はじめまして。以下の問題の答えがわかる方がいらっしゃいましたら教えていただきたいです。高校数学の問題です。
nを負でない整数とし、方程式
(x-n/2)(x+n/2)x=[x]
の解の個数をL(n)とする。L(n)を求めよ。ただし[x]はxを超えない最大の整数を表す。
よろしくお願いします！
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No.84415 - 2022/12/29(Thu) 03:43:27
| ☆ Re: 高校数学の質問 / しろ帽子 | | | 解けたわけではないですが、具体的にnを決めてみると以下のようになるようです。
x=0は明らかに解になるので詳細略。
L(0)=4
x=0,1（x^3=1の解）,-1（x^3=-1の解）,-[3]√2（x^3=-2の解）
L(1)=4
x=0,1/2(x^3-x/4=0の解),(x^3-x/4=1の解),(x^3-x/4=-2の解)
L(2k)=L(2k+1)=3、kは1以上の整数
x=0,(左辺=kの解),（左辺=-k-1の解）
f(x)=x(x-n/2)(x+n/2)とする。
曲線y=f(x)とy=[x]の発散のスピードに差があるので上記以外には解はない。（このことを正確に記述する必要がある。）
なので解答としては
L(0)=L(1)=4,L(2k)=L(2k+1)=3
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No.84429 - 2022/12/29(Thu) 22:40:29 |
| ☆ Re: 高校数学の質問 / IT | | | しろ帽子さん＞
> f(x)=x(x-n/2)(x+n/2)とする。
曲線y=f(x)とy=[x]の発散のスピードに差があるので上記以外には解はない。（このことを正確に記述する必要がある。）
けっこう難しそうですね。
「発散」とは、ｘ＞0 の側では、「増加」のことだと思いますが、y=[x]は段差があるので局所的には増加率がいくらでも大きくなります。
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No.84430 - 2022/12/29(Thu) 23:13:32 |
| ☆ Re: 高校数学の質問 / IT | | | きちんと書ききれてないですが出来たとこまで
n≧2のとき、
x>0の部分を考える。
(x-n/2)(x+n/2)x = [x]⇔(x-n/2)(x+n/2)=[x]/x
y=f(x)=(x-n/2)(x+n/2)と y=g(x)=[x]/x の交点を調べる
g(x)＞0なので x＞n/2 の範囲を考えれば良い
t= x-n/2 とおいて t＞0 の範囲を考える。（考えやすくするためです）
y=h(t)=t(t+n) と, y=k(t)=[t+n/2]/(t+n/2) の交点を考える
h(t) は t軸と t=-n,0 で交わり下に凸の放物線で ｔ≧0で真に増加
h(0)=0,h(1/2)=n/2 + 1/4 ＞1
一方k(t) は、つねに0＜k(t)≦1で
n が奇数のとき
k(0) ＞ 0 で [0,1/2) で連続で真に減少
n が偶数のとき
k(0)=1＞ 0 で [0,1) で連続で真に減少
以上から y=h(t) とy=k(t) は t＞0の範囲では、ちょうど１回だけ交わる。
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No.84431 - 2022/12/29(Thu) 23:52:42 |
| ☆ Re: 高校数学の質問 / IT | | | t= x-n/2 とおかずに 区間をずらして考えた方が良かったですかね（お好みで）
x＜-n/2の側も,nを偶奇に分けて、 g(x)=[x]/x の各区間[-k-1,-k)での値域を調べれば良いですが、少し面倒です。
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No.84435 - 2022/12/30(Fri) 09:32:26 |
| ☆ Re: 高校数学の質問 / lest | | | 皆様、貴重なお時間を使ってご回答いただきありがとうございます。
なかなか一筋縄ではいかないのですね。
図まで作成していただき、大変助かりました。
友人に試してもらったところ、以下のような解答を得たためシェアします。途中で端折っている部分があります。|x|は床関数です。
m=0,1のとき、具体的に調べることにより、それぞれ4こ
ここからはm>=2の場合について考える。
f(x)=x(x+m/2)(x-m/2), g(x)=|x|とする。
f'(x)=3x^2-m^2/4より、-m/2√3 < x < m/2√3の範囲でf(x)は単調減少
(i) -m/2√3<=x<0について
f(x)>0>g(x)であるからこの範囲に解はない
(ii) x=0について
f(0)=g(0)=0よりx=0は解となる
(iii) 0<x<=m/2√3について
f(x)<0<=g(x)であるからこの範囲に解はない
ゆえに、f(x)が単調減少である閉区間に解は1つだけ存在する。
以下、単調増加である区間について考える。
ここで、nを整数としたときのf(n)の値に着目し、
n-1< f(n) <= n ……(1)
となるような整数nが存在するかどうか調べる（直感的には、床関数の段差の部分をf(n)が通るか調べる）。
n-1< f(n) <= n ⇔ -1 < n(n^2-m^2/4-1) <= 0
h(x)=x(x^2-m^2/4-1)とおくと、h'(x)=3x^2-(m^2/4+1)であるから、増減表とグラフがかける。
h(x)=0 ⇔ x=0, x=±√(m^2+4)/2 であり、x=0は単調増加の区間に含まれない。
グラフの形状より、(1)を満たす整数nが存在するのであれば、
| ±√(m^2+4)/2 | （| |は床関数）
< ±√(m^2+4)/2 > (<>は天井関数）
のうちいずれか1つは(1)を満たす。
まず、符号が正のものについて調べる。
(i) mが偶数のとき
m/2 < √(m^2+4)/2 < m/2+1であり、
h(m/2)=-m/2<=-1より、n=m/2は(1)を満たさない
h(m/2+1)=(m+2)(4m+3)/8>0 より、x=m/2+1は(1)を満たさない
(ii) mが奇数のとき
(m-1)/2 < √(m^2+4)/2 < (m+1)/2であり、
h((m-1)/2)=-(m-1)(2m+3)/8<=-1 (∵ m>=3) より、n=(m-1)/2は(1)を満たさない
h((m+1)/2)=(m+1)(2m-3)/8>0より、x=(m+1)/2は(1)を満たさない
符号が負の場合についても、同様の計算によって同じ結論を得る。
以上より、(1)を満たす整数nは存在しない。したがって、f(x)が単調増加であるような閉区間内に存在する任意の整数nについて
f(n)<=n-1あるいはf(n)>n ……(2)
である。
ここで、数列L_kをL_0=m/2√3, L_1=<m/2√3>, L_2=L_1+1, L_3=L_2+1, ...で定める （<>は天井関数）。
また、k=0, 1, 2...に対し、関数g*_{k}(x)を
g*_{k}(x)=g(x) (L_k<=x<=L_{k+1})
と定める。
すると、各閉区間[L_k, L_{k+1}]において以下が成立する。
(I) f(L_{k+1})>g*_{k}(L_{k+1}) ⇒ f(L_{k+1})>g*_{k+1}(L_{k+1}) ( ∵ (2)） （※ある区間でf(x)がg(x)より上にあれば、次の区間でもf(x)はg(x)より上にある）
(II) f(L_{k+1})<=g*_{k}(L_{k+1}) ⇒ f(L_{k+1})<g*_{k}(L_{k+1}) （※(I）の反対）
さらに、L_{<3m/2>}>=3m/2であるから、
f(L_{<3m/2>}) > f(3m/2) =3m^3 > g*_{<3m/2>}(L_{<3m/2>}) ……(III) （※十分大きなxに対して、f(x)はg(x)より上にある）
が成立する。また、
f(L_{0})<g(L_{0})……(IV)
である。
(I)〜(IV)と(2)より、k=0, 1, 2,... のうち一つだけ
f(L_{K})<g*_{K}(L_{K}) かつ f(L_{K+1}) > g*_{K}(L_{K+1})
を満たすような整数Kが存在する。
そのようなKに対し、閉区間[L_{K}, L_{K+1}]で中間値の定理が適用できる。g*_{K}(x)が定数関数であることと、f(x)の単調性より、この区間に一つだけL_{K}<x<L_{K+1}を満たすような
f(x)=g*_{K}(x)
の解が存在する。xは整数ではないから、これは
f(x)=g(x)
の解でもある。
ゆえに、x>m/2√3の範囲にf(x)=g(x)の解は1つだけ存在する。
x<-m/2√3の範囲についても、同様の議論により、解が1つだけ存在することが示せる。
これと、解x=0をあわせれば、解は合計3つである。
以上をまとめると、
n=0,1 のとき L(n)=4
n>=2 のとき L(n)=3
である。
長文失礼しました。
今回はありがとうございました！
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No.84468 - 2023/01/02(Mon) 00:33:58 |
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