ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 受験

25m+17n=1623を満たす正の整数の組m nを１つ求めろ

mod17で見ると1623÷17=95余り8より
8m≡8[mod17]
m=1とするとn=[1623-25]÷17=94
[m,n]=[1,94]

とあるのですがmod17の下りが何をやっているのかいまいちわかりません8ｍがどこから出てきたのかわかりませんし
8m≡8[mod17]からなぜm=1?
詳しく説明をお願いします

No.44056 - 2017/06/19(Mon) 16:22:14

☆ Re: / ヨッシー

　25m+17n=1623　・・・(i)
に、25＝17＋8、1623＝17・95＋8 を代入すると
　8m＋17m＋17n＝17・95＋8
これは、
　8m を17で割ったあまりは８である
と解釈できます。これが、
　8m≡8[mod17] ・・・(ii)
です。これは、m が(ii) を満たすいかなる整数であってもｎを適当に取れば、
(i) を満たすように出来るということも示唆しています。
「いかなる整数でも」なのでｍは 1,18, 35 など、なんでも良いのですが、
一番簡単なｍ＝１を選んでいます。
ちなみに、(m,n)＝(1,94), (18,69), (35,44), (52,19) がｍ，ｎが正になる全ての組み合わせです。

No.44057 - 2017/06/19(Mon) 17:49:22

☆ Re: / 受験

大まかな部分は理解できました
ただ
m が(ii) を満たすいかなる整数であってもｎを適当に取れば、
(i) を満たすように出来るということも示唆しています。

とあるのですがこの部分がうまく理解できません。なぜそう示唆しているとわかるのですか？

No.44064 - 2017/06/19(Mon) 21:49:14

☆ Re: / ヨッシー

ｍが(ii) を満たす整数であれば、ある整数ｋについて
　8m＝17k＋8
と書けます。これを、
　8m＋17m＋17n＝17・95＋8
に代入すると
　17(k＋m＋n)＝17・95
　ｎ＝95－k－m
とｎが必ず一つ決まるからです。

No.44069 - 2017/06/20(Tue) 10:01:54

☆ Re: / 受験

こちらの理解力が追い付かず申し訳ないのですが
このmod17を使ったとき方は具体的にどういった利点があるのでしょうか？
２５ｍと１７ｎのうち大きいほうの２５ｍにとりあえず１を代入して計算すれば答えは出てくるしちょっと理解が追い付いません。具体的にはどういった場面で必要になってくるテクニックなのでしょうか？

No.44075 - 2017/06/20(Tue) 16:58:56

☆ Re: / ヨッシー

ｍ＝１を入れて答えが見つかったのは偶々です。

与えられた式が、25m+17n=1623 ではなく
25m+17n=1624 であったとしても、Mod 17 を使えば、
　8m≡9
ｍの１つとして 16 を見つけ、ｎ＝７２もすぐ見つかります。

利点と思うかは人それぞれです。
この問題のポイントは、
　25m+17n=1623 から　1623－25m が17の倍数となる
に気づくことです。その表現方法として Mod 17 が
あるのであって、他の表し方でも構いません。

No.44078 - 2017/06/20(Tue) 19:11:29

☆ Re: / 受験

25m+17n=1624の場合で考えると
8mは１７で割ると９余る数だから１７の倍数に９を足した数を考えていき１７×７+９＝１２８が8の倍数であることに気づいて128÷８＝１６だからｍに１６が入ることに気づく
といった形でしょうか？

No.44093 - 2017/06/21(Wed) 14:32:43

☆ Re: / ヨッシー

そういうことです。
　

No.44094 - 2017/06/21(Wed) 17:24:07

☆ Re: / 受験

やっと理解できました
長々とお付き合いいただきありがとうございました

No.44102 - 2017/06/21(Wed) 20:08:24

★ (No Subject) / アナザー

この問題の二番目の解き方がわかりません。解き方を教えて欲しいです。よろしくお願いします。こたえは0. 65625

No.44051 - 2017/06/19(Mon) 10:41:22

☆ Re: / ヨッシー

こちらなどの定義に従って計算します。

平均値は国語、数学とも３点ちょうどです。

国語について残差平方を計算すると
　5×(1-3)^2＋12×(2-3)^2＋12×(4-3)^2＋5×(5-3)^2＝64
数学について残差平方を計算すると
　6×(1-3)^2＋8×(2-3)^2＋8×(4-3)^2＋6×(5-3)^2＝64
国語と数学の共分散×人数を計算すると
（上段左から、人数×国語の残差×数学の残差：いずれかの点数が３のものは省略）
　3(4-3)(5-3)＋2(5-3)(5-3)＋3(2-3)(4-3)＋3(4-3)(4-3)＋2(5-3)(4-3)＋2(1-3)(2-3)＋5(2-3)(2-3)＋1(4-3)(2-3)＋3(1-3)(1-3)＋2(2-3)(1-3)
　＝6＋8－3＋3＋4＋4＋5－1＋12＋4
　＝42
よって、42/√64√64＝42/64＝21/32＝0.65625

No.44055 - 2017/06/19(Mon) 16:20:32

★ 立体図形の問題 / ぶどう

すいません、もう一問お願いします。
問題集の解説が分かりません。

(2)直方体の側面積は(6+8)×2×10=280cm2
　の部分ですが、ペンキで塗られていないのは
　6×8で両方にあるので6×8×2だと思うのですが
　他の部分は内容は理解できるのですが
　280cm2の所がどうしてもわかりません。
　よろしくお願いします。

　　

No.44050 - 2017/06/19(Mon) 10:41:15

☆ Re: 立体図形の問題 / ぶどう

すいません。
問題の部分が張り付けられていませんでした。

No.44052 - 2017/06/19(Mon) 10:42:19

☆ Re: 立体図形の問題 / らすかる

> ペンキで塗られていないのは
> 6×8で両方にあるので6×8×2だと思うのですが

「ペンキで塗られていないのは」は
「ペンキで塗られているのは」の間違いですか？

塗られている6×8の2面分を除くと、残りの4面
（うち2面は円柱が張り付いている）は
6×10と8×10が2枚ずつですよね？
つまり
6×10×2+8×10×2
=(6+8)×10×2
ですね。
(6+8)×2×10という式は、
(側面の面積)=(底面の周の長さ)×(高さ)
={(6+8)×2}×10
のように出していますね。

No.44053 - 2017/06/19(Mon) 12:20:50

☆ Re: 立体図形の問題 / ぶどう

解答解説ありがとうございました。
そうでする　塗られていない部分が正解でした。
また　くわしい解説ありがとうございました。

No.44054 - 2017/06/19(Mon) 12:36:37

★ 立体図形の問題 / ぶどう

いつもくわしい解説ありがとうございます。
立体図形の問題なのですが
問1の12個 13個　14個　15個までは自力がわかりました。
問2のやり方　考え方が分かりません。
よろしくお願いします。

解答1 12個 13個　14個　15個
解答2 414cm2

No.44045 - 2017/06/19(Mon) 09:49:46

☆ Re: 立体図形の問題 / らすかる

表面積が大きくなるのは、なるべく立方体が接していないときですから
1段目
■
■■■
■■■
2段目
□
■□■
□■□
3段目,4段目
□
□□□
□■□
となっているときに表面積が最大になります。
このとき、
同じ段で隣り合う立方体が接しているのは1段目の8箇所のみ
上下の段で接しているのは
1段目と2段目が3箇所、2段目と3段目が1箇所、3段目と4段目が1箇所なので
立方体同士が接しているのは全部で13箇所
ということは13×2=26面分表面積が少なくなりますので、表面積は
3×3×(6×12-26)=414cm^2
となります。

No.44047 - 2017/06/19(Mon) 10:04:46

☆ Re: 立体図形の問題 / ぶどう

さっそくの解答ありがとうございます。
表面積が大きくなる>>接している面をすくなくする
なるほどです。　問題の意味が分かりました。
ありがとうございました。

No.44049 - 2017/06/19(Mon) 10:32:52

★ 定積分（数?V） / がん

写真の定積分の値を自分で求めたのですが解答と合いません
。私はまず部分積分した後に－∫の方をf,g,g´の積分でやりました（f,g,g´の積分は多分代ゼミの荻野先生のやり方です）。私が導いた答えは(-e/4)+(3/4)でした。しかし、実際の解答は1/2です。
どんな解法でもいいのでこの問題の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

No.44037 - 2017/06/18(Sun) 22:49:16

☆ Re: 定積分（数?V） / IT

不定積分を求めます。

f(x)=x^2,g(x)=(1/2)e^(x^2) とおくと　g'(x)=xe^(x^2)なので
求める不定積分（積分定数,dx 略)
=∫f(x)g'(x)=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)
=f(x)g(x)-∫xe^(x^2)
=f(x)g(x)-∫g'(x)
=f(x)g(x)-g(x)
=(1/2)(x^2)e^(x^2)-(1/2)e^(x^2)

念のため微分するとＯＫ。　

No.44039 - 2017/06/18(Sun) 23:05:47

☆ Re: 定積分（数?V） / IT

> 私が導いた答えは(-e/4)+(3/4)でした
どこかで計算ミスしておられると思いますので、原因を見つけられたほうが良いと思います。

No.44040 - 2017/06/18(Sun) 23:30:05

☆ Re: 定積分（数?V） / がん

> 不定積分を求めます。
>
> f(x)=x^2,g(x)=(1/2)e^(x^2) とおくと　g'(x)=xe^(x^2)なので
> 求める不定積分（積分定数,dx 略)
> =∫f(x)g'(x)=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)
> =f(x)g(x)-∫xe^(x^2)
> =f(x)g(x)-∫g'(x)
> =f(x)g(x)-g(x)
> =(1/2)(x^2)e^(x^2)-(1/2)e^(x^2)
>
> 念のため微分するとＯＫ。　

回答ありがとうございます。計算ミスもあり得るのでまたやります！
ありがとうございました！

No.44091 - 2017/06/21(Wed) 10:10:26

★ (No Subject) / かい

なぜいきなり解答の丸で囲んだ部分になるのかわかりません

No.44031 - 2017/06/18(Sun) 22:10:26

☆ Re: / かい

解答です

No.44032 - 2017/06/18(Sun) 22:11:09

☆ Re: / かい

すみません。横になっていました。

No.44033 - 2017/06/18(Sun) 22:12:38

☆ Re: / かい

何度もすみません。

No.44034 - 2017/06/18(Sun) 22:15:44

☆ Re: / X

まず、
a[n]=3^n-5a[n-1] (A)
を等比数列の漸化式の形に変形する方針
はよろしいですか。
この問題の方針は、(A)の必要条件である
a[n]-c・3^n=-5{a[n-1]-c・3^(n-1)} (A)'
の形から考えています。
(∵(A)'は{a[n]-c・3^n}が公比-5の等比数列
であることを示しています。)
(A)-(A)'により
c・3^n=3^n-5c・3^(n-1)
つまりご質問の等式になります。

参考(模範解答の方針以外では次のような考え方もあります)
(A)の両辺を3^nで割ると
a[n]/3^n=1-(5/3)a[n-1]/{3^(n-1)}
∴a[n]/3^n=b[n]
と置くと
b[n]=-(5/3)b[n-1]+1
よって…

No.44036 - 2017/06/18(Sun) 22:33:47

★ (No Subject) / かい

なぜ丸で囲んだところを?@のように変形できるかわからないので途中計算などを教えてください。

No.44029 - 2017/06/18(Sun) 22:07:21

☆ Re: / X

元になっている問題が、

Σ[k=1～n]a[k]
を求めよ。
であると仮定して回答を。

これは途中計算などはありません。
この問題の模範解答の方針は
a[k]=b[k+1]-b[k]
なるb[n]を求めた上で
Σ[k=1～n]a[k]=b[n]-b[1]
と計算するために、
適当なb[n](つまり条件さえ満たせば何でもよい)を定める
ことが基本になっています。
その上でもう一度?@を見直して下さい。

No.44035 - 2017/06/18(Sun) 22:20:52

☆ Re: / かい

理解できました。ありがとうございます

No.44061 - 2017/06/19(Mon) 20:33:47

★ (No Subject) / 赤

全部解き方と答え教えてください🙇

No.44025 - 2017/06/18(Sun) 21:23:31

☆ Re: / X

基本は外側の根号の中が
a+b+2√(ab)
又は
a+b-2√(ab)
となるような自然数a,bを
考えることです。

(1)
(与式)=√{2+5+2√(2×5)}
=√2+√5

(2)(3)
これらは内側の√の係数を2にしてから
二重根号を外すことを考えます。

(2)
(与式)=√(12-2×3√3)
=√(12-2√27)
=√{3+9-2√(3×9)}
=√9-√3
(√3-√9ではありません。
√の定義を教科書で復習した上で
理由を自分で考えてみましょう。
その上で、もし分からなかったら
その旨をアップして下さい。)
=3-√3

(3)
(与式)=√{2(3+√5)/2}
={√(6+2√5)}/√2
={√{1+5+2√(1×5)}}/√2
=(√1+√5)/√2
=(1+√5)/√2
={(1+√5)√2}/2
=(√2+√10)/2

No.44027 - 2017/06/18(Sun) 22:00:01

☆ Re: / 赤

xさんありがとうございます🙇

No.44028 - 2017/06/18(Sun) 22:06:59

★ 食塩水 / みぃ

小学6年生の宿題わかりません。

問題
5％の食塩水250gに8％の食塩水を加えると6.8％の食塩水になりました。
8％の食塩水は何gでしたか？

方程式使えるなら
0.05×250+0.08×A＝0.068×(250+A)
で出来るはずなのですが。

方程式使えません。

No.44016 - 2017/06/18(Sun) 14:06:18

☆ Re: 食塩水 / らすかる

250×(0.068-0.05)=4.5なので、
二つの食塩水を混ぜずに
5%の食塩水の中の水4.5gと
8%の食塩水の中の塩4.5gを交換すれば
両方とも6.8%になります。
よって8%の食塩水の中の塩4.5gは
濃度(8-6.8)%=1.2%分ですから、
4.5÷0.012=375により
8%の食塩水は375gです。

No.44020 - 2017/06/18(Sun) 19:29:45

★ (No Subject) / 名無し

(n n-1 n-2… 2 1)の転倒数を求める上で、逆転数を数えて足せば、求められると知ったのですが、それらの値を全て足すと、n(n-1)/2になる理由が分かりません。何か法則があるのですか？

No.44014 - 2017/06/18(Sun) 12:02:21

☆ Re: / IT

「逆転数」とは何ですが？　「転倒数」とは違う概念ですか？

No.44015 - 2017/06/18(Sun) 12:16:12

☆ Re: / 名無し

いい方が悪かったようです。すみません。
(n-1)+(n-2)…2+1=n(n-1)/2でn(n-1)/2になる計算方法が分からないのです。

No.44018 - 2017/06/18(Sun) 16:26:37

☆ Re: / らすかる

例えばn=10のとき
9+8+7+6+5+4+3+2+1
を求めるために、逆順の和を並べて書くと
9+8+7+6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+7+8+9
この2行の和が求める和の2倍ですが
これを横に足すのではなく縦にそれぞれ足すと
10+10+10+10+…+10 (10が9個)
になりますので
10×9÷2
で求まることになります。

No.44019 - 2017/06/18(Sun) 19:05:10

☆ Re: / 名無し

天才ですね！ありがとうございます！

No.44038 - 2017/06/18(Sun) 23:01:57

☆ Re: / らすかる

そうですね。
こういうことを9歳にして思い付くガウスは確かに天才です。

No.44044 - 2017/06/19(Mon) 04:43:39

★ 2進法 / X

√2を2進法で表すと、どうなりますか？

No.44006 - 2017/06/17(Sat) 22:00:47

☆ Re: 2進法 / らすかる

√10 です。

No.44008 - 2017/06/17(Sat) 23:19:47

☆ Re: 2進法 / X

√2を2進法で表し、2^nを掛けると、（√2）^（2n＋1）になるのはどうしてですか？（2進法に関する）

No.44009 - 2017/06/17(Sat) 23:47:02

☆ Re: 2進法 / らすかる

2進法で表したら(√2)^(2n+1)にはなりません。
「2進法で表し」の部分を無視すれば、
2^n={(√2)^2}^n=(√2)^(2n)ですから
√2×2^n=√2×(√2)^(2n)=(√2)^1×(√2)^(2n)=(√2)^(2n+1)
となります。

# 2進法では(√10)^(10n+1)です。

No.44010 - 2017/06/18(Sun) 00:04:12

☆ Re: 2進法 / 関数電卓

> √2を2進法で表すと、どうなりますか？
質問者の意図は，
　√10＝1.0110101…(2)
ということかと思ったら、そうではないのですね？

No.44011 - 2017/06/18(Sun) 00:24:40

☆ Re: 2進法 / X

ありがとうございました。
よく分かりました。

No.44013 - 2017/06/18(Sun) 08:33:52

★ 軌跡について / Kristofer

円C: x^2+y^2=1 の内部に定点A(0,a)がある。円Cの周上の2点P,Qが、＜PAQ=90*を満たしながら動くとき、2点P,Qにおける接線の交点の軌跡を求めよ。

答え x^2+{y+a/(1-a^2)}^2=(2-a^2)/(1-a^2)^2

答えは分かっているのですがそれまでの解法や方針がわかりません。お願いします。

No.44004 - 2017/06/17(Sat) 19:44:23

☆ Re: 軌跡について / angel

先に交点を仮決めしてから考えていきます。
※Pを決めて、∠PAQ=90°となるQを求めて、それから交点を求めて…では紛糾します

その際に、∠PAQ=90°という条件を「点AがPQを直径とする円周上」と読み替えておきます。( Aは円C内部にあるので、AとP or Qが一致するような例外は考える必要がないです )

さて、交点R(p,q)を円の外側に取る ( p^2+q^2＞1 ) と、△OPR ( OQRも ) は直角三角形であり、PQの中点Mに関して PM は△OPRの斜辺ORへの垂線。
色々直角三角形の相似が生まれて、

　・OM=1/OR ( なので、Mの座標は (p/(p^2+q^2),q/(p^2+q^2))
　・PM^2=QM^2=1-1/R^2=1-1/(p^2+q^2)

ということで、PQを直径とする円、つまり、Mを中心とした半径PMの円は

　・(x-p/(p^2+q^2))^2+(y-q/(p^2+q^2))^2=1-1/(p^2+q^2)

となります。

これが定点Aを通る、と持っていくことでp,qの条件が分かる寸法です。計算すると、

　(0-p/(p^2+q^2))^2+(a-q/(p^2+q^2))^2=1-1/(p^2+q^2)
　⇔ a^2-2aq/(p^2+q^2)+(p^2+q^2)/(p^2+q^2)^2 = 1-1/(p^2+q^2)
　⇔ 0=(1-a^2)(p^2+q^2)+2aq-2
　⇔ p^2+(q+a/(1-a^2))^2=(2-a^2)/(1-a^2)^2

です。(p,q)を(x,y)に置き換えて x^2+(y+a/(1-a^2))^2=(2-a^2)/(1-a^2)^2 とすると、答えになります。

※本来は、これが全域で p^2+q^2＞1 を満たすか、つまり導き出された円が円Cの外側にあるかを、更に検証しなければなりませんが…。

No.44041 - 2017/06/19(Mon) 00:30:05

★ 逆行列の証明 / bonbon

(A＾-1)＾-1＝Aはどのように証明すればよろしいでしょうか？教えてください。

No.44000 - 2017/06/17(Sat) 15:33:35

☆ Re: 逆行列の証明 / X

条件からA^(-1)が存在することが前提となるので
逆行列の定義より
(A^(-1))A=E
A(A^(-1))=E
これはA^(-1)の逆行列がAであるとも
見ることができます。

No.44001 - 2017/06/17(Sat) 17:04:01

☆ Re: 逆行列の証明 / bonbon

直感的にはそうなるのはわかるんですけど、理論的に導く事が出来ません。

No.44002 - 2017/06/17(Sat) 18:58:04

☆ Re: 逆行列の証明 / X

直観的ではなくて、これで十分理論的です。

ではもう少し分かりやすくするために置き換えを
使ってみましょうか。
条件からA^(-1)が存在することが前提となるので
逆行列の定義より
(A^(-1))A=E
A(A^(-1))=E
∴A^(-1)=Bと置くと
BA=E
AB=E
A,Bは同じ大きさの正方行列ですので
逆行列の定義により
B^(-1)=A
Bを元に戻して
(A^(-1))^(-1)=A

No.44003 - 2017/06/17(Sat) 19:38:24

☆ Re: 逆行列の証明 / bonbon

なるほどです、ご丁寧な解説ありがとうございました。

No.44005 - 2017/06/17(Sat) 19:51:07

★ 仕事算 / キルキン

みなさんが仕事算を解くときの、思考の流れを教えて下さい。

以下の問題を見ても、私の場合、どこから整理して良いかわからず、手がつけられません。。

仕事算の基本的な公式はわかっているのですが、このような問題にどう適用すれば良いかわかりません。もしかすると、何をイコールで結んで方程式を立式すべきかわからないのかもしれません。
同じ理由で、速度算も極端に不得意です。

添付の解説を読んでも、個別の部分の解き方は理解はできるのですが全体の考え方がよくわからないので、再度問いた時に解けないですし、類題にも手が出ません。。

どんな問題でも適用できるような、解き方のフローチャートのような考え方はないでしょうか。(この条件に当てはまる問題は、このように立式する等)

問題:
それぞれの定率で稼働すると、wウィジェットを生成するのにマシンXはマシンYよりも2日かかる。これらの速度では、2台のマシンが一緒に3日で5w / 4のウィジェットを生成する。マシンXだけで2wウィジェット生成した場合、何日かかりますか。

答え:添付で、12。

よろしくお願いします。

No.43999 - 2017/06/17(Sat) 14:59:47

☆ Re: 仕事算 / パテ埋め

結局は仕事量/時間を処理するだけという本質をしっかり理解することです。フローチャートなんか立てて当てはめようとも時間を空費するだけですし(そもそも正確に覚えられるのかという問題もある)、ちょっと毛色の違う問題に太刀打ちできなくなってしまうのでは？

マシンXがWウィジェット生産するのに掛かる日数をtとする。ウィジェットという単位が分かりづらいので個にします。それぞれの生産能力は

マシンX: W個 / t日 -> (W/t)個 / 1日 -> 3(W/t)個 / 3日
マシンY: W個 / (t-2)日 -> (W/(t-2))個 / 1日 -> 3(W/(t-2))個 / 3日

よってこれらを同時に稼動させて3日で作れるのは
3(W/t) + 3(W/(t-2))個これが5W/4個に等しい。
方程式を解いて適解としてt=6を得る。
マシンXはW個 / 6日 -> 2W個 / 12日

No.44012 - 2017/06/18(Sun) 01:15:59