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★ 軌跡について / Kristofer
円C: x^2+y^2=1 の内部に定点A(0,a)がある。円Cの周上の2点P,Qが、＜PAQ=90*を満たしながら動くとき、2点P,Qにおける接線の交点の軌跡を求めよ。

答え x^2+{y+a/(1-a^2)}^2=(2-a^2)/(1-a^2)^2

答えは分かっているのですがそれまでの解法や方針がわかりません。お願いします。
No.44004 - 2017/06/17(Sat) 19:44:23
☆ Re: 軌跡について / angel
先に交点を仮決めしてから考えていきます。
※Pを決めて、∠PAQ=90°となるQを求めて、それから交点を求めて…では紛糾します

その際に、∠PAQ=90°という条件を「点AがPQを直径とする円周上」と読み替えておきます。( Aは円C内部にあるので、AとP or Qが一致するような例外は考える必要がないです )

さて、交点R(p,q)を円の外側に取る ( p^2+q^2＞1 ) と、△OPR ( OQRも ) は直角三角形であり、PQの中点Mに関して PM は△OPRの斜辺ORへの垂線。
色々直角三角形の相似が生まれて、

　・OM=1/OR ( なので、Mの座標は (p/(p^2+q^2),q/(p^2+q^2))
　・PM^2=QM^2=1-1/R^2=1-1/(p^2+q^2)

ということで、PQを直径とする円、つまり、Mを中心とした半径PMの円は

　・(x-p/(p^2+q^2))^2+(y-q/(p^2+q^2))^2=1-1/(p^2+q^2)

となります。

これが定点Aを通る、と持っていくことでp,qの条件が分かる寸法です。計算すると、

　(0-p/(p^2+q^2))^2+(a-q/(p^2+q^2))^2=1-1/(p^2+q^2)
　⇔ a^2-2aq/(p^2+q^2)+(p^2+q^2)/(p^2+q^2)^2 = 1-1/(p^2+q^2)
　⇔ 0=(1-a^2)(p^2+q^2)+2aq-2
　⇔ p^2+(q+a/(1-a^2))^2=(2-a^2)/(1-a^2)^2

です。(p,q)を(x,y)に置き換えて x^2+(y+a/(1-a^2))^2=(2-a^2)/(1-a^2)^2 とすると、答えになります。

※本来は、これが全域で p^2+q^2＞1 を満たすか、つまり導き出された円が円Cの外側にあるかを、更に検証しなければなりませんが…。
No.44041 - 2017/06/19(Mon) 00:30:05
★ 逆行列の証明 / bonbon
(A＾-1)＾-1＝Aはどのように証明すればよろしいでしょうか？教えてください。
No.44000 - 2017/06/17(Sat) 15:33:35
☆ Re: 逆行列の証明 / X
条件からA^(-1)が存在することが前提となるので
逆行列の定義より
(A^(-1))A=E
A(A^(-1))=E
これはA^(-1)の逆行列がAであるとも
見ることができます。
No.44001 - 2017/06/17(Sat) 17:04:01
☆ Re: 逆行列の証明 / bonbon
直感的にはそうなるのはわかるんですけど、理論的に導く事が出来ません。
No.44002 - 2017/06/17(Sat) 18:58:04
☆ Re: 逆行列の証明 / X
直観的ではなくて、これで十分理論的です。

ではもう少し分かりやすくするために置き換えを
使ってみましょうか。
条件からA^(-1)が存在することが前提となるので
逆行列の定義より
(A^(-1))A=E
A(A^(-1))=E
∴A^(-1)=Bと置くと
BA=E
AB=E
A,Bは同じ大きさの正方行列ですので
逆行列の定義により
B^(-1)=A
Bを元に戻して
(A^(-1))^(-1)=A
No.44003 - 2017/06/17(Sat) 19:38:24
☆ Re: 逆行列の証明 / bonbon
なるほどです、ご丁寧な解説ありがとうございました。
No.44005 - 2017/06/17(Sat) 19:51:07
★ 仕事算 / キルキン
みなさんが仕事算を解くときの、思考の流れを教えて下さい。

以下の問題を見ても、私の場合、どこから整理して良いかわからず、手がつけられません。。

仕事算の基本的な公式はわかっているのですが、このような問題にどう適用すれば良いかわかりません。もしかすると、何をイコールで結んで方程式を立式すべきかわからないのかもしれません。
同じ理由で、速度算も極端に不得意です。

添付の解説を読んでも、個別の部分の解き方は理解はできるのですが全体の考え方がよくわからないので、再度問いた時に解けないですし、類題にも手が出ません。。

どんな問題でも適用できるような、解き方のフローチャートのような考え方はないでしょうか。(この条件に当てはまる問題は、このように立式する等)

問題:
それぞれの定率で稼働すると、wウィジェットを生成するのにマシンXはマシンYよりも2日かかる。これらの速度では、2台のマシンが一緒に3日で5w / 4のウィジェットを生成する。マシンXだけで2wウィジェット生成した場合、何日かかりますか。

答え:添付で、12。

よろしくお願いします。
No.43999 - 2017/06/17(Sat) 14:59:47
☆ Re: 仕事算 / パテ埋め
結局は仕事量/時間を処理するだけという本質をしっかり理解することです。フローチャートなんか立てて当てはめようとも時間を空費するだけですし(そもそも正確に覚えられるのかという問題もある)、ちょっと毛色の違う問題に太刀打ちできなくなってしまうのでは？

マシンXがWウィジェット生産するのに掛かる日数をtとする。ウィジェットという単位が分かりづらいので個にします。それぞれの生産能力は

マシンX: W個 / t日 -> (W/t)個 / 1日 -> 3(W/t)個 / 3日
マシンY: W個 / (t-2)日 -> (W/(t-2))個 / 1日 -> 3(W/(t-2))個 / 3日

よってこれらを同時に稼動させて3日で作れるのは
3(W/t) + 3(W/(t-2))個 これが5W/4個に等しい。
方程式を解いて適解としてt=6を得る。
マシンXはW個 / 6日 -> 2W個 / 12日
No.44012 - 2017/06/18(Sun) 01:15:59
★ (No Subject) / ｒ
（２）〜（４）の一般解の求め方を教えてください。お願いします。
No.43998 - 2017/06/17(Sat) 14:24:17
★ 不定積分 / bonbon
この不定積分の答えと求め方がわからないので教えてください。
∫(x+2)^7(x-3)dx
No.43995 - 2017/06/17(Sat) 11:33:20
☆ Re: 不定積分 / らすかる
x+2=tとおくと
∫(x+2)^7(x-3)dx
=∫t^7(t-5)dt
=∫t^8-5t^7dt
=t^9/9-5t^8/8+C
=(x+2)^9/9-5(x+2)^8/8+C
=(x+2)^8(8x-29)/72+C
No.43996 - 2017/06/17(Sat) 12:30:44
☆ Re: 不定積分 / bonbon
ありがとうございました。
No.43997 - 2017/06/17(Sat) 12:46:47
★ Re: Re:式と証明　重解 / 前進
2重解とは一次式の解と、二次式の解のそれぞれからある場合も2重解と呼ぶのではないのでしょうか？

やはり二次方程式の重解を2重解と呼ぶのでしょうか？

宜しくお願い致します。
No.43993 - 2017/06/17(Sat) 01:47:33
☆ Re: Re:式と証明　重解 / らすかる
n次式の解n個のうち同じ値のものがちょうど二つあれば二重解です。
この問題ではa=-4のときx=-1が二重解、a=9/4のときx=3/2が二重解です。
No.43994 - 2017/06/17(Sat) 03:29:36
★ (No Subject) / 名無し
すいません、(3)についての質問なのですが、男子の並び方が4!通りあるのはわかったのですが、
女子の並び方の計算がどうしてそうなるのかがわかりません。
3人いるので、3x2x1だと思ったのですが。。。

もう少しわかりやすく教えていただけませんか？

無知ですいません、よろしくお願いします。
No.43989 - 2017/06/16(Fri) 16:00:38
☆ Re: / ヨッシー
男子の間と両端の５箇所
の意味を考えましょう。
　
No.43992 - 2017/06/16(Fri) 17:01:48
★ (No Subject) / 名無し
すいません、s2についての質問なのですが、
No.43985 - 2017/06/16(Fri) 13:07:25
☆ Re: / 名無し
どうしてx≦y≦zになるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.43986 - 2017/06/16(Fri) 13:09:28
☆ Re: / ヨッシー
「なる」のではなく「する」のです。
見分けの付くかごでは
　(1,3,6)(1,6,3)(3,1,6)(3,6,1)(6,1,3)(6,3,1)
は違う分け方ですが、見分けがつかないときは、１通りなので、
代表して (1,3,6) を採用するのです。
別に、x≧y≧z でも良いし、x≦z≦y でも良いのです。
No.43988 - 2017/06/16(Fri) 14:50:45
☆ Re: / 名無し
返信してくださって、ありがとうございます。

すいません、ヨッシーさん、どうしてそう「する」、いえ「した」のでしょうか？

順序がどうでもいいなら、
x≧y≧z
y≧x≧z
z≧y≧xなどなど。。

でもいいんでしょうか？

あとどうして(1,3,6)の数字になるのですか？
よろしくお願いします。
No.43990 - 2017/06/16(Fri) 16:05:08
☆ Re: / ヨッシー
(1,3,6)(1,6,3)(3,1,6)(3,6,1)(6,1,3)(6,3,1)
の中でわかりやすいのは、小さい順か、大きい順だからです。

>順序がどうでもいいなら　〜　でもいいんでしょうか？
間違わずに解ける自信があるなら、どんな並び順でも構いません。

(1,3,6) は10個のボールを分ける一例です。
No.43991 - 2017/06/16(Fri) 16:56:57
★ (No Subject) / 名無し
すいません、S6についての質問です。

100円硬化４枚を50円硬化８枚で表せますが、

でも問題文では１０円硬化２枚あるので、

50円硬化８枚は１０円硬化４0枚で表せますが、ここでは50円硬化のまま計算されてます。

どうしてでしょうか？

またいつ、その硬化自身よりも１回り小さい硬化に合わせないといけない理由と、いつそれを使うのかが知りたいです。

よろしくお願いします。
No.43984 - 2017/06/16(Fri) 13:00:24
☆ Re: / ヨッシー
50円硬貨８枚が１０円硬貨40枚で表せると言っても、
50円硬貨８枚で、
　10, 20, 30,・・・・ 400
を払えるわけではありません。

法則でいうと、
　１円が４枚あれば、５円を１円に置き換えることにより、１円きざみの金額が総額まで表せます。
　５円がないとき、１円が９枚あれば、１０円を１円に置き換えることにより（以下同文）
　１０円もないとき、１円が４９枚あれば、５０円を１円に置き換えることにより（以下同文）
　５０円もないとき、１円が９９枚あれば、100円を１円に置き換えることにより（以下同文）

　５円が１枚あれば、１０円を５円に置き換えることにより、５円刻みの金額が総額まで表せます。
　（以下略）

要は、連続した金額が作れるかどうかです。
No.43987 - 2017/06/16(Fri) 14:45:59
★ (No Subject) / たまご
(x-1)/{(3x+2)(2x-1)^2(x^2+1)}=a/(3x+2)+b/(2x-1)+c/(2x-1)^2+(cx+d)/(x^2+1)と置くのはなぜですか？規則性を見つけようと思うなら、(2x-1)^2の分子もmx+nなどと置くべきだと思うのですが、なぜこれでよいのでしょうか

よろしくおねがいします
No.43980 - 2017/06/15(Thu) 23:02:01
☆ Re: / らすかる
(mx+n)/(2x-1)^2=(mx-(1/2)m+(1/2)m+n)/(2x-1)^2
=(mx-(1/2)m)/(2x-1)^2+((1/2)m+n)/(2x-1)^2
=(m/2)(2x-1)/(2x-1)^2+((1/2)m+n)/(2x-1)^2
=(m/2)/(2x-1)+((1/2)m+n)/(2x-1)^2
のように分解されますので、
(2x-1)^2の分子をmx+nと置く必要はありません。
No.43981 - 2017/06/15(Thu) 23:25:44
★ (No Subject) / 名無し
すいません169の(2)についてなのですが
No.43976 - 2017/06/15(Thu) 17:01:02
☆ Re: / 名無し
100円の硬化が４枚を無理やり５０円の硬化に変えたら、計算で出てくる何通りの答えって変わってくるのではないでしょうか？

どうして50円で表せるのですか？

よろしくお願いします。
No.43977 - 2017/06/15(Thu) 17:08:03
☆ Re: / ヨッシー
１００円４枚、５０円２枚でも
５０円１０枚でも、
　0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500
の11通りを作れることに変わりないからです。

　
No.43979 - 2017/06/15(Thu) 17:57:36
★ (No Subject) / 名無し
すいません、167の(2)についての質問です。
No.43971 - 2017/06/15(Thu) 15:47:17
☆ Re: / 名無し
私はてっきり

大のサイコロ＝2,4,6
小のサイコロ=1,2,3,4,5,6

大のサイコロ=1,2,3,4,5,6
小のサイコロ=2,4,6

の２パターンだけと思ったので、

3x6+3x6=36通りと計算したのですが、
でもおかしいですよね？

なぜなら、全通りが３６になるわけなので。

どこで間違えましたか？

よろしくお願いします。
No.43972 - 2017/06/15(Thu) 15:50:43
☆ Re: / ヨッシー
どれが１６７番ですか？
No.43973 - 2017/06/15(Thu) 15:55:55
☆ Re: / ヨッシー
どんな問題なのかわかりませんが、その解答を見る限り
(大, 小)＝(2, 2), (2, 4) などは重複して数えられていますね。
No.43974 - 2017/06/15(Thu) 15:58:15
☆ Re: / 名無し
すいません、ヨッシーさん！！

黒い丸をつけている部分です！

ありがとうございます。
No.43975 - 2017/06/15(Thu) 16:29:29
☆ Re: / ヨッシー
(1) だし！
というツッコミは置いといて、
コメントは、上に書いたとおりです。
No.43978 - 2017/06/15(Thu) 17:52:10
★ (No Subject) / アナザー
この問題の解き方が分かりません。教えて欲しいです。よろしくお願いします。一番のこたえが順に3.5点、3点、ルート3/2点で二番が0. 65625 です。
No.43970 - 2017/06/15(Thu) 12:38:29
★ (No Subject) / 名無し
S3についてですが

はみ出している、最後のn(￣x￣)^2

がわかりません。

どうして、

1/n=(x1^2+x2^2+...+xn^2)-￣2x￣(x1+x2+...+xn)

ではダメなのですか？

よろしくお願いします。
No.43967 - 2017/06/15(Thu) 05:10:46
☆ Re: / X
以下、xの上にバーが付いているものの記号を
\x
と表すことにします。

S2の一行目の{}内において
(x[k]-\x)^2=(x[k])^2-2x[k]\x+(\x)^2
(k=1,2,…,n)
この右辺の(\x)^2がS2の二行目でどこに行っているのか
を考えましょう。
No.43968 - 2017/06/15(Thu) 05:51:50
★ (No Subject) / あ
S＝1/1+3/2+…+(2n-1)/2^(n-1)
の和の答えがわからないのですが、
計算したところ6−2（n＋3）／2＾（n）だったのですが、あっていますか？違ったら教えてください。
No.43964 - 2017/06/14(Wed) 23:13:27
☆ Re: / あ
6−2（2n＋3）／2（n）でした。
No.43965 - 2017/06/14(Wed) 23:26:19
☆ Re: / らすかる
6-2(2n+3)/2(n)が
6-2(2n+3)/2^nのつもりなら合ってます。
ただし分数の2は約分して
6-(2n+3)/(2^(n-1))
とした方が少し綺麗だと思います。
No.43966 - 2017/06/14(Wed) 23:45:11
★ ２２番おねがいします / lっl
２２番証明してください
No.43963 - 2017/06/14(Wed) 22:55:09
★ 無限等比数列の問いについて / ブラッドマミ
いつもお世話様です。ブラッドマミと申します。この度は三角関数の極限値についての質問です。（問い）0<θ<π,θ≠π/2のとき次の極限値を求めよ。（１）lim n→∞(cos^n(θ)+1)/(sin^n(θ)+1)
解）0<sinθ<1,-1<cosθ<1 だから　n→∞のときsin^n(θ）→0,n→∞のときcos^n(θ)→0 より極限値は１だそうです。

わからない所はn→∞のときなぜsin^n(θ)→0とcos^n(θ)→0になるのか不明です。どなたかわかる方、論理的に説明いただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。
No.43961 - 2017/06/14(Wed) 21:01:07
☆ Re: 無限等比数列の問いについて / X
a=sinθ
と置くと0＜a＜1
∴
lim[n→∞](sinθ)^n=lim[n→∞]a^n=0
(cosθ)^nについても同様です。
No.43962 - 2017/06/14(Wed) 21:34:06
☆ Re: 無限等比数列の問いについて / ブラッドマミ
回答頂き参考になりました。ありがとうございます。
No.43969 - 2017/06/15(Thu) 09:07:39
★ 教えてください / もも
(4)のやりかたがわかりません、解と係数の関係を使ってみたのですが、いまいちα＜βの使い道がわからないです。
No.43959 - 2017/06/14(Wed) 20:23:01
☆ Re: 教えてください / X
α＜β
という条件があるからと言って必ずしも
使う必要はありません。

点Rから直線PQに下ろした垂線の足をH、
△PQRの面積をSとすると
S=(1/2)RH・PQ
となることからPQの計算をする場合、
計算途中に
β-α
が現れます。
但し、現れるのは全て
|β-α|
の形にできますので、
α＜β
であろうと
α＞β
であろうと
計算結果に影響はありません。

注)
解と係数の関係から
(β-α)^2
の値を計算してから
β-α (A)
の値を計算するわけですが
(A)ではなくて
|β-α|
であればα、βの大小関係に関係なく
一つに定まります。
No.43960 - 2017/06/14(Wed) 20:51:19
★ (No Subject) / 名無し
すいません、S29の(4)についての質問なのですが、
No.43955 - 2017/06/14(Wed) 16:25:01
☆ Re: / 名無し
自分なりにやってはみたのですが、

どうしても答えとは合いません。

どこが間違っていたのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.43956 - 2017/06/14(Wed) 16:26:58
☆ Re: / ヨッシー
少なくとも、
>ｒ＝ＭＤ なので
は誤りです。
　ｒ＝ＭＤ
ではないです。
No.43957 - 2017/06/14(Wed) 16:39:19
★ 質問しつれいします / 名無し
領域の問題でx^2+y^2の最小値を求めよという問題なのですがどうやれば円と3x+y-6=0との接点が丸で囲った部分になるのか分かりません。特にy=1/3xが意味不明です。
どうか教えてください。
No.43953 - 2017/06/14(Wed) 15:41:22
☆ Re: 質問しつれいします / ヨッシー
接点における半径と、接線とは直行する。
直行する２つの直線の傾きがａ，ｂならば ａｂ＝−１ である。
以上のことを思い出しましょう。
No.43954 - 2017/06/14(Wed) 15:55:58
☆ Re: 質問しつれいします / 名無し
解決しました、ありがとうございます。
No.43958 - 2017/06/14(Wed) 16:39:58
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