x1,x2,x3,x4,x5,x6は、1,2,3,4,5,6の整数を並び替えたもの
y1,y2,y3,y4,y5,y6は、1,2,3,4,5,6の整数を並び替えたもの
z1,z2,z3,z4,z5,z6は、1,2,3,4,5,6の整数を並び替えたもの
とするとき、
（１）x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5+x6y6の最大値・最小値を求めよ。
（２）x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5+x6y6+y1z1+y2z2+y3z3+
y4z4+y5z5+y6z6+z1x1+z2x2+z3x3+z4x4+z5x5+z6x6
の最大値・最小値を求めよ。
という問題なのですが
（１）は最大値が91、最小値が56で一例として、
(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(1,2,3,4,5,6)
(y1,y2,y3,y4,y5,y6)=(1,2,3,4,5,6)
のとき最大
(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(1,2,3,4,5,6)
(y1,y2,y3,y4,y5,y6)=(6,5,4,3,2,1)
のとき最小
だと思うのですが、
（２）が分かりません。
教えてください。
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No.83331 - 2022/09/06(Tue) 21:58:50
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / らすかる | | | プログラムを作って総当たりしただけですが、
最小は195でした。一例は
(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(1,2,3,4,5,6)
(y1,y2,y3,y4,y5,y6)=(3,4,5,6,1,2)
(z1,z2,z3,z4,z5,z6)=(6,4,3,1,5,2)
です。
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No.83332 - 2022/09/07(Wed) 02:33:37 |
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / 大西 | | | ありがとうございます。
並び方にあまり規則性がなさそうに見えますね。
（１）だと並べ替え不等式を証明すれば解けますが、
（２）にはそういう解法はなさそうなのでしょうか。
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No.83333 - 2022/09/07(Wed) 07:58:26 |
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / らすかる | | | シンプルにまとまった解法はなさそうな気がします。
非常に多くの場合分けをすれば証明できそうではありますが。
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No.83334 - 2022/09/07(Wed) 11:53:05 |
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / 大西 | | | ありがとうございます。
(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(1,2,3,4,5,6)は固定しておいて残りを
調べていく感じですね。
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No.83335 - 2022/09/07(Wed) 12:05:10 |
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / らすかる | | | そうですね。
プログラムでもx1〜x6はそのように固定し、y1〜y6とz1〜z6のすべての組合せについて計算しました。
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No.83336 - 2022/09/07(Wed) 17:54:25 |
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / 大西 | | | 合っている自信はないのですが、
xy+yz+zx=(1/2)((x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2)
なので、
Σ(xiyi+yizi+zixi)(i=1..6)
＝Σ(1/2)((xi+yi+zi)^2-xi^2-yi^2-zi^2)(i=1..6)
と変形出来て、
Σ(xi^2)とΣ(yi^2)とΣ(zi^2)(i=1..6)は91で一定なので
Σ(xi+yi+zi)(i=1..6)=63のときΣ(xi+yi+zi)^2の最小値を求めれば求められそうです。
xi+yi+zi(i=1..6)のうち10が3個と11が3個あれば最小値が
得られそうです。
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No.83349 - 2022/09/08(Thu) 22:20:27 |
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / らすかる | | | なるほど、うまく示せてますね。
「10が3個と11が3個のとき最小値」
を示せれば、他は問題ないと思います。
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No.83350 - 2022/09/08(Thu) 23:42:27 |
| ☆ Re: 積の最大値・最小値 / 大西 | | | 方針が合っていて良かったです。
「10が3個と11が3個のとき最小値」は示せそうです。
ご回答ありがとうございました。
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No.83357 - 2022/09/09(Fri) 17:59:57 |
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