写真の問題の解き方を教えて下さい！
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No.43847 - 2017/06/12(Mon) 02:03:19
| ☆ Re: / X | | | 条件から
↑OR=(1-t)↑OA+t↑OC
=(-2(1-t)+t,4t)
=(3t-2,4t)
(但し0≦t≦1 (A))
と置くことができます。
また、
↑RP=(u,v)
と置くと、条件から点Qは
点PをRを中心にして反時計回りに
90°回転移動させてできる点
ですので
↑RQ=(-v,u)
よって
↑OP=↑OR+↑RP=(3t-2+u,4t+v) (B)
↑OQ=↑OR+↑RQ=(3t-2-v,4t+u) (C)
又、△PQRの面積をSとすると
S=(1/2)RP・RQ=(1/2)(u^2+v^2) (D)
ここで点Pは辺AB上にあるので
↑OPの成分について
4t+v=0 (E)
又、点Qは辺BC上にあるので辺BCの方程式が
y=-4(x-2) (1≦x≦2)
であることに注意すると、↑OQの成分について
4t+u=-4{(3t-2-v)-2} (F)
(E)(F)により
(u,v)=(-32t+16,-4t) (G)
これを(B)(C)に代入して
↑OP=(-29t+14,0)
↑OQ=(7t-2,-28t+16)
∴↑OP,↑OQのx成分について
-2≦-29t+14≦2 (B)'
1≦7t-2≦2 (C)'
(B)'より
12/29≦t≦16/29
(C)'より
3/7≦t≦4/7
これらと(A)により
3/7≦t≦16/29 (H)
更に(D)(G)により
S=(1/2){(-32t+16)^2+16t^2}
=8{(8t-4)^2+t^2}
=8(65t^2-64t+16)
横軸にt,縦軸にSを取って(H)の範囲で
(I)のグラフを描くと、Sは
t=32/65
のときに最小になることが分かります。
(注：(I)のグラフの軸は(H)の範囲内になります)
よって求める点Pの座標は
P(-18/65,0)
となります。
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No.43854 - 2017/06/12(Mon) 10:20:21 |
| ☆ Re: / らすかる | | | ＞Xさん
P(3/2,0)のとき、QとRの座標はどうなりますか？
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No.43859 - 2017/06/12(Mon) 11:12:37 |
| ☆ Re: / X | | | ＞＞らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
No.43854において所々計算間違いがありました。
＞＞Doomsdayさんへ
ごめんなさい。
No.43854を修正しましたので再度ご覧下さい。
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No.43860 - 2017/06/12(Mon) 12:53:33 |
| ☆ Re: / らすかる | | | ↑OP=(-29t+14,0)にt=32/65を代入するとP(-18/65,0)では？
# 私がかなり面倒な計算をして出した答えもP(-18/65,0)です。
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No.43861 - 2017/06/12(Mon) 13:03:31 |
| ☆ Re: / X | | | >>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
その通りですね。
＞＞Doomsdayさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
No.43854を修正しましたので再度ご覧下さい。
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No.43864 - 2017/06/12(Mon) 13:51:07 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 別解
P'(t,0),Q'(1,4)（t≦11/7）としてP'Q'R'がP'R'=Q'R'の直角二等辺三角形になるように
R'の座標を求めると R'((t-3)/2,(5-t)/2)
R'を通り傾きがACと同じ直線をy=(4/3)(x-a)とおいてaを求めると a=(7t-27)/8
((7t-27)/8,0)とBの距離(43-7t)/8はABの距離の(43-7t)/32倍なので
△P'Q'R'をBを中心として32/(43-7t)倍に比例縮小したものが条件を満たす△PQR
P'Q'=√((1-t)^2+4^2)=√(t^2-2t+17)なので△P'Q'R'の面積は(t^2-2t+17)/4
よって△PQRの面積は(t^2-2t+17)/4・(32/(43-7t))^2=256(t^2-2t+17)/(43-7t)^2
f(t)=(t^2-2t+17)/(43-7t)^2として増減を調べるとf'(t)=8(9t+19)/(43-7t)^3から
t=-19/9のときに最小値をとる
このときPの座標は2-32/(43-7t)・(2-t)=-18/65
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No.43880 - 2017/06/12(Mon) 17:31:11 |
| ☆ Re: / Doomsday | | | No.43916 - 2017/06/13(Tue) 14:52:43 |
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