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★ 解の配置 / 蓮
実数係数の二次方程式
f(x)=x^2+ax+b=0
について、つぎの各条件を求め、点（a,b)の存在範囲として
図示せよ。
（1）一解が-1より小さく、他の解は-1より大きい。
（2)二解のうち一解だけが-1より小さい。
(3)-1より小さい解が少なくとも一つある。
No.43786 - 2017/06/09(Fri) 08:49:00
☆ Re: 解の配置 / angel
(1) 条件として f(-1)＜0

(2) (1)に、f(-1)=0, -b＜-1 の範囲を追加
　※解と係数の関係より、x=-1 が解なら x=-b も解
　※「2解のうち1解だけが」なので、重解は考えないものと解釈

(3) (1)に、-a/2＜-1, f(-a/2)≦0 の範囲を追加
No.43787 - 2017/06/09(Fri) 09:28:52
☆ Re: 解の配置 / angel
(2) に関しては「f(-1)=0, -a/2＜-1 の範囲を追加」としても良いです。こっちの方が軸の条件ということで「揃ってる」感じはありますね。

なお、図示すると添付のグラフのようになります。
No.43788 - 2017/06/09(Fri) 09:37:34
★ (No Subject) / 名無し
すいません、18についての質問なのですが、

Cを求めるとき、

2/sinθ=ルート3+1/sinθ

をしたのですが、答と一致しませんでした

導き方を教えて下さい。
No.43784 - 2017/06/09(Fri) 03:00:57
☆ Re: / X
これはBの値を先に求めて、内角の和が
180°であることを使ってCの値を
求めます。
No.43785 - 2017/06/09(Fri) 06:31:10
★ 平方数 / ハルク
自然数nを用いて
n^2+2^nの形で表される平方数を全て求めよ
解答お願いします。
No.43779 - 2017/06/08(Thu) 19:26:34
☆ Re: 平方数 / IT
f(n)=n^2+2^n とおく.
n^2+2^n = x^2 (xは自然数)とする。
移項して因数分解し(x+n)(x-n)=2^n.
よって x+n=2^a,x-n=2^b,a+b=n,a>b≧0 とおける.
このとき(x+n)-(x-n)=2n=2^a-2^b である.
（方針） 2^a-2^b は、nが増加すると指数関数的に増加するのでnの範囲は限定されることを使う。
2^a-2^bを評価するためnの偶奇で場合分けする。

n＝2m(mは自然数)のとき
　m＝1のとき　n=2, f(2)=8 となり不適
　m＝2のとき n=4, f(4)=32 となり不適
　m＝3のとき　n=6, f(6)=100=10^2 となりOK。
　m≧4のとき
　　4m=2^a-2^b≧2^(m+1)-2^(m-1)=3*2^(m-1)
　　∴m≧3*2^(m-3)であるが
　　3*2^(m-3)＞m　となる（要証明）ので不適

n=2m-1(mは自然数)のとき
　2n=2(2m-1)=2^a-2^b…(1)
　よってb=1,a=n-b=n-1=2m-2
　(1)に代入し　2(2m-1)=2^(2m-2)-2
　∴2m-1=2^(2m-3)-1
　∴m=2^(2m-4)
　m＝1,2 は不適.
　m≧3のとき2^(2m-4)＞mとなる（要証明）ので不適.

よって条件を満たすn=6,求める平方数は100.
No.43780 - 2017/06/08(Thu) 21:22:10
★ (No Subject) / 名無し
(2)ですが、どうして(i)と(ii)で
1<x<4
4≦x<7

で分けたのですか？
No.43774 - 2017/06/08(Thu) 17:55:06
☆ Re: / ヨッシー
(i) には
　最大の角は長さが４の辺の対角である。
(ii) には
　最大の角は長さがｘの辺の対角である。
と書いてありますね。
そしてそれに続く　cosαや、cosβ の式が違うことに気付きましたか？
No.43776 - 2017/06/08(Thu) 18:11:22
★ (No Subject) / Doomsday
再掲です。写真の問題の解き方を教えて下さい！
No.43771 - 2017/06/08(Thu) 13:59:41
☆ Re: / ヨッシー

Ａ(-1, 0), Ｍ(0, 0), Ｂ(3, 0), Ｏ(x, y) (y＞0) とおいても
一般性を失いません。

線分ＯＡを(1, 0)平行移動：Ａ→Ａ’(0, 0)、Ｏ→Ｏ’(x+1, y)
Ｏ’をＡ’周りに60°回転：Ｏ’→Ｏ”((x−√3y＋1)/2, (√3x＋y＋√3)/2)
Ｏ”を 1/2 倍に縮小：Ｏ”→Ｏ'''((x−√3y＋1)/4, (√3x＋y＋√3)/4)
Ｏ'''を(-1, 0)平行移動：Ｏ'''→Ｐ((x−√3y−3)/4, (√3x＋y＋√3)/4)

同様に
　Ｑ((3x＋√3y＋3)/4, (−√3x＋3y＋3√3)/4)
を得ます。

Ｐを(X,Y) とおくと、Ｑ(−√3Y, √3X) であるので、
　ＭＰ・ＭＱ＝０
となり、∠ＰＭＱ＝90° となります。
No.43773 - 2017/06/08(Thu) 16:57:14
☆ Re: / らすかる
43769の証明をちょっと変えれば同様に証明できますね。
以下、43769のヨッシーさんの解答をパクって一部改変したものです。

Ｐ、ＱからＯＡ、ＯＢに下した垂線の足を順にＬ、Ｎとします。
ＡＬ：ＰＬ＝ＰＬ：ＯＬ＝ＯＮ：ＱＮ＝ＱＮ：ＢＮ＝１：√３より
ＡＬ：ＯＬ＝ＯＮ：ＢＮ＝１：３なので
ＬＭ//ＯＢ、ＮＭ//ＯＡとなり∠ＡＬＭ＝∠ＬＭＮ＝∠ＭＮＢ（錯角）
△ＰＬＭと△ＭＮＱ において
　(√３)ＰＬ＝(３/４)ＯＡ＝ＭＮ
　(√３)ＬＭ＝(√３/４)ＯＢ＝ＮＱ
∠ＰＬＭ＝π/２＋∠ＡＬＭ＝π/２＋∠ＭＮＢ＝∠ＭＮＱ
よって、△ＰＬＭ∽△ＭＮＱなので∠ＬＰＭ＝∠ＮＭＱ
また、△ＰＬＭにおいて、
　∠ＬＰＭ＋∠ＬＭＰ＋∠ＡＬＭ＋π/２＝π
よって、
　∠ＬＰＭ＋∠ＬＭＰ＋∠ＡＬＭ＝π/２
これに、∠ＬＰＭ＝∠ＮＭＱ、∠ＡＬＭ＝∠ＬＭＮを適用して、
　∠ＮＭＱ＋∠ＬＭＰ＋∠ＬＭＮ＝∠ＰＭＱ＝π/２
No.43783 - 2017/06/09(Fri) 01:12:53
☆ Re: / Doomsday
お二方とも、ありがとうございました。
No.43818 - 2017/06/11(Sun) 14:24:04
★ (No Subject) / 名無し
すいません、137の(2)は
「sin>0だから」になるのですか？

よろしくお願いいたします。
No.43765 - 2017/06/08(Thu) 01:32:14
☆ Re: / ヨッシー
>「sin>0だから」になるのですか？
は
　なぜ「sinＡ＞0だから」と言えるのですか？
と解読しました。
Ａの範囲は何ですか？
それと同じ定義域で、
　ｙ＝sinｘ
のグラフを描いてみてください。
No.43770 - 2017/06/08(Thu) 10:28:22
☆ Re: / 名無し
ヨッシー様、ありがとうございました。

Aの範囲は書いてありません。

Y=sinxのグラフもわからなくて..

すいません、数学を始めたばかりのもので、教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。
No.43775 - 2017/06/08(Thu) 17:58:15
☆ Re: / ヨッシー
数学を始める、とはどういうことでしょうか？
数学というものは、子供の頃１＋１＝２ を覚えたときから、ずーーっと積み重なってきているもので、あるところから急に始まるものではありません。
No.43777 - 2017/06/08(Thu) 18:21:54
☆ Re: / ヨッシー
Ａの範囲はどこにも書いてありません。
自分で考えるのです。

そして、まずｙ＝sinｘ のグラフを掛けるようにしてから、この問題に取り掛かりましょう。
少なくとも、
　ｘ＝0°、30°、60°、90°、120°、150°、180°、210°、240°・・・360°
のときの ｙ＝sinｘ の値を答えられないと話になりません。
No.43778 - 2017/06/08(Thu) 18:24:07
★ (No Subject) / Nissy
三角形ABCに対し、辺AB,ACを斜辺とする直角二等辺三角形ABD,ACEをつくる。ただし、点Dは線分ABに関して点Cの反対側に、点Eは線分ACに関して点Bの反対側にとる。
Mを辺BCの中点とするとき、DM=EM および∠DME=90°が成立していることを示せ。
No.43764 - 2017/06/08(Thu) 00:42:56
☆ Re: / ヨッシー

ＡＢの中点をＬ、ＡＣの中点をＮとします。
△ＬＢＭ≡△ＮＭＣ　より　∠ＢＬＭ＝∠ＭＮＣ
△ＤＬＭと△ＭＮＥ において
　ＤＬ＝ＭＮ＝(1/2)ＡＢ
　ＬＭ＝ＮＥ＝(1/2)ＡＣ
∠ＤＬＭ＝90°＋∠ＢＬＭ　および　∠ＭＮＥ＝90°＋∠ＭＮＣ　より
　∠ＤＬＭ＝∠ＭＮＥ
よって、△ＤＬＭ≡△ＭＮＥ
これより
　ＤＭ＝ＥＭ　・・・(i)
が成り立ちます。
同時に、
　∠ＬＤＭ＝∠ＮＭＥ、∠ＬＭＤ＝∠ＮＥＭ
も成り立ちます。
また、△ＤＬＭにおいて、
　∠ＬＤＭ＋∠ＬＭＤ＋∠ＢＬＭ＋90°＝180°
よって、
　∠ＬＤＭ＋∠ＬＭＤ＋∠ＢＬＭ＝90°
これに、∠ＬＤＭ＝∠ＮＭＥ、∠ＢＬＭ＝∠ＬＭＮ（錯角）を適用して、
　∠ＮＭＥ＋∠ＬＭＤ＋∠ＬＭＮ＝∠ＤＭＥ＝90°　・・・(ii)
(i)(ii)より、題意は証明されました。
No.43769 - 2017/06/08(Thu) 10:05:04
★ (No Subject) / masashi
http://www.riruraru.com/cfv21/math/tum06h1.htm
この問題のしθはなぜ円周角の定理によって90°ということにはならないのですか？
No.43759 - 2017/06/07(Wed) 23:46:26
☆ Re: / らすかる
BDが直径ではないので90°にはなりません。
No.43761 - 2017/06/08(Thu) 00:01:05
★ (No Subject) / 名無し
すいません

これについて一つ質問なのですが、

どうして(ii)が必要なのですか？

(i)と(iii)だけで、範囲がわかりますよね？

よろしくお願いいたします。
No.43753 - 2017/06/07(Wed) 22:12:29
☆ Re: / X
例えば軸が定義域の範囲外の右側にある場合、
(i)(iii)を満たしていると、グラフとx軸との
二つの交点は範囲外右側に存在することに
なります。
No.43755 - 2017/06/07(Wed) 23:11:28
★ (No Subject) / 名無し
画像の部分分数部分がよく分かりません。
解き方を教えて下さい。
No.43746 - 2017/06/07(Wed) 21:14:34
☆ Re: / X
1/{(v-a)(v-b)}={1/(a-b)}(a-b)/{(v-a)(v-b)}
={1/(a-b)}{(v-b)-(v-a)}/{(v-a)(v-b)}
={1/(a-b)}{1/(v-a)-1/(v-b)}
と変形できますから…
No.43750 - 2017/06/07(Wed) 21:23:57
☆ Re: / 名無し
なんでそのように変形できるのですか？
No.43760 - 2017/06/07(Wed) 23:59:54
☆ Re: / 名無し
1行列目に1/(a-b)がいきなりでてくる理由が分かりません。
No.43767 - 2017/06/08(Thu) 06:40:58
☆ Re: / X
回答の前に訂正を(ごめんなさい)。
No.43750で誤りがありましたので直接修正しました。
再度ご覧下さい。
それで回答ですが、以下の通りです。

1/{(v-a)(v-b)} (A)
がもし
(a-b)/{(v-a)(v-b)} (B)
であれば
(a-b)/{(v-a)(v-b)}={(v-b)-(v-a)}/{(v-a)(v-b)}
=1/(v-a)-1/(v-b)
と変形できます。
そこで(B)の形が式の中に出てくるように
(A)の分母分子にa-bをかけています。
分母のa-bだけ外に出すと、結局
1/(a-b)
をかけるのと同じになります。
No.43781 - 2017/06/08(Thu) 21:27:38
★ 平均値の定理 / がん
この問題の（２）を教えてください。
漸化式と方程式の辺々引いて右辺に平均値の定理を使って解くことはわかったのですがその後の式展開等がわかりません。違う解法でも構いませんので教えてください。
よろしくお願いします。
No.43743 - 2017/06/07(Wed) 20:08:27
☆ Re: 平均値の定理 / WIZ
f(x) = x-(1/2)sin(x)-1, f'(x) = 1-(1/2)sin(x) > 0なので、f(x)は単調増加です。
f(0) = -1 < 0, f(π/2) = π/2-3/2 > 0ですから、
実数αに対してf(α) = 0ならば、0 < α < π/2です。

> 漸化式と方程式の辺々引いて右辺に平均値の定理を使って解くことはわかったのですが

ならば、
a[n+1] = (1/2)sin(a[n])-1・・・・・(1)
α = (1/2)sin(α)-1・・・・・(2)
の各辺の差をとると、
a[n+1]-α = {(1/2)sin(a[n])-1}-{(1/2)sin(α)-1} = (1/2){sin(a[n])-sin(α)}・・・・・(3)
となります。

平均値の定理より、
sin(a[n])-sin(α) = cos(c){a[n]-α}・・・・・(4)
となる実数cがa[n]とαの間の値が存在します。
# a[n]とαの大小関係は分かりませんので、間と表現しています。

(3)(4)より、
a[n+1]-α = (1/2)cos(c){a[n]-α}
⇒ |a[n+1]-α| ≦ (1/2)|a[n]-α|
⇒ 0 ≦ |a[n]-α| ≦ ((1/2)^(n-1))|a[1]-α| = ((1/2)^(n-1))|a-α|
です。

n→∞のとき、((1/2)^(n-1))|a-α| → 0ですから、|a[n]-α| → 0と言えて、
よって、a[n] → αと言えます。
No.43745 - 2017/06/07(Wed) 21:07:31
☆ Re: 平均値の定理 / がん
WIZさん回答ありがとうございます。回答を見ながらもう一度トライします！
ありがとうございました！
No.43751 - 2017/06/07(Wed) 21:29:32
★ (No Subject) / ロー
この問題の(3)と(4)を教えてください
No.43740 - 2017/06/07(Wed) 17:57:04
☆ Re: / X
(3)
(1)の結果より
y=(t-a)^2+3-a^2 (A)
従って横軸にt、縦軸にyを取った
(A)のグラフの軸の方程式は
t=a (B)
後は、定義域である
-5≦t≦4 (C)
と(B)との位置関係で場合分けをします。
(i)a＜-5のとき
直線(B)は(C)の範囲外左側になりますので
yはt=-5のときに最小値10a+28を取ります。
(ii)-5≦a≦4のとき
直線(B)は(C)の範囲内になりますので
yはt=aのときに最小値3-a^2を取ります。
(iii)4＜aのとき
直線(B)は(C)の範囲外右側になりますので
yはt=4のときに最小値-8a+19を取ります。

以上から求める最小値は
a＜-5のとき10a+28
-5≦a≦4のとき3-a^2
4＜aのとき-8a+19

(4)
(3)の過程から
(i)a＜-5のとき
最小値を与えるxの値について
x^2-6x+4=-5
これより
x=3 ∴不適
(ii)-5≦a≦4のとき
最小値を与えるxの値について
x^2-6x+4=a
これより
x^2-6x+4-a=0 (P)
(P)の解の判別式をDとすると
題意を満たすためには
D/4=9-(4-a)＞0
これより5＜a
∴不適
(iii)4＜aのとき
最小値を与えるxの値について
x^2-6x+4=4
これより
x=0,6
∴題意を満たします。

よって求めるaの値の範囲は
4＜a
No.43741 - 2017/06/07(Wed) 18:24:23
☆ Re: / ロー
ありがとうございます
No.43752 - 2017/06/07(Wed) 22:02:15
★ Re: 長さ / 前進
この問題はなぜ　÷2などでしょうか？
20m/sとは瞬間の速さか平均の速さかどちらでしょうか？

また先ほどの質問No.43737と何か関連があるのでしょうか？

宜しくお願い致します。
No.43738 - 2017/06/07(Wed) 16:48:42
☆ Re: 長さ / X
＞＞この問題はなぜ　÷2などでしょうか？
理由はありません。計算結果がそうなっているだけです。

数式で詰めると以下のようになります。
物体の加速度をa(a＞0)、速度をv、斜面を下るのに
かかった時間をt,斜面の長さをlとすると
v=at (A)
l=(1/2)at^2 (B)
(B)から(A)を消去して
l=(1/2)vt (C)
(C)に
v=20[m/s],t=10[s]
を代入すれば計算できます。

只、ここでは横軸にt,縦軸にvを取った
(A)のグラフを考えているようです。
このグラフにおいて
t=10[s]
において物体が進んだ距離(=求める斜面の長さ)
は(A)のグラフと直線t=10,t軸で囲まれた
直角三角形の面積になります。
模範解答の計算はこの直角三角形の面積の
計算式を表しています。

＞＞20m/sとは瞬間の速さか平均の速さかどちらでしょうか？
他に特に何も書かれていないので瞬間の速さです。
No.43739 - 2017/06/07(Wed) 16:58:35
☆ Re: 長さ / 前進
あぁ確か授業で速さ×時間で距離が出る図形を思い出しました。直角三角形の面積でした。

１，２，３それぞれの速さが出ていませんが10秒の時を20m/sとすると縦軸が２０になるので確かにでます。また詳しくは高校の物理でやります。

今より、数学(90％)時々理科（物理化学生物地学）というスタンスで前進させていただきます。
No.43756 - 2017/06/07(Wed) 23:34:15
☆ Re: 長さ / 前進
ありがとうございました
No.43757 - 2017/06/07(Wed) 23:34:53
★ Re: 瞬間の速さ / 前進
一応暗記で覚えたのですが、なぜ(4)の0と1.0秒の半分の0.05秒の瞬間の速さがこの時間における平均の速さ30cm/sになるのでしょうか？
宜しくお願い致します。
No.43737 - 2017/06/07(Wed) 16:01:31
☆ Re: 瞬間の速さ / angel
それは ( 狭い範囲での自由落下のような )「等加速度運動」の特徴です。

例えば、A打刻時点〜B打刻時点では、0.1秒間に、速度が20cm/s→40cm/s と増加していますが、この間の移動距離は丁度台形の面積に相当します。
つまり、1/2・(20+40)・0.1=3 ということです。

そうすると、この面積というのは、図中の赤い線、台形の上底と下底の中間の線の長さに、幅 ( 0.1 ) をかけて求めることもできるのです。これは台形の性質です。

ということは、等加速度運動の場合は、(始まりの速度+終わりの速度)/2 が、丁度その区間での平均速度になる、というわけです。
No.43789 - 2017/06/09(Fri) 10:24:50
★ (No Subject) / 名無し
すいません、133の２つの問題全てがわかりません。

(1)の質問：
どうして
y=a
y=2x^2-x+1
の共有点を探しに行ったのですか？
他のやっていることはわかります

(2)の質問
端っこの方に書いてあるのですが、
0≦x≦1において、?Aと?Bが異なる２点で交わる
＝?@｀が０≦x＜１に異なる２個の解xをもつ
＝?@が異なる４個の解θをもつ

ことになるのですか？
ここの説明をもう少し詳しく、わかりやすくしてほしいです。

よろしくお願いいたします。
No.43733 - 2017/06/07(Wed) 15:12:34
☆ Re: / がん
☆(1)について
　この関数にはsinとcosが含まれているのでそれをsinに統一しましたよね。その後sinをxで置き換えました。その時、
-2x^2+x+a-1=0となりますよね。aを右辺に移項して両辺に-1をかけると、2x^2-x+1=aとなります。この時、y=2x^2-x+1とy=aの交点の個数が-2x^2+x+a-1=0の解の個数になるので共有点（交点）を探しています。


☆（２）について
最初にsinθをxでおいていますよね。単位円を描けばわかると思うのですが問題で与えられたθの範囲において、１つのｘに２つのθが対応しています。例えばｘ＝1/2だったらｘ＝sin３０°とsin１５０°が対応します。このようにｘ＝sinθとおいたため１つのｘに二つのθが対応しています。

※初めての回答なので間違っていたりわかりにくかったらすみません。
No.43742 - 2017/06/07(Wed) 20:03:16
★ なにこれぇ / きんちょ〜る
次の問題が解けません…
「空間内に9つの点が3つ以上一直線上に並ばない様にある。これらから任意の3点を結ぶとき、必ず1以上は鈍角三角形が出来る事を示せ。」
No.43731 - 2017/06/07(Wed) 13:45:26
★ (No Subject) / 名無し
すいません、下位の存在範囲についてですが、

(i)と(ii)はやる必要あったのですか？

(iii)だけをすればいい気がするのですが。。。

そもそも(i)と(ii)って何がしたかったのですか？

いまいち、よくわからなくて。。。よろしくお願いいたします。
No.43728 - 2017/06/07(Wed) 13:16:38
☆ Re: / ふぇるまー
f(0)とf(4)が異符号とかどうかわからない時は場合分けが必要です。
軸と交わるかどうかも大事です。場合分けの数直線を書いてみては?
No.43732 - 2017/06/07(Wed) 14:42:58
★ 部分分数は難しい / bridget
f(x)は関数です。

f(x)/((x-a)(x-b))=1/(a-b)[f(x)/(x-a)-f(x)/(x-b)]
(a,bは定数)

と部分分数に分解できますよね。

f(x)/((x-a)(x-b)(x-c)=??
(a,b,cは定数)

はどのように部分分数に分解できますでしょうか?
No.43721 - 2017/06/07(Wed) 09:15:38
☆ Re: 部分分数は難しい / らすかる
1/{(x-a)(a-b)(c-a)}+1/{(x-b)(a-b)(b-c)}+1/{(x-c)(b-c)(c-a)}
=-1/{(x-a)(x-b)(x-c)}
なので
f(x)/{(x-a)(x-b)(x-c)}
=-f(x)/{(x-a)(a-b)(c-a)}-f(x)/{(x-b)(a-b)(b-c)}-f(x)/{(x-c)(b-c)(c-a)}
No.43724 - 2017/06/07(Wed) 09:43:09
☆ Re: 部分分数は難しい / WIZ
既にスレ主さんは
f(x)/((x-a)(x-b)) = (1/(a-b)){f(x)/(x-a)-f(x)/(x-b)}
という関係を知っているのだから、これを応用しない手はありません。

f(x)/((x-a)(x-b)(x-c) = (f(x)/(x-c))/((x-a)(x-b))
と考えれば、
(f(x)/(x-c))/((x-a)(x-b)) = (1/(a-b)){(f(x)/(x-c))/(x-a)-(f(x)/(x-c))/(x-b)}
= (1/(a-b)){f(x)/((x-c)(x-a))-f(x)/((x-b)(x-c))}

上記に再度、スレ主さんがご存じの関係を使うと、
(1/(a-b)){f(x)/((x-a)(x-c))-f(x)/((x-b)(x-c))}
= (1/(a-b)){(1/(c-a)){f(x)/(x-c)-f(x)/(x-a)}-(1/(b-c)){f(x)/(x-b)-f(x)/(x-c)}}
= (1/((a-b)(c-a)))(-f(x)/(x-a))+(1/((a-b)(b-c)))(-f(x)/(x-b))+(1/(a-b){1/(c-a)+1/(b-c)}(f(x)/(x-c))
= -f(x)/((x-a)(a-b)(c-a))-f(x)/((x-b)(a-b)(b-c)(x-b))+(f(x)/((x-c)(a-b))){((b-c)+(c-a)/((c-a)(b-c))}
= -f(x)/((x-a)(a-b)(c-a))-f(x)/((x-b)(a-b)(b-c)(x-b))-f(x)/((x-c)(c-a)(b-c))
となります。
No.43727 - 2017/06/07(Wed) 12:49:44
☆ Re: 部分分数は難しい / bridget
有難うございます。参りました。
No.43768 - 2017/06/08(Thu) 08:42:08
★ (No Subject) / Pirate Radio
Q.平面上の点Oを中心とし、半径1の円周上に相異なる3点A、B
、Cがある。三角形ABCの内接円の半径は1/2以下であることを示せ。

よろしくおねがいします。
No.43718 - 2017/06/07(Wed) 08:02:49
☆ Re: / らすかる
BCを固定してAを動かすと内接円の中心はBCを弦とする弧を描くから、
内接円の面積はAがBCの垂直二等分線上にある時に最大になる。
従ってAB=ACである三角形の内接円の半径が1/2以下であることを示せば十分。
AB=ACとして∠AOB=2θとすると∠AOC=2θ,∠BOC=2π-4θ
AB=AC=2sinθ,BC=2sin(π-2θ)=2sin2θ=4sinθcosθ
(周の長さ)=2(2sinθ+sin2θ)=4sinθ(1+cosθ)
(高さ)=1+cos(π-2θ)=1-cos2θ=2(sinθ)^2
(面積)=4(sinθ)^3(cosθ)
(内接円の半径)
=2(面積)/(周の長さ)
=8(sinθ)^3(cosθ)/{4sinθ(1+cosθ)}
=2(sinθ)^2(cosθ)/(1+cosθ)
=2(1-cosθ)(cosθ)
≦1/2　（等号はcosθ=1/2すなわちθ=π/3つまり△ABCが正三角形のとき）
No.43726 - 2017/06/07(Wed) 10:39:37
☆ Re: / Pirate Radio
>BCを固定してAを動かすと内接円の中心はBCを弦とする弧を描くから、内接円の面積はAがBCの垂直二等分線上にある時に最大になる。従ってAB=ACである三角形の内接円の半径が1/2以下であることを示せば十分。

この部分をもう少し噛み砕いて説明していただけますか？<m(__)m>
No.43744 - 2017/06/07(Wed) 21:00:58
☆ Re: / らすかる
内接円の中心をIとすると
∠IBC+∠ICB=(1/2)∠ABC+(1/2)∠ACB
=(1/2)(∠ABC+∠ACB)
=(1/2)(π-∠BAC)
=(一定)　（∵BCを固定したから）
なので
∠BIC=π-(∠IBC+∠ICB)=(一定)
従ってIはBCを弦とする弧を描く。
内接円の半径が最大となるのは
IがBCから最も離れているときであり、
弧上の点と弦が最も遠いのは
点が弦の垂直二等分線上にあるときだから
I,AがBCの垂直二等分線上にあるときに
内接円の半径が最大となる。
よって任意のBCに対してAB=ACである時の
内接円の半径が最大だから、
それが1/2以下であることを示せば十分。
No.43748 - 2017/06/07(Wed) 21:16:28
☆ Re: / Pirate Radio
>>らすかるさん

詳しい解説をありがとうございました！
No.43763 - 2017/06/08(Thu) 00:33:51
★ 数学の記号 / がん
平均値の定理をやってるときにこの大なりと小なりを組み合わせたみたいな記号が出てきました。これはどういう意味なのでしょうか？
教えてください。
よろしくお願いします。
No.43715 - 2017/06/07(Wed) 07:52:07
☆ Re: 数学の記号 / noname
恐らく，「○＜□＜△または○＞□＞△である」ということを表しているのだと思います．
No.43722 - 2017/06/07(Wed) 09:34:15
☆ Re: 数学の記号 / がん
> 恐らく，「○＜□＜△または○＞□＞△である」ということを表しているのだと思います．

回答ありがとうございます。
たしかに問題で大小はいまのところつけられませんでした。ありがとうござます。
No.43729 - 2017/06/07(Wed) 13:19:17
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