放物線C:y=x^2と直線l:y=mx+n(m>0,n>0)の交点をA,Bとする。C上にA,B以外の点Pを角APB=90°を満たすようにとる。点Pが存在する範囲内でlを自由に動かすとき、線分ABの中点が存在しうる領域を図示せよ。
この問題が分かりません。どなたか教えてください！
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No.44077 - 2017/06/20(Tue) 18:51:11
| ☆ Re: / X | | | A(α,α^2),B(β,β^2)
と置くと、条件からα,βはxの二次方程式
x^2=mx+n
つまり
x^2-mx-n=0 (A)
の解なので解と係数の関係により
α+β=m (B)
αβ=-n (C)
一方、P(t,t^2)とすると
AP⊥BP
により
↑PA・↑PB=(α-t)(β-t)+(α^2-t^2)(β^2-t^2)=0
これより
(α-t)(β-t){1+(α+t)(β+t)}=0
条件からα≠tかつβ≠tゆえ
1+(α+t)(β+t)=0
整理して
t^2+(α+β)t+αβ+1=0 (D)
又、線分ABの中点の座標を
(X,Y)
と置くと
X=(α+β)/2 (E)
Y=(α^2+β^2)/2
=(1/2)(α+β)^2-αβ (F)
(B)(C)より(E)(F)はそれぞれ
X=m/2 (E)'
Y=(1/2)m^2+n (F)'
∴
X＞0 (G)
Y＞0 (H)
一方(E)'(F)'により
(m,n)=(2X,Y-2X^2) (I)
(B)(C)を(D)に代入して
t^2+mt-n+1=0
更に(I)を代入して
t^2+2Xt-Y+2X^2+1=0
(D)'をtの二次方程式と見たとき
実数解を持てばよいので
解の判別式をDとすると
D/4=X^2-(-Y+2X^2+1)≧0
∴Y≧X^2+1 (J)
(G)(H)(I)により求める領域は
x＞0
y＞0
y≧x^2+1
これを図示します。
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No.44080 - 2017/06/20(Tue) 20:48:38 |
| ☆ Re: / angel | | | > Xさん
m＞0 から X＞0 は良いと思うのですが、
n＞0 から Y＞0 は不適かと思います。
条件(F)' から n=Y-2X^2 なので、Y＞2X^2 になると思います。
また、とても細かい所ではあるのですが、y≧x^2+1 の中でも 点(1/2,5/4) は除外する必要があります。( 添付の図参照 )
![]() |
No.44081 - 2017/06/20(Tue) 22:46:02 |
| ☆ Re: / 王仁 | | | >angelさん
除外点(1/2,5/4)の座標はどのようにして求めるのですか？
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No.44120 - 2017/06/21(Wed) 23:10:14 |
| ☆ 除外点 / angel | | | > 除外点(1/2,5/4)の座標はどのようにして求めるのですか？
この除外点は図にもある通り、m=1,n=3/4 に対応するものです。
で、まず先に。
今回、中点の座標(X,Y)とm,nには、
X=m/2, Y=(1/2)m^2+n
逆に言えば
m=2X, n=Y-2X^2
の関係があり、(X,Y)と(m,n)が1対1に対応します。
なので、m=1,n=3/4 が除外されると、自動的に(X,Y)=(1/2,5/4) も除外されます。
※他のm,nの組で(X,Y)=(1/2,5/4) を作ることができない
というところで本題です。
そもそもの条件としては、点Pのx座標をt(t≠α,β)として
(α-t)(β-t){1+(α+t)(β+t)}=0
が成立すること。
言い換えると、このtの4次方程式が、α,β以外の実数解を持つことでした。
α+β=m, αβ=-n を利用すると、この4次方程式は
(t-α)(t-β)(t^2+mt-n+1)=0
です。なので、t^2+mt-n+1=0 という2次方程式が実数解を持つこと ( 判別式が0以上 ) が必要…なのですが、それだけでは十分ではありません。
なぜならば、t^2+mt-n+1=0 が「実数解を持つが、それがαとβ」或いは「実数解を持つが、それがαかβの重解」では不適だからです。
で、今回除外される m=1,n=3/4 は後者に相当します。
※前者は t^2+mt-n+1=0 が α,βを解に持つ方程式 t^2-mt-n=0 と 一致しないため、起こり得ません。
求め方としては、
・t^2+mt-n+1=0 が重解を持つ
… 判別式が0 つまり m^2+4(n-1)=0
・t^2+mt-n+1=0 が重解の場合の解 t=-m/2 が αまたはβに等しい、つまり、t^2-mt-n=0 の解となる
… (-m/2)^2-m(-m/2)-n=0
これを m＞0,n＞0 の条件の元で解きます。
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No.44122 - 2017/06/22(Thu) 00:41:13 |
| ☆ 補足 / angel | | | 付け加えると、No.44081に添付した図は、丁度
(t-α)(t-β)(t^2+mt-n+1)=0
の解が、t=-0.5(3重解),1,5 となっていて、α,β(-0.5,1.5)以外の解を持たない状態を示すものです。
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No.44123 - 2017/06/22(Thu) 00:45:18 |
| ☆ Re: / X | | | 返信遅れましてごめんなさい。
>>angelさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>王仁さんへ
ごめんなさい。angelさんの仰る通りです。
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No.44135 - 2017/06/22(Thu) 09:33:15 |
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