ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / アナザー

この問題の解き方が分かりません。教えて欲しいです。よろしくお願いします。一番のこたえが2tで二番がtが1/2のとき最大値1/4

No.43948 - 2017/06/14(Wed) 12:36:26

☆ Re: / ヨッシー

(1)
メネラウスの定理を使えば
　(ＡＰ/ＰＭ)(ＭＢ/ＢＣ)(ＣＱ/ＱＡ)＝１
より
　(1/t)(1/2)(ＣＱ/ＱＡ)＝１
　ＣＱ/ＱＡ＝２ｔ
と出ますが、面積比で出すなら、
　△ＢＰＣ：四角形ＢＰＣＡ＝ＭＰ：ＰＡ＝ｔ：１
△ＢＡＰ＝△ＣＡＰ　より
　△ＢＰＣ：△ＢＰＡ＝ｔ：1/2＝２ｔ：１
△ＢＰＣ：△ＢＰＡ＝ＣＱ：ＣＡであるので、
　ＣＱ/ＱＡ＝２ｔ

(2)
ＣＱ：ＱＡ＝2t：１　であると同時に
ＢＲ：ＲＡ＝2t：１　であるので、
　△ＡＲＱ＝1/(2t+1)^2
　△ＢＲＭ＝△ＣＱＭ＝(1/2){2t/(2t+1)}
よって、
　△ＭＱＲ＝１－1/(2t+1)^2－2t/(2t+1)
　　　＝2t/(2t+1)^2
f(t)＝2t/(2t+1)^2 とおいて
微分して、最大となるｔを求めます。

No.43949 - 2017/06/14(Wed) 14:48:18

★ (No Subject) / 名無し

すいません、(2)についての質問なのですが、

y=RcosB
z=RcosC

の導き方を教えて下さい

よろしくお願いします。

No.43938 - 2017/06/13(Tue) 21:54:30

☆ Re: / angel

(2)ということは、Pが△ABCの外心という条件ですね。
y,z ともやり方は同じなので y の方で行きます。

Pは外心、つまり△ABCの外接円の中心であり、PA=PB=PC=R (外接円の半径) なので、△ABCは、PA,PB,PCによって3つの二等辺三角形に分割されています。

で、二等辺三角形というのは合同な直角三角形を2つ繋げた形であることを考えると、

　y = Rcos(∠CPA/2)

と。これは二等辺三角形を半分に割ってできる直角三角形の斜辺 ( PA或いはPC、長さR ) と、∠CPAの半分の角を挟む長さ y との関係ですね。

一方、円に内接する三角形の性質として、円周角∠B に対して中心角∠CPA は倍の大きさです。( Pは外接円の中心 )
つまり、∠CPA=2∠B

これを先ほどの y=Rcos(∠CPA/2) と組み合わせると y=Rcos∠B と分かります。

No.43943 - 2017/06/14(Wed) 02:46:02

★ 自由研究 / あ

3以上の整数xに対し、
e<(1+2/(x+1))^x
を証明してください。

No.43930 - 2017/06/13(Tue) 18:29:28

☆ Re: 自由研究 / IT

f(x)=(1+2/(x+1))^x とおくと
f(3)=(1+2/(3+1))^3 ＞3＞e
f(x)を二項展開すると
f(x)=1+C(x,1)(2/(x+1))+...+C(x,i)(2/(x+1))^i+...+C(x,x)(2/(x+1))^x.
２項目以降の各項C(x,i)(2/(x+1))^iは、xが増加すると増加し、正であり,またxが増加すると項数が増加する。
よってxが増加するとf(x) は増加する。

したがって3以上の任意の整数xに対し、f(x)≧f(3)＞e.

No.43933 - 2017/06/13(Tue) 19:54:39

☆ Re: 自由研究 / あ

ありがとうございます。
使わせていただきます。

No.43936 - 2017/06/13(Tue) 21:05:32

☆ Re: 自由研究 / IT

（追伸）
２項目以降の各項C(x,i)(2/(x+1))^iは、xが増加すると増加し

は、C(x,i)=x(x-1)..(x-i+1)/i! と書き下し(x+1)^iで割った式を評価し証明する必要があります。

No.43937 - 2017/06/13(Tue) 21:07:49

★ 軌跡 / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問.xy平面上の2点をA(1,0),B(2,0)とし、直線lをy=mx(m≠0)とする。また、AP+BPが最小になる直線l上の点Pを考える。mが変化するとき、点Pの描く図形を求めよ。

よろしくお願いします！

No.43919 - 2017/06/13(Tue) 15:02:32

☆ Re: 軌跡 / らすかる

概略で
直線lに関してAと対称な点A'の座標は ((1-m^2)/(1+m^2),2m/(1+m^2))
直線A'Bの式は y=-(2m/(3m^2+1))(x-2) なので
直線A'Bと直線lの交点Pは (4/(3(m^2+1)),4m/(3(m^2+1)))
x=4/(3(m^2+1)), y=4m/(3(m^2+1)) からmを消去すると (x-2/3)^2+y^2=(2/3)^2
従って点Pの描く図形は
円 (x-2/3)^2+y^2=(2/3)^2 から(0,0)及び(4/3,0)を除いた図形

No.43927 - 2017/06/13(Tue) 16:45:03

☆ Re: 軌跡 / ICE

ありがとうございました！

No.43941 - 2017/06/13(Tue) 23:55:58

★ (No Subject) / Doomsday

写真の問題の解き方を教えて下さい！

No.43917 - 2017/06/13(Tue) 14:53:36

☆ Re: / ヨッシー

これは機械的にやっていくのが確実です。
Ｐ(x, x^2/4) と置きます。
Ｐにおける接線の傾きはx/2 なので、法線の傾きは－2/x です。
これより、法線の式を作り、これとｙ＝ｘ^2／４との連立で、
Ｑの座標を求めます。
ＯＰ、ＯＱそれぞれの垂直二等分線を求め、その交点（連立の解）が外心となります。
これが、どういう軌跡を描くかは、解いてからの話となります。

No.43924 - 2017/06/13(Tue) 16:14:36

☆ Re: / Doomsday

その解法をとった場合、かなり式が荒れてしまいますね…。

No.44084 - 2017/06/20(Tue) 23:17:16

★ (No Subject) / 名無し

どうして2辺とその間の角の一部がわかっていない場合(AD=x)に余弦定理を使うことにより、不敵な答えも出るのですか？

あと「三角形の成立条件と余弦定理の成立条件が同値であるという本質につながることになる」
ってありますが、いまいち意味がわかりません。

最後ページあたりが本当に理解できません。

詳しくお願い出来ないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.43913 - 2017/06/13(Tue) 14:22:47

☆ Re: / ヨッシー

例えば、この問題では、ＡＤ＝9/8 が不敵で不適な解です。

この問題は、必要な部分だけ書き出すと
　△ＡＢＤにおいて、ＡＢ＝３，ＢＤ＝21/8、∠ＢＡＤ＝60°のとき、ＡＤを求めよ。
という問題です。
これは、図に描いてみると

このように、２通り考えられます。

ところが、
　△ＡＢＤにおいて、ＡＢ＝３，ＢＤ＝7/2、∠ＢＡＤ＝60°のとき、ＡＤを求めよ。
のような問題だと、図のように、答えは１通りだけです。

これは、ＡＤ＝ｘと置いて解くと、正と負の２解が得られます。
これは明らかに正の方が答えです。

このように、三角形が作られるかどうかと、余弦定理から求めた
（正の）解の数が一致します。このことを「同値」と言っています。

No.43923 - 2017/06/13(Tue) 16:09:06

★ 証明の仕方について / イオリア

a.bが定数で任意のε>0に対してa<b+εならばa≦b
という問題で、背理法を使ってε=(a－b)/2となるεを取っているのですが、そもそもεはa-bより大きい値だと書いてあるのに、a-bより小さい(a-b)/2を取っていいんですか？

a-bより大きい値で取った時に、矛盾することを示さないとダメじゃないですか？

なにか変な感じがするので教えて下さい❗

No.43911 - 2017/06/13(Tue) 14:18:34

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

「背理法」と明記されているのですか？

No.43922 - 2017/06/13(Tue) 15:59:25

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

背理法と明記されているわけではありません。

No.43925 - 2017/06/13(Tue) 16:17:48

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

もしかして、背理法ではなく「対偶」を示しているのではありませんか？

No.43928 - 2017/06/13(Tue) 16:49:12

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

https://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q14105660109
このページの質問です

No.43932 - 2017/06/13(Tue) 19:31:20

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

そのページの解答は、背理法の書き方が正しくないと思います。
「任意のε>0に対してa<b+ε」ならば「a≦b」
を背理法で示すには
「任意のε>0に対してa<b+ε」ならば「a＞b」
の矛盾を示すのではなく
「任意のε>0に対してa<b+ε」かつ「a＞b」
を仮定して矛盾を導きます。これならば
a＞bからε=(a-b)/2＞0がとれるが、これはa＜b+εと矛盾
とすれば問題ないですね。

No.43934 - 2017/06/13(Tue) 20:12:03

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

何度もすいません

背理法って、結論だけ否定して矛盾を示すんじゃないんですか？
例えばP→Qを示したいとき、「P→Qでない」と仮定して矛盾を示すと思っていたのですが・・・

例えば「犬ならば動物である」を示すのに「犬ならば動物でない」と仮定するんではなかったんですかね？

僕の考えのどこが間違っているかわからないので教えてください

No.43939 - 2017/06/13(Tue) 21:55:47

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

例えば
「aが偶数ならばaは6以上である」を背理法で示すとして
「aが偶数ならばaは6未満である」と仮定すると
a=8としたときに矛盾が生じる。従って
「aが偶数ならばaは6以上である」が成り立つ。
という証明はおかしいですよね？

「結論を否定する」というのはある意味では合っていますが、
『「P」ならば「Q」』を『「P」ならば「Qでない」』にするという意味ではありません。
『「P」ならば「Q」』の否定は
『「P」なのに「Q」でない場合がある』
ですから、これを仮定して矛盾を導きます。
つまり『「P」』と『「Q」でない』を同時に仮定して
矛盾を導くということです。

No.43940 - 2017/06/13(Tue) 23:11:19

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

一度、証明の仕方について参考書などで学び直そうと思います。
ありがとうございました

No.43947 - 2017/06/14(Wed) 07:27:58

★ 数学B / kana

Σ【k=1,n】(3k+1)(2k-3)

答え 1/2(4n^2-n-1)

展開して6k^2-7k-3までは分かりますが、Σにあてはめられません
教えてください

No.43909 - 2017/06/13(Tue) 13:16:18

☆ Re: 数学B / ヨッシー

k=1,n は省略しますが、
　Σ(6k^2-7k-3)＝6Σk^2－7Σk－3Σ1
なので、
　Σk^2＝n(n+1)(2n+1)/6、Σk＝n(n+1)/2
が使えます。

ちなみに、答えは、1/2(4n^2-n-1) にはなりません。
n=1 を入れてみればわかります。

No.43910 - 2017/06/13(Tue) 14:04:00

☆ Re: 数学B / kana

ありがとうございました。
回答をもう一度確認してみます。
答えしか載っていなかったので助かりました。

No.43931 - 2017/06/13(Tue) 18:45:43

★ (No Subject) / 名無し

すいません、148の「また△ABCと△ADCの面積の比が3:2であるから、
BD:DC=3:2」

となるとありますが、どうしてですか？

横に「高さが共通」って書いてありますが、もう少し詳しくお願いします。

あと、高さが共通でしたら、どの三角形でも言えることですか？

No.43906 - 2017/06/13(Tue) 11:46:56

☆ Re: / ヨッシー

面積＝底辺×高さ÷２　なので、高さが同じなら、
面積の比は、底辺の比です。

つまり、高さが同じで、面積が２倍になっているとしたら、
底辺が２倍になっているということです。

どんな三角形でも同じです。

No.43915 - 2017/06/13(Tue) 14:34:03

★ (No Subject) / 名無し

すいません、(2)についての疑問なのですが、

どうして最長の辺に対する角、つまり、最大の角が鋭角ではないといけないのですか？

他の辺に対する角でも鋭角ならいいではないですか？

よろしくお願いします。

No.43894 - 2017/06/13(Tue) 01:19:54

☆ Re: / らすかる

鋭角三角形は、「三つすべての角が鋭角である三角形」です。
直角三角形は、「最大の角が直角、残りの二つの角が鋭角である三角形」です。
鈍角三角形は、「最大の角が鈍角、残りの二つの角が鋭角である三角形」です。
ですから、鋭角三角形であるためには「最大の角が鋭角」でなければなりません。

# 「最大の角」以外は必ず鋭角ですから、
# 最大の角以外が鋭角かどうかを判定するのは無意味です。

No.43895 - 2017/06/13(Tue) 02:54:36

★ 三角関数でしょうか？ / チョコバニ

θ=36°とする。
X^5=-1を解くことで、cosθとsinθを求めよ。
という問題なのですが、因数分解して、X^2で割って、「X+1/X」をtと置く流れで解くのは理解しているのですが、どうしても答えがあいません。解説してください、お願いします。
答えは、　　　＿＿＿＿
　　　　sin＝√10-2√3/４　cos＝１+√５/４　です。

No.43893 - 2017/06/13(Tue) 01:08:56

☆ Re: 三角関数でしょうか？ / らすかる

答えがそう書かれているのなら、答えが間違っていますので
合わなくて当然です。
cosθ=(1+√5)/4 の方は正しいですが、sinθは
√(10-2√3)/4 ではなく
√(10-2√5)/4 です。

No.43896 - 2017/06/13(Tue) 07:18:12

☆ Re: 三角関数でしょうか？ / angel

これは複素数のこと ( 複素平面? ) を習ってると出てくるのですが、
　(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)
なのですね。
なので、x=cos36°+isin36°に対して、x^5=cos180°+isin180°=-1 という寸法です。

で、x+1/x=t と置くとき、同時に
　x^2+1/x^2=t^2-2
　1/x=~x ( 複素共役 ) から t=x+1/x=2re(x)=2cos36° … 正の実数
であり、

x^5=-1 ( x≠-1 )
⇔ (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0 ( x≠-1 )
⇔ x^2-x+1-1/x+1/x^2=0
⇔ (x^2+x^2)-(x+1/x)+1=0
⇔ t^2-2-t+1=0
⇔ t^2-t-1=0

これを解いて、tが正であることから t=(1+√5)/2
よって cos36°=t/2=(1+√5)/4
後は
sin36°=√(1-(cos36°)^2)=√((4-t^2)/4)　( 正であることに注意 )
をゴリゴリ計算しても良いのですが、t^2-t-1=0 という関係を利用すると、
　4-t^2=3-t=(5-√5)/2=(10-2√5)/4
なので
　sin36°=√((4-t^2)/4)=√((10-2√5)/16)=(√(10-2√5))/4

No.43897 - 2017/06/13(Tue) 07:43:32

☆ Re: 三角関数でしょうか？ / チョコバニ

ありがとうございます！

No.43950 - 2017/06/14(Wed) 14:50:26

★ ベクトルの問題です / ほれほれ

3点A(aベクトル)、B(bベクトル)、C(cベクトル)を頂点とする△ABCにおいて辺ABの中点をD、辺BC、CAをそれぞれ3:1、2:3に内分する点を順にE、Fとする。次のベクトルをaベクトル、bベクトル、cベクトルを使って表わせ
(1)ACベクトル(2)EBベクトル(3)CDベクトル(4)AEベクトル(5)DEベクトル
問題数が多いのですが少しでもいいので教えてください🙏

No.43891 - 2017/06/13(Tue) 00:53:43

☆ Re: ベクトルの問題です / ほれほれ

すみませんEBベクトル→BEベクトルです

No.43892 - 2017/06/13(Tue) 00:54:36

☆ Re: ベクトルの問題です / ヨッシー

点Ｄ，Ｅ，Ｆの位置ベクトルをそれぞれ、ｄ、ｅ、ｆとします。
このとき
　ｄ＝（ａ＋ｂ）／２
　ｅ＝（ｂ＋３ｃ）／４
　ｆ＝（３ｃ＋２ａ）／５
と書けます。

　ＡＣ＝ｃ－ａ
　ＢＥ＝ｅ－ｂ
　ＣＤ＝ｄ－ｃ
　ＡＥ＝ｅ－ａ
　ＤＥ＝ｅ－ｄ
の、ｄ、ｅ、ｆに上の式を代入して整理すれば完成です。

No.43898 - 2017/06/13(Tue) 09:09:00