ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ x^3+y^3+z^3 / つくし

f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3(x,y,zは有理数)において、x,y,zを適切に定めることでf(x,y,z)は任意の有理数値をとることを証明したいのですが、方針を教えていただけますか？

No.44294 - 2017/07/02(Sun) 01:04:06

☆ Re: x^3+y^3+z^3 / ググ

u=x+y+z, v=y+zとおいてfを変形後、u^3-3v(u^2-z^2)=0とおいて
u=3h(1-θ^2), v=h, z=3hθ(1-θ^2)
とおく

No.44308 - 2017/07/02(Sun) 11:45:44

☆ Re: x^3+y^3+z^3 / つくし

ありがとうございました。発表に使わせていただきます。

No.44316 - 2017/07/02(Sun) 13:56:00

★ 二次不等式 / 柴犬

次の不等式を解け。ただし、aは定数とする。
(1)x^2－(a－2)x－2a＞0
答え
a＜－2のとき、解はx＜a,－2＜x
a=－2のとき、解は－2以外のすべての実数
a＞－2のとき、解はx＜－2,a＜x

という問題が分かりません。
詳しい解説をお願いします。

No.44290 - 2017/07/01(Sat) 15:23:42

☆ Re: 二次不等式 / angel

んー、どこまで把握されてますか?

・不等式の左辺を因数分解すると (x-a)(x+2)＞0 になるのはいいですか?
・(x-a)(x+2)＞0 という不等式があって、a の値が、例えば -3 とか -2 とか 0 とか 4 とか、特定の値に決まっているときに解けますか?

No.44291 - 2017/07/01(Sat) 15:41:11

☆ Re: 二次不等式 / 柴犬

どちらも大丈夫です。

答えのa＜-2、a＝-2、a＞-2に分けて答えるところがどうしてなのか分からないです。

No.44292 - 2017/07/01(Sat) 16:59:59

☆ Re: 二次不等式 / angel

ではもう少し詳しく例を並べてみますか。

・a=-4 の時、解は x＜-4, x＞-2　( 言い換えると x＜a, x＞-2 )
・a=-3 の時、解は x＜-3, x＞-2　( 言い換えると x＜a, x＞-2 )
・a=-2 の時、解は x＜-2, x＞-2、もっと単純には x≠-2
・a=-1 の時、解は x＜-2, x＞-1　( 言い換えると x＜-2, x＞a )
・a=0 の時、解は x＜-2, x＞0　( 言い換えると x＜-2, x＞a )

ということで、a=-2 を境に解が分かれる、逆に言えば a＜-2, a＞-2 の範囲では解は a を使って同じ形に書けるわけです。

これがなぜかというと。
二次不等式　(x-α)(x-β)＞0 があったとして、この解は
　・x＜α, x＞β
　・x＜β, x＞α
のどちらかですが、どちらになるかこれだけでは分かりません。
α,βの大小によって変わるからです。
確定させるためにはα,βの大小の条件が必要ですし、だから今回の問題を答える時も、こういう条件に沿って場合分けする必要があるのです。

No.44293 - 2017/07/01(Sat) 23:44:10

☆ Re: 二次不等式 / 柴犬

詳しい解説ありがとうございます。
納得しました。

No.44319 - 2017/07/02(Sun) 15:53:28

★ 積分∫ / アゴ

382(2) 2/sin^2xが-2/tanxになる理由がわかりません。よろしくお願い申し上げます。。

No.44284 - 2017/06/30(Fri) 21:24:45

☆ Re: 積分∫ / angel

> 2/sin^2xが-2/tanxになる

それは流石に微分した形を覚えておくしかないんじゃないかなあ…と思います。

　(tanx)'=1/(cosx)^2　　( なので ∫dx/(cosx)^2=tanx+C )

と類似の形として、

　(1/tanx)'=-1/(sinx)^2　　( なので ∫dx/(sinx)^2=-1/tanx+C )

があるのです。

1/tanx=cosx/sinx と見て商 ( 積 ) の微分を計算するか、
あるいは tan(x-π/2)=-1/tanx から
　( tan(x-π/2) )'= 1/(cos(x-π/2))^2=1/(sinx)^2
　( tan(x-π/2) )'= (-1/tanx)'=-(1/tanx)'
ということで、(1/tanx)'=-1/(sinx)^2 か、でも。

No.44287 - 2017/07/01(Sat) 02:15:43

★ フーリエ級数(大学2年) / ぽよ

4番の微分方程式の特殊解がどうしても求められません。

No.44280 - 2017/06/30(Fri) 14:34:14

☆ Re: フーリエ級数(大学2年) / ググ

-sin(x)/6 です

No.44281 - 2017/06/30(Fri) 15:04:26

☆ Re: フーリエ級数(大学2年) / ググ

見てなんとなく-sin(x)/6を考えましたが、真面目に解くなら以下のようになります

微分演算子d/dxをDと略記することにして
(D+3)(D-2)y = sin(x)
両辺にexp(3x)を（左から）掛けて
exp(3x)(D+3)(D-2)y = exp(3x)sin(x)
exp(ax)(D+a)という演算子はDexp(ax)という、「exp(ax)を掛けてから微分Dする」という演算子に置き換えられる事実（単に積の微分公式）を使って
D{exp(3x)(D-2)y} = exp(3x)sin(x)
両辺に左からDの逆演算しを掛けて、つまり不定積分して
exp(3x)(D-2)y = ∫exp(3x')sin(x')dx'
両辺にexp(-2x)exp(3x)を左から掛けて
exp(-2x)(D-2)y = exp(x)∫exp(3x')sin(x')dx'
左辺を先と同じように変形
D(exp(-2x)y) = exp(x)∫exp(3x')sin(x')dx'
左からDの逆演算しを掛けて
exp(-2x)y = ∫exp(x''){∫exp(3x')sin(x')dx'}dx''
両辺に左からexp(2x)を掛けて
y = exp(2x)∫exp(x''){∫exp(3x')sin(x')dx'}dx''
です。

右辺の積分はめんどくささはありますがやることは高校レベルです。sinをexpで書き直せばもっと簡単にできるハズ

No.44282 - 2017/06/30(Fri) 15:17:45

★ グラフ理論 / なにゃら

グラフ理論の証明です。
問題. 頂点数nの全二分木の葉の個数は(n+1)/2であることを証明せよ。

模範解答では頂点数nに関しての帰納法で解いていましたが僕の解法と異なっているので僕の議論に穴がないかを見てください。

解.頂点数nの全二分木T=(V,E)を考える。木であるから辺の本数を|E|とすると
n=|E|+1
である。

握手補題を利用する。
握手補題 :2|E|=v(∈V)の次数の総和
まず根は1つのみであるから根の次数は2である。
葉の個数をkとすると内部節点(ノード)の個数はn-k-1となる。(頂点数から葉と根の個数を引いたもの)
ノードの次数は3であるから,ノードの次数の総和は3(n-k-1)である。葉の次数は1であるから
1×kが葉の次数の総和である。
よって握手補題より
2+3(n-k-1)+k=2|E|
前述のn=|E|+1を利用して|E|を消去すると
k=(n+1)/2 Q.E.D.

No.44273 - 2017/06/30(Fri) 01:53:32

☆ Re: グラフ理論 / なにゃら

ちなみに全二分木とは根の次数が2でありそれ以外の内部節点の次数が3である二分木のことです。

No.44274 - 2017/06/30(Fri) 02:09:25

☆ Re: グラフ理論 / angel

良いと思います。

No.44275 - 2017/06/30(Fri) 02:28:03

☆ Re: グラフ理論 / なにゃら

ありがとうございます。

No.44277 - 2017/06/30(Fri) 03:41:23

★ 中3の数学です。 / まどか

解答欄の、鉛筆下線部の意味が解りません。
いきなり5nとなっていますが、文字式は両辺に等しくなっていふのでしょうか？

No.44266 - 2017/06/29(Thu) 19:23:39

☆ Re: 中3の数学です。 / 数学初心者

ルートの中身を二乗の形にしたいので
そのような表記になっております。
つまり 5の二乗かける nの二乗は
ルートが外れると 5 かける n となり
整数が求められますね！

No.44267 - 2017/06/29(Thu) 20:41:48

☆ Re: 中3の数学です。 / IT

少していねいに書くと

√(5(20-a))=m,(mは０以上の整数)とおける。
両辺２乗して,5(20-a)=m^2
よってmは5の倍数なので,m=5n,(nは０以上の整数)とおける。
5(20-a)=(5n)^2=(5^2)(n^2)
両辺を5で割って,20-a=5(n^2)

No.44268 - 2017/06/29(Thu) 21:34:10

☆ Re: 中3の数学です。 / angel

んー、少なくとも私が現役の頃は、この参考書にあるような物言いしたら咎められたものですが。ラフで曖昧な表現ということで。

> (略)だから、20-a=5n^2 ( nは整数 ) であればよい

ここは、

(略)ということは、20-a=5n^2 を満たすような整数 n が存在することと同値である
※または、「存在することが必要十分」

と表現すべきところで。

つまり、具体的な値が何になるかはまだ分からないとしても、そういう条件を満たす数が何かあって、それに n という名前を仮決めしているわけです。

No.44270 - 2017/06/29(Thu) 21:45:13

☆ Re: 中3の数学です。 / まどか

ありがとございます。スッキリ解りました。
このテキストは学校教材です。
定期テストの必修教材です。

No.44271 - 2017/06/29(Thu) 21:54:33

★ 式変形について / 数学初心者

画像の?のところがよくわかりませんでした。
解説をよろしくお願いいたしますm(_ _)m

No.44263 - 2017/06/29(Thu) 17:26:46

☆ Re: 式変形について / ググ

単なる微分の記法の問題ですね

(d/dx)は「微分する」ということを表す記号です
微分演算子とも言います

(d/dx)f(x) で関数f(x)を微分したもの（つまり導関数）を意味します。f'(x)と書くこともありますし、df(x)/dxと書いてもいいです

2回連続でxで微分することを(d/dx)(d/dx)と書きます
これはd^2/dx^2と書いてもいいですし、普通( (d/dx)(d/dx)という書き方よりは)こう書きます
f(x)を2回微分したものは

f''(x)
(d/dx)(df(x)/dx)
(d^2/dx^2)f(x)
d^2f(x)/dx^2

などの書き方があります。どれを使っても同じ意味です

画像ではf(x)がyとなっているだけです
d^2y/dx^2はy''と同じ意味でyをxで2回微分した結果を表します
上で述べたように (d/dx)(dy/dx) と書いても同じことです

d^2/dx^2は(d/dx)^2という意味で d^2/((dx)^2) を意味します
d^2/d(x^2)ではないですしdは変数ではないのでdで約分してd/xとなるということはありません

そもそも d/x は意味不明です

No.44264 - 2017/06/29(Thu) 18:18:04

★ 数?Vの問題です / 幸幸

グラフを書く問題です。

⑴ｙ＝ｘ（logｘ）^2

⑵ｙ＝e^-ｘ･sinｘ０≦ｘ≦4π

⑶ｙ＝e^-ｘ（ｘ^2+2ｘ-2）

⑷ｙ＝e^ｘ+e^-ｘ/2

⑸ｙ＝ｘlog｜ｘ-1｜

以上の関数の増減表を作りたいので
すが、計算過程と増減表を教えていただけないでしょうか？

No.44261 - 2017/06/29(Thu) 06:35:38

☆ Re: 数?Vの問題です / 幸幸

補足させてください！第一次導関数と第二次導関数を求める計算をしても、何故かうまく行きません･･･ここを教えてくださったら嬉しいです･･･

No.44283 - 2017/06/30(Fri) 15:48:04

☆ Re: 数?Vの問題です / X

>>第一次導関数と第二次導関数を求める計算をしても、
>>何故かうまく行きません
単に導関数の計算の演習不足では？
導関数の計算の演習問題でも、微分した後
そのままほったらかしではなくて
分かりやすいように整理しますよね？
その整理をもう少し進めます。

(1)を例にとって回答します。
積の微分などを使うと
y'=(logx)^2-x・2(logx)(1/x)
=(logx)^2-2logx
=(logx)(logx-2)
y"=2(logx)(1/x)-2/x
=(2/x)(logx-1)

増減表を作る場合にy',y"を使うコツは
整式の関数の場合と同じです。
整式の関数の場合は微分した後に因数分解をしていますが
sinx,logxなどの解析関数の場合は、微分した後に
「基本の解析関数に関する」因数分解(最低でもくくり出し)
をします。
(分かりにくい場合は、logx=tと置いてみるのも手です。)

ここまで計算できたら、定義域に対して
条件がないかをチェックします。
(1)の場合だと真数条件により、定義域は
x＞0
となります。

No.44288 - 2017/07/01(Sat) 09:38:27

★ (No Subject) / まんぼう君

相異なる10足の靴下、すなわち20本の靴下のうち、6本を失くしたとする。従って、残っている使用可能な靴下は4足、5足、6足、7足のいずれかである。このとき、何足残っている確率が最も大きいか。また、その確率を求めよ。

という問題が解けません…。正答は5足で168/323です。

どなたか解法をご教授ください！

No.44257 - 2017/06/29(Thu) 01:13:44

☆ Re: / angel

例えば使用可能な靴下が5足残る場合ですが、

　失くし方全体: 20C6
　そのうち:
　　残る靴下 … 10C5
　　ペアで失くすもの … 5C1 ( 残り5足中1足は両方失くす )
　　片方ずつ失くす … 2^4 ( 4足それぞれどちらを失くすか2通りずつ )

ということで、10C5×5C1×2^4/20C6 が確率です。

一般に k 足残る場合、/20C6 を除いた分子の部分が、

　10Ck × (10-k)C(k-4) × 2^(14-2k)
　= 10!/(k!・(10-k)!) × (10-k)!/((k-4)!・(14-2k)!) × 2^14/4^k
　= 10!・2^14/( k!・(k-4)!・(14-2k)!・4^k )

ということになるので、この分母 k!(k-4)!(14-2k)!4^k が最小になるところを探ろう、という話になります。
で、
　(k=4の時の分母)＞(k=5の時の分母)＜(k=6の時の分母)＜(k=7の時の分母)
なので、k=5 の時分母最小、全体の確率は最大、ということです。

この大小比較は、(kに対する分母)/(k+1に対する分母)≧1 という不等式を解くことで行っています。

No.44260 - 2017/06/29(Thu) 02:34:27

★ (No Subject) / らき☆すた

(1)赤玉2個、青玉2個、白玉4個の計8個の玉を円状に並べる。回転して同じ配置になるものは同一の並べ方と見做すとき、異なる並べ方は何通りあるか。

(2)白玉1個、赤玉2個、青玉4個、黄玉6個がある。これを糸で繋いで隙間のないネックレスをつくるとき、ネックレスの種類の総数を求めよ。ただし、回転または裏返しにより一致するものは同種と見做すものとする。

解説をお願いします。

No.44255 - 2017/06/29(Thu) 00:34:15

☆ (1) / angel

(1)
「回転して同じ配置になるものは…」とありますから、それであれば、最初から回転する余地のないように配置していくことを考えます。

つまり、一番少ない赤 ( 青でも良い ) に着目して、
・赤は一番上および向かって右側にしか配置しない
とするのです。
これで、少しでも回転させたら必ず異なる並べ方になります。

まず、赤の配置の方法としては、隣接、1個置き、2個置きの3通りがあり、それぞれ残り6個の並べ方の問題です。
これが、3×6C2=45通り

ただし、赤が真上・真下に来る場合は別です。これは180°回転させてもやはり赤が真上・真下になるからです。

例えば
　赤青青白赤白白白
　赤白白白赤青青白
これは、180°回転してお互い行ったり来たりします。この分は半分に減らす必要があります。

ただし、180°回転させても同じ形に戻るものは例外です。
　赤青白白赤青白白
なんかがそうで、3通りあります。

なので、半分に減らすのは 6C2-3 の部分。

結局全部で、45+(6C2-3)/2+3=54通り
※45+(6C2+3)/2 としても良い

No.44258 - 2017/06/29(Thu) 01:58:23

☆ (2) / angel

(2)
(1)と同様に、回転させる余地がないように。今度は1つしかない白を1番上で固定します。すると、残り12個の配置を考えるだけで済みます。

ところが、今回は「裏返しにより一致するものは…」とありますから、ほぼ全体を半分にカウントする必要があります。

ただし、というのも(1)と同じで、裏返して同じ形になるもの、これは除きます。
結局、

　( (白以外の12個の単純な配置全体) + (裏返して同じになる組み合わせ数) )÷2

を計算することになります。
※(1)の (6C2+3)/2 の部分と対比してください。

で、前者は12か所中、同じ色の2か所、4か所を順次選んで行く組み合わせになるので、
　12C2×10C4

後者は、右半分の6か所から同じ色の1か所、2か所を順次選んで行く組み合わせになるので、
　6C1×5C2

結局答えは、
　(12C2×10C4 + 6C1×5C2)/2 = 6960通り

No.44259 - 2017/06/29(Thu) 02:11:43

★ (No Subject) / Doomsday

写真の問題の解き方を教えて下さい！

No.44249 - 2017/06/28(Wed) 23:15:49

☆ Re: / らすかる

使えない道を消すと以下のようになりますね。
┏━━┳━━┓Y
┃┌┬┨┌┬┨
┃├┼┨├┼┨
┣┷┷╋┷┷┫
┃┌┬┨┌┬┨
┃├┼┨├┼┨
┗┷┷┻┷┷┛
X
Xを(0,0)、Yを(6,6)とします。
(4,0)を通る場合
(4,0)から(6,2)までが4C2=6通りなので6通り
(3,2)を通る場合
(1,0)から(3,2)までが6通り、(3,3)の先が7通りなので6×7=42通り
(1,3)と(4,3)を通る場合
(4,3)から(6,5)までが6通りなので6通り
(1,3)と(3,5)を通る場合
(1,3)から(3,5)までが6通りなので6通り
(0,4)を通る場合
1通り
よって全部で 6+42+6+6+1=61通り

No.44254 - 2017/06/29(Thu) 00:16:23

☆ Re: / Doomsday

回答ありがとうございました。

No.44345 - 2017/07/04(Tue) 13:26:58

★ (No Subject) / 名無し

すいません、例題174についてですが、

No.44246 - 2017/06/28(Wed) 22:55:44

☆ Re: / 名無し

どうして
(1)では(5-1)!で答えが出るのですか？
理屈が知りたいです

(2)これもどうしてこの式になるのかが理解できません。

よろしくお願いします。

No.44247 - 2017/06/28(Wed) 22:59:46

☆ Re: / X

どちらのご質問についても、まず教科書の円順列の項目
を復習しましょう。
その上で分からないようであれば、その旨をアップして
下さい。

No.44252 - 2017/06/29(Thu) 00:05:18

☆ Re: / angel

> (1)では(5-1)!で答えが出るのですか？
> 理屈が知りたいです
それを、そのページまるまる1ページ分で説明してるのですから…

(2)
3か所の円順列だと、円順列でない場合に比べ÷3 と見るなら5P3÷3 ですし、
3か所の円順列 (3-1)! に対し、どの文字の組み合わせを充てるかと見るなら、5C3×(3-1)! です。
両方とも結果は ( もちろん ) 同じになりますが、両面で考えられると良いです。

No.44253 - 2017/06/29(Thu) 00:10:41

★ (No Subject) / 浪漫飛行

赤玉5個、白玉9個がある。これらをA,B,Cの3つの箱に分けるとき、玉が1つも入っていない箱がないような分け方は何通りあるか。ただし、同じ色の玉は区別しないものとする。

No.44242 - 2017/06/28(Wed) 22:18:44

☆ Re: / らすかる

玉が1つも入っていない箱があってよい場合、
赤玉5個の分け方は5個の○と2個の仕切りを並べる場合の数なので7C2=21通り、
白玉9個の分け方は同様に11C2=55通りなので赤白両方では21×55=1155通り
このうち
特定の1つの箱に全部入るのは1通りなのでどれか1つの箱に全部入るのは3通り
特定の2つの箱に入るのは6×10=60通りだがこのうち2通りはどちらか片方に
全部入る場合なので、特定の2つの箱に入りどちらの箱も空ではない場合の数は
60-2=58通り
よってちょうど2つの箱に玉が入るのは58×3C2=174通り
従って求める場合の数は
1155-3-174=978通り

No.44243 - 2017/06/28(Wed) 22:51:02