がわかりました、ありがとうございました！
No.44373 - 2017/07/04(Tue) 19:34:46
★ (No Subject) / ゆうたろう
この問題の(3)が分かりません。
あと、(1)、(2)は合ってますか？
(写真の下側に書いてます。)
No.44355 - 2017/07/04(Tue) 17:04:45
☆ Re: / X
(1)
間違っています。
条件のとき
3/2=2・(1/2)^2+4{(√3)/2}^2+a
これより
3/2=1/2+3+a
∴a=-2

(2)
前半)
二倍角の公式により
cos2θ=2(cosθ)^2-1
=2t-1
後半)
これも間違っています。
(1)の結果と(2)前半の結果を使うと
y=2(2t-1)^2+4t-2
=8t^2-4t (A)

(3)
方針だけ。

条件から(2)のtに対して
0≦t≦1 (B)
横軸にt、縦軸にyを取って
(B)の範囲で(A)のグラフを
描きましょう。
又、
t=(cosθ)^2
ですので、t≠0なるtのある値
に対し、cosθの値は正負二つ
の値が対応しますが
0≦θ≦π
において、cosθはθについて
単調減少ですので、結局
あるtの値に対し、θの値は
二つ対応することに
注意しましょう。
No.44356 - 2017/07/04(Tue) 17:29:21
☆ Re: / ゆうたろう
これで合ってますか？
No.44359 - 2017/07/04(Tue) 17:53:45
☆ Re: / X
(3)において、yが最大のときのθの値が一つ足りません。
yが最大のときθ=0,πとなります。
No.44362 - 2017/07/04(Tue) 18:09:23
☆ Re: / ゆうたろう
すいません。書き忘れてました。
ありがとうございます
No.44368 - 2017/07/04(Tue) 18:54:32
★ (No Subject) / シーソーゲーム
問．0,1,2,3,4,5の6つの数字を重複せずに用いて4桁の整数をつくる。隣り合う数字の和が5になる箇所が2つあるような整数をすべて加えるといくつになるか。

解説宜しくお願いします。
No.44349 - 2017/07/04(Tue) 15:04:15
☆ Re: / らすかる
隣り合う数字の和が連続して5になることはありませんので、
一の位と十の位の和が5、百の位と千の位の和が5ということです。
和が5になるのは(0,5)(1,4)(2,3)の3組で、
この中から2組選んで下2桁と上2桁に配置すれば条件を満たします。
ただし千の位が0にならないように注意します。
例えば百の位と千の位に(1,4)の組、一の位と十の位に(2,3)の組を選んだとき、
1423
1432
4123
4132
の4通りですが、どの列も和が10になりますので
4数の合計は11110です。
百の位と千の位に(1,4)または(2,3)を選んだ場合、
一の位と十の位は残り2組のいずれかを選べますので
合計は11110×2×2=44440となります。
百の位と千の位に(0,5)を選んだ場合、
千の位が5、百の位が0でなければならず、
5014,5041,5023,5032
の4通りとなりますが、これらの和は20110ですから
和は全部で 44440+20110=64550 となります。
No.44352 - 2017/07/04(Tue) 16:10:00
★ (No Subject) / ゆうたろう
この問題なのですが、写真の下側に書いてある、答えであってますか？
No.44348 - 2017/07/04(Tue) 15:00:08
☆ Re: / らすかる
合ってます。
No.44353 - 2017/07/04(Tue) 16:13:08
☆ Re: / ゆうたろう
ありがとうございます
No.44354 - 2017/07/04(Tue) 16:37:52
★ (No Subject) / Doomsday
写真の問題の解き方を教えて下さい！
No.44346 - 2017/07/04(Tue) 13:30:51
☆ Re: / らすかる
1は左下に入ります。
2は1の右か上のどちらかに入ります。
もし2を1の右に入れた場合は3は1の上か2の右か選べますが、
2を1の上に入れた場合は3は1の右に決まります。
つまり1から順に入れていくとき、
「上の段の方が個数が多くならないように左から順に入れていく」
場合の数ですから
「(0,0)から(5,5)まで格子点を右か上に進む。ただしy=xより下側に出てはいけない」
という場合の数と同じで、10C5-10C4=42通りとなります。
No.44350 - 2017/07/04(Tue) 15:05:34
☆ Re: / Doomsday
理解できました。ありがとうございます！
No.44392 - 2017/07/05(Wed) 14:51:50
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