ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 無限等比数列の問いについて / ブラッドマミ

いつもお世話様です。ブラッドマミと申します。この度は三角関数の極限値についての質問です。（問い）0<θ<π,θ≠π/2のとき次の極限値を求めよ。（１）lim n→∞(cos^n(θ)+1)/(sin^n(θ)+1)
解）0<sinθ<1,-1<cosθ<1 だから　n→∞のときsin^n(θ）→0,n→∞のときcos^n(θ)→0 より極限値は１だそうです。

わからない所はn→∞のときなぜsin^n(θ)→0とcos^n(θ)→0になるのか不明です。どなたかわかる方、論理的に説明いただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

No.43961 - 2017/06/14(Wed) 21:01:07

☆ Re: 無限等比数列の問いについて / X

a=sinθ
と置くと0＜a＜1
∴
lim[n→∞](sinθ)^n=lim[n→∞]a^n=0
(cosθ)^nについても同様です。

No.43962 - 2017/06/14(Wed) 21:34:06

☆ Re: 無限等比数列の問いについて / ブラッドマミ

回答頂き参考になりました。ありがとうございます。

No.43969 - 2017/06/15(Thu) 09:07:39

★ 教えてください / もも

(4)のやりかたがわかりません、解と係数の関係を使ってみたのですが、いまいちα＜βの使い道がわからないです。

No.43959 - 2017/06/14(Wed) 20:23:01

☆ Re: 教えてください / X

α＜β
という条件があるからと言って必ずしも
使う必要はありません。

点Rから直線PQに下ろした垂線の足をH、
△PQRの面積をSとすると
S=(1/2)RH・PQ
となることからPQの計算をする場合、
計算途中に
β-α
が現れます。
但し、現れるのは全て
|β-α|
の形にできますので、
α＜β
であろうと
α＞β
であろうと
計算結果に影響はありません。

注)
解と係数の関係から
(β-α)^2
の値を計算してから
β-α (A)
の値を計算するわけですが
(A)ではなくて
|β-α|
であればα、βの大小関係に関係なく
一つに定まります。

No.43960 - 2017/06/14(Wed) 20:51:19

★ 質問しつれいします / 名無し

領域の問題でx^2+y^2の最小値を求めよという問題なのですがどうやれば円と3x+y-6=0との接点が丸で囲った部分になるのか分かりません。特にy=1/3xが意味不明です。
どうか教えてください。

No.43953 - 2017/06/14(Wed) 15:41:22

☆ Re: 質問しつれいします / ヨッシー

接点における半径と、接線とは直行する。
直行する２つの直線の傾きがａ，ｂならばａｂ＝－１である。
以上のことを思い出しましょう。

No.43954 - 2017/06/14(Wed) 15:55:58

☆ Re: 質問しつれいします / 名無し

解決しました、ありがとうございます。

No.43958 - 2017/06/14(Wed) 16:39:58

★ (No Subject) / アナザー

この問題の解き方が分かりません。教えて欲しいです。よろしくお願いします。一番のこたえが2tで二番がtが1/2のとき最大値1/4

No.43948 - 2017/06/14(Wed) 12:36:26

☆ Re: / ヨッシー

(1)
メネラウスの定理を使えば
　(ＡＰ/ＰＭ)(ＭＢ/ＢＣ)(ＣＱ/ＱＡ)＝１
より
　(1/t)(1/2)(ＣＱ/ＱＡ)＝１
　ＣＱ/ＱＡ＝２ｔ
と出ますが、面積比で出すなら、
　△ＢＰＣ：四角形ＢＰＣＡ＝ＭＰ：ＰＡ＝ｔ：１
△ＢＡＰ＝△ＣＡＰ　より
　△ＢＰＣ：△ＢＰＡ＝ｔ：1/2＝２ｔ：１
△ＢＰＣ：△ＢＰＡ＝ＣＱ：ＣＡであるので、
　ＣＱ/ＱＡ＝２ｔ

(2)
ＣＱ：ＱＡ＝2t：１　であると同時に
ＢＲ：ＲＡ＝2t：１　であるので、
　△ＡＲＱ＝1/(2t+1)^2
　△ＢＲＭ＝△ＣＱＭ＝(1/2){2t/(2t+1)}
よって、
　△ＭＱＲ＝１－1/(2t+1)^2－2t/(2t+1)
　　　＝2t/(2t+1)^2
f(t)＝2t/(2t+1)^2 とおいて
微分して、最大となるｔを求めます。

No.43949 - 2017/06/14(Wed) 14:48:18

★ (No Subject) / 名無し

すいません、(2)についての質問なのですが、

y=RcosB
z=RcosC

の導き方を教えて下さい

よろしくお願いします。

No.43938 - 2017/06/13(Tue) 21:54:30

☆ Re: / angel

(2)ということは、Pが△ABCの外心という条件ですね。
y,z ともやり方は同じなので y の方で行きます。

Pは外心、つまり△ABCの外接円の中心であり、PA=PB=PC=R (外接円の半径) なので、△ABCは、PA,PB,PCによって3つの二等辺三角形に分割されています。

で、二等辺三角形というのは合同な直角三角形を2つ繋げた形であることを考えると、

　y = Rcos(∠CPA/2)

と。これは二等辺三角形を半分に割ってできる直角三角形の斜辺 ( PA或いはPC、長さR ) と、∠CPAの半分の角を挟む長さ y との関係ですね。

一方、円に内接する三角形の性質として、円周角∠B に対して中心角∠CPA は倍の大きさです。( Pは外接円の中心 )
つまり、∠CPA=2∠B

これを先ほどの y=Rcos(∠CPA/2) と組み合わせると y=Rcos∠B と分かります。

No.43943 - 2017/06/14(Wed) 02:46:02

★ 自由研究 / あ

3以上の整数xに対し、
e<(1+2/(x+1))^x
を証明してください。

No.43930 - 2017/06/13(Tue) 18:29:28

☆ Re: 自由研究 / IT

f(x)=(1+2/(x+1))^x とおくと
f(3)=(1+2/(3+1))^3 ＞3＞e
f(x)を二項展開すると
f(x)=1+C(x,1)(2/(x+1))+...+C(x,i)(2/(x+1))^i+...+C(x,x)(2/(x+1))^x.
２項目以降の各項C(x,i)(2/(x+1))^iは、xが増加すると増加し、正であり,またxが増加すると項数が増加する。
よってxが増加するとf(x) は増加する。

したがって3以上の任意の整数xに対し、f(x)≧f(3)＞e.

No.43933 - 2017/06/13(Tue) 19:54:39

☆ Re: 自由研究 / あ

ありがとうございます。
使わせていただきます。

No.43936 - 2017/06/13(Tue) 21:05:32

☆ Re: 自由研究 / IT

（追伸）
２項目以降の各項C(x,i)(2/(x+1))^iは、xが増加すると増加し

は、C(x,i)=x(x-1)..(x-i+1)/i! と書き下し(x+1)^iで割った式を評価し証明する必要があります。

No.43937 - 2017/06/13(Tue) 21:07:49

★ 軌跡 / ICE

以下の問いの解法を教えてください。

問.xy平面上の2点をA(1,0),B(2,0)とし、直線lをy=mx(m≠0)とする。また、AP+BPが最小になる直線l上の点Pを考える。mが変化するとき、点Pの描く図形を求めよ。

よろしくお願いします！

No.43919 - 2017/06/13(Tue) 15:02:32

☆ Re: 軌跡 / らすかる

概略で
直線lに関してAと対称な点A'の座標は ((1-m^2)/(1+m^2),2m/(1+m^2))
直線A'Bの式は y=-(2m/(3m^2+1))(x-2) なので
直線A'Bと直線lの交点Pは (4/(3(m^2+1)),4m/(3(m^2+1)))
x=4/(3(m^2+1)), y=4m/(3(m^2+1)) からmを消去すると (x-2/3)^2+y^2=(2/3)^2
従って点Pの描く図形は
円 (x-2/3)^2+y^2=(2/3)^2 から(0,0)及び(4/3,0)を除いた図形

No.43927 - 2017/06/13(Tue) 16:45:03

☆ Re: 軌跡 / ICE

ありがとうございました！

No.43941 - 2017/06/13(Tue) 23:55:58

★ (No Subject) / Doomsday

写真の問題の解き方を教えて下さい！

No.43917 - 2017/06/13(Tue) 14:53:36

☆ Re: / ヨッシー

これは機械的にやっていくのが確実です。
Ｐ(x, x^2/4) と置きます。
Ｐにおける接線の傾きはx/2 なので、法線の傾きは－2/x です。
これより、法線の式を作り、これとｙ＝ｘ^2／４との連立で、
Ｑの座標を求めます。
ＯＰ、ＯＱそれぞれの垂直二等分線を求め、その交点（連立の解）が外心となります。
これが、どういう軌跡を描くかは、解いてからの話となります。

No.43924 - 2017/06/13(Tue) 16:14:36

☆ Re: / Doomsday

その解法をとった場合、かなり式が荒れてしまいますね…。

No.44084 - 2017/06/20(Tue) 23:17:16

★ (No Subject) / 名無し

どうして2辺とその間の角の一部がわかっていない場合(AD=x)に余弦定理を使うことにより、不敵な答えも出るのですか？

あと「三角形の成立条件と余弦定理の成立条件が同値であるという本質につながることになる」
ってありますが、いまいち意味がわかりません。

最後ページあたりが本当に理解できません。

詳しくお願い出来ないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.43913 - 2017/06/13(Tue) 14:22:47

☆ Re: / ヨッシー

例えば、この問題では、ＡＤ＝9/8 が不敵で不適な解です。

この問題は、必要な部分だけ書き出すと
　△ＡＢＤにおいて、ＡＢ＝３，ＢＤ＝21/8、∠ＢＡＤ＝60°のとき、ＡＤを求めよ。
という問題です。
これは、図に描いてみると

このように、２通り考えられます。

ところが、
　△ＡＢＤにおいて、ＡＢ＝３，ＢＤ＝7/2、∠ＢＡＤ＝60°のとき、ＡＤを求めよ。
のような問題だと、図のように、答えは１通りだけです。

これは、ＡＤ＝ｘと置いて解くと、正と負の２解が得られます。
これは明らかに正の方が答えです。

このように、三角形が作られるかどうかと、余弦定理から求めた
（正の）解の数が一致します。このことを「同値」と言っています。

No.43923 - 2017/06/13(Tue) 16:09:06

★ 証明の仕方について / イオリア

a.bが定数で任意のε>0に対してa<b+εならばa≦b
という問題で、背理法を使ってε=(a－b)/2となるεを取っているのですが、そもそもεはa-bより大きい値だと書いてあるのに、a-bより小さい(a-b)/2を取っていいんですか？

a-bより大きい値で取った時に、矛盾することを示さないとダメじゃないですか？

なにか変な感じがするので教えて下さい❗

No.43911 - 2017/06/13(Tue) 14:18:34

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

「背理法」と明記されているのですか？

No.43922 - 2017/06/13(Tue) 15:59:25

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

背理法と明記されているわけではありません。

No.43925 - 2017/06/13(Tue) 16:17:48

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

もしかして、背理法ではなく「対偶」を示しているのではありませんか？

No.43928 - 2017/06/13(Tue) 16:49:12

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

https://m.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/q14105660109
このページの質問です

No.43932 - 2017/06/13(Tue) 19:31:20

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

そのページの解答は、背理法の書き方が正しくないと思います。
「任意のε>0に対してa<b+ε」ならば「a≦b」
を背理法で示すには
「任意のε>0に対してa<b+ε」ならば「a＞b」
の矛盾を示すのではなく
「任意のε>0に対してa<b+ε」かつ「a＞b」
を仮定して矛盾を導きます。これならば
a＞bからε=(a-b)/2＞0がとれるが、これはa＜b+εと矛盾
とすれば問題ないですね。

No.43934 - 2017/06/13(Tue) 20:12:03

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

何度もすいません

背理法って、結論だけ否定して矛盾を示すんじゃないんですか？
例えばP→Qを示したいとき、「P→Qでない」と仮定して矛盾を示すと思っていたのですが・・・

例えば「犬ならば動物である」を示すのに「犬ならば動物でない」と仮定するんではなかったんですかね？

僕の考えのどこが間違っているかわからないので教えてください

No.43939 - 2017/06/13(Tue) 21:55:47

☆ Re: 証明の仕方について / らすかる

例えば
「aが偶数ならばaは6以上である」を背理法で示すとして
「aが偶数ならばaは6未満である」と仮定すると
a=8としたときに矛盾が生じる。従って
「aが偶数ならばaは6以上である」が成り立つ。
という証明はおかしいですよね？

「結論を否定する」というのはある意味では合っていますが、
『「P」ならば「Q」』を『「P」ならば「Qでない」』にするという意味ではありません。
『「P」ならば「Q」』の否定は
『「P」なのに「Q」でない場合がある』
ですから、これを仮定して矛盾を導きます。
つまり『「P」』と『「Q」でない』を同時に仮定して
矛盾を導くということです。

No.43940 - 2017/06/13(Tue) 23:11:19

☆ Re: 証明の仕方について / イオリア

一度、証明の仕方について参考書などで学び直そうと思います。
ありがとうございました

No.43947 - 2017/06/14(Wed) 07:27:58

★ 数学B / kana

Σ【k=1,n】(3k+1)(2k-3)

答え 1/2(4n^2-n-1)

展開して6k^2-7k-3までは分かりますが、Σにあてはめられません
教えてください

No.43909 - 2017/06/13(Tue) 13:16:18

☆ Re: 数学B / ヨッシー

k=1,n は省略しますが、
　Σ(6k^2-7k-3)＝6Σk^2－7Σk－3Σ1
なので、
　Σk^2＝n(n+1)(2n+1)/6、Σk＝n(n+1)/2
が使えます。

ちなみに、答えは、1/2(4n^2-n-1) にはなりません。
n=1 を入れてみればわかります。

No.43910 - 2017/06/13(Tue) 14:04:00

☆ Re: 数学B / kana

ありがとうございました。
回答をもう一度確認してみます。
答えしか載っていなかったので助かりました。

No.43931 - 2017/06/13(Tue) 18:45:43

★ (No Subject) / 名無し

すいません、148の「また△ABCと△ADCの面積の比が3:2であるから、
BD:DC=3:2」

となるとありますが、どうしてですか？

横に「高さが共通」って書いてありますが、もう少し詳しくお願いします。

あと、高さが共通でしたら、どの三角形でも言えることですか？

No.43906 - 2017/06/13(Tue) 11:46:56

☆ Re: / ヨッシー

面積＝底辺×高さ÷２　なので、高さが同じなら、
面積の比は、底辺の比です。

つまり、高さが同じで、面積が２倍になっているとしたら、
底辺が２倍になっているということです。

どんな三角形でも同じです。

No.43915 - 2017/06/13(Tue) 14:34:03